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1. funciones
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  • 1. Funciones 1 Definición 2 Clasificación 3 Características
  • 2. Relación- Funciòn
  • 3. Relación Una relación es una conexión o correspondencia entre objetos o sujetos representada como un conjunto de pares ordenados La relación “es menor que”, existe entre los números 2 y 5 Relación Cosas que se relacionan1 Es un múltiplo de … Número enteros2 No es igual a … Números3 Da más leche que … Vacas4 Es congruente con … Triángulos
  • 4. Relación 1 Una relación se define sobre conjuntos de objetos o sujetos La relación “es un múltiplo de …”, está definida sobre un conjunto de números La relación “nació en el año … está definida desde un conjunto de gente hacia un conjunto de números 2 El orden de los elementos es muy importante y debe tenerse en cuentaLa relación “12 es un múltiplo de 3”, es cierta mientras que “3 es un múltiplo de 12” es falsa
  • 5. EjemploSean los conjuntos L; formado por las vocaleslatinas, y G; formado por las vocales griegasL a, e, i, o, u G , , ,, , ,Estableceremos la relación de correspondencia de las vocales latinascon las vocales griegas (transliteración), R: LG.R (a, ),(e, ),(e, ),(i, ),(o, ),(o, ),(u , )Representación con pares ordenados
  • 6. Ejemplo a e L i G o uRepresentación gráfica
  • 7. Ejemplo Representación gráfica
  • 8. Funciones Algunas relaciones tienen una característica que las hace especiales Considera la relación “es hijo de …” definida desde el conjunto H hacia el conjunto P Pedro El diagrama establece Enrique que Arturo y Aurora son Arturo hijos de Rogelio, que Rogelio Pedro es hijo deH Aurora G Mario Enrique, Norma es hija Norma de Mario y Fátima es hija Víctor de Víctor. Fátima
  • 9. Funciones ¿Qué sentido tendría la relación marcada en la figura? ¿Fátima es hija de Mario y Víctor? Biológicamente es imposible que una persona tenga dos padres Pedro Si una relación excluye Enrique Arturo este tipo de Rogelio correspondencias entreH Aurora G los elementos de los Mario conjuntos que la Norma definen, hablamos de Víctor una FUNCIÓN Fátima
  • 10. Toda ecuación es una Relación, pero no toda Relación es una Funciones
  • 11. ¿Por qué algunas de las ecuaciones son Funciones?
  • 12. ¿Qué es una función? Una función es una relación entre dos conjuntos, donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Estos dos conjuntos son el dominio, que también se conoce como X, y el alcance, conocido como Y. Es un caso especial de una relación.
  • 13. Funciones Una función se define formalmente de la siguiente manera: Sea f: A  B una relación, entonces decimos que f es una función de A hacia B si y solo si para cada x A hay un solo y B tal que x  f  y, que se denota como y=f(x). i Al conjunto A se le llama DOMINIO, Dom(f)=Aii Al conjunto B se le llama CONTRADOMINIOiii A f(x) se le conoce como la Imagen de x, al conjunto de imágenes se le conoce como Conjunto Imagen de la función o Recorrido de la funcióniv A la relación f se le conoce como REGLA de CORRESPONDENCIA
  • 14. FuncionesLas funciones se clasifican: 1 Por la relación entre el Dominio y el Contradominio Inyectivas Suprayectivas Biyectivas 2 Por su regla de correspondencia Algebraicas Trascendentes 3 Por su simetría Pares Impares
  • 15. Clasificación de las funciones Función Lineal f x mx b Función Cuadráticas f x ax2 bx c Función Cúbica f x ax3 Función Potencia f x xc Función Raíz f x x donde x 0 1 x 0 Función Reciproca f x donde x
  • 16. Función Valor Absoluto f x x x si x 0 donde x 0 si x 0 x si x 0 p x an x n an 1 x n 1  a1 x a0 Funciones Racionales f x q x bm x m bm 1 x m 1  b1 x b0Funciones Irracionales f x mx b
  • 17. Función Exponenciales f x bxFunción Logarítmicas f x l o gb x f x Sen xFunciones Trigonométricas f x Cos x f x Tang x
  • 18. Funciones Hiperbólicas ex e x f x Senh x 2 ex e x f x Cosh x 2 ex e x f x Tangh x ex e x
  • 19. Todas las relaciones pueden ser graficadas en el plano cartesiano
  • 20. Dominio y Recorrido en el plano cartesiano
  • 21. Función InyectivaSi f: A  B es una función, es inyectiva si se cumple alguna de lassiguientes condiciones A x1, x2 si [x1≠ x2 ] [f(x1) ≠ f(x2)] B x1, x2 si [f(x1) = f(x2)] [x1= x2] Ejemplo Establezcamos una relación entre el conjunto de carros de los 5 profesores de matemáticas de la universidad y el conjunto de lugares en el estacionamiento. A cada carro le corresponde un lugar de estacionamiento
