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Funciones        1   Definición        2   Clasificación        3   Características
Relación- Funciòn
Relación                 Una relación es una conexión o                        correspondencia entre objetos o sujetos    ...
Relación               1    Una relación se define sobre conjuntos                               de objetos o sujetos     ...
EjemploSean los conjuntos L; formado por las vocales latinas,y G; formado por las vocales griegasL     a, e, i, o, u      ...
Ejemplo                   a                   e                 L i     G                   o                   uRepresent...
Ejemplo          Representación gráfica
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Funciones   ¿Qué sentido tendría la relación marcada en la                                 figura?                    ¿Fát...
Toda ecuación es una Relación, pero no toda Relación es una Funciones
¿Por qué algunas de las ecuaciones son Funciones?
¿Qué es una función?   Una función es una relación entre dos conjuntos,    donde a cada elemento del primer conjunto le  ...
Funciones         Una función se define formalmente de la                        siguiente manera:                        ...
FuncionesLas funciones se clasifican:             1    Por la relación entre el Dominio y el Contradominio                ...
Clasificación de las funciones      Función Lineal   f x   mx b Función Cuadráticas   f x   ax2 bx c     Función Cúbica   ...
Función Valor Absoluto   f x       x                                                  x   si   x   0                      ...
Función Exponenciales                            f x    bxFunción Logarítmicas                            f x   l o gb x  ...
Funciones Hiperbólicas                                         ex e      x                         f x   Senh x           ...
Todas las relaciones pueden ser graficadas en el plano cartesiano
Dominio y Recorrido en el plano cartesiano
Función InyectivaSi f: A  B es una función, es inyectiva si se cumple alguna de lassiguientes condiciones               A...
Función Inyectiva          Ejemplo      En el estacionamiento de la universidad los profesores tienen un lugar      especí...
Función Inyectiva         Ejemplo¿Esta                  Es una función inyectiva porque si tomamos dos carrosfunción    es...
Función SuprayectivaSi f: A  B es una función, es sobreyectiva si se cumple que:                       A      Im(f)= B, e...
Función Suprayectiva                                           Carro 1                                  Lugar 1 ¿La funció...
Función BiyectivaSi f: A  B es una función, es biyectiva si es, al mismo tiempo, inyectivay suprayectiva, es decir,      ...
Una función algebraica tiene como regla de                            correspondencia un número determinado deFunciones Al...
Funciones Algebraicas    Una función algebraica tiene como regla de                         correspondencia un número dete...
Todas las funciones que NO son                               algebraicas se conocen con el nombreFunciones trascendentes  ...
Función ParUna función es par cuando se cumple que:                              f(x)=f(-x)                    Es decir, c...
Operaciones con  Funciones                  Dadas las funciones f(x) y g(x) se definen la:                     1          ...
Función LinealLa función lineal tiene la forma siguiente:               F(x)= mx+b Ó = mx+b El dominio es donde X puede o...
Función Lineal:           f(x)= 2x+5 Tiene una pendiente (m=2.) Intercepto en Y es (0,5). Intercepto en X es (-5/2). L...
EjemplosLa gráfica de F(x)=mx+btiene una formacomo esta
Trace la gràfica                        F(x)=2x+5Para trazar esta gráfica necesitamos hacer una tabla de valores yluego su...
Trace la gràfica   F(x)=2x+5
Características            F(X)=2x+5 El dominio son todos los números reales. La gráfica es una recta, con una pendiente...
Función Cuadrática
Función Racional Una función racional es la razon entre dos  polinomios y se expresa de la forma: x)                     ...
Ejemplos         x -4           2                               3x - 1g(x) = 2                f (x) = 2      x - 5x + 6   ...
Función racional:            1                                    2x + 51. Son líneas curvas, por lo tanto no tiene pendie...
:     1      Trace la gràfica                                    2x + 5                           51. El dominio es:{x / x...
1   Trace la gràfica                    2x + 54. Asíntotas:a) Horizontal: y=O, ya que el numerador tiene grado 0 es   meno...
:     1Trace la gràfica       2x + 5                   Se hizo una tabla de                   valores para colocar        ...
