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Fundamentos de matemáticas para bachillerato
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Fundamentos de matemáticas para bachillerato

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  • 1. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 9 789978 310311 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS Para Bachillerato ISBN 9978-310-31-2 ISBN 978-9978-310-31-1 ESPOL Para Bachillerato 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 50 59 68 77 86 95 104 113 Presión Instituto de Ciencias Matemáticas LÓGICA-NÚMEROS-FUNCIONES-TRIGONOMETRÍA-MATRICES-GEOMETRÍA PLANA GEOMETRÍA DEL ESPACIO-VECTORES-GEOMETRÍA ANALÍTICA-ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES
  • 2. Copyright © 2006 Derechos reservados 2006 Instituto de Ciencias Matemáticas – ICM Segunda Edición - Mayo 2006 Derechos del Autor No. 024094-IEPI ISBN-9978-310-34-7 AUTORIDADES DE LA ESPOL Rector Vicerrector General Director ICM Sub - Director ICM Dr. Moisés Tacle Ing. Armando Altamirano Ing. Washington Armas Ing. Robert Toledo COMITÉ EDITORIAL Director: Ing. Washington Armas Profesores editores: Ing. Guillermo Baquerizo Ing. Miriam Ramos Ing. Soraya Solís Profesores colaboradores: Ing. Pablo Álvarez Mat. César Guerrero Ing. Dalton Noboa Estudiantes colaboradores: Sr. Alejandro Carrión Srta. Janett Loja Sr. Oswaldo Navarrete Srta. Evelyn Peña Sr. Luis Ruiz Sr. Hugo Vinueza Diseño Gráfico: Anl. Catalina Bayas Sr. Diego Cueva Tcnlg. Martha Ortega Tcnlg. Yen Chih Wang Tcnlg. Candy Wong Distribución: ICM-ESPOL Campus Gustavo Galindo, Km. 30.5 Vía Perimetral Teléfonos: (593-4) 2269525-2269526 Telefax: (593-4) 2853138 e-mail: icm@espol.edu.ec www.icm.espol.edu.ec Impresión: Impreso en Ecuador/ Printed in Ecuador
  • 3. Ninguna parte de este libro puede ser reproducida o transmitida en cualquier forma o cualquier medio, electrónico o mecánico, incluyendo fotocopiado, grabación, o por cualquier sistema de almacenamiento o captación de datos sin permiso escrito del titular de la obra (ICM). Guayaquil - Ecuador
  • 4. Prólogo El Instituto de Ciencias Matemáticas, ICM, de la Escuela Superior Politécnica del Litoral, responsable de la enseñanza de una de las ciencias básicas del conocimiento humano, tiene como parte de su Misión: “Definir lineamientos y elevar el nivel de la Educación Matemática en el país”; consecuente con este principio, ha creído conveniente diseñar y desarrollar el presente texto, como un apoyo dirigido a los estudiantes del Bachillerato. Este libro revisa temas básicos de nivel secundario y, por su amplitud y profundidad, constituye una guía necesaria dentro de su proceso de aprendizaje. El presente texto ha sido estructurado de tal manera que sea de fácil lectura y comprensión, asequible para estudiantes de colegios que requieran fortalecer su formación matemática, preparándose así para enfrentar los retos que la vida universitaria les depare. Los profesores podrán encontrar una ayuda didáctica en la organización y el contenido de sus clases, de tal manera que se logre homogeneidad en la simbología y lenguaje matemáticos utilizados. Además, el colorido de sus páginas facilita la visualización de los capítulos y temas tratados. Los ejercicios resueltos tienen como objetivo que el estudiante profundice sus conocimientos conforme los va adquiriendo y han sido desarrollados de manera tal que progresivamente se los aplique, empezando por lo más elemental, hasta llegar a lo más complejo. Adicionalmente, la orientación del texto fomenta la investigación de los temas tratados, avanzando así en el conocimiento hacia su consolidación. La cristalización de esta obra se debe a la calidad académica de un equipo de profesores del ICM, integrado por los ingenieros Miriam Ramos, Guillermo Baquerizo y Soraya Solís, quienes con tesón, esfuerzo y largas horas de trabajo plasmaron este texto. En esta era de continuo cambio tecnológico, las Matemáticas son más importantes que nunca. Cuando los estudiantes terminen sus estudios de Bachillerato, el uso de las Matemáticas en la etapa universitaria y luego en su trabajo y en la vida diaria les permitirá operar equipos de computación, planificar horarios y programas, leer e interpretar datos, comparar precios, administrar finanzas personales y ejecutar otros trabajos de resolución de problemas sobre cualquier tema. Todo lo que se aprenda en Matemáticas y la manera en que se adquiera ese conocimiento, le proporcionará a los estudiantes de nuestro país una satisfacción personal y una excelente preparación para afrontar un futuro exigente y en constante cambio.
