Control en-el-espacio-de-estado ejercidos en tiempo discreto
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Ejercicios de control en tiempo discreto, Circuitos RC y aplicaciones de controladores, estimadores, aplicaciones a la Robótica

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Control en-el-espacio-de-estado ejercidos en tiempo discreto Control en-el-espacio-de-estado ejercidos en tiempo discreto Document Transcript

  • I I l Sergio Domínguez Pascual Campoy José María Sebastián � Agustín Jiménez . OtlQ:O " / / CEA com� español de auméllca f ,
  • Control en el espacio de estado
  • CONSULTORES EDITORIALES Catedrático de Ingemería de SIstemas y AutomátIca Prof Dr PEDRO ALBERTOS PÉREZ UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA Catedrático de Ingemería de SIstemas y AutomátIca Prof Dr lAVIER ARACIL SANTONlA UNIVERSIDAD DE SEVILLA CatedrátIco de Ingemería de SIstemas y AutomátIca Prof Dr SEBASTIÁN DORMIDO BENCOMO UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
  • Control en el espacio de estado Segunda edición Sergio Domínguez Pascual Campoy José María Sebastián Agustín Jiménez Departamento de Automática, Ingeniería Electrónica e Informática Industrial Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid , PEARSON Prentice Hall Madrid e México e Santa Fe de Bogotá e Buenos Aires e Caracas e Lima e Montevideo San Juan e San José e Santiago e Sao Paulo e White Plains
  • datos de catalogación bibliográfica CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO 2006 Domínguez, S.; Campoy, P.; Sebastián, J.M.; Jiménez, A. 10: 84-8322-297-3 13: 978-84-8322-297-3 Pearson Educación S.A., Madrid, ISBN ISBN 170 240 mm. Materia: Ingenieria de Control Automático, x 681.5 440 Queda prohibida, salvo excepción prevista en la Ley, cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública y transformación de esta obra sin contar con autorización los titulares de propiedad intelectual. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (arts. 270 y sgts. Código Penal). Formato: Páginas: © 2006 por PEARSON EDUCACIÓN S.A.. Ribera del Loira, 28 28042 Madrid DERECHOS RE SERVADOS ISBN 10: 84-8322-297-3 CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO ISBN 13: 978-84-8322-297-3 Domínguez, S.; Campoy, P.; Sebastián, J.M.; Jiménez, A. Deposito Legal: M-24794-2006 PRENTICE HALL es un sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACIÓN S A Equipo editorial Editor: Miguel Martín-Romo Técnico editorial: MaÍta Caicoya Equipo de producción: Director: 'José A. Ciares Técnico: María Alvear Diseño de cubierta: Equipo de diseño de Pearson Educación S.A. Impreso por: Rigorma Grafic S.L. IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN Este libro ha sido impreso con papel y tintas ecológicos
  • ín dice gen era l XI Indice de figuras XIII Presentación XV Prefacio Prólogo 1 Prólogo a la 1. 2a XVII XXI edición Sistemas continuos Modelo de estado 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 3 1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Concepto de estado . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Propiedades de las variables de estado Ecuaciones del modelo de estado . . . 1.3.1. Sistemas dinámicos lineales . . 1.3.2. Sistemas dinámicos invariantes Transformaciones lineales . . . . . . . Representación gráfica de sistemas lineales . Función de transferencia modelo de estado . Métodos de obtención del modelo de estado . 1.7.1. Variables de estado como magnitudes físicas . 1.7.2. Variables de estado como salida de los integradores . 1.7.3. Variables de estado de fase 1.7.4. Variables de Jordan . . 1.7.5. Estructuras compuestas Ejemplos adicionales Ejercicios resueltos . . . . . . . y v 3 4 7 9 12 13 14 15 17 19 20 22 27 28 30 33 45
  • ÍNDICE GENERAL VI 2. 3. 4. 1.10. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución de la ecuación de estado de sistemas lineales 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Solución de la ecuación homogénea. Matriz de transición . 2.2.1. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Casos particulares de la matriz de transición 2.3. Propiedades de la matriz de transición 2.4. Solución de la ecuación completa . . 2.5. Cálculo de la matriz de transición . . 2.5.1. Método de Cayley-Hamilton . 2.5.2. Método de Jordan . . . . . . 2.5.3. Mediante la transformada inversa de Laplace 2.6. Ejemplos adicionales 2.7. Ejercicios resueltos Controlabilidad 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. Introducción . . . . . . . . . . . . . . Definiciones . . . . . . . . . . . . . . Controlabilidad en sistemas lineales . 3.3.1. Cálculo de la entrada en sistemas lineales Controlabilidad en sistemas lineales invariantes . 3.4.1. Invarianza de la controlabilidad ante cambio de base /:" Interpretación geométrica de la controlabilidad . Subespacio controlable . . . . . . . . . 3.6.1. Base del subespacio controlable 3.6.2. Estados alcanzables . . . . . . 3.7. Separación del subsistema controlable 3.8. Controlabilidad de la salida 3.9. Ejemplos adicionales 3.10. Ejercicios resueltos . 3.11. Ejercicios propuestos Observabilidad 4.1. Introducción . 4.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . 4.3. Observabilidad en sistemas lineales 4.3.1. Planteamiento . . . . . . . 4.3.2. Teorema . . . . . . . . . . 4.3.3. Determinación del estado inicial en sistemas observables 4.3.4. Estados no-observables . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Sistemas lineales invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Invarianza de la observabilidad ante cambio de base . 63 61 63 64 64 65 68 70 72 72 75 78 79 89 109 109 112 113 116 122 125 125 128 130 130 131 134 137 152 171 175 175 177 177 177 178 181 183 185 187
  • ÍNDICE GENERAL 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 5. 6. /::,. VII Interpretación geométrica de la observabilidad Subespacio no-observable . . . . . . . . . 4.6.1. Base del sub espacio no-observable . . . . Separación del subsistema no-observable . . . . . Separación de los subsistemas controlable observable 4.8.1. Cálculo de la matriz de cambio de base . . . . /::,. Reducción del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1. Valores singulares de Hankel realizaciones equilibradas . 4.9.2. Transformación a la realización internamente equilibrada 4.9.3. Reducción del modelo 4.10. Ejemplos adicionales 4.11. Ejercicios resueltos . . . . . . y y Control por realimentación del estado 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . 5.2. Realimentación del estado . . . . . . . 5.3. Control de sistemas monovariables . . 5.3.1. Diseño del bucle de realimentación 5.3.2. Obtención de la matriz de transformación a variables de fase 5.3.3. El problema de la ganancia . . 5.3.4. Diseño de servosistemas . . . . . . 5.4. /::,. Control de sistemas multivariables . . . 5.4.1. Diseño del bucle de realimentación 5.4.2. Obtención de la matriz de transformación a variables de fase 5.5. Ejemplos adicionales 5.6. Ejercicios resueltos . 5.7. Ejercicios propuestos Observadores del estado 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Definición de observadores . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Comportamiento del conjunto sistema-observador . 6.3.1. Sin realimentación del estado . . . . . . . . 6.3.2. Con realimentación del estado . . . . . . . . 6.4. Cálculo del observador en sistemas monovariables . 6.4.1. Cálculo de la matriz de transformación . . . 6.5. /::,. Cálculo del observador en sistemas multivariables 6.5.1. Cálculo de la matriz de transformación . 6.6. Observadores de orden reducido . 6.7. Ejemplos adicionales 6.8. Ejercicios resueltos . 6.9. Ejercicios propuestos 188 189 190 191 194 197 198 199 201 204 209 214 231 231 233 234 234 238 239 243 249 249 253 255 274 284 287 287 288 291 291 293 295 299 300 305 308 312 325 338
  • JI ÍNDICE GENERAL VIII 7. 8. 9. 343 341 Sistemas discretos Modelo Discreto de Estado 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definición de estado para sistemas discretos Sistemas dinámicos discretos . . . . . . . . Obtención de modelos discretos de estado . 7.4.1. Modelo de estado en variables de fase 7.4.2. Modelo de estado en variables de Jordan . 7.4.3. Transformaciones lineales . . . . . . . . . 7.5. Obtención de la representación externa a partir del estado 7.6. Sistemas muestreados . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1. Sistema discreto invariante equivalente . 7.6.2. Sistemas variantes . . . . . . . . 7.6.3. Sistemas híbridos . . . . . . . . . 7.6.4. Sistemas híbridos realimentados . 7.7. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . Solución de la ecuación discreta de estado 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución de la ecuación homogénea. Matriz de transición . Propiedades de la matriz de transición Cálculo de la matriz de transición . . . . . . . . . . . . 8.4.1. Método iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2. Método de la matriz fundamental de soluciones 8.4.3. Método de diagonalización de Jordan 8.4.4. Método de Cayley-Hamilton . . 8.4.5. Método de la matriz resolvente 8.5. Solución de la ecuación completa 8.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . Control discreto por realimentación del estado 9.1. Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Controlabilidad en sistemas discretos lineales . . . . . . . 9.3. Controlabilidad en sistemas discretos lineales invariantes . 9.4. Controlabilidad de la salida . . . . . . . . . 9.5. Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Observabilidad en sistemas discretos lineales . . . . . . . 9.7. Observabilidad en sistemas discretos lineales invariantes 9.8. Controlabilidad y observabilidad en sistemas muestreados 9.9. Control de sistemas discretos por realimentación del estado 9.10. Sistemas muestreados de control 9.11. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 344 344 346 347 348 350 351 352 352 354 355 356 357 365 365 365 366 367 367 368 370 370 372 374 375 379 379 380 382 384 385 386 388 390 392 393 397
  • ÍNDICE GENERAL III IX Apéndices A. Valores y vectores propios A.l. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Diagonalización de una matriz en cajas de Jordan A.3. Cálculo del vector propio asociado a un valor propio . Indice de materias Bibliografia 405 403 410 405 406 407 413
  • ín dice de figu ras 1.1. Evolución temporal de las variables de estado . . . . . . . 1.2. Trayectoria del vector de estado en el espacio de estado. ... 1.3. Transitividad de estado . . . . 1.4. Bloque integrador. . . . . . . . 1.5. Multiplicación por una matriz. 1.6. Bloque sumador . . . . . . . . . 1.7. Representación gráfica del modelo de estado. 1.8. Representación gráfica vectorial del modelo de estado. 1.9. Sistemas en serie . . . . . . . . . . . . . 1.10. Sistemas en paralelo . . . . . . . . . . . 1.11. Realimentación constante de la salida. 1.12. Realimentación del estado . . 3.1. Sistema no controlable. 3.2. Puntos alcanzables desde (0,0 ) . 3.3. Transición del estado entre dos puntos, de forma directa (línea continua) y con un punto de paso intermedio (línea discontinua). . . . . . . 3.4. Superposición de la evolución libre con el subespacio controlable. 3.5. Representación gráfica del subsistema controlable. 4.1. Concepto de observabilidad. . . . . . . . . . . . . . 4.2. Sistema lineal con el conjunto de entradas de test . 4.3. Separación de la parte no-observable. . . . . . . . . 4.4. Separación simultánea de los subsistemas controlable y observable. 4.5. Separación detallada de los subsistemas controlable y observable. 5.1. Sistema con realimentación de estado. . . . . . . . 5.2. Transformación de la matriz de realimentación K. 5.3. Adición del parámetro Kü. . . . . . . . . . 5.4. Realimentación en sistema de tipo uno. . 5.5. Control proporcional del sistema anterior. XI 8 8 9 15 16 16 17 18 31 31 32 33 110 110 118 131 133 175 188 193 196 197 233 240 241 244 245
  • ÍNDICE DE FIGURAS XII 5.6. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. Conversión a sistema de tipo uno . . Concepto de observador. . . . . . . Sistema con observador realimentación. Esquema del sistema con observador. . . . Sistema con observador realimentación del estado. Esquema des sistema con observador en la forma canónica observable. Sistema con observador matriz de transformación. . . . . . . . . . . Esquema des sistema con observador realimentación en espacio de estado transformado. . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema con observador de orden reducido. . Sistema continuo multivariable . . . . . . . . Sistema discreto equivalente. . . . . . . . . Sistema con parte discreta parte continua. . Sistema híbrido realimentado. Sistema muestreado . . . . . . Sistema discreto con realimentación del estado. Sistema muestreado con realimentación del estado. Sistema muestreado con tiempo de cálculo nulo. . . Sistema muestreado con tiempo de cálculo no nulo. Sistema con retardo no múltiplo entero del tiempo de muestreo . . y y y y y 246 287 288 292 293 297 300 301 310 352 353 355 357 390 392 393 394 395 396
  • Presen ta ción En apenas cincuenta años el Control Automático ha irrumpido como una disciplina pujante y de gran interés no sólo científico y tecnológico, sino también económico. Los sistemas de control automático, que tienen sus orígenes en la más remota antigüedad, han sustentado sus raíces en las matemáticas aplicadas y se están convirtiendo, de manera cada vez más creciente, en componentes esenciales y críticos de cualquier sistema dinámi­ co. El Control Automático es una de las pocas disciplinas que trasciende las fronteras de los campos tradicionales de la ingeniería (mecánica, eléctrica, química, nuclear, etc.). El Comité Español de Automática de IFAC (CEA-IFAC), es una asociación sin ánimo de lucro que tiene como objetivo básico servir de foro y ofrecer un marco para el desarrollo en nuestro país de la Automática. Es, asimismo, el miembro nacional de la Federación Internacional de Control Automático (IFAC) y canaliza las relaciones internacionales de nuestros técnicos y científicos con esta prestigiosa asociación. Esta asociación está abierta a todas aquellas personas e instituciones interesadas en los temas teóricos y prácticos propios de la automatización, el control de procesos y todas las nuevas tecnologías que permiten la realización de los modernos sistemas de control automático. Los fines del CEA-IFAC son, entre otros: promover el estudio, aplicación y mejora de las técnicas de la Automática; promover la colaboración entre socios, entidades, universidades y empresas, y aso­ ciaciones internacionales, en el área de la Automática: organizar y desarrollar cursos, conferencias, congresos, comisiones de trabajo y de elaboración de normas; editar y divulgar publicaciones, informes, normas y monografías en el campo de la Automática. De acuerdo con estos objetivos y en colaboración con el Grupo Pearson se ha iniciado una nueva serie de monografías sobre «Control Automático e Informática Industrial» cuya finalidad es doble: de una parte servir como textos de referencia para nuestros estudiantes, y, de otra, tratar de llenar un hueco, que creemos que existe, con una colección de libros • • • • XIII
  • y y en español dedicados también al profesional que trabaja en esta temática que necesita de un reciclaje de conceptos, técnicas procedimientos que demandasn las cada vez más exigentes especificaciones de la automatización de procesos. La colección de libros «Control Automático e Informática Industrial» se plantea, pues, como un vehículo de comunicación de doble sentido entre la comunidad académica el mundo industrial que está trabajando en el área del Control Automático. Esta colección de libros se ha estructurado en tres direcciones que tratan de abor­ dar los diferentes aspectos que configuran, en un sentido amplio, la automatización de procesos. Estas tres series son: Fundamentos Instrumentación Robótica Este primer libro con el que se inicia la colección pertenece a la serie de ÍlFunda­ mentosz trata sobre «Control en el Espacio de Estado». Está escrito por un grupo de profesores, con una amplia experiencia docente, de la Escuela Superior de Ingenieros Industriales de la Universidad Politécnica de Madrid. En los meses sucesivos irán apare­ ciendo nuevos títulos que tratarán de ir perfilando el alcance el sentido de esta colección, que inicia su andadura con el mejor de los deseos de ser útil al lector interesado por este apasionante mundo del Control Automático. Madrid, octubre de 2001 y • y • • y y Consultores editoriales Profesores Pedro Albertos Javier Aracil Sebastián Dormido XIV
  • Prefa cio A finales del siglo XIX H. Poincaré, con su trabajo pionero sobre los Nuevos Métodos de la Mecánica Celeste, intuyó la significación profunda de formular una teoría general de los sistemas dinámicos en función de conjuntos de ecuaciones diferenciales de primer orden, e introdujo la ahora familiar idea de considerar el conjunto relevante de variables del sistema como la trayectoria de un punto en un espacio n-dimensional. El enfoque de Poincaré al estudio de problemas dinámicos rápidamente se popularizó y se vino a conocer como método del espacio de estado. Así, el concepto de estado se hace dominante en el estudio de los sistemas dinámicos. Lo que es fundamental es que su conducta actual está influenciada por su historia previa y que su comportamiento no puede por lo tanto especificarse simplemente como una relación ñinstantáneaZ entre conjuntos de variables de entrada y salida. Se necesita un conjunto extra de variables cuyo objetivo es tomar en cuenta la historia pasada del sistema; estas variables son las variables de estado. Las variables de estado representan pues la mínima cantidad de infor­ mación que nos resume todo el pasado dinámico del sistema y es todo lo que necesitamos conocer para poder predecir su evolución futura frente a cualquier señal de entrada que le apliquemos. La utilización del tratamiento del espacio de estados condujo rápidamente a una compensación más profunda de los problemas científicos y matemáticos del Control Automático y se puede considerar que su introducción marca la emergencia de éste como una disciplina científicamente madura. Hacia mediados de los años 50 los trabajos de Pontryagin y Bellman, entre otros, dejaron claro la gran utilidad del concepto de estado en la formulación y solución de muchos problemas de decisión y control. La importancia creciente de los métodos del espacio de estados lleva a R.E. Kalman a investigar la relación entre las representaciones en el espacio de estado (representación interna) y la función de transferencia (representación externa) lo que motivó la introduc­ ción de dos conceptos estructurales fundamentales para la compensación de los sistemas dinámicos: controlabilidad y observabilidad. La incorporación de todos estos métodos del dominio temporal tuvo un efecto profundo sobre el problema del control y dio lugar a contribuciones importantes para resolver los problemas de guiado del programa espacial que se había iniciado a comienzo de los años 60. xv
  • A partir de estas consideraciones el estudio de los sistemas lineales invariantes en el tiempo, tanto continuos como discretos, es sin lugar a dudas uno de los recursos que cualquier especialista en Control Automático debe estudiar y por supuesto conocer. Este libro con el que se inicia la serie «Fundamentos» de la colección «Control Automático e Informática Industrial» tendrá, estamos seguros, una muy buena acogida entre la amplia comunidad de personas que se dedica de una u otra forma a trabajar en este apasionante campo del Control Automático. El texto está escrito en un estilo muy directo cuya lectura resultará de indudable valor de una parte a nuestros estudiantes y de otra al profesional que se dedica al ejercicio práctico de la Automática para reforzar y mejorar su formación en toda esta temática. La significación real de la introducción de los métodos del espacio de estado supone el comienzo de un nuevo, más general, más riguroso y profundo enfoque de nuestro campo. Ahora estamos empezando a ver que el Control Automático es una disciplina muy vasta y que se requieren esfuerzos redoblados para ir enmarcando sus fundamentos técnicos. Madrid, octubre de 2001 Consultores editoriales Profesores Pedro Albertos Javier Aracil Sebastián Dormido XVI
  • Prólogo Si «la información es poder» y nuestro objetivo es poder controlar el comportamiento de un sistema, ¿qué mejor que tener la máxima información posible sobre dicho sistema, para ser utilizada en su control? Esta es la idea básica del Control en el Espacio de Estado. Es decir, contar con la máxima información posible del sistema con objeto de utilizarla para controlarlo mejor. Con esta idea básica como objetivo principal, el libro se halla dividido en distintos capítulos que abordan las diferentes fases hasta la consecución del control de un sistema partiendo de la máxima información posible de éste, información que viene representada por el denominado "estado del sistema". Así cada capítulo aborda y resuelve cada una de las importantes cuestiones planteadas, que son: 1. ¿Cuál es la máxima información que determina e l comportamiento de un sistema? En el Capítulo 1 se explicita que dicha información esta formada por un conjunto mínimo de variables que constituyen el denominado estado del sistema que, junto con la evolución de las entradas al mismo, determinan el comportamiento de cualquiera de sus variables. La evolución temporal del estado obedece a unas ecuaciones que, junto con la relación entre sus variables y el resto del sistema, forman el denominado modelo de estado del sistema. 2. ¿Cuál es la evolución temporal del sistema si conocemos las leyes de variación de las entradas y la información de su estado en el instante inicial? La resolución de esta pregunta, abordada en el Capítulo 2, es crucial para relacionar las entradas con la evolución del sistema y ésta con sus salidas medibles. Estos resultados son explotados en los dos capítulos posteriores para contestar a las preguntas fundamentales que a continuación se enumeran. 3. ¿Qué parte del sistema puede controlarse con las entradas disponibles? Esta pregunta se resuelve en el Capítulo 3, en el que se separan claramente las variables que pueden controlarse con las entradas del sistema, que constituyen el denominado subsistema controlable, de aquellas variables cuya evolución tempo­ ral es independiente de las entradas y está solamente relacionada con sus valores iniciales y la propia dinámica interna del sistema. XVII
  • 4. Si las variables que constituyen el estado del sistema tienen toda la información necesaria de esté en un instante dado ¿cómo se puede conocer su valor? O dicho de forma más precisa, ¿cuáles son las variables que forman parte del estado del sistema, cuyo valor puede obtenerse a partir de las manifestaciones exteriores del comportamiento de éste (es decir, sus salidas y entradas)? Esta cuestión se resuelve en el Capítulo 4, en el que se especifica que dicho conjunto de variables de estado constituye el denominado subsistema observable, puesto que su valor puede calcularse a partir de las salidas y las entradas del sistema, si se lo separa del resto de las variables de estado, cuya evolución temporal no tiene ninguna repercusión sobre el comportamiento de las salidas del sistema. Llegado a este punto y al final de este capítulo, se obtiene un subsistema deno­ minado controlable y observable, constituido por un subconjunto de variables formadas por combinación lineal de las variables de estado del sistema original, tal que la información de su estado puede conocerse con mediciones externas de sus salidas y entradas y cuya evolución temporal puede controlarse con el conjunto de entradas disponibles. Éste es, por tanto, el subsistema que puede y va a ser utilizado en los capítulos subsiguientes para efectuar el denominado Control en el Espacio de Estado o control por realimentación del estado del sistema. 5. Si un sistema, o subsistema, puede ser controlado con sus entradas: ¿cómo deben calcularse estas entradas en función del estado del sistema, para modi­ ficar su dinámica? Esta cuestión es abordada y resuelta en el Capítulo 5, en el que se ve que en los sistemas controlables, no sólo puede fijarse su evolución temporal con una entrada adecuada, sino que su dinámica puede modificarse de forma sustancial (fijación de sus polos) mediante una realimentación del esta­ do del sistema. En este capítulo se aborda y resuelve igualmente el problema del servoposicionador, en el que se consigue controlar el valor en régimen permanente de la salida de un sistema, modificando adicionalmente su dinámica mediante la realimentación de sus estados. 6. Si el capítulo anterior resuelve la modificación potestativa de la dinámica del sis­ tema a partir del conocimiento de su estado, surge de forma inmediata la importante cuestión: ¿cómo es posible conocer el estado del sistema a partir de sus manifestaciones exteriores (es decir, sus entradas y salidas) para que pueda ser utilizado en la modificación de la dinámica del sistema? Esta cuestión es resuelta en el Capítulo 6 para el subsistema observable, mediante el diseño de los sistemas denominados observadores del estado del sistema. La reali­ zación práctica de estos sistemas observadores impide que sus cálculos se efectúen mediante operaciones matemáticas derivativas, difícilmente realizables en la prác­ tica, obligando por tanto a que estos observadores constituyan un sistema con su propia dinámica intrínseca en el cálculo de su salida (es decir, variables de estado estimadas del sistema original) y en función de sus entradas (es decir, entradas y salidas del sistema original). En este capítulo se resuelve el diseño de estos sistemas XVIII
  • observadores del estado, imponiéndoles consecuentemente una dinámica mucho más rápida que la de la evolución de las propias variables de estado que se estiman. Este capítulo supone la culminación de la estructura completa de Control por Reali­ mentación del Estado en sistemas continuos y como tal es abordada en los apartados correspondientes de dicho capítulo. 7. Si el control del sistema se efectúa mediante un dispositivo digital, en el que la in­ teracción entre ambos se realiza en instantes de tiempo determinados y periódicos: ¿cuál es el estado considerado éste desde el punto de vista del sistema digital de control? ¿Y cuál es el modelo que determina el comportamien­ to del sistema en los instantes de tiempo de interacción con él? Estas cuestiones son resueltas en el Capítulo 7 mediante la obtención de un modelo dis­ creto de comportamiento de los sistemas, tanto en el caso en el que vienen descritos por ecuaciones en diferencias, como en el caso de los sistemas muestreados, en los que se dispone inicialmente de unas ecuaciones diferenciales de su comportamiento, pero sobre los que se interacciona desde fuera sólo en instantes concretos de tiempo y de forma periódica. 8. Una vez obtenido el modelo del comportamiento dinámico de los sistemas discretos ( al menos desde el punto de vista del sistema de control ) ¿cuál es la evolución temporal del sistema a partir del instante en el que se conoce su estado y conocida la ley de variación de las entradas? Esta cuestión es resuelta en el Capítulo 8, obteniéndose unas ecuaciones de evolución del sistema completamente análogas a las obtenidas en el Capítulo 2 para modelos continuos, pero con un cálculo más sencillo a partir del modelo discreto, debido a la simplificación que introduce en su resolución la importante limitación temporal de interacción sobre el sistema. 9. Una vez vista la analogía entre las ecuaciones de los modelos discretos y continuos, surgen las mismas preguntas que las abordadas anteriormente para éstos últimos: ¿es posible controlar el estado de un sistema?, ¿es posible calcular su estado a partir de la información de las entradas suministradas y de las salidas medidas? La respuesta a ambas preguntas lleva a los mismos conceptos de controlabilidad y observabilidad de sistemas continuos, pero con la característica diferenciadora de que en los sistemas discretos es importante determinar el número de valores de entrada o de salida que son necesarios tanto para controlar el sis­ tema como para observarlo, hecho diferenciador debido claramente a la importante limitación temporal de interacción con ellos. La determinación de la controlabilidad y observabilidad del sistema lleva a la obten­ ción del subsistema que es simultáneamente controlable y observable, y por tanto adecuado para efectuar su control por realimentación del estado. Este control se realiza mediante una estructura análoga a la vista en sistemas continuos, que in­ cluye un sistema observador del estado y una realimentación hacia la entrada del XIX
  • estado calculado por el observador. Todas las cuestiones anteriormente planteadas y su resolución son abordadas de for­ ma progresiva en los distintos capítulos de este libro. Para ello, en cada uno se avanza en la resolución teórica de las interrogantes planteadas, intercalando ejemplos que ilus­ tran su aplicación en casos prácticos y de forma progresiva hasta cubrir los objetivos inicialmente planteados. Al final de cada capítulo se recogen una serie de problemas resueltos, que ilustran la aplicación de los nuevos avances expuestos, entremezclados con conocimientos adquiridos en capítulos anteriores y aumentando en consecuencia la co­ herencia del conjunto. Por último el alumno dispone en cada capítulo de una serie de problemas planteados y no resueltos, que pueden ser utilizados para la autoevaluación de sus conocimientos y su aplicación a la resolución de problemas prácticos. Madrid, octubre de 2001 Los autores Profesores Sergio Domínguez Pascual Campoy José María Sebastián Agustín Jiménez xx
  • Prólogo a la 2a edición Han pasado cinco años desde la publicación de la primera edición de este libro, tiempo suficiente para que su utilización en clase haya puesto de manifiesto posibles vías para la actualización del texto. De entre todas ellas, finalmente se ha considerado atacar el problema de su mejora fundamentalmente a través de dos caminos: la revisión y la ampliación. El texto de la primera edición se ha revisado profundamente, dando lugar a la reorde­ nación de algunos conceptos para mejorar la claridad de la presentación y la comprensión global de la materia. A la vez, se han incluido también multitud de nuevos ejemplos cuya intención es ir más allá del uso de una determinada fórmula; en su mayoría, siguen una idea de profundización en los conceptos teóricos a través de su aplicación práctica. El resultado es una serie de casos en los que se hace uso extensivo de la teoría, revisando metódicamente sus posibilidades, peculiaridades y, sobre todo, los aspectos más rele­ vantes de su utilización en situaciones reales. Dada la considerable extensión de algunos de ellos, se ha considerado como mejor solución agruparlos en una sección aparte de cada capítulo, con la intención de mejorar la legibilidad de la parte teórica, evitando prolon­ gadas interrupciones. Así, bajo el nombre de Ejemplos adicionales, el lector encontrará estos casos de uso extendidos; a diferencia de los ejercicios, tanto resueltos como pro­ puestos, que se incluyen en cada capítulo y cuyo objetivo es facilitar la práctica de los conocimientos adquiridos, estos ejemplos se incorporan como una herramienta didáctica de apoyo a la explicación teórica mediante la aplicación y el análisis de los resultados obtenidos con las técnicas presentadas. El contenido del libro ha sido asimismo ampliado mediante la inclusión de nuevos conceptos teóricos; todos ellos se fundamentan en las técnicas presentes en la primera edición, pero representan una lectura avanzada. Estos nuevos contenidos atañen funda­ mentalmente a controlabilidad y observabilidad, profundizando en su estudio teórico y en los aspectos de su aplicación en la práctica, y llegando, como consecuencia, a plantear la reducción del modelo. En este sentido, el resultado de esta segunda edición es un texto que se puede entender como estructurado en dos niveles: uno básico y otro avanzado, como ya se ha dicho. El básico constituye el contenido apropiado para un curso de ini­ ciación a los conceptos y técnicas del control mediante variables de estado, mientras que el avanzado incluye los contenidos accesibles para lectores familiarizados con lo anterior. XXI
  • Como en el caso de los ejemplos extendidos, se ha intentado que la inclusión de estos nuevos contenidos no interfiera con la lectura por parte de quienes toman contacto con el control con variables de estado por primera vez, de forma que se ha optado por marcar estos conceptos avanzados con el signo 6, visible tanto en el cuerpo del texto como en el Índice general. De esta forma, al comenzar una sección cuya temática se considera fuera del temario básico, la presencia de este símbolo avisa al lector novel de que su contenido está orientado hacia personas con más experiencia. Los autores deseamos aprovechar la oportunidad que ahora se nos presenta para mostrar nuestro agradecimiento a todas las personas que han hecho posible la apari­ ción de esta segunda edición; comenzando por todos aquellos que con sus comentarios y aportaciones han permitido la mejora del texto, siguiendo por los Consultores Editoriales de la colección de "Automática y Robótica" y terminando, no por ello con menor efusión, por el Equipo Editorial de Prentice-Hall. Madrid, mayo de 2006 Los autores Profesores Sergio Domínguez Pascual Campoy José María Sebastián Agustín Jiménez XXII
  • Parte 1 Sistemas continuos 1
  • 1 1.1. Modelo de esta do Introducción La teoría moderna de control está basada en el conocimiento del comportamiento interno de los sistemas, reflejado en las variables que influyen en su dinámica. Estas variables constituyen el concepto de estado del sistema, que será definido en este primer capítulo, y establecen la piedra angular de dicha teoría. El conocimiento de la evolución de todas las variables que influyen en la dinámica del sistema permite efectuar un control más potente de ésta y abordar el control de sistemas más complejos. La teoría moderna de control se desarrolla para solventar algunos de los problemas en los que presenta fuertes limitaciones la denominada teoría clásica, basada en el mode­ lado de la relación entre una entrada y una salida de los sistemas dinámicos lineales de parámetros constantes. Las ventajas de la teoría moderna de control, en contraposición la teoría clásica, son fundamentalmente las siguientes: Es aplicable a sistemas multivariables en los que existe un elevado grado de interac­ ción entre las variables del sistema, no pudiendo establecerse bucles de control entre una salida y una entrada concreta que se puedan ajustar de forma independiente según se aborda en la teoría clásica. Es aplicable a sistemas con relaciones no-lineales entre las variables involucradas en su dinámica y cuyo comportamiento no puede ser aproximado por un modelo lineal, dentro del rango de valores que van a tomar sus variables. Es aplicable a sistemas cuyos parámetros varían en el tiempo a velocidades com­ parables con la evolución de sus variables, para los que no se puede obtener, en consecuencia, un modelo de parámetros constantes válido en el rango temporal necesario para efectuar el control. 3 a • • •
  • 4 CAPÍTULO 1. MODELO DE ESTADO • Es aplicable a sistemas complejos de control, con un gran número de variables internas que condicionan el comportamiento futuro de la salida. La utilización de la realimentación sólo de la salida, según el modelo clásico, empobrece la información disponible por el regulador para controlar la planta, lo que llega a impedir un control de la salida del sistema con mejores prestaciones. Es aplicable a la optimización del comportamiento de sistemas, entendida ésta como la minimización de una función objetivo que describe un índice de costo que a su vez refleja la calidad en la consecución de los objetivos de control. Las mencionadas ventajas diferenciadoras de la teoría son abordadas por distintas ramas del control, denominadas respectivamente: control multivariable, control no-lineal, control adaptativo, control por asignación de polos y control óptimo. Aunque cada una de estas ramas del control automático utiliza técnicas que le son propias, todas ellas confluyen en la necesidad de un modelo del comportamiento de sistemas dinámicos que incluya la evolución de sus variables internas, que pueda aplicarse a sistemas multivaria­ bles y que pueda ser no-lineal y /o de parámetros no constantes. Este modelo del sistema es el denominado modelo de estado del sistema, que se presenta y estudia en el presente libro. Si los sistemas multivariables a los que se aplica la teoría moderna de control presentan un comportamiento dinámico que puede aproximarse por modelos lineales de parámetros constantes, se simplifica mucho su análisis y el diseño de los reguladores multivariables. El estudio de estos sistemas lineales e invariantes es abordado en los apartados correspon­ dientes de cada uno de los capítulos de este libro, estudiándose en los últimos capítulos el diseño de reguladores para la asignación directa de los polos del sistema multivariable, que fijan su comportamiento dinámico en cadena cerrada. • 1.2. Concepto de estado La teoría moderna de control se basa en la representación matemática de los sistemas dinámicos por medio del concepto de estado, en contraposición con la teoría clásica de control, que utiliza únicamente la relación entre su entrada y su salida. Se define estado de un sistema como la mínima cantidad de información nece­ saria en un instante para que, conociendo la entrada a partir de ese instante, se pueda determinar cualquier variable del sistema en cualquier instante posterior. Es común emplear la nomenclatura de representación interna, cuando se utiliza el es­ tado para representar un sistema, y representación externa, cuando se emplea la relación entrada-salida. Se diferencia entre ambas nomenclaturas para recalcar los distintos enfo­ ques. El Ejemplo 1.1 que se describe a continuación pone de manifiesto las diferencias.
  • 1.2. 5 CONCEPTO DE ESTADO Ejemplo 1.1 q(t) = V(t) = El depósito de la figu ra recibe u n ca udal líq u ido q ue contiene, según la expresión : q(t) que mod ifica el vol umen de Ah(t) h(t) Entrada J Ji -..... q(t) = SISTEMA Estado h �t� - L Salida • .� _1III1t:- A 1 h(t) ¡-t00 ¡¡q(T)dT h(t) Su poniendo consta nte la sección del depósito, la evolución de la a ltura se puede ca lcular i ntegra ndo la a nterior expresió n : Para determinar la altura en cualq uier instante de tiempo, es necesario cono­ cer la evolución del ca udal desde el comienzo de los tiem pos, lo que evidente­ mente obliga a u n conoci m iento de las condiciones q ue han actuado sobre el sistema , normal mente fuera de a lca nce. En la teoría clásica de control se rea l iza-
  • 6 CAPÍTULO 1. MODELO DE ESTADO ban a lgunas simplificaciones, como considerar que las condiciones i n iciales era n n u las. U na a lternativa a estos pla ntea mientos, sobre la q ue se basa la teoría moderna de control, es considerar la información que resuma todo lo acontecido en el sistema hasta ese momento. Esta i nformación , q ue si es la mín i ma se denomina estado, pod ría ser en el presente ejemplo la altura en u n determi nado insta nte to: h(to); de esta forma la evol ución de la altura del depósito sería : h(to) + h(t) l. t to 1 A q(r)dr lJ!(t, to , h(to ) , q(r) ) , to < r ::; t Donde se a precia que la altura en u n determ i nado insta nte de tiempo sólo depende de los insta ntes i n icial y fina l , de la entrada apl icada entre a m bos y de la a ltura en el i nsta nte i n icial (no i nfluye la evol ución hasta entonces, sólo el valor en ese insta nte) . La a ltura del depósito representa el estado en el ejemplo considerado y, debido a su sencil lez, coi ncide con la sa lida del sistema . Esta situación no es en a bsol uto genera lizable a otros sistemas, en los cua les la sa lida y el estado no sólo no tienen por qué coi ncidir, sino que n i siquiera han de poseer la misma d i mensión. La cantidad mínima de información que define el estado viene representada por un conjunto de variables Xi (t) cuyos valores dependen del instante t considerado, denomi­ nadas variables de estado del sistema. Este conjunto de variables, x(t) , recibe el nombre de vector de estado. En la gran mayoría de los sistemas físicos reales se podrá obtener un modelo suficientemente aproximado donde el vector de estado sea de dimensión finita, siendo éste el único caso estudiado a lo largo de todo este texto. Si además se representa el conjunto de variables de entrada mediante el vector u(t) , la anterior definición puede expresarse de forma matemática como: (1.1) x(t) = lJ!(t, to , x(to ) , u(r)) , to r ::; t Si bien el modelo de estado tal como se formula es válido para establecer la repre­ sentación de sistemas tanto lineales como no lineales, en el presente texto el estudio se va a centrar en los primeros, atendiendo, en primer lugar, a los sistemas lineales contin­ uos y, en la segunda parte del libro, a los discretos. El hecho de que no se profundice igualmente en el estudio de los sistemas no lineales viene dado por la falta de generalidad n, <
  • 1 .2 . 7 CONCEPTO DE ESTADO en su tratamiento; no existe un procedimiento universal para la solución de ecuaciones diferenciales no lineales (y un modelo de estado de un sistema no lineal es precisamente eso), por lo que no se puede establecer una metodología genérica para su análisis. En aras pues de avanzar en la introducción de los conceptos fundamentales de la teoría moderna de control, se orienta por tanto el estudio hacia los sistemas lineales. En principio, para la formulación del modelo de estado de la Ecuación 1.1 se van a establecer dos hipótesis ya conocidas, y que también aparecen en la teoría clásica de control; en primer lugar, el estudio se centra en los sistemas físicos, sistemas que por propia naturaleza cumplen con el principio de causalidad, por lo que siempre se parte del supuesto de que se ha de cumplir con esta propiedad. Dentro de los sistemas causales, el análisis se centra en los sistemas deterministas, para los que dada una entrada se puede encontrar una salida de forma unívoca; en contraposición a los sistemas estocásticos, para los que la salida ante una determinada entrada se modeliza como una cierta función de densidad de probabilidad. El vector de estado se define sobre el denominado espacio de estado: Espacio de estado es el espacio vectorial en el cual el vector de estado toma valores, teniendo por tanto la misma dimensión que el número de elementos de dicho vector. Al ser el espacio de estado un espacio vectorial, admite infinitas bases, relacionadas entre sí mediante transformaciones lineales. La representación del estado depende de la base elegida, por lo que también existen infinitas posibilidades, igualmente relacionadas entre sí por transformaciones lineales. Esta dependencia no afecta a cualquier variable externa, como las entradas y las salidas, que no modifican su expresión sea cual sea la representación del estado elegida. El valor del estado en distintos instantes varía en función de las condiciones iniciales con las que empieza a evolucionar el proceso y de la entrada que recibe el sistema, según se refleja en la Ecuación 1.1. El comportamiento descrito por esta ecuación se traduce en que cada una de las variables de estado modifica su valor a lo largo del tiempo, tal como se observa en la Figura 1.1 para el caso de un modelo con tres variables de estado; la combinación de estas evoluciones, por eliminación del tiempo entre todas ellas, se concreta en una trayectoria que el vector de estado sigue dentro del espacio de estado, como puede verse en la Figura 1.2. 1.2.1. Propiedades d e las variables d e estado Las trayectorias que describe el vector de estado de un sistema causal y determin­ ista dentro del espacio de estado están sujetas a las siguientes condiciones ligadas a la definición de estado del sistema: 1. Unicidad 't/t � to, Xo = x(to), U(T) to T � t x(t) es única. < =}
  • 8 CAPÍTULO X, 1.5 MODELO DE ESTADC 1. X, 0.5 0.25 -0.25 -0.5 -0.75 -1 X, 1 Figura 1.1: Evolución temporal de las variables de estado. / X3 / -1 / ¡- / ---- ---- ---- / ---- o Xl 2 I I / ---o -1 ¡1 ---- I I I 0.5 -0.5X, Figura 1.2: Trayectoria del vector de estado en el espacio de estado.
  • 9 1.3. ECUACIONES DEL MODELO DE ESTADO Las trayectorias en el espacio de estado son funciones continuas: lím x(t) = x(to ) Vt, to Continuidad 2. t---+ to Y Transitividad o propiedad de transición 3. (1.2) Si se considera en una en el espacio tiempos, to l trelacionado pormuestra trayectoriatransición:valor de estado tresestos tiempos, testá en la 2 , tal como se esta propiedadFigura 1.3, el del estado en de 2 x(to ) �/:, -'--- ........ JI." x(td = Figura 1.3: 'fransitividad de estado = < < ::; X(t2) W(t2 , to , x(to ), U(T)) con to T t2 X(t2) W(t2 , tl ,x(h), U(T) ) con h T ::; t2 siendo: x(td w(tl , to , x(to ), U(T)) con to T h Esto significa que para conocer el estado en el instante t2 da lo mismo: Conocer el estado en to la entrada entre to t2 · Conocer el estado en h y la entrada entre tl y t2 · = • • 1.3. < Y Y ::; Ecuaciones del modelo de estado Como se ha establecido con anterioridad, la teoría de estado representa un formalismo para el tratamiento y resolución de sistemas dinámicos deterministas. Una definición amplia de dichos sistemas es la siguiente:
  • 10 CAPÍTULO 1 . MODELO D E ESTADO Un modelo de sistema dinámico determinista es una relación matemática entre dos conjuntos de variables, las de entrada y las de salida: u(t) es un vector de dimensión m e y(t) es un vector de dimensión p . u(t) donde � y(t) En la teoría moderna se añade, como ya se ha explicado, otro conjunto de variables, a las que se llama estados. Entradas y estados se encuentran relacionados como ya se vio en la Ecuación 1.1. De otra parte, como el estado recoge toda la información del sistema en un determinado instante, es posible definir una relación de la salida con éste y con la entrada. Dicha relación se establece mediante una ecuación de la forma: (1.3) y(t) = r¡ (t, x(t) , u(t)) donde se puede observar que la salida en el instante t sólo depende del tiempo, del estado y de la entrada en ese instante, no del estado y de la entrada en instantes anteriores. Esto se debe a que toda esta información, por propia definición, ya está recogida en el estado. Los sistemas dinámicos diferenciales se caracterizan porque pueden ser representados por una ecuación que incluya información del estado de la forma: x(t) y(t) = ¡(t, x(t) , u(t) ) = r¡(t, x(t) , u(t)) (1.4) (1.5) donde a la Ecuación 1.4 se le llama ecuación de estado, que representa la dinámica de la evolución del estado del sistema, y a la Ecuación 1.5 se le llama ecuación de salida. La resolución de dicha Ecuación 1.4 con unas determinadas condiciones iniciales da lugar a la Ecuación 1.1, que describe la trayectoria seguida por el estado dentro del espacio de estado. A la representación de estado descrita en las Ecuaciones 1.4 y 1.5 se le llama realización en el espacio de estado del sistema. Asimismo, se llama orden del modelo al número de variables de estado con el que se construye. De estas ecuaciones se intuye la continuidad de las trayectorias descritas por las variables de estado, que la dimensión del vector de estado coincide con el número mínimo de condiciones iniciales necesarias para resolver la ecuación de estado y que pueden considerarse como variables de estado las salidas de los integradores. Como el estado es la representación suficiente del sistema, para determinar su dinámi­ ca también basta el conocimiento de las variables de estado y de la ecuación de estado. De esta forma, aspectos como la estabilidad del sistema y sus posibles estados de equi­ librio, entendiendo por tales valores del estado en los que el sistema funciona por tiempo
  • 11 1 . 3. ECUACIONES DEL MODELO DE ESTADO indefinido sin que se produzca variación alguna, se estudian a partir de la Ecuación 1.4; el estudio de estabilidad requerirá de métodos específicos según la naturaleza lineal o no lineal de esta ecuación, mientras que la determinación de los estados de equilibrio se lleva a cabo encontrando las soluciones de la ecuación: (1.6) J(t, x(t) , u(t)) = O 11 1.2 O btener el modelo de estado que define la evolución del desplaza miento y(t) , de una masa M con consta nte elástica K y con coeficiente viscoso J, a nte u na fuerza de desplaza m iento F(t): Ejemplo 111 F(t) = Ky(t) + J dy(t) dt = y(t) f + y(t) = y(t) M d2 y(t) dt 2 Al ser u n sistema de segu ndo orden , se necesitará n dos varia bles de estado. Se eligen: Teniendo en cuenta que :i;¡ (t) : h (t) = = X l (t) X 2 (t) X 2 (t) 1 jj (t) = M [u(t) - Ky(t) - Jy(t)] 1 [u(t) - KX 1 (t) - JX 2 (t)] M u(t) y(t) = F(t) , las ecuaciones del modelo de estado será n :
  • 12 = CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO La ecuación de sa lida será simplemente: y(t) 1 .3. 1. X l (t) Sistemas dinámicos lineales En primer lugar, es necesario conocer si un sistema dinámico dado es o no lineal. Para ello se le aplica el test de superposición: Se tiene un sistema que partiendo de un estado inicial cualquiera X l (to ) , con una entrada cualquiera Ul (r) , to < r ::; t, responde con una salida Yl (t) , y a partir de cualquier otro estado inicial X2 (tO) con cualquier otra entrada u 2 (r), to < r :S t, responde con otra salida Y2 (t) . Se dice que dicho sistema es lineal si para todo a y b reales, partiendo del estado inicial X3 (tO) = aX l (tO ) + bX 2 (tO) con una entrada u3 (r) = aU l (r) + bU2 (r), to < r ::; t, la salida es Y3 (t) = aY l (t) + bY2 (t) . f (t , aX l (t) + ,BX2 (t) , au l (t) + ,B u2 (t)) = = a f (t , x l (t) , Ul (t)) + ,Bf (t , X2 (t) , U2 (t)) r¡ (t , aX l (t) + ,BX2 (t) , aU l (t) + ,Bu 2 (t)) = = a r¡(t, x l (t) , U l (t)) + ,Br¡ (t , X2 (t) , U2 (t)) Esta propiedad de linealidad en sistemas diferenciales se traduce en que las funciones respecto a x y a u: f y r¡ son lineales con (1.7) (1.8) donde f y r¡ son funciones vectoriales, por lo que la propiedad de linealidad se verifica si y sólo si las ecuaciones del modelo de estado se pueden expresar en forma matricial como: (1.9) x(t) = A (t)x(t) + B (t)u(t) y(t) = C (t)x(t) + D (t)u(t) (1.10) Ésta es la forma en la que se representa el modelo de estado de un sistema dinámico lineal, donde: x(t) es el vector de estado, de dimensión u( t) es el vector de entradas, de dimensión y(t) es el vector de salida, de dimensión p. A(t) es la matriz del sistema, de dimensiones B (t) es la matriz de entradas, de dimensiones C (t) es la matriz de salida, de dimensiones p D (t) tiene dimensiones p (en la mayoría de los sistemas es nula). Las expresiones de las matrices A (t) , B (t) y C (t) dependen de la representación del estado elegida, como se detalla en la Sección 1.4. n. x n m. n n x x n. x m. n.
  • 13 11 .3. ECUACIONES DEL MODELO DE ESTADO Ejemplo 1.3 Para la evol ución del desplaza m iento y(t) , el modelo de estado en forma matricial se ca lcula a partir de las ecuaciones dadas. .. Toma ndo: X l (t) X 2 (t) el modelo de estado q ueda como: _ 1- = f y(t) = iJ(t) 1 y(t) [ 1 O ] y(t) [ �� ] + [O]u(t) M 1 ] u(t) Un sistema, con un estado inicial dado por Xo = x ( to) , sometido a una entrada < r � t, Y que produce como salida la señal YI (t) , se dice que es invariante si VT, partiendo del mismo estado Xo , pero en el instante to + T, excitado con una entrada u 2 (r + T) = U I ( T ) , to < T � t, responde con una salida que es Y 2 (t + T) = YI (t) . 1.3.2. Sistemas dinámicos invariantes uI (r) , to y Esta propiedad de invarianza significa que, en los sistemas lineales, las matrices A, D tienen sus elementos constantes, no son funciones del tiempo. B, e
  • 14 CAPÍTULO 1. MODELO DE ESTADO 1 .4. = = Transformaciones lineales Se parte de una representación cualquiera de estado x(t) : x(t) y(t) y A(t)x(t) + B (t)u(t) C (t)x(t) + D (t)u(t) y se define una Tn x n (t) con la particularidad de que no sea singular de que exista la derivada de su inversa. Se define un nuevo vector de estado a partir de x(t) mediante la expresión: x(t) = T(t)5é(t) (1.11) 5é(t) = T - 1 (t)x(t) derivando la expresión de 5é(t) se tiene: j¿ (t) = { x(t) x(t) como se cumple que: = = (T � l ) (t)x(t) + T - 1 (t)x(t) T(t)5é(t) A(t)x(t) + B (t)u(t) (T � l ) (t)T(t)5é(t) + T - 1 (t) [A(t)T(t)5é(t) + B (t)u(t)] = (T � l ) (t)T(t) + T - 1 (t)A(t)T(t) 5é(t) + T - 1 (t)B(t)u(t) entonces se puede sustituir, quedando: j¿ (t) [ que junto con la ecuación: y(t) = ] C (t)T(t)5é(t) + D (t)u(t) (1.12) (1.13) y supone una nueva representación del estado, equivalente a la inicial. Esta nueva representación del estado, mediante el vector de estado 5é(t) obtenida mediante una transformación lineal que en general depende de t, da lugar a nuevas matrices del modelo: A (t) = (T � l ) (t)T(t) + T - 1 (t)A(t)T(t) B (t) = T- 1 (t)B (t) C (t) = C (t)T(t) D (t) = D (t) [ y ] (1.14) Partiendo de un modelo de estado cualquiera conociendo la matriz de transfor­ mación T(t) , se puede obtener una nueva representación de estado. Esto es lo que se denomina una transformación lineal en el espacio de estado.
  • (]H5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS LINEALES 15 Lo que se está haciendo es un cambio de base por lo que el vector de estado x(t) viene definido por distintas componentes, pero sigue siendo el mismo. La matriz de transfor­ mación T(t) es tal que sus columnas representan las coordenadas de los vectores que constituyen la nueva base expresados en la base antigua. La situación más común es que la matriz de transformación T sea invariante, es decir, que no dependa del tiempo, lo que simplifica la expresión de las matrices del modelo de estado en la nueva base: l A (t) = T- A(t)T B (t) = T- 1 B (t) C (t) = C (t)T D (t) = D (t) 1.5. (1.15) Representación gráfica de sistemas lineales i El modelo de estado de un sistema lineal admite una forma gráfica por bloques similar a la de los sistemas representados por su función de transferencia. Hay tres tipos básicos de elementos: 1. Bloque integrador, representado en la Figura 1.4. ¡ = = Figura 1.4: Bloque integrador. y(t) jt00 u(r)dr - t it a y(to) + ( u(r)dr (1.16) 2. Multiplicación por una matriz, representada en la Figura 1.5. 0 u(t) �y(t) ...... · = · Figura 1.5: Multiplicación por una matriz. y(t) R(t)u(t) (1.17)
  • 16 CAPÍTULO 1 . M O D E L O DE ESTADO 3. Bloque sumador 1 , representado en la Figura 1 .6. y (t) u(t) v (t) = Figura 1 .6 : Bloque sumador. y(t) Ejemplo 1.4 = u (t) + v (t) = ( 1 . 18) H a l lar la representación gráfica del sistema : jj (t) + aiJ (t) + by(t) u(t) => jj (t) - aiJ (t) - by(t) + u(t) El Ejemplo 1 .4 suministra un primer método para obtener el modelo de estado a partir de la representación gráfica: tomar como variables de estado las salidas de los integradores y considerar las condiciones iniciales en el instante to como estado inicial. Hay que recordar que un mismo sistema admite distintas representaciones de estado, lo que hará que el mismo sistema pueda estar representado por distintas matrices A, B, -C y D. Así para el siguiente sistema: ( 1 . 19) 1 En adelante, si no se indica lo contrario, se suponen siempre positivas las entradas a todos los bloques sumadores.
  • 1 . 6 . FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y MODELO DE ESTADO 17 (1.20) La representación de este sistema con los anteriores tipos de bloque será la represen­ tada en la Figura 1. 7 . Figura 1.7: Representación gráfica del modelo de estado. u(t) En lugar de operar con escalares es más útil operar con vectores, como puede verse en la Figura 1.8. Figura 1.8: Representación gráfica vectorial del modelo de estado. 1.6. Función de transferencia y modelo de estado El problema que se aborda en este apartado es obtener, a partir de la representación del estado de un sistema lineal e invariante, la función de transferencia. Si el sistema no
  • 18 CAPíTULO 1 . MODELO DE ESTADO cumple con estas dos condiciones, linealidad e invarianza, no es posible establecer esta relación, puesto que el modelo de la teoría clásica requiere que el sistema cumpla con estas condiciones. La expresión de un sistema lineal e invariante es: x(t) y(t) = Ax(t) + Bu(t) = Cx(t) + Du(t) = ( 1 .2 1 ) ( 1 .22) Para aproximar el modelo al de la función de transferencia se toman transformadas de Laplace y se establece una relación entre la entrada y la salida. En principio, todas las variables son vectores: donde x(O) es el vector de condiciones iniciales. Si es x(O) = 0, entonces: [sI - Al X(s) = BU(s) X(s) = [sI - Ar 1 BU(s) Y(s) = CX(s) + DU(s) = C [sI - Ar 1 BU(s) + DU(s) Y(s) = [sI Ar 1 B + D U(s) => -1 B + D => G(s) = C [sI - Al sX(s) - x(O) [c AX(s) + BU(s) ( 1 . 23) ] donde G(s) es una matriz de funciones de transferencia de dimensión p Esta matriz consiste, para todos sus elementos, en cocientes de polinomios. Ya se tiene, de esta manera, una relación entre la función de transferencia de la teoría clásica y el sistema de estado de la teoría moderna. Como ya se ha visto en este capítulo, un mismo sistema admite infinitas representa­ ciones de estado, pudiendo obtenerse una cualquiera a partir de una dada mediante la aplicación de una transformación lineal. Si T es una transformación invariante, la función de transferencia del correspondiente sistema es, aplicando la Ecuación 1 . 15: - x m. O(s) [ r 1 B + f> = CT [sI - T - 1 AT] - 1 T - 1 B + D = CTT - 1 [sI Al - 1 TT - 1 B + D = C [sI - Ar 1 B + D = O(s ) e sI - Á - = det ( 1 . 24) Es decir, coincidiendo con la teoría clásica, la función de transferencia que rige la relación entrada salida es única, sea cual sea el modelo de estado del sistema. Teniendo en cuenta además que en 1 .24: [sI - Al - 1 [s � _ Al Adj [sI - Al T ( 1 .25)
  • se concluye que el polinomio característico del sistema es : p(s) det [sI - Al por lo que los polos del sistema coinciden con los valores propios de la matriz A. 1 . 7 . MÉTODOS DE OBTENCIÓN DEL MODELO DE ESTADO = Polos = Valores propios de 19 (1 .26) A Se ve asimismo que, como el polinomio característico sólo depende de A, también ha 4e ser así con la estabilidad del sistema. La posición de los ceros del sistema viene dada por las matrices A, B, C y D. 1. 7. Métodos d e obtención del modelo d e estado Como se ha venido mencionando en distintas secciones de este capítulo, la represen­ tación del estado de un sistema no es única, sino que pueden encontrarse infinitas, todas ellas equivalentes entre sí, e igualmente válidas para la descripción del sistema. En esta sección se van a explicar diferentes técnicas para obtener una representación del estado, de forma que dado un sistema cada una de ellas es diferente, pudiendo obtenerse una a partir de otra mediante transformaciones lineales. Observando las ecuaciones de estado y de salida del sistema: x(t) y(t) Ax(t) + Bu(t) = Cx(t) + Du(t) = se pueden deducir las siguientes condiciones que habrá que tener en cuenta cuando se elige un modelo de estado: 1 . En la ecuación de estado sólo pueden estar relacionadas las variables de estado, sus primeras derivadas y las entradas. 2. En la ecuación de salida sólo pueden estar relacionadas las variables de estado, las entradas y las salidas. 3. Las variables de estado no pueden presentar discontinuidades, aunque la entrada al sistema sí que las tenga, pues en tal caso la derivada de la variable de estado que aparece en la Ecuación 1 .4 no estaría definida. 4. Se admiten discontinuidades en la entrada (por ejemplo, entrada en escalón), por lo que en ningún caso pueden elegirse las entradas como variables de estado del sistema. Existen distintas posibilidades de elección de las variables de estado de un sistema, para cada una de las cuales las ecuaciones que definen su comportamiento, 1 .4 y 1 .5, tienen distinta expresión. En los siguientes subapartados se explican diversas metodologías para elegir variables de estado de un sistema y, por tanto, para representarlo mediante su modelo de estado:
  • 20 CAPíTULO 1 . MODELO DE ESTADO Variables de estado como magnitudes físicas del sistema. Variables de estado como salida de los integradores del sistema. 3. Variables de estado de fase. 4. Variables de estado de Jordan. Estas metodologías se presentan ordenadas de manera que las variables de estado elegidas en cada una de ellas presentan un orden decreciente en su significado físico y un orden creciente en cuanto a la simplicidad del modelo matemático resultante. Según este criterio de ordenación, la primera metodología puede considerarse como la más intuitiva, desde el punto de vista físico, y las dos últimas como las que presentan una mayor elaboración matemática que repercute en la simplicidad de las ecuaciones del modelo de estado resultante. La segunda, basada en la salida de los integradores, puede considerarse con unas características intermedias, en las que las variables de estado elegidas pueden tener una interpretación física y adicionalmente se puede sistematizar su elección para la obtención del modelo de estado sencillo. Según se verá en las subsecciones siguientes, las dos últimas metodologías expuestas son aplicables solamente a sistemas lineales, mientras que la primera es la más genérica y menos sistematizada, pudiéndose aplicar a cualquier tipo de sistemas dinámicos lineales o no-lineales. La segunda puede aplicarse también a todo tipo de sistemas, si bien en el caso de sistemas lineales se puede predecir la forma del modelo de estado resultante, según se muestra en el Subapartado 1. 2. 1 . 7.2. 1 . 7. 1 . Variables d e estado como magnit udes físicas La idea básica es escoger como variables de estado los elementos que acumulan ener­ gía, lo que impide que las variables de estado presenten discontinuidades. Al hablar de elementos que acumulan energía, se hace referencia tanto a elementos que acumulan energía potencial (un condensador, una masa suspendida a una cierta cota o el agua dentro de un depósito hasta una cierta altura), como a aquellos que acumulan energía cinética (intensidades en bobinas, una masa desplazándose a una cierta velocidad o un objeto girando a una cierta frecuencia). Cuando uno de estos elementos acumuladores de energía son puestos en contacto con un entorno con un nivel energético distinto, se produce una transmisión de energía hasta producir un equilibrio energético, con la característica de que dicha transmisión no es instantánea en ningún caso: el condensador tiene una función de descarga, la masa suspendida cae con una cierta aceleración finita, el móvil giratorio se decelera con una cierta aceleración angular, etc. Por tanto, las variables que pueden elegirse como variables de estado son aquellas que caracterizan esta transmisión de energía entre un objeto y el medio, y que al representar esa dinámica no podrán sufrir variaciones bruscas: En sistemas eléctricos: las tensiones en los condensadores y las intensidades en las bobinas. •
  • 21 1 . 7. MÉTODOS DE OBTENCIÓN DEL MODELO DE ESTADO • • • y En sistemas mecánicos: las posiciones (energía potencial) las velocidades (energía cinética). En sistemas hidráulicos: altura de fluido en los depósitos (energía potencial). En sistemas térmicos: temperatura (energía térmica). Ejemplo 1.5 14 15 Elegi r u n conj u nto posible de varia bles de estado para el sistema de la figu ra : + U R e uc1 R e uc2 R e L e l/2 L/2 Según se ha dicho, se deben elegi r como varia bles de estado aquellas que repre­ senta n el "estado"de cada u no de los elementos acu m u ladores de energía , que en u n ci rcuito electrónico son las tensiones en los condensadores y las i ntensidades en las bobinas. Por ta nto, las tensiones Uc 1 Y Uc 2 son varia bles de estado del sistema que representa n la tensión en condensadores d iferentes. Dichas tensiones tienen en genera l va lores disti ntos q ue dependen de sus condiciones i n icia les. El m ismo razona miento es a p l ica ble para concl u i r que las i ntensidades i 4 e i5 son a m bas varia bles de estado y representa n variables disti ntas que tendrá n en genera l valores disti ntos, que son necesarios para determinar el estado del sistema en cada insta nte. Las tensiones Uc 3 Y Uc 4 no representa n d isti ntas variables físicas y son idén­ tica mente igua les para cua lesq u iera condiciones i n iciales y cualq uier evol ución de la dinám ica del sistema , representa ndo en rea lidad la misma tensión física de un m ismo condensador. Por ta nto, deben ser designadas con el mismo sím bolo y ser elegidas sólo como una n ueva variable de estado. Un razonamiento a n á logo a l del a partado a nterior l leva a la concl usión de que la i ntensidad q ue pasa por la ú ltima ra ma es la misma que pasa , simu ltánea­ mente, por los dos deva nados contiguos q ue constituyen la única bobina de esta ra m a , y por ta nto d icha i ntensidad debe considerarse como la única variable de estado asociada a d icha ra ma del circu ito.
