Interseção de retas_e_de_planos

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Posições de retas e planos.

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  • 1. Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas 1. Rectas Paralelas r → ( x, y , z ) = ( x0 , y0 , zo ) + λ ( v1 , v2 , v3 ) , λ ∈ℜ s → ( x, y , z ) = ( x1 , y1 , z1 ) + k ( u1 , u2 , u3 ) , k ∈ℜ Se as rectas são paralelas r v ( v1 , v2 , v3 ) os vectores directores são colineares r r r v = ku r u ( u1 , u2 , u3 ) ou seja: s v1 v2 v3 = = u1 u2 u3Jorge Freitas ESAS 2006
  • 2. Exemplo 1 r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 3, 2, −1) , λ ∈ℜ s → ( x, y, z ) = ( 1, 0, 0 ) + k ( −6, −4, 2 ) , k ∈ℜ • São paralelas porque os vectores r r v ( 3, 2, −1) e u ( −6, −4, 2 ) são colineares r r 3 2 −1 u = −2v ⇔ = = −6 −4 2Jorge Freitas ESAS 2006
  • 3. Exemplo 2 r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 3, 2, −1) , λ ∈ℜ x −3 y + 2 z −3 s → = = −6 −4 2 • São paralelas porque os vectores r r v ( 3, 2, −1) e u ( −6, −4, 2 ) são colineares r r 3 2 −1 u = −2v ⇔ = = −6 −4 2Jorge Freitas ESAS 2006
  • 4. Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas 2. Rectas Perpendiculares r → ( x, y , z ) = ( x0 , y0 , zo ) + λ ( v1 , v2 , v3 ) , λ ∈ℜ s → ( x, y , z ) = ( x1 , y1 , z1 ) + k ( u1 , u2 , u3 ) , k ∈ℜ Se as rectas são perpendiculares os vectores directores são r v ( v1 , v2 , v3 ) r perpendiculares u ( u1 , u2 , u3 ) r r v× =0 u ou seja: r v1u1 + v2u2 + v3u3 = 0 sJorge Freitas ESAS 2006
  • 5. Exemplo 1 r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 3, 2, −1) , λ ∈ℜ s → ( x, y, z ) = ( 1, 0, 0 ) + k ( 1, 0,3) , k ∈ℜ • São perpendiculares porque os vectores r r v ( 3, 2, −1) e u ( 1, 0,3) são perpendiculares r r u ×v = 0 ⇔ 3 × 1 + 2 × 0 + ( −1) × 3 = 0Jorge Freitas ESAS 2006
  • 6. Exemplo 2 r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 3, 2, −1) , λ ∈ℜ x −3 z −3  = s → 2 6  y = −3  • São perpendiculares porque os vectores r r v ( 3, 2, −1) e u ( 2, 0, −6 ) são perpendiculares r r u ×v = 0 ⇔ 3 × 2 + 2 × 0 + ( −1) × 6 = 0Jorge Freitas ESAS 2006
  • 7. Paralelismo e Perpendicularidade de Planos 1. Planos Paralelos α → ax + by + cz + d = 0 β → a ′x + b′y + c′z + d ′ = 0 r v (a, b, c) Se os planos são paralelos α os vectores perpendiculares aos planos são colineares r r r u (a′, b′, c′ ) v = ku ou seja: β a b c = = a ′ b′ c ′Jorge Freitas ESAS 2006
  • 8. Exemplo α → x − 3y + 2z − 7 = 0 β → −2 x + 6 y − 4 z + 5 = 0 • São paralelos porque os vectores r r v ( 1, −3, 2 ) e u ( −2, 6, −4 ) são colineares r r 1 −3 2 u = −2v ⇔ = = −2 6 −4Jorge Freitas ESAS 2006
  • 9. Paralelismo e Perpendicularidade de Planos 2. Planos Perpendiculares α → ax + by + cz + d = 0 β → a ′x + b′y + c′z + d ′ = 0 r Se os planos são perpendiculares u (a′, b′, c′ ) os vectores perpendiculares aos planos são perpendiculares entre si r v (a, b, c) rr v .u = 0 ou seja: α aa′ + bb′ + cc′ = 0Jorge Freitas β ESAS 2006