  • 22. Función Inyectiva Ejemplo En el estacionamiento de la universidad los profesores tienen un lugar específico para estacionar su carro. Carro 1 Lugar 1 Carro 2 Lugar 2 Carro 3 Lugar 3 Carro 4 Lugar 4 Carro 5 Lugar 5 Lugar 6 Es una función porque a cada carro le corresponde un solo lugar de ¿Esta estacionamiento; a cada elemento del dominio le corresponde un solo elemento relación es del contradominio. Se evitan relaciones como las mostradas abajouna función? Lugar 1 Carro 1 Lugar 2
  • 23. Función Inyectiva Ejemplo¿Esta Es una función inyectiva porque si tomamos dos carrosfunción es diferentes, el lugar de estacionamiento que lesinyectiva? corresponde es diferente. Carro 2 Lugar 2 Carro 3 En una función inyectiva NO se permite este tipo de relaciones
  • 24. Función SuprayectivaSi f: A  B es una función, es sobreyectiva si se cumple que: A Im(f)= B, es decir, que el Conjunto Imagen de la función sea exactamente igual al conjunto B (contradominio) y B existe x A tal que y=f(x) Sea la función definida del conjunto de carros hacia el Carro 1 Lugar 1 conjunto de lugares de estacionamiento. Carro 2 Ejemplo Carro 3 Lugar 2Todos los elementos del contradominio SONimágenes de algún o algunos elementos del Carro 4 Lugar 3dominio. Carro 5 Lugar 4 ¡Esta función NO es inyectiva! Carro 6 Lugar 5
  • 25. Función Suprayectiva Carro 1 Lugar 1 ¿La función del ejemplo Carro 2 Lugar 2 anterior essuprayectiva? Carro 3 Lugar 3 Carro 4 Lugar 4 Carro 5 Lugar 5 Lugar 6 Esta función NO es suprayectiva porque hay un elemento del contradominio que NO es imagen de algún elemento del dominio. El lugar 6 no está asignado a ningún vehículo.
  • 26. Función BiyectivaSi f: A  B es una función, es biyectiva si es, al mismo tiempo, inyectivay suprayectiva, es decir, Un elemento del contradominio NO puede ser imagen de dos A diferentes elementos del dominio Todos los elementos del contradominio deben ser imágenes de al B menos un elemento del dominio Sea la función definida del conjunto de carros hacia Carro 1 Lugar 1 el conjunto de lugares de estacionamiento. Carro 2 Lugar 2 Ejemplo Carro 3 Lugar 3 Carro 4 Lugar 4Todos los elementos del contradominio SONimágenes de solo un elemento del dominio.La función es inyectiva y suprayectiva al Carro 5 Lugar 5mismo tiempo. Carro 6 Lugar 6
  • 27. Una función algebraica tiene como regla de correspondencia un número determinado deFunciones Algebraicas operaciones como suma, resta, multiplicación, división, radicaci Ejemplos ón y potencia.Funciones Racionales Función cuadrática A f ( x) x 2 3x 2 Función lineal B f ( x) ax b Función Polinomial (entera) de grado “n” C P ( x) an x n an 1 x n 1 ... a2 x 2 a1 x a0 P( x) an x n an 1 x n 1 ... a2 x 2 a1 x a0 D r ( x) Q( x ) bm x m bm 1 x m 1 ... b2 x 2 b1 x b0 Función Racional No entera
  • 28. Funciones Algebraicas Una función algebraica tiene como regla de correspondencia un número determinado de operaciones como Ejemplos suma, resta, multiplicación, división, radicaciFunciones Irracionales ón y potencia. A f ( x) x2 b B f ( x) x x2 1 x 1 x C f ( x) D r ( x) x 2 x2 4 Las funciones E x 1 irracionales incluyen f ( x) x 2 radicales en la regla de correspondencia
  • 29. Todas las funciones que NO son algebraicas se conocen con el nombreFunciones trascendentes de funciones trascendentes o trascendentales EjemplosA Función Exponencial B Función logaritmo f ( x) ax , a 0 f ( x) log a x, a 0C Funciones Trigonométricas (circulares) f ( x) sin( x), f ( x) cos( x), f ( x) tan( x) f ( x) cot( x), f ( x) sec( x), f ( x) csc( x)D Funciones Hiperbólicas D Funciones trigonométricas Inversas
  • 30. Función ParUna función es par cuando se cumple que: f(x)=f(-x) Es decir, cuando las imágenes de valores opuestos coinciden. La gráfica de una función Par es simétrica respecto al eje Y Función ImparUna función es impar cuando se cumple que: f(-x)=-f(x) Es decir, a valores opuestos corresponden imágenes opuestas. La gráfica de una función Impar es simétrica respecto al origen de coordenadas
  • 31. Operaciones con Funciones Dadas las funciones f(x) y g(x) se definen la: 1 Suma: (f+g)(x) = f(x) + g(x) 2 Resta: (f-g)(x) = f(x) - g(x) 3 Multiplicación: (f*g)(x) = f(x) * g(x) 4 División: (f/g)(x) = f(x) / g(x) 5 Composición: (fg)(x) = f(g(x))
  • 32. Función LinealLa función lineal tiene la forma siguiente: F(x)= mx+b Ó = mx+b El dominio es donde X puede obtener cualquier valor. En esta ecuación M respresenta la pendiente de la rectay B representa el intercepto en el eje de Y (eje vertical).