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  1. 1. Funciones 1 Definición 2 Clasificación 3 Características
  2. 2. Relación- Funciòn
  3. 3. Relación Una relación es una conexión o correspondencia entre objetos o sujetos representada como un conjunto de pares ordenados La relación “es menor que”, existe entre los números 2 y 5 Relación Cosas que se relacionan1 Es un múltiplo de … Número enteros2 No es igual a … Números3 Da más leche que … Vacas4 Es congruente con … Triángulos
  4. 4. Relación 1 Una relación se define sobre conjuntos de objetos o sujetos La relación “es un múltiplo de …”, está definida sobre un conjunto de números La relación “nació en el año … está definida desde un conjunto de gente hacia un conjunto de números 2 El orden de los elementos es muy importante y debe tenerse en cuentaLa relación “12 es un múltiplo de 3”, es cierta mientras que “3 es un múltiplo de 12” es falsa
  5. 5. EjemploSean los conjuntos L; formado por las vocales latinas,y G; formado por las vocales griegasL a, e, i, o, u G , , ,, , ,Estableceremos la relación de correspondencia de las vocales latinascon las vocales griegas (transliteración), R: LG.R (a, ),(e, ),(e, ),(i, ),(o, ),(o, ),(u , )Representación con pares ordenados
  6. 6. Ejemplo a e L i G o uRepresentación gráfica
  7. 7. Ejemplo Representación gráfica
  8. 8. Funciones Algunas relaciones tienen una característica que las hace especiales Considera la relación “es hijo de …” definida desde el conjunto H hacia el conjunto P Pedro El diagrama establece Enrique que Arturo y Aurora son Arturo hijos de Rogelio, que Rogelio Pedro es hijo de Enrique,H Aurora G Mario Norma es hija de Mario y Norma Fátima es hija de Víctor. Víctor Fátima
  9. 9. Funciones ¿Qué sentido tendría la relación marcada en la figura? ¿Fátima es hija de Mario y Víctor? Biológicamente es imposible que una persona tenga dos padres Pedro Si una relación excluye Enrique Arturo este tipo de Rogelio correspondencias entreH Aurora G los elementos de los Mario conjuntos que la definen, Norma hablamos de una Víctor FUNCIÓN Fátima
  10. 10. Toda ecuación es una Relación, pero no toda Relación es una Funciones
  11. 11. ¿Por qué algunas de las ecuaciones son Funciones?
  12. 12. ¿Qué es una función? Una función es una relación entre dos conjuntos, donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Estos dos conjuntos son el dominio, que también se conoce como X, y el alcance, conocido como Y. Es un caso especial de una relación.
  13. 13. Funciones Una función se define formalmente de la siguiente manera: Sea f: A  B una relación, entonces decimos que f es una función de A hacia B si y solo si para cada x A hay un solo y B tal que x  f  y, que se denota como y=f(x). i Al conjunto A se le llama DOMINIO, Dom(f)=Aii Al conjunto B se le llama CONTRADOMINIOiii A f(x) se le conoce como la Imagen de x, al conjunto de imágenes se le conoce como Conjunto Imagen de la función o Recorrido de la funcióniv A la relación f se le conoce como REGLA de CORRESPONDENCIA
  14. 14. FuncionesLas funciones se clasifican: 1 Por la relación entre el Dominio y el Contradominio Inyectivas Suprayectivas Biyectivas 2 Por su regla de correspondencia Algebraicas Trascendentes 3 Por su simetría Pares Impares
  15. 15. Clasificación de las funciones Función Lineal f x mx b Función Cuadráticas f x ax2 bx c Función Cúbica f x ax3 Función Potencia f x xc Función Raíz f x x donde x 0 1 x 0 Función Reciproca f x donde x
  16. 16. Función Valor Absoluto f x x x si x 0 donde x 0 si x 0 x si x 0 p x an x n an 1 x n 1  a1 x a0 Funciones Racionales f x q x bm x m bm 1 x m 1  b1 x b0Funciones Irracionales f x mx b
  17. 17. Función Exponenciales f x bxFunción Logarítmicas f x l o gb x f x Sen xFunciones Trigonométricas f x Cos x f x Tang x
  18. 18. Funciones Hiperbólicas ex e x f x Senh x 2 ex e x f x Cosh x 2 ex e x f x Tangh x ex e x
  19. 19. Todas las relaciones pueden ser graficadas en el plano cartesiano
  20. 20. Dominio y Recorrido en el plano cartesiano
  21. 21. Función InyectivaSi f: A  B es una función, es inyectiva si se cumple alguna de lassiguientes condiciones A x1, x2 si [x1≠ x2 ] [f(x1) ≠ f(x2)] B x1, x2 si [f(x1) = f(x2)] [x1= x2] Ejemplo Establezcamos una relación entre el conjunto de carros de los 5 profesores de matemáticas de la universidad y el conjunto de lugares en el estacionamiento. A cada carro le corresponde un lugar de estacionamiento