  • 22 CAPÍTULO 1. MODELO DE ESTADO Se concl uye, por consiguiente, q ue una adecuada elección de las variables de estado ligada a los elementos físicos q ue com ponen el sistema es: Uc 1 , Uc 2 , Uc3 , i4 e is . Ejemplos adicionales de obtención de modelos de estado basándose en este criterio se pueden encontrar en la sección dedicada a tal efecto al final del capítulo, en concreto los 1.7 y 1 .8. 1.7.2. Variables d e estado como salida de los integradores Una opción clara para elegir variables de estado de acuerdo con su definición da­ da en la Sección 1 . 2 , es elegir éstas como las variables que representan las condiciones iniciales de las ecuaciones diferenciales que definen el comportamiento dinámico del sis­ tema. Esta elección es equivalente a expresar dichas ecuaciones diferenciales en forma de integraciones sucesivas elegir como variables de estado la salida de cada uno de los integradores, que por tanto no presentan discontinuidades en sus valores ante discon­ tinuidades de la entrada. Este procedimiento puede aplicarse de forma genérica tanto a sistemas lineales como a sistemas no-lineales. Sin embargo, a continuación se expone dicho procedimiento aplicado, de forma sistemática, a sistemas lineales con objeto de obtener una forma genérica del modelo de estado para dichos sistemas, simplificando con ello la notación empleada. Un ejemplo de aplicación a sistemas no-lineales de esta metodología de elección de variables de estado puede verse en el Ejercicio 3 al final de este capítulo. y Variables de estado como salida de integradores en sistemas monovariables Para estudiar esta metodología se va a considerar, en primer lugar, la obtención de variables de estado de sistemas monovariables representados por una ecuación genérica del tipo: ( 1 . 27) donde por comodidad se ha omitido la dependencia del tiempo de las variables u(t) e como se hará en adelante con las Xi (t) . Primeramente se reordena se saca como factor común el operador derivada en dicha ecuación genérica, resultando: y y(t), ( 1 .28) y, donde el término entre corchetes se obtiene mediante la integración del término de la derecha de la ecuación por tanto, puede ser elegido como variable de estado, X l , descomponiéndose entonces la anterior ecuación en las dos siguientes: bou - aoy (s n - l + an _ 1 S n - 2 + . . . + at )y - (bn s n- 1 + . . . + b 1 )u ( 1 .29) ( 1 .30)
  • 1.7. 23 MÉTODOS DE OBTENCIÓN DEL MODELO DE ESTADO y que son, respectivamente, la ecuación de salida del integrador la ecuación que describe la variable de estado. Procediendo de forma análoga con la segunda de estas últimas ecuaciones se obtiene: en la que de nuevo se elige el término entre corchetes como la siguiente variable de estado, resultando: x I + bl u - aI Y (Sn - 2 + an _I S n - 3 + . . . + a 2 ) Y - (bn S n - 2 + . . . + b2 )u ( 1 .32) ( 1 .33 ) Procediendo reiteradamente de la misma forma, se van obteniendo ecuaciones con la siguiente expresión genérica: ( 1 .34) hasta obtener las dos últimas ecuaciones: X n - l + bn- I u - a n - I Y y - bn u ( 1 .35) ( 1 .36) la última de estas ecuaciones es la ecuación de salida del sistema monovariable, que puede reescribirse como: ( 1 .37 ) y e introduciendo este valor de en las ecuaciones anteriores de salida de los integradores representadas por su expresión genérica 1 .34, se obtiene: ( 1 .38) X l = - aaXn + (ba - bn aa )u, para i = 1 ( 1 .39) X i =X i - l - ai - I Xn + (bi _l - ai - I bn )U, para 1 i ::; que, expresado en forma matricial, da lugar al siguiente modelo de estado: < Xl X2 X3 O O 1 O O 1 O O O Xn O O 1 -an - l -aa -a l -a2 Y= [ O Xl X2 X3 Xn O 1 ] x n ba - bn aa b l - bn a l b2 - bn a2 + u ( 1 .40) bn - l - bn a n - l + bn u ( 1 .41 )
  • 24 CAPíTULO Ejemplo 1.6 u(t) K(s + e) S2 + as + b 1. MODELO DE ESTADO y (t) H a l lar u n modelo de estado del sistema descrito por: , K(s + c)u = (S 2 + as + b)y ::::} ::::} s 2 y + s(ay - Ku) + by - cKu = O ::::} ::::} s(sy + ay - Ku) + by - cKu = O Siendo el denomi nador no factoriza ble en se defi nen : con lo q ue: Xl = � sy + ay - K u = iJ + ay - K u sy = X l - ay + K u ::::} X 2 = Y X l + bX 2 - cKu = O ::::} X l X2 + aX 2 - K u - X l = O ::::} X2 y las ecuaciones de estado son : = = -bX 2 + cKU X l - aX 2 + K u -bX 2 + cKu -ax 2 + XI + Ku X2 El procedimiento anterior se puede generalizar para sistemas lineales multivariables, representados por un conjunto de ecuaciones diferenciales algébricas lineales. Denomi­ nando (i = 1 , . . . ) a las distintas entradas del sistema (i = 1 , . . . , q) al resto de las variables involucradas en las ecuaciones del sistema entre las que se encuentran las variables de salida consideradas, para que el sistema esté bien definido existirán q ecua­ ciones linealmente independientes, cada una de las cuales va a relacionar un conjunto Uj de entradas con un conjunto Wj de variables intermedias de salida: Variables de estado como salida de integradores en sistemas multivariables Ui , , m y y y Wi ,
  • 25 1 . 7 . MÉTODOS DE OBTENCIÓN DEL MODELO DE ESTADO = L (bji nj s nj + . . . + bji l S + bji O)Ui iEU, para j = 1 , . . . , q ( 1 .42) y verificándose que al menos uno de los coeficientes aji nj es no nulo siendo nj = O en las ecuaciones algébricas. En cada una de las ecuaciones diferenciales se van eligiendo variables de estado de manera análoga al procedimiento descrito para sistemas monovariables. En primer lugar se reordena se saca factor común al operador derivada: y = L bji OU i - L aji OWi ( 1 .43) iEUj iEWj } Se elige entonces como variable de estado el término entre corchetes, descomponién­ dose la ecuación anterior en las dos siguientes: Xjl = L (aji nj S nj - l + . . . + aji l ) Wi - L (bji nj S nj - l + . . . + bji ¡ )Ui iEW, iEUj Xjl = L bji OUi - L aji OWi iEWj iEUj ( 1 .44) Al igual que en sistemas monovariables el procedimiento se reitera con la primera de las anteriores ecuaciones, obteniéndose un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma: Xj k = Xj k - l + L bji k - l U i - L aji k _ l Wi para k = 2, . . . , nj iEUj iEWj ( 1 .45) junto con la ecuación algébrica: Xj nj = L aji nj Wi - L bji nj Ui iEUj iEWj ( 1 .46) La aplicación de este procedimiento a todas las ecuaciones diferenciales dará entonces como resultado un conjunto de n ecuaciones diferenciales de primer orden, siendo: ( 1 .47)
  • 26 CAPÍTULO 1. MODELO DE ESTADO que se pueden agrupar de forma matricial, dando como resultado una expresión de la forma: ( 1 .48) También se obtienen q ecuaciones algébricas que se pueden agrupar de forma matricial: donde, si las q ecuaciones iniciales son linealmente independientes, la matriz A 2 , de dimensiones q q , será no singular pudiéndose despejar, por tanto, las variables w: w= x ( 1 .49) = -A2 l (E 2 x + B 2 u) ( 1 . 50) Sustituyendo ahora en 1 .48 se obtiene la ecuación de sistema: x = El x + B l Obsérvese que, al ser las variables de salida Yi un subconjunto de las variables el vector de salida y se obtiene directamente del vector w mediante una matriz de selección S, de modo que: U - A l A2 l (E2X + B 2 u) (E l - A l A2 l E 2) x + (B l - A l A2 l B 2 )u Wi , ( 1 .51 ) ( 1 . 52) En la sección dedicada al desarrollo de ejemplos se puede encontrar un caso de obten­ ción del modelo de estado para un sistema multivariable por este método en el Ejemplo 1 .9. Variables de estado como salida de sistemas de orden reducido El procedimiento descrito es un método sistemático, en el que las ecuaciones diferen­ ciales del sistema se han descompuesto en integraciones sucesivas de distintos términos, que han sido elegidos como variables de estado del sistema, puesto que representan la información del sistema en cada instante y no pueden presentar discontinuidades en sus valores ante discontinuidades de la entrada. Para elegir variables de estado no es necesario descomponer las ecuaciones diferen­ ciales del sistema hasta obtener integradores puros, pudiéndose elegir alternativamente como variables de estado la salida de una ecuación diferencial de primer orden simple, o bien la salida y la derivada de ésta en una de segundo orden simple2 • En estos casos se descompone el sistema original en bloques con funciones de transferencia de orden reducido, en los que pueden elegirse sus salidas y las derivadas de sus salidas como varia­ bles de estado sin necesidad de una descomposición más pormenorizada en integradores puros, como la detallada anteriormente. Varios casos de obtención de modelos de estado según este método se pueden encontrar en los ejemplos agrupados en el Ejemplo 1 . 1 0 al final del capítulo. 2 Como norma general , se puede elegir como variable de estado la salida del bloque si el grado del denominador supera en uno al del numerador; la derivada de la salida si el grado del denominador supera en dos al del numerador, y así sucesivamente para las derivadas de orden superior de la salida.
  • 27 1 . 7 . MÉTOD O S DE OBTENCIÓN DEL MODELO DE ESTADO 1 . 7. 3 . Variables d e estado d e fase La expresión genérica de un sistema monovariable: puede reescribirse de la siguiente forma como cociente de dos polinomios en el operador derivada s: b s m + . . . + bI S + bo y = n m n- l S + an- l S +...+ a l S + ao (1.53) U (1.54) El procedimiento de elección de variable de estado de fase consiste en elegir como primera variable de estado X l : (1 .55) u. lo que quiere decir que X l es una solución de la ecuación diferencial del primer término igualada a Se eligen las restantes variables por sucesiva derivación: (1 .56) X n = X n- l Con este criterio ya se pueden escribir las ecuaciones de estado: Xn S n X l = -an _ l S n - l X l - an _2S n - 2 X l - . . . - a l SX l - aOX l -an- l X n - an - 2 X n- l - . . . - a l X 2 - aOX l + u + u (1.57) Con lo que ya puede construirse la ecuación de estado, que puesta en forma matricial resultará: O O O O 1 x= o O O 1 O O O O 1 O O O O -ao -a l -a 2 -a3 O O 1 -an - l = (bm s m + . . . + bI S + bo) X l x+ O O u (1.58) O 1 La ecuación de salida queda: y (1.59)
  • 28 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO pasando esta expresión a notación matricial se obtiene: = [ bo b1 b2 . . . bm O . . . O ] x (1 .60) Cuando n = m, en los casos en los que en la función de transferencia se cumple que gr(num) = gr(den) , entonces al ser s n X1 = xn se sustituye xn por la Ecuación 1 .57: y (bnsn + . . . + b1s + bo ) X l = bn [- aOX1 - a1X2 - . . . - an - 1Xn + u] + +bn - 1 xn + . . . + b1X2 + bOX1 (1 .61) y En este caso, la ecuación de salida sería de la forma: (1 .62) que podría ponerse en forma matricial como: y = Cx + Du La matriz D sólo aparece si el grado del numerador es igual al del denominador, lo que indica la matriz D es la acción directa de la entrada sobre la salida a la que se superpone una respuesta dinámica. 1 . 7 .4. Variables de Jordan Partiendo de la Ecuación 1 .54, la representación del sistema en variables de Jordan admite las siguientes opciones: 1 . Se suponen todos los polos simples y se descompone en fracciones simples, de la forma: y = (bn + �l + �2 + " ' + �) u s-A S-A S - An (1 .63) Se le asigna una variable a cada uno de estos operadores: 1 X l = --u S - Al 1 X2 = --u S - A2 X3 = S -1 A3 1 xn = --u s - An -- u (1.64)
  • 29 1 . 7 . MÉTODOS DE OBTENCIÓN DEL MODELO DE ESTADO [ �l �2 : : : x= O O con lo que la ecuación viene representada por: (1 .65) La ecuación de salida se obtiene como: y 2. X = [ PI P2 . . . Pn ] + bn u (1 .66) r, l (bn + (s -PIAd r . . + (s Pr -Ad 2 + �l + S-A Pr+l S - Ar+l + . . . + � ) U s - An El método de asignación de variables de estado será: 1 Xl = (S -1A l ) r u = --l X2 S-A 1 r l u = 1 x3 X2 = (s Ad - s A l 1 Xr - l = ( S -1Al ) 2 U = --A-l xr S1 Xr = --l u S-A 1 Xn = --u xn = AnXn + u s - An Suponiendo que uno de los polos tiene multiplicidad la descomposición se reali­ zará como: y + + . (1 .67) ::::} _ ::::} _ ::::} ::::} ( 1 .68) ::::} Con esto, la ecuación de estado queda de la forma: AOl x = OO O O 1 Al OO O O OO AOl O O OO 1 AOl O OO OO Ar+l O OO OO O An x+ OO O1 u 1 (1.69)
  • 30 = CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO y la ecuación de salida toma la forma: y [ Pn ] x + bn u (1. 70) Cuando hay raíces múltiples, la matriz deja de ser diagonal y pasa a ser diagonal por cajas de Jordan; lo que aparece es un bloque de dimensión en el cual la diagonal principal tiene el valor del polo múltiple y la superior todo unos, con un vector B de ceros con un uno en el último elemento. La representación gráfica llevaría integradores en serie en el bloque de raíz múltiple e integradores en paralelo en el de raíces simples. De todo esto se concluye que de un sistema descrito mediante ecuaciones diferencia­ les se pueden extraer de forma sencilla cuatro representaciones de estado diferentes, que darán lugar a cuatro bloques de matrices que representan lo mismo. 1.7.5. PI P2 Pr-l Pr Pr+l r x r, Estructuras compuestas Los sistemas multivariables pueden considerarse compuestos por varios subsistemas más sencillos conectados entre sí, de manera que las salidas de unos subsistemas actúan como entradas de otros de forma directa o mediante sencillas operaciones algebraicas. Las variables de estado del sistema global están formadas de manera natural por la unión de las variables de estado de cada uno de los subsistemas que lo componen. La obtención de las ecuaciones de estado del sistema global se puede realizar a partir de las ecuaciones de estado de cada subsistema, eliminando las variables intermedias que son salida de unos subsistemas y entradas de otros mediante la operación con las ecuaciones de estado de dichos subsistemas. A continuación se presentan los casos de conexión de sistemas más habituales. 1 . Dos sistemas disjuntos en serie, como los representados en la Figura 1.9, donde cada uno de ellos cumple: X { Yll X2 { Y2 = = = = + + + A l Xl + B l Ul C l Xl D l Ul A2X2 D2U2 C2X2 B 2U2 Figura 1 .9: Sistemas en serie.
  • 1 . 7 . MÉTOD O S DE OBTENCIÓN DEL MODELO DE ESTADO Y 31 La entrada del sistema conjunto es u = Ul , la salida y = Y2 ; por construcción se cumple que U2 = Y l . El estado del sistema conjunto será la unión de los dos subsistemas: { = De forma que sustituyendo U2 por Yl : =? 2. { [ :� ] Xl = A l X l + B l U l X2 = A 2 X2 + B 2 (C l X l + D I ud Y2 = C 2 X2 + D 2 (C l X l + D I ud x + [ B�b l 12 ] X [ B�b l ] U Y = [ D 2 C l C 2 ] X + [D 2 D l l u X= Dos sistemas disjuntos en paralelo, como los representados en la Figura 1 . 10: u Figura 1 . 10: Sistemas en paralelo. Para este sistema se cumplen las siguientes relaciones: u= y= El estado del sistema vendrá dado por: x = Ul = U2 Yl + Y2 [ :� ] Por lo que las ecuaciones de estado en forma matricial quedan:
  • 32 CAPÍTULO 1. MODELO DE ESTADO 3. Sistema con realimentación constante de la salida: r y K w Figura 1.11: Realimentación constante de la salida. { xy = Ax + Du = Cx + Bu Las ecuaciones del sistema sin realimentar son: Al realimentar se cumplirá que: w u Ky r-w y Cx con lo que la nueva entrada es r, la salida continúa siendo y se sigue representando el estado con el vector x. De todo lo anterior, se deducen las siguientes ecuaciones: =} Dr y = Cx + D(r l- w) = Cx + Dr l- DKy [1 + DK]y = + y = [1 + DK] - CX + [1 + DK] - Dr x = Ax + B(r - Ky) = Ax + Br - BK[I + DK] - l Cx - BK[I + DKtlDr x = [A - BK[I + DK] - l C] x + [B - BK[I + DK] - lD] r En el caso más habitual, que la matriz D se anule, la expresión anterior queda como: x = [A - BKC]x + Br 4. En un sistema con realimentación de estado como el que aparece en la Figura 1.12, las ecuaciones del sistema sin realimentar son: { yx = Ax + Du = Cx + Bu Al realimentar se cumplirá que: w = Kx
  • 33 1 .8 . EJEMPLOS ADICIONALES . � � � � � � � � � � � ��� ��� � ' ...-----114 , t r w Figura 1 .12: Realimentación del estado. u=r-w y con lo que la nueva entrada es r, la salida continúa siendo y el estado sigue repre­ sentado por el vector x. De todo lo anterior, se cumplirán las siguientes ecuaciones: x + = Ax + B(r - Kx) = [A - BK]x + Br (1 .71) y = ex D(r - Kx) = [e - DK]x + Dr (1 . 72) Como en el caso anterior, es frecuente que la matriz D se anule, con lo que la Ecuación 1. 72 queda de la forma: y = ex (1.73) 1 .8. Ejemplos adicionales Modelo de estado de Ejemplo un sistema de depósitos 1.7 La figura representa dos depósitos de áreas respectivas A l y A 2 q ue está n com unicados entre sí media nte una tubería en sus bases, de sección eficaz SI . En el primer depósito entra u n fl ujo F1 , que representa una variable de entrada manipu lada , y el segundo depósito tiene un orificio de sa lida l i bre de ca uda l , cuya sección eficaz S 2 puede variar y considerarse, por ta nto, como una entrada
  • 34 'c 7 CAPÍTULO 1. MODELO DE ESTADO de perturbación a l sistema . 1 Las ecuaciones de com porta m iento de este sistema hidrá u lico son : A 1 h1 A 2h2 F1 - 8 1 y'2g(h 1 - h 2 ) 8 1 y'2g (h 1 - h 2 ) - 8 2 y'2gh 2 Éste es u n sistema de dos ecuaciones d iferencia les de pri mer orden , por lo que su estado viene representado por dos varia bles, pudiendo elegirse las alturas en a m bos depósitos h 1 y h 2 , con lo q ue las ecuaciones a nteriores representa n d i recta mente las ecuaciones del modelo de estado no l i nea l del sistema . Las expresiones a nteriores son sólo vá lidas m ientras h 1 � h 2 ; en caso contrario es necesario ca mbiar el signo dela nte de a m bas raíces, obteniéndose una expresión a lternativa vá lida en el ra ngo de valores h 2 > h 1 . O bsérvese que, a u nq ue las condiciones i nicia les del sistema podría n dar l ugar a q ue h 2 > h 1 . en los primeros insta ntes de tiem po, el sistema tiende l uego a su pu nto de equ i l i brio en el q ue se cum ple h 1 > h 2 Si se desea obtener u n modelo de estado l i nea l del sistema que aproxi me su com porta m iento en las cerca nías de u n pu nto de funcionamiento, se deriva n las ecuaciones a nteriores y se toman va lores incrementales respecto a l pu nto de fu ncionam iento , q ueda ndo:
  • 1 .8 . EJEMPLOS ADICIONALES Simplificando la notación en las ecuaciones anteriores, se obtiene el siguiente modelo de estado del sistema linealizado: donde los valores de las matrices están ligados a los parámetros físicos del sis­ tema , debiendo cumplirse que a3 > a2 . El modelo de estado anterior puede particularizase para cada sistema. En concreto si se supone que los parámetros físicos del sistema valen 8 1 = 0,3, 8 2 = 0,25, Al = 2 Y A 2 = 1 ,5 Y tomando como punto de linealización el estado de equilibrio determinado por el flujo de entrada FlO = 1, de las ecuaciones no lineales del sistema se obtienen los valores de las alturas en punto de equi­ librio, que valen h lO = 1 ,38 Y h 20 = 0,816. I ntroduciendo estos valores en las ecuaciones anteriores, se obtiene el siguiente modelo de estado para el sistema linealizado planteado: Modelo de estado de un péndulo invertido Ejemplo 1.8 35
  • 36 CAPÍTULO 1. MODELO DE ESTADO En la figura se representa el esquema de un péndulo invertido. Este sistema mecánico tiene como única variable de entrada la fuerza u que se aplica al carro de masa M , dando lugar a su desplazamiento horizontal x. Sobre dicho carro se halla una barra rígida , que gira libremente sobre su punto de apoyo un ángulo () y cuya masa m se puede suponer concentrada en un punto situado a distancia l de su base sobre el carro. Este sistema del péndulo invertido presenta unas ecuaciones análogas a las de un cohete propulsado en vertical , en el que su empuje lateral se efectúa desde las toberas situadas por debajo de su centro de gravedad . Las ecuaciones del sistema se obtienen aplicando la ley de Newton sobre ambas masas, y proyectando sobre ambos ejes: m d2 (x + l sin ()) dt 2 d2 (l eos ()) m dt 2 Mx T sin () T eos () - mg u - T sin () siendo la variable T la fuerza que ejercen recíprocamente entre sí el carro y la barra . Eliminando dicha variable intermedia T, se obtienen las siguientes ecuaciones del sistema : u - Mx mx - ml sin ()iP + ml eos ()O -ml sin () eos ()02 - ml sin2 ()O u eos () - Mx eos () - mg sin () Derivando las expresiones indicadas se obtiene: u - Mx u eos () - Mx eos () - mg sin () Éstas son dos ecuaciones de segundo grado, por lo que el sistema tiene cuatro variables de estado, pudiendo elegirse las posiciones y velocidades de ambas masas, esto es () , O, x y x . Eliminando entre las dos ecuaciones anteriores O y x , respectivamente, se obtienen las siguientes dos ecuaciones de comportamiento del sistema : (M + m sin2 ())x l(M + m sin2 ())O ml sin ()02 - mg sin () eos () + u (M + m) 9 sin () - eos ()u - ml sin () eos ()02
  • En las que definiendo las siguientes variables de estado: X l = X, X 2 = X , X 3 = () y X4 = iJ se obtienen las siguientes ecuaciones que representan el modelo de estado no lineal: 1.8. EJEMPLOS ADICIONALES X2 ml sin X 3 X� - mg sin X 3 cos X 3 + u M + m sin2 X 3 = X4 (M + m)g sin X 3 - COS X 3 U - ml sin x 3 COS X 3 X� lM + lm sin2 X 3 Si suponemos que se realiza una estructura de control que logra mantener al sistema funcionando en torno al estado definido por X l = X 2 = X 3 = X4 = O, las anteriores ecuaciones pueden linealizarse en torno a dicho punto de fun­ cionamiento, obteniéndose el siguiente modelo lineal del sistema : _ !!.!1l M O O (M+ m ) g 1M Si las variables de salida del sistema son (}(t) ecuación de salida del modelo como: [� Modelo de estado de 1.9 un y x(t) , se puede escribir la O O O 1 sistema de masas múltiples Se pretende obtener un modelo de estado para el sistema de la figura formado por dos muelles de coeficientes de elasticidad Kl y K2 respectivamente, y dos masas m l Y m 2 , que presentan una fricción viscosa de coeficientes {3l y {32 . La entrada es una fuerza F aplicada a la masa m2 Y las salidas son las distancias Yl e Y2 de las masas respecto a sus puntos de equilibrio. Se considera además la variable intermedia T correspondiente a la tensión ejercida por el muelle K2 . Ejemplo 37
  • CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO 38 F m l ih + f3d ¡ l + KI YI K2 ( Y2 - Y d m 2 ih + f32Y2 + T Las ecuaciones que determinan el comportamiento del sistema son : T T F (1 . 74) Es decir, dos ecuaciones diferenciales y una ecuación algébrica. Aplicando el procedimiento descrito a 1 .74 se obtiene: (1 .75) s { (m l S + f3dYI } = T - KIYI ------.....-.Xl X l = (mI S + f3dYI T - KIYI Xl operando ahora con 1 . 76 : s (m l yd = X l -...X2 X2 X2 A partir de 1 .75: - f3IYI m l YI X l f3IYI - (1 . 76)
  • 39 1.8. EJEMPLOS ADICIONALES s { (m2S + ,82 ) Y2 } = F - T '-.....--" X3 (1 . 77) y finalmente a partir de 1 . 77: s(m 2Y2 ) = X 3 - ,82Y2 '-v--' X4 X4 X4 m 2Y2 X 3 - ,82Y2 Resumiendo, se han obtenido cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden: Xl = T - KI YI X2 = X l - ,8IYI X3 = F - T X 4 = X 3 - ,82Y2 (1 . 78) y tres ecuaciones algébricas: (1 . 79) De estas últimas se pueden despejar las variables de salida e intermedias: 1 Y2 = -X4 m2 K2 K2 T = - X4 - - X 2 mI m2 y sustitu yendo en 1 . 78 se obtiene n , finalme nte, las ecuacio nes del sistema : KI K2 K2 - X4 - - X 2 - - X 2 = mI mI m2 K2 KI + K2 -- X 2 + - X 4 m2 mI
  • 40 CAPÍTULO MODELO DE ESTADO 1. {JI X l - - X2 mI K2 k2 F - - X4 + m X 2 = m2 I K2 K2 - X 2 - - X4 + F mI m2 {J2 X 3 - -X4 m2 - Aunque es evidente que en este caso la resolución directa presentada es la más sencilla y adecuada , habrá otros casos más complejos donde la forma matricial resulte conveniente, ya que es más sistemática . La forma matricial del sistema de ecuaciones 1 .78 es: o O O -{J2 y el sistema 1 .79 queda : (1.81) [ 1 A partir de 1 .81 se despejan las variables de salida e intermedias invirtiendo la correspondiente matriz: -[ [;1 O O O K2 -K2 -m I O O -m 2 1 mI O K2 mI O �r[� O 1 O m2 K2 O m2 r �� 1 O O O 1 O O O O 1 J x, X2 X3 X4 = (1 .82)
  • 1.8. 41 EJEMPLOS ADICIONALES y sustituyendo en 1 .80 se obtiene: o [ �¡ 1 1 KI + K2 mI f3I mI K2 mI O K2 m2 O O [ �n [ ! 1 F + K2 O O m2 f32 1 O O m2 La ecuación de salida se obtiene ahora a partir de 1 .82, mediante la selección de las variables correspondientes: 1 O O O Modelos de estado de sistemas de orden reducido Ejemplo 1.10 u (t) Si la dinámica del sistema se puede representar mediante la ecuación dife-
  • 42 CAPíTULO 1 . MODELO DE ESTADO rencial: Ku = :Í:! + aXI el sistema posee una única variable de estado, al ser de grado uno, que puede ser la salida del bloque. La ecuación de estado es, por tanto: ::h = -aXI + Ku u(t) K 2 + as + b "" s "" La dinámica del sistema de la figura viene dada por la ecuación diferencial : por l o que e l modelo de estado exige l a presencia d e dos variables de estado. Como primera puede tomarse la salida del bloque, mientras que la segunda puede ser la derivada de la salida: X2 = X l X l = X 2 = K u - aXI - bXI Las ecuaciones de estado son : u (t) 'l1li K(s + e) (s + a) (s + b) Entre otros métodos, se puede realizar descomponiendo el sistema en dos bloques, uno que contiene un polo y otro que contiene un par polo cero, teniendo en cuenta que el bloque que contiene un polo debe preceder al del par polo cero
  • 43 1 .8. EJEMPLOS ADICIONALES para garantizar la derivabilidad de ambas variables de estado: K -- u(t) s+a . X2(t) s+c Xl (t) s+b "" .. 1 = "" Se elige como segunda variable la representada entre los dos bloques. El sistema se comporta como: =? =? = (e Ku == X2 ++ aX2 Xl -bXI ++ CX2u + X2 = -bXI + -a)X2 + Ku X2 + CX2 Xl bXI X2 -aX2 K = -aX2 +Ku { xI = -bxI+ (c - a)X2+Ku X2 Las ecuaciones de estado son : Otra solución a este mismo problema se puede encontrar descomponiendo el sistema en: u(t) (s K(s+c)+ b) = � + � +a)(s s +a s+b Se elige como segunda variable de estado la salida de uno de los dos bloques, además de la salida global del sistema : Bu = (s + b)(Xl -X2) = Xl -X2 + bXI - bX2 = Xl + bXI + (a -b)X2 -Au Xl -aX2 b { X2 -bXI ++ (Au-a)X2 + + B)u Xl Las ecuaciones de estado quedan : (A y
  • 44 CAPÍTULO 1. MODELO DE ESTADO u( ) y (t __t_'IIiI K(s + a) r-_).... .... s+b � En sistemas con igual grado en el denominador y en el numerador, no es posible que la salida del sistema sea una variable de estado, pues una variación brusca de la entrada implicaría una variación brusca del estado. En estos sistemas es necesario realizar una descomposición del mismo, a fin de obtener un bloque en el que el grado del denominador sea mayor que el del numerador. Es necesario descomponerlo en: u (t) y (t) K(a b) s+b - x¡ ( t ) K s+a =K + K s+as+- bs-b = K + K a- bb s+b s+ K(a -b)u + bXI { :i;¡ = X-bXI + K(a -b) u = l +Ku Eligiendo como nueva variable de estado la salida del nuevo bloque: = :h Las ecuaciones de estado quedan: y Diagramas más complejos pueden ser resueltos descomponiéndolos en los an­ teriores o de forma similar. Nótese que en estos casos las condiciones iniciales del estado no se corresponderán con las salidas de los integradores puros, debiendo ser calculados a partir de ellos.
  • 45 1.9. EJERCICIOS RESUELTOS Cuando se obtiene el modelo de estado a partir de un diagrama de bloques no se pueden realizar cancelaciones, ya que para modelar el comportamiento del sistema es necesario conocer todas las variables involucradas, con sus condiciones iniciales correspondientes. Además, y como se vio en la teoría clásica, puede enmascarar posibles inestabilidades. Por ejemplo, el sistema de la figura posee dos variables de estado, X l y X 2 . u(t) ""Iii 1 X2 (t) � --- s+a u = X 2 + aX 2 X2 + aX 2 = X l + bX l =} =} { 1. s+b !t . Xl (t) • X2 = -aX 2 + u X l = -bX l + aX 2 + X2 = = -bX l + aX 2 - aX 2 + u = -bX l + U Las ecuaciones de estado quedan : 1.9. s+a --- Xl X2 y -bX l + U -aX 2 + u Xl Ejercicios resueltos Hallar un modelo de estado del sistema de l a figura, sabiendo que h a de incluir el mayor número posible de las variables representadas. u(t)
  • 46 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO Y Observando la figura, se aprecia que X2 X3 pueden ser variables de estado, ya que no van a sufrir discontinuidades ante cambios bruscos en las entradas del sistema. No sucede lo mismo con X l , pues una variación brusca en la entrada u originaría la aparición de una variación brusca en esta variable. Para este bloque, se precisa obtener dos variables de estado: [ , S i X' , -¿ + X3 l. +2x, - 4u + 4X3 X5 Se eligen como variables de estado X4 de derivabilidad necesarias: Y X5 , ] � 3(u - X 3 ) - 4x, ; dado que cumplen con las condiciones X4 = X l - U + X 3 X5 = X4 + 2X I - 4u + 4X 3 resultando: X4 =X5 + 4u - 4X 3 - 2X4 - 2u + 2X 3 = =X5 - 2X4 - 2X 3 + 2u X5 =3(u - X 3 ) - 4X I = =3u - 3X 3 - 4X4 - 4u + 4X 3 = = - 4X4 + X 3 - U X2 = - X 2 + X l + V = = - X 2 + X4 + U - X 3 + V X 3 = - 3X 3 + X 2 Si se expresa todo el conjunto de ecuaciones en forma matricial:
  • 1 .9 . 47 EJERCICIOS RESUELTOS 2. Para el sistema de la figura, indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son váli­ das: Ug + 11 12 C 13 U 1� R L 14 C=r.U2 16 C .U3 R U4• C L a) Iz puede ser variable de estado . b) h puede ser variable de estado. c) la puede ser variable de estado. d) l4 puede ser variable de estado. e) l6 puede ser variable de estado . f) U2 , l4 Ua pueden ser variables de estado a la vez. g) U4 U5 pueden ser variables de estado a la vez. h) U4 U5 pueden ser, cualquiera de las dos, variables de estado . i) U2 Ua pueden ser variables de estado a la vez. j ) h e ls pueden ser variables de estado a la vez. k) h e 19 pueden ser variables de estado a la vez. a) l2 no puede ser variable de estado, puesto que cambia bruscamente ante dis­ continuidades en la tensión de entrada Ug • Estas discontinuidades en Ug se repiten en bornes de la primera rama (y de todas las demás ) , por lo que la tensión en bornes de alguno de sus componentes colocados en serie debe tam­ bién variar bruscamente, y puesto que la tensión en bornes de un condensador nunca puede hacerlo, es la tensión en bornes de la resistencia de esta primera rama la que absorbe la discontinuidad de la entrada, variando por tanto la intensidad que pasa por ella l2 también de forma brusca (según la ley de Ohm y y y y U = Rl) .
  • 48 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO no puede ser variable de estado puesto que, ante cambios bruscos en la tensión de entrada Ug , la intensidad h varía bruscamente (según el apartado a) , al ser h una componente de la intensidad 11 , ésta también presentará una discontinuidad ante dichos cambios bruscos de la entrada. la sí que puede ser variable de estado, puesto que es la intensidad que pasa por una bobina ésta nunca puede variar de forma brusca (las discontinuidades en la tensión de entrada provocan saltos en la derivada de la intensidad la ) . 14 también puede ser variable de estado por los mismos motivos que los expli­ cados en c) . 16 no puede ser variable de estado, por los mismos motivos que los explicados en a) . U2 , 14 Ua sí que pueden ser variables de estado a la vez, puesto que ninguna de ellas varía bruscamente ante discontinuidades de la entrada además no son linealmente dependientes entre sí. Desde un punto de vista físico, esta tercera rama está compuesta de tres subsistemas de primer orden, cada uno de ellos lleva asociada una variable de estado, que es la magnitud física que no puede variar bruscamente: la tensión en los condensadores la intensidad en la bobina. U4 U5 no pueden ser a la vez variables de estado. Los dos condensadores están conectados en paralelo, de manera que actúan como un único condensador ( de capacitancia 20) , siendo forzosamente la tensión en sus bornes siempre la misma, que es por tanto la única variable de estado asociada a estos dos condensadores que se comportan como uno solo. U4 U5 sí que pueden ser, cualesquiera de las dos por sí solas, variables de estado, puesto que las dos son la misma tensión ésta no puede variar bruscamente ante cambios bruscos de la entrada. U2 Ua sí que pueden ser a la vez variables de estado, puesto que ninguna de ellas varía bruscamente ante cambios bruscos de la entrada además, no son linealmente dependientes entre sí. Podría parecer que, al ser la intensidad que circula por ambos condensadores la misma (por estar conectados en serie) , las tensiones de ambos condensadores estarán ligadas linealmente entre sí (esto es, actúan como un único condensador de capacidad f) por tanto estas dos tensiones no podrían ser a la vez variables de estado. El razonamiento an­ terior es válido para unas tensiones iniciales dadas en ambos condensadores, pero nada impide que estas tensiones iniciales puedan tener valores arbitrarios cualesquiera en cada condensador, correspondiendo por tanto a variables de es­ tado independientes, asociadas a condensadores físicamente distintos, aunque su evolución temporal está ligada a partir de unas tensiones iniciales dadas. h e 18 no pueden ser variables de estado a la vez, debido a un razonamiento similar al que se ha hecho en el apartado g) con los condensadores de tensiones b) h e ) d) e ) f) g) h) i) y y y y y y y y y y, y j) y
  • 49 .1.9. EJERCICIOS RESUELTOS y k) U2 U3• En el presente caso, la intensidad que circula por los devanados de cada una de las bobinas es siempre la misma, independientemente de las condiciones iniciales de la evolución de la entrada, por lo que sólo se tiene una única variable de estado. h e 19 sí que pueden ser variables de estado a la vez, por un razonamiento aná­ logo al del apartado i). En el presente caso, debido a la conexión en paralelo de las dos ramas con la misma impedancia, cualquier entrada dará lugar a que los incrementos de intensidades sobre los valores iniciales sean siempre los mismos en ambas ramas, pero los valores absolutos de las intensidades que circulan por cada una de ellas pueden ser completamente distintos, dependiendo de las condiciones iniciales. Por tanto, las intensidades que pasan por ambas ramas son variables físicas distintas sin ligazón lineal entre sí que, al no variar bruscamente ante cambios bruscos de la entrada, pueden ser consideradas ambas a la vez como variables de estado. y y m i) 3. Las ecuaciones de la trayectoria circular de una nave espacial en ingravidez son: w aw + Kwp cos O u _ pw 2 + Kp sin O u - donde: P Variable w O u Descripción Radio de giro de la trayectoria de la nave . Velocidad angular de la nave . Ángulo de la tobera de propulsión. Consumo de combustible de propulsión . Siendo a, m, Kw , Kp constantes del sistema, que valen respectivamente 1 , Kw = 0,01 , Kp = 1 . a) b) a) a = 1, m = Obtener un modelo de estado del sistema no lineal original . Obtener un modelo de estado del sistema linealizado en torno a la trayectoria de referencia definida por Wo = 0,01 radj s y Po = 100 m . Utilizando el operador derivada, las ecuaciones del sistema se pueden escribir como: -aw + Kwp cos O U _ pw 2 + Kp sin O u
  • 50 CAPÍTULO 1. MODELO DE ESTADO Eligiendo como variables de estado la salida de los integradores en ambas ecuaciones, se obtiene: Con lo que las ecuaciones de estado quedan: -aX I + Kw X 3 cos 8 u 1 . - -x 3 X 2 + Kp sm 8 u I m X2 Xl . X2 X3 b) Y Ua Calculando los valores de funcionamiento de las entradas para la trayectoria de referencia se obtiene: 80 = 7f / 4 = 0,01 y'2, con lo que las ecuaciones linealizadas del sistema en torno a estos valores de referencia son: w(t) p (t) 1 u(t) - O,O IB (t) y'2 1 -O,OOOlp(t) - 2w(t) + u(t) + 0,0l8(t) y'2 -w(t) + O,OOOlp(t) + Eligiendo las mismas variables de estado, se obtiene el siguiente modelo de estado lineal del sistema en torno a la trayectoria de referencia: 1 U - 0,018 y'2 1 -2X I - 0,0001x 3 + u + 0,018 y'2 X2 -X l + 0,0001x 3 + y A 2 , respectivamente. Ambos están alimentados por un caudal qe . En cada depósito el caudal de salida es proporcional con una constante a la altura del líquido, h, y ambos vierten a una misma tubería . Hallar un modelo de estado: 4. Se dispone de dos depósitos de agua de sección constante A l B
  • 1 .9 . 51 EJERCICIOS RESUELTOS a) A partir del sistema físico. b) A partir del diagrama de bloques. c) Usando variables de fase. d) Usando variables de Jordan. Las ecuaciones físicas del sistema son: qe - q S i = qS i = A } B hi ih qs = ' en ambos depóSItoS qS l + qS 2 De aquí en adelante, para mayor claridad en el desarrollo, se omite la dependencia del tiempo de las variables. a) Se eligen como variables de estado: y sustituyendo en las ecuaciones físicas: ::::} ::::} = B . A Xl = --Xl + A1l Bl .X2 --X2 + A1 A2 2 - qe - qe
  • 52 CAPÍTULO escrito en forma matricial: 1. MODELO DE ESTADO B o A2 - Si en lugar de haber elegido estas variables de estado se hubiesen elegido los caudales de salida: entonces el desarrollo hubiera sido: qe qe . A. A lhl + XI = El XI + XI . A2 . = A2 h2 + X2 = E X2 + X2 = que escrito en forma matricial resulta: B o - b) A2 A partir del diagrama de bloques: Tomando transformadas de Laplace en las ecuaciones del sistema:
  • 53 1.9. EJERCICIOS RESUELTOS AiS _B = +_ B B -,--_ JI.. Ai s + para cada depósito Ai = X l = qs = Y X2 qS l Eligiendo como variables de estado, por ejemplo: B B X. 2 + Al X2 = A l qe (Xl - X2 ) + �2 (X l - X2 ) = �2 qe con lo que quedarían las ecuaciones: y expresado en forma matricial: -2 [! e) Para utilizar las variables de fase, primero hay que hallar la función de trans­ ferencia del sistema: A partir de esta función de transferencia, es posible obtener directamente las variables de fase, mediante el proceso: 2 s qs + ( Al + A2 ) + AI A2 2 = ( Al + A2 ) + AI A2 B B s qs B qs B B s qe 2B
  • 54 CAPÍTULO 1. MODELO DE ESTADO Con lo que la expresión del modelo en forma matricial queda: y d) = 1 o [ = Para utilizar variables de Jordan, nuevamente se parte de la función de trans­ ferencia: ( ) qs B A, --B S B + + -+A, S A2 B A2 qe A partir de esta función de transferencia se extraen las variables de Jordan: y = B B -Xl + -x2 A l A2 y poniendo todas las ecuaciones en forma matricial: [ :� ] [ -!, _! ] [ �� ] + [ � ] qe [ :, : J [ �� ] y = 2 5. Dado el sistema de la figura, escribir su representación mediante ecuaciones de estado.
  • 55 1.9. EJERCICIOS RESUELTOS y El sistema precisa de cuatro variables de estado para su representación, dos para el primer bloque, de segundo orden, una por cada uno de los bloques de primer orden. En el diagrama aparecen tres variables, las de salida de cada uno de los blo­ ques, que pueden ser tomadas como variables de estado; dadas estas tres variables, es necesario encontrar otra asociada al bloque de segundo orden. Esta variable se obtiene como: con lo que las ecuaciones quedan: Xl -Xl + X2 - 3X3 - 3X4 + X2 -Xl - 3X3 - 3X4 + X3 Xl - X3 X4 2XI - X4 3X3 + 3X4 y que expresado en forma matricial es: U U 6. Dado e l sistema d e l a figura, elegir u n modelo d e estado que contenga como variables de estado el máximo número posible del conjunto de variables [Xl> X 2 ] .
  • 56 CAPíTULO 1. MODELO DE ESTADO De las dos variables propuestas para ser incluidas en el modelo de estado, Xl podría utilizarse, pero X2 no, puesto que puede presentar discontinuidades ante variaciones bruscas de la entrada. Se necesitan cuatro variables de estado para representar el sistema se dispone solo de una Xl , por lo que será necesario incluir otras tres. Una de ellas puede ser la salida del bloque de realimentación, que se denotará por X3 que en ningún caso sufrirá variaciones bruscas, por ser la salida de un bloque con una diferencia de un grado entre el denominador el numerador. Del primer bloque, de segundo orden: Y y 82 + 28 + 3)X I 5 (u - X 3 ) = 8 ( 8 + 2)X I + 3X I 5 (u - X 3 ) - 3X I = 8 (X l + 2X I ) 5 (u - X 3 ) = ( = "-v--" X5 de donde se obtienen las dos ecuaciones: X5 y X l + 2X I =} Xl = -2X I + X5 X5 = 5u - 5X3 - 3X I y Nótese que sería igualmente válido, en este caso, tomar como X5 = X l , pues la diferencia de grados entre el denominador el numerador en el bloque considerado es de dos órdenes, por lo que se garantiza continuidad en la variable de salida en su derivada. Del bloque asociado a la entrada v: 8 y 8 ( + 2)v = ( + 3)X4 donde X4 representa la salida de dicho bloque, que no puede ser variable de estado: '-v--' 2v -; 3X 4 = S (X4 - v) X6 de donde se obtiene: Finalmente, del bloque de realimentación: 5 (X4 + x ¡ ) 5 (X 6 + V + x ¡ ) de donde se obtiene la ecuación:
  • 1 .9. EJERCICIOS RESUELTOS = = 57 = Por último, falta calcular la ecuación de la salida en función de las variables de estado: y X2 5(X4 + X¡) 5X6 + 5v + 5Xl Expresando el conjunto de ecuaciones en forma matricial: [ �� 1 [ Y= [5 5 O 1 -1 O O -3 O O O -3 -2 O O -5 5l i 1 p: 1 [ � i 1 [ + X6 [ �n + [ o 5 l [ � l de estado el volumen y la concentración de salida, concentración, para el sistema linealizado. y 0 -1 � 1 y 7. En el sistema de la figura, deducir las ecuaciones de estado, tomando como variables h('l I como salidas el flujo F, C Se plantean las ecuaciones físicas de comportamiento del sistema: Balance de caudal: �� = Fl + F2 - F Flujo de salida: donde: = = F kv'h k � la
  • 58 CAPÍTULO 1. MODELO DE ESTADO • • • • • • V representa el volumen de fluido en el depósito. H F2 representan los caudales de entrada. F representa el caudal de salida. Cl C2 representan las concentraciones de entrada, que se suponen constantes. C representa la concentración de salida. y S y h representa la altura de fluido en el depósito. representa la superficie del depósito, que supone constante. En el punto de equilibrio se cumplirá que: • = Fa = FlO + F2a Cl FlO + C2F2a CFa Fa = KfYi = Linealizando en torno a este punto de equilibrio: V Fl + F2 - F év + cv = Cl Fl + C2F2 - CF �é + �V = �H + �� - � F - �C k l _ a F _ y17Q V = 2FVa V 2 VS Teniendo en cuenta que: V = = Xl = C Yl = C U = Fl X2 Y2 F Ul2 F2 se vuelve a las ecuaciones linealizadas para formular el modelo de estado: Fa V. H + F2 - F = Ul + U2 - Yl Ul + U2 - -V 2Va .V C Ca Fa Ca C. Cl + -2 U2 - - F - -C - Va Va Ca Va Va Cl C Ca F Ca Ca C. - - Ul + -2 U2 - - F - -a C - - Ul - - U2 + Ca F2a V Va � Ca Va Va Va 2Va = = = = '* _ _ = -Ul -- -----v,;---- Ecuaciones que expresadas en forma matricial quedan: o�� 1 [ � ] + [ [ � ] [ -r [ � ] = [ ío � ] [ � ] _ 1 C1 - CO -----v,;---- 1 C2 - CO
  • 59 1.9. EJERCICIOS RESUELTOS + 8. Obtener el modelo de estado linealizado del sistema representado por la siguiente ecuación diferencial: d2 y(t) (dy(t) ) 2 u (t) dt2 dt 2+ = Linealizarlo en torno a las trayectorias descritas por las variables de estado ante una entrada u(t): u(t) = 4t 2 sabiendo que en este caso se obtiene una salida de y t2• = En primer lugar, se deben elegir las variables de estado, en este caso dos, por ser la ecuación de segundo orden: Xl y X2 Y Se linealiza en torno a la trayectoria propuesta: jj + 2yoY u según la trayectoria dada: X20 Yo 2t = = = = = por lo que se puede escribir la ecuación como: + Por lo que escribiendo las ecuaciones en forma matricial queda: [ �� ] [ � - 4� ] [ �� ] [ � ] u y [ 1 O ] [ �� ] = 9. Hallar u n modelo d e estado del siguiente sistema: Se trata de un sistema no lineal en el que la salida no presenta discontinuidades ante discontinuidades en la entrada y, consecuentemente, puede ser elegida como variable de estado. No sucede lo mismo con la derivada de la salida, y, que presenta las mismas discontinuidades que la entrada y, por tanto, no puede elegirse como variable de estado del sistema.
  • 60 CAPíTULO 1 . MODELO DE ESTADO Para la elección de variables de estado, se va a utilizar la metodología de elegir la salida de los integradores. La ecuación propuesta puede escribirse como: s (iJ - u) = yu 2 - iJ 2 y, donde el término entre paréntesis puede obtenerse como integración del término de la derecha por tanto, elegirlo como variable de estado: X l = iJ + u que, introducido en la ecuación inicial, da como resultado la definición de su dinámi­ ca: . X l = yu - y· 2 En la ecuación de definición de la variable X l , se elige de nuevo como variable de estado la salida del integrador, esto es: X2 = y que es la ecuación de salida del sistema. Introduciendo este valor de y en la definición de X l se obtiene: X2 = X l - U e introduciendo los valores de y e iJ dados por las dos últimas ecuaciones en la ecuación de la dinámica de X l , se obtiene la siguiente ecuación del modelo de estado: . X l = X2 U2 - ( X l - U ) 2 Y que, junto con la ecuación de la dinámica de X2 la de salida, la definición de X2 , forman las ecuaciones del modelo de estado no lineal del sistema. 1 . 10. Ejercicios propuestos 1 . Dado e l circuito eléctrico de l a figura:
  • 1 . 10. 15 EJERCICIOS PROPUESTOS + e L R 61 '-----.----, L R L Tomando como entrada Ug , elegir un modelo de estado que contenga el mayor número posible de variables de estado entre l¡ , h , h , 14 , 15 . 2. Obtener l a matriz d e funciones d e transferencia corrrespondiente a l sistema repre­ sentado por el siguiente modelo de estado: y [ - O1 O2 ] [ XX2l ] [ O1 11 ] [ UUI2 ] [ O 1 ] [ �� ] [ O 1 ] [ �� ] - + + Lrj; 3. Obtener el modelo de estado linealizado respecto al punto de equilibrio del sistema representado por las ecuaciones: = 9 sin Mjj + FiJ <p - = jj cos <p u 4. Obtener el modelo de estado del sistema representado por el siguiente diagrama de bloques, tomando X l y X 2 como variables de estado.
  • 62 CAPÍTULO 1 . MODELO DE ESTADO 8 + 1 u(t) Xl 82 + 8 + 1 v (t) 1 8 + 1 5. Obtener el modelo de estado del sistema representado por el siguiente diagrama de bloques tomando X l , X 2 , X 3 , X4 como variables de estado. u(t) 6. Haltar un modelo de estado no lineal del siguiente sistema:
  • 2 2. 1 . S olu ci ón d e la ecu a ci ón d e esta d o d e si stem a s li n ea les Introducción En el capítulo anterior se ha establecido la forma de representar el comportamiento de un sistema mediante la ecuación de estado; tal como se encuentra formulada toma la forma de ecuación diferencial de primer orden. En principio, dada la diversidad en la naturaleza y comportamiento de los sistemas que pueden ser representados con esta metodología, no existe ninguna restricción en la forma de dicha ecuación, salvo los ya conocidos de causalidad y determinismo. Como ecuación diferencial que es, la ecuación de estado describe completamente el comportamiento del sistema al que representa y, sin embargo, es necesario resolver esta ecuación diferencial para tener un conocimiento explícito de la evolución de dicho sistema, lo que nos permitiría extraer conclusiones detalladas sobre su régimen de funcionamiento, tanto dinámico como estático. La solución de la ecuación en su forma más genérica, incluyendo la posibilidad de aparición de no linealidades arbitrarias, no puede abordarse de forma general; como en la mayoría de los casos de ecuaciones diferenciales no lineales, su tratamiento se ha de abordar de forma particularizada y, muchas veces, sin la posibilidad de obtener una solución analítica. Obviamente el problema es aún abordable haciendo uso de métodos numéricos de solución, pero estas técnicas quedan fuera del ámbito de estudio del presente texto. Es por este motivo que en este capítulo el desarrollo se va a ceñir a ecuaciones diferenciales lineales, dejando claro el hecho de que no se trata de una limitación propia de la utilización de variables de estado en la descripción del sistema, sino en la posibilidad práctica de resolución analítica del problema matemático subyacente. 63
  • 64 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES El objetivo en este capítulo es, por consiguiente, resolver la ecuación de estado de un sistema lineal en el caso más general, es decir: x(t) = A(t)x(t) + B (t)u(t) (2.1) La solución de esta ecuación se plantea, a semejanza con las ecuaciones diferenciales usuales, en dos fases: resolución de la ecuación homogénea y resolución de la ecuación completa. Cabe recordar que se conoce como ecuación homogénea aquella para la cual la entrada al sistema se anula, es decir, que dicho sistema no recibe estímulo externo alguno, por lo que la respuesta de éste vendrá dada por su evolución libre. Por contra, la ecuación completa contempla tanto esta evolución libre como la respuesta del sistema ante el estímulo externo mencionado. 2.2. Solución de la ecuación homogénea . Matriz de tran­ sición En la ecuación homogénea se supone que la entrada u(t) es nula, por lo que la ecuación a resolver es: x(t) con condiciones iniciales x(to) 2.2. 1. = = A(t)x(t) (2.2) Xo . Caso general Para encontrar la solución de la ecuación homogénea se puede utilizar el método de integración por aproximaciones sucesivas de Peano-Baker, que dice que dada una ecuación diferencial de la forma: x(t) f (x(t) , u(t) , t) x( to ) Xo , se puede obtener (2.3) = con condiciones iniciales construyendo una secuencia de funciones del tipo: = 'Po = 'P k (t) Xo = la solución de dicha ecuación 'P o + it f ( 'P k - l (T) , U(T) , T) dT ta (2.4) (2.5) en la que la solución de la ecuación diferencial se obtiene como: x(t) lím 'P k (t) k --+oo En el caso de una ecuación diferencial de la forma propuesta en la Ecuación 2.2 se obtiene la sucesión: = (2.6)
  • 2.2. 65 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN HOMOGÉNEA. MATRIZ DE TRANSICIÓN <p2 (t) = <PO + l: A(T) [xo + 1: A(TddTI XO] dT = = Xo + t A(T)dTXo + t A (T) r A(Tl )dTl dTXO = ho = ho ho [1 + Jt A(T)dT + Jt A (T) Jr A(TddT1 dT] Xo to to to (2.7) A medida que progresa la construcción de los sucesivos términos de la serie, se com­ prueba que en todos ellos va apareciendo un término Xo que se puede extraer por la derecha; después de la extracción de este factor común la expresión a la que se tiende es: X(t) = cp(t, to)xo (2.8) donde cp (t, to) es la llamada matriz de transición, mediante la que se construye la solución de la ecuación diferencial, y cuya expresión es: (2 . 9) El vector x(t) obtenido es solución de la ecuación homogénea con condiciones iniciales x(to) = Xo . Se puede demostrar además que esta solución es única. 2.2.2. Casos particulares de la matriz de transición La Ecuación 2.2 tiene una solución sencilla mediante el método de integración por aproximaciones sucesivas de Peano-Baker, cuando el producto de A(t) y Jt: A(T)dT es conmutativo. En este caso la matriz de transición viene dada por: (2.10) Teniendo en cuenta que: Al entrar con este resultado en el término general de la solución de Peano-Baker:
  • 66 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES d . . rk -3 A(Tk- 2 ) irk -2 �2 -l [irk - l A(Tk )dTk ] 2 dTk- l dTk- 2 . . . dT dTkta ta � [1:k-2 A(Tk )dTkr2 1: A(T) · · · 1:k - 3 A(Tk- 2 ) [ � [1:k -2 A(Tk )dTk] ] dTk- 2 dTk- 3 · · · dT 3 �. dTkd- 2 [irk - 3 A(Tk )dTk ] 3 ta , ¡ t A( T) . ita ita = " " v ' v - = y si se continúa con las sustituciones, sucesivamente se llega a que el término general de la serie de Peano-Baker es igual a: �[ con lo que la suma de la serie se convierte en: <I> (t, to ) = 2 ¡ t A(T)dT k + . . . ¡ t A(T)dT + . . . + ¡ t A(T)dT + 1 + . ita ita 2 . ita �, [ ] ] que, por ser el desarrollo en serie de Taylor de la función exponencial, se puede expresar como: ( r)dr (2.11) <I> (t, to ) e J,� A Existe una serie de casos en los que se cumple la restricción de que el producto de la matriz A(t) y su integral es conmutativo, por lo que en dichas situaciones se podrá hallar la matriz de transición de forma directa aplicando la expresión 2 . 1 1 : diagonal: en este caso, es claro que ambas matrices conmutan, por L a matriz A(t) lo que se puede aplicar la fórmula general, resultando: = es <I> (t, to ) 't e J,'o A ( r)dr J r ta e 'o l dT = e J,'o a l l ( r)dr O r[ aU { T l O � ann (T) O t ft o ann (T )dT O e J,'o ann ( r)dr 1 1 d, (2.12)
  • 2.2. 67 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN HOMOGÉNEA. MATRIZ DE TRANSICIÓN La matriz A(t) se puede factorizar: si a la matriz A se le puede extraer como fac­ tor común de todos sus términos una función del tiempo, de forma que se pueda expresar como el producto de una matriz invariante por dicha función, entonces se cumple el producto conmutativo del supuesto. Es decir, si: A (t) (2.13) Ma(t) donde M es una matriz invariante y a(t) es un escalar. Entonces: "' 'l' (t , t o ) - e Jtta A (T) dT - e J;a Ma (T) dT - e M J;a a ( T)dT = _ (2.14) _ La matriz A es invariante: en este caso, la matriz conmuta con su integral, de forma que se puede aplicar la expresión general: "' (t , t o ) - e J;a A dT - e A J;a dT - e A (t - ta) 'l' _ (2. 15) _ y En este caso, al depender la expresión de la matriz de transición q>(t, to) sólo de la diferencia entre el instante inicial el final, se suele utilizar la notación q>(t - to ) . La matriz A(t) es un escalar: en este caso, es evidente que la matriz su integral conmutan, puesto que en ambos casos se trata de escalares para los que siempre se da la propiedad de conmutación en el producto, por lo que la matriz de transición toma la forma: J; a (T) dT Ejemplo 2 . 1 y q>(t, to) = e a (2 . 16) Calcular la evolución del estado ante entrada nula para el sistema: sabiendo que to 1 diagonal entonces es: = q>(t, to) = Y o -2 O -1 [1 Xo e A(t - t a ) = [ - � �1 x 1 2V . Como la matriz del sistema es e t - ta O e - 2 (t - t a ) O con lo que la evolución libre del estado es: x(t) � " (t, l )x, � [ O O e- 2 (t - l ) O e- (t - l ) O et - 1 _e- 2 (t - l ) 2 e- (t - l ) 1
  • 68 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES Un caso más desarrollado de cálculo de la evolución libre del estado de un sistema se puede ver en el Ejemplo 2.6 al final de este capítulo. 2.3. Propiedades de la matriz de transición 1 . Derivación respecto al tiempo ¡ t A(T)dT Si se deriva la expresión genérica de la matriz de transición, se tiene: diJ>(t ' to) dt = A(t) + A(t) ta + . . . = A(t)iJ> (t, to) (2.17) Como se observa, la derivación cancela el primer integrando de todos los sumandos, por lo que la matriz A(t) puede ser extraída de todos los términos como factor común por la izquierda; después de esta extracción, lo que queda vuelve a ser la suma infinita que define a la matriz de transición, como queda reflejado en la expresión. Además, puede observarse que la matriz iJ> (t, to) cumple con la misma ecuación diferencial que el estado (Ecuación 2.2) , por lo que puede extraerse la conclusión de que cada uno de los vectores columna de la matriz de transición cumple con dicha ecuación diferencial homogénea. Se puede demostrar además que estas columnas forman un sistema generador del espacio de soluciones de la Ecuación 2.2, lo que significa que cualquier solución que se obtenga, dadas unas condiciones iniciales, se puede expresar como una combinación lineal de dichos vectores columna. n 2. Valor de la matriz de transición en to El valor de la variable x(t) para el instante t como condición inicial, es decir xo , por lo que to coincide con el �pecificado al particularizar la sohición para este instante inicial, teniendo en cuenta que la ecuación se cumple para cualquier estado inicial, se deduce que: y x(to) = iJ> (to , to)x(to ) :::} = iJ>(to , to) = 1 (2. 18) es decir, que la particularización de la matriz de transición para el instante inicial debe dar como resultado la matriz identidad de la misma dimensión. A esta conclusión se llega igualmente haciendo t to en la expresión de iJ>(t, to) mediante la serie de Peano-Baker (Ecuación 2.8) , por lo que todas las integrales se anulan permaneciendo únicamente la matriz identidad. = 3. Transitividad de la solución de la ecuación homogénea Si se calcula la solución de la ecuación homogénea para cualquier instante t2 , se obtiene:
  • 2.3. 69 PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE TRANSICIÓN Si se hace lo mismo para otro instante t i , se tiene: x(td = <I>(h , to)x(to ) Como la solución de la ecuación de estado es única, se debe alcanzar el mismo estado para un instante determinado si se parte de las mismas condiciones iniciales, por lo que también se cumple: por tanto, al ser válido para cualquier estado inicial, se deduce: Para el caso de sistemas invariantes, dado un instante t y un intervalo de tiempo T, la solución de la ecuación homogénea particularizada para el instante t + T es: (2. 19) (2.20) Si en la ecuación de transitividad se hace la suposición de que t2 = to , se obtiene: 4. Inversión de tiempos lo que, como consecuencia, permite afirmar que la matriz de transición ha de ser no singular. Para el caso de matriz A invariante, esta propiedad se reduce a: (2.21) Para cualquier cambio de representación del estado, x(t) = T(t)x(t) con la condi­ ción de existencia de T - i (t) se verifica: 5. Cambio de representación del estado <1> (t, to) = <I>(t, to)x(to) = T - i (t)<I> (t, to)T(to ) (2.22) En efecto, si en la solución de la ecuación homogénea se sustituye x( t) por su valor: x(t) =} T(t)x(t) = <I> (t, to )T(to)x(to) Despejando de esta ecuación el valor de x(t) : =} x (t) T - i (t) <I>(t, to )T(to )x(to) <1>( t, to) T - i (t) <I>( t, to )T( to) = = =}
  • 70 CAPÍTULO 2.4. Solución de la ecuación completa 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES El objetivo de este apartado es la resolución de la ecuación completa, es decir, cuando existen condiciones iniciales no nulas y entrada: x(t) = (2.23) A (t)x(t) + B (t)u(t) Para calcular la solución de esta ecuación se utiliza el método de variación de las constantes, según el cual se va a suponer que existe una z(t) , tal que la solución de la ecuación completa se puede expresar de la forma: x(t) = cI> (t, to)z(t) (2.24) hipótesis que se verificará a continuación, calculando la z(t) que lo cumple. Si la hipótesis formulada es correcta, entonces esta expresión de x(t) debe verificar la ecuación completa, por lo que sustituyendo en la Ecuación 2.23 queda: [ <Í> (t, to)z(t) + cI> (t, to) z (t) = ] A(t) cI> (t, to)z(t) + B (t)u(t) cI> (t, to) z (t) + <Í> (t, to) - A(t) cI>(t, to) z(t) o , = .1 v B (t)u(t) (2.25) (2.26) donde el término entre corchetes se anula por la primera propiedad vista para la matriz de transición y, como cI> (t, to ) es no singular, se puede despejar z (t) como: z (t) = cI> - l (t, to)B (t)u(t) (2.27) que mediante integración se resuelve, demostrando que existe la z(t) que cumple con la hipótesis formulada en principio: z(t) = z(to) + t ( cI> - l (T, to)B(T)U(T)dT ita (2.28) donde al aplicar la propiedad de inversión de tiempos a la matriz cI> (t, to) , y teniendo en cuenta que z(to) x(to ) a partir de la ecuación 2.28, se obtiene: = z(t) = x(to) + t ( cI>(to , T)B(T)U(T)dT ita (2.29) Si se sustituye esta expresión en la Ecuación 2.24 se obtiene: x(t) = t ta cI>(t, to)xo + cI>(t, to) i( cI> (to , T)B(T)U(T)dT (2.30) En el segundo término aparece cI> (t, to ) fuera de la integral, pero como no depende de la variable de integración puede introducirse dentro de la misma, y al producto entre ésta
  • 2.4. 71 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN COMPLETA y <I>(to , T) aplicarle la propiedad de transitividad para reducirlo, de forma que al final queda la siguiente expresión de la solución de la ecuación completa: x(t) = <I> (t, to )xo + i( <I> (t, T)B (T)U(T)dT t ta (2.31) Se observa que la solución completa de la ecuación de estado es una suma de dos términos: El primero representa la evolución libre del sistema propiciada por la situación inicial de las variables de estado o, dicho de otro modo, debida a las condiciones iniciales cuando la entrada es nula. Como puede verse, este término existe si sólo si existen condiciones iniciales no nulas. El segundo representa la evolución forzada del sistema, debida a la acción producida por la entrada del sistema. • y Ejemplo 2 . 2 • [ Determinar la evolución del estado ante entrada escalón para el sistema definido por: o -2 x+ u O -1 -1 = 1 Xo = [1 - 1 =[ <I> (t, to) = sabiendo que to Y eA ( t-t a l �l � �l 2 ] T . Del Ejemplo 2 . 1 se sabe que: e t-t a O e- 2( t-t a l O así como la evolución libre del sistema partiendo de las condiciones iniciales dadas, por lo que, aplicando superposición , la evolución del estado ante entrada escalón es:
  • 72 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES Otro caso de cálculo de la evolución forzada del estado de un sistema se puede en­ contrar en el Ejemplo 2.6 al final del capítulo. 2.5. Cálculo de la matriz de transición Por lo expresado en el apartado anterior, el cálculo de la matriz de transición de un sistema es equivalente al cálculo de la exponencial de una matriz: <I>(t, to) = eJ,'o A (r) dr Se van a estudiar tres métodos para la obtención del resultado de esta expresión. 2.5. 1. Método de Cayley- Hamilton Para los casos en que la matriz A(t) sea factorizable según la Ecuación 2.13, que incluye el caso invariante, la matriz de transición se puede expresar mediante su desarrollo en serie, que no es sino un polinomio infinito que depende de M y de t: e M J,'o a(r)dr donde: = k=O 00 L a k (t)M k = Q(M, t) (2.32) (2.33) Para el caso de matriz A invariante el planteamiento sería el mismo, salvo por el hecho de que la función a(t) es igual a uno. Como se verá a continuación, por el teorema de Cayley-Hamilton este polinomio infinito particularizado en A(t) puede calcularse mediante un polinomio R(M, t) , de grado finito y menor que Llamando P(>') al polinomio característico de la matriz M, cuyo grado coincide con el número de variables de estado se forma el cociente entre el desarrollo en serie de la matriz de transición y éste, obteniéndose la expresión: n. n, Q (>., t) = C(>', t)P(>.) + R(>', t) donde C(>', t) es el polinomio cociente y R(>', t) es un polinomio de grado la división entre el polinomio infinito y el polinomio característico: R(>', t) Por el teorema de Cayley-Hamilton: L = nj=-Ol hj (t)>.j P(M) =O n - (2.34) 1 , resto de (2.35) (2.36)
  • 2.5. 73 CÁLCULO DE LA MATRIZ DE TRANSICIÓN es decir, que el polinomio característico de M se anula particularizado para sí misma, por lo que, sustituyendo en la Ecuación 2.34 A M, se puede deducir que: Q(M, t ) R(M, t) (2.37) Esta expresión presenta la ventaja de haber reducido el problema de obtener un polinomio de grado infinito al problema de obtener un polinomio de grado finito. Para obtener los coeficientes del polinomio R(M, t) se hace uso de la propiedad de que los valores propios anulan el polinomio característico: = = (2.38) donde los Ai son los valores propios de la matriz M, por lo que: (2.39) n con lo que se obtiene un sistema de ecuaciones: n- 1 e Ai J:o Q{ r)dr R ( A i t ) L hj ( t)A{ , = Ejemplo 2 . 3 n = que permitiría obtener las incógnitas hj ( t). (2.40) j= a [ -22 13 ] Calcular la matriz de transición del sistema definido por la matriz: A = - En primer lugar se calculan sus autovalores, comprobándose que sus valores son A l - 1 , A 2 - 4 . A continuación, se plantea la ecuación asociada a cada uno de ellos, sustituyendo en la Ecuación 2 .40. con lo que resulta : = y = e-(t-to) { e-4(t-to) = ha - h 1 ha - 4h 1 = � (4e- (t-to) - e-4 (t-to) ) , h 1 � (e- (t-to) despejando este sistema resulta : ha = = [ ��(2(e-(t-to) +e-4(t-to) )) e-(t-to) e-4(t-to) por lo que la matriz de transición resulta : <I> ( t, ta ) = ha I+h 1 A = _ _ e-4(t -to) ) � ( e-(t-to) e-4(t-to) ) � ( e-(t-to) + 2 e-4(t-to) ) _ ]
  • 74 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES Otro caso de obtención de la matriz de transición haciendo uso de este método para un sistema no invariante puede verse en el Ejemplo 2.7 al final de este capítulo. En el caso de que la matriz M presente algún valor propio múltiple, para obtener t�tas ecuaciones distintas como incógnitas, se deben utilizar las derivadas de la Ecuación 2.34 hasta un orden inferior en una unidad a la multiplicidad del valor propio. Dado un valor propio Ai con multiplicidad mi , el polinomio característico es de la forma: (2.41) con lo que la expresión del cociente entre polinomios queda: C��, t) Pi (A) (A _ Ai ) mi Si se deriva esta expresión respecto a A, resulta: dQ(A, t) dA + d C(A, t)Pi (A)mi (A _ = Ai ) �y R�� + d ) (A C(A, t) m i - l + d , t) (2.42) _ Ai ) m i (2.43) expresión en la que todos los términos se anulan al particularizar para Ai salvo el último, quedando: dQ (A, t) dA I A=� Y dR(A, t) dA I A=� (2.44) Esta igualdad entre la derivada de Q (A, t) la del polinomio R( A, t) se seguirá cumpliendo hasta la derivada de orden mi - 1 inclusive. A partir de este orden aparecen sumandos que no dependen de (A - Ai ) que, por lo tanto, no se anularán cuando se particularice la derivada de orden superior de Q (A, t) en Ai . Ejemplo 2.4 y A = [ -21 O1 ] Obtener la matriz de transición del sistema definido por: sabiendo que to = o. En primer lugar se determinan los valores propios de la matriz dada , com­ probándose que ambos coinciden en A l , 2 1 , es decir, un valor propio doble. Se cum ple que: =
  • 2.5. 75 CÁLCULO DE LA MATRIZ DE TRANSICIÓN y, al ser el valor propio doble, se ha de cumplir también que: dQ (>., t) dR(>', t) t =} t e A - h 1 d>' - d>' De donde, sustituyendo >. por su valor, se tiene el sistema de ecuaciones: e t = ho + h 1 t e t = h 1 =} ho _ Sustituyendo en el polinomio resto queda : _ = (1 - t) e t tet (1 - t)é 2.5.2. ] Mét o do de J ordan Al igual que para el método de Cayley-Hamilton, se parte de una forma de la matriz que permita su factorización de la forma que se expresa en la Ecuación 2.13, con lo que la matriz de transición del sistema toma la forma: A(t) El método de Jordan consiste en realizar una transformación: = = T - 1 A(t)T = T - 1 MTa(t) (2.45) que transforma a la matriz del sistema en: A(t) Ma(t) (2.46) de manera que sea diagonal en cajas de Jordan, conocida como forma canónica de Jordan. Tal como se vio en el teorema de cambio de representación de estado, si se consigue encontrar la matriz de transición para el sistema en el nuevo sistema de referencia, �(t, to) , es posible obtener la del sistema original mediante la transformación: <l> (t, to) = T�(t, to)T - 1 (2.47) Para el cálculo de la matriz T se sabe que, en el caso de que todos los autovalores sean distintos, ésta se compone, por columnas, de los vectores propios asociados a los valores propios de la matriz M. La ventaja de esta transformación es que la exponencial de una matriz diagonal en cajas de Jordan se calcula de forma muy sencilla; la exponencial de una matriz en cajas
  • 76 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN D E LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES de Jordan es una matriz en la que cada bloque de la diagonal es la exponencial de una caja: <I>(t, to) = MI O O M2 exp O t u(r)dr e M " It o" O O ¡h a(T)dT to O O O t It o" u(r)dr e M2 Mi O O - t u(r)dr e Mi It o" O O (2.48) donde M i a(t) son cajas de Jordan I de la matriz Á (t) . La exponencial de algunas cajas de Jordan es la siguiente: Exponencial de una caja con valores propios distintos: si la matriz es: la exponencial es: Valor propio múltiple: = = si la matriz es: Á i (t) M i a(t) ). 1 O O ). 1 O O ). O O O e O O O O ). Ak O O 1:; u(r)dr (2.49) a(t) 1 En el Apéndice A de este libro , Sección A.2, se muestra un método para la obtención de la matriz diagonal en caj as de Jordan
  • - t to e 1'1 A i (r)dr = e Mi ftoi a(r)dr = 77 2.5. CÁLCULO DE LA MATRIZ DE TRANSICIÓN la exponencial es: - O 1 O O 1 Ut: a(T)dT) n - 2 (n 2 ) ! Utto a(T)dT) n - 3 O = e A f:� a(r)dr Ut: a(T)dT) 2 2! Jt: a(T)dau O O 1 1 Jt: a(T)dT Ut: a(T)dT) n - l (n - 1 ) ! - ( n - 3) ! (2.50) De esta forma, según el método de Jordan, el cálculo de la exponencial de una matriz se realiza en los siguientes pasos: Cálculo de la matriz diagonal en cajas de Jordan, mediante el cálculo previo de las matrices T T- l . Cálculo de la exponencial de la matriz diagonal en cajas de Jordan, � (t, to) . Multiplicación de esta matriz por las matrices de transformación para devolver el sistema a su expresión original, <p(t, to) . • • y Ejemplo 2 . 5 • A= [ ] Calcular la matriz de transición del sistema definido por la matriz: Del Ejemplo 2.3 sabemos que los autovalores de esta matriz son A l = - 1 , A 2 = - 4 . A continuación se calculan los vectores propios asociados, con los que se construye la matriz de diagonalización del sistema : A= [ -O1 O ] - 2 1 2 -3 Con lo que se tiene: -4 --> � (t, to) = [ e -(t - to ) 2
  • 78 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES En el Ejemplo 2.8, al final del capítulo, puede encontrarse un caso de cómputo de la matriz de transferencia haciendo uso tanto del método de Cayley-Hamilton como del de Jordan, mientras que en el Ejercicio 3 se puede ver un caso de aplicación de estas metodologías para un caso no invariante. 2.5.3. Mediante la transformada inversa de Laplace = Si el sistema es invariante, la ecuación de estado se puede resolver mediante la trans­ formada de Laplace. Se parte de la ecuación: sX(s) - Xo = AX(s) + BU(s) =} (sI - A)X(s) = Xo + BU(s) =} X(s) = (sI - A) - l XO + (sI - A) - l BU(s) x(t) Ax(t) + Bu(t) Tomando la transformada de Laplace: y = =} =} (2.51) tomando antitransformada de Laplace: x(t) l -l .:¿ - [(sI _ A) - l ] Xo + .:¿ [(sI - A) - l BU(s)] (2.52) Esta expresión permite obtener la evolución del estado en función de las matrices de las ecuaciones de estado y del estado inicial. Como puede observarse en la Ecuación 2.52, si la entrada al sistema es nula, el segundo sumando se anula. Por otro lado, la situación de entrada nula es la que se plantea para la ecuación homogénea, por lo que se propone un método alternativo para hallar su solución como: l -l x(t) = .:¿ [(sI - A) - ] Xo (2.53) Por tanto, se puede establecer una correspondencia entre la expresión de la solución completa, mediante la transformada de Laplace, y la expresión general hallada en la sección anterior. De esta forma, identificando el primer término, como se acaba de hacer, se observa que la matriz de transición se puede hallar como : = (2.54) En cuanto al segundo sumando, se comprueba, por las propiedades de la transformada de Laplace, que: l .:¿ - [(sI _ A) - l BU(s)] cI> (t) * Bu(t) (2.55) que se corresponde con una integral de convolución en el dominio del tiempo, convolución que aparece como segundo sumando de la solución general de la Ecuación completa 2.52.