  • 10. Exemplo α → x − 3y + 2z − 7 = 0 β → −2 x − 2 y − z + 5 = 0 • Os planos são perpendiculares porque os vectores r r v ( 1, −3, 2 ) e u ( −2, −2, −1) são perpendiculares r r u ×v = 0 ⇔ 2 × ( −2 ) + ( −3) × ( −2 ) + 2 × ( −1) = 0 ⇔ r r u ×v = 0 ⇔ −4 + 6 − 2 = 0Jorge Freitas ESAS 2006
  • 11. Perpendicularidade de Rectas e Planos α → ax + by + cz + d = 0 x − x1 y − y1 z − z1 r → = = v1 v2 v3 Se a recta é perpendicular ao plano, é paralela ao vector r perpendicular ao plano v (v1 , v2 , v3 ) r r r r r u ( a , b, c ) v // u ou v = ku ou seja: v1 v2 v3 α = = a b cJorge Freitas r ESAS 2006
  • 12. Exemplo α → x − 3y + 2z − 7 = 0 r → ( x, y, z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 2, −6, 4 ) , λ ∈ℜ • A recta é perpendicular ao plano porque os vectores r r v ( 1, −3, 2 ) e u ( 2, −6, 4 ) são colineares (ou paralelos) r r 1 −3 2 u = 2v ⇔ = = 2 −6 4Jorge Freitas ESAS 2006
  • 13. Paralelismo de Rectas e Planos α → ax + by + cz + d = 0 x − x1 y − y1 z − z1 r → = = v1 v2 v3 Se a recta é paralela ao plano, é perpendicular ao vector r perpendicular ao plano v (v1 , v2 , v3 ) r r r r r u ( a , b, c ) v ⊥ u ou v × = 0 u ou seja: α aa′ + bb′ + cc′ = 0EscolaJorge Freitas Secundária Alberto Sampaio Jorge Manuel 2006 ESAS Carneiro de Freitas Março 2006
  • 14. Exemplo α → x − 3y + 2z − 7 = 0 r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 2, 2, 2 ) , λ ∈ℜ • A recta é paralela ao plano porque os vectores r r v ( 1, −3, 2 ) e u ( 2, 2, 2 ) são perpendiculares r r u ×v = 0 ⇔ 1× 2 + ( −3) × 2 + 2 × 2 = 0 ⇔ r r u ×v = 0 ⇔ 2 − 6 + 4 = 0Jorge Freitas ESAS 2006
  • 15. Intersecção de planosJorge Freitas ESAS 2006
  • 16. Posição relativa de 3 planos α → ax + by + cz + d = 0 β → a′x + b′y + c′z + d ′ = 0 γ → a′′x + b′′y + c′′z + d ′′ = 0 r w (a′ , b′ , c′ ) r v (a, b, c) γ r u (a′ , b′ , c′ ) αJorge Freitas β ESAS 2006
  • 17. A intersecção de três planos obtém-se resolvendo o sistema: ax + by + cz + d = 0  a ′x + b′y + c′z + d ′ = 0 a ′′x + b′′y + c′′z + d ′′ = 0 Jorge Freitas ESAS 2006
  • 18. r r r v, u e w não são colineares Sistema possível e determinado. r w (a′ , b′ , c′ ) γ A A solução é r r v ( a , b, c ) (x0,y0,z0) u (a′, b′, c′ )(coordenadas do ponto A) β αJorge Freitas ESAS 2006
  • 19. Os 3 planos intersectam-senum ponto. O sistemaé possível e determinado.  w ( a ′ , b′ , c ′ ) A solução é γ (x0,y0,z0) A (coordenadas  u (a′, b′, c′ ) v (a, b, c) do ponto A) α β    v, u e w não são colinearesJorge Freitas ESAS 2006
  • 20. Exemplo x + 2 y − z + 6 = 0  3 x + y + z = 4 x − 3y − 2z = 1  • Os três planos intersectam-se num ponto. • O sistema tem solução x = 1 Resolver o sistema:   y = −2 • na calculadora • método da substituição z = 3  • método da reduçãoJorge Freitas ESAS 2006