  22. 22. Función Inyectiva Ejemplo En el estacionamiento de la universidad los profesores tienen un lugar específico para estacionar su carro. Carro 1 Lugar 1 Carro 2 Lugar 2 Carro 3 Lugar 3 Carro 4 Lugar 4 Carro 5 Lugar 5 Lugar 6 Es una función porque a cada carro le corresponde un solo lugar de ¿Esta estacionamiento; a cada elemento del dominio le corresponde un solo elemento relación es del contradominio. Se evitan relaciones como las mostradas abajouna función? Lugar 1 Carro 1 Lugar 2
  23. 23. Función Inyectiva Ejemplo¿Esta Es una función inyectiva porque si tomamos dos carrosfunción es diferentes, el lugar de estacionamiento que lesinyectiva? corresponde es diferente. Carro 2 Lugar 2 Carro 3 En una función inyectiva NO se permite este tipo de relaciones
  24. 24. Función SuprayectivaSi f: A  B es una función, es sobreyectiva si se cumple que: A Im(f)= B, es decir, que el Conjunto Imagen de la función sea exactamente igual al conjunto B (contradominio) y B existe x A tal que y=f(x) Sea la función definida del conjunto de carros hacia el Carro 1 Lugar 1 conjunto de lugares de estacionamiento. Carro 2 Ejemplo Carro 3 Lugar 2Todos los elementos del contradominio SONimágenes de algún o algunos elementos del Carro 4 Lugar 3dominio. Carro 5 Lugar 4 ¡Esta función NO es inyectiva! Carro 6 Lugar 5
  25. 25. Función Suprayectiva Carro 1 Lugar 1 ¿La función del ejemplo Carro 2 Lugar 2 anterior essuprayectiva? Carro 3 Lugar 3 Carro 4 Lugar 4 Carro 5 Lugar 5 Lugar 6 Esta función NO es suprayectiva porque hay un elemento del contradominio que NO es imagen de algún elemento del dominio. El lugar 6 no está asignado a ningún vehículo.
  26. 26. Función BiyectivaSi f: A  B es una función, es biyectiva si es, al mismo tiempo, inyectivay suprayectiva, es decir, Un elemento del contradominio NO puede ser imagen de dos A diferentes elementos del dominio Todos los elementos del contradominio deben ser imágenes de al B menos un elemento del dominio Sea la función definida del conjunto de carros hacia Carro 1 Lugar 1 el conjunto de lugares de estacionamiento. Carro 2 Lugar 2 Ejemplo Carro 3 Lugar 3 Carro 4 Lugar 4Todos los elementos del contradominio SONimágenes de solo un elemento del dominio.La función es inyectiva y suprayectiva al Carro 5 Lugar 5mismo tiempo. Carro 6 Lugar 6
  27. 27. Una función algebraica tiene como regla de correspondencia un número determinado deFunciones Algebraicas operaciones como suma, resta, multiplicación, división, radicación y Ejemplos potencia.Funciones Racionales Función cuadrática A f ( x) x 2 3x 2 Función lineal B f ( x) ax b Función Polinomial (entera) de grado “n” C P ( x) an x n an 1 x n 1 ... a2 x 2 a1 x a0 P( x) an x n an 1 x n 1 ... a2 x 2 a1 x a0 D r ( x) Q( x ) bm x m bm 1 x m 1 ... b2 x 2 b1 x b0 Función Racional No entera
  28. 28. Funciones Algebraicas Una función algebraica tiene como regla de correspondencia un número determinado de operaciones como suma, resta, Ejemplos multiplicación, división, radicación yFunciones Irracionales potencia. A f ( x) x2 b B f ( x) x x2 1 x 1 x C f ( x) D r ( x) x 2 x2 4 Las funciones E x 1 irracionales incluyen f ( x) x 2 radicales en la regla de correspondencia
  29. 29. Todas las funciones que NO son algebraicas se conocen con el nombreFunciones trascendentes de funciones trascendentes o trascendentales EjemplosA Función Exponencial B Función logaritmo f ( x) ax , a 0 f ( x) log a x, a 0C Funciones Trigonométricas (circulares) f ( x) sin( x), f ( x) cos( x), f ( x) tan( x) f ( x) cot( x), f ( x) sec( x), f ( x) csc( x)D Funciones Hiperbólicas D Funciones trigonométricas Inversas
  30. 30. Función ParUna función es par cuando se cumple que: f(x)=f(-x) Es decir, cuando las imágenes de valores opuestos coinciden. La gráfica de una función Par es simétrica respecto al eje Y Función ImparUna función es impar cuando se cumple que: f(-x)=-f(x) Es decir, a valores opuestos corresponden imágenes opuestas. La gráfica de una función Impar es simétrica respecto al origen de coordenadas
  31. 31. Operaciones con Funciones Dadas las funciones f(x) y g(x) se definen la: 1 Suma: (f+g)(x) = f(x) + g(x) 2 Resta: (f-g)(x) = f(x) - g(x) 3 Multiplicación: (f*g)(x) = f(x) * g(x) 4 División: (f/g)(x) = f(x) / g(x) 5 Composición: (fg)(x) = f(g(x))
  32. 32. Función LinealLa función lineal tiene la forma siguiente: F(x)= mx+b Ó = mx+b El dominio es donde X puede obtener cualquier valor. En esta ecuación M respresenta la pendiente de la rectay B representa el intercepto en el eje de Y (eje vertical).