  • 79 2.6. EJEMPLOS ADICIONALES 2.6. Ejemplos adicionales Ejemplo 2 . 6 Determinación de la evolución del estado Xl 1 [ �l ] = [ -O1 -O2 ] [ X2 ] [ -3 ] u(t) , X2 = Calcular la evol ución del estado del sistema dado por: + to O x(to) = Xo = -4 [2] a . Ante entrada n u l a . b. Cuando la entrada e s u n esca lón u n itario. c. Cuando la entrada es u(t) = sin(t) . En pri mer l ugar se ha de ca lcular la matriz de tra nsición del sistema , cá lculo que resu lta trivia l en este caso a l ser la matriz A diagon a l . A partir de este resu ltado se pla ntea la sol ución a cada uno de los casos que se exponen en el ejemplo. . x(t) = <p(t, O)xo = [ e-t O2 ] [ 2 ] = [ 24ee-t2t ] O e- t - a . Ante entrada n u l a , el estado evol uciona según la expresión : -4 +---:-----:==---...,,---:4;--;c-s La representación gráfica de la evol ución de cada una de las varia bles de estado es la representada en la siguiente figura : Xl 2 t 0.5 +--�--�2--�3==�4��S t -4 Lo que defi ne una trayectoria en el espacio de estado q ue se representa en la sigu iente figura :
  • 80 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES 1.5 -1 -2 -3 -4 b. Ante entrada esca lón u nitario, la evol ución del estado se ca lcula haciendo uso de la expresión que proporciona la sol ución de la ecuación com pleta : x(t) = <I> (t, O)xo + Jt <I> (t, T)B (T)U(T)dT = = [ ] +¡ [ O O =[ 2 e-t _4 e- 2t to t to e - ( t- r) e- 2 ( t- r) 1 + e-t _4 e- 2t + � ( e- 2 t - 1) ] Esta evol ución tem pora l se representa gráfica mente en las figuras que a pare­ cen a conti n uación : Xl X2 2 1.5 4 5 t -2 0.5 3 -1 1 1 -3 4 5 t -4 En la siguiente gráfica se m uestra la trayectoria dentro del espacio de estado marcada por estos com porta m ientos. -1 -2 - 3 -4 0 . 5 1 1 . 5
  • 81 2.6. EJEMPLOS ADICIONALES c. En el tercer caso pla nteado, la entrada al sistema es una senoide, por lo que la evol ución del estado se ca lcula nueva mente haciendo uso de la expresión obtenida para la ecuación com pleta . x(t) = !I> (t, O)xQ + t !I> (t, r)B (r)u(r)dr = ] Jt a t + f Jtta, [ = ] [ !3 ] e- ( t-T ) o sin (r)dr = e- 2 ( t - T ) o 2 e - t + 1. ( e-t - cos(t) + sin(t)) _4 e-2t - ( e- 2t - cos(t ) + 2 sin(t )) [ j ] En las gráficas q ue se m uestra n a contin uación puede observarse la evolu­ ción de las dos varia bles de estado, a lo largo del tiem po, cua ndo la entrada es una senoide: X2 X, 1 2 o t -1 -2 -3 -4 E l i m i n a ndo el tiempo de estas expresiones, se obtiene la trayectoria en el espacio de estado q ue se representa a conti nuación : 1 -2 -3 -4 1 . 5 2 Xl
  • 82 CAPÍTULO 2 . SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES Ejemplo 2 . 7 Evolución del estado de un sistema no invariante [ XX2l ] [ -4 sin(t) -3sin(t) ] [ XX2l ] Sin(t) 2 sin(t) [ _� ] t O Calcular la evol ución l i bre del sistema dado por el modelo de estado: = partiendo del estado i n icia l Xo en o = = En primer l ugar, se com prueba q ue la matriz A(t) del sistema es ta l q ue admite una factorización como la expresada en la Ecuación 2 . 13, por lo q ue es susceptible de utilizarse el método de Cayley- H a m i lton . Dicha factorización q ueda como: A(t) = [ -4 sm(t) s in(t) . 2 sin(t) -3 sin(t) ] [ -41 -3 ] sin(t) 2 = =} { [ 1 2 M = - -3 4 a(t) = sin(t) U na vez identificados los factores, el siguiente paso es el cá lculo de los va lores propios de la matriz M, q ue posteriormente servirán para pla ntear las ecuaciones media nte las que se despej a n los coeficientes del pol inomio resto. con lo que los a utova lores son = 1 , A = -5. El sigu iente paso e s pla ntear l a s ecuaciones que igua lan l a s exponencia les de los va lores propios con la particu larización del poli nomio resto para los m ismos: 2 det [.U - M] = A + 4A - 5 Al 2 = (A - l ) (A + 5) que, a plicada sobre los va lores propios, origi na el sistema de ecuaciones : Ai 1 Ai = - 5 = que despeja ndo dej a : ho h1 =} =} e (1 - cos (t)) = ho + h 1 e -5(1 -cos (t)) = ho - 5h 1 � ( e -5(1 -COS(t)) + 5 e ( 1 -COS(t)) ) � ( _ e - 5(1 - c os (t)) + 5 e (1 - COS(t)) ) ]
  • 83 2,6. EJEMPLOS ADICIONALES La matriz de tra nsición se encuentra sustituyendo estos coeficientes en la expresión del pol inomio resto y particularizá ndolo para la matriz M : [ cp (t, to) = ho I + h 1 M = :3 1 e -5C(t) + 2e C(t) _ 2e -5C(t) + 2e C(t) _ e -5C(t) + e C(t) 2e - 5C(t) + e C(t) ] donde C(t) = (1 cos(t) ) . Conocida l a matriz cp (t, to ) , ya es posible ca lcular l a evolución del sistema a partir del estado i ncial proporcionado y, dado que la entrada es nula a l ped i rse la evol ución l i bre: - 1 x (t) = cp (t, O ) xo = :3 [ 4e C(t) + 5 e -5C(t) 4e C(t) _ l Oe -5C(t) /: ] que, representado en función del tiempo y en el espacio de estado, q ueda : 10 10 X, X, 2 / // ( I +/ --;c-----:--�,--+--;:;--;";; + v· 10 -2 x, 10 t 8 4 2 4 -2 8 1 0 Xl Ejemplo 2 . 8 Evolución temporal de un sistema de depósitos comunicados En el sistema de depósitos com u n ica ntes del Ejemplo 1 .7 se desea ver la evol ución de a m bas alturas cuando el fl ujo de entrada es consta nte de valor F, siendo su modelo de estado l i nea l izado el calcu lado a nteriormente en d icho
  • 84 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES ejemplo: donde los va lores de estas matrices dependen de los pará metros físicos del sistema concreto y de su pu nto de l i nea l ización . Para hallar la evol ución tem pora l de las a lturas es necesario calcular previa­ mente la matriz de tra nsició n , q ue se va a resolver primero media nte el método de Cayley- H a m i lton y después media nte el método de Jord a n . En a m bos méto­ dos se ca lcula en primer l ugar el pol i nomio característico del sistema y sus va lores propios (es deci r, polos del sistema ) . P(A) = det [AI - A] = de t + [ A-aa2 l Resolviendo este polinomio característico se obtienen los dos polos rea les del sistema q ue denomina mos A l y A 2 . M atriz de transición por el método de Cayley- Hamilton Particu lariza ndo el poli nom io eA t = hoI + h l A para a m bos va lores propios se tiene: e )l 1 t = ho + h l A l e A 2 t = ho + h l A 2 y resolviendo a m bas ecuaciones en ho ho y h l : A2 eA 1 t - A l eA2 t A2 - A l e A 1 t e A2 t _ Sustituyendo estos va lores en el polinomio que determ ina la matriz de tra n­ sición se obtiene: [ <I>(t, O) = eAt = hoI + h l A = 1 (A 2 + a d e A 1 t - (A l + a d e A 2 t - A2 - A l -a 2 e A 1 t + a 2 e A 2 t _ Al m ismo resu ltado se l lega resolviendo la matriz de tra nsición por el segundo método propuesto.
  • 85 2.6. EJEMPLOS ADICIONALES M atriz de transición por el método de Jordan La matriz T de ca mbio de base que diagona liza la matriz A de la dinámica del sistema está formada por los vectores propios y correspondientes a los dos valores propios y que se ca lculan a conti n uación : Al A2 , [A.I - Al [ �:� ] donde sustituyendo el va lor de A: [�] VI V2 i = 1, 2 i Ai = 1, 2 Supri miendo la segunda ecuación por ser combi nación l i nea l de la pri mera es u n va lor propio ) , q ueda la siguiente ecuación aplicable a cada va lor propio: ( puesto q ue = 1, 2 Haciendo por ejemplo Vil = al, se obtiene Vi 2 = al + Ai, por lo ta nto la matriz de ca m bio de base d iagonal iza nte, formada por a m bos vectores propios, q ueda : i T= [ y ca lcula ndo su matriz inversa : con lo q ue la matriz de tra nsición en la base origi n a l del sistema resu lta : = eAt = TeÁtT- l = 1 e ¡t +A al(A2 - Ad [ al � Al al � '2 ] [ � e�2 t ] [ ��l _ �l ��l ] = al (A + al)e),¡t - al (Al + ade), t -aie),¡t + aie), t [ (al 2+ Al)(A2 + ad(e),¡t - e),2 t)2 -al (Al + ade),¡t + al(A22 + al)e),2 t <I> (t, O) si en los térmi nos de la segu nda fila de esta matriz se tienen en cuenta las Y los polos sigu ientes relaciones entre los pará metros deducidas de los coeficientes del poli nomio característico: ai Ai,
  • 86 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES se obtiene la siguiente expresión de la matriz tra nsición: coincidente con la calculada anteriormente. Evolución temporal La evol ución tem pora l de las a lturas se resuelve a partir de la matriz de tra nsición a nteriormente ca lculada media nte: donde Fl (T) es la evol ución del fl ujo de entrada entre el i nsta nte i n icial que se toma como origen de tiem pos (nótese que es un sistema i nvaria nte) y el insta nte genérico posterior t. En nuestro caso esta mos interesados en ver la evolución cuando el fl ujo es consta nte Fl (t) = F, pudiendo va ler O en el caso de que no exista ca udal de entrada . Por ta nto, sustituyendo el valor de eA t y efectuando la i ntegra l a nterior se obtiene: donde el primer suma ndo representa la evol ución l i bre del sistema, es deci r, la evol ución de las a lturas desde sus cond iciones i n icia les en a usencia de ca udal de entrada, y el segundo térm ino representa la evol ución de las alturas cua ndo las condiciones i nicia les son n u las (es decir, va lores i ncrementa les n u los respecto a l pu nto d e l i nea l ización) y se i ntroduce u n fl ujo consta nte d e va lor F . Obsérvese q u e este sistema ha podido resolverse analítica mente media nte l a matriz d e tra nsición , porque e l sistema h a sido previa mente l i nea l izado en torno a un pu nto de funcionamiento. Esta resol ución analítica media nte la matriz de tra nsición no es posible, sin embargo, si se utiliza n las ecuaciones no l i nea les origi nales del sistema , en cuyo caso la resol ución de la evolución de las a lturas debe efectuarse de forma genérica media nte un progra ma de s i m u lación.
  • 87 2.6. EJEMPLOS ADICIONALES [ h�21 ] = [ -0,441 0,588 ] [ hh21 ] + [ 0,5O ] F1 Si se considera el sistema concreto del Ejem plo 1 .7 , cuyas ecuaciones son : 0,441 -0,996 de donde se tienen los siguientes polos del sistema: con lo que la matriz de tra nsición resulta nte es: <p(t, O) = 7 394 13 9t [ 0 ,'506gee--00,,139t + 0O,'506gee-- 11 ,,33tt 2606 O _ ). 1 = -0,139 Y ).2 = - 1 ,3, 0,3802 e - 0 , 13 9t - 0,3802 e - 1 , 3 t 0,2606 e - 0 , 139t + 0, 7394 e- 1 , 3t ] [ hh2l (t) ] (t) [ 0,506gee-- 00,,139t + 0,506gee -- 11 ,,33tt 0,3802ee--00,,139t - 0,3802ee-- 11 ,,33tt ] [ hh2lO0 ] 0, 7 394 13 9t 0 ,2606 0,2606 13 9t 0, 7 394 - 2 6661 ( e - 0 , 13 9t 1) - 1 82 7 8( e - 1 , 3 t - 1 + F [ -0 ; 1003( e - 0 , 13 9t - 1 ) + 0 ; 1952( e - 1 , 3 t - 1 ) ] ) y la evol ución de las alturas resulta : _ + _ donde poniendo como condiciones i nicia les d e las alturas e n a m bos depósitos [h l O h 20 ]T = [0,5 0,5f e i ntrod uciendo u na entrada consta nte de va lor F = 1 , siendo todos estos valores i ncrementa les sobre el p unto de l i nea lización , se obtiene la evol ución de las alturas representada en la siguiente figura : 2 5 r-----�--�--__, E 2 S� 1 . 5 � � � 0� ----2 ----�----��----�--�0 4 6 1 8 tiempo (5 ) 1 2 S 08 N §. � 06 O ----�----�----�------�--�0 � 4 6 2 8 1 tiempo (5 ) +
  • 88 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES En la siguiente figura se representa la trayectoria de esta evol ución de las alturas en el espacio de estado, siendo ésta una cu rva para métrica en fu nción del tiem po, que por ta nto no figu ra de forma explícita . En d icha figura puede observarse la evol ución l i bre de los incrementos de las alturas ( es deci r, a nte entrada i ncrementa l n u la ) , la evol ución desde condiciones i nicia les n u las y con entrada incrementa l y, por ú ltimo, la evolución fi nal de los i ncrementos de las alturas cua ndo existen condiciones i nicia les y entrada , como suma de las dos trayectorias a nteriores . 1 4r-----�--�--_, 12 .s °B E"' 0 6 04 02 � - evolucion libre - - - desde e i nula -- evolucion total 2==�5 2 15 % -�� 5--�1���===� �� - 0� h1 (t) (m ) Las evoluciones a nteriores de las a lturas se han ca lcu lado de forma analítica a partir del sistema l i nealizado en torno a un pu nto de fu ncionamiento, lo que perm ite u n a n á l isis matemático de esta evol ución enca m i nado a l cá lculo de una estructura de control por rea l i mentación del estado, según se verá en capítu los posteriores. La resol ución analítica del modelo de estado no l i nea l no es posi ble de forma genera l , por lo q ue su evol ución sólo puede obtenerse media nte un progra ma de simu lación n u mérica que resuelva d ichas ecuaciones no l i nea les de forma iterativa . En la siguiente figura pueden observarse las diferencias de la evol ución de los i ncrementos de a ltura entre el sistema rea l no l i nea l y la aproxi mación l i nea l en torno a l pu nto FlO = 1, h lO = 1 ,38 Y h 2 0 = 0, 816. g4 s ..... � : 5 3 35 2 " ,//,/ OOO � 0 0 0 ________---i 0 0 0 - - modelo no lineal - modelo linealizad tiempo (s ) o 1 � --�0��2� � 1 O���==4O==�· 30 � 50 3 5r---�----� 3 ///'/'�-------l 0 0 0 00 0 - - - modelo no lineal - modelo linealizad tiempo (s ) 10 --� � 1 0��2� O�=7.�==� 30 4O==� 50
  • 89 2 . 7 . EJERCICIOS RESUELTOS O bsérvese que en las proxi m idades del p u nto de l i nea lizaci6n, esto es, para [h lO h 2 0 V = [O oV , el com porta m iento del modelo l i nea l es similar a l del sistema no linea l , haciéndose nota ble la d iferencia cuando los va lores i ncrementa les de la altura se a lej a n de las cond iciones i nicia les n u las. En el ejemplo propuesto esta d iferencia se hace m uy nota ble en régimen permanente, porq ue la entrada i ncrementa l i ntrod ucida F = 1 su pone un 100 % de a umento sobre el pu nto de l i nea l ización defin ido por FlO = 1 , con lo q ue las a lturas se desvía n m ucho de sus respectivos va lores de l inea l ización h l O = 1 ,38 Y h 2 0 = 0, 816. Estas diferencias entre a m bos modelos será n , sin embargo, mín i mas cuando exista un sistema de control que gara ntice peq ueñas variaciones de las a lturas respecto a su punto de l i nea l izaci6n, lo que será objeto de estudio en ca pítu los posteriores. 2 . 7. 1. Ejercicios resueltos Hallar la matriz de transición del siguiente sistema: El primer paso para hallar la expresión de la matriz de transición es el cálculo de los autovalores de la matriz A, que como ya se sabe coinciden con los polos del sistema. Para ello, se ha de resolver el polinomio característico: det ( AI - A) A + 3 -1 O O -1 A + 3 = (A + 3) 3 _ (A + 3) = O A+3 O 2 - 1] = (A + 3) (A + 2) (A + 4) (A + 3) [(A + 3) Por lo que se tiene que los valores propios son: Al = - 2 A 2 = -3 A3 = - 4 A partir del conocimiento de estos valores propios, los polos del sistema� existen dos posibilidades para calcular la matriz de transición: utilizar el método de Cayley­ Hamilton o el de Jordan. • Método de Cayley-Hamilton Se plantea el sistema de ecuaciones correspondientes a la particularización
  • 90 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO D E SISTEMAS LINEALES del polinomio eAt = hol calculados: + e - 3 t = ho - 3h 1 de donde despejando ) h 1 A + h 2 A 2 para cada uno e - 2 t = ho - 2h 1 + 4h 2 + 9h 2 de los valores propios e - 4 t = ho - 4h 1 + 16h 2 los coeficientes (ho , h 1 , h2 ) se obtiene el ho = 6 e- 2 t - 8 e - 3 t + 3 e - 4 t resultado: 1 1 h 2 - 2 e - 2t - e - 3t + 2 e - 4t Con estos coeficientes se plantea la ecuación mediante la que se obtiene la matriz de transición: 1 - ( e - 2t - e - 4t ) 2 � ( e - 2t + e - 4t ) 2 O • Método de Jordan Conocidos los valores propios, se sabe que existe una base del sistema para la cual la matriz del sistema es diagonal, y en dicha base de referencia la matriz de transición toma la forma: 4>(t) = [ e - 2t O O O e - 3t O O O e - 4t 1 Basándose en la transformación que pasa la matriz A a forma diagonal, se puede calcular la matriz de transición del sistema para el sistema original a partir de la matriz 4>. Como ya se sabe, la matriz que diagonaliza A es la formada por columnas, por sus vectores propios, por lo que el cálculo de la matriz de transformación T se reduce al cálculo de los vectores propios asociados a los valores propios calculados. Particularizando la expresión (Al ­ A) = O para los distintos valores propios se obtiene: A � -2, => [ -� -� n [ �:: 1 [ � 1
  • 91 2 . 7 . EJERCICIOS RESUELTOS =} [il -� � 1 [ 1 [ n [ [n v"' 1 ] [ [�1 [ [ -l l Vll = V12 V13 = O -1 =} A = -3, O O V22 = O V21 = O - =} A = - 4, =} V, � v" V22 V23 V2 = 1 -1 O -1 -1 O O O 1 V31 = - V32 V33 = O =} V32 V33 v3 � y de donde se obtiene que la matriz de transformación T su inversa valen: [ 1 Aplicando la transformación dada por T a la matriz <1>, se obtiene la expresión de la matriz de transición en el sistema de referencia inicial: ll (t) = T<1>T - 1 = � 1 � ( e - 2 t + e - 4 t ) "2 ( e - 2 t - e - 4t ) 1 - ( e - 2t - e - 4t ) _ ( e - 2t + e - 4t ) 2 2 O O O O e - 3t y l a evolución d e las variables d e estado del sistema representado mediante la siguiente ecuación diferencial: 2. Obtener e l modelo de estado y + 7fj + 14y + 8y = O con las siguientes condiciones de contorno: to = O y (to) = 2 y(to) = - 1 fj (to) = 1
  • 92 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES En primer lugar se han de elegir las variables de estado; en este caso, dado que la ecuación es de tercer orden, serán necesarias tres, siendo una posible elección: Xl = y X 2 = iJ X 3 = fj :h = X2 X2 = X3 X 3 = - 7X 3 - 14x 2 - 8X l con lo que el modelo de estado expresado en forma matricial queda: o 1 O O -8 - 14 A partir de esta expresión se calcula la matriz de transición por el procedimiento habitual; en primer lugar, se extraen los valores propios, que identifican a los polos del sistema por lo tanto, su dinámica: y, A -1 O O A - 1 = A 2 (A + 7 ) + 8 + 14A = 8 14 A + 7 A 3 + 7 ). 2 + 14>. + 8 = (A + 4) (A + 2) (A + 1 ) det(AI - A) Una vez conocidos los valores propios de la matriz A, se calculan los vectores propios para hallar la transformación que la diagonaliza (método de Jordan) : A = -l, =} V1 1 = - V12 A = - 2, =} - 2 V21 = V22 A = -4, =} - 2 V22 = V23
  • 93 2 . 7 . EJERCICIOS RESUELTOS Con lo que la matriz de transformación es: T� [ -¡ 1 1 - 1 -2 1 16 4 8 3 ] T- 1 = 1 3 1 2 - -2 - 5 2 - 1 3 2 - 1 1 - 6 2 De esta forma, transformando la matriz de transición de la expresión diagonalizada de la matriz A, se obtiene la matriz <I> del sistema en su referencia original: -1 O O -2 O O 3 e - t - 2e - 2t 8 3 e - t - 2e - 2 8 1 3 e - 4t + + J] Te 2e -t - 2 e - 2t 1 2 e - 4t <I> (t) = T1>(t)T - 1 = 5 + 16 - 4 t },, ] 1 1 3 e - t - 2 e - 2t 1 - 3 e-t 1 (l e - 4 t e - 2t - 3 e - 4t 1 3 e - t - 2 e - 2t + + + 8 3 e - 4t 2 3 . Obtener la evolución del estado del siguiente sistema, supuestos conocidos X l (to) X2 (tO) : 1 Y Como se ha visto en este capítulo, éste es uno de los casos en los que es factible encontrar una solución sencilla para la ecuación de estado, puesto que se trata de una matriz A(t) que puede descomponerse en el producto de una función del tiempo por una matriz constante. Como se vio entonces, la forma de hallar la solución de esta ecuación de estado es resolviendo: ; (T)dT ; a(T)dT 'I' (t , t o ) - e I o A - eM I o - e "' _ _ _ [ 31 22 ] (t 2 _ t � ) 2 El cálculo de la exponencial de la matriz se puede realizar según los dos métodos explicados, bien por diagonalización o bien por Cayley-Hamilton: • Método de J ardan / >.__ = (A - l ) (A En primer lugar se calculan los valores propios de la matriz M: det (AI - M) = I A � 2 2 1 - 2) - 6 = (>' + l ) (A - 4)
  • 94 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES [ - O O ] � [ e '2Q�'2 2 e En el sistema de referencia diagonalizado, la matriz de transición del sistema sería: 1 <I> (t, to) = = 4 A partir de esta expresión de la matriz de transición y mediante la matriz de transformación correspondiente, es posible hallar la matriz llI(t, to) en el sis­ tema de referencia inicial. Dicha matriz de transformación, como ya es sabido, se construye por columnas con los vectores propios de la matriz A: ). = [ -3 -3 ] [ Vll2 ] [ � ] -2 V1 ] Vll - V 1 2 Vl = [ � [ -� ] [ V2 1 ] [ � ] V22 ; -2 - 1 =} =} ). = 4 = =} - =} 3 V2 1 = 2 V22 V2 = [�] Por lo que la matriz de transformación queda como: Con lo que la matriz de transición en el sistema de referencia inicial queda como: llI (t, to) = T<I>T - 1 = • , - '5 e 2 = ho - h 1 2 e 2 ( t -t � ) = ho + 4h 1 Método de Cayley-Hamilton Se componen las ecuaciones correspondientes a cada uno de los valores propios calculados anteriormente: _ 2 de donde se despejan los valores de ho (t) y h 1 (t) :
  • 2.7. 95 EJERCICIOS RESUELTOS 2 2 � 2 e 2 (t - t al + 3 e - 2 , 2 - '5 2 2 3 e 2 (t - t al - 3 e - 2 sustituyendo estos valores en la anterior ecuación y sustituyendo en A, se obtiene finalmente: <I> (t, to) - � 5 _ [ resultado que, lógicamente, coincide con el anterior. Conocido entonces el valor de la matriz de transición por cualquiera de los dos métodos, la evolución del estado viene dada por: 4. Dado el sistema descrito por la ecuación: y { partiendo del estado inicial nulo en el instante del estado cuando la entrada es: u(t) = to = O, determinar la evolución t<O 2 0<t<1 1 1�t<2 O t?2 O En primer lugar se calcula la matriz de transición. Por conveniencia se utiliza la vía de la diagonalización del sistema y la definición de las pertinentes matrices de trans­ formación. Esto es así porque, dado que posteriormente se han de realizar cálculos de respuesta ante determinadas entradas, resulta mucho más cómodo hacerlos para el sistema diagonalizado y luego devolver los resultados a la representación original, que realizarlos directamente en ésta. Primero se calculan los autovalores de la matriz A: p(>.) = det [ >'I - Al = >.2 + 8 >' + 12 = ( >' + 6 ) ( >' + 2) y, a partir de ellos, se calcula la matriz de transformación a la forma diagonal construida con los vectores propios: [ -31 -31 >. = - 6 - -
  • 96 CAPíTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO D E SISTEMAS LINEALES [ !1 � ] de donde: T= * T- I = con lo que las matrices transformadas quedan: Á =T - I AT = B =T - I B = [ -6 O �[� O -2 [ �1 ] ] A continuación se calcula la evolución del sistema en esta representación, para posteriormente devolver el resultado a la representación original. • • t < O El estado inicial es nulo y, como no se indica lo contrario, se puede suponer que proviene de esta situación desde un tiempo indefinido, por lo que el valor del estado anterior a la aplicación de la entrada se puede suponer nulo. O � t 1 , u(t) = 2 Para este intervalo el valor inicial del estado es nulo, por lo que no existe término correspondiente a la evolución libre al calcular su valor: < [ e - 6(t - r) Jo t t xa (t) = ¡ <J>(t, r)B(r)u(r)dr = ¡ [ -�( 1 � e - 6t ) ] Jo = O que devuelto a la representación original del sistema queda: • 1�t < 2, u(t) = 1 Para este intervalo hay que tener en cuenta que va a existir un valor inicial del estado distinto del nulo, que es el valor de la expresión calculada para el intervalo anterior cuando t = 1 : XbO - Xa - _ - ( 1 ) [ - �( 1 - e -6 ) ] _ - O Esto produce la existencia de evolución libre, por el valor de dicho estado inicial, y de evolución forzada, por la existencia de una entrada: Xb (t) =<J>(t, 1 1) [ - 3 (1 � e- 6) ] + ¡t [ e- 6(t - r) JI O O _ e 2 (t-r)
  • 2.7. 97 EJERCICIOS RESUELTOS 1 6(t- 1 [ -ii(--1-_e--6(t -1) )++2e -6t) ] 2e-6t) ( e que en la representación original del sistema equivale a: Xb (t) = T Xb (t) = • t ;::: 2 , u(t) = O En este intervalo existe un valor inicial, fijado por la evolución del estado al final del intervalo anterior: y lo que no existe es término debido a la evolución forzada, puesto que la entrada se anula, por lo que la variación del estado se debe exclusivamente a su evolución libre: Xb (t) = cI>(t, 2) [ 1 ( - 1 - e -6 + 2 e - 1 2 ) ] = [ _ -61 ( -2e -6t + e -6(t- 1 ) + e -6(t-2)) ] O O 6 -2 -6t -6(t-1) -6(t- 2) ) [ _16( (-2ee-6t ++ee-6(t-1) ++ee-6(t-2)) ) ] i que en su representación original es: x b ( t ) - Tx b ( t - 5. En e l sistema d e l a figura, determinar l a evolución d e l a tensión e n cada conden­ sador, así como la diferencia entre ambas, a partir del instante to = O, en los siguientes casos: 11 Ug + 12 R1 R2 U c1 • U c2 • C1 C2
  • 98 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES Considerar dos posibles valores de a) b) G1 : G1 = 10- 6 F . G1 = 2 x 1 O - 6 F. Para cada valor de G1 , considerar tres posibles entradas: 1) Permanece nula. to o 3) Un escalón unitario a partir de to , hasta un tiempo tt = 0,58, y posteriormente 2) Un escalón unitario a partir de cero. Datos: R 1 = 100K R 2 = 200K G2 = 10- 6 F Tensiones iniciales en los condensadores: Uc, = 2V Las ecuaciones del sistema son las siguientes: Ug (t) = R 1 lt (t) + Uc, (t) con con Sustituyendo las intensidades se obtiene: Ug (t) = R 1 GdJc, (t) + Uc, (t) Ug (t) = R2 G2 UC2 (t) + UC2 (t) Se eligen las siguientes variables de estado: X l (t) = Uc, X 2 (t) = UC2 siendo la entrada y la salida: u(t) = Ug (t) y (t) = Uc, (t) - UC2 (t) por lo que las ecuaciones de estado quedan: Xl = - R}, X 1 (t) + R,lC, u(t) X2 = R2�2 X 2 (t) + R21C2 u(t) - UC2 = - 1 V
  • 99 2.7. EJERCICIOS RESUELTOS 1 ] U(t) En forma matricial se expresan como: 1 R1 Gl R2 G2 La evolución del estado es la solución de la ecuación completa, cuya expresión es: + i¡ot 4>(t, r)B (r)u(r)dr x(t) = 4>(t, tO )X(tO ) t donde se aprecia el término debido a la evolución libre y el término debido a la entrada. Para calcular la evolución del estado es necesario obtener previamente la matriz de transición. Como A es invariante, se puede expresar como: 4>(t, tO ) = e A ( t - t o ) Al ser la matriz A diagonal, la expresión de la matriz de transición es sencilla de calcular, sin necesidad de aplicar los métodos de Caley-Hamilton o Jordan. [ 1 O - R1 Gl 4> (t, to) = e A ( t - t o ) = e O 1 ] - R2 G2 [ _.!.=!o.. ( t - to ) e R l el O Las entradas consideradas son las siguientes: o 5 -O 5 Ent rada O 2 O 4 O 6 O B -1 a) Entrada u. ua 1 t 1 5 O 5 Entrada u, Ub O B u., O 6 O 2 O 6 O 4 O B 1 t O 4 O 2 O 2 O 4 O 6 O B 1 t Si el = 10 - 6 F. 1 ) Si la entrada es nula, en la evolución del estado sólo influye el término debido a la evolución libre: x (t) = 4>(t, to)x(to ) = La salida es: [ �� e- �Ol
  • 100 CAPÍTULO 2 . SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES [ 2e--SlOt ] t Dando valores a las constantes: x(t) = y(t) e = 2 e - lOt e - St + y La representación gráfica del estado de la salida es la siguiente: Evo l u c i ón d e l e s tado . E n t rada ua . x o = [ 2 2 E s tado _l ]T _l ]T 0 . 5 - l �__����__������ -0 . 5 O 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 t 3 Evo l u c i ón de la s a l i da . Ent rada ua . x o = [ 2 2 Sa l i da 1 . 5 1 0 . 5 O ���������� O 0.2 0.4 0 . 6 0 . 8 1 t 2) Si la entrada es un escalón, la evolución del estado será: x(t) = <I? (t, to)x(to ) + l{tat <I? (t, T)B (T)U(T)dT
  • 101 2.7. EJERCICIOS RESUELTOS Sustituyendo: x(t) [ + � e RICI - O 1 1 R I CI R2 C2 � 1 l - e- RICI - e- R2C2 x(t) t - to La salida será: 1 [ e - l Ot ] =} y(t) = e - 10t 2 e - 5t 2 e - 5t La representación gráfica del estado y de la salida es la siguiente: [ 1 + Dando valores, se obtiene: x(t) = 1 + _ Evo luc i ón de l e s t ado . Ent rada ub . xo = [ 2 _l J T 2 1 .5 1 Es t ado O �--�----� 0.5 -0 . 5 - l �____�� O 0.2 __�� 0.4 �� __�� ____ � 0.6 0.8 1 __ t
  • 102 CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES Evo l u c i ó n de la s a l ida . Ent rada ub . xo = [ 2 _l] T o ���������==� 0.2 0.4 0.6 0.8 O t 3) 1 Si la entrada es un rectángulo de altura unidad, entre [to , t I ] , la evolución del estado será: x(t) = <p (t, to)x(to) + it <p (t, r)B (r)u(r)dr ta Donde hay que distinguir dos casos: Primer caso: si t t I , será igual que el apartado anterior . Segundo caso: si t � t I , entonces, sustituyendo: < • • x(t) + x(t)
  • 2.7. 103 EJERCICIOS RESUELTOS Mientras que la salida será: [ Dando valores, se obtiene: => = X(t) = y(t) e - lO t + e - 1O(t - O , 5) - 2 e- 5 t + e - 5( t-O, 5) e - l O t + e- 1O(t - O,5) y + ] 2e - 5t _ e - 5( t-O, 5) La representación gráfica del estado de la salida será: Entrada u c . xo = [ 2 Evo l u c 1 ó n del e s t a do . _l]T 1 E s t ado 0.5 0.6 0.4 0.8 1 t Evo luc i ón de la s a l 1 da . Entrada ub . xo = [ 2 S a l 1 da 1 . _l] T 5 1 0.5 O �������� 0.8 O 0.2 0.4 0.6 t
  • 104 CAPÍTULO b) 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES Si el = 2 1 O - 6 F. 1) Entrada nula. Sustituyendo en las ecuaciones obtenidas en a. l : x x(t) y(t) Se obtiene: x(t) y(t) [ 2 e- 5 t _ e- 5 t 3 e - 5t ] La representación gráfica del estado y de la salida es la siguiente: Evo l u c i ón del es tado . Entrada ua . xo = [ 2 2 E s t ado _l ] T 0.5 -0 . 5 - 1� � ���� ---�.����4 1 0 . �� .�-- 0 . 8 0 0 2 0 6 t Evo luclón de la sal ida Ent rada ua . xo = [ 2 0.5 o���������� 0.8 O 0.2 0.4 O 6 t _l]T
  • 2.7. EJERCICIOS RESUELTOS 105 2) Entrada escalón. Sustituyendo en las ecuaciones obtenidas en a. 2 : 1 + e- RlCl x(t) 1 - 2 e- R2 c2 e RlCl + 2 e R2C2 y(t) Se obtiene: [ 11 -+2ee- 5t5t x(t) = - ] 5t y (t) = 3 e La representación gráfica del estado y de la salida es la siguiente: [ - � � � Evo l u c i ón del e s t ado . - 1 � _l] T Entrada ub . xo = [ 2 2 1.5 1 E s t ado 0.5 0 �--�-----1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t Evo luc i ón de l a s a l l da . Ent rada ub . xo = [ 2 1 0.5 O ������;=��� 0.2 0.4 0 6 0.8 1 O t _l] T
  • 106 CAPÍTULO 3) 2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES La entrada es un rectángulo de altura unidad, entre [to , t¡J . Se distinguen dos casos: Primer caso: si t t l , será igual que el apartado b.í Segundo caso: si t ;::: t l , entonces, sustituyendo en las ecuaciones obtenidas en a. 3 : < • • x(t) y(t) e _ Se obtiene: x(t) y (t) .!.=!lL .!::!L _ .!.=!lL R1Cl + e R1Cl + 2 e R2C2 _ [ e- 5 t + e- 5( t- O,5) - 2 é t + e- 5( t- O,5) 3 e- 5 t - e _ t-t R2 C12 ] La representación gráfica del estado y de la salida será: Evo l u C 1 6n d e l e s t ado . _1]T Entrada uc . xo = [ 2 2 1.5 1 E s t ado 0.5 0.6 0.4 t 0.8 1
  • 107 2.7. EJERCICIOS RESUELTOS Evo l u c � ó n de l a s a l � da . Entrada ub . xo = [ 2 _l]T 0.5 O� O �����;=======� 0.2 0.4 0.6 0.8 1 __ t Se observa que con cualquiera de las tres entradas, para el segundo valor del condensador el , la salida es la misma. Como dicha salida es la diferencia de las dos variables de estado, esto significa que el sistema impone una restricción a las variables de estado: dadas unas condiciones iniciales determinadas, se puede conseguir por separado cualquier valor del estado; pero en cambio no es posible obtener los dos a la vez, pues su diferencia ya está fijada. Esta limitación, achacable al' sistema, será profundamente tratada en el siguiente capítulo. Está motivada por la coincidencia en la dinámica de las dos variables de estado, por lo que los incrementos en su evolución serán los mismos. La dinámica del sistema se aprecia en la ecuación de estado, una vez particularizados los datos: y(t)
  • 3 3. 1 . C on trola bi I ida d Introducción En el Capítulo 1 se ha establecido la metodología para la descripción del compor­ tamiento de un sistema mediante variables de estado, expresado mediante la ecuación de estado. Más precisamente, se ha estudiado cómo dicha ecuación en general viene descrita en función del vector de estado, su derivada primera, la entrada y el tiempo. A continua­ ción, en el Capítulo 2 , se ha resuelto dicha ecuación de estado, estableciendo de forma explícita la relación que existe entre la evolución del estado, el valor inicial del mismo y el valor de la entrada en cada instante. A la vista de la relación existente entre entrada y estado, cabe abordar el estudio de cómo se puede influir en el valor del estado a través de la entrada: así, es pertinente preguntarse si dada una trayectoria arbitraria definida en el espacio de estado, es posible encontrar la entrada que haga que el vector de estados la siga o si, por el contrario, existe alguna restricción en las posibles trayectorias que se puede inducir en el vector de estado mediante la elección de las entradas apropiadas. El estudio de la controlabilidad de un sistema determina los puntos del espacio de estado que pueden ser alcanzados por un sistema actuando sobre las entradas de éste; puntos que determinan los denominados estados controlables. Este estudio abarca dos cuestiones a tener en cuenta: 1 . Considerando un sistema, un estado inicial y un estado final, se desea determinar la existencia de una entrada que lleve al sistema entre ambos en un tiempo finito. Esto no es posible en todos los casos, como se puede observar en el sistema de la Figura 3. 1 . En este caso, desde un determinado estado inicial sólo podrían ser alcanzados de­ terminados puntos del espacio de estado, porque los valores de las dos variables 109
  • CAPÍTULO 110 1 8 + 2 u(t) 2 8 + 2 3. CONTROLABILIDAD Xl (t) X2 (t) Figura 3 . 1 : Sistema no controlable. 2. de estado están ligadas, al estar sometidas ambas a la misma dinámica; este he­ cho queda patente por el estudio de los bloques con cuyas salidas se corresponden dichas variables. Entonces se dice que el sistema no es controlable, porque no puede alcanzar cualquier estado deseado a partir de un estado inicial dado. Si un sistema no es controlable, la siguiente cuestión que surge es determinar los puntos del espacio de estado que pueden ser alcanzados partiendo de un estado inicial dado. x, Figura 3.2: Puntos alcanzables desde (0,0) . El lugar geométrico de los puntos que pueden ser alcanzados por las variables de estado dadas para el sistema de la Figura 3 . 1 , partiendo de condiciones iniciales nulas, es el representado en la Figura 3 . 2. Como puede verse, la restricción de que la dinámica de ambas variables de estado es la misma en todos los casos se traduce en que, partiendo de condiciones iniciales nulas como se ha dicho, en cualquier instante el valor de la variable X2 es dos veces el valor de la variable X l .
  • Ejemplo 3 . 1 13 . 1 . INTRODUCCIÓN 111 L a figu ra representa u n ci rcu ito eléctrico formado por dos ra mas RC e n para lelo, a l i mentadas por u n a ú nica fuente de tensión com ú n a a m bas ra mas (véase el Ejercicio 5 del Ca pítulo 2) . u Si las consta ntes de tiempo de a m bas ra mas son disti ntas, R 1 Cl =f. R2 C2 , cada condensador se carga a d istinta velocidad, de ma nera que las tensiones i ncrementa les en a m bos condensadores será n d iferentes entre sí, dependiendo la evol ución de cada u na de ellas de la ley de variación de la entrada u(t) uti lizada . En este caso ca be pregu ntarse si existe o no u na u(t) que consiga que cada una de las tensiones tome u n va lor predeterm i nado en u n tiempo ta m bién predeterm inado. En el caso de que las consta ntes de tiempo de carga de a m bos condensadores sea n idénticas, R l Cl R2 C2 , a m bos condensadores se carga n con la m isma tensión i ncrementa l (a partir de cua lquier situación i nicia l de eq u i l i brio) , sea cual sea la ley de variación de la tension de entrada u(t) uti l izada. Si la situación i n icial no fuera de eq u i l i brio, las tensiones en a m bos condensadores tendería n a igualarse , dependiendo su va lor fi nal y su evol ución tem pora l de la ley de variación de la tensión de entrada u(t) . Por ta nto q ueda claro que en este caso no son controlables todas las com binaciones de tensiones en a m bos condensadores (es deci r, pu ntos del espacio de estado) . En este caso cabe pregu ntarse, pues, cuá les son estos pu ntos controla bles en un tiem po determi nado, q ue dependen de las tensiones i n icia les de a m bos condensadores. En a m bos casos pla nteados y una vez resuelta la pregu nta de cuá les son las com binaciones de las tensiones en a m bos condensadores q ue son controlables en u n determinado tiempo y desde u nas determ i nados va lores i n icia les de aquéllas, ca be pregu ntarse cómo es posible encontrar una entrada o conj u nto de entradas que consiguen controlar dichos puntos. Igual mente es i m porta nte conocer las i m pl icaciones q ue tiene la uti l ización de una ley de variación de la entrada con­ creta sobre la variación tem pora l de las tensiones de los condensadores, así como las propiedades de d icha entrada uti l izada . Las cuestiones pla nteadas en este ejemplo son objeto de estudio del presente =
  • capítulo, y será n resueltas de forma teórica y después apl icadas en éste y otros casos prácticos. 112 CAPÍTULO 3.2. 3. CONTROLABILIDAD Definiciones La controlabilidad del estado en un intervalo de tiempo partiendo de un estado inicial se define: Se dice que un punto del espacio de estado de un sistema, X l , es controlable desde el estado Xo en [to , t I ] si existe una entrada u definida en el intervalo [to , t I ] , tal que transfiera el estado del sistema desde Xo en to hasta X l en t I . En la anterior definición se han impuesto restricciones tanto en el tiempo como en el estado inicial desde el que se comienza a aplicar la entrada; resulta un concepto de controlabilidad condicionado en el aspecto temporal y en los estados inicial y final. Estas restricciones se pueden eliminar una por una o ambas a la vez, resultando un concepto de controlabilidad extendido a cualquier intervalo de tiempo y partiendo de cualquier estado inicial. Se dice que un punto X l del espacio de estado de un sistema es controlable desde Xo si y sólo si para todo to existe un t I finito, tal que X l es controlable desde Xo en [to , t I ] . Se dice que un punto X l del espacio de estado de un sistema es controlable en [to , t I ] si y sólo si para todo xo , X l es controlable desde Xo en [to , t¡] . La controlabilidad del estado para cualquier instante y para cualquier estado inicial se define como: Se dice que un punto X l del espacio de estado de un sistema es controlable si, para todo estado inicial, xo , y para todo to, existe un t¡ finito, tal que X l es controlable desde Xo en [to , t I ] . La diferencia entre las definiciones de controlabilidad primera y tercera respecto a la segunda y cuarta estriba en la forma de considerar la variable tiempo. En el primer caso se considera únicamente un intervalo de tiempo [to , t I ] determinado, mientras que en el segundo se exige que para todo to exista un t¡ , que puede ser arbitrario aunque finito. Ninguna de las dos restricciones incluye a la otra: Un punto X l puede ser controlable desde Xo en [to , t I ] , pero puede no serlo para cualquier instante inicial. Por contra, un punto puede ser controlable partiendo desde cualquier instante inicial to , pero no en un intervalo predeterminado [to , t¡] . • •
  • 3.3. CONTROLABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES 1 13 Obsérvese que la controlabilidad de un punto no implica que éste sea un estado de equilibrio, sino que es posible encontrar una entrada tal que el estado describa una trayectoria que incluya al punto controlable; dicho de otra forma, la controlabilidad de un punto implica que la trayectoria en el espacio de estado pasa por él, pero no que se detenga en él, como ocurriría con un punto de equilibrio. El concepto de controlabilidad de un punto del espacio de estado de un sistema se amplía al concepto de controlabilidad de un sistema, definido como: Un sistema se dice controlable si todos los puntos de su espacio de estado son controlables. Obsérvese que, en la definición de controlabilidad de un sistema, la referencia a posi­ bles restricciones en el estado inicial y en el intervalo se obtienen cuando se invoca a la controlabilidad de los puntos de su espacio de estado; de esta forma, un sistema es controlable bajo las mismas restricciones que lo son dichos puntos. Dicho de otra forma, se pueden extender las cuatro definiciones de controlabilidad de un punto a la contro­ labilidad de un sistema cuando todo el espacio de estado cumpla con las condiciones formuladas en cada una. Las ideas expuestas en esta sección se generalizan a la controlabilidad de la salida en lugar del estado, aspecto que se estudiará en secciones posteriores de este capítulo. 3.3. Controlabilidad en sistemas lineales Dada la expresión de la solución completa de la ecuación del estado para sistemas lineales: x Y x T (3 . 1 ) si en esta expresión se fija (t I ) (to) , ¿existe una entrada u( ) que soluciona esta ecuación? El estudio de controlabilidad determina si existe una entrada u(t) que haga que se cumpla la igualdad. Estudiar si existe esta entrada es equivalente a plantear si existe una entrada capaz de llevar el sistema desde el estado inicial cero hasta el estado: (3.2) de forma que puede reducirse la Ecuación 3 . 2 a: (3.3) La controlabilidad de un sistema lineal depende de las matrices 4>(t, to) y B(t) , in­ dependientemente del valor de Xo , y puesto que 4>(t, to ) es función propia de A(t) , la controlabilidad depende exclusivamente de A(t) y B (t) , utilizándose entonces la expre­ sión par (A(t) , B (t)) para referirse a la controlabilidad de los sistemas. El estudio de la controlabilidad de un sistema se basa en el siguiente teorema:
  • 1 14 CAPÍTULO = A(t)x(t) 3. CONTROLABILIDAD Un sistema con una ecuación de estado: X{ t) es controlable en definido como: [to , t l ] si y + B (t)u(t) sólo si su gramiano de controlabilidad, W(t l , to) , (3.4) es no singular. Demostración • Condición suficiente Se intenta comprobar que existe una entrada que lleva el estado desde cualquier = Xo hasta cualquier X(t l ) = Xl o, lo que es lo mismo, según la Ecuación 3.3, desde el estado inicial nulo hasta el estado X l . Para ello se considera como entrada: x(to) (3.5) Sustituyendo: (3.6) W - l (t l , to) puede salir fuera de la integral, y lo mismo sucede con X l , quedando: (3.7) Si W(h , to) es no singular, se puede encontrar al menos una entrada que transfiere el estado desde el origen hasta cualquier estado x l , siendo esta entrada la expresada por la Ecuación 3.5. • Condición necesaria Si se supone W(t l , to) singular, se demuestra que existen puntos del espacio de estado que no son controlables. Se parte de que W(t l , to) es singular, por lo que: det [W(t l , to)] = O (3.8) El determinante coincide con el producto de los valores propios de la matriz, por lo que W(t, to) tiene al menos un valor propio cero. Si se considera el vector propio, correspondiente a ese valor propio nulo se veri­ ficará que: v, (3.9)
  • 3.3. CONTROLABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES 115 Esto supone que si se multiplica por la izquierda por yT : (3. 10) y entonces, sustituyendo el valor de W(t l , to) : (3. 1 1 ) integral de una función siempre positiva que tiene que ser igual a cero. Para que esto se verifique se tiene que cumplir que �(r) = O , to ::::; r ::::; h: (3.12) u( (3.13) r) lh cI> (t l , r)B (r)u(r)dr = O to yT X(tI ) = 0 (3. 14) siendo x(tI ) el estado del sistema en el instante h, partiendo del origen y ante la Formando el producto por e integrando se obtiene: yT entrada genérica u(r) . La Ecuación 3 . 14 significa que, desde el estado inicial nulo, cualquiera que sea la señal de entrada con la que se excite al sistema, se va a tener un estado que al ser multiplicado por el vector yT va a resultar cero, por lo que es un vector de estado ortogonal a éste. Por tanto, no se puede alcanzar cualquier punto del espacio de estado, sino sólo aquellos que se encuentren sobre un vector ortogonal al vector propio yT . Sólo se alcanzarán puntos que verifiquen la condición: vT ( tI ) = O. Por consiguiente, el sistema no es controlable en [to , t I ] . D Ejemplo 3 . 2 x Determ i nar la controlabilidad del sistema defi nido por: partiendo del insta nte i n icial to = O y para cua lquier insta nte t. Para a n a l izar la controlabi l idad media nte el estudio del com porta m iento del
  • CAPÍTULO 116 3. CONTROLABILIDAD ] gra m iano, el primer paso es ca lcular la matriz de tra nsició n : 2 3 ( e -t - e - 3 t ) e - 3t U na vez que se d ispone de la matriz de tra nsición 1> (t, O) , se puede a bordar el cá lculo del gra m ia no de controlabil idad a p l ica ndo la fórm u l a : Para poder afirmar q ue u n sistema e s controlable según su gra m i a no, es necesario com probar q ue éste es invertible, es deci r, q ue su determina nte es d isti nto de cero. Por lo ta nto, se p uede estudiar la controlabi lidad del sistema verifica ndo los va lores de t para los que el determ i na nte de W(t, O) es d isti nto de cero. Para ello se ca lcula primero dicho determina nte : 1 det [W(t , O) ] = 1 92 + 1 1 _ e - 8t _ _ e - 6t 1 92 48 + = 1 1 _ e - 4t _ _ e - 2 t 32 48 Es fácil deducir q ue se ha de a n u la r para t O, puesto q ue en ese caso los l ím ites de la integra l que define W(t, O) coinciden . Para sucesivos insta ntes de tiem po, se com prueba que el va lor tota l del determ ina nte va a u mentando, hasta q ue, tra nscu rrido u n tiem po suficiente, todos los suma ndos exponencia les tienen un valor despreciable, perma neciendo solamente el pri mero. A partir de este i nsta nte, el va lor del determina nte permanece práctica mente consta nte. Por lo ta nto, se p uede afi rmar que el sistema propuesto es controlable en cua l q u ier i nterva lo de tiem po q ue com ience en t = O, sa lvo cua ndo éste sea ta m bién el fi nal de dicho interva lo. 3.3. 1 . Cálculo de la entrada e n sistemas lineales En la Ecuación 3.5 se describe un procedimiento mediante el que se puede calcular una entrada que lleve al sistema desde el estado inicial Xo en to al estado final objetivo X l en h: siendo: x(td = x(td como se describe en la Ecuación 3.2. - 1> ( h to)x(to ) ,
  • 3.3. CONTROLABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES 117 La particularidad específica esta entrada es que es la señal de mínima energíal que consigue llevar el estado desde el valor inicial hasta el final en el tiempo dado, entendiendo energía como: (3. 15) Además, de forma inmediata se puede deducir que la entrada obtenida por este método no es sino una de las infinitas entradas posibles que consiguen realizar esta transición en el valor del vector de estado: basta con elegir cualquier estado Xa y fijarse como objetivo alcanzarlo en cualquier instante ta intermedio entre to y tI ; a continuación, se calcula una entrada que lleve al sistema desde este estado intermedio Xa en ta al estado final X l en tI . Yuxtaponiendo ambas entradas en el tiempo se obtiene una nueva entrada que lleva al sistema desde Xo en to a X l en t¡ , pasando por un punto arbitrario Xa en el instante intermedio tao Como tanto Xa como ta pueden tomar valores cualesquiera arbitrariamente elegidos, se concluye que existe una variedad infinita de entradas para llevar al sistema desde Xo en to a X l en tI ' Caso 1 : 'Iransición directa (3. 16) donde: Caso 2: 'Iransición con punto de paso intermedio BT (t)<flT (ta , t)W - I (ta , to)xa , to � t < ta BT (t)<flT (t¡ , t)W - I (t l , ta)XI , ta � t < t¡ (3. 1 7) donde: Xa =Xa - <fl(ta , to)Xo X l =XI - <fl (t l , ta)Xa según se ve en la Ecuación 3.2. En la Figura 3.3 se puede observar gráficamente este procedimiento de generación de nuevas entradas por elección de un punto de paso. 1 Véase el artículo de B . C . Moore referenciado en la Bibliografía
  • CAPÍTULO 118 I -8 U2 , / t < ta x, 2 25 2 � I Xa U2 , t > 3. CONTROLABILIDAD ta Xl -6 -4 2 -2 Figura 3.3: Transición del estado entre dos puntos, de forma directa (línea continua) con un punto de paso intermedio (línea discontinua). Ejemplo 3 . 3 11 . [ -1 -2 ] + [ 1 ] u O Dado el sistema controla ble defi nido por la ecuación de estado: x= -1 x O calcular u na entrada necesaria para rea l izar la tra nsferencia del estado: Dado q ue el enu nciado ya form ula q ue el sistema es controlable, no es nece­ sario rea l izar la correspond iente com probación . Por lo ta nto es posi ble pasar di recta mente al cá lculo de la evol ución l i bre del sistema , puesto que para ca lcu­ lar la entrada que rea l iza la tra nsición propuesta hay que tener en cuenta cuál es el efecto de d icha evol ución . Como paso previo es necesario ca lcular el va lor de la matriz de tra nsición del sistema por cualqu iera de los métodos explicados y
  • 3.3. CONTROLABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES = [ e - 2te -t e-t e-O2t ] [ -t =} x(0,5) = <P(t, 0) l t = 0 , 5 xo = e - 2 ; e -t 1 19 en el Ca pítulo 2 de este li bro, resu lta ndo: <P (t, O) _ 0,6065 ] t=0 ,5 [ 11 ] - [ 0,1292 ] La entrada necesaria para llevar a l estado a l va lor propuesto, partiendo de este estado i n icia l , es la m isma q ue la que lo llevaría desde el estado i n icia l n u lo a: Xl = [ � ] - [ �:���� ] = [ �:;��� ] De las i nfi nitas entradas posibles, se ca lcula la de mínima energía , que se obtiene de la Ecuación 3.5, por lo que es necesario ca lcular el gra miano para el i nterva lo propuesto: W(0,5 , O) 0,3160 = J[o0 ,5 <P (0,5, T)B (T)B (T)<P (0,5, T)dT = [ -0,0571 T T -0,05 7 1 0,0143 ] por lo que, aplica ndo la Ecuación 3.5, la entrada que consigue rea l izar la tra n­ sición propuesta para el estado con el mínimo coste energético es: siendo d icho coste: Otro método para el cálculo de una entrada que transfiera el estado entre dos valores prefijados es la composición de escalones. De forma resumida, consiste en: Fijar el número de escalones que se utilizarán: en general, para ajustar el valor de n variables de estado será necesaria la utilización de una secuencia de n escalones cuyas alturas deberán ser calculadas para cumplir con el objetivo. Fijar el intervalo en el que se aplicará cada uno de estos escalones: esta longitud se fija arbitrariamente, utilizándose como método general la división del tiempo disponible para realizar la transición en n subintervalos de igual longitud. Nótese que una secuencia de n escalones como la descrita genera un sistema con 2n - 1 grados de libertad, n alturas y n - 1 longitudes de subintervalo, supuesta fija la longitud del intervalo total. Una posibilidad de ajuste consiste en prefijar la longitud de estos subintervalos para conseguir reducir el problema a otro con n grados de libertad, • •
  • 120 CAPíTULO n n n 3. CONTROLABILIDAD n resultando, por tanto, un sistema determinado en el que se utilizan parámetros (alturas de los escalones) para el ajuste de variables (las componentes del vector de estado). También se puede ajustar la secuencia de escalones prefijando una combinación de 1 parámetros (alturas y/o subintervalos), procediendo luego al ajuste de la entrada con los grados de libertad restantes. Al final del capítulo, en el Ejemplo 3.8, se ha incluido la solución del mismo planteamiento del Ejemplo 3.3 por dos métdos de ajuste de un par de escalones secuenciados. En conclusión, existen infinitas entradas capaces de transferir el estado entre dos valores cualesquiera para un sistema controlable, como ya se ha referido anteriormente. La forma elegida dependerá, por lo general, de algún criterio de minimización de una función de coste, problema que en su resolución implicaría la utilización de técnicas de Control Óptimo. n n - Energía de la señal de entrada = Tx(t) Si se considera una transformación del estado mediante una matriz T no singular: x(t) de forma que: = T-- ll AT = toT) =BT - l (t, Á B <l> <P (t, to)T entonces esta transformación modifica el valor del gramiano de controlabilidad según: W(t l , to) = i¡tot l T - l <P (tl ' T)TT - l B (T)BT (T)T- T TT <P (tl , tfT- T = = T - l W(tl , to)T- T (3.18) es decir, que aunque los autovalores de la matriz A son invariantes ante transformación lineal, los autovalores del gramiano de controlabilidad no lo son, por lo que el gramiano no ofrece una información concluyente sobre la facilidad de controlar el estado para un sistema concreto. Sin embargo, como ya se ha comentado, la entrada sí que es invariante ante trans­ formación lineal, y en concreto también la de mínima energía, por lo que dicha energía mínima puede tomarse como un indicador de controlabilidad, mediante la comparación del desplazamiento inducido en el valor del estado y la energía en la entrada para con­ seguirlo. Se pueden formular unos indicadores generales que van a ocasionar un incremento en dicha energía para un mismo desplazamiento del estado, como pueden ser:
  • 121 3.3. CONTROLABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES • • • A menor longitud de intervalo [ta , t 1 l mayor es la energía necesaria, como puede deducirse fácilmente. El EjemI?lo ?? contiene un estudio de este comportamiento. Cuanto más rápida es la dinámica del sistema, se tiende a necesitar más energía, como queda patente en el Ejemplo 3 . 10. Dependiendo de la dirección de avance del estado, en general se modifica la energía necesaria para una misma distancia desplazada. Un indicador de la diferencia de coste según la dirección es el número de condición del gramiano2 , como se demuestra en la Sección 3 .5 . Ejemplo 3.4 ] [ �� ] t= Analizar la controlabi l idad del sistema defi nido por: x(t) =[� 1 �2 x(t) + 1 3 u (t) Calculando el gra m iano y sus va lores singulares para 1 se obtiene u n n ú mero de condición de 3 ,2 3 10 1 3 , lo que en pri ncipio indica m uy diferente controlabili­ dad según la d i rección de desplaza m iento elegida para el estado. Sin embargo, media nte una sencilla operación de esca lado: el problema se tra nsforma e n : Al repeti r e l m ismo cá lculo s e obtiene u n n ú mero d e condición d e 77 ,44, l o que indica u n mejor equ i l i brio entre las d i recciones de desplaza miento del estado. En este segundo caso se com prueba además cómo evol uciona la a nisotropía del espacio de estado, a medida q ue el tiempo se hace mayor. En la siguiente gráfica se puede observar el conj u nto de estados a lca nza bles consu miendo u na u nidad de energía cuando t 0,5, t 1 Yt 2 , que tienen como n ú mero de condición de W (h , O) , respectiva mente, 222,27, 77,44 y 43 ,29. En d icha figu ra llaman la atención dos características: = • = = El l ugar geométrico de los pu ntos que se pueden alca nzar consumiendo u na cantidad fija de energía es una eli pse (una eli psoide en el caso genera l con n variables de estado) . La a parición de esta forma se justifica en la Sección 2 Número de condición de una matriz: la razón entre el mayor y el menor valor singular en la descomo posición en valores singulares de una matriz .