  • 21.    v, u e w Os três planos não são colineares intersectam-se segundo uma recta. r O sistema é possível e γ   u ( a ′ , b′ , c ′ ) indeterminado. v ( a , b, c )  w ( a ′ , b′ , c ′ ) βAs soluções sãotodos os pontos da recta r αJorge Freitas ESAS 2006
  • 22. Exemplo  x + 2 y − 3z = −6  2 x − y − z = 3  x + y − 2 z = −3  • Os três planos intersectam-se numa recta. • O sistema é indeterminado z = x x−0 y +3 z −0  ⇔ x = y+3= z ⇔ = = z = y + 3 1 1 1Jorge Freitas ESAS 2006
  • 23. Dois dos planos são  coincidentes. u // wO sistemaé possível eindeterminado.  γ w ( a ′ , b′ , c ′ ) rAs soluções  u (a′, b′, c′ ) βsão as coordenadas v (a, b, c)de cada um dospontos da recta r αJorge Freitas ESAS 2006
  • 24. Exemplo  x + 2 y − 3z = −6  2 x + 4 y − 6 z = −12  x + y − 2 z = −3  • Dois dos planos são coincidentes • Os três planos intersectam-se numa recta. • O sistema é indeterminado z = x x−0 y +3 z −0  ⇔ x = y +3= z ⇔ = = z = y + 3 1 1 1Jorge Freitas ESAS 2006
  • 25. Os 3 planos são   coincidentes v // u // wO sistema éindeterminado Qualquer ponto destes u (a′, b′, c′ )planos é solução  v ( a , b, c )do sistema. β  w ( a ′ , b′ , c ′ ) γ αJorge Freitas ESAS 2006
  • 26. Exemplo  x + 2 y − 3z = −6  2 x + 4 y − 6 z = −12 − x − 2 y + 3 z = 6  • Os três planos são coincidentes • Qualquer ponto de um dos planos pertence também aos outros planos • O sistema é indeterminadoJorge Freitas ESAS 2006
  • 27.    v // u // wOs 3 planos sãoestritamente  w (a′ , b′ , c′ )paralelos γ Os planos u (a′, b′, c′ )não se intersectam β O sistema é impossível Jorge Freitas ESAS 2006 v ( a , b, c ) α
  • 28. Exemplo  x + 2 y − 3 z = −6   x + 2 y − 3z = 0  x + 2 y − 3z = 5  • Os três planos estritamente paralelos • Os três planos nunca se interceptam • O sistema é impossívelJorge Freitas ESAS 2006
  • 29.   v // uDois dos planos sãoestritamente γ  paralelos w ( a ′ , b′ , c ′ ) u (a′, b′, c′ ) βOs 3 planosnão seintersectam  α v ( a , b, c ) O sistema é impossívelJorge Freitas ESAS 2006
  • 30. Exemplo  x + 2 y − 3 z = −6  − x − 2 y + 3 z = 0 2 x + y − 3 z = 2  • Dois dos planos são estritamente paralelos • O terceiro plano intersecta-os segundo rectas paralelas entre si  − x + y = −8 y = x −8  ⇔ x − y = 2 y = x − 2 • O sistema é impossívelJorge Freitas ESAS 2006
  • 31.    v, u e w Os 3 planos não são colineares intersectam-se 2 a 2 segundo rectas estritamente paralelas   u (a′, b′, c′ ) v ( a , b, c ) O sistema é  impossível w ( a ′ , b′ , c ′ ) α γ βJorge Freitas ESAS 2006
  • 32. Exemplo x + y + z = 6  2 x − y = −1 3 x + z = 2  • Os três planos não são paralelos • Os planos intersetam-se dois a dois segundo rectas paralelas 3 y + 2 z = −11  3 y + 2 z = 16 • O sistema é impossível 3 y + 2 z = 7 Jorge Freitas ESAS 2006
  • 33. F i mJorge Freitas ESAS 2006