  • 5. Agradecimientos A las autoridades de la ESPOL. A los directivos del ICM. Al aporte significativo de las señoritas estudiantes Janett Loja y Evelyn Peña, como responsables del proceso de digitalización de la información. Dedicatoria A los estudiantes de Bachillerato que requieren profundizar sus conocimientos matemáticos y forjar las bases necesarias para acceder con paso firme al nivel superior de estudios.
  • 6. Tabla de Contenido CAPÍTULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS Introducción....................................................................... 7 1.1 PROPOSICIONES................................................................... Proposición.................................................................. Valor de verdad................................................................... Tabla de verdad................................................................... 8 9 10 10 1.2 OPERADORES LÓGICOS........................................................ Negación............................................................................ Conjunción....................................................................... Disyunción.................................................................... Disyunción exclusiva............................................................ Condicional..................................................................... Recíproca, inversa, contrarrecíproca....................................... Condiciones necesarias y suficientes...................................... Bicondicional..................................................................... 11 12 13 14 14 15 16 17 19 1.3 PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS.......................... Proposiciones simples y compuestas...................................... 20 20 1.4 FORMAS PROPOSICIONALES................................................ Variables proposicionales...................................................... Formas proposicionales........................................................ Tautología, contradicción, contingencia.................................... Implicación lógica................................................................ Equivalencia lógica.............................................................. 22 22 22 23 24 25
  • 7. 1.5 PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LÓGICOS....................... Leyes de los operadores fundamentales Conjunción y Disyunción........ Leyes de los operadores Negación, Condicional y Bicondicional..... Leyes de las Implicaciones Lógicas........................................... 25 26 26 27 1.6 RAZONAMIENTOS................................................................. Razonamientos.................................................................... Validez de un razonamiento....................................................... 29 29 30 1.7 DEMOSTRACIONES............................................................... 1.7.1 Demostraciones directas................................................... 1.7.2 Demostraciones por contraposición.................................... 1.7.3 Demostraciones por contraejemplo.................................... 1.7.4 Demostraciones por reducción al absurdo........................... 33 33 34 35 36 1.8 CONJUNTOS.......................................................................... Conjunto........................................................................... Cardinalidad...................................................................... 1.8.1 Conjuntos relevantes................................................. 39 39 40 40 1.9 CUANTIFICADORES.............................................................. Cuantificador Universal........................................................ Cuantificador Existencial...................................................... Subconjunto....................................................................... Conjunto Potencia................................................................ 1.9.1 Relaciones entre conjuntos........................................... Igualdad entre conjuntos............................................. Conjuntos disjuntos e intersecantes.............................. 41 42 42 42 43 44 44 44 1.10 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS..................................... Unión entre conjuntos.......................................................... Intersección entre conjutos................................................... Diferencia entre conjuntos.................................................... Diferencia simétrica entre conjuntos...................................... Complementación de conjuntos............................................. 44 45 45 45 46 46 1.11 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Leyes de las operaciones fundamentales Unión e Intersección Otras leyes........................................................................ 47 47 48
  • 8. 1.12 PREDICADOS...................................................................... Predicados de una variable................................................... Conjunto de verdad de un predicado....................................... Leyes de los conjuntos de verdad de predicados....................... Valor de verdad de proposiciones con cuantificadores............... 1.12.1 Leyes de los Cuantificadores........................................ 53 53 54 55 56 57 1.13 PARES ORDENADOS Y PRODUCTO CARTESIANO............ Par Ordenado....................................................................... Producto Cartesiano.............................................................. Plano Cartesiano................................................................... Cardinalidad del producto cartesiano....................................... Propiedades del producto cartesiano....................................... 58 59 59 59 60 61 1.14 RELACIONES....................................................................... Relación.............................................................................. Dominio de una Relación...................................................... Rango de una Relación......................................................... Representación sagital de una relación................................... 61 62 65 65 66 1.15 FUNCIONES....................................................................... Función........................................................................... Variable independiente....................................................... Variable dependiente......................................................... 1.15.1 Tipos de funciones................................................... Función Inyectiva...................................................... Función Sobreyectiva................................................. Función Biyectiva...................................................... Función Inversible..................................................... Función Inversa........................................................ Función Compuesta................................................... 67 68 68 68 70 70 71 72 72 73 73 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 79 CAPÍTULO 2 NÚMEROS REALES Introducción.......................................................................... 111 2.1 REPRESENTACIÓN DECIMAL................................................. 113 Representación decimal de números racionales................... 114 Representación decimal de números irracionales................. 115