  • CAPÍTULO 122 3. CONTROLABILIDAD 3.5 . • 3.4. A medida q ue el n ú mero de cond ición baj a . la e l i pse de estados a lca nza­ bles va siendo más redondeada . lo q ue ind ica un mejor eq u i l i brio entre las posi bles d i recciones de evol ución del estado. Controlabilidad en sistemas lineales invariantes En el caso de sistemas lineales invariantes, existe un método alternativo a la aplicación del gramiano para el estudio de la controlabilidad, cuya aplicación es más sencilla, y que se formula mediante el siguiente teorema: El sistema de dimensión es controlable si forma: y n = Ax(t) + Bu(t) con ecuación de estado: x(t) sólo si la matriz de controlabilidad es de rango máximo, es decir, Q, definida de la siguiente n. En este caso, y dado que el sistema es invariante, ya no se tiene en cuenta la variable tiempo, y se habla sencillamente de controlabilidad. Esto significa que, 'si un punto es controlable, siempre se puede transferir el estado inicial a cualquier otro en cualquier tiempo finito. La matriz Q se compone como se muestra en la fórmula, de modo que tiene columnas, bloques de columnas cada uno. Se puede descomponer en submatri­ ces, siendo la i-ésima la multiplicación de la matriz A y sus potencias con la columna i-ésima de la matriz B. El rango de cada una de estas matrices Qi define si el sistema es controlable utilizando sólo la entrada i-ésima. n m m n x m
  • 3.4. 123 CONTROLABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES INVARIANTES Demostración • n Condición necesaria Si el sistema es controlable, es necesario que existan columnas de la matriz Q linealmente independientes. La solución de la ecuación de estado, si se parte de un estado inicial nulo, es: (3. 19) Aplicando entonces el método de Cayley-Hamilton: e A ( t , - T) = = 1 . + A(t l - T) + 2.-! A 2 (t l - T) 2 + . . 2 ho (T)I + h 1 (T)A + . . . + hn - 1 (T)A n - l = (3.20) y sustituyendo en la Ecuación 3. 19 se obtiene: (3.21) El estado x(tI ) que se puede alcanzar desde el origen es combinación lineal de las columnas de la matriz Q. Por lo tanto, para que x(tI ) pueda ser cualquier punto del espacio de estado, es necesario que de todas las columnas que aparecen haya linealmente independientes. n • n Condición suficiente Se supone que el sistema no es controlable y se verá que no existen columnas de la matriz Q linealmente independientes. Si el sistema no es controlable, la matriz W es singular, por lo tanto su determinante es nulo y tiene un valor propio nulo, cuyo vector propio correspondiente verifica la Ecuación 3. 13: v T <I>(t l , T)B(T) = O Este resultado aplicado al caso de sistemas invariantes se puede poner de la forma: Si se deriva esta ecuación n (3.22) -1 veces respecto al tiempo: (3.23)
  • CAPÍTULO 124 3. CONTROLABILIDAD Hay un vector que aparece en todos los términos y que es ortogonal a los productos AB. Cuando existe un vector ortogonal a todas las columnas de la matriz Q, es que no abarcan la totalidad del espacio de estado, es decir, que el resto de los vectores no son base de un espacio de n dimensiones, son linealmente dependientes. D Ejemplo 3.5 Dado el sistema : = x (t) [ 2O 01 O [ O1 O2 O2 17O O 4 su matriz de controlabil idad será : Q= 5 4 15 El ra ngo es tres, con las primeras col u m nas, luego es controlable. Siem pre se encontrará n las entradas para l levar el sistema desde cero a cua lquier valor. Con estas dos entradas se puede llevar el estado entre dos va lores cua lesqu iera del espacio de estado, lo q ue no se sabe es q ué ocu rri ría si se usara una sola entrada . Sería eq uiva lente a decir que la matriz B tiene u na sola col u m n a . Entonces s e puede com probar s i sería controla ble: [ O1 O2 12 ] O 20 [ O2 17O 62O ] Ql = 4 4 rango ( Ql) = 3 '* Es controlable. Uti l iza ndo sólo la pri mera entrada , se puede hacer que el sistema ocupe cua lquier pu nto del espacio de estado, igua l que con las dos. En caso de uti lizar la segunda: Q2 = 5 15 45 rango ( Q2) = 2 '* No es controlable. No se puede hacer que el estado evol ucione del origen hasta cua lquier pu nto del espacio de estado.
  • 3. 5 . 6 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA CONTROLABILIDAD 3.4. 1. 125 Invarianza de la controlabilidad ante cambio de base = La controlabilidad de un sistema es independiente de la representación de estado que se maneje. Para probarlo lo único que se necesita es construir la representación de estado realizando el cambio: = x(t) x(t) = Ax(t) + Bu(t) Tx(t) Con esto se consigue una nueva representación de estado: :i(t) T - I ATx(t) + T - I Bu(t) La matriz de controlabilidad de la nueva representación será: Puesto que la matriz T es no singular, el rango de Q coincidirá con el de Q, por lo tanto, si el sistema es controlable con Q también lo será con Q. L:, Interpretación geométrica de la controlabilidad 3.5. El número de condición del gramiano de controlabilidad es, como se ha mencionado anteriormente en este capítulo, un indicador de la anisotropía del espacio de estado en términos del coste de desplazar el valor del estado dependiendo de la dirección de dicho desplazamiento. El concepto que subyace se puede explicar, para sistemas lineales e invariantes, en términos de respuesta del sistema ante un determinado conjunto de s eñales, como se explica a continuación. Partiendo de la definición del gramiano de controlabilidad, dada en la Ecuación 3.4: se puede entender el término F (t - T) = 1>(t - T)B como una aplicación F lR --+ lRn x m . Así, F(t) representa la aplicación de un conjunto de señales vectoriales influyendo sobre variables de estado, con lo que cada columna supondría el efecto de cada entrada sobre el conjunto de variables. Por propia definición, el gramiano de controlabilidad es una matriz semidefinida po­ sitiva, con un conjunto de valores propios reales f � � � . . . � ; � O y el correspondiente conjunto de autovectores ortonormales VI , V2 , . . . , Vn . El gramiano de controlabilidad se puede interpretar en términos de energía trans­ mitida desde la entrada a las variables de estado en la siguiente forma. La integral Jt:' II F (T) II ; dT representa la energía total del conjunto de señales en el intervalo [ta , h] , : m n a a . a
  • 126 CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD reflejando los autovalores y sus correspondientes autovectores la distribución espacial de esta energía. Considérese el conjunto de posibles entradas al sistema u(t) E m , y sea n la clase de todas las funciones de entrada continuas a trozos en [to , t I ] que satisfacen la restricción en su norma: (1: 1 Il u(T) II � dT) 1 � 1 (3.24) La imagen de la convolución: {x E x = 1: F (t - T)U(T)dT, t � t I , U(T) E PCffi [to , td } (3.25) donde Pcm [to , h ] representa el conjunto de vectores de entrada de dimensión continuos a trozos en el intervalo [to , h ] , es el sub espacio generado por los vectores propios, correspondientes a los autovalores distintos de cero. El conjunto contenido en este subespacio: = 1: F (t - T)U(T)dT, t � t I U(T) E n } (3.26) s = {x E aporta información sobre la estructura de dicho subespacio. Se puede demostrar que S es una región en cuya superficie es una elipsoide definida por los autovalores y los autovectores de F(t) en [to , t d , como ya se adelantó en el Ejemplo 3.5. Sean i = 1, las raíces cuadradas de los autovalores del gramiano de controlabilidad y los vectores propios asociados en [to , t I ] , sean E , V E IR 2 IR n : m ai Y IR n IR n : x . . . ,n Vi , Vi , Y IR n x n : (3.27) Sea el conjunto: s = {x E es decir, un elipsoide con semiejes conjunto S se puede caracterizar como: S= E IR n El conjunto S = IR n = : x i = x = VEp, Ilp ll = 1 } . . . , n. ax con x E S aiVi , es decir, que S es la superficie de S. {x : de de estados 1, 2, Y O (3.29) � a � 1} Entonces se demuestra que el = 1, 2, (3.30) que resultan de la convolución perficie de un elipsoide cuyos semiejes son ai Vi , i . . . , n, siendo raíces cuadradas de los valores propios del gramiano de controlabilidad y vectores propios asociados. F(t - T) (3.28) de <I> ( (t - T)B con una entrada de norma unitaria coincide con la su­ ai Vi las los
  • 3.5. 6. 127 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA CONTROLABILlDAD Este resultado indica que al aplicar una entrada con una cierta energía, los estados que se pueden alcanzar se encuentran sobre un elipsoide cuyas proporciones son las indicadas por los autovalores y autovectores del gramiano de controlabilidad, como aparece en la figura del Ejemplo 3.4. Suponiendo O'n O (sistema controlable), para todo x E S existe un vector p, 1 que satisface que x = VEp. Por su propia definición se sabe que: Demostración > I lpll = lo que significa que, si se define q = V E - I p, se cumple que x = W(h , to)q; lo que supone que la entrada u(t) = F(h - t)q conduce al estado x(t) al valor x en el instante tI . A partir de esta definición de entrada se obtiene que: (3.31) = ¡tot 1 uT (r)u(r)dr ¡tot 1 qT F (tI = pT E - T V T _ r)F T (tI _ r)qdr = [1: 1 F (tI - r)FT (tI .:.- r)dr] VE - Ip = I pT E - T VT VE 2 VT VE - p = lo que significa que u(t) E n y que x E S . Para completar la demostración es suficiente probar que la entrada u(t) referida en el párrafo anterior es la entrada con mínima norma (energía) que conduce al sistema al estado x en el instante tI . De la definición de dicha entrada se tiene: , ... ", W ( t ¡ , to ) = 1 (3.32) I -I = B T <I> T (h , t) VE - � = B T <I> T (t l , t)W (t l , t)x (3.33) q que es, según la Ecuación 3 .5 la entrada de mínima energía que transfiere el estado desde el origen hasta x. O Este resultado facilita la interpretación de la información que suministra el gramiano de controlabilidad para un sistema lineal e invariante: El gramiano y la matriz Q establecen la controlabilidad teórica de un sistema, en términos de si es matemáticamente posible encontrar una entrada que produzca una determinada transición del estado desde un valor inicial a un valor final dado. p •
  • 128 CAPÍTULO • 3. CONTROLABILIDAD La estructura de los valores y vectores propios del gramiano de controlabilidad determina la facilidad relativa con la que se puede recorrer el espacio de estado según la dirección elegida, siendo mayor el coste cuanto menor sea el valor propio asociado a la dirección elegida. Dado que dicho gramiano no es invariante, este estudio es concluyente en tanto en cuanto se utilice una representación del estado en la que sus variables tengan un significado físico claro. En la circunstancia de utilizar una representación con correspondencia física, la estructura del gramiano de controlabilidad revela las posibilidades prácticas de realizar transiciones en el espacio de estado, así como su coste energético relativo dependiendo de la dirección elegida para la transición. En el Ejemplo 3.11, al final de este capítulo, se puede observar un caso claro de cómo una transición matemáti­ camente posible se revela inviable en la práctica. • • 3.6. Subespacio controlable Según se ha detallado en los anteriores apartados, en un sistema lineal e invarian­ te que sea controlable se va a poder alcanzar un estado determinado, partiendo desde cualquier estado inicial, eligiendo la entrada adecuada. Sin embargo, si no es controlable, no se va a poder alcanzar cualquier estado. No obstante parece interesante, en estos casos, caracterizar aquellos puntos que van a ser controlables, es decir, que se van a poder alcanzar. La descripción se va a realizar en dos etapas: primero se detallan los puntos que se pueden alcanzar a partir de un estado inicial nulo, para posteriormente generalizarlo para cualquier estado inicial. = Ax(t) + Bu(t) Dado un sistema lineal invariante: x(t) el conjunto de puntos del espacio de estado alcanzables partiendo del estado inicial nulo forman un subespacio vectorial, al que se denomina subespacio con­ trolable, Xc , generado por los vectores columna de Q . Estos puntos forman un espacio vectorial, pues el origen pertenece a él y además cumplen la condición de linealidad: si partiendo de un estado inicial nulo, ante una entrada U I , se alcanza el estado X l y, ante una entrada U2, se alcanza el estado X2 ; entonces para cualquier combinación lineal: aUI se alcanzará el estado: + f3u2 , a , f3 E lR.
  • 3.6. SUBESPACIO CONTROLABLE 1 29 Se puede plantear la definición del subespacio controlable, Xc , en función de la res­ puesta de las variables de estado del sistema, partiendo del estado inicial nulo, a un conjunto de señales de test presentadas en su entrada. El subespacio controlable, Xc , es el subespacio de menor dimensión que contiene a la imagen de la transformación definida por X t (t) , para todo t E [ta , t I ], siendo: Xt (t) = [ xi (t) x� (t) . . . xr' (t) ] (3.34) donde x� (t) representa la evolución del estado ante la entrada de test definida como: o i o = l, . . . , m ui (t) , (3.35) Demostración Si se se define el conjunto de entradas de test: o o i = l, . . . , m (3.36) donde 8(t) representa el impulso de Dirac, entonces es: con lo que, repitiendo para todas las ui (t) queda: = <I>(t, ta)bi (3.37) (3.38) es decir, la respuesta impulsional del sistema. Dado que se trata de un sistema lineal, las regiones del espacio de estado para los que dicha respuesta es cero tendrán respuesta nula para cualquier otra entrada, con lo que la imagen del mapa dado por 3.38 se corresponde con el subespacio controlable. O
  • 130 CAPÍTULO 3.6.1. 3. CONTROLABILIDAD Base del sub espacio controlable Según se deduce de la demostración de la Sección 3.4, los vectores columna de Q generan el espacio controlable; por lo tanto una posible base de este espacio vectorial son las columnas linealmente independientes de la matriz Q, siendo la dimensión del mismo su rango Para el cálculo de una base del subespacio controlable basta observar que si en la matriz: rQ . la columna Ai bj es linealmente dependiente de sus anteriores columnas: A i bj + > AO l b 1 + A 0 2b2 + . . . + Aom bm + A l l A b1 + . . . + A l m Abm + . . . Ail A i bl + A i2 A i b2 + . . . + Ai , j _ 1 A i bj _ 1 (3.39) entonces Ai + k bj , con k O, también será linealmente dependiente de sus dos anteriores columnas, ya que multiplicando la Ecuación 3 .39 por la izquierda por A k se obtiene que: Ai + k bj + AOI A k b 1 + A0 2 A k b2 + . . . + Aom A k bm + A l l A l + k b 1 + . . . + A l m A l + k bm + . . . Ai r A '+ k b 1 + A i2 A '+ k b2 + . . . + Ai , j - 1 A'+ k bj - 1 (3.40) El método consiste entonces en ir seleccionando columnas de izquierda a derecha y, cuando una de ellas, Ai bj , iseak linealmente dependiente de las anteriores, entonces se descartan ésta y todas las A + bj posteriores. El proceso termina cuando todas las columnas de un grupo i Ai B sean linealmente dependientes, ya que a partir de entonces los restantes grupos A + k B también lo serán. 3.6.2. Estados alcanzables La relación de los estados controlables, a partir de un estado inicial nulo (x(t)) con los estados alcanzables desde cualquier estado inicial (x(t)) , viene dada por la cuación 3.2, de donde: x(t) = x(t) + <I>(t, to)x(to ) (3.41) De esta forma, los puntos alcanzables en el espacio de estado están definidos por una variedad lineal tal que: La componente debida a la entrada es el sub espacio controlable, Xc , que constituye el subespacio director de la variedad. La componente que depende del sistema y de las condiciones iniciales representa la evolución libre del sistema ante entrada nula. • •
  • 3.7. SEPARACIÓN DEL SUBSISTEMA CONTROLABLE A X(t) t 1.... , ' .... - - - - �----------��------________ I I � X1 --- ,' lo , 131 A X(t1 ) Figura 3.4: Superposición de la evolución libre con el subespacio controlable. En la Figura 3.4 puede verse un espacio de estado de dimensión dos en el que se ha representado: Una recta que representa el subespacio controlable, de dimensión uno . Una línea discontinua que representa la evolución libre del sistema. Sobre ambas curvas se han resaltado los valores del estado para los instantes tQ , t I t2 . Como puede verse, el estado para cada uno de estos instantes se obtiene mediante la superposición de ambos valores, como describe la Ecuación 3 .40. • • Y Dado el sistema lineal invariante con dimensión del subespacio controlable, dim ( Xc ) = 3.7. rQ < n: Separación del subsistema controlable x(t) = Ax(t) + Bu(t) existe una matriz de transformación T, tal que si se efectúa dicho cambio de base: x(t) = Tx(t) la ecuación de estado en el nuevo sistema de referencia puede ser escrita como: (3.42) verificándose que el subsistema formado por las variables xa , cuya dinánlica viene re­ presentada por las matrices (Aaa , Ba), coincide con el sub espacio controlable, siendo su
  • CAPÍTULO 132 n rQ ; rQ . 3. CONTROLABILIDAD dimensión por tanto la dimensión del subsistema formado por las variables Xb es Adicionalmente, y según se deduce de la Ecuación 3.42, este subsistema está caracterizado por las matrices (Abb , O) , tiene un comportamiento independiente de la entrada. La ecuación de estado de orden reducido de los estados controlables: - Y (3.43) representa el comportamiento del subsistema controlable y define la misma función de transferencia que la ecuación de estado en su forma original y la expresada en la forma reflejada en la Ecuación 3 .42; en otras palabras, son distintas realizaciones del mismo sistema, es decir, que ante la misma entrada todas generan la misma salida. La matriz T que realiza esta transformación se construye: (3.44) n rQ donde Ta se forma con una base cualquiera del subespacio controlable, y Tb está formado por vectores cualesquiera que sean linealmente independientes entre sí y con los de la matriz Ta ' El sistema original se descompone en dos subsistemas según el gráfico de la Figura 3.5, donde Si es un subsistema controlable y S2 está totalmente separado de evoluciona de forma independiente a la señal de entrada, por lo que no es controlable. Se consigue, pues, dividir el sistema en dos: uno controlable y otro que presenta un comportamiento independiente de la entrada. Si en un espacio total de dimensión tres se supone que el subespacio controlable es de dimensión uno, lo que se está haciendo es girar los ejes de coordenadas de manera que uno de ellos se sitúe sobre la recta controlable. Así se tiene una variable de estado totalmente controlable, la que está sobre la recta (subespacio controlable), y las otras dos evolucionan de forma independiente de la entrada. Si el subespacio controlable fuese un plano, la dimensión de Si sería dos, por lo que se podrían separar dos valores de estado que se podrían llevar a cualquier valor. - u, Ejemplo 3.6 Dado el sistema : o 1 O
  • 13.7. SEPARACIÓN DEL SUBSISTEMA CONTROLABLE 133 Figura 3.5: Representación gráfica del subsistema controlable. [ -13 -5 -13 ] 15 su matriz de controla bi l idad es: Q = 7 1 2 4 = < Rango(Q) 2 3 La base del subespacio controlable será : => Sistema no controlable.
  • CAPÍTULO 134 Á = T - 1 AT = 3. CONTROLABILIDAD con lo que las matrices tra nsformadas q ueda n : y [ 0°1 -�2 O� 1 Rango ( Q ) = 2 la matriz de controlabilidad , una vez separada la parte controlable: con lo que se com prueba la existencia de u n su bsistema de di mensión dos q ue es controlable. El su bsistema controlable está formado por X l y X2 , q ue, expresados en la base i n icia l , son : 3.8. Controlabilidad de la salida Se define la controlabilidad de la salida en un intervalo de tiempo: Se dice que un punto del espacio de salida de un sistema, Y l , es controlable en [to , td si existe una entrada u definida en el intervalo [to , t l ] , tal que para todo punto de origen en to consiga que la salida valga Yl en t l . y Para cualquier instante para cualquier estado inicial se define como: Se dice que un punto del espacio de salida de un sistema Yl es controlable si para todo punto origen y para todo instante inicial to, existe una entrada u en el intervalo [to , t l ] , con t l finito, que lleve la salida al valor Yl en t l · Estos conceptos de controlabilidad de un punto en el espacio de salida se pueden extender a la controlabilidad de todo el espacio de salida, de forma similar a como se hizo en la Sección 3 .3 . Los teoremas de controlabilidad del estado se pueden generalizar de forma sencilla a los siguientes teoremas de controlabilidad de la salida. Así, para determinar la controla­ bilidad de la salida de un sistema lineal se utiliza el siguiente teorema:
  • 3.8. 135 CONTROLABILIDAD DE LA SALIDA Dado el sistema: x(t) y(t) = A(t)x(t) + B (t)u(t) = C (t)X(t) la salida es controlable en [to , h l si y sólo si la matriz denominada gramiano de controlabilidad de la salida y definida por: es no singular. Se comprueba además que, de forma similar a lo visto al estudiar la controlabilidad del estado, a partir de la definición del gramiano de controlabilidad de la salida, se puede calcular la entrada de mínima energía que desplaza el valor de la salida a un punto dado, Y l , en un intervalo [to , t d : (3.45) donde: YI = Yl - C (t¡ )<I>(to , tl )XO (3.46) Además, como también ocurre en el caso de controlabilidad del estado, el rango del gramiano de controlabilidad de la salida indica la dimensión del subespacio de salida controlable. Para sistemas en los que además de la condición de linealidad se cumpla la de invari­ anza, se puede aplicar el siguiente teorema, basado en unos cálculos más sencillos que el anterior: = Ax(t) + Bu(t) = Cx(t) Dado el sistema lineal e invariante: x(t) y(t) es de rango p (nótese que la salida y(t) es controlable si Qc y sólo si la matriz definida por: = CQ). Se comprueba además, que los vectores linealmente independientes de la matriz Qc generan el subespacio de salida controlable.
  • Ejemplo 3.7 136 CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD Determ i nar la controlabilidad de las sa lidas del sistema defi nido por las ecua­ ciones: �8 � �7 l [ �4 l -10 -11 1 1 -; x x + 9 u ] partiendo del i nsta nte to = O Y para u n i nsta nte genérico t . El problema se puede resolver por dos vías, bien uti l izando el gra m iano de controlabilidad de la sa lida o bien uti l iza ndo la matriz de controla bilidad de la sa lida . A conti n uación se pla ntea n a m bas soluciones. • Mediante el gramiano de controlabilidad de la salida En este caso se pla ntea la i ntegra l media nte la q ue se ca lcula el gra m ia no correspondiente: Wc (t, O) = fot C (T) ct> (t, T)B (T)B T (7")1I>T (t, T) CT (T)dT = • = [ � ( 1 -0e -2t ) � ] matriz q ue, como puede fácilmente com probarse, es de ra ngo uno, por lo que se concluye que la di mensión del espacio de sa lida controla ble es uno. Mediante la matriz de controlabilidad de la salida En este caso se construye la matriz de controla b i l idad de la sa lida como se especifica en su defi n ición : Qc = [ CB ¡ CAB ¡ CA 2 B ] = [� 1 � �] de donde se concl uye i n mediata mente q ue el ra ngo de esta matriz es uno y, por lo ta nto, que el su bespacio de sa lida controlable es de di mensión uno, y que la base de dicho espacio es:
  • 3.9. EJEMPLOS ADICIONALES 137 Un caso de cómo se puede calcular la entrada necesaria para llevar el vector de salida a un determinado valor a partir del gramiano de controlabilidad de la salida se puede encontrar en el Ejemplo 3 . 1 2 . 3.9. Ejemplos adicionales Ejemplo 3 . 8 Transición de estado mediante una secuencia de escalones Se trata de resolver el m ismo caso propuesto en el Ejemplo 3.3, uti l iza ndo a hora un tren de esca lones en l ugar de la entrada de mínima energía . Para el sistema : [ -1 0 - 1 -2 . x= ° ] x+ [ 1 ] u ca lcular la entrada necesaria para rea l izar la tra nsferencia del estado: { �: De esta forma , la entrada que se va a aplicar es de la forma : u(t) = 0 < t � 0,25 0,25 < t � 0,5 ¡0, 2 5 <1> (0,5 , T)Bn:dT + ¡0, 5 <1>(0,5 , T)Bf3dT = 0, 2 5 = [ 0,606 + 0,172n: + 0,221 f3 ] - Dada esta entrada , se pla ntea la ecuación q ue ca lcula la evol ución del estado: x(0,5) = <1> (0,5 , O)xo + Y, ° 0,129 0,0529n: - 0,024 f3 a conti n uación , se rea liza el aj uste para q ue el estado fi nal sea el propuesto: [ 0,606 + 0,172n: + 0,221 f3 0, 129 - 0,0529n: - 0,024 f3 = -26,976 ] = [ 11 ] { n: = 22,788 * f3 La evol ución de la entrada resu lta nte se puede apreciar en la siguiente figu ra :
  • 138 CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD u (t) 20 10 0 . 1 -10 0 . 3 0 . 2 0 . 4 0 . 5 t -2 0 Esta entrada com porta u n consumo energético: = 10,5 u2 (r)dr 1°, 5 1°,2 5 = 31 1 ,767 0 ,a l5 de la entrada de mínima ° ° que, como ca be esperar, es u n consumo su perior Eu ( t ) 2 = f3 2 dr a 2 dr + energía . Esta entrada apl icada a l sistema origi na una evol ución del estado que se corresponde con la representada en la siguiente figu ra , q ue, como puede a preciarse, pasa por el estado fi nal marcado por el enu nciado de este ejemplo cuando t 0,5 s (en línea conti nua y en d iscontinua = Xl X2 ). Es tado 1 - _ _ _ _ _ _ _ _ 0 . 1 -1 -2 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 t -3 -4 -5 Otra posible sol ución a l tren de esca lones es fijar la a m p l itud del pri mero, deja ndo como pará metros de aj uste el primer subi nterva lo y la a m p l itud del segundo esca lón. De esta forma , la entrada es: _ u(t) - { -20 f3 si si 0<t�a a < t ::; 0,5 Con esta entrada , la evol ución del estado es: x(0,5) = <1> (0,5 , O)xo + Jt' <1> (0,5 , r)B ( -20)dr o + 1°, 5 <1> (0,5 , r)Bf3dr = a
  • 3.9. EJEMPLOS ADICIONALES 139 [ 12,7371 1306 ( - 0,6065 e a),B = 0, 129 - 3,678( -2,297 + - a12,- 1 +eeaa ++ 1(-0,5 + 0,606 e a - 0, 184 e 2 a) ,B ) e )( e iguala ndo este va lor a l estado fi nal objetivo se despej a . obteniéndose: = 0,3209 ,B = 30,394 {a La entrada que se obtiene está representada en la siguiente figura : u (t) 30 20 10 0.1 0.2 O . 0.5 0.4 t -10 - 2 0 �----� siendo su consumo energético: Mientras que la evol ución del estado q ue produce se muestra a contin uación : E s t ado 1 -1 -2 -3 -4 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 0.2 - 0.3 - - - - - 0.4 - - - o 5 t ]
  • CAPÍTULO 140 Ejemplo 3 . 9 Controlabilidad y 3. CONTROLABILIDAD longitud del intervalo Dado el sistema : x(t) = [ -�1 - 2 o O estudiar la energía de la entrada necesaria para que el estado rea lice la tra nsició n : S e com ienza por rea lizar el estudio de controlabilidad para com probar que es posible a lcanzar el va lor fi nal propuesto para el estado a partir de su va lor i n icia l . Dado q ue el sistema es l i nea l e i nvaria nte, para rea l izar este estudio bastaría con com probar el ra ngo de la matriz Q . Q = [ B AB A 2 B ] = [ 211 ::::-�1 �1 1 cuyo determina nte vale 4 lo que permite concl uir, por u n lado, que el sistema es cual itativa mente controla ble y, por otro, que la controlabi l idad del sistema es relativa mente buena , a l ser éste u n va lor lo suficientemente elevado como para asum i r que no hay peligro de que el sistema se vuelva no controla ble por la deriva de algún pará metro del m ismo. Según este resultado, es posi ble rea lizar la tra nsición propuesta en cualquier i nterva lo de tiem po. Dado q ue el enu nciado no fija la longitud de dicho interva lo, se va a rea lizar un estudio de facti bilidad de la controla bilidad en función del tiempo empleado en rea l izar la tra nsición del estado. Para ello se com ienza por determ i nar el va lor del gra m ia no de controla bi l idad , deja ndo varia ble la longitud del i nterva lo:
  • 3.9. EJEMPLOS ADICIONALES 141 matriz cuyo determ i na nte va le: det (W (t , O)) = e - 1 2 t e - 10 t 2 e - 9t 7e - 8t 2 e - 7t 2 e - 5 t 7e - 4 t 2 e - 3t e - 2 t 1 = + + + + 10800 1O800 300 � 240 � � 240 � 300 Si se representa gráfica mente el va lor de este determina nte para disti ntos va lores de t, se obtiene la gráfica : De t [ W ] 0 . 00008 0 . 00006 0 . 00004 0 . 00002 �-L��----�4--�6�--�8--�10 tl Como se ve, para va lores m uy cortos del i nterva lo (h m uy peq ueños) el va lor del determ i na nte es extremada mente bajo, lo q ue hace prever va lores de la entrada m uy a ltos; a medida q ue el i nterva lo se alarga , el valor del determ ina nte crece , provoca ndo en consecuencia que la entrada necesaria dism i n uya de ra ngo. Para com pletar el estudio, uti liza ndo la energía consum ida en la entrada como i nd icador cua ntitativo de la controla bilidad , se muestra la sigu iente gráfica , en la que se representa la evol ución d icha energía , a med ida q ue el la longitud del i nterva lo empleado para rea l izar la tra nsición del estado varía . E [u ( t ) 1 30000 25000 20000 15000 10000 5000 4 5 t,
  • CAPÍTULO 142 3. CONTROLABILIDAD 3 Como p uede verse en la figu ra , existe un i nterva lo de tiempo ( s) a parti r del cual no se dismi nuye sign ificativa mente la energía necesaria para conseguir la tra nsición del estado, a u nque obvia mente se consigue dism i n u i r la potencia req uerida , a l a u mentar el tiem po en que se entrega dicha energía . '" Ejemplo 3 . 1 0 Controlabilidad y dinámica del sistema Dados los sistemas li nea les e i nvaria ntes caracterizados por las matrices: A, � A, � [ [ �3 l q, -1 O O -2 O O -6 O O -7 O -8 O B¡ = B2 = [t] [:] determ i na r el consumo de energía en la señal de entrada si se desea rea lizar la transferencia del estado dada por: En pri mer l ugar, como no se pla ntea cuál debe ser el i nsta nte fi n a l , lo que se va a rea l izar es u n estudio energético en fu nción de cómo se fije esta longitud del i nterva lo empleado para rea lizar la tra nsición del estado, es deci r, todos los cálcu los q ueda rá n en fu nción de t I . Como pri mer paso, se m uestra la evol ución en el va lor del determ i na nte del gra m iano a med ida que el i nterva lo para rea l izar la tra nsición crece. Se muestra en un d iagra ma sem i logarítm ico, donde, con trazo continuo, a parece para el sistema definido por A l y, en disconti nuo, para el defi nido por A 2 .
  • 3.9. EJEMPLOS ADICIONALES 143 de t ( W ) -10 -12 , I ,.. 2 4 8 6 10 t - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Según este resu ltado, e s fácil com probar que el sistema defi nido por la matriz A 2 , caracterizado por la presencia de varia bles de estado que presenta n una dinám ica más rá pida , tiene u n determ i n a nte varios órdenes de magn itud inferior; por lo q ue la energía de la entrada q ue se use será varios órdenes de magnitud su perior. Para confi rmar esta a preciación , se ca lculan d ichas energías, deja ndo como parámetro variable el insta nte fi nal del i nterva lo. El resu ltado se muestra en la siguiente gráfica , donde n ueva mente se representa con línea disconti n ua la curva correspondiente al sistema más rá pido. Eu : : ( tl ) I 120000 I I 100000 80000 60000 , _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2 4 6 8 10 tl En esta gráfica se p uede com probar cómo, en igualdad de condiciones, el hecho de ser un sistema con varia bles de estado q ue tenga n una dinám ica más rápida i ncrementa la energía necesaria para rea lizar una transición entre dos estados. Finalmente, se da el dato de la energía consu m ida cuando el tiempo tI tiende a i nfi n ito , mínimo teórico para cada caso: lím EU l (td = 1248 t ¡ -HX) que confi rma n uméricamente las a preciaciones rea lizadas.
  • CAPÍTULO 3 . CONTROLABILIDAD 144 Ejemplo 3 . 1 1 Controlabilidad y energía de la señal de entrada S e considera el m ismo caso d e l Ejem plo 3 . 1 d e la i ntrod ucción d e este ca pí­ tulo, sus ecuaciones de estado son : que se pueden reescri bir d e forma simplificada uti l iza ndo l a notación A l 1j(R l Cl ) y A2 = 1 j (R l Cd , q ue representa n las inversas de las consta ntes de tiempo de a m bas ra mas, como: = Debido a que se trata de u n sistema linea l , puede estudiarse su controlabilidad en u n i nterva lo dado [O, t] media nte la matriz W(t, O) (obsérvese que por tratarse de u n sistema i nvaria nte se puede estudiar la controlabi l idad a parti r de cua lquier insta nte arbitrario, por ejemplo t O) , q ue depende del tiem po t considerado para su control , así como de los parámetros concretos del sistema , ca lculá ndose dicho gra m i a no como: = W(t, O) l <P(t, T)B (T)B T (T)<pT (t, T)dT t = = [ = 0,5A l ( 1 - e - 2 A 1 t ) A 1 A2 ( 1 - e - P ' 1 + Á 2 ) t ) A 1 +A2 A conti n uación se va a estudiar la controlabilidad de este sistema para varios va lores de las consta ntes de tiempo, R l Cl y R2 C2 , del sistema y para varias longitudes del i nterva lo, [O, t] . Igual mente se va a proceder al cá lculo de la entrada de mínima energía que, en cada caso, l leva a l sistema desde condiciones i nicia les n u las al va lor de las tensiones en los condensadores: Constantes de tiempo iguales Primera mente se va estudiar el caso en que la d i n á m ica de a m bas ra mas es la m isma A l A2 , coi ncidiendo por ta nto las consta ntes de tiempo de carga de am bos condensadores R l Cl R2 C2 . El gra m i a no va le en este = =
  • 3 .9. 145 EJEMPLOS ADICIONALES caso: W(t, O) = A1 [ 0,5 > 1 (( 11 - e- 22 A1 tt )) e0,5A 1 _ 0,5A 1 ( 1 e- 2 A1 t ) 0,5A 1 ( 1 - e- 2 A1 t ) - ] con lo que su determina nte vale cero para cua lquier valor de t y por ello el sistema no es controlable en n i ngún interva lo. Esta m isma concl usión se alca nzó en el Ejemplo 3 . 1 de forma i ntuitiva . Constantes de tiempo distintas A conti nuación se va a estudiar el caso más genera l en el q ue la d i n á m ica de a m bas ra mas son m uy d isti ntas entre sí, por ejemplo A l = 1 Y A 2 = 0,5, siendo, por ta nto, la consta nte de tiempo de la segunda ra ma el doble q ue la de la pri mera R 1 C1 = 1 Y R2 C2 = 2. En este caso el gramiano ca lculado a nteriormente particu larizado para estos va lores de los parámetros del sistema q ueda : dependiendo el estudio de la controlabi lidad como se sabe del tiempo t considerado, eligiéndose por a hora el tiempo t = 1 , q ue es del m ismo orden que las consta ntes de tiem po i nvol ucradas en el sistema . Por lo q ue el gra m iano eva l uado en d icho i nterva lo [0, 1] va le: n ( l e- 1 ,5 ) 0,25 ( 1 - e- 1 ) - 1 = [ 0,2590 0,4323 0,2590 0,1580 ] cuyo determ i na nte va le det [W( l , O)] = 0,0013 -1 O y, por ta nto, se puede afi rmar que este sistema es controlable en el i nterva lo [0, 1] . A conti nuación se ca lcula la ley de variación de una entrada que con­ sigue l levar al sistema desde condiciones i nicia les n u las hasta el va lor fi nal propuesto, uti liza ndo para ello la entrada de mín i ma energía dada por la Ecuación 3.5: u(t) = B T <I> T ( 1 , t)W - 1 ( 1 , 0) = [ 1 0,5 ] = 45,2 e t - 1 - [ e -OHt 33,88 [�]= O ] [ 0,4323 0,2590 e- O , 5 +t e O, 5 t-O , 5 ] [ 21 ] 0,2590 - 1 0, 1580 En la Figu ra 1 se representa la evol ución tem pora l de dicha entrada u(t) en el i nterva lo considerado [0, 1] , así como la evol ución de ambas varia bles de estado [Uc 1 (t) Uc 2 (t)]T , observá ndose que éstas parten de condiciones
  • CAPÍTULO 146 i n icia les n ulas y a lcanza n el pu nto predetermi nado ta m bién predeterm i nado t = 1 : CONTROLABILIDAD 3. [2 l] T en el tiempo 2 u(t) .. -r 1 1F=�T....,.---�---"---;;=';:�'-- l I Elu(t)l_ 23:;:: V2 I .1 1 . 1 = �: I : -2 -40 0 1 02 03 04 05 t 06 y 07 08 09 2 u(t) 1 rF=�=r�-��-�-;;::;:;:;�1 I Elu(t)l_ : 23 V2 I .1 1 . 1 = �: ( a ) Evol ución tem pora l de la entrada sadores. I : de las tensiones de los conden­ -��_ _ _ _� _�� _ � _ _ _ °l� _ �_=�_� _ _� _ _ _�_ _���� -2 -40 -- --- - -- -- - - - - -� __ 0 1 02 03 04 05 t 06 07 08 09 ( b ) Evolución en el espacio de estado de las tensiones en Figura 1 : Evol ución de las tensiones de entrada y de las de los conden­ sadores en el caso R 1 C1 = 1 Y R2 C2 = 2 Y uti l iza ndo la entrada de mínima energía para pasar de condiciones i niciales n ulas a las tensiones [2 l] T en u n segu ndo. los condensadores. La energía de la entrada necesaria para rea l izar la mencionada operación de controlabilidad del estado es: Eu ( t ) = 1 1 U2 (T)dT = 23, 16
  • 3.9. 147 EJEMPLOS ADICIONALES Constantes de tiempo distintas e intervalo reducido Si en este m ismo ci rcu ito eléctrico el i nterva lo de controla bilidad se hace m ucho más pequeño, por ejemplo [O, 0,1] , el gra m i a no ca lcu lado a nterior­ mente particu larizado para este va lor de t = 0 , 1 va le: W(O, I , O) = [� 0 5( 1 e - O, 2 ) ( 1 e-O,15 ) M ( 1 - e- O, 1 5 ) � ; � 5 (1 C0 , 1 ) - _ _ 1 = 0906 [ 0O :0464 0 0464 0 : 0238 con lo que su determ i n a nte va le det [W(O, I , O)] = 4,48 10- 7 . Este va lor del determina nte disti nto de cero i ndica q ue el sistema es controlable en d icho i nterva lo [O, 0, 1] y, por lo ta nto, existe u na i nfi n idad de entradas que pueden l levar al sistema desde cua l q u ier estado i n icia l a cualquier estado fi nal en d icho i nterva lo. Debe notarse que el valor del determ ina nte del gramiano ha dism i n u ido nota blemente respecto al caso a nterior, en el que se estudiaba la controlabi lidad en el i nterva lo mayor [O, 1] del m ismo orden de las consta ntes de tiem po del sistema considerado, acercá ndose en este caso a l va lor n u lo q ue hace que el sistema no sea controlable. Este hecho i m p l ica en la práctica q ue, a u nque el sistema es teórica mente controlable, la energía de la entrada necesaria para ello crece enormemente, pudiendo l legar a hacer i nviable su controlabi lidad en la práctica . A conti n u ación se ca lcula la entrada de mínima energía q ue consigue l levar a este sistema en el i nterva lo considerado [O, 0,1] desde condiciones i n icia les n ulas al m ismo va lor de tensiones propuesto en este ejem plo: [�]= O ] [ 0,0906 0,0464 u(t) = B T � T ( I , t)W - l ( I , O) = [ 1 0,5 ] [ e- 1 + t O e t - l - 2481 = 2564 e- O , 5 +t e O , 5 t- O,5 ] [ 21 ] = 0,0464 - 1 0,0238 que com porta u n consumo energético: Eu ( t ) = rO, J o l u 2 (r)dr = 168,68 va lor m uy su perior a la energía ca lculada a nteriormente de 23,16, necesaria para controlar el sistema entre los dos mismos estados i nicia les y fi na les , pero forzando a hora a rea l izarlo en u n tiempo 10 veces menor que a ntes y menor igual mente que las constantes de tiempo i nvol u cradas en el sistema . En la Figu ra 2 se puede ver la evol ución d e la entrada ca lculada , así como las tensiones en a m bos condensadores hasta l legar a su estado final deseado en t = 0,1 s . O bsérvese q ue ahora la evolución de la entrada ha tenido ]
  • 148 CAPÍTULO CONTROLABILIDAD 3. que representarse en un gráfico a parte por ser de mayor magnitud q ue la evolución de las tensiones en los condensadores: I Elu(tl]== 168 V2 I 1 00 80 % 60 40 20 -20 40 0 - 0 01 0 02 � � 0 03 0 04 0 05 1 0 06 0 07 0 08 (a) Evol ución tem pora l de la tensión de entrada 2 1 5 0 09 0 1 u(t) . 05 o .. -0 5 -1 0 0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 1 0 06 0 07 0 08 0 09 01 (b) Evol ución tem pora l de las tensiones en los condensadores, UC 2 (t) . UC 1 (t) Y 08 06 02 -0 2 - O �.,L 2 �:"":':c _o s---7---:':'--�-----;";----;'---:: 5 os s ( c ) Evol ución en el espacio d e estado d e l a s tensiones en los condensadores. Figura 2: Evol ución de las tensiones de entrada y de las de los conden­ sadores en el caso R 1 C1 = 1 Y R2 C2 = 2 Y uti lizando la entrada de mínima energía para pasar de condiciones i n icia les n ulas a las tensiones [2 I] T en el i nterva lo [O, 0,1] .
  • 3.9. EJEMPLOS ADICIONALES 149 Constantes de tiempo muy parecidas Hasta a hora se ha estudiado la controla b i l idad del circuito eléctrico i n i­ cial para va lores idénticos de las consta ntes de tiempo de a m bas ra mas ( no controlable) y para va lores d ispares de d ichas consta ntes (controla ble) . ha biéndose ta m bién estudiado. en este ú ltimo caso. la i nfluencia del i nter­ va lo de tiempo en la controlabilidad del sistema . Ahora se q uiere anal izar cómo los va lores de dichas consta ntes de tiempo del sistema i nfl uyen en su controlabilidad y como ésta se hace más d ifícil a medida que las dinám icas de a m bas ra mas se asemejan más entre sí. Para ello se va a estudiar el caso en el q ue R l Cl 1 Y R2 C2 = 1,1 y por ta nto A l 1 Y A 2 0,9091. con lo q ue el gra m i a no ca lculado a nteriormente de forma genérica va le a hora : = [ 0,5(1 W ( t , O) = 0, 476 2(1 _ e - 2t ) C l . 909 l t ) = = 0,4 76 2(1 0, 454 5(1 _ _ e - l , 909 l t ) e - l , 8 1 8t ) ] Analiza ndo la controlabil idad para el m ismo i nterva lo de tiempo util izado a nteriormente. se obtiene: W (l , O) = [ 0,4760,5(1 2(1 = [ 0,4323 0,4056 ] 0,4056 0,3808 - _ e- 2 ) e - l ,9 09 l ) 0,4762(1 e- l , 909 l ) 0,4545(1 - e - l , 8 1 8 ) - ] [O, 1] _ - = 9, 53 10- 5 . O bsérvese q ue en cuyo determina nte vale det[W (O,l , O ) ] este caso el sistema es teórica mente controlable. pero. segú n se ha d iscutido a nteriormente el pequeño va lor del determ ina nte del gra m iano indica que se precisa una entrada de muy elevada energía q ue dificulta el control en la práctica . pudiendo l legar a hacerlo i nviable. Se ca lcula a contin uación la ley de variación de la entrada u(t) necesaria para l levar a l sistema desde condiciones i nicia les n ulas al m ismo va lor a nterior de las tensiones en los condensadores: = [ 1 0,9091 ] [ e = 3733 3613 et - l - ° - l +t e- O . 909 l ( l -t ) e O, 909 l ( t- l ) con u n consumo energético de: ° ] [ 0,4323 0,4056 0,4056 0,3808 ] - 1 [ 21 ]
  • 1 50 CAPÍTULO 1 00 3. CONTROLABILIDAD I E[u(tH" 953290 V2 I 50 -50 -100 0 0 1 02 03 04 05 06 07 08 09 1 (a) Evolución tem pora l de la tensión de entrada u (t ) . -5 -10 -1 5 -20 -25 0 0 1 02 03 04 05 1 06 . 07 ' 08 09 (b) Evolución tem pora l de las tensiones en los condensadores, U C 1 (t ) Y U C 2 (t ) . -5 �� - 1 0 -15 -20 _�S -;L --� _20----l S ---� _� --10----� _� _S --� "" (e) Evol ución en el espacio de estado de las tensiones en los condensadores. Figura 3: Evol ución de las tensiones de entrada y de las de los conden­ sadores en el caso R l Cl = 1 Y R2 C2 = 1 , 1 Y uti l izando la entrada de mínima energía para pasar de condiciones i niciales n u las a las tensiones IV en el i nterva lo [0, 1] . [2
  • 3.9. EJEMPLOS ADICIONALES 151 Este valor de la energía es muy su perior al necesitado anteriormente cuando las consta ntes de tiempo de a m bas ramas era n una el doble de la otra . En la Figura 3 se representa la evol ución de la tensión de entrada y de a m bos condensadores para este caso en el q ue las dinámicas de a m bas ra mas son muy parecidas, pero no igua les, por lo que el sistema es controlable teórica mente uti l iza ndo una entrada con suficiente energía : O bsérvese q ue en este caso la d ificu ltad práctica de la controlabilidad del sistema se debe a la parecida d i n á mica de a m bas ramas y no al i nterva lo de controlabilidad uti lizado, que fue estudiado a nteriormente, concl uyendo q ue cuando éste era suficientemente pequeño com parado con la dinámica del sistema ta m bién se d ificultaba la controlabilidad práctica de éste. En este ejemplo se ha podido ver cómo el determina nte del gramiano cuantifica la controlabi l idad de un sistema l i nea l representado en u na base dada y en u n i ntervalo de tiempos dado, siendo necesario e n la práctica q u e su valor sea signi­ ficativa mente mayor q ue cero, lo que depende de la d isparidad de las dinámicas de las varia bles controladas con una m isma entrada y del i nterva lo de tiempo considerado. Ejemplo 3 . 1 2 Entrada para modificar el vector de salida Dado e l sistema defi nido p o r l a s ecuaciones: Determi nar la entrada que l leve el vector de sa lida al va lor: cuando el estado parte de condiciones i nicia les n ulas. En pri mer l ugar se com prueba la controla b i l idad de las sa lidas media nte el cá lculo del gra m i a no: W 0 (2 , O) = 1o 2 C <JI ( 2 , r)BB T <JI T (t, r)C T dr = [ 0,49 5 , 37 5 , 57 63 , 38 ]
  • 152 CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD matriz cuyo ra ngo es dos, por lo q ue se com prueba q ue la transición de los va lores de la sa lida que se propone es factible. A partir de este resu ltado se ca lcula la entrada necesaria apl ica ndo la Ecuación 3.45: donde se ha uti l izado YI d i recta mente a l coincidir su va lor con el dado por la Ecuación 3.46, a l ser el estado i n icia l n u lo. Com probá ndose que: y(t 3. 10. 1. = 2) = e 12 <.P (2, T)Bu(T)dT = [ � ] Ejercicios resueltos Calcular la dimensión del subespacio controlable del sistema de la figura, en función de los parámetros a l , . . . , a n . y (t ) ,. Es un sistema de dimensión n, siendo las variables de salida de cada uno de los bloques un conjunto adecuado de variables de estado del sistema que se denominan X l , X 2 , . . . , Xn , respectivamente. La ecuación de estado del sistema es: o O O O O O O O O con lo que la matriz de controlabilidad queda: . .] = [ B AB con rango Q = n; por tanto el espacio total de estado es controlable, pudiendo de este modo llevarse el estado del sistema desde condiciones iniciales nulas a cualquier Q ( ) estado final, mediante la elección adecuada de la entrada. . .
  • l3 . 1 0 . ; EJERCICIOS RESUELTOS 1 53 NOTA: obsérvese que el resultado obtenido es análogo para el sistema: . u(t) 2. y( t ) 1 Calcular la dimensión del subespacio controlable del sistema de la figura en función de los parámetros a l , ' " , a n . "! s u s (t) "'tI n: S 1 + al '"" + a2 . ... 1 + an , '111' De la misma forma que en el ejercicio anterior, se plantean las ecuaciones de estado de este sistema de orden l I] l o o o con lo que la matriz de controlabilidad queda: ( -at ) n- l ( -a2 ) n - l ( -a n ) n- l y, ] Como puede verse, las filas de la matriz Q serán distintas en tanto que lo sean las constantes ai . Por lo tanto, el rango de la matriz por consiguiente, la dimensi?n
  • CAPÍTULO 154 3. CONTROLABILIDAD del subespacio controlable será igual al número de constantes ai distintas. Como consecuencia de lo dicho, a partir de condiciones iniciales nulas, pueden llevarse las variables de salida de todos los bloques que posean distinto valor de ai a cualquier valor final predeterminado, mediante la elección adecuada de la entrada. Por otro lado, los valores temporales de las variables de salida de los bloques que posean el mismo ai serán idénticos, no pudiendo alcanzarse valores independientes de las variables de estado. Esta conclusión es lógica, puesto que la ecuación diferen­ cial que determina la evolución temporal de estas variables respecto de la entrada es la misma en todos estos bloques, y se parte de las mismas condiciones iniciales (nulas) en todos ellos. NOTA: obsérvese que se obtiene un resultado análogo para el sistema: � u (t) � 3. Al S + al A2 s + a2 s An + an . ... ... .. En el esquema de la figura, deteminar un conjunto mínimo de entradas que permita conseguir que el sistema sea controlable. Razonar la respuesta. Es un sistema de cuarto grado, constituyendo las variables de salida de cada bloque un conjunto adecuado de variables de estado del sistema.