  • 33. Función Lineal: f(x)= 2x+5 Tiene una pendiente (m=2.) Intercepto en Y es (0,5). Intercepto en X es (-5/2). La pendiente es positiva, por lo tanto la línea es de forma creciente. El domino y el alcance son los números reales. No tiene asíntotas.
  • 34. EjemplosLa gráfica de F(x)=mx+btiene una formacomo esta
  • 35. Trace la gràfica F(x)=2x+5Para trazar esta gráfica necesitamos hacer una tabla de valores yluego sustituir esos valores en la función.F(-1) = 2(-1)+5 F(1) = 2(1)+5F(-1) = -2+5 F(1) = 2+5F(-1) = 3 F(1) = 7F(0) = 2(0)+5 F(2) = 2(2)+5F(0) = 0 + 5 F(2) = 4+5F(0) = 5 F(2) = 9
  • 36. Trace la gràfica F(x)=2x+5
  • 37. Características F(X)=2x+5 El dominio son todos los números reales. La gráfica es una recta, con una pendiente de 2. Lo cual nos dice que a medida que se mueve uno hacia la derecha en el eje de X, se mueve dos hacia arriba en el eje de Y. No hay asíntotas. Intercepto en el eje de X: (-5/2,0). Intercepto en el eje de Y: (0,5).
  • 38. Función Cuadrática
  • 39. Función Racional Una función racional es la razon entre dos polinomios y se expresa de la forma: x) P( f ( x) = Q(x) Donde la P(X) y Q(X) son funciones polinómicas y Q(X), el denominador, NO puede ser cero. El dominio de una función racional NO son todos los números reales, ya que el denominador nos plantea un valor que no puede ser incluido en el dominio.
  • 40. Ejemplos x -4 2 3x - 1g(x) = 2 f (x) = 2 x - 5x + 6 x -9 (x - 2)(x + 2) x +1g(x) = f (x) = 2 (x - 3)(x - 2) 2x +5x - 3
  • 41. Función racional: 1 2x + 51. Son líneas curvas, por lo tanto no tiene pendiente.2. Intercepto en Y es (0,1/5).3. No tiene intercepto en X.4. Su dominio son todos los números reales, excepto -5/2. (X⎮X≠-5/2)5. Tiene asíntotas: líneas por donde la función no puede pasar.6. Asíntota vertical es x=-5/2.7. Asíntota horizontal es y=0.
  • 42. : 1 Trace la gràfica 2x + 5 51. El dominio es:{x / x ¹ - } 2 1 12. Intercepto de y es el par: (0,1/5), ya que: = f (0) = 2(0)+ 5 5 13. Intercepto en X: 0= 2x + 5 0=(2x+5) 1 (2x+5) 2x + 5 0=1, No hay intercepto en X.
  • 43. 1 Trace la gràfica 2x + 54. Asíntotas:a) Horizontal: y=O, ya que el numerador tiene grado 0 es menor que el grado del denominador que es 1. Satisface una de las tres reglas: Si n < p, entonces la gráfica de f tiene una asíntota horizontal en y=0.b) Vertical: x= -5/2, la asíntota vertical es la restricción del dominio.c) Oblicua: No hay asíntota oblicua, ya que el grado del numerador es < que el grado del denominador.
  • 44. : 1Trace la gràfica 2x + 5 Se hizo una tabla de valores para colocar puntos adicionales en la gráfica.
  • 45. 1 : 2x + 5Trace la gràfica