  • 9. 2.2 OPERACIONES BINARIAS.................................................... 117 Operación binaria............................................................... 117 2.2.1 Propiedades de las operaciones binarias ....................... 117 2.3 OPERACIONES ENTRE NÚMEROS REALES............................ 119 Adición............................................................................ 120 Multiplicación.................................................................... 120 2.4 RELACIÓN DE ORDEN............................................................ 2.4.1 Relación de orden de números enteros.......................... Orden en ................................................................ 2.4.2 Relación de orden de números reales............................ Tricotomía de los Números Reales................................ 121 121 121 122 122 2.5 CONCEPTOS ASOCIADOS AL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS............................................................................. Divisores y Múltiplos de un número entero............................. Número Primo.................................................................... Número Compuesto............................................................ Teorema fundamental de la Aritmética.................................. Máximo Común Divisor........................................................ Mínimo Común Múltiplo....................................................... Números Pares e Impares................................................... 123 123 124 124 125 125 126 127 2.6 EXPRESIONES ALGEBRAICAS............................................... Expresión algebraica........................................................... 2.6.1 Propiedades de las fracciones....................................... 2.6.2 Propiedades de los exponentes.................................... 2.6.3 Productos notables..................................................... 2.6.4 Factorización............................................................. 2.6.5 Racionalización.......................................................... 129 129 130 133 137 139 144 2.7 VALOR ABSOLUTO................................................................ Tipos de intervalo.............................................................. Intervalo cerrado............................................................... Intervalo abierto................................................................ Intervalo semiabierto/semicerrado....................................... Intervalo con extremos infinitos.......................................... Valor absoluto.................................................................... Propiedades del valor absoluto............................................ 146 147 147 147 147 147 148 149
  • 10. 2.8 ECUACIONES........................................................................ Identidad........................................................................ Ecuación.......................................................................... Propiedades de las igualdades............................................. 2.8.1 Ecuaciones lineales.................................................... 2.8.2 Ecuaciones cuadráticas.............................................. Fórmula general................................................................. Suma Algebraica de las Raíces de la Ecuación Cuadrática. Producto Algebraico de las Raíces de la Ecuación Cuadrática. 2.8.3 Ecuaciones con valor absoluto..................................... 2.8.4 Ecuaciones con radicales............................................ 2.8.5 Planteo de ecuaciones............................................... 154 154 155 155 156 159 161 166 166 167 168 170 2.9 INECUACIONES.................................................................... Desigualdad..................................................................... Inecuación..................................................................... 2.9.1 Inecuaciones lineales................................................. 2.9.2 Inecuaciones cuadráticas............................................ Propiedades de las desigualdades................................. 2.9.3 Inecuaciones con valor absoluto.................................. 2.9.4 Planteo de inecuaciones.............................................. 178 178 178 179 181 182 183 187 2.10 INDUCCIÓN MATEMÁTICA.................................................. 2.10.1 Axiomas de Peano.................................................... 2.10.2 Teorema de inducción............................................... Teorema de Inducción.............................................. 190 190 191 191 2.11 TÉCNICAS DE CONTEO........................................................ Factorial............................................................................ Combinatoria..................................................................... Propiedades de las Combinatorias........................................ 2.11.1 Principio de la suma................................................ 2.11.2 Principio de la multiplicación..................................... 2.11.3 Permutaciones y combinaciones................................ Permutaciones........................................................ Combinaciones........................................................ 196 196 197 198 199 200 202 203 204 2.12 TEOREMA DEL BINOMIO..................................................... 206 Teorema del Binomio........................................................ 207 2.13 SUCESIONES..................................................................... Sucesión......................................................................... Progresiones Aritméticas..................................................... Progresiones Geométricas................................................... 210 211 212 218 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 225