  • 3.10. EJERCICIOS RESUELTOS 155 La entrada U4 no afecta a ninguna variable de estado, luego no afecta a la controla­ bilidad del sistema. La entrada U3 afecta a las variables de estado correspondientes a los últimos bloques, pero, como las variables de salida de los dos primeros bloques son controladas por las entradas UI y/o U2 , entonces la variable de entrada al tercer bloque también está controlada con independencia de U3 . Por lo que la entrada U3 no es necesaria para la controlabilidad de los dos últimos bloques colocados en serie. Para ver si la entrada UI es suficiente para garantizar la controlabilidad de los dos primeros bloques (y por tanto del sistema), habrá que ver si ambos bloques tienen el mismo comportamiento dinámico. Reduciendo el sistema realimentado resulta: Para controlar X l es necesaria la entrada UI , puesto que U2 no le afecta. Para controlar simultáneamente X l y X2 no basta con UI , pues al tener ambos blo­ ques el mismo comportamiento dinámico, partiendo de condiciones iniciales nulas, el valor de X l será siempre doble que el de X2 . Por tanto, el conjunto mínimo de entradas necesarias para controlar el sistema son UI Y U2 . Otra forma de llegar a la misma conclusión es realizar el estudio de las matrices de controlabilidad. Las ecuaciones del sistema completo con todas las entradas son: o -4 1 O O O -4 2 Puede observarse que la última columna de la matriz B es toda de ceros (la U4 no influye en el estado del sistema), por lo que se puede suprimir dicha columna. Con ello la matriz de controlabilidad queda: Q� U O 1 O O donde rango(Q) U3 · = O O 1 O 4, -8 -4 3 O O -4 1 O O O -4 2 32 16 -24 5 O 16 -8 2 O O 16 -10 - 1 28 - 64 1 44 - 54 O -64 48 - 18 q -6 42 por lo que el sistema es controlable con las entradas U l , U2 Y
  • CAPÍTULO 3 . CONTROLABILIDAD 156 Para analizar el número de entradas que garantizan la controlabilidad del sistema, se verá primeramente si éste puede ser controlado mediante una única entrada. Para ello se verá si las matrices de controlabilidad Q i (correspondientes a un sistema que sólo tuviera la entrada i-ésima) tienen el rango máximo del sistema. Para calcular cada Q i , se utilizan las columnas de Q correspondientes a la i-ésima entrada. Para el caso de Q l : -8 32 -128 -4 16 -64 3 -24 144 O 5 -54 La primera fila es el doble que la segunda3, quedando rango( Q d 3, con lo que el sistema no es controlable utilizando únicamente U l . Utilizando sólo la entrada U2 , la matriz de controlabilidad resultante es: ] = ] -4 16 -6� 1 -8 48 2 -18 O donde la primera fila es de ceros (la variable X l no puede ser controlada), quedando rango(Q 2 ) 3, con lo que el sistema no es controlable con U 2 . Para la entrada U3 queda: O = Q3 � r! O O O O O q -4 16 �6 2 -10 42 Las dos primeras filas de Q 3 son de ceros (no se pueden controlar las variables X l xz ) , con lo que el rango(Q 3 ) 2 por tanto, el sistema no es controlable sólo con U3 . Dado que con ninguna entrada en solitario se puede controlar el sistema, se prueba ahora con las combinaciones de dos de ellas: 32 O -128 O -8 O 1 -4 -4 16 16 -64 �6� Q" 3 1 -24 -8 144 48 O O O 5 2 -54 -18 O Ahora el rango(Q 1 2 ) 4, por lo que el sistema es controlable con el conjunto mínimo de entradas U l Y Uz · y = � r¡ = y, ] 3Nótese que, partiendo de condiciones iniciales nulas y utilizando sólo la entrada vale siempre el doble que la X 2 . UI , la variable Xl
  • 3.10. EJERCICIOS RESUELTOS 4. 157 Dado el sistema de la figura, donde U(t) a) 5000 2mF 1 KO + 1 mF 1 mF Calcular, utilizando la solución de la ecuación de estado, las tensiones en los condensadores al cabo de 1 s, partiendo de las tensiones iniciales U l = O, U2 = V y U3 = V, y aplicando durante todo el intervalo de tiempo una tensión de entrada constante u(t) = V. Partiendo de tensiones iniciales nulas en todos los condensadores: 1 ) ¿Pueden alcanzarse e n 1s las tensiones U l = V, U 2 = V y U3 = 1 V? 2) ¿Pueden alcanzarse en 2s las tensiones U l = O, U 2 = V y U 3 = 1 V? Partiendo de las tensiones iniciales del apartado a) : 1 ) ¿Pueden alcanzarse mediante una entrada adecuada las tensiones U l = V, U 2 = V y U 3 = V en los condensadores en tiempo finito ? 2) ¿Pueden alcanzarse mediante una entrada adecuada las tensiones U l = O, U 2 = V y U 3 = V en los condensadores en tiempo finito ? 10 b) 5000 u(t) es la tensión de entrada: 10 1 1 1 1 c) 1 a) 1 1 1 1 Las ecuaciones del sistema son: u = R1 i 1 + U l i 1 = CI U l u = R2 i 2 + U 2 i 2 = C2U2 u = R3 i 3 + U 3 i 3 = C3 U 3 eliminando las intensidades: u = R 1 c I U l + U l U = R2 C2 U2 + U 2 U = R3 C3 U 3 + U 3 y sustituyendo los valores de las constantes: Con lo que el modelo de estado en forma matricial queda: -1 O 1 [ O O -1 O
  • CAPíTULO 158 3. CONTROLABILIDAD Partiendo del conocimiento del modelo, el siguiente paso es encontrar la expre­ sión de la matriz de transición del sistema. Dado que la matriz A es diagonal, dicho problema es trivial, siendo: q>(t) eAt = = [ eO-t e-t OO 1 O O e - 2t O Conociendo la matriz de transición ya se puede abordar la solución tanto de la ecuación homogénea del sistema (debida al estado inicial) como de la completa (debida a la entrada que se introduce al sistema): x(t) • • = q> (t, to)x(to) + t q>(t, T)B(T)U(T)dT lto ( [ eO-t e-t O Solución de la ecuación homogénea: XH = q>(t, to)x(t) = O -t 1O :- 2t O O O e- 2t O [ 1 10 Solución de la ecuación completa: t q>(t, T)B (T)U(T)dT xc (t) = lto e- (t- r) O ft - ( t- r) � e O lto, t e- (( t- r )) - t- r :- 2 ( t- r) [� 1 0 Con lo que la solución de la ecuación de estado, teniendo en cuenta condiciones iniciales y entrada, es: x(t) = [ lOOe-t 1 [ 1 :-t 1 [ 1 ';;e-t 1 -t -t l Oe- 2t = + 1 1 :::: - 1 e- 2t 1 + ge- 2t que se particulariza para t 1 para calcular la respuesta solicitada en este apartado del ejercicio. La representación gráfica del estado del sistema ante la entrada dada es:
  • 3.10. 159 EJERCICIOS RESUELTOS E s t ado 10 6 4 . ' . 2 , , 2 4 6 8 10 t En la siguiente figura aparece ampliada la evolución durante el primer segundo: E s t ado 10 8 , , , 6 4 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t b) Este apartado hace referencia a la controlabilidad del sistema, puesto que se pregunta sobre un estado que presuntamente debe alcanzarse gracias a alguna entrada, al dar el dato de que las tensiones iniciales son nulas. El estudio de la controlabilidad en sistemas lineales invariantes, como el presente, pasa por el cómputo de la matriz Q, como se ha explicado en este capítulo: Como se observa en la expresión de la matriz Q, las dos primeras filas son iguales, por lo que será rango(Q) = 2. Para saber si los estados que se propo­ nen son alcanzables con alguna entrada, es necesario calcular la base del sub­ espacio controlable, para ver si los puntos correspondientes están contenidos en dicho espacio. Como se ha visto en este capítulo, una posible base del sub­ espacio controlable la constituyen las columnas linealmente independientes de
  • 160 CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD la matriz Q. Por tanto, la base del subespacio controlable es: que da lugar a la expresión más sencilla de la misma base: que definen el plano controlable U l = U2 . 1) El punto [1 1 IV está dentro del subespacio controlable, luego puede al­ canzarse en cualquier tiempo finito a partir de condiciones iniciales nulas. 2) El punto [O 1 IV no está dentro del subespacio controlable, luego no puede alcanzarse a partir de condiciones iniciales nulas. Se puede calcular la entrada que permita alcanzar el estado planteado en el apartado (b.1). Partiendo de que la evolución del estado se puede calcular como: t x(t) = <I> (t, to)x(to ) + i¡ <I> (t, T)B(T)U(T)dT ta se propone usar una entrada con la forma: [ ¡ta de forma que, sustituyendo en la expresión de la evolución del estado, queda: x(t) e-t O O e- t [[ O O +c O e-t O O e-t O O e -2 t O O 1 ] 1 e- 2 t .. 1 - eU d ) 1 - e(t , - t) 1 - e 2( tl - t ) O x(to) + x(to) + b [l e(H) 1 e ( T- t ) u(T)dT = e2 (T - t ) , U d) - eU,-' ) e ( tl - t ) - e ( ta - t ) + e 2( tl - t ) e 2( ta - t ) _ 1 Dado que lo que se pretende es que la entrada lleve al estado desde el origen hasta el punto [1 1 IV, entre los instantes to = O y t = 1 , se plantea la
  • .3 . 10 . 161 EJERCICIOS RESUELTOS igualdad: [ 11 1 b [ = 1 +e 1 [ 11 - 1 _ 1_ e (t l - 1 ) - e - l e(t¡ - l ) - e - l e2 ( t l - 1 ) e-2 - e(t l -t) e ( t ¡ - t) e2 ( t ¡ - t) Como puede observarse, la primera y la segunda ecuaciones son iguales, por lo que sólo hay dos ecuaciones linealmente independientes con tres incógnitas. Esto permite dar un valor arbitrario a cualquiera de ellas para fijar las otras dos; en este caso, se fija tI 0,58: 1 + 1= + { 1 0,2386b + 0,3934c = 0,2325b { b1 = 4,0206 + 0,6321c { e = 0,1029 En la gráfica puede observarse la evolución del estado ante esta entrada: = = ::::} = ::::} b (e - O , 5 - e - l ) c(l .e-O,5 ) b (e - l - e - 2 ) c(l - e l ) ::::} ::::} E s t ado 2.5 2 1.5 1 I .... .... .... / / .... .... " . , , " " 0.5 0.2 e ) 0.4 0.6 0.8 1 t El conjunto de estados alcanzables, cuando se tiene en cuenta tanto el estado inicial como la acción de la entrada, se obtiene por la superposición de un vector perteneciente al subespacio controlable más el vector de estado definido por la solución de la evolución libre del sistema, que se obtuvo en el apartado a). Dicha solución da lugar a que el estado describa una trayectoria dentro del espacio de estado como la que se refleja en la figura. El origen del plano controlable se desplazando según esa trayectoria: va
  • CAPÍTULO 162 1) 2) 3. CONTROLABILIDAD Como puede verse en la figura, el punto [1 1 lj T nunca puede alcanzarse como composición de un vector de la evolución libre del sistema con un vector del subespacio controlable, excepto para un tiempo infinito. El punto [O 1 1 j T sí se puede alcanzar en un tiempo finito. Para ello basta con que la entrada u(t) sea tal que lleve al estado del sistema desde condiciones iniciales nulas hasta el punto X2 - X l , justo en el tiempo que emplea el sistema en pasar desde las condiciones iniciales Xo hasta el punto X l , por la evolución libre del sistema. Numéricamente debe cumplirse: [ [ � 1 da[ � 1 � 1 [ � 1 Ecuación que resuelta 1 lO -t + + (3 1 10e -2 t O = O, (3 = 0,9 y t = 2,3025. a a ::; ::; Dado que se ha demostrado que es posible alcanzar el estado propuesto, se puede calcular la entrada que lo permita. Probando nuevamente con una entrada de la forma: u(r) � [� [� la evolución del estado queda: x(t) e ' { e b 1 1 to tI < T T ::; ¡ O O e - t O x(to ) + ' to O e -2 t e ' O O e - t O x(to ) + b O e -2 t [ tI t [ 1 e (H) e (r- t ) u(T)dT = e 2(r- t ) e ( '' - < ) - e ( " - ' ) e ( t ¡ - t ) - e ( to - t ) + e 2 ( tl - t ) e 2 ( to - t ) _ 1
  • 3.10. EJERCICIOS RESUELTOS 163 1 1 - e (tl -t ) 1 e (tl -t ) 1 e 2 ( tl - t ) - - Lo que se pretende es que la entrada lleve el estado desde el valor inicial [O 10 10j T en to = O hasta [O 1 1 j T en cualquier tiempo finito, de forma que se puede plantear la ecuación: + [1 [ 1 [ O 1 1 ° lO e- t 1 0 e- 2 t = e ( t 1 -t ) - e- t e ( tl -t ) - e- t e 2 ( t l -t ) _ e- 2 t b +e 1 [ - 1 e ( tl -t ) 1 e ( tl -t ) 1 _ e 2 ( tl -t ) _ 1 Para que las dos primeras ecuaciones se cumplan debe ser cierta la igual­ dad: 1 = 1 0 e -t =} e -t = 0,1 =} t = 2,3025 De esta forma, las dos ecuaciones son la misma, por lo que quedarán sólo dos ecuaciones linealmente independientes con tres incógnitas. Esto hace que se pueda dar un valor arbitrario a cualquiera de ellas. En este caso se hace h = 18, con lo que: 0 = 0,1 7 18b + 0, 7281c =} 0,9 = 0,0638b + 0,92 6 1c b = - 5,819 7 e = 1,3733 e (t l -t ) y sustituyendo: { { =} = e - 1 , 302 5 = 0,2 71 8 En la figura puede observarse la representación gráfica de la evolución del estado ante esta entrada: E s t ado 10 8 6 4 2 -2 -4 . . , , , , , , , , , .... .... -- -=- .."... - -- t
  • 164 CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD 5. Dado el sistema: se desea llevarlo de control u(t) . x = [1 IV en t = 0, a x = [1 I] T en t = 28. Obtener la ley de En primer lugar, se ha de comprobar que el sistema sea controlable para poder asegurar que existe una ley de control que permita llevar el estado del sistema desde su valor inicial hasta su valor final: matriz cuyo rango es dos, por lo que el sistema es controlable. Para conocer la evolución del sistema y calcular la ley de control, es necesario calcular la matriz de transición del sistema. Se comienza por calcular los valores propios de la matriz A: det ( AI A ) = - [� A � ] = A(A + 5) + 6 = A2 + 5A + 6 = (A + 2) (A + 3 ) [ -� ] [ Vu ] [ � ] A continuación, la matriz T de transformación del sistema, desde su expresión actual a la forma diagonalizada; para ello se calculan los vectores propios: A = -2 A = -3 ::::} ::::} ::::} ::::} -1 [ -� ] [ -� - ] [ ��� ] = [ � ] � 3 V2 1 = -V22 , V2 = [ _� ] 3 V1 2 2 v u = - V 1 2 , Vl = Con lo que la expresión de la matriz de transformación queda: T- 1 = [ -23 - 11 ] Gracias a esta transformación se puede conseguir una expresión diagonal de la matriz A y, por tanto, de la matriz de transición, que resulta mucho más sencilla de manejar para realizar los cálculos, por lo que se va a obtener la solución del pro­ blema en esta base. Para poder trabajar en este sistema de referencia es necesario
  • ' 3. 10. EJERCICIOS RESUELTOS 165 Xo y Xl . transformar todas las matrices implicadas en la resolución del problema, es decir, A, B, Á Xo La entrada necesaria para que el estado inicial coincida con el final es la que com­ pense exactamente el efecto de la evolución libre del sistema; por lo que, como primer paso, es necesario calcular dicha evolución libre. Una vez que se conoce la solución de la ecuación homogénea, se acude a la expresión de la solución de la ecuación completa para evaluar el efecto que ha de tener la acción de la entrada sobre el sistema: de donde: Según se ha visto en este capítulo, dado que el sistema es controlable, la matriz es invertible; por lo tanto se puede encontrar la entrada que lleve el estado del sistema desde condiciones iniciales nulas a i: W 1 ] [ 3e -2 (2 -T) 6 - 2e -3(2- T) 1 dT = [ g e - 4( 2- T) 2 ge - 4( 2 - T) -6 e - '(' - ' ) 1 4 dT - [ = [ _ 6e - 5 (2 -T) 4e - 6(2 - T) 6 1 - r; e - 5 ( 2 - T) = 2 3 e - 2 ( 2- T) _ 2 e - 3( 2- T) - o e - 3( 2 - T) 6 - r; e - 5 ( 2- T) 2 - :l e - 6( 2- T) 1:
  • 166 CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD Una vez calculado el valor de la matriz W, se puede calcular la entrada necesaria para cumplir con las especificaciones del problema: � (1 - e - 1 2 ) 1 1 , 1822 20,1271 20,1271 37 , 7274 = - 48,9696e -2(2- t ) + 67,739 g e -3(2- t ) ] [ -3,92676 ] 2,992 Como resulta evidente, la expresión de la entrada no depende del sistema de refe­ rencia elegido para representar el estado del sistema; el estado no es más que un modelo, por lo que no tiene sentido que influya en la forma de la entrada que recibe el sistema que, por tanto, es independiente de la representación del sistema. En resumen, la expresión de la entrada hallada es la buscada, independientemente de que los cálculos se hayan realizado en un sistema de referencia distinto al inicial. En la figura puede verse la representación gráfica de la entrada y del estado en el intervalo de 2 segundos propuesto: Ent rada 15 10 5 1.5 2 t
  • �:uo. EJERCICIOS RESUELTOS 167 E s t ado 2 1 , / / / / / / / / / 1 / , 1.5 -1 -2 Esta entrada cumple la propiedad de ser la que posee menor energía de todas las entradas que transfieren el estado del sistema desde el valor inicial al final: E tl = i{ (U(T)) 2 dT = ¡tatl ( - 48,9696e -2(2- t ) + 67,739 g e - 3(2- t ) ) 2 = ta ( - 4 ( 2- t ) + 4588, 08e -6 ( 2 - t ) _ 6333,54e - 5 (2- t ) ) dT i(h 239 7,7 2e ta ( 599,43e -2(2- t ) + 764,68 - 6 (t -2) - 1326,71e - 5 ( 2- t) ):: = 37,26 = Otra posible entrada que consigue llevar el estado del sistema entre los valores deseados es una compuesta por dos escalones desplazados: A Y B. La forma de fijar estos escalones es elegir un valor determinado para t2 y dejar como incógnitas U U Si se sustituye entonces en la expresión de la evolución del estado: [ _� ] [ [ -� ] = <T>x(to) + ir <T>(t l , T)B (T)u(T)dT ta 4 + ¡ tl e - 2 ( tl - T ) e -�tl -3 e -3tl ta x(t) ° ][ ] [ °
  • 168 [ 4(1 - e - 2t l ) -3(1 - e - 3 t l ) CAPíTULO ] 3. CONTROLABILIDAD Dando valores a los instantes: to = O t2 = 18 t I = 28 se obtiene: { por lo que la entrada resultante para todo el intervalo de tiempo es: U2 (T) = - 1 9,830 7 O :S T < 1 5, 7 1 14 1 :S T :S 2 Dada esta entrada, se puede calcular su energía para compararla con la de la primera: E t { l (U(T)) 2 dT Jto t t { 2 (UA ) 2 dT + { ¡ (UB ) 2 dT Jto Jt 2 = = (UA ) 2 (t 2 - to ) + (UB ) 2 (t l - t 2 ) 425,8 7 = La principal desventaja de esta entrada, frente a la primera, es su mayor energía, que suele ocasionar que el estado alcance valores mayores. Por contra, es más sencilla de calcular y admite (aumentando los grados de libertad con la composición de más escalones) la inclusión de nuevas restricciones en el comportamiento de la entrada y del estado, como podría ser el forzar a que las variables de estado se encuentren siempre dentro de un rango de funcionamiento. Dada esta segunda entrada, se puede representar la evolución tanto de ella misma como de las variables de estado:
  • 3.10. EJERCICIOS RESUELTOS 169 Entrada 5 2 1.5 0.5 t -5 -10 -15 - 2 0 �----� E s t ado " 10 5 ... ... ... ... ... ... 1 0.5 " " " " " 1.5 2 t -5 -10 Si se elige como tiempo intermedio t2 = 1,58, la entrada que se obtiene es: T < -6,0852 o � 1,5 7,5064 1,5 � � 2 T Para la que se obtiene una energía de las variables de estado en este caso es: E = 83,71. La evolución de la entrada y de
  • 170 CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD Entrada 6 4 2 1 0.5 2 1 5 t -2 -4 - 6 �----� E s tado ..... 4 2 " " " , , , , , , , t Por último, si se elige como tiempo intermedio t2 = 0,58, la entrada que se obtiene es: -73,1467 5,1776 O ::; T < O. ::; T 0,5 ::; 2 cuya energía es = 5377,24. La evolución de la entrada y de las variables de estado para este caso es: E
  • 6'. 1 1 . 171 EJERCICIOS PROPUESTOS Ent rada o -2 0 1 5 1.5 2 t -40 -60 E s t ado 30 20 10 .- ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... 2 t Determinar la controlabilidad del sistema de la figura tomando como entrada la tensión U . 3. 1 1 . 1. ,; ,; ,; ,; ,; ,; / Ej ercicios propuestos u C=1
  • 172 CAPÍTULO 3. CONTROLABILIDAD 2. Determinar el mínimo número de fuentes variables de tensión que hay que conectar a uno o varios de los puntos ( a , b , c) para que las tensiones de los condensadores pasen: a b e a) 3. b) O a 10 De O a 10 De 20K V' 1 0 -6 I I 5K 4· 1 0 -6 2K 1 0 -6 V' V' I V, 10 V, 15 V respectivamente en 10 ms. V, 15 V, 15 V respectivamente en 5 ms. En el sistema de la figura: y (t)
  • 3.1 1 . EJERCICIOS PROPUESTOS 173 indicar, de entre las variables o pares de variables representadas entre paréntesis, cuáles cumplen la afirmación de cada apartado. a) Pueden ser por separado variables de estado b) Pueden ser a la vez variables de estado el conjunto ( X2 , X 3 , X5 , X6 ) . e) Son controlables con la entrada u los pares de variables (( X l , X2 ) , ( X l , X3 ) , ( X l , X4)) . d) Son controlables con las entradas u y v los pares de variables ((X I , X2 ) , ( X I , X5 ) , ( X2 , X5)) .
  • 4 4. 1 . O bse rva b i l i d a d Introducción Como se estudió en el Capítulo 1, el modelo de estado refleja las relaciones entre los tres actores que describen el comportamiento de un sistema: entrada, estado y salida. En el Capítulo 3 se ha estudiado la forma en la que entrada repercute sobre la evolución del estado, así como las posibilidades de obtener un determinado valor para éste en un instante dado, mediante la elección adecuada de dicha entrada. En el presente capítulo se estudia la forma en la que las variaciones en el valor del estado se manifiestan sobre la salida, con lo que se cubre la segunda etapa de la interacción descrita por el modelo de estado y se completa el análisis del comportamiento del sistema completo. Figura 4. 1 : Concepto de observabilidad. La idea de observabilidad se relaciona con la posibilidad de conocer el valor del estado de un sistema, a partir del conocimiento de la evolución de la entrada y de la salida que genera. Una vez conocido el estado en un instante inicial, se puede determinar el estado 1 75
  • CAPÍTULO 1 76 4. OBSERVABILIDAD en cualquier otro instante posterior utilizando la solución de la ecuación de estado. La observabilidad se presenta conceptualmente como una idea complementaria a la de controlabilidadj si la controlabilidad estudia la relación entrada-estado, ahora se va a ver la relación estado-salida. Primero, se verá en qué sistemas es posible conocer el estado y, en segundo lugar, qué variables de estado se pueden conocer, en el caso de que no sea posible conocerlas todas. Por último, se estudiará la selección de las salidas que contieneñ la máxima información sobre el estado del sistema. Ejemplo 4 . 1 Supóngase el sistema de la figura: Si se tiene un sistema con una función de transferencia como la de la figura se pueden elegir como variables de estado la salida y su derivada, por lo que se tendrán todos los estados conocidos a partir de la salida y por tanto será observable. u( t ) " Xl � ..-----a. s + l ...... y (t ) .... s + 2 ... Por el contrario, el sistema de esta figura no es observable, puesto que tiene como variables de estado las salidas de los bloques. Si se intenta obtener su función de transferencia será: ( )_ 3 8+1 _ 3 8+2 s+ls+2 Este sistema, desde el punto de vista de su función de transferencia entrada­ salida, se comporta como un sistema de primer orden y, conociendo u(t) e y (t), sólo se podrá detectar una variable de estado, luego el sistema no es observable. 3 s+1 1- 1 s+2 -
  • 4.2. DEFINICIONES 1 77 Como se ve, se impide la observabilidad con una cancelación de un polo con un cero. Los conceptos de controlabilidad y observabilidad son claramente distintos embargo como se verá en este capítulo, en lo que se refiere a cálculos son duales. 4.2. y, sin D efiniciones Observabilidad: Se dice que un punto Xo del espacio de estado es observable en [to , t¡] si, siendo éste el estado inicial en el instante to, Xo = x(to ) , el conocimiento de la entrada u(t) en el intervalo [to , t¡J Y de la salida y(t) en el mismo intervalo permite determinar que el estado inicial del sistema en el instante to es Xo . La observabilidad para un punto y para cualquier instante se define: Se dice que un punto del espacio de estado, Xo , es observable si, siendo éste el estado inicial para un instante inicial to cualquiera, existe un intervalo de tiempo finito [to , tI] , tal que el conocimiento de la entrada u(t) en el intervalo [to , tI] Y de la salida y(t) en dicho intervalo permite determinar que el estado inicial es Xo . Las definiciones, similares a las dadas para controlabilidad, se asocian al concepto de sistemas observables. Observabilidad de un sistema: y Un sistema es observable en [to , tI] cuando todos los puntos del espacio de estado son observables en [to , t¡] . de igual forma se define sistema observable como: Un sistema es observable si todos los puntos del espacio de estado son observa­ bles. 4.3. Observabilidad e n sistemas lineales El objetivo es determinar bajo qué condiciones se puede obtener el estado inicial < ::; t. Si fuera conocido x(to) y u(r) , se podría obtener x( t) con la expresión: 4. 3 . 1 . Xo Planteamiento = x(to ) , conociendo u(r) e y(r) con to x(t) = cp (t, to )x(to) + l r t to cp (t, r)B(r)u(r)dr (4. 1 )
  • 178 CAPÍTULO 4. OBSERVABILIDAD y teniendo en cuenta la ecuación de salida: y(t) = C(t)X(t) + D(t)u(t) y sustituyendo en esta ecuación la solución de la ecuación de estado: y(t) = C(t) <P (t, tO )X( tO ) + ito C(t) <P (t, r)B(r)u(r)dr + D(t)u(t) t (4.2) Agrupando los términos que dependen de la entrada y la salida, que se suponen conocidas, se obtiene: y(t) = y(t) - ito C(t) <P (t, r)B(r)u(r)dr - D(t)u(t) = C(t) <P(t, to)x(to) (4.3) t donde y(t) representa la componente de salida debida sólo a la existencia de condiciones iniciales no nulas; es decir, la aportación a la salida dada por la evolución libre del sistema o, lo que es lo mismo, la salida del sistema ante entrada nula. De esta forma se observa que la posibilidad de conocer el estado a partir de la salida que a su vez depende únicamente de y la entrada depende de y En el caso particular de que la matriz sea cuadrada e invertible, se puede despejar de la ecuación anterior: C(t) <P(t, to), x(to) C(t) A (t). (4.4) o lo que es lo mismo: <P (t, to)x(to) = x(t) = C - 1 y(t) (4.5) Obsérvese que en este caso la salida representa un cambio de base de las variables de estado mediante la matriz e y, por tanto, basta conocer la salida en un solo instante para conocer el estado del sistema. 4.3.2. Teorema En general es necesario conocer la evolución de la salida en un intervalo de tiempo para poder calcular el estado del sistema. Este problema de la observabilidad se resuelve mediante el siguiente teorema:
  • 4.3. 179 OBSERVABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES Dado un sistema definido por las ecuaciones,: x(t) = A (t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)X(t) + D(t)u(t) es observable en [to, td si s610 si la matriz V(t¡, to), conocida como gramiano de observabilidad definida como: y y (4.6) es no singular. V(t¡, to) tiene una forma dual a la W(t¡, to) empleada para el estudio de La matriz controlabilidad. Demostración • Condición suficiente V(t¡, to) Si no es singular, existe un algoritmo que nos permite despejar expresión: y Xo de la (4.7) despejando: (4.8) Por lo tanto, se puede obtener el estado del sistema en función de la salida ante entrada nula. • Condición necesaria El razonamiento es similar al realizado en la demostración del teorema dual de controlabilidad. Si es singular = O), existe algún valor propio nulo, y se fuerza a que el estado inicial coincida con su vector propio asociado, que por otro lado debé ser distinto del vector nulo. Se cumplirá entonces que: V (det(V(t¡,to)) Xo (4.9)
  • CAPÍTULO 180 sustituyendo 4. OBSERVABILIDAD V(t¡, to) por su valor: (4. 10) (4. 1 1) Para que se cumpla esta expresión es necesario que e(T) O, = VT, por lo que: C(t)�(t, to)xo = y (t) = O, Xo =/:. O La conclusión que se deduce es que, tanto para este estado como para el estado nulo, la salida ante entrada nula va a ser la misma, Y(T) = por lo que no va a O ser posible distinguirlos. Por lo tanto, el sistema no es observable. (4. 12 ) XoO, Ejemplo 4.2 O O1 -O2 O3 x O y=[ l 2 3 ]x [O [11 Dado el sistema definido por el modelo de estado: -1 x = + -1 1 u determinar el estado inicial desde el que comenzó a evolucionar en sabiendo que la entrada escalón unitario produce la salida: + + (t) _4e-3t 3e- 2t 2e -t y = t 2. + to = O, 1 hasta el instante = En primer lugar se calcula el gramia no de observabilidad, para verificar que el sistema es efectivamente observable: cuyo determinante es:
  • 4.3. OBSERVABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES det[V(t, O)] 181 = 1 e - 12t 3e- lOt 2e -9t 21 e-8t 6e- 7t 6e-5t 21 e-4t 2e-3t 3e-2t 1200 - 1200 + --¡()()-� + ---so -� + � ----so + �- 100 Se puede com probar fácilmente que el determinante no se anula salvo para t = O, por lo que se puede afirmar que el sistema es controlable para cualquier valor de t final del intervalo y, en concreto, para t = Dada la observabilidad del sistema, es posible calcular el estado inicial desde el que evoluciona, aplicando la Ecuación 4.8. Para ello el paso previo es calcular y (t), tal como se especifica en la Ecuación 4.3: 2. y (t) = y (t) - lt C q,(t, r)B(r)u(r)dr = _ 3e-3t + 2e-2t + 3e-t De hecho, como este resultado se ha de repetir sea cual sea la duración del intervalo, puesto que el sistema es observable para todo valor de t, se cumple que: Xo � V- 1 (t,Q) l' .¡;T (7,Q)cT(7)y(7)d7 � [ J1 1 resultado que, como se puede observar, es independiente del tiempo, como cabía esperar. 4.3.3. Determinación del estado inicial e n sistemas observables La importancia de la determinación del estado inicial a partir del que evoluciona un determiado sistema, objeto de la definición de observabilidad, radica en que a partir del conocimiento de dicho estado inicial es posible establecer cuál ha sido la evolución posterior del vector de estado hasta llegar al conocimiento de cuál es su valor actual. En la Ecuación 4.8 se describe la forma en la que se puede calcular el estado inicial en un sistema observable conocido el valor del gramiano de observabilidad. Además, este resultado, en principio, no se ve influido por el valor concreto del gramiano, por lo que no cabría la discusión sobre la mejor o peor observabilidad de un sistema como sucedía con la controlabilidad. El estudio de la observabilidad podría entonces realizarse sin tener en cuenta el condi­ cionamiento del gramiano correspondiente. Sin embargo, esta afirmación sólo es cierta en caso de que se disponga de un conocimiento perfecto del modelo, sin errores en la determinación de sus parámetros ni en la medida de la salida, situación posible en teoría pero muy poco realista en la práctica, por lo que hay que contar con esta incertidumbre. y es en presencia de estos errores en la medida cuando el condicionamiento del gramiano toma importancia, pudiendo manifestarse entonces esta baja observabilidad en forma de error al determinar el estado inicial como se pone de manifiesto en el Ejemplo 4.9 al final
  • CAPÍTULO 182 4. OBSERVABILIDAD de este capítulo, error que, dependiendo del condicionamiento del problema, repercutirá en mayor o menor medida a la hora de estimar el estado actual. Para estudiar el condicionamiento del problema de observabilidad, hay que tener en cuenta, como ocurría con el estudio de la controlabilidad, que el valor del gramiano no es invariante ante transformación lineal. Si se considera una transformación del estado mediante la matriz invertible T: x(t) = Tx(t) A = T- 1 AT C = CT � (t, to) = T - 1 <I> (t, to)T entonces: y el valor del gramiano de observabilidad queda modificado según: (4. 1 3) por lo que el valor del gramiano de observabilidad sólo da información efectiva respecto a la dificultad de determinación del valor del estado inicial cuando existen errores en la medida de los parámetros del modelo y de la salida y cuando se trabaja expresando el sistema en una base con significado físico. Como en el caso del gramiano de controlabilidad, entre los motivos por los que el problema de observabilidad puede encontrarse mal condicionado se encuentran: • • • Intervalos muy cortos de medida de entrada y salida tienden a dificultar la ob­ servabilidad, como puede verse de forma inmediata de la disminución del valor del gramiano. La presencia de dinámicas muy rápidas en el sistema también tiende a aumentar la incertidumbre de la estimación del estado. No todos los estados iniciales son igualmente observables desde la salida, como ya explicó también en el caso de la controlabilidad. Un indicador de estas diferencias la da el número de condición de la matriz como se demuestra en la Sección Ejemplo 4 . 3 4.5 . V(tl, to), x(t) = [ �1 �2 ] x(t) + [ 1�O�3 ] u(t) Analizar la observa b i l idad d e l sistema defin ido por:
  • 4.3. 183 OBSERVABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES y(t) = [ 10 -3 103 ] X(t) Calculando el gramiano de observabilidad y sus valores singulares para = 1 se obtiene un número de condición de 1,041 10 1 3 , lo que en principio indica muy diferente observabilidad según la dirección dentro del espacio de estado. Sin embargo, mediante cambio de escala en las variables de estado: t 5é:(t) = [ �1 �2 ] x(t) + [ � ] u(t) y(t) = [ 1 1 ] x(t) el problema se transforma en: Al repetir el mismo cálculo se obtiene un número de condición de 77,44, lo que indica un mejor equilibrio entre las direcciones de observación del estado. 4 . 3 .4. Estados no-observables Xo =f. O, tal que: y(t) = C(t) éP (to, t)xo = yo(t) = O, Vt > to El hecho de que exista un valor del estado inicial (4.14) hace que el sistema no sea observable, como se demuestra fácilmente; si se tiene otro estado inicial tal que: Xl , y(t) = C(t) éP (to, t)Xl = Yl(t) =f. O (4. 15) entonces, por linealidad, si el estado inicial es la suma de los dos anteriores: y(t) = C(t) éP (to, t)(xo + x¡) = yo(t) + Yl (t) = Yl (t) (4.16) por lo que observando la salida del sistema no se puede determinar si el estado inicial es Ó + Se concluye que desde la salida no se puede distinguir cuándo el sistema evoluciona desde un punto como o desde la suma de éste con un punto como Xo . Por tanto, si el sistema no es observable, existen dos clases de puntos: • Puntos como que, ante entrada nula, generan salida idénticamente nula cuando se toman como estado inicial, que se denominan no-observables. Xl Xo Xl . • Xl , Xo, Puntos como X ¡ , que, ante entrada nula, no dan la salida nula al ser tomados como estado inicial, pero que no son observables, puesto que la misma salida se puede haber generado por la superposición con un punto no-observable. Según el razonamiento anterior, la existencia de puntos no-observables da lugar a que ningún punto del espacio sea observable y, por tanto a que el sistema no sea observable.
  • 184 Ejemplo 4.4 CAPÍTULO A � 4. OBSERVABILIDAD Estudiar la observabilidad del sistema definido por las matrices: [� ! �l C=[ O 1 2] Como se ha visto en apartados anteriores, para estudiar la observabilidad de este sistema se recurre al gramiano de observabilidad , que en este caso vale: V(t, to) = it <I> T (T, tO)C T (T)C(T)<I>(T, to ) dT = to O O 1 = - O - 1 + 4e 6 ( t-t o) - 6é( t-t o) + 3e 2 ( t-t o) 6 O - 1 + 4e 6 ( t-t o) _ 3 é ( t-t o ) [ matriz cuyo rango es dos, inferior al máximo, por lo que no es invertible; se concluye que el sistema no es observable. Se comprueba a continuación el comportamiento de representantes de puntos no-observables y de puntos que no son observables: Estado inicial no-observable: 1. x, � [�1 '* � � y(t) Cif>(t, t,)x, O 2. Estado inicial fuera del conjunto no-observable: 3. Superposición de ambos estados iniciales: Las salidas en los casos 2 y 3 son idénticas, por lo que resulta imposible distinguir cuál es el estado inicial a partir del cual el sistema evoluciona . Por
  • 4.4. 185 SISTEMAS LINEALES INVARIANTES Xl X ) 2 tanto, los estados iniciales d e l a forma son no-observables, mientras que los puntos con la forma de (caso que incluye a no pueden ser observados. Xa 4.4. S istemas lineales invariantes es observable si y n x(t) = Ax (t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) Dado un sistema de dimensi6n s610 si la matriz de observabilidad es de rango máximo, es decir, p n. Demostración • definido por las ecuaciones: = P definida por: A [ C�:,n-l 1 (4.17) Condición necesaria A partir de la expresión de la salida del sistema ante entrada nula evolucionan­ do desde un estado inicial genérico, y por aplicación del método de Cayley­ Hamilton: Xo, CeA(t -to) xo C [1 + A (t - to) + �; (t - tO ) 2 + ] Xo = [ao(t)C + al(t)CA + . . . + an _ l(t)CAn- l ] Xo (4.18) Si en la matriz P no existen filas que son linealmente independientes, sino que sólo hay r esto significa que dentro del espacio de dimensión existe algún vector que es ortogonal a todas las filas de la matriz P. Si a este vector se le llama Xo, se verificará que: y(t) p < n, • = n . . . n es decir, que el sistema evoluciona con salida nula a partir del estado Xo. Condición suficiente Se supone que existe un vector (4.19) Xo que, considerado como estado inicial, es tal que
  • 186 CAPíTULO 4 . OBSERVABILIDAD la salida del sistema ante entrada nula es cero: y (t) = CeA (t -to) XO = O, ) 'it (4.20) Derivando sucesivas veces respecto al tiempo se obtiene: A t-to) CeeA((t-to) Xo = OO = CAeA(t-to) XO �.� PeA(t -to) xo = O (4.21) CA2 xo CAn - l eA(t -to ) xo = O Esto significa que e A t-to xo es ortogonal a todas las filas de la matriz P, lo que significa que no cubre todo el espacio, por lo que el rango de la matriz P será menor � � ( ) p x n y =? n x n, O P será de dimensión pn x n, teniendo pues pn filas. Es posible agrupar las filas según Si la matriz C es de dimensión la matriz A es de dimensión la matriz provengan de cada una de las p salidas o de sus posibles conjuntos, analizando la obser­ vabilidad debida a esas salidas. Ejemplo 4.5 Estudiar la estabilidad del sistema cuyas matrices Se obtiene la matriz de observabilidad 2 P= O 6 O 18 O P, O A y C son las siguientes: cuya expresión es: O 1 2 4 8 17 24 18 O 5 6 El rango de P es tres, por lo que el sistema es observable utilizando las dos salidas disponibles. Podría comprobarse también si lo es utilizando una única
  • 4.4. 187 SISTEMAS LINEALES INVARIANTES � ¡� O ]; :::} � l, = [ 18� . '8 ; ,24 ], salida., Sé empieza .probando con l á primera:' el = [ 2 o El rango es tres, por lo que utilizando la p,rimera salidfl.�1 sistema también es observable. Se com prueba ahora si tam bién es observable , utilizando la segunda salida 1 2 = = 1 5 6 11 4.4. 1 . [O ] e2 [ O 2 ] :::} P2 OO 1 7 18 El rango de la matriz P 2 es menor que tres (dos) , por lo que el sistema no es observable utilizando la segunda salida. Invarianza de la observabilidad ante cambio de base Es importante destacar de observabilidad de (A, B, e,=D)Tx, independiente de la que la propiedad estado, de lalomatrizsiP.un sistema cambio es representación del por que, se realiza un el rango de la nueva matriz P es idéntico al Para demostrarlo x se parte de la representación del estado realizando el cambio de base: x= Ax(t) + Bu(t) y = ex(t) + Du(t) x(t) = Tx(t) con lo que después del cambio de base se tiene: x(t) = T - l ATx(t) + T- 1 Bu(t) y(t) = eTx(t) + Du(t) Por lo que la matriz de observabilidad en la nueva base es: y (4.22) puesto que la matriz no es singular, el rango de P coincide con el de si el sistema resulta observable con también lo hará con P. T P, P, por lo que,
  • 188 4.5. CAPÍTULO 4 . OBSERVABILIDAD 6. Interpretación geométrica d e la observabilidad Como ya se ha referido en este capítulo, el número de condición de la matriz que define el gramiano de observabilidad es un indicador de la anisotropía del espacio de estado, en cuanto a la dificultad de observar un determinado valor inicial dependiendo de la posición en la que se encuentre. Al igual que sucedía con el estudio geométrico de la controlabilidad, este hecho se puede explicar haciendo uso de la respuesta del sistema ante un determinado conjunto de señales. Sea el sistema lineal e invariane representado en la Figura 4.2, en el que a la estructura usual se ha añadido un vector de entradas adicionales, por lo que el modelo del sistema toma la forma: d(t), x(t) = Ax(t) + Bu(t) + d(t) y Cx(t) = d(t) (4.23) (4.24) Este vector se añade para el estudio de observabilidad y no está relacionado con la posible realidad física del sistema. y(t) Figura 4.2: Sistema lineal con el conjunto de entradas de test Supuesto el estado inicial nulo, anulando la entrada del sistema, y manteniendo el vector como entradaal sistema, se tiene que la salida del sistema es: d(t) (4.25) y(t) = i(tat CiP(t,T)d(T)dT con lo que se puede definir FT(t-T) = CiP(t-T) como una aplicación FT Esta aplicación representa la aplicación de un conjunto de variables de estado que n : IR ---+ IRP x n . influyen en p salidas, representando cada columna el efecto de una variable de estado sobre el conjunto de las salidas. A partir de esta definición, se sigue una demostración similar a la que aparece en la Sección 3.51 , para llegar a la conclusión de que el gramiano de observabilidad describe la 1 En este caso se demuestra que, para generar una salida con energía unitaria, se realiza una aportación desde las variables de estado que describe un elipsoide en el espacio de estado.
  • 4.6. SUBESPACIO NO-OBSERVABLE 189 forma en la que se transmite energía desde el estado hacia la salida. Dicha transmisión se realizaría una vez más según un patrón elipsoidal, en el que .la longitud de cada semieje indica la proporción del acoplamiento estado-salida en esa dirección. Así, un semieje de longitud cero (valor propio nulo en el gramiano de observabilidad) indicaría la presencia de una dirección dentro del espacio de estado desde la que nó se transmite energía a la salida. 4.6. Sub espacio no-observable x(t ) = Ax(t ) + Bu(t ) y(t) = Cx(t ) + Du(t ) Dado un sistema lineal invariante definido por las ecuaciones: el conjunto de puntos del espacio de estado tales que tomados como estado inicial ante entrada nula, la salida del sistema es permanentemente nula y denominados no-observables, forman un subespacio vectorial que se denomina subespacio no­ observable. Estos puntos forman un espacio vectorial puesto que, ante entrada nula: • • si se toma el origen como estado inicial, la salida generada es idénticamente nula. si se encuentran dos puntos Xl y X2 , tales que tomados como estado inicial ambos generen salida idénticamente nula, entonces, por linealidad, si se toma como estado inicial cualquier combinación lineal de la forma: genera igualmente una salida idénticamente nula. 4.2. Al igual que al abordar el estudio del subespacio controlable, se puede analizar el subespacio no-observable, Xo , mediante el conjunto de señales de test representado en la Figura
  • 190 CAPÍTULO 4. OBSERVABILIDAD El subespacio no-observable, Xó , es el subespacio de mayor dimensión que está contenido dentro del núcleo de la transformación definida por para todo siendo: E Yt (t), t [to, tI], Yt (t) = [ yl(t) y�(t) . . . yf(t) ] (4.26) yHt) representa la evolución de la salida ante la entrada de test di , defini­ donde da como: o i = 1, . o ..,n (4.27) La demostración es igual a la que se incluye en la Sección 3.6 al enunciar la definición de subespacio controlable. 4.6. 1 . o Base del sub espacio no-observable Para determinar la base del subespacio no-observable se va a partir de la Ecuación 4.21 : = PeA(t-to) xo, Vt Particularizando esta ecuación para t = to, que resulta O = PXo, ecuación más sencilla. Esta ecuación establece una aplicación entre el espacio de estado y el espacio de salida, y el sub espacio no-observable constituye el núcleo de dicha aplicación. Si rango ( P ) = rp y la dimensión del espacio de estado es n, la dimensión del núcleo de esta aplicación es n-rp. Para determinar una base de ese sub espacio no-observable lo que se debe determinar son n - rp vectores linealmente independientes que sean ortogonales a las filas de la matriz P. La base se construye encontrando n - rp vectores que verifiquen esta ecuación y que sean linealmente independientes. Para obtener estos vectores, se puede utilizar un método semejante al estudiado en controlabilidad. Basta observar que si en la matriz P la fila cjAi es linealmente de­ pendiente de sus anteriores filas, entonces cjA i+ k , con k > O, también será linealmente dependiente de sus anteriores filas. El método consiste entonces en ir seleccionando filas de arriba abajo y, cuando cjAi sea linealmente dependiente de las anteriores, entonces se descartan ésta y todas las cj Ai+ k posteriores. Este proceso termina cuando todas las columnas de un grupo CAi sean linealmente dependientes ya que a partir de entonces los restantes grupos CA i + k también lo serán. Una vez obtenida esta matriz se pueden obtener los n-rp vectores de la base mediante la resolución directa de: (4.28) Pr, Prx = O
  • Ejemplo 4.6 4.7. 191 SEPARACIÓN DEL SUBSISTEMA NO-OBSERVABLE Calcular u n a base del subespacio no-observable para el sistema determinado por las siguientes matrices: P = [ OO O 1 2] 17 18 2 = 1. h= [UO 1! 2� ]l C Se comienza por calcular la matriz de observabilidad del sistema: 5 6 rango(P) =2 < 3 =} No es observable Para el cálculo de la base del subespacio no-observable se sabe que su di­ mensión es 3 Se necesita u n vector que verifique que rXO = para conocer la base. En primer lugar se eligen dos filas linealmente independientes. por ejemplo las dos primeras: P [ 00 ] [ 00 51 62 ] [ VI 1 �: = O V2 = V3 = O VI cualquier valor Así que el vector será : base del subespacio no-observable. 4.7. S eparación del subsist ema no-observable + Dado el sistema lineal invariante definido por las ecuaciones: x(t) = Ax(t) Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) con un sub espacio no-observable de dimensión n - rp, siendo r ango(P) = rp < n, existe una matriz de cambio de base T no singular con la que se puede hacer la transformación
  • 192 CAPÍTULO del vector de estado según la ecuación: OBSERVABILIDAD 4. = x(t) Tx(t) [ �: ] [ 1:: lb ] [ �: ] [ :: ] u(t) y(t) [ Ca O J [ �: ] de modo que el modelo de estado en el nuevo sistema de referencia es: = verificándose que: • • = (4.29) + (4.30) Xa, caracterizado por las matrices (Aaa, Ca), Adicionalmente el subsistema formado por las variables Xb, caracterizado por las matrices ( Abb, O ) , presenta una evolución del estado desacoplado de la salida del sistema, según se puede deducir de la Ecuación 4.30. El subsistema formado por las variables es observable y de dimensión rp . El modelo de estado que describe el comportamiento de los estados observables: = 5ca Aaaxa + Bau(t) y(t) CaXa = (4.31) (4.32) describe el comportamiento del subsistema observable y genera la misma función de trans­ ferencia que la ecuación de estado en su forma original y la expresada en las Ecuaciones 4.29 y 4.30; en otras palabras, las Ecuaciones 4.31 y 4.32 representan otra realización del mismo sistema, es decir, que ante la misma entrada ambos generan la misma salida. La matriz de cambio de base que consigue esta separación en los subsistemas men­ cionados se construye como: (4.33) donde está formada por una base del subespacio no-observable y está formada por rp vectores cualesquiera que sean linealmente independientes entre sí y con los de la matriz Igualmente se puede construir otra matriz a partir de: Ta Tb Tb. T (4.34) formado por rp filas linealmente independientes de P y por n - rp filas estando linealmente independientes entre sí y con las de Gráficamente el sistema original se descompone en dos subsistemas según la Figura de las variables de estado contenidas 4.3. Lo que se consigue es desconectar la salida en Va Xb. Vb. y(t) Vb
  • 4.7. 193 SEPARACIÓN DEL SUBSISTEMA NO-OBSERVABLE Figura 4.3: Separación de la parte no-observable. Se han separado, dentro de la imposibilidad de observar el estado del sistema, las variables de estado en dos grupos,. unas observables y otras que no lo son. La dimensión de es n Tp Y la de es Tp . Con este cambio de base lo que se consigue es cambiar el sistema de referencia con respecto al cual se definen los vectores, desplazándolo para que tantos de ellos como sea necesario coincidan con la base del subespacio no-observable. 82 - 81 Ejemplo 4.7 1 Dado un sistema definido por las siguientes matrices : A= [� o 1 - 3 O O 5
  • 194 C= [ 4 -2 2 ] =� 120 CAPíTULO separar el sistema en la parte observable y no-observable. Para comenzar se construye la matriz P: P= [ 41� 0 -38 50 ] rango(P) = 4. OBSERVABILIDAD 2 Dado que el sistema no es observable, como demuestra el hecho de que el rango de la matriz P sea menor que tres, se puede proceder a la separación del sistema en sus partes observable y no-observable. Para ello se construye la matriz de cambio eligiendo filas linealmente independientes de la matriz P: =} T- 1 = [ 4 -2 2 1 0 -8 1 01 O O ] =} T= -� ! �1 CT = [ 1 O O ] Con lo que las matrices transformadas resultan : Á T- 1 AT = = e 4.8. = [ 1 =t n [ -0 , 5 0 , 5 ] Separación d e los subsistemas controlable y obser­ vable El objetivo de este apartado es .separar simultáneamente la parte observable de la no-observable y la parte controlable de la no controlable de un sistema lineal invariante. Dada la expresión del sistema: x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) existe una matriz T no singular con la que se puede hacer un cambio de base x(t) = Tx(t), de modo que el sistema referido a las nuevas variables de estado x queda definido por las
  • 4.8. SEPARACIÓN DE LOS SUBSISTEMAS CONTROLABLE y OBSERVABLE o Áae Á:lib Ábe '. 0 Áee O Áde matrices: [ � '] Ha B � T- 1 B � • 195 (4.35) . (4.36) C = CT = [ ea o C e o ] (4.37) y además se verifica que: 1. El subsistema formado por las ''ariábles xa y caracterizado por las matrices: es un subsistema controlable y observable. [[ 1:: (xa , Xb ) y caracterizado por las matrices: lbb ] , [ :: ] , [ Ca 2. El subsistema formado por las variables o] ] es un subsistema controlable, formando el resto de las variables tema con comportamiento desacoplado de las entradas. 3. El subsistema formado por las variables (xc, Xd) un subsis­ (xa, xc) y caracterizado por las matrices: es un subsistema observable, formando el resto de las variables (Xb , Xd) un subsis­ tema con comportamiento desacoplado de las salidas. Los tres subsistemas descritos en la anterior enumeración tienen la particularidad de generar la misma función de transferencia, lo que significa que los tres son realizaciones diferentes de un mismo sistema en términos de entrada-salida. En concreto, el segundo ya se ha estudiado como subsistema controlable, y el tercero como subsistema observable. En cuanto al primero, presenta alguna particularidad que se pasa a comentar: este subsistema es el de mínima dimensión que puede modelar la relación entre la entrada y la salida del sistema, por lo que se le conoce como realización mínima del sistema. Al orden de dicha realización mínima se le conoce también como grado de McMillan de dicho sistema. Existe un teorema, debido a Kalman, que caracteriza la realización mínima de un sistema en términos de controlabmdad y observabilidad:
  • 196 CAPÍTULO 4 . OBSERVABILIDAD Una realización dada por (A, B, e, D) es mínima si observable. y sólo si es controlable y En general, y como ya se ha comentado en otras ocasiones, un sistema lineal e in­ variante no posee una única realización en el espacio de estado. Sin embargo, las repre­ sentaciones mínimas son únicas salvo por un cambio de base; en otras palabras, cualquier par de realizaciones mínimas están relacionadas por una transformación lineal. y(t) u (t) Observable Figura 4.4: Separación simultánea de los subsistemas controlable y observable. Gráficamente la separación en subsistemas se puede representar de la forma mostrada en detalle en la Figura 4.5 y de forma reducida en la Figura 4.4, donde cada subsistema se compone de un grupo de variables de estado. Analizándolos se tiene que: • • • • Existe un subsistema que es controlable y observable (subíndice a) , que describe la realización mínima del sistema. Existe un subsistema que junto con el anterior forma un subsistema controlable, pero separado del anterior porque éste es no-observable. Esto no supone que este subsistema sea controlable aisladamente (subíndice b) . Existe un subsistema que, junto al primero, es observable, está desconectado de la entrada y, en consecuencia, no es controlable. Esto no quiere decir que este subsistema sea observable aisladamente (subíndice c) . Finalmente, existe un subsistema que no pertenece a la parte observable y tam­ poco a la parte controlable, así que no es ninguna de las dos cosas, ya que está desconectado de la entrada y de la salida (subíndice d).
  • 4.8. SEPARACIÓN DE LOS SUBSISTEMAS CONTROLABLE y OBSERVABLE 197 Figura 4.5: Separación detallada de los subsistemas controlable y observable. Con esta transformación se consigue algo parecido a lo que se hacía al realizar las separaciones entre controlable y no controlable, y entre observable y no-observable, unos cambios de ejes para que coincidan con la base del sub espacio controlable y observable. 4.8. 1 . Cálculo de la matriz de cambio de base Se trata de obtener la matriz de cambio de base que realiza la separación en subsis­ temas descrita en la sección anterior. Dicha matriz de cambio dé base está formada por cuatro submatrices: T = [ Ta Tb Te T4 ] Llamando Be a la base del subespacio controlable y Bó a la base del subespacio no-observable, se determina que las cajas que componen la matriz de transformación cumplen que: • Ta, Tb separan el subespacio controlable, así que en conjunto los vectores columna Ta y de Tb serán una base del subespacio controlable, según la Sección 3.5. de Ta U T b == Be (4.38)
  • 198 CAPíTULO • 4. OBSERVABILIDAD Ta , Te separan el subsistema observable, así que, según la Sección 4.5, los vectores columna de Tb , Td deben ser base del subespacio no-observable. (4.39) • Por tanto, según las Ecuaciones 4.38 y 4.39, Tb es una base de la intersección del subespacio controlable y del subespacio no-observable. (4.40) T Desde el punto de vista práctico, las distintas submatrices que componen la matriz se calculan en el siguiente orden: • • • • base del subespacio de intersección entre el subsistema no-observable y el sub' sistema controlable. Tb : Ta : conjunto de vectores columna tales que conjuntamente con Tb forman una base del subespacio controlable. Td : conjunto de vectores columna tales que conjuntamente con Tb del subespacio no-observable. forman una base Te : conjunto de vectores columna tales que conjuntamente con Ta , Tb y Td forman una base del espacio de estado. Por lo que resulta evidente que la dimensión del subsistema controlable y observable coin­ cide con el número de vectores columna de Ta , la dimensión del subsistema controlable, rQ , coincide con el número de vectores columna de Ta junto con Tb , y la dimensión del subsistema observable, rp , coincide con el núm�ro de vectores columna de Ta junto con Te. En el Ejemplo 4.10 de este capítulo se puede ver .un caso de separación de un modelo de estado en sus distintos subsistemas. 4.9. !::::. Reducción del modelo En la sección anteriori se ha introducido el concepto de realización mínima de un de­ terminado sistema, como el modelo de estado con menor número de variables que explica la relación entre la entrada y la salida del mismo. Sin embargo, existe la posibilidad de que exista un modelo de un orden inferior al grado de McMillan que genere, aproxi­ madamente, la misma respuesta impulsional que dicha realización mínima; al problema de encontrar dicho modelo de orden inferior se le conoce como problema de la reducción del modelo.
  • 4.9. � Valores singulares de Hankel y realizaciones equilibradas 199 REDUCCIÓN DEL MODELO 4.9. 1 . Como ya se ha mencionado en este texto, tanto el gramiano de controlabilidad como el de observabilidad no presentan invarianza ant� cambios de base, por lo que es nece­ sario relativizar la información que nos ofrecen al sistema de referencia en el que viene expresado el modelo. Sin embargo, los autovalores del producto entre ambos gramianos sí son invariantes ante transformación, como puede comprob�e fácilmente. Dado un sistema estable, se plantea el valor de este producto cuando se considera t l = 00: W(oo, to)V(oo, to) = T - l W(oo, tO)T- T TT V(OO, to)T = T - 1 W(00, to)V(oo, to)T (4.41 ) Se llaman modos de segundo orden del sistema o valores singulares de Hankel a la raíz cuadrada positiva de los valores propios del producto de los gramianos de controlabilidad y observabilidad. Dada una realización mínima de un sistema (A, B, e, D) con grado de McMillan los valores singulares de Hankel del sistema son: i = 1, . . . ,n n, (4.42) Estos valores reflejan las propiedades de entrada-salida del sistema y juegan un pa­ pel central en la reducción de modelos. Son de especial interés ciertas transformaciones lineales que ponen este hecho de manifiesto, las llamadas transformaciones contragre­ dientes : Una transformación T que produce que W(oo, to) y V(oo, to) sean ambas di­ agonales se conoce como transformación contragrediente. Son particularmente interesantes tres transformaciones contrag¡;edientes. Asumiendo que se parte de la realización mínima del sistema, por lo tanto controlable y observ­ able, se tiene que ambos gramianos, de controlabilidad y de observabilidad, son matrices definidas positivas y simétricas; entonces existe una matriz ortogonal Va (compuesta por los vectores propios ortonormales) , tal que: V�W(oo, to)Va = Ea (4.43) donde Ea es diagonal y positiva. Además, existe una matriz ortogonal U y otra diagonal y positiva E, tal que: (4.44) Si ahora se considera la familia de transformaciones: (4.45)
  • 200 CAPíTULO 4. OBSERVABILIDAD se comprueba que dichas transformaciones son contragredientes, siendo: T ; l W(OO, to) T ; T E 2 k T[ V(oo, tO) T k E 2 - 2 k (4.46) = (4.47) = De todos los posibles valores de k, tres son de particular interés, k = 1 , que se corresponden respectivamente con: k = k = 1/2: O, k = 1/2 Y = 1 : Una realización se llama equilibrada a la salida o normalizada a la salida si W(oo, to) = E 2 Y V(oo, to) 1 Una realización se llama internamente equilibrada si W(oo, to) V(oo, to) = E con E diag Gi , Gk + l ::; Gk , para singulares de Hankel. = = o: Una realización se llama equilibrada a la entrada o normalizada a la entrada si W(oo, to) 1 y V(oo, to) E 2 = k k = = k > 1 , siendo Gi , i = = 1 , . . . , n los valores La propiedad más importante de las realizaciones equilibradas a la entrada y a la salida es que los elipsoides asociados a controlabilidad y observabilidad, descritos en las Secciones 3.5 y 4.5 respectivamente, se convierten en esferas, indicando: • • En el caso de la realización equilibrada a la entrada, que el sistema de representación elegido es tal que la entrada reparte su energía a partes iguales entre todas las variables de estado del modelo. En el caso de la realización equilibrada a la salida, que todas las variables de estado aportan energía a la salida en igual cuantía. Una propiedad interesante de la realización internamente equilibrada es que ambos elipsoides de controlabilidad y observabilidad del sistema coinciden y se encuentran alin­ eados con los ejes de coordenadas en el espacio de estado. Sus semiejes son iguales a las raíces cuadradas de los valores singulares de Hankel. Por tanto, valores pequeños en un modo de segundo orden se corresponden a estados que son débilmente controlables y débilmente observables. Estos estados contribuyen muy débilmente al acoplamiento entre la entrada y la salida del sistema, propiedad de la que se hace uso a la hora de establecer la reducción del modelo. Es por tanto esta realización en la que se centra el estudio que sigue a continuación.
  • 4.9. l::. 201 REDUCCIÓN DEL MODELO 4.9.2. Transformación a la realización internamente equilibrada El algoritmo comienza por calcular la descomposición de Cholesky (véase t en esta sección) de los gramianos de controlabilidad y observabilidad: W(oo, to) V(oo, to) = = LeL& L o Lb (4.48) (4.49) donde Le y L o representan los factores triangulares inferiores de Cholesky de los gra­ mianos de controlabilidad y observabilidad, respectivamente. A continuación, se calcula la descomposición en valores singulares (véase :1: en esta sección) del producto de los factores de Cholesky: (4.50) y a partir de ella se construye la transformación a la realización internamente equilibrada: (4.51 ) Nótese que: (4.52) Nótese también que en el paso descrito en la Ecuación 4.50 se podría haber realizado la descomposición de L&Lo VEUT , lo que simplemente hubiera intercambiado los papeles de U y V. Un ejemplo de cálculo de una transformación contragrediente se puede ver en el Ejemplo 4.8. = t Descomposición de Cholesky Sea M una matriz de elementos reales, simétrica dicha matriz se puede descomponer como: y definida positiva; entonces (4.53) siendo tivos. L una matriz triangular inferior, con los elementos en la diagonal posi­ Existen varios métodos para el cálculo de la factorización de Cholesky, siendo los más conocidos: Método de Cholesky Se trata de un algoritmo recursivo que comienza con i = 1 y: (4.54)
  • 202 CAPÍTULO . [ Ii- l Li OBSERVABILIDAD 4. En el paso i-ésimo, la matriz Mi tiene la forma: m' li - l O O = (4.55) donde denota la matriz identidad de dimensión i - 1. S i ahora s e define la matriz como: 1 __ b'l· .¡m:¡; entonces se puede escribir: y'mii O (4.56) (4.57) donde: (4.58) l l. Repitiendo esta operación para i = 1 , . . . , n , tras n pasos, se obtiene Mn + = Entonces la matriz triangular inferior L que se está buscando se calcula como: [ ][ � ][ (4.59) Métodos de Cholesky-Banachiewicz y de Cholesky-Crout Escribiendo la ecuación completa de la descomposición M mn m 1 2 . . . m ," m2 1 m22 . . . m2n · · · mn l mn2 mnn In l2 1 O h2 . . . ln l ln2 lnn = LLT : I g l2 1 l22 O In' ln2 O lnn 1 (4.60) se obtiene la expresión general para los elementos de L: ili mii Ll = - k= 1 para i > j (4.61) (4.62) l�k siendo la raíz cuadrada de la Ecuación 4.62 siempre positiva si definida positiva. M es real y
  • 4.9. /:::,. 203 REDUCCIÓN DEL MODELO De esta forma se puede calcular el elemento l ij conocidos los elementos a su izquierda y arriba. El cálculo se ordena entonces en cualquiera de las dos .. formas siguientes: • El algoritmo de Cholesky-Banachiewiez comienza por la esquina superior izquierda de la matriz L y �rosigue .fila por fila. • El algoritmo de Cholesky-Grout comienza ·por el 'elemento de la esquina superior izquierda y prosigUe columna por columna. :j: Descomposición en valores singulares (SVD) Cualquier matriz real M de dimensiones m x n puede ser descompuesta como: M = USVT (4.63) donde U es una matriz ortogonal de dimensiones m x m , V es una matriz ortogonal de dimensiones n x n y S es una matriz diagonal única de dimensiones m x n con elementos reales y no negativos en orden descendente: CTl � CT2 � • • • � CTmín(m,n) � O (4.64) Los CTi son los valores singulares de M, las columnas de U se definen como los vectores singulares por la izquierda de M, las columnas de V se definen como los vectores singulares por la derecha de M. La matriz S tiene la forma: [�] si m � n, y [ E O ] si m < n donde E representa una matriz diagonal con los elementos CTi ordenados como ya se refiere en la Ecuación 4.64. Si se supone que m � n y rang o(M ) = r < n, entonces: (4.65) y además S se convierte en una matriz de dimensiones r x r, disminuyendo su dimensión en consecuencia las matrices U y V. Calcular la descomposición en valores singulares consiste en calcular los valores y vectores propios de MMT y de MT M. Los autovectores de MMT constituyen las columnas de V, mientras que los de M™ son las columnas de la matriz U. Los valores singulares de S son las raíces cuadradas de los autovalores de MMT o MT M.
  • 204 CAPíTULO 4.9.3. 4. OBSERVABILIDAD Reducción del modelo En la determinación de un modelo reducido equivalente, como en cualquier algoritmo de aproximación, se debe siempre alcanzar un compromiso entre simplicidad y precisión. El grado de simplificación del modelo no se puede precisar a priori, sino que vendrá fijado por las necesidades de exactitud con la que se deba reflejar el comportamiento real del sistema. Por lo tanto, no se puede especificar un criterio general de reducción, sino enunciar las guías para proceder con esta simplificación. La idea básica en la que se basa la reducción del modelo es la siguiente: supóngase un sistema exprsesado en su realización internamente equilibrada. En el caso en que los valores singulares de Hankel del dicho sistema sean tales que (T� :» (T� + l ' entonces el subespacio: X l = 1m (4.66) [�] donde I k es la matriz identidad de dimensión k, se comportaría aproximadamente como Xc y X3 a la vez, dada la realización que se está manejando. Si el teorema de realización mínima de Kalman, enunciado en la Sección 4.8, se aplica al modelo internamente equili­ brado para el que X l se toma como una buena aproximación a XC Q , el modelo resultante de orden reducido se comportaría aproximadamente igual al original, conservando las propiedades de estabilidad y equilibrio interno. El motivo que justifica esta aproximación es que los modos de segundo orden despreciados se asocian a variables de estado que en la realización internamente equilibrada poseen una controlabilidad y una observabilidad significativamente bajas. Esto tiene dos consecuencias claras: • • En primer lugar, son variables difíciles de controlar y de observar, lo que significa, respectivamente, que las entradas repercuten débilmente en su valor y que sus variaciones no afectan significativamente a la salida. En segundo lugar, y dada la característica anterior, son variables que contribuyen muy débilmente al acoplamiento entrada-salida del sistema, por lo que si se tratara de un modelo de caja negra, podrían ser despreciadas. Por lo tanto, el procedimiento de reducción es el siguiente. Dado un sistema definido por las matrices e, D): (A, B, 1. Se transforma a su realización internamente equilibrada (A, B, e, D ) . 2. Se toman los valores singulares de Hankel y se descartan los que sean significativa­ mente inferiores a los demás. 3. Se eliminan las variables de estado asociadas a los modos de segundo orden descar­ tados 4. Si se han eliminado siguiente forma: n - k variables, se reducen las matrices del sistema de la
  • 4.9. /::, 205 REDUCCIÓN DEL MODELO • • • Se eliminan las n - k últimas filas y n - k últimas columnas de la matriz A. Se eliminan las n - k últimas filas de la matriz B. Se eliminan las n - k últimas columnas de la matriz C. El modelo resultante de la aplicación de estos cuatro pasos es un modelo de orden reducido del mismo sistema que posee aproximadamente la misma relación entrada-salida que el sistema original. Ejemplo 4.8 Dado el sistema descrito por la realización mínima: x(t) = [ -��84 y(t) = [ 3 1 � � - �OO -�40 O O ] x(t) �1 -20 x(t) + [�1 1 u (t ) plantear los posibles modelos de orden reducido. En primer lugar se calculan los gramianos de controlabilidad y observabilidad: [ �t [ =, 1 - 80640 O 1 80640 0 - 14132 W(oo, O) = O 80640 O1 4032 151 O O - 403 5040 693 21697 21344 6720 23 560 11543 305 673 56 2693 115 20 2304 107520 V(oo, O) = ���i 305 61 67320 2673 196120 6451 2 304 37 61 2 56 107520 6451 2 1 290240 5 [ O 1 1 A partir de los valores de los gramianos se plantea la descomposición de ambos en los factores de Cholesky: Le = O 19 V7 O 1 i1 _ 48V35 O1 60 V7 O 401'3 _ Y1 O 12 O _ _ ,tI
  • 206 CAPíTULO y' 229 35 Lo = 1 4 293� 48 1 697 48"'80 1 85 3 y' 2��1 64 o 4. OBSERVABILIDAD o O 2231 203609280 1 4 64009 32"'3054 1 39202 1 0 6348 1 1 ..n!N!i 48 2209 24"' 1 49 1 9962933 O O O 1 32"'23503 Dados los factores de Cholesky de los gramianos de controlabilidad y de obser­ vabilidad, se procede a la descomposición en valores singulares del producto: LbLc = UEVT [ [ [ resultando: -0,997 U = -0,073 0,001 0,0005 -0,646 -0,632 V = -0,380 -0,195 0,00488 O E= ° O [ 0,0724 -0,992 -0,099 -0,014 0,561 -0,018 -0,680 -0,471 O 0,00109 O O -0,008 0,0986 -0,946 -0,308 -0,397 0,533 0,163 -0,729 O O 0,0001 O -0,001 0,018 -0,308 0,951 -0,332 0,562 -0,604 0,456 6, ] ] J ] IO - ' ] y a partir de estos valores se genera la matriz de transformación a la realización internamente equilibrada del sistema: [ -0,018 -0,032 -0,020 0,195 0,033 -0,776 -o,248 -0,002 0,186 0,751 -0,404 0,483 -2,516 -2,214 -15,198 12,307 ] Aplicando esta transformación, las matrices del sistema resultan : - A _ - -0,763 -2,238 -0,803 0,134 2,238 -0,803 0,134 -4,434 4,612 -0,690 -4,612 - 10,647 3,264 0,690 3,264 -4,156
  • 4.9. b. [ ] 207 REDUCCIÓN DEL MODELO B= -0,086 -0,098 -0,046 0,008 C = [ -0,086 0,098 -0,046 0,008 ] [ 0,00488 O O O O 0,00109 O O O O 0,0001 O O O O 6,954 10 -6 ] siendo los gramianos matrices diagonales con los valores singulares de Hankel del sistema ordenados de forma descendente: W(oo, O) = V(oo, O) = E = A la vista de la matriz E es fácil darse cuenta de que el tercer valor singular de Hankel es del orden de diez veces menor que su predecesor, por lo que se puede plantear un modelo reducido de orden dos. Se plantean dos alternativas, el modelo de orden tres, eliminando la cuarta variable de estado de la realización internamente equilibrada , y el de orden dos, eliminando la tercera y la cuarta. • Eliminando la cuarta variable de estado se obtiene el modelo de orden tres: Al = Ih = [ [ ] -0,763 2,238 -0,803 -2,238 -4,434 4,612 -0,803 -4,612 - 10,647 -0,086 -0,098 Cl = [ -0,086 0,098 -0,046 ] -0,046 ] cuya respuesta impulsional es la que se representa en la siguiente figura: Yl ( t ) 0 . 008 ¡ ¡ 0 . 006 0 . 004 0 . 002 :," .. : ¡ :! , ¡ ! !¡ ! ! ., . " ....... .................... .. .. .. .. .. .. .. _- - - - - ..