  33. 33. Función Lineal: f(x)= 2x+5 Tiene una pendiente (m=2.) Intercepto en Y es (0,5). Intercepto en X es (-5/2). La pendiente es positiva, por lo tanto la línea es de forma creciente. El domino y el alcance son los números reales. No tiene asíntotas.
  34. 34. EjemplosLa gráfica de F(x)=mx+btiene una formacomo esta
  35. 35. Trace la gràfica F(x)=2x+5Para trazar esta gráfica necesitamos hacer una tabla de valores yluego sustituir esos valores en la función.F(-1) = 2(-1)+5 F(1) = 2(1)+5F(-1) = -2+5 F(1) = 2+5F(-1) = 3 F(1) = 7F(0) = 2(0)+5 F(2) = 2(2)+5F(0) = 0 + 5 F(2) = 4+5F(0) = 5 F(2) = 9
  36. 36. Trace la gràfica F(x)=2x+5
  37. 37. Características F(X)=2x+5 El dominio son todos los números reales. La gráfica es una recta, con una pendiente de 2. Lo cual nos dice que a medida que se mueve uno hacia la derecha en el eje de X, se mueve dos hacia arriba en el eje de Y. No hay asíntotas. Intercepto en el eje de X: (-5/2,0). Intercepto en el eje de Y: (0,5).
  38. 38. Función Cuadrática
  39. 39. Función Racional Una función racional es la razon entre dos polinomios y se expresa de la forma: x) P( f ( x) = Q(x) Donde la P(X) y Q(X) son funciones polinómicas y Q(X), el denominador, NO puede ser cero. El dominio de una función racional NO son todos los números reales, ya que el denominador nos plantea un valor que no puede ser incluido en el dominio.
  40. 40. Ejemplos x -4 2 3x - 1g(x) = 2 f (x) = 2 x - 5x + 6 x -9 (x - 2)(x + 2) x +1g(x) = f (x) = 2 (x - 3)(x - 2) 2x +5x - 3
  41. 41. Función racional: 1 2x + 51. Son líneas curvas, por lo tanto no tiene pendiente.2. Intercepto en Y es (0,1/5).3. No tiene intercepto en X.4. Su dominio son todos los números reales, excepto -5/2. (X⎮X≠-5/2)5. Tiene asíntotas: líneas por donde la función no puede pasar.6. Asíntota vertical es x=-5/2.7. Asíntota horizontal es y=0.
  42. 42. : 1 Trace la gràfica 2x + 5 51. El dominio es:{x / x ¹ - } 2 1 12. Intercepto de y es el par: (0,1/5), ya que: = f (0) = 2(0)+ 5 5 13. Intercepto en X: 0= 2x + 5 0=(2x+5) 1 (2x+5) 2x + 5 0=1, No hay intercepto en X.
  43. 43. 1 Trace la gràfica 2x + 54. Asíntotas:a) Horizontal: y=O, ya que el numerador tiene grado 0 es menor que el grado del denominador que es 1. Satisface una de las tres reglas: Si n < p, entonces la gráfica de f tiene una asíntota horizontal en y=0.b) Vertical: x= -5/2, la asíntota vertical es la restricción del dominio.c) Oblicua: No hay asíntota oblicua, ya que el grado del numerador es < que el grado del denominador.
  44. 44. : 1Trace la gràfica 2x + 5 Se hizo una tabla de valores para colocar puntos adicionales en la gráfica.
  45. 45. 1 : 2x + 5Trace la gràfica
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