  • 11. CAPÍTULO 3 FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Introducción......................................................................... 251 3.1 FUNCIONES DE VARIABLE REAL............................................ Función de una variable real............................................... Dominio de una función de variable real.............................. Rango de una función de variable real................................. 251 252 253 254 3.2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES............................. 256 Gráfica de una función de variable real................................... 257 Criterio de la recta vertical.................................................... 257 3.3 TIPOS DE FUNCIONES ........................................................... 3.3.1 Funciones Inyectivas.................................................. Función Inyectiva....................................................... Criterio de la recta horizontal...................................... 3.3.2 Funciones Sobreyectivas............................................ Función Sobreyectiva................................................. 3.3.3 Funciones Crecientes................................................. Función Creciente...................................................... Función Estrictamente Creciente.................................. 3.3.4 Funciones Decrecientes.............................................. Función Decreciente................................................... Función Estrictamente Decreciente.............................. Función Monótona.............................................................. 3.3.5 Funciones Pares o Impares.......................................... Función Par............................................................... Función Impar........................................................... 3.3.6 Funciones Periódicas.................................................. Función Periódica....................................................... 3.3.7 Funciones Acotadas................................................... Función Acotada........................................................ 259 260 260 260 261 261 261 262 263 264 264 265 266 266 266 267 267 267 269 269 3.4 ASÍNTOTAS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL............................................................................... 271 Asíntota Horizontal............................................................ 272 Asíntota Vertical................................................................ 272 3.5 FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS............................... 273 Aplicaciones de funciones definidas por tramos..................... 275 3.6 TÉCNICAS DE GRAFICACIÓN DE FUNCIONES..................... Desplazamientos............................................................... Reflexiones...................................................................... Compresiones o alargamientos............................................ Valores absolutos.............................................................. 275 276 278 280 282
  • 12. 3.7 FUNCIONES LINEALES....................................................... Funciones Lineales............................................................. Rango de una Función Lineal............................................... Aplicación de funciones lineales........................................... 284 285 286 287 3.8 FUNCIONES CUADRÁTICAS................................................ Funciones Cuadráticas........................................................ 3.8.1 Forma canónica de la función cuadrática....................... 3.8.2 Rango de la función cuadrática................................... 3.8.3 Forma Factorizada de la Función Cuadrática.................. 3.8.4 Gráfica de la Función Cuadrática.................................. Aplicación de funciones cuadráticas..................................... 289 289 290 290 291 292 295 3.9 OPERACIONES CON FUNCIONES DE VARIABLE REAL............. Operaciones con Funciones................................................ Propiedades de las operaciones sobre los tipos de funciones....... Composición de Funciones de Variable Real........................... 296 296 297 302 3.10 FUNCIONES ESPECIALES.................................................... Función Valor Absoluto....................................................... Función Signo................................................................... Función Escalón................................................................ Función Máximo Entero o Entero Mayor................................ 304 305 305 306 306 3.11 FUNCIÓN INVERSA DE UNA FUNCIÓN BIYECTIVA................ 311 Función Biyectiva............................................................... 312 3.12 FUNCIONES POLINOMIALES.............................................. Función Polinomial............................................................ 3.12.1 Gráficas de Funciones Polinomiales............................ Función Potencia........................................................... Cero de Multiplicidad m................................................. Teorema del Valor intermedio.......................................... 3.12.2 Operaciones con funciones polinomiales..................... Función racional............................................................ División Sintética.......................................................... Teorema del residuo...................................................... Teorema del factor........................................................ Forma anidada de una función polinomial....................... 3.12.3 Raíces de una ecuación polinómica............................ Teorema del número de ceros........................................ Regla de los signos de Descartes.................................... Teorema de los ceros racionales..................................... 314 315 315 315 317 319 320 322 322 324 326 327 328 328 328 329