  • 208 CAPíTULO • 4. OBSERVABILIDAD Eliminando la tercera y cuarta variables de estado se el modelo: [ 13 2 = [ C2 = Á2 = -0,763 -2 , 238 -0 ,086 -0 , 098 -0,086 ] 2 , 238 -4 , 434 0,098 ] ] cuya respuesta impulsional es la que se m uestra en la siguiente figura : y, ( t ) 0 . 008 o 006 0 . 004 0 . 002 I I I I I I I I I I I I I I l' ' " ',_ -o 002 Para poder evaluar la calidad d e ambas aproximaciones, a continuación se muestra la comparación entre la salida del sistema original (trazo continuo) , el de orden tres (línea discontinua corta) y el de orden dos (línea discontinua larga) . y(t) o 002 -o 002
  • 4.10. 209 EJEMPLOS ADICIONALES pudiendo concluirse que ambas aproximaciones son suficientemente buenas (de hecho la respuesta del sistema original y la del sistema de tercer orden práctica­ mente coinciden) . Ejemplo 4.9 4. 10. Ej emplos adicionales Determinación del estado inicial en presencia de ruido a la salida o2 Se va a suponer que se desea determinar el estado inicial a partir del que evoluciona un sistema determinado por las matrices: A= [� -1 - O O O -3 1 , C= [ l 2 3] cuando la salida ante escalón medida es la salida real corrompida con un ruido. Para simplificar, se supondrá que el ruido es una senoide, con lo que dicha salida medida es: Ymedida (t) = 1 - 4e - 3t + 3e- 2t + 2e- t + 0,01 sin( lOOt ) Para calcular el estado inicial , se descuenta de la salida medida la parte corres­ pondiente a la excitación producida por la entrada, para dejar únicamente la porción debida a la evolución libre desde el estado inicial: A continuación, y para poder determinar el estado inicial , se ha de calcular el gramiano de observabilidad del sistema (ya calculado en el Ejemplo 4.2) : y, a partir del conocimiento del gramiano de observabilidad, se puede despejar la estimación del estado inicial. En este caso se hace sin especificar el tiempo de observación de la salida , por lo que el estado inicial depende de t , en el sentido de que se obtendrá un valor distinto al cambiar el periodo sobre el que se realiza la evaluación. Esta dependencia sólo ocurre en el caso de que haya errores en
  • 210 CAPÍTULO 4. OBSERVABILIDAD el modelo o en la medición. En caso de que las medidas sean perfectas, no se produce, como se vio en un ejemplo anterior. Particularizando la Ecuación 4.8: En las siguientes gráficas se representa la evolución del valor de la esti­ mación, a medida que se aumenta el intervalo de la salida utilizado para su cómputo (columna de la izquierda) y el error cometido respecto al valor inicial real (columna de la derecha) para cada variable de estado: XO l e - XO I X Ol e 20 15 0.2 0.3 0.4 -5 0.5 t 10 5 O. 10 0.3 0.4 0.5 t -15 X 02 e 20 15 0.2 10 5 0.2 X0 3 e 0.3 0.4 0.5 -5 0.3 0.4 0.5 t -10 -15 -20 X0 3 e - X0 3 6 4 -2 2 -4 .3 -6 0.4 0.5 t -8 Como se puede apreciar en las figuras, los errores en la medida de la salida, modelados en este caso como una senoide de alta frecuencia superpuesta sobre la salida real , provocan un error en la estimación del estado inicial , tanto mayor cuanto menor es el intervalo utilizado, lo que matemáticamente se refleja en valores pequeños para el determinante del gramiano de observabilidad. A medida que el intervalo se amplía , los errores tienden asintótica mente a desaparecer.
  • 4.10. 211 EJEMPLOS ADICIONALES Separación en subsistemas Ejemplo 4.10 Separar en sus partes controlable y -o bservable el sistema dado por las ma­ trices: [ 2 3 -3 - 2 A = -3 O -3 -3 3 3 B � UJ -4 4 2 4 -4 O O O -1 O TI -2 En primer lugar es necesario conocer las dimensiones de los subespacios controlable y observable del sistema , para lo que se utiliza'tel estudió mediante las matrices de controlabilidad y observabilidad: e= [ -3 3 2 O 5] O 3 2 ' 2 -2 3 -3 -4 -2 6 2 '-5 5 5 -5 - - 10 -2 -11 191 15 1 18 2 17 -17 - El rango de la matriz Q es 3 , por lo que ésa es la dimensión del subespacio controlablé'del SIstema. PaFa obtener su basE!, se extraen tres vectores columna linealmente independientes de dicha matriz, en este caso los tres primeros:
  • 212 3- 3 CAPÍTULO 4. OBSERVABILIDAD En cuanto a l estudio de controlabilidad: [e1 [ 3 1 [ 3 3 -3 - ] [H] [ P= CA CA 2 C A3 C A4 = -6 -12 -24 -48 2 8 o 6 8 -6 2 18 2 o o o 14 o 26 o 50 � siendo el rango de la matriz P también 3 , por lo que la dimensión del subespacio no-observable es 2. Para calcular la base de dicho subespacio se recurre a obtener el n úcleo de la transformación lineal definida por la matriz de observabilidad: y O 15 9 -4 6 - 10 18 2 -2 2 -2 2 Vll V2l V3l V4l V5l Vl2 V22 V32 V42 V52 � despejando se obtiene que la base del subespacio no-observable es: Para calcular la matriz de separación de parte observable y controlable es necesario calcular la intersección entre los subespacios controlable y no­ observable, por lo que primero se calcula la dimensión de dicha intersección: y, sabiendo que la dimensión de la intersección es 1, se plantea la ecuación:
  • 4.10. 213 EJEMPLOS ADICIONALES que despejando resulta a = � . {J = - � . 'Y = - � y /1 = - l . por lo que la base del espacio intersección entre la parte controlable y la parte no-observable es: Con toda esta información ya se pueden identificar las distintas submatrices que componen la matriz de transformación que realiza la 'separación: • • [11 [ � ;� 1 I nte<SeCdón del ,ube,pocio contmlable y no-ob.. "'able, T, � Junto a Tb . base del subespacio controlable: T a = • Junto a Tb. base del subespacio no-observable: Td • Resto de la ba .. del e'pado de e""do' T e � [� = �1 [ 2 -5 -2 5 O -1 -1 O 1 Lo que da como resultado la matriz de transformación: 3 -4 -2 -5 -2 5 O T� O 1 1 1 -1 1 O O O O O -1 -1 O 1 1 [� =} T- 1 = 1 1 -3 1 O -2 � 3 O -1 O O O O 1 O 1 �1 1
  • 214 CAPíTULO O O O O O O O O 4. OBSERVABILIDAD Con esta matriz se realiza la separación en los distintos subsistemas. quedando: [� �1 A =T- 1 AT = O B =T - 1 B = e =CT = [3 O O 2 -1 -4 o -3 - 1 -3 O 2 O O O -1 ] A la vista de este resultado es posible comprobar también cómo la realización mínima del sistema y la realización original (incluyendo las partes no controlable y no-observable) generan la misma función de transferencia. Tomando: 3(s + 1) Ce o(s) = Ca ( sI - Aaa ) - 1 Ba = ( s + 2 ) ( s - 1 ) mientras que si se toma la realización completa original : s C (s) = C ( I 1. 4. 1 1 . _ A) - 1 B = 3( s + 1) (s - 2)(s + 1) 2 (s + 2)(s - 1)(s + 1) 2 (s - 2) 3(8 + 1) (8 + 2)(8 - 1) Ej ercicios resueltos Para el sistema siguiente: [ !: J [ -� ! j ] [ :: J [ � ] [ :: 1 + - y Determinar: � [1 1 OJ a) La observabilidad del sistema. "
  • 4. 1 1 . 215 EJERCICIOS RESUELTOS b) La base del subespacio no-observable, si existe. c) Determinar si son observables los siguientes puntos: d) Obtener la salida del sistema ante entrada nula, cuando se parte en el in­ e) a) stante to = O de cada uno de los estados iniCiales 'dei apartado anterior. ¿ Qué conclusiones se pueden obtener analizando las respectivas salidas ? Obtener la salida del sistema ante entrada esca16n unitario, cuando se parte en el instante to = O de cada uno de los estados iniciales del apartado e) . ¿ Qué conclusiones se pueden obtener analizando las respectivas salidas ? [ � 1 [ -; - � �1 La observabilidad del sistema se estudia a través de la matriz P: = C rango(P) = 2 4 1 O CA2 Luego el sistema no es observable. b) Dado que el sistema no es observable existe un sub espacio no-observable cuya dimensión es 3 2 1. Una base de este subespacio se puede hallar tomando las filas linealmente independientes de la matriz P (en este caso 2) y hallando los vectores fila ortogonales a todas ellas: P= [ - _ ; = _ � � ] [ �� 1 [ � ] V3 = ::::} { VI + V2 = O -2 V I - V2 = O por lo que cualquier vector que cumpla con la condición de ortogonalidad es de la forma: y, por lo tanto, una posible base del subespacio no-observable es: e) E Al no ser observable el sistema, no existe ningún punto que sea observable. Además , los puntos propuestos son tales que: x. � [�1 BN - O => Luego es no-obs ...vable.
  • 216 �1 [ [ 11 xC Xb d) _ _ ] CAPíTULO i BN - O - 3 ] i BN - o => 4. OBSERVABILIDAD Luego no es observable. => Luego no es observable. La evolución de la salida es: = = y(t) Cx(t) C«p(t, to)x(to) + C i¡tot «p(t, r) Bu (r) dr Para calcular la evolución de la salida es necesario obtener previamente la matriz de transición. Como A es invariante y diagonal, la expresión de la matriz de transición es fácil de calcular: OO OO OO ] y(t) C«p(t - to)x(to) � [ [ 1 1 O ] O O � ] x(to) O ] x(to) x(to) x(to) Xa [ � 1 Ya(t) O x(to) Xb U ] Yb(t) «p(t, to) = eA (t - to } = [ e - 2t e-t e-t Al ser la entrada nula, la salida se obtiene como: = = = e 2t e� t e-t [ e - 2t e -t Sustituyendo en esta expresión = por los estados iniciales propuestos: = = => = = = => = = = => x(to) Xc [i] Yc(t) = e- 2t + e -t e - 2t + e - t El expresado punto Xa análisis de laslasalidas confirma lo salida nulaen el tercer apartado. Elestado es no-observable, pues produce cuando se toma como inicial y cuando entrada es asimismo nula. Dada la existencia de un subespa­ cio no-observable, se comprueba que no es posible distinguir el estado inicial observando las salidas Yb(t) e Yc(t).
  • 4.11. S i la entrada es 217 EJERCICIOS RESUELTOS e) un escalón, habrá que sumarle a la salida el término debido a la evolución forzada, que es independiente del estado inicial: t jj(t) = c l �(t, T)BU(T) dT = to e 2t e t � e �t = l to o o e-t e " [ [1 1 o � 1 = [ 1 1 o] 1 [�1 f.: [ f�2< 1 dr [ 1-2 ] o o o dT = � 1 2e -2t = --2 _ Por lo que la salida para cada uno de los estados iniciales propuestos es: => Ya (t) = 1 - 2e - 2t 2 t => Yb ( t ) = e - 2 + e - t + t => yc(t) = e - 2t + e - + 1 2e - 2t = 1 + 2e - 2t e - t + 2 2 - 1 - 2e - 2 t = 1 + 2e - 2t e - t + 2 2 Analizando las salidas se ve que no es posible distinguir cuál es el estado inicial observando Yb(t) e, Yc(t), lo que confirma que, cuando el sistema no es observable, no existe ningún punto observable, independientemente de la entrada que actúe.
  • 218 2. CAPíTULO 4. OBSERVABILIDAD Dado el sistema de la figura: Ul (t) , �--__ s + a ..... s + b "-.IIIA-" Xl b = 2, e = 3 la evolución temporal de las salidas Yl e Y2 , a partir de condiciones iniciales X l = X 2 = X 3 = 1 Y ambas entradas nulas. a) Calcular para a = 1 , b) ¿ Qué condiciones deben cumplir los parámetros tado del sistema pueda ser observado: a, b , e para que cualquier es­ ¿ Qué condiciones deben cumplir los parámetros a, b, para que el estado Xl = 1, X2 = 2, X3 = 1 pueda ser observado leyendo sólo la salida Yl ? d) Utilizando las entradas U l Y U 2 , ¿ qué condiciones deben cumplir los paráme­ tros a , b, para que pueda alcanzarse el estado X l = 1 , X 2 = 1 , X 3 = 2, a partir 1) leyendo sólo la salida Yl ? 2) leyendo ambas salidas ? c) c c de condiciones iniciales nulas ? U l , ¿ qué condiciones deben cumplir los pará­ metros a, b, c para ' que puedan alzanzarse los siguientes estados a partir de condiciones iniciales nulas ? e) Utilizando como única entrada 1) 2) X l = 1 , X 2 = 2, X 3 = 1 X l 1, X 2 = 1 , X3 = 2 = En primer lugar se plantean las ecuaciones del sistema: X l = aX l + U l + U2 X2 = bX2 + Xl X3 = CX3 + U l Yl = X 2 Y2 = X 2 + X3
  • 4.11. 219 EJERCICIOS RESUELTOS que, expresadas en forma matricial, quedan: YI [ Y2 ] = [ OO O ] 1 1 1 Una vez que se dispone del modelo del sistema, se puede abordar la resolución de las distintas cuestiones que plantea el ejercicio. a) Dados los valores de las constantes ( a , b, e) , hallar la evolución temporal del sistema implica el cálculo de la matriz de transición. Para ello se seguirá el procedimiento habitual de hallar la transformación de diagonalización para resolver en el sistema diagonalizado: [ XX3l 1 [ O �2 =[ O O OO 1 [ XX2l 1 [ O O 1 [ �� O X3 O ] O OO 1 = O O 0O ] [ VVnl2 1 [ n [Vu-�= VlO 2 Vl3 Vl3 = O VI = [ i ] [ O OOO OO ] [ V�'2223 1 = [ � 1 V V21 = O V23 = O [ ! l -1 1 -2 + -3 1 1 1 Dado este sistema, donde ya se han sustituido los valores de las constantes, se calculan los valores propios de la matriz A: det(>'I - A ) >' + 1 - 1 >. + 2 >. + 3 ( >' + 1)( >' + 2)(>' + 3) Conocidos los valores propios, se calculan sus vectores propios asociados: >' = -1 = >. -2 => => 1 -1 -1 2 1 VF
  • 220 A CAPÍTULO 4 . OBSERVABILIDAD [ =� -! � ] [ [ V31 O 3 [ :::] l n V3 2 O V � O o O] O => -3 � = = 1 = con lo que la matriz de cambio de base queda: 1 1 Así, la matriz Á que define el comportamiento del sistema en la nueva base es: T- 1 AT [ O ] '¡'(t) eÁt [ e-t e-OO2t ),, ] OO Á = -1 0 = 0 _2 0 0 0 -3 La matriz de transición correspondiente es: = = El estado inicial expresado en la nueva base es: e-t [ e-t e-OO2t e-3t ] [ O ] [ e-3t ] O OO OO x(t) Tx(t) [ O OO OO ] [ :�:, ] [ :�;, ] Por lo que la evolución libre del sistema en la nueva base es: x(t) '¡'(t)x(O) = 1 = 1 Evolución que expresada en la base inicial del sistema sería: = = 1 1 1 1 Luego el vector de salida del sistema es:
  • 4.11. 221 EJERCICIOS RESUELTOS b) 1) La nueva matriz de salida C 1 es: Cl = [ O O] 1 � -�2 � 1 -a - b b O Por lo que la matriz P l de observabilidad es: Pl = [ P= -b O -b - e -a - b b2 O - a - b b2 c2 con rango(P l ) = 2 < 3, luego el sistema no será nunca observable uti­ lizando sólo esta salida, independientemente de los valores de (a, b, e) . 2) La matriz P de observabilidad es: O O 1 1 1 1 O 1 con rango(P) = 3, por lo que el sistema es observable para cualquier combinación de valores de (a, b, e) . Como se indica en el apartado b,l . , el sistema no es observable para ninguna e) combinación de valores de (a, b, e) , luego ningún estado del sistema puede ser observado. d) La matriz Q de controlabilidad es: Q� [� 1 O O -e a' a2 1 -a - b -a - b o O c2 -a -a 1 1 con rango(Q) = 3, luego el sistema es controlable y, por tanto, cualquier estado del sistema puede ser alcanzado desde condiciones iniciales nulas. e ) 1) La matriz de controlabilidad Q l correspondiente a la entrada U l es: Para que un estado del sistema pueda ser alcanzado a partir de condiciones iniciales nulas, ha de poder expresarse como combinación lineal de los vectores de la base del sub espacio controlable ( que podría ser todo el espacio) y, por tanto, como combinación lineal de los vectores columna de Ql . Las distintas posibilidades que existen son:
  • 222 CAPíTULO • det(Q¡ ) = det • O Sistema controlable: [ 1 -a a2 1 -a - b 1 - e c2 1 = 4. OBSERVABILIDAD c2 + ab - ac - bc = (a - c)(b - c) Si a =1- e y b =1- e, el sistema es controlable; por lo tanto puede alcan­ zarse el estado propuesto. Si a = e: Q¡ = [ � -� -:� 1 a2 1 -a b por lo que la base del subespacio controlable es: y como: det • el punto Si b = e: [ � -� � 1 1 -a 1 =O [ 1 2 IV pertenece al subespacio controlable y es alcanzable. Q¡ = [� a � 1 -b _ :� b 2 b 1 por lo que la base del subespacio controlable es: y como: det 2) [ O 1 -a 1 1 2 1 -b 1 1 = = 1 - 2a - 1 + 2b 2(b - a) el punto [ 1 2 IV pertenece al subespacio controlable y es alcanzable. Si a = b = e, puede alcanzarse el estado propuesto; en caso contrario no será posible. Aplicando los mismos razonamientos que en en el apartado anterior: • Si a =1- b y b =1- e, [ 1 1 2V es alcanzable.
  • 4.11. EJERCICIOS RESUELTOS • • 3. O Si a = c O 1 -a 1 1 1 1 -a 2 223 :f 0 luego no es alcanzable . Si b = c 1 -a 1 1 1 =2-a-1-b=1-a-b 1 -b 2 luego, si a + b = 1, es alcanzable, y no lo es en caso contrario. Dado el sistema de la figura: X3 Yl (t) a) Elegir un conjunto de variables de estado que contengan el máximo número posible de entre las salidas de cada bloque y expresar, en esa base del espacio de estado las, ecuaciones de estado que definen el comportamiento del sistema. b) ¿Se pueden llevar simultáneamente los valores de las salidas YI e Y2 a cualquier par de valores prefijados, desde condiciones iniciales nulas de las variables de estado, en la base elegida en el apartado anterior y mediante una entrada adecuada ? Razonar si existe otra base del espacio de estado que cambiase dicho resultado. c) Indicar si es posible la construcción de un observador de todas las variables de estado del sistema. Si fuera posible, indicar el mínimo número de salidas necesarias para construirlo. d) Indicar si existe alguna representación del estado del sistema, tal que sus va­ riables sean controlables y/o observables. a) S(SX I + x¡ ) = -X l + U En primer lugar hay que elegir las variables de estado con las que construir el modelo. En el primer bloque hacen falta dos variables de estado: donde definiendo: X 5 = SXI + X l
  • 224 CAPÍTULO 4. OBSERVABILIDAD se tiene que: = Xl X5 = X Xl - - l + X5 +U Por otra parte, la X2 del enunciado no puede ser variable de estado junto con la Xl . Del tercer bloque se tiene: y finalmente del último bloque: [ OO1 - OO1 O0 1 -1 O -� y - [ O1 OO O1 _ n ] [ ] [O] Con lo que el modelo en forma matricial queda: . x= -1 -1 2 [O b) La matriz de controlabilidad es: Q= OO1 O -1 0 1 -1 -1 [�1 J -! ] 2 2 -2 �: X' X5 + � 1 u rango(Q) = 3 por lo que el estado no es controlable. De otra parte, la matriz de controlabil­ idad de la salida es: CQ = [ OO OO 21 -2 ] -4 donde rango(CQ) = 1; por lo tanto la salida no es controlable, por lo que no será posible llevarla a cualquier par de valores arbitrarios desde condiciones iniciales nulas como propone el enunciado. Un cambio de base no afectaría para nada a este resultado, puesto que no repercute en modo alguno sobre la controlabilidad del sistema.
  • 4.11. 225 EJERCICIOS RESUELTOS c) o1 La matriz de observabilidad del sistema con las dos salidas es: P= 2 O -4 -1 4 1 O O O O 2 1 -4 -2 1 O -1 O 1 O -1 O O 1 O -1 O 1 O -1 donde rango(P) = 4, por lo que el sistema es observable y sí se podría construir el observador. Utilizando sólo la salida Yl , la matriz de observabilidad reducida sería: Pl = [ O 2 -4 4 [ 1 O -1 1 O O 2 -4 1 -1 1 -1 0 O O O ] ] donde rango(P¡) = 3, por lo que no sería posible construir el observador. Utilizando sólo la salida Y2: P2 = 4. O O 1 -2 O O O O 1 -1 1 -1 con rango(P 2 ) = 3, por lo que usando la segunda salida tampoco sería posible construir el observador; hacen falta las dos salidas para poder hacerlo. d) Como el sistema es observable, serán observables cualesquiera variables de estado en las que se exprese. Del mismo modo, y dado que el sistema no es controlable, no lo será cualesquiera que sean las variables de estado elegidas para su representación. El sistema de la figura representa la función de transferencia de un motor, donde es la tensión en bornes de entrada, X2 es la velocidad angular y X l es el ángulo girado. u
  • 226 eP, de controlabilidad Q y de observabilidad en la base formada por las variables de estado X l y X 2 . Calcular igualmente una matriz de cambio de base Tk , que separe al sistema en sus distintos sub­ sistemas. Si se conocen dos entradas U l (t) Y U 2 (t), que llevan respectivamente al sistema desde condiciones iniciales nulas a los estados oV y IV en dos segundos, ¿, qué entrada conseguirá que, partiendo del estado inicial V, el sistema esté en ese mismo estado al cabo de 2 segundos ? CAPíTULO OBSERVABILIDAD 4. a) Calcular la matriz de transición P, b) [1 [O[1 1 Como siempre, el paso previo es el cálculo del modelo de estado que represente al sistema. En este caso dicho modelo es: X l = X2 K X2 = - - X 2 + T T . 1 . [ OO _1� ] x + [ ¡ ] = [ 1 O ]x modelo que, expresado en forma matricial, queda: x= a) • y u Matriz de transición Se calcula primero el polinomio característico para hallar los polos del sistema: = >'(>' + f ) det(>'I - A) = >. >. + O - 1� I I 1 Para los valores propios hallados se calculan los vectores propios, que cons­ tituyen, por columnas, la matriz de transformación a la forma diagonal de la matriz A: >' = 0 => [ OO -;.1 ] [ Vl2 ] = [ OO ] Vu [�] Vl 2 = O, [ -i �1 ] [ �:� ] = [ � ] T v} = V2 l = -TV22 , V2 = [ O1 -T1 ] De esta forma, la matriz de transformación queda: T- l = [ !'1 ]
  • 4. 1 1 . 227 EJERCICIOS RESUELTOS - [ O1 e-.f, ] O Con lo que en el sistema diagonalizado la matriz de transición es: y • en el sistema original: <I> ( t ) = . Matriz de controlabilidad Q = [ B AB J = • Matriz de observabilidad • [2 T Matriz de transformación Como se puede comprobar por la definición de las matrices Q y P, el rango de ambas es máximo, por lo que la matriz de separación de los distintos subsistemas se reduce a la matriz identidad. b) Del enunciado se comprueba que cualquier estado puede ser alcanzado al cabo de dos segundos, con la conveniente combinación lineal de las dos entradas propuestas. Por lo tanto, se podrá alcanzar el estado propuesto contrarrestan­ do la evolución libre del sistema con la entrada adecuada. Se comienza, por consiguiente, calculando cuál es esta evolución libre: por lo que, para alcanzar el estado inicial de [1 aplicar será: x(2) IV, la entrada que habrá que [ � ] = [ l +T��¡ e-t) ] +x(2) donde representa la componente de la evolución del estado debida a la acción de la entrada. Dicha acción, según queda reflejado en la ecuación, debe ser tal que contrarreste el efecto de la evolución libre del sistema, devolviendo el estado a su valor inicial. De esta forma:
  • CAPíTULO 4 . OBSERVABILIDAD 228 Aplicando linealidad sobre las dos entradas que propone el enunciado, es posi­ ble conseguir dicho efecto mediante la combinación lineal de U I Y U 2 : u 5. = - T ( I e - -f. )u I + ( 1 - e - -f. )u2 - Dado el sistema definido por las siguientes ecuaciones de estado: 1 a los 5 s ? 2 a los 5 s ? 1 Y X2 2 a los 5 s ? 1 , X2 ¿Puede ser observado el estado del sistema X l 2, X3 1 ? Si la salida del sistema es nula, ¿ qué conclusiones se pueden sacar sobre los valores de X l , X2 Y X3 ? a) Descomponerlo en sus distintos subsistemas. b) Partiendo de condiciones iniciales nulas: c) a) 1) ¿Existe alguna entrada que consiga que X l 2) ¿Existe alguna entrada que consiga que X2 3) ¿Existe alguna entrada que consiga que X l == == == = Se trata de realizar la descomposición en los distintos subsistemas. Para ello se comienza por ver la controlabilidad: Q= matriz que cumple controlable es: [ B AB A 2 B ] rango(Q) =[O O O 1 1 1 1 1 1 1 1 , de manera que la base del sub espacio A continuación se hace el estudio de observabilidad: P = [ c� 1 = [ � -� ¿ 1 = 1 -1 1 CA 2 matriz que tiene rango(P) 2, con lo que la base del subespacio no-observable es el núcleo de la aplicación definida por la matriz P: Ul
  • 4.11. 229 EJERCICIOS RESUELTOS Con esta información ya se puede calcular la matriz de cambio T: donde: • • • • Tb es la intersección del subespacio controlable con el no-observable. Ta forma junto con Tb la base del subespacio controlable. Td forma junto con Tb la base del subespacio no-observable. Te completa la base del espacio de estado. Por lo que en este caso: Ta y Td no existen. De esta forma, la matriz de transformación es: [ - 1 -1 - 1 1 � 0 Aplicando esta transformación, las matrices del sistema quedan como: A = T - 1AT = � e � T- 1 B � � 1 [�1 = CT = [ o o 1 ] Con lo que los distintos subsistemas quedan definidos como: • Controlable y observable: no existe. • Controlable: �] [ -1 ] [ 1 ] [O] • No controlable: • No-observable: [� ] � [ [O 1] [ -1 ] [ 1 ] [O]
  • 230 CAPÍTULO • OBSERVABILIDAD Observable: [� �] [�] 1) [O 1] Sí, pues 2) b) 4. pertenece al subespacio controlable. Sí, pues pertenece al subespacio controlable. 3) No, pues no pertenece al subespacio controlable. e) Al existir un subsistema no-observable dentro del dado, no existe ningún punto del mismo que pueda ser observado y, por tanto, tampoco lo es en el estado [1 2 1] . X lX X2=X3V. debe pertenecer al subes­ l X2 Si la salida del sistema es nula, el punto [ pacio no observable; por lo que se verifica
  • 5 5.1. Co n t ro l por rea l i m e n ta c i ó n d e l esta d o Introducción En este capítulo se va a estudiar el control de un sistema mediante la realimentación de sus variables de estado, poniendo de manifiesto la potencia de esta estructura de control para fijar las características del comportamiento dinámico de un sistema. Primeramente se realiza un análisis de la dinámica del sistema cuando se efectúa la realimentación de sus variables de estado, mediante una matriz constante, para actuar sobre las variables de entrada del sistema según el esquema de la Figura 5. 1 . A. continuación, se aborda el diseño de la matriz de realimentación del estado con objeto de fijar el comportamiento dinámico del sistema, justificándose la asignación directa de todos los polos de la parte controlable del sistema, tanto en el caso de sistemas monovariables como multivariables. Para proceder a la aplicación de un control por realimentación del estado, se parte en este capítulo del conocimiento de las variables de estado del sistema, que se suponen directamente medibles. En el capítulo siguiente se aborda el hecho de que las varia­ bles de estado no sean directamente medibles, en cuyo caso se 4iseñan unas estructuras denominadas observadores , que permiten. estimar el verdadero 'valor de las variables de estado de la parte observable, a partir del conocimiento de la evolución de las variables de entrada y de salida del sistema, que constituyen la información accesible de éste. Como se vio en el capítulo anterior, un sistema puede descomponerse en varios subsis­ temas atendiendo a sus características de cóntrolabilidad y observabilidad, existiendo un subsistema que es a la vez controlable y observable, conocido como realización mínima del sistema . La parte no controlable del sistema total tiene un comportamiento independi­ ente de las entradas y, por tanto, no puede modificarse mediante ninguna realimentación 231
  • 232 CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO del estado que actúe sobre ellas. Por otro lado, el valor de las variables que constituyen la parte no-observable del sistema total no pueden conocerse mediante la observación de la entrada y la salida, y por tanto no pueden utilizarse para su realimentación. Conse­ cuentemente, sólo la realización mínima de un sistema puede utilizarse en una estructura de realimentación del estado, por lo que en todo este capítulo se supone que se está tra­ bajando con esta parte del sistema total. Se debe tener en cuenta que las variables que forman la parte controlable y observable quedan fijadas en la fase de diseño del sistema, en la que se determinan las variables que son entradas y salidas del sistema. El Ejemplo 5. 1 da una idea de la potencia del control de un sistema cuando se conoce el comportamiento de sus variables internas, comparándolo con el control del mismo sistema cuando se realimenta sólo la salida de éste. Ejemplo 5 . 1 Se desea controlar la posición angular del motor representado en la figura . En esta figura se representa una estructura clásica de control con un regulador proporcional, con el que consigue un compromiso entre el error en velocidad y la dinámica del sistema. J-_II KR ...... k Ts + 1 .... _.. ... Con objeto de mejorar dicho control, se puede medir adicionalmente la derivada del ángulo que se desea controlar, que representa la tendencia de su evolución temporal , y utilizar dicha información adicional sobre la dinámica del sistema en la estructura de realimentación, según se indica en la siguiente figura . k Ts + 1 1 s
  • 233 5.2. REALIMENTACIÓN DEL ESTADO Este esquema de control es equivalente al representado en la siguiente figura, mediante unas pocas operaciones del diagrama de bloques. Se observa que este esquema representa una estructura clásica de control con un regulador de tipo PO, pero en la que se ha suprimido el cero de cadena abierta introducido por el mismo. La ventaja del control por realimentación de las variables de estado del sis­ tema respecto al sistema de control equivalente que se obtiene usando la teoría clásica reside en que el primero utiliza, de forma natural, la evolución de las variables del sistema , mientras que en la estructura clásica es necesaria la con­ strucción de derivadores puros de difícil realización física. Esta idea será gener­ alizada para sistemas más complejos en los que la realimentación del estado del sistema puede realizar un control más potente que el que realiza un" regulador PIO, actuando solamente sobre la señal de error de la salida. 5.2. Realimentación del estado Dada la realización mínima de un sistema, representada en la Figura 5.1: se cumple: Figura 5.1: Sistema con realimentación de estado. x(t ) y(t ) = Ax(t) + Bu(t) = Cx(t) + Du(t) (5.1) (5.2)
  • CAPÍTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO 234 ecuaciones ya conocidas para un sistema lineal invariante. Sin embargo, la inclusión del lazo de realimentación, a través de la matriz constante K, hace que se cumplan también las relaciones: u(t) = v(t) + Kx(t) x(t) = Ax(t) + Bv(t) + BKx(t) = [A + BK] x(t) + Bv(t) 1 Con lo que la dinámica del sistema viene ahora expresada por la matriz: Ar = A + BK ( 5.5 ) ( 5.3 ) ( 5.4 ) Se puede cambiar la matriz Ar que representa la dinámica del sistema realimentado mediante la libre elección de la matriz K, por lo tanto se pueden cambiar las propiedades del sistema, en particular sus polos, eligiendo adecuadamente Ar y despejando K de la Ecuación 5.5. A raíz de la afirmación anterior, surge la pregunta de si se puede elegir cualquier matriz Ar y si siempre se puede despejar la matriz K que verifique la Ecuación 5.5. La respuesta es negativa, porque dicha expresión representa n x n ecuaciones (dimensión de A) con m x n incógnitas (dimensión de K); dado que normalmente va a haber menos entradas m que variables de estado n, no va a ser posible ajustar los n x n elementos de la matriz Ar de forma arbitraria, puesto que no se cuenta con los suficientes grados de libertad en la matriz K para ello. Si así se intentara, resultaría un sistema incompatible, en el que el número de ecuaciones superaría al número de incógnitas. La solución a este primer problema pasa, como se verá en este capítulo, por manejar expresiones de las matrices Ar y A en sistemas de referencia que permiten reducir el número de ecuaciones a resolver a sólo m x n; de forma que el sistema se torna compatible, quedando reducidas las restantes ecuaciones a identidades independientes de los valores de los elementos de K. 5.3. 5.3. 1. Control d e sist emas monovariables D iseño del bucle de realimentación Sea la ecuación diferencial que define la relación entre la entrada y la salida de un sistema: n- 1 dn y dy dn u dn - 1 y du - + an - 1 d n - y + . . . + a 1 - + aoy = bn - + bn - 1 -- + . . . + b 1 - + bou dtn dt 1 dtn dtn - 1 dt dt -- :3 ( 5.6 ) siendo ésta su expresión más general, con el máximo orden de derivación de la entrada igual al de la salida. No obstante, podría darse el caso en que no fuese así, siendo: r < n, Vi> r bi = O ( 5.7)
  • 235 5.3. CONTROL DE SISTEMAS MONOVARIABLES es decir, que puede haber casos en los que el mayor orden de derivación de la entrada sea inferior a n. Transformando por Laplace: ( sn + an_l Sn - l + . . . + a l S + ao ) y = (bnsn + bn_lsn - l + . . . + blS + bo ) u (5.8) de donde se puede extraer la función de transferencia: G(s) o bn_ls = bsnnsn++an_l Snn--l l++. .. . ++abl sl S++aobo . . (5.9) Este sistema puede ser representado mediante variables de estado. Entre las infinitas posibles representaciones que admite, se elige la de variables de fase: x(t) = O 1 1 O O O O O O x(t) + O O O u(t ) (5. 10) O 1 1 -an - l -ao -a l -a2 y(t) [ bo - bnao bl - bn a l . . . bn - 2 - bnan - 2 bn - l - bn an - l ] x(t) = (5. 1 1) Si se realimenta como se ha indicado, el sistema resultante tendría una matriz Ar de la forma: = Ar (A + BK) = O O 1 O O 1 O O O O O O O 1 [ k l k2 k3 . . kn ] + -.ao -a l -a2 O O O 1 1 O . O 1 -an - l = O O (5. 1 2) O O O k l - ao k2 - a l k3 - a2 1 kn - an-l y la matriz e de salida permanece sin cambios. Denominando al polinomio característico del sistema en cadena cerrada que se desea obtener con la realimentación del estado (y cuya expresión vendrá originada al traducir las especificaciones formuladas para el sistema realimentado en las posiciones que deben ocupar sus polos ) : Pr ( S ) Sn + an - lS n - l + . . + a l S + ao = . (5. 13)
  • 236 CAPÍTULO 5 . CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO los valores de los coeficientes de la matriz K de realimentación se obtienen despejando de la última fila de la matriz que resulta en la Ecuación 5.12: ki = ai - l - O!i - l , i = 1, . . . , n (5. 1 4) Falta por determinar la forma de las matrices Cr y Dr, que forman la ecuación de salida del sistema tras la realimentación, sabiendo que la matriz B va a permanecer sin modificaciones al estar representado el sistema realimentado en su forma canónica controlable. De la forma de estas dos matrices depende la posición que tomen los ceros del sistema realimentado. Para calcularlas, se toma la Ecuación 5.3 y se introduce en la ecuación de salida del sistema sin realimentar: y(t) = Cx(t) + D (v(t) + Kx(t)) = (C + DK)x(t) + Dv(t) con lo quel (5. 1 5) Dr = D = bn , mientras que: Cr = C + DK = = [ bo - bn ao . . . bn - l - bn an - l ] + bn [ ao - O!o . an - l - O!n - l ] = = [ bo - bn ao + bn ao - bnO!o . . . bn - l - bnan - l + bn an - bnO!n - l ] = = [ bo - bnO!o . . . bn - l - bnO!n - l ] (5. 1 6) . • 1 - con lo que se comprueba que, aunque se produce un cambio en la ecuación de salida del sistema al pasar de C a Cr, los coeficientes del numerador de la función de trans­ ferencia siguen siendo los mismos que para el sistema sin realimentar; por tanto, los ceros del sistema no se modifican al realizar una realimentación del estado en un sistema monovariable. La función de transferencia del sistema realimentado queda entonces: Ejemplo 5.2 sn b n - l . . M(s) = s n + (a bn- k+)sn_ll s+ . . .++. (a +-bIS + bo (ao - k ) l k2 )s + l n- l n n- (5 .17) Sea la función de transferencia: Se desea diseñar un control por realimentación del estado tal que sitúe los polos del sistema en cadena cerrada en S l , 2 = - 1 ± j Y S 3 = -10 . En primer lugar, se calcula el polinomio característico del sistema ya realil Véase Sección 1.7.3
  • 237 5.3. CONTROL DE SISTEMAS MONOVARIABLES } mentado, para poder generar la matriz Ar: S l, 2 = -1 ± j S3 = -10 pe s) = (s + 10)(s2 + 2s + 2) = s 3 + 12s 2 + 22s + 20 de donde se obtiene la matriz: Ar = [� 1 O -20 -22 A contin uación se obtiene el modelo de estado del sistema en cadena abierta . Dado que se puede elegir la representación en la que se va a generar, se opta por la forma canónica controlable (variables de fase) , puesto que los cálculos se realizarán posteriormente en esta representación . x= [� � � ] [�] x+ u A partir del conocimiento de las matrices del sistema antes y después de la realimentación , se plantea la ecuación que permite despejar el valor de las constantes incluidas en la matriz K: -1 - 7 -3 y=[ 6 3 0 ]x [ 1 Ar =A + BK O O 1 O -20 -22 [ -t ] - Ul i7 J ] n } 3 + k ( , con lo que el vector de realimentación queda: 20 = 1 - k1 22 = 7 - k2 12 = 3 k3 K = [ -19 -15 -9 ] - El comportamiento del sistema después de la realimentación viene descrito por el modelo de estado: x= [� 1 O � -20 -22 -12 y=[ 6 3 O ]x ] [�] x+ 1 u
  • 238 CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO que se corresponde con la función de transferencia: _ G (8) - 38 + 6 + 128 2 + 228 + 20 83 Como puede comprobarse, este algoritmo tiene una probada eficacia en el ajuste de la dinámica del sistema, puesto que es capaz de fijar simultáneamente todos sus polos, añadiendo a esto su extrema sencillez. Sin embargo, no es posible modificar el comportamiento en régimen permanente a voluntad, sino simplemente como consecuencia del cambio en la posición de dichos polos. Esto es así porque no es posible alterar la posición de los ceros del sistema mediante la realimentación del estado, el numerador permanece inalterado. Por otro lado, a la hora de implementar el diseño de la realimentación calculado mediante este algoritmo, hay que tener en cuenta que se ha realizado sobre la repre­ sentación del estado en variables de fase; normalmente este conjunto de variables no se corresponde con ninguna magnitud física, por lo que será necesario introducir una trans­ formación del estado para hacer posible la construcción de los lazos de realimentación. Esta transformación se estudia en la siguiente sección de este mismo capítulo. 5.3.2. Obtención d e l a matriz d e transformación a variables de fase En este apartado se va a ver cómo se obtiene la matriz de cambio de una representación de estado cualquiera a la representación del estado en variables de fase. Partiendo de la matriz de controlabilidad de un sistema monovariable: Q = [ B AB (5. 18) se supone que el sistema es controlable, así que es invertible, por lo que existirá Q - l : Q -' � rango(Q) = n. Por tanto, la matriz Q [ :t 1 e (5 . 19) ¡ a partir de la última fila, e;: , se construye una matriz que se denominará Te l , y que es la inversa de la matriz de transformación, de la siguiente manera: T- 1 e (5.20)
  • 239 5.3. CONTROL DE SISTEMAS MONOVARIABLES La matriz de cambio es Te, la inversa de ésta (se demuestra que Te? es invertible) . Si con esta matriz se hace una transformación de estado, se obtiene el estado representado en variables de fase a partir de cualquier otra representación. A = T e 1 ATe = x(t) = Tex(t) 1 O o O 1 O (5.21) o O (5.22) O O O 1 O O B = Te 1 B = (5.23) O 1 Con la matriz Te se pasa de la representación mediante las variables de estado elegidas inicialmente a la representación mediante variables de fase, caracterizada por las matrices Á y :B. Si se aplica a estas matrices el procedimiento descrito en el apartado anterior, se obtiene una matriz de realimentación K, correspondiente a las variables de fase, que se han de convertir a las variables accesibles del sistema, según se muestra en la Figura 5 .2: u(t) = v(t) + Kx(t) = v(t) + KTc 1 x(t) '* K = KTc 1 5.3.3. (5.24) El problema de la ganancia Tal como se ha indicado, el control por realimentación del estado permite la locali­ zación de los polos del sistema en los puntos que se desee, mediante la modificación de los parámetros del polinomio característico. En cambio, el polinomio numerador y, por tanto, los ceros del sistema permanecen invariantes. La consecuencia de este hecho es que la ganancia del sistema en cadena cerrada: M(O) = ao bo k - 1 (5.25) puede tomar cualquier valor arbitrario, posiblemente no deseado. Una primera solución a este problema es sacrificar el posicionamiento de un polo, que queda libre, para fijar el término independiente del polinomio característico. Éste será un proceso de prueba y error, ya que a su vez, al fijar la ganancia y el resto de los polos, el polo libre se puede posicionar en un punto no deseado.
  • 240 e CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO v( t) Ejemplo 5 . 3 y ( t) ._ - _ . _ - - Figura 5.2: Transformación de la matriz de realimentación K. Sea el sistema de función de transferencia: 38 G ( 8 ) - 8 3 382 + 678 1 + + + _ Se desea posicionar los polos dominantes en lazo cerrado en: = 8 1 2 -1 ± j , Con ganancia unitaria. 2. Manteniendo la misma ganancia que en lazo abierto. La factibilidad o no de la solución en este problema pasa por que la posición del tercer polo, el que se usa para realizar el ajuste de la ganancia, sea tal que se pueda mantener la hipótesis de dominancia de los polos cuya posición ha sido asignada directamente. 1 . En el caso de que se quiera obtener ganancia unitaria en cadena cerrada, el polinomio característico es de la forma : 1. y para cumplir con l a condición impuesta se toma ao 6, por l o que el tercer polo toma valor -3 . Este valor podría ser aceptable, si bien su influencia sobre el comportamiento del sistema no va a ser despreciable. En a= =
  • 241 5.3. CONTROL DE SISTEMAS MONOVARIABLES cualquier caso, dado que se acepta como esta posición para el tercer - polo, se continuaría obteniendo la matriz K. 2 . En el caso de que se quiera mantener la misma ganancia que se tiene en lazo cerrado, la posición del tercer polo cambia, siendo ao 1 y, por tanto, -0,5. En esta situación este tercer polo es dominante frente a los otros dos, los preasignados, de tal forma que no se respeta la hipótesis de dominancia. No es posible cumplir con todas las especificaciones impuestas: si se respeta la de régimen permanente, no se puede cumplir con la de régimen dinámico, y viceversa . Debería acudirse entonces a algún planteamiento alternativo. = a= Una segunda opción consiste en añadir al esquema anterior un parámetro adicional, Ko, para fijar la ganancia, tal como se indica en la Figura 5.3. _--.. v(t) y(t) Figura 5 .3: Adición del parámetro Ko. Obsérvese que, si el sistema está expresado en variables de fase, la función de trans­ ferencia del sistema realimentado será: Ejemplo 5.4 es decir, se pueden elegir la ganancia y los polos arbitrariamente. Sea la función de transferencia: (5.26)
  • 242 CAPÍTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO = = se desea diseñar un control por realimentación del estado que sitúe los polos en: 8 1 , 2 -1 ± j y 8 3 -10 siendo unitaria l a ganancia estática e n cadena cerrada. En este caso se están imponiendo cuatro condiciones en la formulación de las especificaciones (posición de tres polos y valor de la ganancia en lazo cerrado) . cuando aparentemente sólo se dispone de tres grados de libertad para conseguirlo (los valores de las tres constantes de la matriz de realimentación) ; por lo que supuestamente el problema estaría indeterminado y no podría resolverse. Esta situación se resuelve mediante la adición de una cuarta constante en cadena abierta. multiplicando al conjunto. cuyo valor se va a ajustar durante el proceso de diseño del lazo de realimentación. Para resolver este caso se comienza por plantear el modelo del sistema prop­ uesto en variables de fase: = xy=[[ 6 � � =+ + Ar = [ � -1 -7 3 � l X + [ �l l U -3 O ]x A continuación. se genera el polinomio característico del sistema realimen­ tado a partir de la posición impuesta a los polos: p (8) =+ + + (8 1) 2 (8 10) 8 3 128 2 228 20 por lo que la matriz del sistema tras la realimentación es: 1 O -20 -22 Con esto se cumple con las especificaciones relativas a posiciones de los polos. pero no con la que hace referencia al valor de la ganancia estática del sistema realimentado. Para ello se añade una constante. como se muestra en la Figura 5.3. cuyo valor se calcula a continuación: = Ko-6 = 1 Ko = K: Ar =A + KoBK Gr(O) 20 '* 10 3 Conocidos todos los datos. ya se puede plantear la resolución de la reali­ mentación. es decir. el cálculo de la matriz
  • 243 5.3 . CONTROL DE SISTEMAS MONOVARIABLES o o U 1 1 O ] [ O O 2 -1 =>K = [ � 45] + 27[ � 1 1 O [ * 1 k2 k 3 ] Ko - 7 -3 - 10 - 10 - 10 Es importante tener en cuenta en este planteamiento que no hay necesidad de realizar la validación de la hipótesis de polos dominantes, puesto que no hay ninguno con una posición IIflotantell que pueda interferir en el comportamiento esperado del sistema: todos los polos tienen su lugar asignado como resultado de las especificaciones, y la misi 6n del sistema de cont rol que se va a diseñar es conseguir situar los polos en cadena cerrada en esos lugares. 1 -22 - - 57 El inconveniente de ambas soluciones es que el control de ganancia se efectúa en cadena abierta, por lo que los sistemas resultantes son sensibles a las perturbaciones e inexactitudes del modelo, no efectuando un verdadero control en cadena cerrada sobre la ganancia del sistema, es decir, sobre su valor en régimen permanente. 5 . 3 .4 . D iseño de servosistemas En el caso de ser crítica la ganancia y necesitar que el sistema no sea sensible a las perturbaciones e inexactitudes del modelo, como se desea en los servosistemas, la única solución fiable es incrementar el tipo del sistema, de modo que la función de transferencia en cadena abierta sea del tipo adecuado para luego realimentar la salida. En este apartado se va a estudiar cómo compatibilizar el control por realimentación del estado con la realimentación de la salida, para tener un sistema con los polos en las posiciones deseadas y error de posición nulo. Se va a suponer, en primer lugar, que el sistema es ya de tipo 1. La función de transferencia es entonces de la forma: sn - l bn _ 2 S n - 2 + . . . b I S + bo G(s) = bn _ l n (5.27) s + an _ l Sn - l + . a l S lo que corresponde a unas variables de fase: + O O 1 O O 1 . O O . ++ O O (5.28) B= A= O O O O -a l -a2 e = [ bo b 1 b2 1 O 1 - an - l bn - 1 La idea es realizar primero una realimentación del estado que conserve el tipo del sistema para luego añadir una realimentación de la salida, de modo que globalmente se sitúen los polos en los lugares deseados, como se muestra en la Figura 5.4.
  • 244 CAPÍTULO 5 . CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO y (t ) ,r------.. Figura 5 .4: Realimentación en sistema de tipo uno. Si se realimenta entonces el sistema con una matriz: (5.29) se obtiene como nueva matriz del sistema: o O Á = A + BK = 1 O O O O 1 (5.30) O O O O k2 - al k3 - a2 es decir, un sistema de tipo 1 con todos los polos modificados. Si sobre este sistema se realiza una realimentación de la salida con un control pro­ porcional Ko, se obtiene el sistema de la Figura 5.5: ( u = Ko (r - y) = Kor - KoCx x ) (5.31) = Áx + Bu = Áx + KoBr - KoBCx = Á - KoBC x + KoBr (5.32) Se obtiene, por tanto, un sistema realimentado con matriz de sistema: Ar = A + BK - KoBC = O O O 1 O O O 1 O O O O - Ko bo k2 - al - Kobl k3 - a2 - Kob2 O O O 1 kn - an - l - Kobn - l (5.33)
  • 245 5.3 . CONTROL DE SISTEMAS MONOVARIAB:tES Figura 5.5: Control proporcional del sistema anterior. por lo que basta con que bo 1=- O para que todos los polos del sistema se puedan fijar a voluntad. Obsérvese además que, por ser un sistema de tipo 1 en cadena abierta, tendrá un error de posición nulo en cadena cerrada. Ejemplo 5.5 Diseñar un sistema de control que haga que el sistema dado por: 38 + 8 ) - 8 3 + 38 2 6 78 + tenga sus polos en 8 1 , 2 = - 1 ± j y 8 = - 10, siendo además ep = o. G ( _ Para conseguir cumplir con todas las especificaciones, y dado que el sistema es de tipo 1 en cadena abierta , se realiza una doble realimentación como la explicada : en un lazo interno; el estado, respetando el tipo del sistema , y en otro externo la salida . El modelo de estado del sistema es: x= [� � � - O -7 3 y=[ 6 3 0 ]x l [ �1 l x+ u
  • 246 CAPÍTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO Y el polinomio característico del sistema realimentado: + + [� + + � l p(8) = (8 1) 2 (8 10) = 8 3 + 128 2 228 20 por lo que la matriz del sistema tras la realimentación es: � -20 -22 -12 Ar = Con todo esto se resuelve e l sistema dado por l a ecuación: Ar =A + BK - KoBC 1 O � -22 -12 � � l=[� l+[�l [�1 O - 7 -3 -Ko resultando: Ko = [6 1 3 O 1 lO 3 K = [ O -5 -9 ] En el caso de ser un sistema de tipo O, se puede incrementar el tipo del sistema añadiendo un integrador en el controlador, obteniéndose la estructura de la Figura 5.6. Figura 5.6: Conversión a sistema de tipo uno.
  • 247 5.3. CONTROL DE SISTEMAS MONOVARIABLES Las ecuaciones del sistema quedan en este caso: Xo x u es decir: = r r - y = - Cx Ax + Bu Koxo + Kx = [ Ko K ] [ � ] = (5.34) (5.35) (5.36) (5.37) = x = T:ié para pasar a variables de fase, [ Xjco ] = [ T - 1OBKo T- 1 (A CTBK)T ] [ xo ] + [ O1 ] = :ié + b - bOn - l Xo b o - bo OO1 Xl OO -O1 1 -O1 2 OO X2 + O X3 = O 1 O O O O Xn O Ko kl - ao k2 - al k3 - a2 kn - an-l (5.38) Si en la expresión anterior se efectúa el cambio queda la siguiente expresión: r r y =[ O CT 1 [ :0 ] = [ O bo bl b2 . . . bn- l ] (5 .39) Si se desea fijar la dinámica de este sistema de manera que su polinomio característico sea Pr (S ) , se debe cumplir : (5.40) det(sI Ár) = Pr (S ) donde Ár es la matriz de la dinámica del sistema realimentado expresada en la ecuación 5.38. -
  • 248 CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO Igualando los coeficientes de la anterior ecuación, se obtienen n 1 ecuaciones con las n 1 incógnitas (Ka, k 1 , , kn ), que tiene solución única con tal de que ba =1 O. Una vez resuelto este sistema de ecuaciones, los valores del vector K de realimentación se obtienen deshaciendo el cambio de variable: + . • + • kn ] T - 1 (5.41) Ejemplo 5.6 Diseñar un control por realimentación del estado, para que el sistema dado por: 38 6 8 3 38 2 78 1 pase a tener sus polos en 8 1 , 2 = -1 ± j y 8 3 = - 10, garantizando además que + ++ + ep = o. En primer lugar se calcula el modelo de estado, en este caso en variables de fase: x= [� � � l x+ [ � l u - 1 -7 -3 3 O ]x y = [ 6 1 Dado que se trata de diseñar un servo y el sistema es de tipo cero, se procede añadiendo un integrador y realizando una doble realimentación , como se ha planteado. La adición del integrador supone la inclusión en el modelo de una nueva variable de estado, lo que fuerza a incluir también una nueva especificación para su posición en cadena cerrada . Puesto que, según formula el problema , el objetivo es la dominancia de los polos com plejos conjugados, se sitúa este nuevo polo en cadena cerrada en 84 -10 . El polinomio característico del sistema después de la inclusión de la nueva variable y de la doble realimentación es: = Pr(8) = ((8 1) 2 1)(8 10) 2 = 8 4 228 3 1428 2 2408 + 200 + + + + + + mientras que la matriz del sistema después de las dos realimentaciones (la del estado, para fij ar la posición de los polos, y la de la salida , para cumplir con las
  • 5.4 . !:;,. 249 CONTROL DE SISTEMAS MULTIVARIABLES [ especificaciones de régimen permanente) queda: Ar = O O O -6 -6 O O O O Ko k 1 - aO -3 1 O k 1 - 1 k2 - 7 Dado que en este caso, por la forma de la primera fila de esta matriz, no se puede recurrir a la estrategia de igualar elementos con los de la matriz del sistema realimentado, lo que se hace es plantear la igualdad de ambos polinomios caractarísticos, resultando: det[8I - Ar l = 84 + (3 - k3 )8 3 + (7 - k2 )8 2 + (1 - k 1 + 3Ko)8 + 6Ko = = 84 + 2283 + 1428 2 + 2408 + 200 }{ con lo que se forma el siguiente sistema de ecuaciones, del que se despejan los parámetros de la realimentación: 6Ko = 200 1 - k 1 + 3Ko = 240 7 k2 = 142 3 - k3 = 22 - =} 100 Ko = 3 K= [ -139 - 135 -19 ] Casos adicionales de control de sistemas garantizando, o bien un valor de la ganancia en cadena cerrada, o bien el seguimiento de la variable de referencia pueden ser encon­ trados al final de este capítulo en los Ejemplos 5.7 y 5.8. 5.4. 5.4. 1 . 6. Control d e sistemas multivariables D iseño del bucle de realimentación Los razonamientos expuestos al tratar el diseño del lazo de realimentación para sis­ temas monovariables pueden ser extendidos a un sistema lineal, invariante y multivaria­ ble, con n variables de estado, m entradas y p salidas. Si alguna de las variables de entrada no se utilizase en la realimentación del estado, por tratarse de perturbaciones del sistema o por no ser necesarias para su control, según criterios que se explican en el subapartado siguiente, dedicado al cálculo de la matriz Te; las entradas del sistema pueden dividirse en dos grupos: las que se utilizan en la realimentación del estado, Un Y las perturbaciones externas que no se utilizan para controlar el sistema, up . La matriz B queda descompuesta consecuentemente en dos matrices, y las ecuaciones de estado se expresan de la siguiente forma: (5.42)
  • 250 CAPÍTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO Efectuando la realimentación del estado mencionada: Ur ( t) = (5.43) v(t) + Kx(t) la ecuación que expresa la dinámica del sistema realimentado queda: (5.44) donde puede observarse que la matriz que determina la dinámica del sistema es: (5.45) coincidente con la Ecuación 5.5, pero utilizando la matriz de entrada correspondiente sólo a las variables de estado utilizadas en la realimentación Br. Obsérvese que las entradas de perturbación, up, intervienen en la evolución del sistema mediante la matriz Bp, pero dicha matriz no interviene en el cambio de la dinámica interna fijado por Ar . Con objeto de facilitar la notación en este apartado de sistemas multivariables, la matriz Br se denomina simplemente como B, y a su dimensión, coincidente con el número de entradas utilizadas en la realimentación, se le denomina con la letra m. Para plantear el diseño del lazo de realimentación, se parte, como en el caso monova­ riable, de la representación del sistema en su forma canónica controlable, que se obtiene mediante el cambio de base adecuado, dado por la matriz Te según se describe en el siguiente apartado. Las matrices del modelo de estado del sistema en dicha base toman la siguiente expresión: Au A12 A 'm A 2 I A 22 A 2m A= (5.46) [ Am I Am2 B= [�� 1 Amm 1 (5.47) donde las submatrices que aparecen en 5.46 y en 5.47 tienen las siguientes expresiones: • Matrices Aii : O O Aii = 1 O O 1 O O (5.48) o O O 1
  • 5.4. f::" 251 CONTROL DE SISTEMAS MULTIVARIABLES de dimensiones ni x ni , siendo ni la dimensión del subespacio controlado por la variable de entrada i-ésima y cuyo valor se decide a partir de las columnas de la matriz de controlabilidad Q relacionadas con la entrada i-ésima que se utilizan para formar la matriz de cambio de base Te, según se expone con detalle en el siguiente subapartado. Los valores de (Ti se calculan como: (5.49) que representan la dimensión de los subespacios controlados por todas las variables de entrada hasta la entrada i-ésima. Obsérvese que, con la nomenclatura de subíndices utilizada, dichos subíndices re­ presentan la fila y la columna del elemento considerado; es decir, que el elemento Qij está situado siempre en la fila i-ésima y en la columna j-ésima. • Por otro lado, cada una de las matrices Aij , con i f=. j, fuera de la diagonal principal son de la forma: o O Aij = - a17i O O O I7j -nj+ l - a17i O O O I7j -nj+2 - a17i O I7j - nj +3 O O - aUi O (5.50) 0'; cuyas dimensiones son ni x nj , cuyo significado ha sido comentado anteriormente. La nomenclatura de subíndices empleada sigue garantizando que éstos indican la illa y columna del elemento considerado . • En cuanto a cada una de las submatrices que componen la matriz B, tienen la siguiente forma en la base canónica utilizada: B, � [� O O O O 1 bu; (5.51) i+ l cuyas dimensiones son n i x m, donde igualmente los subíndices indican la fila y columna que ocupa un elemento. Si se efectúa una realimentación del estado del sistema expresado en esta forma canónica controlable, mediante una matriz K, de dimensiones (m x n ) , de expresión genérica: (5.52)
  • 252 CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO se obtiene que la matriz de la dinámica del sistema realimentado, dada por la Ecuación 5.5, tiene como expresión genérica de su columna j-ésima: (A + BK) (,j ) = (A)(,j ) + + o k 1j + bU1 2 k2j + bU13 k3j + . . . + bUlm kmj O k2j + bU23 k3j + . . . + bU2m kmj +- n 1 = 0"1 +- n 1 + n 2 + . . . + nd = O"n = n (5.53) donde se observa que, mediante la realimentación del estado efectuada sobre las variables de estado de la forma controlable, la matriz que representa la dinámica del sistema realimentado A + BK se diferencia s610 en las filas 0"1 , 0"2 , · · · respecto a la matriz original del sistema sin realimentar A. Por lo tanto, puede probarse la obtención de la siguiente matriz Ar como objetivo de la realimentación del estado realizada: , O"n o O 1 O O 1 O O (5.54) Ar = O Qo -OQ 1 -OQ2 - Q1n 1 - que se diferencia de A sólo en los elementos de las filas O"i y cuyos elementos se obtienen, de forma inmediata, a partir del polinomio característico deseado en cadena cerrada: (5.55) Igualando las columnas j-ésimas de las Ecuaciones 5.53 y 5.54 según se indica en la Ecuación 5.5, se obtienen las siguientes expresiones que permiten despejar los elementos de la columna j-ésima de la matriz de realimentación K: Óud = -aud + k 1 j + bU1 2 k2j + bU13 k3j + . . . + bUlmkmj óU2Í = -au2j + k2j + bU23k3j + . . . + bu2m kmj donde el valor de Óij es O ó 1 dependiendo de la fila y la columna considerada, según la
  • 253 5.4. /:::,. CONTROL DE SISTEMAS MULTIVARIABLES expresión: 8<7;j = { O1 =j- 1 para ai f:. j - 1 para ai (5.56) Obsérvese que para cada columna de la Ecuación 5.5, se obtiene un sistema com­ patible y determinado de m ecuaciones con m incógnitas, cuya resolución es inmediata comenzando por despejar el valor de kmj de la últiina ecuación e ir subiendo de ecuación para despejar los elementos sucesivos de la 'columna j-ésima de la matriz K. Para cada columna de la Ecuación 5.5 se obtiene un sistema distinto de m ecuaciones con las m nuevas incógnitas pertenecientes a cada nueva columna de la matriz K. En total se obtienen n sistemas independientes de m ecuaciones cada uno de ellos, que permiten resolver los m x n elementos de la matriz buscada K, que consigue el objetivo de control: que la matriz de realimentación Ar tenga la expresión dada en 5.54. Cabe destacar el hecho de que, al contrario que sucede en el caso de control de sistemas monovariables, para los sistemas multivariables el control por realimentación del estado modifica la posición de los ceros del sistema. Por este motivo, en general, cabe esperar modificaciones al comportamiento previsto del sistema por la posición que puedan tomar estos ceros. En el caso de tener que ajustar también sus posiciones, sería necesario acudir a técnicas alternativas de control, que escapan al ámbito de este texto. Obtención d e l a matriz d e transformación a variables de 5.4.2. fase En esta sección se tratará la forma de calcular la matriz Te para sistemas multivaria­ bles, es decir, aquellos en los que existe más de una variable de entrada y/o más de una variable de salida. El objetivo es obtener la forma canónica controlable para un sistema de estas características. Para obtener la matriz Te de transformación que representa el estado según la forma canónica controlable en sistemas multivariables, a partir de cualquier otra representación, se supone que el sistema es controlable. En caso contrario será necesario realizar una separación de la parte controlable, trabajando sólo con ésta, como ya se ha supuesto anteriormente en este mismo capítulo para el caso monovariable. Una vez que se tiene la seguridad de trabajar sólo con el subsistema controlable, se forma la matriz de controla­ bilidad Q: Q = Al ser, por hipótesis, el sistema controlable, rango(Q) n, existiendo en general varios conjuntos de n vectores columna linealmente independientes de Q. Para el cálculo de la matriz de cambio de base Te se procede de la forma explicada a continuación . Primeramente se eligen n columnas linealmente independientes de Q, eligiendo siem­ pre para cada entrada las primeras columnas asociadas a dicha entrada bi , Abi , . . .
  • 254 CAPÍTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO An i - 1 bi. Esta elección de columnas es de gran importancia en el control que se está diseñando, puesto que el número de columnas asociadas a cada entrada indica el número de variables de estado que van a ser controladas con dicha entrada. Si una entrada tiene asociado comparativamente un número elevado de columnas, significa que esa entrada servirá para controlar muchas variables de estado, forzando a que su comportamiento pueda tener que tomar valores muy extremos para conseguirlo. Por el contrario, si no se eligen columnas asociadas a una entrada concreta, ésta no se utilizará en la realimentación del estado que se está diseñando, desaprovechando sus posibilidades de control. Por tan­ to, en general es conveniente elegir un número equilibrado de columnas asociado a cada entrada. Así, una buena alternativa es elegir las primeras columnas linealmente indepen­ dientes de Q, tal como se ha descrito en el capítulo dedicado a la controlabilidad, aunque dependiendo de un estudio del significado físico de las variables de entrada, se pueden elegir otras opciones. A continuación se ordenan las columnas, agrupándose según su asociación a cada entrada, formando la matriz L: L = [ b1 Ab 1 (5.58) donde m representa el número de entradas involucradas en la realimentación. La entrada i-ésima ejerce su influencia, por tanto, sobre ni columnas de de la matriz L. Para calcular la matriz de transformación a la forma canónica, se calcula la inversa de la matriz L: +- 1 L- 1 = (5.59) De esta matriz, se extraen las filas existentes en las posiciones finales de cada bloque, en ! , . . . , en ! + . + n "" a partir de las cuales se forma la inversa de la matriz buscada Te?
  • 255 5.5. EJEMPLOS ADICIONALES de la siguiente forma: +- 1 +- 2 Te I - (5.60) +- n I + n2 + . . . + nm- I + 1 +- n I + n2 + . . . + nm =n Mediante la matriz Te , inversa de la dada, se puede transformar cualquier estado x(t) en la representación del estado correspondiente a la forma canónica controlable vista en el apartado anterior, x(t): x(t) Tcx(t) = Al igual que en sistemas monovariables, a partir de las matrices Á y B obtenidas con esta transformación, se calcula la correspondiente matriz K mediante lo descrito en el apartado anterior, obteniéndose como matriz de realimentación para las variables x(t) accesibles: (5.61 ) Un ejemplo completo de diseño de un sistema de control en el caso multivariable se puede ver en el Ejemplo 5.9 al final de este capítulo. Ejemplo 5.7 5.5. Ej emplos adicionales Control de la dinámica de un péndulo invertido Se desea controlar el péndulo invertido (cuyo modelo de estado y funciones de transferencia se han calculado en el Ejemplo 1.8 del Capítulo 1) cambiando la dinámica inestable del sistema por una dinámica estable y utilizando para ello una estructura de realimentación de las cuatro variables de estado del sistema. según se indica en la Figura L b a continuación .
  • 256 CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO L...-__ .... t.:::� :::J- x = mentación del estado. Figura 1: Péndulo invertido y su estructura de control por realimentación del estado. ( a ) Sistema del péndulo invertido. [�1 ( b ) Estructura de control por reali­ Para el cálculo de la realimentación del estado, se particulariza el modelo del sistema para los siguientes valores de los parámetros: 9 10 m i M m 1 K Y l 1 m, con lo que el modelo de estado resultante es: = [ ;: 1 X4 siendo: 82 , = = = +[ � 1U [H + � 1 [�: 1 O O 20 O X4 - 2 Este sistema en cadena abierta presenta u n cero y un polo en el semiplano real positivo, lo que dificulta su estabilización mediante un sistema de control. Para calcular la matriz de realimentación del estado K de la figura , es nece­ sario calcular la matriz de realimentación de la variables de fase K, a partir de las especificaciones de la dinámica deseada del sistema en cadena cerrada , y postmultiplicarla por la inversa de la matriz de cambio de base a las variables de fase, según la ecuación K KTC/. Para el cálculo de la matriz K se parte de la situación deseada de los polos del sistema en cadena cerrada, que se va a suponer que es -1 para todos ellos, quedando por tanto en siguiente polinomio característico para el = 8 1 ,2 ,3,4 =
  • 257 5.5. EJEMPLOS ADICIONALES sistema realimentado: Pr ( 8) = (8 + 1 )4 é + 48 3 + 682 + 48 + = 1 teniendo en cuenta que el polinomio característico del sistema en cadena abierta es: p(8) det[8I - Al 84 - 2082 La matriz K se calcula construyendo las correspondientes matrices del sis­ tema antes y después de realimentar a partir de los coefi�ientes de ambos poli­ nomios característicos, según: = resultando: K = [ -1 -4 -26 -4 ] = Esta matriz K constituye la realimentación de las variables de fase del sistema, siendo ahora necesario calcular la matriz Te 1 , que obtiene estas variables de fase a partir de las variables físicas originales del sistema, para lo que se calcula en primer lugar la matriz de controlabilidad Q: Q- [� 2 20 O -40 20 O -40 -2 O -2 siendo su matriz inversa: O O 20 O -1 O [ O O O 10 O -1 0 -1 -1 O -10 1 �O 1 -1 O la matriz inversa de cambio de base a las variables de fase se calcula a partir de la última fila de la matriz anterior, resultando: Te 1 = 1 20 � � 1 � O
  • 258 CAPÍTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO U na vez calculada esta matriz, se comprueba: La matriz de realimentación de las variables de estado originales se obtiene ahora como: K KTc/ [ 0, 05 0,2 13, 05 2, 2 ] Utilizando la matriz K calculada para la realimentación del estado del modelo linealizado del péndulo invertido y suponiendo que las condiciones iniciales del vector de estados son : = = se obtiene l a evolución d e las varibles x y (J representadas e n la Figura 2 . 2 1 5 e .§. 1 s � CI> (a ) Evolución de la posición x. 2 6 4 1iempo (8 ) 8 10 Figura 2: Evolución de la posición mentado. y 2 6 4 tiempo (8 ) ( b ) Evolución del ángulo (J. 8 el ángulo en el sistema lineal reali­ 10 Obsérvese que ahora el sistema realimentado es estable con todos los polos en - 1 y, por tanto, si se parte de un estado inicial distinto del origen , las varia­ bles de estado tienden a cero con una dinámica definida principalmente por los mencionados polos, aunque también influida por los ceros del sistema en cadena cerrada , que son los mismos que en cadena abierta. Ahora cabe preguntarse cómo se comporta dicha realimentación del estado del sistema cuando se utiliza para controlar el sistema real no lineal, en vez del
  • sistema linealizado con el que se han efectuado los cálculos de la matriz K. En la Figura 3 se ve que la evolución de las variables de estado reales es m uy parecida a la de las del sistema Iinealizado, puesto que toman valores cercanos al punto " de linealización, que es el origen de coordenadas. 5 . 5 . EJEMPLOS ADICIONALES , � -0 5 -1 -1 5 (b) Evolución del ángulo O. (a) Evolución de la posición x . Figura 3: Comparativa de la evolución de la posición y el ángulo en el sistema real no lineal y en el sistema linealizado, partiendo de un ángulo inicial 0 ( 0) 10°. -�--�2��4�--6�--�8��l'O bempo (8 ) -5 O���--4��6��8��10 tiempo (8 ) = Si se elige un estado inicial más alejado del origen, como: las variables de estado toman valores más apartados de su pU,nto de linealización, pudiendo observarse en la siguiente Figura 4 una mayor diferencia entre el com­ portamiento del sistema real no lineal y del sistema linealizado, Si se sigue aumen­ tando el ángulo inicial 00 , puede llegar a obtenerse un comportamiento estable en el sistema linealizado (siempre lo será puesto que sus polos se han forzado a la posición - 1), mientras que el sistema original no Jineal rea1imentado sea realmente inestable (obteniéndose este efecto, por ejemplo;. para 00 45°) . I nteresa ahora ver cuál es el comportamiento del sistema realimentado ante una fuerza de perturbación lateral que se le aplica continuamente en la base del péndulo invertido up (t) . En la siguiente Figura 5 puede observarse la evolución del ángulo y de la posición , en el caso en que la perturbación valga up (t) = O, 1 Nw y se parta además de un estado inicial del ángulo distinto de cero 0 (0) 10°. = = 259
  • 260 CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO 4 5 r---�--�-'====�==� 3 -5 -2�--�--7-----:---�--=:O· 6 2 0 4 -1 (a) Evolución de la posición x. (b) Evolución del ángulo (J . Figura 4: Comparativa de la evolución de la posición y el ángulo en el sistema real no lineal y en el sistema linealizado, partiendo de un ángulo inicial (J(O) 25°. -1 0 -1 tiempo (s ) 50!:---"!---�4:----6�-""!"8--710' tiempo (s ) = 2 6 (a) Evolución de la posición x. (b) Evolución del ángulo (J. Figura 5: Evolución de la posición y el ángulo en el sistema real no lineal partiendo de un ángulo inicial (J(O) 10° y una fuerza lateral de perturbación up (t) 0, 1 Nw. 4 tiempo (s ) = 8 -5 0!:--"!--�4:---6�-""!"8--710 tiempo (s ) 10 = En la Figura 5 se puede observar que el sistema real no lineal es estable con el control por realimentación del estado efectuado, estabilizándose el ángulo en la vertical , aunque la posición de la base se desplaza 2 m respecto a la posición inicial , debido a la mencionada perturbación . Este desplazamiento de la posición no puede evitarse si no se utiliza una nueva estructura de control que incluya una integración de la señal de error de posición , tal como se verá en el Ejemplo 5 .8. Puesto que la realimentación del estado del sistema permite, al menos teóricamente, situar libremente los polos del sistema en cadena cerrada, cabe
  • 261 5.5. EJEMPLOS ADICIONALES plantearse el cálculo de una nueva matriz de realimentación K, que sitúe todos los polos del sistema en cadena cerrada en una posición que haga al sistema re­ alimentado mucho más rápido, como por ejemplo Pr (s + 10)4. Repitiendo los cálculos efectuados al principio de este ejemplo a partir de este n uevo polinomio característico en cadena cerrada , se obtiene la siguiente matriz de realimentación del estado: K [ 500 200 810 220 ] El comportamiento del sistema realimentado con esta nueva matriz puede observarse en la Figura 6, en la que se ha mantenido la misma escala de tiempos que en las gráficas anteriores, con objeto de apreciar claramente la mayor rapidez del sistema . = = 05 04 03 02 � 01 1V -020 2 4 -o 10 o � 10 5 -5 -10 -15 -200 2 4 O (b) Evolución del ángulo (j. (a) Evolución de la posición x . Figura 6: Evolución de la posición y el ángulo en el sistema real no lineal, utilizando la matriz de realimentación que sitúa los polos en - 10, partien­ do de un ángulo inicial (j ( 0) 10° y una fuerza lateral de perturbación up (t) 0 , 1 Nw. 6 liempo (s ) = 8 6 tiempo (s ) 8 10 = Esta dinámica más rápida del sistema es posible gracias a la utilización de una matriz de realimentación del estado en la que sus términos son significa­ tivamente mayores que los de la matriz utilizada anteriormente, obteniéndose en consecuencia una entrada al sistema mucho mayor. En la Figura 7 puede observarse la evolución de la entrada del sistema utilizando ambas matrices de realimentación, ante los mismos valores de la perturbación y de las condiciones iniciales (obsérvense las diferentes escalas de ambas subfiguras, tanto temporal como en valor de la fuerza de entrada) . Obsérvese e n l a Figura 7 que l a energía utilizada para controlar e l sistema , en el caso en el que se diseña la posición de los polos en - 10, es mucho mayor que cuando la dinámica del sistema es más lenta con los polos en - 1 , siendo esta diferencia de energía de 473 , 6 Nw 2 frente a 3 , 14 Nw 2 . Según el razonamiento anterior, es importante cuando se diseña un control por realimentación del estado
  • CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO 262 tener en cuenta la magnitud de la entrada que va a tener el sistema, que será mayor cuanto más rápido se quiera hacer el sistema en cadena cerrada, siendo éste un factor limitativo práctico importante a la hora de fijar la situación de los polos deseados en cadena cerrada. 25 2 1�1 r--�---;======;, r���---;:::====;-] I 1 00 -1 50 �-�-""' 4 2 ---7-�----J l0 8 6 tiempo (s ) l E[u(t)]=473 .6 N1 50 -50 0 02 04 06 tiempo (s ) 08 (a) Evolución de la entrada cuando (b) Evolución de la entrada cuando los polos en cadena cerrada se sitúan los polos en cadena cerrada se sitúan en - 10. en - 1 . Figura 7: Comparativa de la evolución de la entrada utilizando la matriz de realimentación que sitúa los polos en - 1 y la que los sitúa en - 10, partiendo de un ángulo inicial 0(0) = 100 Y una fuerza lateral de perturbación up (t) = 0,1 Nw. Obsérvese, en las figuras anteriores, que el valor final de la posición x(t) es mucho más cercano a cero en el caso en que los polos están en - 10, debido a que la matriz de realimentación es muy elevada y con ello se disminuye de forma muy notable el error de posición (prácticamente nulo) , que, sin embargo, es de -2 en el caso inicial en el que se utiliza una matriz de realimentación moderada con los polos en - 1 . Como se ha comentado, la anulación de este error es sólo posible con el sistema servoposicionador del Ejemplo 5.8. Ejemplo 5.8 Control d e posición d e l a base d e u n péndulo invertido Se desea controlar no sólo la dinámica del péndulo invertido, sino también la posición de la base x(t) , de manera que ésta tenga un error nulo en régimen permanente ante perturbaciones en la fuerza lateral Up (t) . Suponiendo que el modelo del péndulo invertido utilizado es una simplificación del despegue de un cohete, esta nueva especificación del sistema de control garantiza un despegue en =
  • 5.5. EJEMPLOS ADICIONALES 263 la misma vertical ante fuerzas de vientos Il:Iterales, Esta especificación de control no se puede conseguir mediante una simple realimentación del estado (según se vio en el Ejemplo 5.7) , siendo necesaria la utilización de una estructura de control como la mostrada en la Figura 1, que incluye una integración de la señal de error de la variable controlada x(t) . Péndulo i nvertido "-------.1 .... x ..._. = x [1 x � Figura 1 : Estructura de control por realimentación del estado incluyendo un servoposicionador de la variable x( t) . Para calcular el valor de Ko y de la matriz K de realimentación del estado, se parte del polinomio deseado del sistema en cadena cerrada , que ahora es de quinto grado, al haber introducido una nueva variable de estado mediante el integrador de la señal de error. Este polinomio deseado en cadena cerrada puede ser: Pr ( S ) (s + 1) 4 (s + 3) s 5 + 7s 4 + 18s 3 + 22s 2 + 13s + 3 = = que tiene cuatro polos en -1 con la misma dinámica que en el anterior ejemplo de control del péndulo invertido, más un polo adicional menos significativo situado en -3 con objeto de mantener dicha dinámica . La matriz Ar , dinámica del sistema realimentado en variables de fase, es: o 1 O O -20 O 1 O O O O 1
  • 264 CAPÍTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO con lo que el polinomio característico en cadena cerrada vale: igualando la expresión anterior con el polinomio característico deseado en cadena cerrada, se obtienen los siguientes valores de Ko y de los elementos de K: Ko = -0, 15 K = [ -13 -25 -38 -7 ] I ntroduciendo los valores calculados de Ko y de la matriz K en la estructura de control propuesta, se obtiene una evolución de las variables x(t) y O(t) co­ mo las mostradas en la Figura 2 cuando existe una perturbación constante de up(t) 0, 1 Nw y se parte de un estado inicial de 0(0) 10°. La matriz K de realimentación de las variables originales se obtiene mediante: K = KTc 1 = [ 0, 65 1, 25 19, 65 4, 75 ] = = � � ��----�5�----�10�--�15 1 0'r----�--..., 5 o 5 10 (a) Evolución de la posición x. (b) Evolución del ángulo O. Figura 2: Evolución de la posición y el ángulo partiendo de un ángulo inicial 0(0) 10° Y con perturbación constante de up (t) 0,1 Nw. tiempo (8 ) = tiempo (8 ) 15 = Obsérvese que se consigue tener un error nulo en la posición x(t) del péndulo invertido, al mismo tiempo que se ha fij ado la dinámica del sistema en cadena cerrada determinada por la situación de los cuatro polos dominantes en -1. S i e n l a estructura d e control propuesta se cambia l a referencia d e l a posición
  • a xref -1, se obtiene el comportamiento mostrado en la Figura 3, en la que se observa igualmente el adecuado seguimiento de los cambios de referencia de posición. 5.5. EJEMPLOS ADICIONALES = 1 01r---�----..., 5 � -0 5 - 1 I-_"';:::::::==:=::J. :: :::;: o 3: 5 tiempo (8 ) 10 ( a ) Evolución de la posición xre f Figura 15 x. y -1 oo!---5 1 -�5---1"=:0-----J tiempo (8 ) y ( b ) Evolución del ángulo (J. posición el ángulo con cam bio = -1,Evolución=de0,1laNw.ángulo inicial (J(O) = 10° con de referencia partiendo de un perturbación constante de up (t) Si en lugar de cam biar la referencia a xre f comportamiento es el mostrado en la Figura 4. 1 4 � 1 2 e 10 -1 se mueve a 10 xre f 1, el 5 o 10 Figura 4: Evolución de la posición y el ángulo con cam bio de referencia 1, partiendo de un ángulo inicial 0(0) 10° Y con perturbación constante de up (t) 0,1 Nw. 5 tiempo (8 ) ( a ) Evolución de la posición xre f = = 15 x. 5 tiempo (8 ) ( b ) Evolución del ángulo (J . = 15 265
  • 266 CAPÍTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO Ejemplo 5.9 Realimentación del estado en sistema multivariable Dado el sistema definido por las matrices: O o O O -3 O O -4 O O A= B= �1 -5 diseñar un control por realimentación del estado que sitúe todos los polos del sistema en 1 En primer lugar, se comprueba la controlabilidad del sistema, lo que nos permite asegurar que el objetivo de control que se plantea es abordable. Para ello, dado que el sistema es lineal e invariante, se construye la matriz Q y se comprueba su rango: - Q= [ 1 -2 2 1 o o . 1 2 o 2 2 o 1 o 1 -1 4 -6 -4 o o -2 -6 o - 10 o -3 o -1 - 10 = -8 18 1 O 16 o 4 18 o 50 o 9 o 1 50 -1 16 - 54 - 64 O - 54 o -8 -27 - 250 - 250 o o -1 o 1 - 32 162 256 O o 16 162 o 1250 o 81 o 1 1250 siendo rango(Q) 5. De modo que el sistema es controlable y se puede con­ seguir el objetivo planteado. Para resolver el problema, es necesario realizar la transformación de la repre­ sentación del sistema a variables de fase (forma canónica controlable) , paso que puede llevarse a cabo considerando las tres entradas presentes en el sistema o algún subconjunto de éstas. Realizando un análisis pormenorizado de controla­ bilidad, se comprueba que los pares de entradas U l , U 2 Y U l , U 3 también permiten realizar el control del sistema , por lo que se estudiarán dos casos representativos: realizar el control utilizando las tres entradas y uno de los pares propuestos, en concreto u 1 , U 2 . Utilizando las tres entradas • Transformación a la forma canónica controlable multivariable Se seleccionan cinco columnas linealmente independientes de la matriz Q . 1
  • 5.5. EJEMPLOS ADICIONALES 1 267 ] El primer tanteo se hace con las cinco primeras columnas: Qr = ' 1 -2 2 1 O O 1 2 (j 2 1 -1 O O 4 , -2 1 -6 -6 O -4 O 2 O -10 comprobándose que el rango de esta matriz es también cinco. La elección de las cinco primeras columnas hace que la asignación de variables de estado a las distintas entradas sea de dos a la primera (columnas 1 y 4) , dos a la segunda (columnas 2 y 5) y una a la tercera (columna 3) . A partir de esta selección de columnas de la matriz Q se construye, por reor­ denación de columnas, la matriz L; el orden de colocación de las columnas de Q en L es 1 , 4, 2, 5, 3. L� [ [� 1 -1 O -2 4 1 -6 2 -4 O O 2 O -2 -6 O -10 t] ] de donde se define su matriz inversa , de la que se obtienen los vectores fila que generan la matriz de transformación a la forma canónica controlable multivariable: -S -2 L- l = � 16 38 12 44 -32 -8 26 10 24 24 6 28 2 -18 -66 -S -26 -2 el � e3 De esta matriz inversa se seleccionan las filas 2, 4 ,y, 5 p�ra construir las sucesivas filas de la inversa de la matriz de transformac;ió" , debido a la asignación hecha para el control de las distintas variables de estado con las entradas disponibles: 2 con la primera (segunda fila) , dos con la segunda (cuarta fila) y una con la tercera (quinta fila) . El resto de las filas se -20 -22 4 7 40 6 - � �
  • CAPíTULO 5 . CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO 268 [�] [ [ [ construyen por postmu ltiplicación por la matriz A . 1 Te - de donde: e2 A e4 e4 A e5 -2 2 1 12 = 38 -12 44 - 1M -186 1 Te = 1 9 100 47 -32 -8 16 10 -20 24 6 -18 2 -6 -18 -26 104 4 -16 40 12 O 17 75 19 -22 184 38 -37 12 O -2 84 38 -14 19 -38 38 19 O ] -2 10 -7 35 6 ] ] Dadas estas matrices, se obtiene la forma canónica controlable del sistema: O 361 O O O -3404 -2337 -840 -228 102 A = Te ATe = 1 O O O 361 O 361 2108 304 -3738 -2603 490 684 O -475 1596 O _ 1 [ ] O O O 1 19 O 2 B = Te B = - O O O 19 O 19 26 O O 19 - • -1 Cálculo de la matriz de realimentación U na vez que se cuenta con la expresión del sistema en la forma canóni­ ca controlable, se plantea el cálculo de la matriz de realimentación del sistema. Dada la especificación para la posición de los polos del sistema realimentado, el polinomio característico resultante es: con lo que la matriz del sistema realimentado expresada en la forma canóni-
  • 269 5.5. EJEMPLOS ADICIONALES ca controlable es: O O 1 O O 1 O O 1 O O O O O O O - 1 -5 -10 - 10 Ar = jJ En este punto se dispone de toda la información necesaria en la forma adecuada para plantear la realimentación: [ Ar = A + BK = ku = A + B k21 k31 1 a , a 22 O a41 a42 a 51 a 52 donde: [� k 12 k22 k32 O a23 O a43 a53 k1 3 k23 k33 O a 24 1 a44 a 54 k 14 k " k24 k25 k34 k35 � 5 a45 a 55 1 2k3 1 3404 + k ll + -19 36 1 2k3 2 123 a 22 = - 19 + k 12 + -19 2k33 840 a23 = - 361 + k 1 3 + 19 2k34 12 a24 = - - + k 14 + 19 19 2k35 102 a 25 = - - + k 1 5 + -19 361 a21 = - -- - -- 26k3 1 2 108 a41 = 361 + k21 + -W26k32 16 a 42 = - + k22 + -19 19 26k33 3738 + k23 + -a43 = 19 36 1 26k34 137 a44 = - + k24 + -19 19 - - -- 1
  • 270 CAPÍTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO a5 1 = y 849 + k31 1 a52 =k32 36 + k33 a5 3 = 19 a54 =k34 2 5 a55 = - - + k35 19 resolviendo el sistema se obtiene: 19" 2 39 89 19 - 70 19 32 19 397 87 19 5 06 7 19" 1 y devolviendo la matriz de realimentación a la representación original del sistema queda: 6 -5 - K - :K T e 1 - [ '" 361 26 96 361 - 92 19 - 19" 226 443 361 420 361 22 - 19 - 10 654 - 361 2422 - 361 80 19 4404 361 5 1 54 361 207 - 19" 1 4" 722 1 1967 361 164 - 19" 1 que es l a matriz de realimentación que consigue situar todos los polos del sistema en - 1 al realimentar. Utilizando dos entradas: U 1 , U 2 • Transformación a la forma canónica controlable multivariable Se vuelve a plantear el cálculo de la forma canónica controlable, teniendo en cuenta que ahora la matriz de transformación se va a calcular sobre la base de dos entradas. Así, se utilizan columnas distintas de la matriz Q: 2� � -44 -2 !188 ] [ 2 -1 Qr = 1 O O O -6 -6 O - 10 O 16 O comprobándose que el rango de esta matriz es cinco. Se ha construido con
  • 5.5. EJEMPLOS ADICIONALES las colu mnas 1 , 2, 4, 5 y 7 de la matriz 'Q, de forma que -hay tres variables de estado cuyo control queda asignado a la entrada uno (columnas 1, 4 Y 7) , mientras que dos quedan asignadas a la segunda entrada (columnas 2 y 5) . A partir de esta matriz se construye: L� [ � O O O O O -�O 1 -1 1 -2 4 - 8 1 -6 18 2 - 4 16 2 recolocando las columnas procedentes de la I nvirtiendo esta matriz: 50 4 3 13 21 7 - 7 21 3 5 15 2 6 14 7 - 28 7 3 5 1 = 11 1 L42 7 - 28 21 5 10 10 5 21 7 7 - 21 1 2 1 2 21 7 7 - 21 -2 -6 1 matriz Q en el orden 1 ,4,7,2,5. 7 1 5 28 1 28 -7 � [ @l matriz de la que ahora se seleccionan las filas 3 y 5, para construir la inversa de la matriz de transformación, correspondientes a las tres variables de estado que se controlan con la primera entrada y a las dos que se controlan con la segunda . Siguiendo el mismo proceso que en el caso anterior, se construye la matriz inversa de transformación como: 3 5 11 1 1 - 28 21 42 7 28 5 11 9 2 20 - 42 - 7 28 - 21 - 28 e3 A 4 11 27 80 25 Te 1 - e� 2 = ., - 28 21 42 7 28 3 2 1 1 2 - 21 - 14 21 7 7 e5 A 3 2 2 8 15 - 21 - 7 - 7 21 14 de donde: 3 45 12 68 1 -7 -7 7 7 57 78 76 -2 57 -7 -7 7 7 32 52 62 8 Tc = 2 7 7 7 7 3 3 24 17 1 -7 -7 7 7 36 8 2 -7 7 1 [ 4 3 - 14 � � O O Dadas estas matrices de transformación, la representación del sistema en 271
  • 272 CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO la forma canónica controlable queda: A = Te 1 ATe = O O 416 - '49 O 20 [ [ � T - '49 B = Tc 1 B = • 1 O 779 7 O 4 O O O 1 52 -T O O O O O O 54 186 - '49 - 49 1 O 53 90 T -T �1 1 donde, como se observa, sólo se utilizan las dos primeras columnas de la matriz B, puesto que la tercera entrada no se utiliza , como se ha formulado en el planteamiento de este apartado. Cálculo de la matriz de realimentación Ahora la matriz de realimentación cuenta con una fila menos, puesto que como se ha establecido se utilizan tan sólo dos entradas: - -[ Ár = Á + BK = k = A + B k ll 21 1 O = a t a3 2 O a51 a 52 donde: [i a3 1 = - k 12 k22 O 1 a33 O a53 k13 k23 O O a34 O a54 k 14 k 15 k24 k25 O O a f a55 1 416 3k21 + k ll + 7 49 3k22 779 a32 = - 49 + k 12 + -7 3k23 52 a33 = - - + k 1 3 + 7 7 186 3k24 a34 = - - + k 14 + 7 49 - -- -- -- ]=
  • 273 5.5. EJEMPLOS ADICIONALES a35 = - 3k 54 - + k15 + 25 49 7 -- 20 a 51 = 7 + k21 4 a 52 = 7 + k22 a53 =k23 y y [ 90 a54 = - - + k24 7 53 a55 = - - + k25 7 resolviendo el sistema se obtiene: - K= 7 71 _ 2; 128 ...." 39 - 7 7 - 7 25 20 10 7 82 ;1 devolviendo la matriz de realimentación a la representación original del sistema queda: - K = KT C 1 = 24 7 -5 205 ...." - 33 que, al igual que sucedía al utilizar tres entradas, es una matriz de reali­ mentación que consigue situar todos los polos del sistema en - 1 , con la salvedad de que ahora se están utilizando sólo dos entradas para realizar el control. Comparación de los resultados Para establecer una comparación en la eficiencia del control planteado en ambos casos, se va a estudiar el caso en el que se quiere transferir el valor del estado entre: Dadas estas condiciones, la base de comparación es la energía consumida en realizar esta transferencia en ambos sistemas realimentados; es decir, con tres y
  • 274 CAPÍTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO con dos entradas, respectivamente. Para ello, se toma como mejor caso posible la entrada de mínima energía que lo conseguiría en ambas configuraciones. • Caso de realimentación con tres entradas Haciendo los cálculos pertinentes para calcular las entradas necesarias, se obtiene: Este conjunto de entradas realiza un consumo energético de: • Caso de realimentación con dos entradas Como en el caso anterior, se calculan las entradas, obteniéndose: que resultan en un consumo energético de: Como resultado de la comparación se puede establecer, una ve� más, la con­ veniencia de utilizar todas las entradas disponi b les para realizar el con trol , puesto que con ello se tiende a disminuir netamente el consumo energético en la conse­ cución del objetivo de control. Como puede verse en este caso, la penalización de utilizar sólo dos entradas resulta en un consumo, aproximadamente, ocho veces mayor que en el caso de utilizar tres . 5.6. 1. Ej ercicios resueltos Dado el sistema: G( 8) 6 - �--:-:-:---"":'7"7-� 8 ( + 1 ) ( 8 + 2) (8 + 3)
  • 5.6. 275 EJERCICIOS RESUELTOS diseñar el control por realimentación del estado que sitúe los polos en ( -1 ± j ) -3 y El sistema es: G( 8) 6 - (8 + 1)(8 + 2)(8 + 3 ) 6 8 + 68 + 118 + 6 ::::: --;:---:;:----2 3 que es un sistema de tercer orden, por lo que serán necesarias tres variables de estado. En este caso se eligen las variables de fase para la representación del modelo de estado: 1 O -11 A continuación se estudia la controlabilidad del sistema, para ver que realmente se puede efectuar el control solicitado: Q = [0 0 1 O 1 -6 1 -6 25 ] matriz con rango(Q) = 3, por lo que el sistema es totalmente controlable y se pueden situar los polos en los lugares pedidos. La ecuación característica objetivo, con los polos en los lugares solicitados, es: (8 2 + 28 + 2) (8 + 3 ) = 8 3 + 58 2 + 88 + 6 por lo que la matriz Ar del sistema realimentado es: A. � que a su vez ha de ser igual a: [j j j] Ar = A + BK por lo que despejando: U j j] U 1 O -11 -6 = -6 + k 1 -8 = -11 + k2 -5 = -6 + k3 con lo que: K= [ O 3 1
  • 276 CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO 2. Dado el sistema de la figuro: u(t) Xl 1 y(t) s+a � X2 1 s+b X3 1 s+c a) Obtener el modelo de estado del sistema, utilizando el mayor número posible de variables representadas en la figuro. Justificar brevemente la inclusión o exclusión de cada una de ellas en el modelo. b) Dado el mismo sistema expresado en su forma canónica controlable, se observa los polos del sistema duplican su valor. ¿ Cuál sería el valor de los polos antes de realimentar? que al realimentarlo con: K = [ -168 - 78 -9 ] c) Calcular el estado del sistema sin realimentar al cabo de dos segundos, par­ = = 1 , X3 = O, sabiendo que la tiendo de las condiciones iniciales X l 1 , X2 entroda U(t) es nula duronte todo ese intervalo. d) Si en el sistema sin realimentar la entrada UI (t) conduce al sistema al estado [A A oj T , la entroda U2 (t) al estado [O B Bj T , y la entroda U3 (t) al estado [O O cj T , teniendo en cuenta que en los tres casos la entroda se aplica durante dos segundos y las condiciones iniciales son nulas, calcular la entroda U (t) que conduce al sistema al estado [O O oj T al cabo de dos segundos cuando las condiciones iniciales son [ 1 1 oj T . a) Las tres variables representadas en la figura pueden ser variables de estado, puesto que todas ellas aparecen como salidas de un bloque en el qu� el nu­ merador es de orden menor que el denominador. Además, todas ellas podrían incluirse en el mismo modelo simultáneamente puesto que son linealmente in­ dependientes entre sí. En cuanto a la necesidad de incluirlas todas ellas, dado que el sistema es de tercer orden, serán necesarias tres variables de estado para representar completamente al sistema, con lo que todas son necesarias.
  • 277 5.6. EJERCICIOS RESUELTOS Por tanto, todas las variables representadas en el diagrama son válidas y nece­ sarias. Así, el modelo de estado queda: u aXl Xl += bX2 == Xl -X2 X2 + CX3 = X2 -X3 X3 [ -a1 --b1 -O1 1 [ XX2l 1 + [ O1 1 O 1 -e X3 O que, expresado en forma m�tricial, queda como: [ Xl2 1 �X3 b) == U Para calcular la forma canónica tenemos varias posibilidades. La primera es, partiendo del modelo de estado calculado en el apartado anterior, componer la matriz de cambio de referencia y realizar la transformación para dar la expre­ sión adecuada. Sin embargo, este método puede resultar laborioso. Otra posi­ bilidad más sencilla es sintetizar la forma canónica controlable directamente a partir del sistema dado; es decir, a partir de la función de transferencia global del diagrama de bloques propuesto. Para ello, se calculará dicha función de transferencia y a, partir de ella, el modelo en la expresión solicitada. Reduciendo el diagrama de bloques, la función de transferencia global del sistema queda: G + + e) s + be + 1 (s) - s3 +(a +b+e)ss22 +((abb+be+ae+2)s+ abe+a+e _ Dada esta expresión, se puede obtener el modelo del sistema expresado en la forma canónica controlable como: Después de la realimentación, y aplicando las relaciones de Cardano-Vietta, los coeficientes del polinomio característico guardan una relación con los del original, dada en la matriz Ar : 1 O Ar = [ -8(abeOO+ a + e) -4(ab+be+ae+2)
  • 278 CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO Si se aplica la relación Ar ecuaciones: A + BK, se obtiene el siguiente sistema de -8(abe + a + e) = - (abe + a + e) - 168 -4(ab + be + ae + 2) = - (ab + be + ae + 2) - 78 -2(a + b + e) = (a + b + e) - 9 abe + a + e = 2 4 ab + be + ae + 2 = 26 a+b+e= 9 } } � Despejando del sistema de ecuaciones reflejado se obtiene a = 2, b = 5, e = 2, lo que sitúa los polos del sistema antes de realimentar en A l = -2, A2 = -3, A3 = -4. Se podría haber llegado al mismo resultado sin necesidad de haber calculado los valores de las constantes ( a, b, e) , simplemente realizando un cálculo sobre un polinomio genérico. Así, se puede suponer que el polinomio ca­ racterístico del sistema sin realimentar es, nuevamente utilizando las relaciones de Cardano-Vietta: con lo cual, tras la realimentación se tendría: por lo que de nuevo se puede plantear un sistema de ecuaciones que incluya la información de la realimentación, constantes y valores iniciales y finales de los coeficientes del polinomio característico, y cuya resolución conduce a los valores de las raíces del polinomio antes de realimentar. e) La dinámica del sistema viene fijada por los valores de los polos del sistema, que se conocen como resultado del apartado anterior. Para saber cuál será el estado del sistema con entrada nula y partiendo de un estado inicial, sólo es necesario conocer el valor de los polos y el estado inicial, así como ser capaces de expresarlos en el mismo sistema de referencia. En este caso, la expresión más cómoda es la de la matriz A diagonal, que daría una matriz de transición muy sencilla y manejable. El único problema que esto plantea es la necesidad de realizar un cambio de base del estado inicial, para adecuarlo al sistema de referencia elegido. Para ello, será preci130 calcular los autovalores de la matriz A, y eso hace necesario conocer el valor de las constantes (a, b, e) , que se obtuvo en el apartado anterior. Cálculo de los vectores propios:
  • 5.6. EJERCICIOS RESUELTOS 1 [ O� -1; -1� ] [ ��� ] [ O� ] V2 [ �1 ] [ =�O -1� � ] [ �:� ] [ �O ] [ �1 ] V12 = >. = -3 =} VI = [ � ] O Vl 1 = V13 = = V22 = - V23 =} = V23 V21 = V22 >. = -4 279 _ -2 2 V31 = V32 V32 = -2V33 = V33 V3 = _ Con lo que la matriz de transformación del sistema inicial a la expresión diagonal queda: T= [ O1 11 ; ] , 1 -1 -1 1 -1O1 -1 ] [ [O] 0,5 0,5 -0,5 T- 1 = 0,5 Transformando las condiciones iniciales para pasarlas al nuevo sistema de re­ ferencia: Xo = T - 1 xo = con lo cual: Sustituyendo para inicial: = x(2) Tx(2) 0,5 0,5 t = 2 y devolviendo este vector al sistema de referencia 1 11 -1 = [ O1 que es el valor del estado después de dos segundos expresado en el sistema de referencia inicial.
  • 280 CAPÍTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO d) Los tres estados a los que conducen las distintas entradas constituyen una base del espacio tridimensional, por lo que se puede alcanzar cualquier estado aplicando una combinación lineal adecuada de estas tres entradas. En este caso se pretende alcanzar el estado nulo, aplicando una combinación de entradas tal que contrarreste el efecto de la evolución libre del sistema calculada en el apartado anterior. Se plantea este hecho mediante la ecuación: x(2) = [ 0,5(e - 4 + e - S) e-s 0,5( e - 4 - e - S) e 1 [ 1 [ 1 [ 1 O A +r A +s B +t O B O O De donde se puede plantear un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 0,5(e - 4 + e - S) + rA = O e - S + rA + sB = O ::::} - + r = - e 4 2Ae s es = 4 2Be s t = e s ee 4 ::::} _ ::::} 3. Se diseña un sistema electrónico que consta de 7 resistencias (3 de ellas no lineales) , 5 condensadores (2 de ellos no lineales) y 2 fu entes de tensión regulables (variables de entrada) . 0,5(e - 4 - e - S) + sB + te = O _ de estado, número de variables de entrada y número de variables de salida del sistema. Indicar si es posible la obtención de un modelo de estado de dicho sistema, así como la existencia o no de la matriz A que caracteriza su comportamiento dinámico y de la matriz de transición <I>. b) Una vez linealizado el sistema en torno a un punto de equilibrio y eligiendo como variables de estado una adecuada combinación lineal de la tensión en los condensadores dada por la matriz T (uc = Tx, siendo Uc la tensión en los condensadores) , se obtiene el siguiente modelo de estado: a) Indicar qué conclusiones se pueden obtener en cuanto al número de variables x = [-� -� j= � � 1 [¡ : 1 [ O O O O O -2 O O O - 3 x+ ] O O O O �� es x = [1 1 1 1 1 j T , Si el estado del sistema en el instante inicial calcular el estado del sistema para t 1 si ambas entradas son nulas. Indicar si di­ cho estado puede alcanzarse desde condiciones iniciales nulas utilizando una combinación adecuada de entradas.
  • 281 5.6. EJERCICIOS RESUELTOS 0 [ Y�:l l [ �1 �1 �1 0� �" �'J1 c) Si las salidas del sistema son: x. calcular una base del subespacio no-observable e indicar si existen estados cuya evoluci6n libre dé lugar a salidas permanentemente nulas. d) Calcular la matriz de cambio de base para realizar la descomposici6n del sis­ e) tema según Kalman, indicando la existencia o no de los distintos subsistemas y la dimensi6n de cada uno de; ello�. Suponiendo accesibles todas las variables de estado, se efectúa una realimen­ taci6n de éste mediante la matriz: K = [ O1 01 0O 0O O0 ] calcular la posici6n de los nuevos polos que definen el comportamiento dinámi­ co del sistema. El número de variables de estado necesarias para la representación del sistema coincide con el de elementos acumuladores de energía presentes en él. En el caso propuesto, estos elementos son los condensadores, dado que las resistencias son elementos pasivos, de forma que serán necesarias cinco variables de estado para la representación del sistema. En cuanto a las entradas, se corresponden con los elementos que excitan al sistema, en este caso las fuentes de tensión que son dos. El número de salidas puede ser cualquiera, no existe un criterio para fijarlas salvo su disponibilidad para ser medidas. Si bien es posible obtener un modelo de estado dado por unas ecuaciones dife­ renciales no lineales, la matriz A sólo existe para sistemas lineales, por lo que no existe para el sistema propuesto, por la presencia de elementos no lineales, salvo que se linealicen las ecuaciones que rigen su comportamiento. Por otro lado, la matriz de transición � no existe. b) Dada la expresión de la matriz A, obtenida por linealización en torno a un punto de equilibrio, el cálculo del estado al cabo de un cierto tiempo con entradas nulas es muy sencillo, puesto que, al ser la matriz A diagonal, la matriz � se puede hallar de forma muy sencilla. De esta forma: a) x(i) � �( l)x(O) � [1 O e-2 O O O O O e-3 O O O O O e-2 O
  • 282 CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO En cuanto a la segunda parte de la pregunta, sobre si el estado propuesto se puede alcanzar desde condiciones iniciales nulas con una entrada adecuada, la respuesta pasa por determinar la controlabilidad del sistema; se halla, por tanto, la matriz Q: [ 1 1 Q= 1 . 0 · 0 O -1 O 1 O -1 O 1 O 1 -2 -2 4 4 -8 -8 16 16 1 -3 -3 9 9 -27 -27 81 81 .0 O 0 0 0 O O O O 0 O 0 0 0 O O O O 1 matriz que tiene rango(Q) = 3, por lo que no será posible alcanzar un esta­ do arbitrario. desde condiciones iniciales nulas. Además, dado que la base del subespacio controlable tiene para todos sus vectores las dos últimas compo­ nentes nulas, no será posible alcanzar el estado propuesto. e) Para hacer todo el estudio de observabilidad, se comienza por calcular la ma­ triz P: P= 1 O O 1 1 O O 1 O O 1 O O O O O -1 -2 - 3 O O -2 O O O O O -3 O O 9 O O 1 4 O 4 O O O O O 9 O O O - 1 -8 -27 O O -8 O O O O O -27 O O O 1 16 81 O O O 16 O O O O 81 O O donde rango(P) = 5, por lo que no existe subespacio no-observable; por consiguiente no existen estados que tomados como iniciales den lugar a trayectorias de evolución libre permanentemente nula, exceptuando el origen. d) La matriz de cambio de base es la matriz identidad: TK = 1 [� � O 1 O O O O O 1 O O O O O 1 O
  • 5.6. EJERCICIOS RESUELTOS 283 Como puede comprobarse, no existe transformación como tal, puesto que la matriz T K coincide con la ide�tidad. Po� lo �apto, dentro del sistema en su expresión inicial, las variables ( X l , X2 , X3 ) . fo�m� eí ;subsistema controlable y observable, mientras que ( X4 , X5 ) forman el sub, �spacio no controlable y observable, no habiendo lugar para ningún otro. e) Para calcular la nueva posición de los poios una vez aplicada la realimentación, se aplica la fórmula gerieral: [: -: Ar = A + BK = O O O O O O O -3 O O O O -2 O O O O O -3 con lo que la nueva situación de los polos del sistema es (O , -1, -2, -3 , -3) . 4. Dado el sistema de la figura: [ �1 !2 ] -.. [ � � ] , .. [ :: ] a) 1) ¿ Es alcanzable desde condiciones iniciales nulas el estado x = 2) ¿Es alcanzable desde condiciones iniciales nulas el estado x = [ 1 1 1 IV ? [1 1 O OJT ? ¿ Cuál es el mínimo número de entradas necesario para conseguirlo ? [1 1 1 b) Suponiendo que la salida del sistema es YI = X3 , Y2 = X4 : 1) ¿Es observable el estado IV ?
  • CAPíTULO 5. CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO 284 2) Hallar un subsistema observable c) Suponiendo accesibles todas las variables de estado, diseñar un control por realimentación del estado que sitúe el máximo número posible de polos del sistema en -10. a) Puesto que las variables X3 , X4 están independizadas de la entrada, no puede alcanzarse [1 1 1 lI T desde condiciones iniciales nulas. 2 ) Hay que ver el subespacio controlable de la parte superior: 1) sí que es alcanzable, puesto que: matriz cuyo rango es dos. El estado propuesto es, por tanto, alcanzable con una sola entrada, pudiendo utilizarse cualquiera de las dos. b) 1 ) Puesto que X l , X 2 son independientes de la salida, no se pueden observar sus valores y, por lo tanto, ningún punto del sistema es observable. 2 ) Un subsistema observable es el compuesto por las variables X3 , X4 . c) Puesto que sólo es controlable el subsistema X l , X 2 , solamente pueden fijarse los polos de este subsistema, en el que las matrices A y B ya están expresadas en la forma canónica controlable: de donde se obtiene: 5 . 7. 1. K = [ -99 O - 18 0 ] Ej ercicios propuestos Se tiene u n sistema hidráulico con cinco depósitos interconectados entre sí, tenien­ do un único caudal controlado externamente y siendo su única salida medible el volumen de agua en uno solo de los depósitos. Se obtiene su representación de es­ tado a partir de las ecuaciones del sistema, linealizándolas en torno a un punto de funcionamiento. a) Al intentar identificar el sistema sobre su punto de funcionamiento, se ob­ tiene que para pequeñas variaciones su comportamiento dinámico se ajusta
  • 285 5.7. EJERCICIOS PROPUESTOS perfectamente a un sistema de cuarto orden. Comentar qué conclusiones se pueden obtener respecto a su controlabilidad y su observabilidad, así como res­ pecto al número de polos y su relación con la dimensión de la matriz A de su representación de estado. b) Comentar si en este sistema existen estados distintos del origen, a partir de los cuales la evolución libre del sistema dé lugar a que la salida sea perma­ nentemente nula. Comentar igualmente si pueden existir dos estados iniciales distintos, a partir de los cuales la evolución libre del sistema sea idéntica. cio controlable de dimensión cuatro, que responde a la ecuación X l O, y el subespacio no-observable de dimensión uno, que responde a las ecuaciones X l X 2 X3 X4 o. Obtener una matriz de cambio de base que separe el sistema total en sus dis­ tintos subsistemas dados por el teorema de Kalman. Indicar la existencia o no de dichos subsistemas, así como su dimensión. e) Partiendo de la representación de estado del sistema, se calcula el subespa­ = = = = = [1 1 1 1 l]T Y mediante entrada UI llega a un estado final X l en un tiempo t¡ , comentar en qué casos se puede asegurar que existe una entrada que lleve al sistema desde el estado X l hasta el estado Xo en un tiempo tI . d) Si el sistema parte de un estado inicial Xo e) = Suponiendo accesibles todas las variables de estado del sistema (se pueden medir los volúmenes en todos los depósitos), dibujar un esquema de reali­ mentación del estado que sitúe todos los polos del sistema en diez veces su valor original.
  • 6 6. 1 . O bse rva d ores d e l esta d o Introducción En el capítulo anterior se estudió la estructura de la realimentación del estado de un sistema, en el que se supuso que todas las variables de estado de la parte controlable eran medibles y cuyos valores podían utilizarse de forma inmediata en dicha estructura de control. Las variables de estado son, sin embargo, en el caso más genérico, variables internas de funcionamiento del sistema cuyos valores no pueden medirse directamente sobre magnitudes físicas de éste. En este caso general, los valores de las variables de estado que se desea conocer para efectuar la realimentación han de ser calculados a partir de la evolución de las señales conocidas del sistema, que son sus salidas y sus entradas. Figura 6. 1 : Concepto de observador. El conjunto de las variables que pueden calcularse a partir de las entradas y salidas del sistema forman, como se sabe, el subsistema observable. El cálculo de las variables de estado se realiza en el sistema denominado observador, cuyo esquema se muestra en la Figura 6. 1 , que en todo momento es capaz de estimar los valores de las variables de estado 287
  • 288 CAPíTULO 6. OBSERVADORES DEL ESTADO reales del sistema, que son necesarios para su control según la matriz de realimentación del estado vista en el capítulo anterior. Las variables que, además de poder observarse, pertenecen al subsistema controlable son las que pueden utilizarse para la realimentación del estado en una estructura de control como la de la Figura 6.2, en la que los valores de las variables realimentadas se estiman previamente para proceder a continuación a su realimentación. Por tanto, en este capítulo se supone que se está trabajando con la parte observable del sistema, que además se supone también controlable para ser utilizada en una estructura de control; dicho de otra manera, como en el caso del control por realimentación del estado, se supone que se trabaja con la realización mínima del sistema. Figura 6.2: Sistema con observador y realimentación. En este capítulo se definen las características deseables de estos sistemas observadores; procediéndose a continuación a su diseño para el cumplimiento de dichas características', tanto en sistemas monovariables como multivariables. Por último, se determina la in­ fluencia de la dinámica del observador en el comportamiento total del sistema conjunto de la Figura 6.2, en el que se considera de forma conjunta con una realimentación del estado, estableciendo la independencia en el cálculo del observador y de la matriz de realimentación del estado. 6.2. Ax(t) + Bu(t) = Cx(t) Definición d e observadores Dado un sistema lineal, invariante y observable: x(t) y(t) = El esquema general de un observador es el representado en la Figura 6.1 , en el que éste proporciona una medida o estimación dinámica de las variables de estado del sistema a partir de la evolución de sus entradas y salidas. Para la realización de un observador, existe un caso trivial en el que las salidas son una combinación lineal de las variables de estado, caracterizado por una matriz C invertible.
  • 6.2 . DEFINICIÓN DE OBSERVADORES 289 En este caso el observador del estado se resuelve simplemente invirtiendo esta matriz: = (6. 1 ) En general, sin embargo, el número de salidas es mucho menor que el número de va­ riables de estado, y hace falta construir un sistema observador con dinámica que estime la evolución actual de cada variable de estado a partir de la evolución temporal de las salidas y de las entradas. El estado del sistema se puede calcular haciendo uso del gramiano de observabilidad, según la Ecuación 4.8 que se reproduce de nuevo a continuación: x(t) C - 1 y(t) siendo: x(to) = V- 1 (tl' to) ¡tot I �T(r, to)CT(r)y(r)dr V(t¡, to) = ¡totI �T(r, to)CT(r)C(r)�(r, to)dr (t) = y(t) - ¡t C(t)�(t, r)B(r)u(r)dr - D(t)u(t) y ito (6.2) (6.3) (6.4) Este procedimiento para obtener el estado del sistema conlleva el cálculo de una in­ tegral definida, que tiene que ser evaluada cada cierto tiempo para obtener un estado anterior del sistema. Si por el contrario se desea obtener de forma continua la evolu­ ción de las variables de estado del sistema en cada instante, se implementa un sistema dinámico que tiene como entradas las entradas y salidas del sistema, y que responde a las condiciones enunciadas por el siguiente teorema: Dado un sistema lineal, invariante y observable: x (t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) se dice que el sistema definido por las ecuaciones: xe(t) = Fxe(t) + Gu(t) + Hy(t) es un observador del anterior, si verifica las dos condiciones siguientes: 1. 2. Si los estados de coinciden en un instante to, (to) = x(to),para cualquierambos sistemasaplicada sobre instante posteriorxexe(t) = entonces los estados coinciden para todo x(t) entrada u(t) el sistema. :xe (t) debe tender asint6ticamente al estado x(t) para cualquier entrada u(t) y para cualesquiera estados iniciales xe(to) y x(to). -+oo tlím xe(t) - x(t) = O
  • 290 CAPíTULO 6. OBSERVADORES DEL ESTADO Estas dos condiciones imponen diversas restricciones a las matrices del observador.. Así, si se forma la diferencia entre la evolución del estado del observador y del sistema: Xe ( t) - X (t) = Fxe (t) - Ax(t) + ( G - B)u(t) + HCx(t) (6.5) se deduce que: • Por la primera condición, se sabe que si se parte de un mismo estado inicial, ante cualquier entrada, los estados deben coincidir en todo instante. Para que la entrada no influya en la diferencia entre ambos se debe cumplir: G=B (6.6) Xe (t) - x(t) = Fxe (t) - Ax(t) + HCx(t) (6.7) con lo que la Ecuación 6.5 queda: Dada esta ecuación, para que los estados coincidan en todo instante se debe cumplir: F = A - HC (6.8) con lo que la Ecuación 6.7 pasa a valer: Xe (t) - x(t) = (A - HC) (xe (t) - x(t)) (6.9) Como puede observarse de esta expresión, la dinámica de la diferencia entre las variables estimadas y las variables de estado viene gobernada por la matriz A - He . • Si los estados iniciales no coinciden, XeO #- Xo , el estado estimado debe tender asintóticamente al estado del sistema, por lo que los valores propios de la matriz A - HC deben estar en el semiplano negativo. Adicionalmente, en la práctica se necesita que la dinámica del observador dado por F sea más rápida que la del sistema dado por A, para que el observador estime las variables de estado más deprisa que la variací6n de éstos y, por tanto, puedan ser utilizadas de forma eficaz como una buena estimación de las variables de estado en la realimentación del estado del sistema. Esto se consigue si la parte real de los valores propios de la matriz A - HC es significativamente menor que la de los valores propios de la matriz A. Aquí cabe plantearse si la dinámica del observador determinada por F puede fijarse libremente, de manera que exista siempr.e una matriz H que satisfaga la Ecuación 6.8 con la matriz F libremente elegida. Al igual que sucedía en la Sección 5.2 para el cálculo de la matriz de realimentación del estado, la matriz F no puede fijarse libremente, puesto que la Ecuación 6.8 representa n x n ecuaciones con sólo n x p incógnitas (elementos de H) . Sin embargo, como se verá en este capítulo, sí se pueden fijar libremente los n valores propios de la matriz F, que representan los polos del observador y determinan de forma
  • 291 6.3. COMPORTAMIENTO DEL CONJUNTO SISTEMA-OBSERVADOR muy importante su dinámica, calculando los n x p elementos que forman la matriz H. Para ello será importante expresar la Ecuación 6.8 en URa base del espacio de estado adecuada, que consigue, por una parte, que los elementos de· F 'Y de A estén directamente relacionados con los polos del sistema observador y del sistema, respectivamente, y, por otra, que la Ecuación 6.8 quede reducida a n x p ecuaciones compatibles, siendo las restantes n x ( n - p) ecuaciones identidades independientes de los valores de H. 6.3. C omp ortamiento del conj unto sistema-observador El objetivo final de la utilización de un observador es diseñar un control por realimen­ tación del estado a partir del estado estimado . Cabe, por tanto, analizar la controlabilidad del sistema con el observador de forma conjunta, tanto antes de realizar la realimentación del estado como después. 6.3. 1. Sin realimentación del estado Las ecuaciones tanto del sistema inicial como de su observador son: X(t) = Ax(t) + Bu(t) xe (t) = (A - HC)xe (t) + Bu(t) + HCx(t) [ ] (6. 10) (6.11) o escrito en forma matricial: B A O x(t) x(t) (6.12) xe (t) - HC A - HC xe (t) + B u(t) cuya representación gráfica se observa en la Figura 6.3. Si se estudia la: 'éóntrolabilidad del sistema conjunto, mediante la construcción de la matriz Q: (6.13) ][ ] [ [ _ ] Como puede verse fácilmente, el conjunto formado por los dos grupos de variables es no controlable. Dado que se parte de que el sistema inicial es controlable, el rango de esta matriz sigue siendo n, por lo que se puede hocer una separación de la parte no controlable, mediante el cambio: ( x:(t) . x(t) . (6.14) x t) xJ(¡tV T xe.(t) ,.x(t) _ [ _ ] [ 1 [ -1 O1 ] [ ] [ Con lo que la nueva expresión de la ecuación de estado es: ' x(t) A . O X(t) xe (t) - x(t) - O A - He x e (t) - x(t) _ ] _ ][ ] '+, [ B ] u(t) O Ecuación de la que pueden extraerse las siguientes conclusiones: (6.15)
  • CAPÍTULO 6. OBSERVADORES DEL ESTADO 292 Figura 6.3: Esquema del sistema con observador. • • La parte no controlable es la diferencia entre el estado estimado y el estado real: actuando sobre la entrada no se modificará el comportamiento de esta diferencia, como cabe esperar de las condiciones impuestas en la definición del observador. La evolución de la parte no controlable es: Xe (t) - x( t) = <J>A-Hc (t, to ) (xeo - xo ) (6. 16) que corrobora lo ya conocido: será cero, si el estado inicial para las variables reales y para las estimadas es el mismo, y tenderá a cero, si siendo el estado inicial distinto, los valores propios de la matriz A - He tienen parte real negativa. • El hecho de realimentar el estado x(t) no afecta a la dinámica del observador, sólo a la del sistema observado. Sin embargo, no hay que olvidar que no es posible realimentar x(t) , al no tener acceso a estas variables, sino xe (t) , el conjunto de variables estimadas.
  • 6.3. COMPORTAMIENTO DEL CONJUNTO SISTEMA-OBSERVADOR 6.3.2. 293 Con realimentación del estado Partiendo del esquema del sistema con observador representado en la Figura 6.3 y teniendo en cuenta que la realimentación se realiza utilizando el conjunto de variables estimadas, el esquema del sistema con realimentación queda como se ve en la Figura 6.4. Figura 6.4: Sistema con observador y realimentación del estado. Las ecuaciones del sistema realimentado son: = = w(t) u(t) x(t) xe(t) = Kxe(t) r(t) + w(t) Ax(t) + B(r(t) + Kxe(t)) = Ax(t) + BKxe(t) + Br(t) (A - HC)xe(t) + BKxe(t) + Br(t) + HCx(t) = (6.17) (6.18) (6.19) (6.20) Que escritas en forma matricial resultan: X(t) X(t) B BK A [ xe(t) ] = [ HC A - HC BK ] [ xe(t) ] + [ B ] r (t) + (6.21)
  • 294 CAPÍTULO 6. OBSERVADORES DEL ESTADO Si se estudia la controlabilidad del sistema conjunto, mediante la construcción de la matriz Q: Q B (A + BK)B (A + BK)2B - [ B (A + BK)B (A + BK)2B _ . . . . . . (A + BK)n-lB (A + BK)n-lB ] (6.22) se observa claramente que el sistema es no controlable. Dado que por hipótesis de partida se supone que el sistema inicial es controlable, el rango de la matriz de controlabilidad es n. Así, se puede realizar la separación de la parte no controlable para el sistema conjunto, mediante la transformación descrita en la Ecuación 6.14: X(t) 1 x(t) = [ -1 O1 ] [ xe(t) ] = [ xe(t)x(t)x(t) ] _ -H e Con lo que la nueva representación de la ecuación de estado conjunta es: [ xe(t)x(t)x(t) ] = [ A +OBK A BK ] [ xe(t) x- x(t) ] + [ B ] r(t) O - (6.23) De esta expresión se pueden extraer fácilmente las siguientes conclusiones: • • La parte no controlable sigue siendo la diferencia entre el estado estimado y el estado real. La estimación del estado no se modifica por la existencia de la realimentación, como ya se anticipó. La dinámica del sistema realimentado viene marcada por la expresión: x(t) = (A + BK)x(t) + BK(xe(t) - x(t)) + Br(t) (6.24) donde se puede apreciar que el sistema realimentado con observador se compor­ ta de forma similar al sist��a reali�entado sjn observador, salvo en el término que tenderá a cero en función de la dinámica del observador. • BK(xe(t) - x(t)), Los polos del observador van a aparecer como ceros del sistema realimentado, por lo que se tiende a que su valor sea claramente superior al de los polos del sistema observado. De esta forma, su efecto sobre la dinámica del sistema se ve minimizado; llega incluso a ser despreciable en el caso de que se encuentren lo suficientemente alejados del eje imaginario en relación con los polos dominantes. Esto, sin embargo, ,se consigue a costa de manejar una matriz H con coeficientes considerablemente grandes (como se verá a continuación en la sección dedicada a su cálculo) , hecho que presenta el inconveniente de hacer al observador muy sensible a cualquier ruido en la observación que pueda presentarse añadido a la variable 0e salida este ruido magnificado se usa como entrada al sumador donde se define perjudicando la y, al ser integrado, aparece como un error acumulativo en calidad de la estimación. xe y(t); xe,
  • 295 6.4. CÁLCULO DEL OBSERVADOR EN SISTEMAS MONOVARIABLES Es necesario encontrar un compromiso entre la posición de los ceros del sistema y la sensibilidad del observador al ruido presente en la medida de la salida, por lo que se debe llegar a soluciones alternativas. En este caso, se recurre al observador óptimo; sin embargo, su obtención implica utilizar técnicas propias de optimización, lo que hace que quede fuera del alcance de este libro. La solución que se adopta en este texto es por tanto la de utilizar dinámicas arbitrariamente rápidas, remitiendo al lector a textos de optimización para la consecución del observador óptimo. 6.4. Cálculo del observador en sistemas monovariables El objetivo de este apartado es, dado un sistema lineal, invariante, observable y mo­ novariable, diseñar un observador que estime el estado. Conocidas las matrices A, B y C del sistema, y según se vio en la Sección 6.2, el observador debe cumplir: . G=B F = A HC, siendo H tal que los valores propios de F deben estar en el semiplano • negativo y, además, de parte real significativamente menor que los valores propios dominantes de la matriz A o Ar, en el caso de un sistema con realimentación del estado. El objetivo es calcular H de forma que se cumplan las anteriores condiciones. La representación del estado estimado obtenido dependerá de la representación del estado elegida para expresar las matrices A, B y C . Al igual que sucediera con el mecanismo elegido para diseñar la realimentación del estado, es interesante elegir una representación que simplifique los cálculos. Así si se elige la llamada forma canónica observable, en la que para un sistema con función de transferencia genérica, donde, sin pérdida de generalidad, se ha fijado el orden del numerador igual al orden del denominador 1 : - C(s) = bn s n + bn _ l s n- l + s n + an _ 1 S n- l + . . . . . + ba + aa . Y(s) = U(s ) (6.25) la representación de las ecuaciones de estado en la forma canónica observable se puede expresar como: Xl X2 Xn- l xn O O 1 O O 1 O O O O O 1 -aa -al -a2 -an- l Xl X2 + Xn - l Xn [� 1 b" � bl - bnal · (6.26) bn- l - bnan- l - 1 En cualquier caso, se puede alterar el orden del numerador sin más que hacer que todos los coeficientes por encima de uno dado se anulen, es decir: 3m < n, "1m < i ::; n, bi = O
  • 296 CAPÍTULO y= [ O O ... O 6. OBSERVADORES DEL ESTADO 1] (6.27) X n- l Xn donde se observa que A es la transpuesta de la que se utilizaba para expresar el sistema en variables de fase. Siendo: (6.28) el polinomio característico calculado para el observador a partir de la posición elegida para sus polos, la matriz F = A - HC que representa la dinámica del observador será de la forma: O O O - 12 O O O O 1 O O 1 F = A - HC o O 1 O O 1 1 - In- l O O O -ao -al -a2 O O O O 1 O O 1 O O O O O 1 1 -lo - JI hl h2 h3 -an- l - ( ao + hl ) - ( a l + h2 ) - ( a2 h 3 ) [ O O ... O 1]= hn �) + hn + (6.29) "- (a n- l De esta forma, variando los elementos de la matriz H, es posible fijar el valor de los coeficientes del polinomio característico del observador y, por consiguiente, la posición de sus polos, que determinan su dinámica. En resumen, los pasos a seguir son: • • Expresar el sistema en su forma canónica observable; para ello es necesario determi­ nar la matriz de transformación, mediante el método que se describe en el siguiente subapartado . Determinar la posición que deben ocupar los polos del observador y obtener, a continuación, los coeficientes de su polinomio característico (In , In-l , . . , lo). La .
  • 6.4. CÁLCULO DEL OBSERVADOR EN SISTEMAS MONOVARIABLES 297 posición elegida para dichos polos dependerá de la posición de los polos del sistema, de forma que la dinámica del observador sea significativamente más rápida que la del sistema observado. • Calcular los elementos de la matriz H a partir de los coeficientes del polinomio característico de F y del polinomio característico de A, según las siguientes expre­ siones deducidas de la Ecuación 6.29: + -ao + Jo -al JI hn = -an- l + Jn- l hl h2 = = (6.30) Figura 6.5: Esquema des sistema con observador en la forma canónica observable. • Montar el observador según la Figura 6.5 permite obtener una estimación del estado expresado en la forma canónica observable, a partir de las matrices B, F y H anteriormente calculadas. Obsérvese que todas las matrices involucradas en el esquema de la Figura 6.5 están expresadas en la forma canónica observable.