  • 13. 3.13 FUNCIONES EXPONENCIALES.............................................. Función Exponencial........................................................... 3.13.1 Función Exponencial Natural...................................... Aplicación de la función exponencial............................ 332 333 338 340 3.14 FUNCIONES LOGARÍTMICAS............................................... Función Logarítmica........................................................... 3.14.1 Función Logaritmo Natural........................................ 3.14.2 Función Logaritmo Común........................................ 3.14.3 Propiedades de los logaritmos.................................. 3.14.4 Ecuaciones e inecuaciones exponenciales................... 3.14.5 Ecuaciones e inecuaciones logarítmicas...................... 342 343 347 347 352 354 359 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 367 CAPÍTULO 4 TRIGONOMETRÍA Introducción.............................................................................. 397 4.1 ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS..................................................... Semirrecta....................................................................... Ángulo............................................................................. 4.1.1 Unidades angulares.................................................... Ubicación de los ángulos respecto a su medida............. 4.1.2 Clases de ángulos........................................................ Coterminales....................................................... Consecutivos............................................................. Adyacentes............................................................... Complementarios....................................................... Suplementarios......................................................... Opuestos por el vértice................................................ 4.1.3 Relación entre grados sexagesimales y radianes.............. 398 398 398 400 401 402 402 402 402 403 403 403 403 4.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES..................... 406 Funciones trigonométricas................................................... 407 Valores de las funciones trigonométricas de ángulos notables........ 411 4.3 GRÁFICAS Función Función Función Función Función Función DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS...................... Seno.................................................................... Coseno................................................................. Tangente.............................................................. Cotangente........................................................... Secante................................................................ Cosecante............................................................. 412 413 414 422 423 429 429 4.4 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS........................... 430 Función seno inverso........................................................... 430 Función coseno inverso........................................................ 431
  • 14. tangente inversa.................................................... cotangente inversa................................................. secante inversa...................................................... cosecante inversa.................................................. 431 431 432 432 4.5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS....................................... Identidades Cocientes........................................................ Identidades Recíprocas....................................................... Identidades Pitagóricas....................................................... Identidades Pares o Impares............................................... Identidades de suma y diferencia de medidas de ángulos...... Identidades de ángulo doble................................................ Identidades de ángulo mitad............................................... Identidades de suma a producto........................................... Identidades de producto a suma.......................................... 436 436 436 437 437 440 446 447 451 452 Función Función Función Función 4.6 ECUACIONES E INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS............... 455 Ecuaciones trigonométricas................................................. 456 Inecuaciones trigonométricas.............................................. 463 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 467 CAPÍTULO 5 MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES. Introducción....................................................................... 475 5.1 MATRICES.......................................................................... Matriz ............................................................................... Igualdad entre matrices...................................................... 5.1.1 Clases de matrices...................................................... Matriz fila.................................................................. Matriz columna.......................................................... Matriz rectangular...................................................... Matriz cuadrada......................................................... Matriz triangular superior............................................ Matriz triangular inferior.............................................. Matriz nula................................................................ Matriz diagonal.......................................................... Matriz escalar............................................................. Matriz identidad......................................................... 5.1.2 Operaciones con matrices............................................. Suma entre matrices................................................... Propiedades........................................................... Multiplicación de una matriz por un escalar..................... Propiedades........................................................... Multiplicación entre matrices....................................... Propiedades........................................................... Transposición de una matriz......................................... Matriz simétrica......................................................... 476 476 478 478 478 478 479 479 479 480 480 480 480 480 481 481 481 482 483 485 486 488 488
  • 15. Matriz antisimétrica.................................................... Propiedades de la transposición de matrices............. Inversa de una matriz................................................. Propiedades de la inversa de una matriz.................... 488 489 491 492 5.2 DETERMINANTES.................................................................. Teorema 5.1...................................................................... Teorema 5.2...................................................................... Propiedades de los determinantes...................................... 495 496 496 499 5.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.................................... Sistemas de ecuaciones lineales........................................... Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales......... Representación de un sistema de ecuaciones lineales en forma de matriz aumentada................................................................... S. E. L. homogéneos............................................................ Solución de un S. E. L..