  • Ejemplo 6 . 1 298 CAPÍTULO 6 . OBSERVADORES DEL ESTADO Se supone el caso del Ejemplo 5.2, en el que se diseña un control por reali­ mentación del estado para el sistema: 8 1 , 2 = -1 ± j y 8 3 = -10. Se pretende ahora diseñar un observador del estado G (8) 38 + 6 - 8 3 + 38 2 + 78 + 1 _ mediante el que los polos en cadena cerrada del sistema se han situado en para este sistema. La primera elección es la posición de sus polos: en este caso, para garantizar una dinámica lo suficientemente rápida, se sitúan todos ellos en 8 1 , 2 , 3 = -10, resultando un polinomio característico: Po (8) = (8 + 10) 3 = 8 3 + 308 2 + 3008 + 1000 con lo que la matriz del observador es: F= A [ O O -1000 1 O -300 O 1 -30 1 siendo las matrices del sistema en la forma canónica observable: = [ � � =� 1 [ 1 O 1 -3 B= [ O 0 1 ] , Sabiendo además que léffor ma de la matriz H es: H= hu h21 h31 se puede plantear la ecuación de la que se despejan sus elementos:
  • 6 . 4 . CÁLCULO DEL OBSERVADOR EN SISTEMAS MONOVARIABLES resultando: = [ 999 1 H 2ii 299 H En este caso se puede observar el efecto comentado de cómo, al imponer una dinámica muy rápida en el observador, los elementos de la matriz se hacen muy grandes, ampliando mucho los errores de medida que se puedan presentar en la salida. 6.4. 1 . Cálculo de la matriz de transformación En este apartado se calcula la matriz de transformación que permite obtener la re­ presentación del estado en la forma canónica observable, x(t) , a partir de cualquier otra, x(t) : x(t) Tox(t) (6.31) Para ello se parte de la matriz de observabilidad P, que posee inversa por ser el sistema observable: (6.32) pudiéndose demostrar que la matriz T o buscada se construye de la siguiente forma: = (6.33) Obsérvese que, en el esquema del observador representado en la Figura 6.5, todas las matrices del sistema involucradas en el cálculo del observador (A, B, C) están expresadas en la forma canónica observable; por tanto, las variables estimadas por el observador, xe , están expresadas en dicha base. Si se desea estimar las variables de estado en la base original, se introduce la matriz T o en serie con el observador, según se puede apreciar en la Figura 6.6. Debe tenerse en cuenta que, en dicha figura, la matriz de entrada del observador, B, viene expresada en la forma canónica observable, según se ve en la Figura 6.5, pero que ahora se renombra para indicar que, dado que rara vez el sistema vendrá expresado en esta base canónica, será necesario calcularla a partir de la matriz B original del sistema mediante la matriz T o obtenida mediante: (6.34) Uno de los principales objetivos en la estimación del estado es su uso para la reali­ mentación del sistema. Para ello, y según se vio en el anterior capítulo, es necesario expresar el estado en la forma canónica controlable. Para tal fin es necesario calcular la matriz de transformación Teo que relaciona la forma canónica controlable, xc (t) , con el estado estimado expresado en la forma canónica observable, xe :
  • 300 CAPÍTULO 6. OBSERVADORES DEL ESTADO Figura 6.6: Sistema con observador y matriz de transformación. Esta matriz Tea se puede calcular a partir de las matrices T a este subapartado y en la Sección 5.3.2 mediante: Xc - con lo que: = T- 1 Xc = Te 1 T a Xea e y T e obtenidas en (6.35) (6.36) según puede verse en la Figura 6.7. Obsérvese que, en dicha figura, la matriz :K e realimenta las variables de estado en la forma canónica controlable y el observador estima el valor de las variables en la forma canónica observable. 6.5. 6 Cálculo del observador e n sistemas mult ivaria­ bles Los razonamientos planteados para el caso monovariable se pueden extender a un sis­ tema multivariable, lineal, invariante y observable, con n variables de estado, m entradas
  • 6.5. 6. CÁLCULO DEL OBSERVADOR EN SISTEMAS MULTIVARIABLES 301 r (t ) Te o Figura 6.7: Esquema des sistema con observador y realimentación en espacio de estado transformado. y p salidas. Se supone que todas las variables de salida del sistema se utilizan como entrada al observador para estimar el estado del sistema. Si alguna de las variables inicialmente consideradas como variable de salida no se utilizase, ésta sería consecuentemente supri­ mida como variable de salida en las ecuaciones de estado del sistema, quedando finalmente un vector de salida de dimensión p. Este sistema se puede expresar en función de la denominada forma canónica obser­ vable, obteniéndose las siguientes expresiones para sus matrices A y e: A e [ AH Al2 A2 1 A 22 Apl Ap2 [ e l e2 . . . . . . . . . A ,. A 2p App ep ] 1 (6.37) (6.38)
  • 302 CAPÍTULO 6 . OBSERVADORES DEL ESTADO donde las distintas submatrices involucradas tienen las siguientes expresiones: O -aO"i -n.+1 0"i O -aO"i -ni+ 2 0"i O -aO"i -n.+ 3 0". O O Aii = o O 1 O O 1 1 [ (6.39) -a O'i Ui 1 de dimensiones ni x ni , siendo ni el número de variables de estado que son estimadas con la salida i-ésima. Su valor se elige, según se verá con detalle en el siguiente subapartado, a la hora de calcular la matriz T o de la forma canónica observable. A ij = O . . . O -0!0"i -ni + 1 0"j O . . O -0!0"i -ni +2 0"j : . : . :. . . O O - O!O"i O"j • . . • • (6.40) de dimensiones ni x nj , con el significado mencionado anteriormente. +- 1 O O O O 1 O O Ci+ 1 0". +- i +- i + 1 O Ci = O O +- p Cp 0"; (6.41) de dimensiones p x ni . En las anteriores expresiones p representa el número de salidas utilizadas para la implementación del observador. Si se plantea un observador del estado con una matriz de dimensiones n x p definida como: [� h l H= hn1 � hp hnp 1 H (6.42) siendo la dinámica deseada para dicho observador la representada por: F = A - HC = O O 1 O O 1 O O O O O 1 - In - l - lo -f¡ - 12 (6.43)
  • 6.5. D. 303 CALCULO DEL OBSERVADOR EN SISTEMAS MULTIVARIABLES es posible construirlo, pudiéndose obtener los valores incógnitas de la matriz H resolvien­ do n sistemas de p ecuaciones con p incógnitas cada uno. En ,efecto, visualizando la expresión global de la matriz A expresada en la forma canónica observable: 1 o O O O O -QCTl -nI + 1 CTp -QCTl -nI +2 CTp O O -QCTl -nI + 1 CTl O -QCTl - nI +2 CTl O -QCTl CTp -QCTl CTl O O 1 O -QCTp -np + l CTl O -QCTp -np +2 CTl O O O -QCTp CTl O O A= (6.44) 1 O O 1 -QCTp -np+ l CTp -QCTp -np + 2 CTp -aup Up se aprecia que la diferencia entre las matrices A y F radica solamente en las últimas columnas de cada bloque. El resto de la estructura es idéntica. Por otra parte, el producto HC sólo tiene elementos no nulos en la última columna de cada bloque; el resto son ceros. Además, cada fila de la matriz H sólo influye en la respectiva fila de la matriz HC, por lo que por comodidad de representación, y sin pérdida de generalidad, se considera la fila i de la matriz HC: i (AHC) ( i ,) = A( i ,) + + [O hil + hi2C2CTl + . . . + hipCPCTl O El cálculo del observador F = A - HC produce n sistemas (i = con p incógnitas ( hij con j = . . p) que son: 1· 1··· nI + . . . + np = n (ji CTl = -aiCTl - hi1 - hi2C2CTl - . . . - hipcp CTl (ji CT2 = -ai CT2 - hi2 - hi 3 C3 CT2 - . . . - hipCp CT2 { O1 i h dp] 1 (6.45) n) de p ecuaciones (6.46) (6.47) (6.48) si aj = i (6 . 49) en caso contrario Cada uno de estos sistemas siempre posee solución, pues la matriz del sistema es trian­ gular con elementos unidad en la diagonal superior. Se recuerda que: donde: . (jtCTj =
  • 304 CAPíTULO • • • • hij es el elemento de la matriz 6. OBSERVADORES DEL ESTADO - h - l es el elemento de la matriz del observador, fila i y última columna, que es el coeficiente del polinomio característico del observador cambiado de signo. - au; Uj e s el elemento d e l a matriz A expresada e n l a forma canónica observable, que se encuentra en la fila O"i y columna O"j . H, fila i columna j . Ciuj es el elemento de la matriz e que se encuentra en la fila i y en la última columna del bloque j, cuyo ordinal es O"j . Ejemplo 6.2 Supóngase un sistema con n = 4 variables de estado y p 2 salidas, siendo además la aportación de cada salida al observador n I = 2, n2 = 2 . Teniendo en cuenta que 0"1 = nI = 2 y 0"2 = nI + n2 = 4, las matrices del sistema expresadas en la forma canónica observable son: = -a 1 2 - a22 -a 32 -a 42 [ O -a 14 OO1 1 O O O 1 C22 - a 24 -a 34 -a44 ] ] ] La forma deseada para la matriz del observador es: F= O O O -JO 1 O O -f¡ O 1 O - 12 O O 1 -fa Las incógnitas que se desea obtener son los elementos de la matriz H:
  • 305 6.5. t::,. CÁLCULO DEL OBSERVADOR EN SISTEMAS MULTIVARIABLES Con lo que el producto He es: He [ hll h21 h31 h4 1 h" h22 h 32 h4 2 [ oo 1 oo � ] 1 C22 [� hll h12C22 h21 h22C22 h 3 1 h12C22 h 4 1 + h12C22 + + + oo o O h" h22 h 32 h42 1 Donde se observa que la matriz producto sólo tiene elementos no nulos en la última columna de cada bloque. Además, cada fila de la matriz H sólo influye en la respectiva fila de la matriz He . Efectuando F = A - He: o�o o�1 o�1 =j� 1 [ oo� [ 1 - 12 - 13 -a12 -a22 -a32 -a4 2 - hll - h21 - h3 1 - h4 1 - h12C22 - h22C22 - h 32C22 - h4 2C22 De donde se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: Fila Fila 2 Fila 3 Fila 4 => => => => oo oo O = -a12 - hll - h12C22 - Jo = -a1 4 - h12 -a14 -a24 -a34 -a44 - h12 - h22 - h3 2 - h4 2 1 0 = -a22 - h21 - h22C22 -f¡ = -a24 - h22 = - a32 - h31 - h32C22 - 12 = -a34 - h32 0 = -a42 - h4 1 - h42C22 - 13 = -a44 - h4 2 1 Que se resuelve como 4 sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnitas cada uno. 6.5. 1. Cálculo de la matriz d e transformación Para obtener la matriz T de transformación que representa el estado según la forma canónica observable en sistemas multivariables, a partir de cualquier otra representación, se supone que el sistema es observable. En caso contrario será necesario realizar una sepa­ ración de la parte observable, teniendo en cuenta únicamente dicha parte del sistema para
  • 306 CAPÍTULO 6. OBSERVADORES DEL ESTADO los cálculos. Contando con esta hipótesis de partida, se forma la matriz de observabilidad: (6.50) donde Ci representa la fila i-ésima de la matriz C. Al ser el sistema observable, rango(P) = n, existen distintos conj untos de vectores fila que cumplen esta condición, obteniéndose en cada caso diversas posibilidades para observar el sistema. Para el cálculo de la matriz de cambio de base, a continuación. Ta, se procede de la forma explicada Primeramente, se eligen n filas linealmente independientes de P, eligiendo siempre para cada salida las primeras filas asociadas a dicha salida Ci , ci A, . . . , ci A ni - l . Esta elección de filas es de gran importancia en el observador que se está diseñando, puesto que el número de filas asociadas a cada salida indica el número de variables de estado que van a ser observadas con dicha salida. Si una salida tiene asociado comparativamente un número elevado de filas, significa que esa salida servirá para estimar muchas variables de estado, forzando el comportamiento del observador para conseguirlo. Por el contrario, si no se eligen filas asociadas a una salida concreta, ésta no se utilizará en el observador del estado que se está diseñando, con lo que se desaprovechan sus posibilidades de estimación del estado. Por tanto, en géneral e's conveniente elegir un número equilibrado de filas asociado a cada salida. Así, una buena alternativa es elegir las primeras filas linealmente independientes de P, tal como se ha descrito en el capítulo dedicado a la observabilidad, aunque dependiendo de un estudio del significado físico de las variables de salida, se pueden elegir otras opciones. A continuación se ordenan las filas, agrupándose según la pertenencia a cada salida,
  • 6.5 . 6 307 CÁLCULO DEL OBSERVADOR EN SISTEMAS MULTIVARIABLES y formándose la matriz L: CI cl A (6.51) L= Donde p representa el número de variables de salida. Esta matriz permite calcular la matriz de transformación a la forma canónica obser­ vable. Para ello se calcula la inversa de la matriz L: i nI + . . . + np = e<7p nI = al ] ap = n Se extraen las columnas existentes en las posiciones finales de cada bloque, y a partir de ellas se forma la matriz: (6.52) e<7 1 ' e<72 ' • • . , en , (6.53) pudiéndose desmostrar que tiene inversa. Esta matriz permite transformar la representación inicial del estado, x(t) , en la co­ rrespondiente a la forma canónica observable x ( t ) , mediante la transformación dada por To : x( t ) Á B = e = Tox ( t ) Te / ATo To I B CTo (6.54) (6.55) (6.56) (6.57) En el Ejemplo 6.5 al final de este capítulo puede verse un caso de diseño de un observador para un sistema multivariable.
  • 308 6.6. CAPíTULO 6. OBSERVADORES DEL ESTADO Observadores d e orden reducido En anteriores apartados se ha descrito la posibilidad de obtener una estimación del estado a partir de la información de la entrada y de la salida. Esta estimación del estado presenta un buen comportamiento bajo las condiciones ya descritas. Sin embargo, en ocasiones, y pese a que la totalidad del estado no sea accesible, puede que parte de éste lo sea. En estos casos parece ilógico no tener en cuenta esta información y estimar variables que ya son accesibles. A tal fin se incorpora un modelo de observador que tiene en cuenta esta característica del sistema y que se denomina observador de orden reducido. Se parte de una representación del estado que cumpla: x = Ax + Bu (6.58) (6.59) seleccionando como salidas del sistema las p variables de estado accesibles. A esta repre­ sentación del estado se puede llegar a partir de otra cualquiera: y x = A'x + B'u = e'x = [e'! l e' 2 J x (6.60) (6.61) Si se toman como salidas únicamente aquellas que sean linealmente independientes, reordenando adecuadamente, entonces la submatriz e ' 1 , de dimensiones p x p, será no singular. Realizando entonces el cambio: x = Tx (6.62) con (6.63) Partiendo, pues, de una representación de estado tal que las salidas coincidan con las variables de estado accesibles, el estado total se puede representar por: x= [�] (6.64) donde w es el conjunto de variables de estado no accesibles y cuyo valor se pretende esti­ mar. Si la ecuación de estado se representa separando variables accesibles y no accesibles, queda: (6.65) El modelo de observador que se propone utiliza información de la entrada, de la salida y de la derivada de la salida; en este aspecto, incorpora más información del sistema que el
  • 6.6. OBSERVADORES DE ORDEN REDUCIDO 309 observador de orden máximo y no presenta ningún inconveniente, puesto que la derivada de la salida ha de existir al ser, por definición del modelo, derivada de una combinación lineal de variables de estado. La ecuación que modeliza el comportamiento del observador viene dada por: We = FWe + GU + HI y + Há (6.66) Sustituyendo en esta ecuación y por su valor: y = A u Y + AI 2W + B I u (6.67) queda una expresión para l a ecuación del estimador d e l a forma: we = FWe + Gu + HI y + H 2 AUY + H 2AI2 W + H2B I u (6.68) La evolución de la diferencia entre las variables de estado estimadas y su valor real es: We - W = FWe + Gu + HIy + H 2 AUY + H2AI2W + H2B I u - (A2 1 y + A22W + B2u) (6.69) de forma que agrupando se llega a: we - w = FWe - (A22 - H 2 AI 2 )W + (HI + H 2 AU - A2 1 )y + (G + H2B I - B2 ) u (6.70) Para que la evolución de la diferencia entre las variables de estado estimadas y su valor real tienda a cero bajo cualquier circunstancia, se debe cumplir que: • Ha de ser independiente de la entrada, por lo que: (6.71) • No debe ser influida por el conjunto de variables de estado accesibles, y, por lo que: (6.72) • Para asegurar la convergencia se debe cumplir que: F = A 22 - H2AI2 (6.73) El procedimiento para diseñar el observador de orden reducido, partiendo del cono­ cimiento de Au , A 12 , A2 1 , A 22 , B I Y B2 es, por tanto, el siguiente: • • • • Se define la dinámica del observador, que se verá reflejada en los coeficientes de la matriz F. De la Ecuación 6.73 se despeja H 2 . De la Ecuación 6.72 se despeja HI . De la Ecuación 6.71 se despeja G. Se puede representar gráficamente el esquema del observador diseñado, como se ve en la Figura 6.8:
  • 310 CAPíTULO Ejemplo 6 . 3 6. OBSERVADORES DEL ESTADO Figura 6.8: Sistema con observador de orden reducido. Sea el sistema dado por las ecuaciones: para el que se pide calcular un observador de orden reducido. Del propio enunciado se deduce que la única variable cuyo valor es necesario estimar es X3 . dado que Xl y X2 se han tomado como salidas del sistema. Sobre esta base se realiza la división del sistema:
  • 6.6. OBSERVADORES DE ORDEN REDUCIDO 311 identificándose: [ �3 - 22 ] B1 = [ � ] el = [ � � ] A ll = A 12 = [ �3 ] A 21 = [ O O ] A22 = [ - 1 ] B2 = [ 1 ] A partir de esta definición del sistema y del número de variables conocidas y las que se han de estimar, se tiene que la siguiente forma pa'ra' las matrices del observador: El siguiente paso es fij ar la dinámica del observador de X 3 . Suponiendo que la posterior realimentación del estado situara los polos del sistema en 8 1 , 2 , 3 = - 1 , se fija l a posición del del observador e n 8 = - 5 , resultando por tanto: F = [ -5 ] Conocida la división del sistema y la posición del polo del observador, se pueden despejar ya sus matrices: F = A22 - H 2 A 12 =? [ -5 ] = [ - 1 ] - [ h21 h22 ] =? H 2 = [ O -4 ] H 1 + H 2 A ll - A 21 = O = [ h 11 h 12 ] + [ O -4 ] =? H 1 = [ O -8 ] G + H2 B 1 - B2 = O = [ 9 ] + [ O -4 ] =? G = [ 9 ] [ �3 ] =? [ -3 _ 22 ] - [ O O [�]-[1] O ] Nótese cómo, al despejar la matriz H 2 , se ha anulado el elemento h21 , por ser irrelevante el valor que éste pueda tomar.
  • 312 6 . 7. CAPíTULO 6. OBSERVADORES DEL ESTADO Ej emplos adicionales Ejemplo 6.4 Control de la posición de la base del péndulo invertido con observador En este ejemplo se desea realizar un control por realimentación del estado del péndulo invertido con las mismas características que las del sistema de control realizado en el Ejemplo 5.8, pero con la importante diferencia de que ahora las variables de estado del sistema no son directamente medibles, sino que deben ser estimadas mediante un observador a partir de la evolución de la única variable medible del sistema, la posición de la base del péndulo x(t) , y de la entrada de éste u(t) . Para ello se utiliza una estructura de control por realimentación del estado, servoposicionador y observador como la indicada en la Figura 1, en la que la salida del sistema viene dada por la siguiente ecuación de salida : ... Péndulo invertido 1;.__""."._-......... x Figura 1: Estructura de control por realimentación del estado incluyendo un servoposicionador de la variable x(t) y un observador de orden completo.
  • 6.7 . EJEMPLOS ADICIONALES 313 Para el cálculo del observador se necesita, por una parte, fij ar sus polos, que determinan su matriz de dinámica interna F, para calcular a continuación la matriz fI de ponderación de las salidas del sistema. Por otra parte, se necesita calcular la matriz de tra nsformación To , que permite calcular las variables esti­ madas en la base original (usada en la realimentación del estado) a partir de las variables xe estimadas por el observador en la forma canónica observable. Los polos del observador deben ser más rápidos que los polos dominantes del sistema, que se fij aron en -1, por lo que una buena elééción de los polos del observador puede ser situarlos todos en -5, con lo que el polinomio característico del observador resulta : Po (8) = (8 + 5) 4 = 8 4 + 208 3 + 15082 + 5008 + 625 [ ] y, por tanto, la matriz F de la dinámica del observador es: F= O O O O O O O O O O O O -625 -500 -150 -20 Los elementos de la matriz fI se calculan a partir de los coeficientes del polinomio característico del observador y de los coeficientes del polinomio car­ acterístico del sistema original : - - - F = A - HC ::::} { h l = fo - ao h2 = f¡ - al j h 3 = 2 - a2 h4 = h - a 3 [ ] y sustituyendo: 625 500 fI = 170 20 U na vez obtenidas las matrices F y H del observador, es necesario obtener la matriz To de cam bio de las variables estimadas xe a las variables originales, para cuyo cálculo se parte de la matriz de observabilidad del sistema: [ 1 O P= O O O O 1 O O - 10 O O 1]
  • CAPíTULO 314 [ 6. OBSERVADORES DEL ESTADO obteniéndose su matriz inversa como: p-l = 1 O O O O O O 1 O -0,1 O O 1] ] A partir de la última columna de p - l , se obtiene la matriz To : To = [� O 1 O 1 O O -0,1 O -2 O -2 O -0,1 U na vez calculada esta matriz, se puede realizar la comprobación de que las matrices Á = Ta l ATo , B = Ta l B y Co = CTo queden expresadas según la forma canónica observable, obteniéndose: [� � [T] Á -To 1 AT 0 - - B � To l B � O O O O O 1 O 20 O O 1 O ] Las matrices anteriormente calculadas, Y, R, B y To , se utilizan en el ob­ servador del estado del sistema real no lineal de la primera figura de este ejemplo, en la que dicho observador se integra junto con el control de realimentación del estado mediante la matriz K, calculada anteriormente en el Ejemplo 5.8, y el servoposicionador de constante Ko , calculada igualmente en dicho ejemplo: Co =CTo = [ O O O 1 ] K = [ 0,65 1 ,25 19,65 4,75 ] Ko = -0,15 Con objeto de comparar los resultados del esquema actual con observador respecto al del ejemplo anterior con realimentación directa de las variables de estado, se va a utilizar ahora la misma referencia de posición xre f = - 1 , el
  • 6.7. EJEMPLOS ADICIONALES = 0,1 Nw. y las mismas condiciones iniciales: 315 [ 1 [ 1 mismo valor de la perturbación Up x(O) x(O) Xo = � (O) O O 100 O 0(0) El comportamiento del sistema global (observador + realimentación del es­ tado estimado + servoposicionador) depende de las condiciones iniciales del observador, que representan el valor inicial de las variables de estado estimadas expresadas en la base observable: 3 S 0 05 o ;4> -0 05 - -2 '" - �--�--7-�,-7--�-4 2 > 3 � 5 -0 1 -o 15 -0 2 2 3 4 5 ( a ) Diferencia entre la posición real y ( b ) Diferencia entre el ángulo real el estimado O(t) - Oe(t). la estimada x(t) - xe(t). Figura 2 : Diferencia e,ntre las variables reales y las estimadas por el ob­ servador, partiendo de error nulo en la estimación inicial, ángulo inicial 0(0) = 10°, cambio de ref� re � cia Xref = 1 m y perturbación constante up(t) = 0,1 Nw. � Ue,!,po (s ) tiempo (s ) - Si las variables estimadas coinciden inicialmente con las variables de estado del sist�ma, cabría esperar una coincidencia de dichas variables en todo instante t posterior, según la primera de las condiciones para el cálculo del observador. Sin embargo, esto sólo es cierto si el sistema que se está observando es lineal y se conoce perfectamente su modelo. Si se utiliza el observador lineal calculado sobre el sistema real no lineal, se obtiene la diferencia entre las variables reales y las observadas que se representa en la Figura 2, en la que se observa una y
  • CAPíTULO 316 6. OBSERVADORES DEL ESTADO discrepancia entre las variables reales y las estimadas a pesar de que coinciden en el instate inicial t = O, volviendo a coincidir en régimen permanente una vez que el sistema de control estabiliza el sistema. Puesto que, como muestra la Figura 2, en este caso las variables reales y las estimadas son parecidas, cabe esperar que el control con estimación del estado se comporte de manera muy similar al control del Ejemplo 5.8, en el que se utilizan los valores reales de las variables de estado en la realimentación. Este hecho puede comprobarse en las gráficas de la Figura 3, en las que se compara la evolución de x(t) y de O(t) en ambos casos: utilizando el observador y con realimentación de las variables de estado reales, para el caso de error inicial nulo en la estimación de las variables de estado. - con observado, del estado - - - estado medIdo directament �-O 5 -1 -1 50�---:5O-----:10:--!15. co n obse rvado' del esat do 1 0r----¡r======'======::"=::='===5:::::¡] - - - estado medido directament 5 - 100�--"""7---1"=----7 5 tiempo (s ) 0 15 (a) Posición x(t). (b) Ángulo O(t). Figura 3: Comparativa de la evolución de la posición x(t) y ángulo O(t) en la estructura con observador y con la realimentación directa del estao, partiendo en ambos casos de error nulo en la estimación inicial, ángulo inicial 0(0) = 10°, cam bio de referencia xref = - 1 m y perturbación constante up(t) = 0,1 Nw. tiempo (s ) Si, como es es lógico suponer, se tiene un error inicial no nulo en la estimación de las variables de estado del sistema , estas variables estimadas diferirán en mayor medida de los valores reales, necesitándose un tiempo para que converjan al valor de las variables reales, que por otra parte se estabilizarán debido a la estructura de control. En la Figura 4 se puede observar la evolución de la diferencia entre las variables reales y las estimadas para varios valores en la estimación inicial del ángulo Oe(O), suponiendo, en todos los casos, que no existe error inicial en la estimación de la variable medida xe (O) = O ni en la derivada de las variables Be(O) = O y xe (O) = o.
  • 6 . 7. EJEMPLOS ADICIONALES 31 7 1 0 r------�-___, 5 e t ;Q1 (5 ) -o 01 '---�-�-�-----' 0 2 tiempo 3 4 5 o -5 -1 0 , :" ' , ... � :'="''"" ';' . ,""' . . ,....----1 "': " P , .: .. .. , '. •• .. " .. , " .., • . . . 8.(0)=200 _ 8.(0)=1 50 . . 8.(0)=50 8.(0)=20 - 1 50 3 '---�-�-�--�---' 2 5 4 tiempo (5 ) (a) Diferencia entre la posición real y (b) Diferencia entre el ángulo real y el estimado 8(t) - 8e (t) . la estimada x(t) - xe (t) . Figura 4: Diferencia entre las variables reales y las estimadas por el ob­ servador para distintos errores en la estimación inicial del ángulo 8e(0), partiendo de error nulo en la estimación inicial de las otras variables de estado, xe (O)=O, ée(O) '= O y xe (O) = O, ángulo inicial 8(0) = 10°, cambio de referencia xref = -1 m y perturbación constante up(t) = 0,1 Nw. Como puede verse en la Figura 4, una mejor estimación inicial del ángulo (valores más cercanos a su valor real 8(0) = 10°) da lugar a una convergencia más rápida y con menos sobreoscilación de las variables estimadas al valor real de la variable. Si, por el contrario, se parte de una mala estimación inicial de la variable original , la variable estimada presenta una mayor sobreoscilación y tarda más tiempo en converger al valor real de la variable, pudiendo llegar a inestabilizarse cuando la estimación inicial está muy alejada del valor inicial de la variable real , lo que sucede para 8e (0) = 1° Y para 8e(0) = 22° (no representados en la figura), valores bastante alejados del valor real inicial 8(0) 10°. Una vez vista la convergencia de las variables estimadas hacia las variables reales en la estructura de control utilizada , interesa ver cómo evolucionan las variables del sistema que se está controlando. Para ello en la Figura 5 se muestra la evolución de las variables x(t) y 8(t) para dos casos diferentes de estimación del ángulo inicial , para 8e (0) = 5° y para 8e (0) = 15° (valor real inicial 8(0) = 10°). En ambos casos se compara la evolución de las variables del sistema respecto al comportamiento de dichas variables en el caso del Ejemplo 5.8, en el que las variables realimentadas no son estimadas por el observador, sino que son sus valores reales. Todo el estudio anterior ha sido realizado para una dinámica del observador definida por la situación de sus polos en --5, que en principio se ha supuesto adecuado respecto a la dinámica del sistema en cadena cerrada definida por sus polos dominantes en l A continuación se va a estudiar cómo la dinámica del observador, definida por la situación de sus polos, afecta al comportamiento = - .
  • CAPÍTULO 318 6. OBSERVADORES DEL ESTADO global del sistema. 10 -con observador del estado - - - estado medido directament c: ¡: - con observador del estado - - - estado medido directament 5 O -5 5 tiempo (s ) 10 O 15 5 tiempo ( s } 10 (a) Posición x(t) cuando Oe (O) 15°. 15 - con observador del estado (b) Ángulo O(t) cuando É. c: - - - estado medido directament O ¡: -5 � -0 5 -1 -1 50 15 10 � 5: tiempo (s ) 10 15 -10 -15 -20 0 � 15 Oe(O) = 15°. con observador del estad� I - - - estado medido directamenttJ V �---5 tiempo (s ) 10 15 (c) Posición x(t) cuando Oe(O) = 5°. (d) Ángulo O(t) cuando Oe (O) = 5°. Figura 5 : Comparativa de la evolución de la posición x(t) y del ángulo O(t) en la estructura con observador y la que tiene realimentación directa del estado, para los casos de estimación inicial del ángulo Oe (O) = 15° Y Oe = 5°, siendo el ángulo inicial real 0 ( 0 ) = 10°, error nulo en la estimación inicial de las otras variables de estado, xe (O)=O, Oe(O) = O y xe (O) = O, ángulo inicial 0 ( 0 ) = 10°, cam bio de referencia xref = - 1 m y perturbación constante up(t) = 0,1 Nw. Si se diseña un observador con sus polos más lentos, por ejemplo en -3,5, su polinomio característico es: Po ( 8 ) = ( 8 + 3,5 ) 4 = 84 + 148 3 + 73,58 2 + 171 ,58 + 150,0625
  • 6.7. EJEMPLOS ADICIONALES [ 319 ] [ ] con lo que se obtienen las siguientes matrices del observador: F1 _ - O O O O O - 150,0625 O - 171,5 O -73 O - 14 O O O O H1 150,0625 171,5 9 3,5 . 14 _ - Por el contrario, si se elige un observador más rápido situando sus polos en - 10, su poli nomio característico es: Po (8) = (8 + 10 ) 4 = 8 4 + 408 3 + 6008 2 + 40008 + 10000 y [ ] las matrices del observador son en este caso: O O O O O O O O O - 10000 O -4000 O -600 O -40 [ ] 10000 4000 620 40 En la Figura 6 se puede observar la evolución de la diferencia entre las variables estimadas y las reales, utilizando cada uno de los tres observadores calculados. Se advierte una convergencia más rápida hacia las variables reales y con menos sobreoscilación, cuanto más rápida es la dinámica del observador. F2 i _ - - - - polos del observador en - 1 0 - polos del observador e n -5 - - Polos del observador en -3 � '. i , -5 i i i i i O�--�2----�4--�6--�8 tiempo (s ) - 1 t _-- ' : j � I ¡: -2 : / :f 4 ; 4 2 c ;:CD ( a ) Diferencia entre la posición real y • • H2 _ O 1' ; ' ; : : . I - ... - J ,---1'=::::==::=:=:;:=='=obse rvado r ::::= 1 :il : : :::'; - - - po los de 1 ::;:=:::= en:: -7.: : - polos del observador en -5 'i j' " .. .. '. ' , - - Polos del observador en ... .. � -3 . i ,i -��--�2----�4--�6--�8 tiempo (s ) ( b ) Diferencia entre el ángulo real la estimada x{t) - xe {t). el estimado (}(t) - Oe {t). Figura 6: Diferencia entre las variables reales y las estimadas por el obser­ vador para distintas posiciones de sus polos, con una estimación inicial del ángulo Oe {O) = 150, partiendo de error nulo en la estimación inicial de las otras variables, xe{O)=O, Oe{O) = O y xe{O) = O, ángulo inicial (}(O) = 100, cambio de referencia xref = - 1 m y perturbación up{t) = 0,1 Nw. y
  • 320 En la Figura 7 puede observarse la evolución de las variables x(t) y O(t) para las distintas dinámicas de los tres observadores diseñados. Se advierte un comportamiento menos oscilatorio y más parecido al sistema con realimentación de las auténticas variables de estado (sin observador) , cuanto más rápida es la dinámica del observador utilizado. CAPÍTULO -10 -5 - - - polos del observador en _ . - polos del observador en • polos del observador en -3 -estado medido directamente � -0 5 -1 -1 50�--�5�---:'10:----...J 15. � � 6. OBSERVADORES DEL ESTADO 15 ,----¡:==.==::::=====;; :il :=.=;: :;::=O =. - - - polos del observador en -10 - - polos del observador en -5 10 - polos del observador en -3 : ¡·t"��, , :, -5 IV/-: -10 - estado medido directamente '"'-----j ' '-- -1 50�---:5�---:'10::----...J 15· (a) Posición x(t). (b) Ángulo O(t). Figura 7: Comparativ de la evolución de la posición x(t) y el ángulo O(t) para distintas posiciones de los polos del observador, con una estimación inicial del ángulo Oe (O) = 15°, partiendo de error nulo en la estimación inicial de las otras variables de estado, xe (O)=O, Óe(O) = O y xe (O) O, ángulo inicial 0(0) = 10°, cambio de referencia xref = - 1 m y perturbación constante up (t) = 0,1 Nw. tiempo (s ) tiempo (s ) = Si la dinámica del observador se hace demasiado lenta , éste no puede llegar a estimar los valores de las variables reales, dando lugar a inestabilidad en el sistema global realimentado. Este límite de la estabilidad depende de la bon­ dad de las estimaciones iniciales de las variables de estado y de estas mismas condiciones iniciales, así como de los valores de las entradas de referencia y de perturbación . En el presente ejemplo, en el que se presentan los resultados para una estimación inicial del ángulo Oe (O) = 15°, error nulo en la estimación inicial de las otras variables de estado xe (O) = O, Óe(O) = O y xe (O) O, un ángulo inicial 0(0) 10°, un cambio de referencia xref = - 1 m . y una perturbación constante up(t) = 0, 1 Nw, se puede comprobar que el sistema se inestabiliza para dinámicas del observador más lentas que la correspondiente a posiciones de todos sus polos en 3 Por el contrario, cuanto más rápida sea la dinámica del observador, éste estima las variables reales de forma más rápida y con menos oscilaciones, y el comportamiento del sistema se asemeja más al del sistema con realimentación directa de las variables de estado, Este mejor comportamiento del sistema tam­ bién repercute en un aumento del rango de valores de las variables estimadas, = = - .
  • 6 . 7. EJEMPLOS ADICIONALES 321 en el que el sistema presenta un comportamiento estable. En el presente ejem­ plo, cuando la dinámica del observador se hace más rápida situando sus polos en - lO, se com prueba que el rango de estabilidad del sistema respecto a la estimación inicial de la variable Oe (O) está entre los valores - 130 y 37°, que es mayor que el rango comentado anteriormente entre y 21°, cuando los polos del observador están situados en -5 . Según el razonamiento anterior, parece que la dinámica del observador puede diseñarse arbitrariamente rápida , obteniéndose un mejor comportamiento del sistema cuanto más rápida sea, en el sentido de que las variables estimadas se aproximan de forma rápida y sin grandes sobreoscilaciones a las variables reales, con lo que se consigue en consecuencia u n comportamiento del sistema global muy similar al previsto originalmente en el cálculo de la realimentación del estado (matriz K y realimentación Ko ) . Como ya se ha mencionado, cuanto más rápida es la dinámica del observador, más elevados son los coeficientes de la matriz H y, por tanto, cualquier error en la medida de la salida se ve amplificado en la com posición de Xe , dando lugar a que grandes errores en la estimación , que pueden llegar a provocar la inestabilidad del sistema . Según este razonamiento la elección de la posición de los polos del observador está limitada en la práctica. Esta limitación práctica es análoga a la que aparece en el Ejemplo 5.8 para el cálculo de la matriz de realimentación del estado K, cuyos coeficientes crecen a medida que se diseña una posición más rápida de los polos en cadena cerrada del sistema realimentado, lo que da lugar a realimentaciones del estado físicamente no realizables. 2° Ejemplo 6.5 Observador de orden completo de un sistema multivariable Dado el sistema del Ejemplo 5.9, definido por las matrices: A� Y siendo: I -1 O O O O -2 O O O O ,1 I t 22 � 1 � � 2 O O O O -3 O O -4 O O -5 [ � -2 B= O 1 O l -1 -1 C� 3 1 se pide calcular un observador de orden completo de sus variables de estado. -3 2 1 1
  • CAPÍTULO 6 . OBSERVADORES DEL ESTADO 322 En primer lugar se ha de comprobar la observabilidad del problema, constru­ yendo la correspondiente matriz P: -2 -1 1 2 -3 1 O O -1 2 -2 2 3 O 1 -2 6 -3 10 4 O -4 -3 O 4 -2 -2 O 6 -12 - 1 6 -50 2 - 12 9 -16 O O 9 8 - 18 2 O 48 4 -2 24 -27 250 64 O O - 1 6 -27 64 54 - 192 -2 -8 O 2 -48 81 -256 - 1 250 O 81 -256 O 32 2 O 16 - 162 768 P= siendo rango(P) = 5, con lo que se comprueba que el sistema es observable. Se puede calcular, por tanto, el observador del estado. Para realizar el cálculo del observador es necesario, en primer lugar, trans­ formar la representación del sistema a la forma canónica observable. Para el cálculo de la matriz de transformación se comienza por seleccionar cinco filas linealmente independientes de la matriz P. El primer tanteo se hace con las cinco primeras filas: Pe �[ ¡ -3 1 - 1 2 1 -1 1 -2 3 -2 6 -3 4 O -4 -3 4 � 2 10 O 1 comprobándose que su rango es también cinco, por lo que la asignación de salidas a variables de estado queda como sigue: dos a la primera salida, dos a la segunda y una a la tercera . Se reordenan ahora las filas, colocando juntas aquellas correspondientes a las mismas salidas, es decir {l, 4, 2, 5, 3}. L= 2 -3 1 - 1 -2 -2 6 -3 4 10 O 2 1 -1 O O -4 -3 4 O 2 1 -2 3 O 1 =} L - 1 = � 54 15 3 -30 - 18 15 - 10 -2 2 -6 8 208 78 -32 : 40 8 20 4 178 66 - 16 : 13 8 -8 -3 -5
  • 6 . 7. EJEMPLOS ADICIONALES 323 seleccionando de L - 1 : L- 1 = [ el � e3 I e4 1 � ] Dada la asignación de salidas a la estimación de las variables de estado, se seleccionan las colu m nas 2, 4 Y 5 para construir la matriz To . To = [ e2 Ae2 e4 Ae4 e5 l � � Tc / 1 = 27 � 15 -3 - 18 18 12 --:-6 4 -24 78 - 234 - 2 - 16 66 - 264 - 16 15 5 -49 -3 300 -213 184 - 157 -92 54 - 81 27 - 27 - 54 282 124 - 97 - 8 27 -27 54 O 56 300 85 -58 -2 3 -2 [[ : � Y, transformando el sistema según estas matrices, queda: A = To 1 ATo - - = - B = To 1 B = C = CTo = [ 2 86 02 o - 6729 O - 52436 181 - 28 1 - 27 O - -9O - 556 O - 3616 243 729 67 4 O - 27 1 - g 1 12 O - 729 O - 1606 243 29 308 35 - 27 27 -5 - 1 5 14 1 16 - 5 27 27 1 4 -3 466 137 - 16 27 27 1 O O O O 1 1 46 - 27 O - g [� ; n 76 27 O 16 27 O 23 - 27 1 1 Para el cálculo élel observador se va a asignar una dinámica mucho más rápida que l a del sistema realimentado, por l o que se opta por situar los polos d e dicho observador en -30. Así, el polinomio característico queda : po (s) = S 5 + 150s4 + 9 000s 3 + 270000s 2 + 4050000s + 24300000 ' .
  • 324 [ CAPÍTULO OBSERVADORES DEL ESTADO 6. con lo que la matriz del observador es: F= O 1 O O O O O 1 O O O O O 1 O O -24300000 O -4050000 O -270000 -9000 O - 150 1 1 La matriz del observador que se va a calcular es: que se halla resolviendo la ecuación : y _ 5026 _ h 12 + 46h13 9 243 -28 - -9- - h 22 + 46h23 9 - 32�136 - h32 + 46�33 _ 6; _ h42 + 46�43 - 126J36 - h 52 + 46�53 F = Á - HC = O - 6286 - h 11 + !ill. 27 729 1 - 128/ - h 21 + � O - ��� - h31 + � O - 2� - h41 + W O - g� h51 + � O O O 1 O despejando por filas se obtiene: 24299770 27 4049819 -2 7269953 H= 27 8996 27 145 3353399830 27 186299972 9 37259680 27 413933 27 20377 - 27 --zr 656100076 27 4050000 7290016 -2 79000 4027 27 �� - h 13 - h23 �� - h33 -h43 - �� - h53 La dinámica de la evolución de la diferencia entre las variables reales del sistema y las estimadas viene dada, en la representación original del sistema , por la matriz: F = To FTo 1 =
  • 6.8. 523173292 243 949502902 729 1084060042 243 1339566538 729 888285181 729 1588203217 1868474113 162 486 1695540575 1441210139 243 729 1935823829 1645452365 243 81 2033285165 2392092875 729 729 3172420759 1348283483 729 486 se comprueba que todos sus autovalores son -30. ficaciones del observador. 1. 325 EJERCICIOS RESUELTOS 6.8. 541857551 18684934 243 243 983414123 33910870 729 729 1122779804 38716378 243 243 1387419785 47841610 729 729 31726111 1840011541 729 1458 tal como se fijó en las especi­ Ej ercicios resueltos En un sistema con seis variables de estado s e efectúa un cambio de base, de ma­ nera que queda dividido en los tres subsistemas de la figura, en el que se sabe que: el subsistema (A 11 , B 1 , C 1 ) es controlable y observable con sus polos en - 1 , el subsistema (A 22 , B 2 ) es controlable con sus dos polos en 2 y el subsistema (A33 , C 3 ) es observable con sus dos polos en -3. u(t) -
  • CAPÍTULO 326 6. OBSERVADORES DEL ESTADO a) Escribir las ecuaciones de estado del sistema total en su notación matricial. b) Si la matriz que ha efectuado el cambio de base es: 1 O O O O O T- l = e) d) e) 1 1 O O O O O 1 1 O O O O O 1 1 O O O O O 1 1 O O O O O 1 1 Calcular cuál era la posición inicial de los polos del sistema antes de efectuar el cambio de base. Razonar si se puede alcanzar cualquier valor de Y l + Y2 con una entrada ade­ cuada y desde condiciones iniciales nulas. Se sabe que, desde condiciones iniciales nulas y aplicando la entrada u ¡ , el sistema alcanza el estado X l en un tiempo t I , y además se sabe que, partiendo del estado inicial X l y ante entrada nula, el sistema alcanza el estado X2 en el mismo tiempo t I . Si se parte del estado X l y se aplica el doble de la entrada U l , indicar cuál es el estado del sistema a los t I segundos. Suponiendo accesibles todas las variables de estado, dibujar el esquema de una realimentación de estado que sitúe todos los polos en - 2 . f) Una vez realizado un observador de las variablés X l y X2 , indicar en qué tiempo se puede considerar que las variables de salida del observador coinciden con los valores de las variables observadas (X l , X2 ) e indicar cómo influye la entrada en dicho tiempo. a) ú El modelo de estado del sistema propuesto es: Xl X2 X3 X4 X5 X6 = [ A A O A" 12 A22 A32 O O A33 [ �� ] = [ �l O O O C3 ] 1 Xl X2 X3 X4 X5 X6 Xl X2 X3 X4 X5 X6 +[ �: ] .
  • 6.8. EJERCICIOS RESUELTOS b) e) 327 Ningún cambio de base altera los polos de un sistema, que seguirán siendo ( - 1 , - 1 , -2, -2, -3, -3) , ante cualquier cambio de base. La matriz T - l del enunciado no es invertible y, por tanto, no puede representar un cambio de base. Y l es controlable, siempre y cuando el =1- o . Y2 no es controlable, no se ve afectada por la entrada; partiendo de condiciones iniciales siempre valdrá cero. Yl + Y2 es controlable, al serlo Y l . d) Por linealidad del sistema: e) La estructura de la realimentación del estado pedida es imposible de conseguir, puesto que las variables X 5 , X6 no son controlables y, por tanto, ninguna real­ imentación del estado variará sus polos de los valores (-3, 3 ) La evolución temporal de la variable x - Xe es independiente de la entrada y será tanto más rápida hacia el valor nulo ( x = xe ) cuanto más alejados del origen hacia el semiplano real negativo estén los polos del observador (valores propios de F), pudiendo estimarse que x � Xe en = 3 � , siendo (J' la situación de dichos polos. - f) . t 2. El sistema de la figura está formado por dos depósitos de alturas de líquido (h l , h 2 ) y de áreas (A l , A 2 ) , con caudal de entrada qe repartido a partes iguales entre los dos depósitos, y con caudal de salida q2 . Se pide:
  • 328 CAPíTULO 6 . OBSERVADORES DEL ESTADO a) Modelo de estado del sistema. b) Estudiar si, partiendo de algún estado inicial y de cualquier entrada, existe alguna relación lineal entre las dos alturas, hallando en caso afirmativo cuál es. (Tomar en este apartado A l = 2, A2 = 3) Estudiar la controlabilidad del sistema en función de las áreas de cada depósito. c) Estudiar si, partiendo de algún estado inicial y de cualquier entrada, existe alguna relación lineal entre las dos alturas, hallando en caso afirmativo cuál es. (Tomar en este apartado A l = 1 , A2 = 1) d) Diseñar un control por realimentación del estado que, captando únicamente la altura h l y el caudal de entrada qe , y actuando sobre este caudal, permita que, ante una variación brusca en el caudal qe , el caudal q2 presente un error en régimen permanente nulo y una sobreoscilación menor del 4 %. (Tomar en este apartado A l = 1 , A 2 = 1) e) DA TOS: • • a) Caudal de salida libre (sobre el aire) de cada depósito en función de la altura del mismo: q = kh (tomar k = 1). Caudal entre dos depósitos: q = K fj.h (tomar k = 1). Las ecuaciones del sistema son: qe A 2 k2 = h l - 2h2 + qe { Al kl = - hl + h2 + Si se eligen como variables de estado h l , h 2 . las ecuaciones matriciales son: b) [+ La controlabilidad del sistema depende de la matriz Q : Q = [ B AB J = A2 y para que el sistema sea totalmente controlable su determinante debe ser distinto de cero: det( Q)
  • 6.8. EJERCICIOS RESUELTOS 329 2 3 por lo que para que sea controlable debe ser: e) Sí va a ser posible, pues con estas áreas el sistema no es controlable y, partiendo del estado nulo, existirá una relación lineal entre las alturas. Para hallar la relación basta con separar la parte controlable y la no controlable. A tal efecto se realiza el cambio = T e X: x Te 1 _ x - Te 1 x - [ -232 O1 ] [ h2l ] [ h [ 2 �] 2 -3 La parte controlable es Xl y la no controlable es X 2 , por lo que será siempre cero: - _ _ y como X 2 debe ser idénticamente cero: d) e) Para estas áreas el sistema es controlable, por lo que no existe ninguna relación. Z� ] [ - � � ] [ �� ] + [ � ] qe En este caso las ecuaciones de estado son: [ y= [ l O ] [ �� ] _ Las matrices de controlabilidad y observabilidad son: con ambas matrices de rango dos, por lo que el sistema es controlable y ob­ servable. Por este motivo es posible realizar una realimentación del estado, previa estimación del estado.
  • 330 CAPíTULO 6. OBSERVADORES DEL ESTADO Para estimar el estado es necesario diseñar un observador. Para ello es preciso expresar el estado en la forma canónica observable: siendo la matriz de cambio x = T oxo con: [ O1 - 31 ] [�] Las nuevas matrices del sistema expresadas en la forma canónica observable son las siguientes: Ao = T o 1 ATo = T0 1 B = 130 CT o = [ O 1 ] Co P()") = ( ).. + 10) 2 = ).. 2 + 20)" + 100 Los polos del observador deben estar lo suficientemente alejados para que no influyan en la dinámica del sistema. Por ejemplo, ambos en - 10. La matriz H se calcula a partir de la matriz F cumpliendo: Una vez obtenido el estado en la forma canónica observable, hay que realizar la realimentación de estado, por lo que hay que expresar el sistema en su forma canónica controlable (a partir de la forma canónica observable) . Para realizar la transformación, se parte de la matriz de controlabilidad: Qo = [ 31 -O1 ] => Qo 1 = [ - O1 31 ] = [ qq12 ] hay que hallar la matriz de cambio xo = T o cxc :
  • 6.8. EJERCICIOS RESUELTOS 331 Las nuevas matrices del sistema expresadas en la forma canónica controlable son las siguientes: Ae = T ob A o T oe = Be = Tob B o = [ _ � _� ] [�] = C o T oe = [ 3 Mp = 100e -1r CotgO ::; 4 % '* () = 450 Ce 1 ] Se impone la condición dinámica de que la sobreoscilación sea menor del .. y que el error de posición sea nulo (ganancia uniÜ ru:ia) : 4 % con lo que la ecuación característica: es de la forma: Pe (s) = (8 + a) 2 + a2 Gr ( 8 ) + = (8 +8a) 2 3+ a2 Los ceros del sistema se mantienen con la realimentación, por lo que es N (8) = 8 + 3. De esta forma, la función de transferencia del sistema realimentado es: al imponer la condición de ganancia unitaria se obtiene: � = l ,* a = � 2a2 V "2 � Gr ( 8 ) ° = 2 8+3 8 + V68 + 3 Para obtener esta función de transferencia es necesario realizar una reali­ mentación de estado que cumpla: Ar ] [ [ 0 1 - = A e + Be K e '* -3 V6 = { kl2 = 3-2- V6 k = e igualando se obtiene: '* Ke -1 ] [ 01 ] [ k- 1 1 -3 + = [ -2 3 - V6 ] Existe una forma alternat�va de resolver el observador: haciendo uso de uno de orden reducido, en el que se estima únicamente el valor de aquellas variables de estado que no son accesiblel;l" Es necesario expresar la salida como las variables de estado accesibles. En este caso ya están expresadas así:
  • CAPíTULO 332 El estado se compone de una parte accesible estimar (w) : 6. OBSERVADORES DEL ESTADO (y) y otra que es la que se desea La dinámica del observador viene dada por: -10: F = A 22 - H2 Al 2 ::::} - 1O = -2 - H2 G + H2 Bl - B2 = O ::::} G + 8 - 1 = O Hl + H2 AU - A2 l = 0 ::::} Hl + 8(-I) - 1 = 0 Si se desea que el polo del observador esté en De donde se obtiene que: 3. [ -31 -31 ] [ XXl2 ] + [ 11 2O ] [ UUl2 ] Dado el sistema definido por las siguientes ecuaciones: y = [ O 2 ] �� [ ] a) Partiendo del estado inicial 1) b) Calcular qué puntos del espacio de estado alcanza el sistema en el instante 0,5 ante evolución libre (entrada permanentemente nula). Calcular qué puntos del espacio de estado se pueden alcanzar en el instante t = 0,5, utilizando para ello la entrada adecuada que lo permitiese. Calcular la salida y(0,5) ante evolución libre e indicar cómo se podría calcular el estado del sistema en ese instante, conociendo solamente el valor calculado de y(0,5) y sabiendo que la entrada es nula. t= 2) 9) x(O) = [ 1 lJT : Calcular y dibujar un control por realimentación del estado que sitúe todos los polos posibles del sistema en -10, utilizando para ello un observador de orden completo y el mayor número posible de entradas en la realimentación.
  • 6.8. EJERCICIOS RESUELTOS c) a) 333 Calcular y dibujar un control por realimentaci6n del estado que sitúe todos los polos posibles del sistema en - 0 , utilizando para ello un observador de orden reducido y el menor número posible de entradas en la realimentaci6n. 1 Para realizar el cálculo de cuál es el estado al que se llega transcurrido un cierto tiempo y ante una cierta entrada, es necesario calcular la matriz de transición del sistema «J?( t) : «J?(t) = e At - � ] [ ��� ] '= [ � ] [ -� VI = [ � ] Vl l = V I2 [ - 11 - 11 ] [ VV2I ] = [ OO ] - - 22 V2 = [ _ � V2I = - V22 ] Para hallar esta expresión se calculan los valores propios: A = -2 A = -4 por lo que: * * * * T= [� A= [ � Dado que: x(t) = «J?( t)x(O) entonces: Tx(t) = «J? (t)Tx (O) � (t) = T - I «J?(t)T de donde: * * x(t) = T- I «J?( t)Tx( O) «J?(t) = T�T - I
  • 334 CAPÍTULO 6. OBSERVADORES DEL ESTADO 1) 2) Q 3) _ -2 - [ 11 O2 -2 -62 ] Del análisis de la matriz Q se deduce que el sistema es controlable, por lo que todos los puntos del espacio de estado son alcanzables mediante la entrada adecuada para t = 0,5. y(0,5) = [ O 2 ] [ :=� ] 2e- 1 = No se puede calcular el estado en este instante. Aunque el sistema es observable, se precisa conocer la dinámica. b) Dado que es necesario utilizar el mayor número de entradas posible, se utilizan las dos disponibles. Se comienza por construir la matriz de transformación: 1 ] [ -31 - 31 ] [ 11 2O ] Por lo que: Á O = = Dada la realimentación propuesta, en la que se deben colocar los polos del sistema en - 10, su polinomio característico tras dicha realimentación debe ser: PC (8) = (8 + 10) 2 = 8 2 + 208 + 100 con lo que se dispone de los coeficientes para ajustar el valor de las constantes de realimentación: Ár = Á + B K [ - 100O - 201 ] [ -2O -42 ] [ O1 O1 ] [ k�21 1l = +
  • 6.8. 335 EJERCICIOS RESUELTOS - [ - 100 -161 ] 2 - de donde, despejando: K= Queda construir el observador de orden completo: F = A - HC para lo que es necesaria la matriz de transformación,�T oe: [ -! - 1� ] = � con lo que: p= de donde se obtiene: - .. y, por lo tanto: L-1 = _ � � 8 [ 2 -64 ] [ - 124 - 42 ] = � [ -62 -12 ] 4 1 T oe = 4 - 1 -64 ] - _ C o = C e Toe = � [ Por lo que la matriz = 4 ] [ i -� ] = 2 ] [ i -� ] = � [ O 2 ] = [ O 1 ] C o q�eda: �[ 1 2 _ _ Se ajusta la dinámica del observador para ser menos significativa que la del sistema: Pep(S) = ( + 30) 2 = S 2 + 60s + 900 s con lo que ya se puede construir el observador de orden completo: F = Á - HC
  • 336 [ 01 CAPíTULO e) 9 --6000 ] [ O1 -6 ] _ [ �h21 ] [ O 1 ] -8 2 - 100 -1 - 16 Utilizando una única entrada, L= [ � _� ] [ O 1 t} _ ..... 2 - 900 - 60 12 4 ] • __ - 1 = � [ =� - � ] = � [ � � ] U2 en este caso: -61 ] Te- 1 ATe [ -31 O1 ] [ -31 - � ] [ ! � ] = [ -� - � ] = x ] �c(t) [ 8 ] .. � L de donde: y de ahí: OBSERVADORES DEL ESTADO = de donde se despeja: .... (t). [ w. 6. =
  • 6.8. EJERCICIOS RESUELTOS Te 1 B = = [ 1 � -3 0 1 2 O] [ 0,5 -1 1 337 ] [ 11 02 ] = 1 [ -21 02 ] 2 Con lo que ya se puede calcular la matriz de realimentación para conseguir situar los polos del sistema en la posición deseada. [ - 10� 2� ] = [ _� _! ] + [ � ] [ kl Ár = Ác + BcK - k2 ] K = [ -92 - 14 ] - � [ _� Para el cálculo del observador de orden reducido es necesario realizar una nueva transformación en la representación del estado, a través de la matriz: T- 1 = [� �] =} T= - � ] = [ O,� � ] O [ O1 2O ] [ -31 -31 ] [ 0,5 O1 ] = con lo que las matrices del sistema se transforman en: Á = = [ -; -� ] [ 0�5 � ] = [ ,�� -; ] = [ � � ] [ � � ] = [ i � ] = [ O 2 ] [ 0�5 � ] = [ 1 O ] B = T- 1 B e CT Dado que el observador es de orden reducido, se estima el valor de una única variable, con lo que el orden de dicho observador es uno, poseyendo por lo tanto un único polo que se sitúa en -30, por lo que: F = -30 con lo que, despejando: 27 H l + H 2 A U - A2 1 =} H l = 0,5 + 2" 3 = 41 27 G = -H 2 B 1 + B 2 = - 2" [ 2 4 ] + [ 1 O ] = [ - 2 6 -54 ]
  • CAPÍTULO 338 1. 6.9. 6. OBSERVADORES DEL ESTADO Ej ercicios propuestos En un sistema de 4° orden s e elige una base del espacio de estado, de manera que el comportamiento dinámico del sistema queda expresado por las siguientes matrices: a) b) ¿Es alcanzable el estado tiempo ? ¿Es alcanzable el estado tiempo ? [1 1 1 lJT desde condiciones iniciales nulas ? ¿En qué [1 1 1 lJT desde el estado inicial [2 2 2 2JT ? ¿En qué
  • 339 6.9. EJERCICIOS PROPUESTOS e) d) Suponiendo que la única salida del sistema es y = Xl +X 2 , hallar un subsistema observable. Suponiendo accesibles todas las variables de estado ( Xl , X 2 , X 3 , X4 ) , se efectúa un control por realimentación de dichas variables de estado con la matriz: 1 1 X= O 0 0 O 1 1 [ e) Calcular cuál es la posición de los nuevos polos del sistema. Si la matriz de salida es: y= , 1 O O ' • I � O O 1 .0 1 O ' " Sea el sistema: a) b) 3. [ t diseñar un observador del estado 'con todos sus polos en -10, indicando clara­ mente en qué base f!{Jtán expr:esa4as las variables de estado observadas . . , , ' 2. ] En el esquema de la figura se desea efectuar una realimentación de las variables de estado Xl y X 2 mediante la matriz K = [-2 O] , teniendo en cuenta que solamente es accesible la salida y . Dibujar el esquema de la realimentación efectuada, calculando el valor de todas las matrices que intervienen, así como la nueva situación de los polos del sistema. En el esquema del apartado anterior, calcular las matrices de la representación de estado que incluye todas las variables que intervienen. Comentar la dinámi­ ca de dichas variables. Indicar igualmente la controlabilidad de dicho sistema. Dado un sistema cuyo comportamiento dinámico viene definico por las siguientes ecuaciones de estado: � [ -1 O O O O O -2 O O O O O -3 O O O O O -4 O O O O O -5 + i �1 O 1 O 1 [U ] Ul 2
  • CAPíTULO 6 . OBSERVADORES DEL ESTADO 340 1 1 [ y cuyas salidas son las siguientes combinaciones linealmente independientes de las variables de estado: [El -[¡ 1 -1 2 2 2 O O 3 3 5 O O 4 5 3 O O 5 4 4 Xl X2 X3 X4 X5 a) A partir del estado inicial x = [1 1 1 1 1]T, calcular la evolución temporal de Yl , ante entrada escalón en Ul Y U2 · Yl , b) A partir del estado inicial e) d) e) x = ante entrada impulso en Ul Y U2 · [1 1 1 1 1]T, calcular la evolución temporal de Indicar si con una entrada adecuada podría obtenerse la salida a partir del estado inicial Xo = [1 1 1 1 1 ] T . y = [2 2 2 2 2] T Indicar si las salidas podrían ser consideradas como variables de estado del sistema. Indicar si el estado del sistema salidas. x = [1 1 1 1 1]T es observable con todas las f) Indicar si es posible construir un observador estático (sin parte dinámica) para la parte observable del sistema.
  • Parte II Sistemas discretos 341
  • 7 7. 1 . M od e l o d isc reto . d e esta do Intro ducción La necesidad de estudio de los sistemas discretos en el espacio de estado viene motiva­ da por las mismas razones que llevaron a estudiar los sistemas continuos con esta técnica. Las razones son las insuficiencias que la teoría clásica presenta en ciertos aspectos, y que la teoría moderna resuelve de modo sencillo: • • • • La teoría moderna presenta mayor potencia de control al utilizar la realimentación de todo el sistema y no sólo de las salidas. Las especificaciones clásicas son empíricas y únicamente válidas para sistemas de orden reducido. La teoría clásica presenta graves problemas para el análisis y diseño de sistemas multivariables. Asimismo no es posible el estudio de sistemas lineales de parámetros variables. El estudio de los sistemas en el espacio de estado resuelve en gran medida estos problemas, añadiendo la ventaja de permitir el diseño analítico por computador y tener una aplicación natural a problemas de identificación, control adaptativo y óptimo. Sin embargo, el que la teoría moderna de control sea más potente no invalida las técnicas de la clásica. Hay gran cantidad de problemas de control para los que la teoría clásica es más adecuada, pues las técnicas de estado implican una complicación innecesaria. En este capítulo se repasan, en primer lugar, los conceptos básicos del estudio en el espacio de estado, particularizándolos para los sistemas discretos, para posteriormente relacionarlos con los sistemas continuos, viendo la representación global de estado en los sistemas muestreados. 343
  • CAPÍTULO 7. MODELO DISCRETO DE ESTADO 344 7.2. Definición d e estado para sistemas discretos Se comienza por replantear la definición de estado, puesto que la variable tiempo ha dejado de ser significativa para el problema. La adaptación debe contar con que ahora se trabaja con secuencias, donde la sucesión de elementos viene marcada por el índice de la secuencia. De esta forma, se puede volver a escribir la definición de estado desde el enfoque discreto como: Se define «estado de un sistema discreto» como la mínima cantidad de infor­ mación necesaria para un elemento de índice ka de las secuencias del sistema, para que, conociendo la entrada a partir de ese elemento, se pueda determinar el valor de todas las variables del sistema para cualquier elemento posterior. Se puede observar que en sistemas muestreados esta definición coincide con la de los sistemas continuos, ya que el elemento ka-ésimo corresponderá al instante kaT. Según esta definición, el estado del sistema es tal que si se conoce el elemento ka , dada la entrada u( >. ) , con ka :::; >. :::; k, cualquier conjunto de variables del sistema r(k) se puede expresar como: r (k) = g (x(ka ) , u( >. ) , ka , k) , (7. 1) donde x(k) representa el estado del sistema para el elemento k-ésimo. El concepto de estado de un sistema discreto en un elemento se puede ampliar al de variable de estado, que se denota por el vector {x( k) } , pudiéndose definir como la secuencia vectorial cuyo valor en cualquier elemento es el del estado para dicho elemento. Al igual que en los sistemas continuos, se define el espacio de estado como el espacio vectorial donde toma valores el vector x(k) de variables de estado. De la misma manera, teniendo en cuenta que el estado se define como la mínima cantidad de información, las variables de estado son linealmente independientes y, por tanto, la dimensión del espacio de estado coincide con el número de variables de estado. La evolución, en función del índice, del vector de estado se denomina trayectoria. Estas trayectorias, a diferencia de las de los sistemas continuos, no son continuas, sino que forman una secuencia de puntos del espacio de estado. Dado que el estado en ka junto con la entrada a partir de ese elemento determinan el comportamiento posterior del sistema, definen también las trayectorias y, por tanto: x(k) = <I> (x(ka ) , u(>.) , ka , k) , ka :::; >. :::; k (7.2) lo que representa la solución de la ecuación de estado, y donde a <I> se le llama función de transición. 7.3. Sistemas dinámicos discretos Aunque ya han sido vistos los conceptos de sistema dinámico, linealidad e invarianza, conviene particularizarlos en este apartado refiriéndolos exclusivamente a los sistemas
  • 7.3 . 345 SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS discretos. Se entiende como sistema dinámico discreto una relación matemática entre dos con­ juntos de secuencias {u(k) } e {y(k) } denominadas entradas y salidas, cumpliendo: 1. Para toda secuencia real de entrada {u( k) } existe una única secuencia de salida {y(k) } . 2. Las salidas y(k) no dependen de las entradas u(n) para n > k. Esta condición recibe el nombre de causalidad. Estas condiciones definen a todo sistema discreto causal, pero el estudio que se va a realizar está restringido a los sistemas discretos expresables en diferencias. En estos sistemas las relaciones entre entradas, estados y salidas se pueden resumir en las ecua­ ciones: x(k + 1) y(k) f (x(k) , u(k) , k) r¡(x(k) , u(k) , k) (7.3) (7.4) que se conocen como ecuación de estado del sistema (7.3) y ecuación de salida del sistema (7.4) , y que, como puede verse, se formulan como ecuaciones en diferencias, frente a las ecuaciones diferenciales mediante las que se modelizan el estado y la salida del sistema para los sistemas continuos. Si el comportamiento del sistema puede expresarse mediante la Ecuación 7.3, es que la variable x( k) representa el estado del sistema, y viceversa. El concepto de linealidad en los sistemas discretos es idéntico al de los sistemas continuos. Si un sistema, con un estado inicial cualquiera x l (ka) y ante una entrada real U I (A) , ka � A � k, responde con una salida y l (k) , y partiendo de x2 (ka) ante U2 (A) , ka � A � k, se obtiene y2 (k) , entonces se dice que es lineal si para cualquier par de números reales y {3, partiendo del estado inicial: a y (7.5) ante la entrada: (7.6) se obtiene una salida: (7.7) En sistemas expresables en diferencias, esta condición se traduce en que tanto la ecuación de estado como la ecuación de salida son lineales en el estado y en la entrada conjuntamente, es decir que las Ecuaciones 7.3 y 7.4 se pueden expresar, respectivamente, como: x(k + 1 ) y(k) = A(k)x(k ) + B (k)u( k ) C(k)x(k) + D(k)u(k) donde se sigue la siguiente nomenclatura: (7.8) (7.9)
  • CAPÍTULO 7. MODELO DISCRETO DE ESTADO 346 • • • • • • • x( k) es el vector de estado en el instante k (de dimensión n) . u( k) es el vector de entrada en el instante k (de dimensión m) . y(k) es el vector de salida en el instante k (de dimensión p) . A(k) es la matriz del sistema (de dimensión n x n) . de transmisión directa entrada-salida (de dimensión B (k) es la matriz de entradas del sistema (de dimensión n x m) . C(k) es la matriz 'de salidas del sistema (de dimensión p x n) . D(k) es la matriz p x m) . Al igual que en los sistemas continuos, la matriz D(k) carece de importancia desde el punto de vista del análisis, puesto que expresa una simple relación estática adicional entre entrada y salida. El concepto de invarianza es también equivalente al de los sistemas continuos. Un sistema que, partiendo de un estado inicial Xa para un índice ka y que ante una entrada cualquiera U(A) , ka :::; A :::; k, responde con una salida y(k) , se dice que es invariante respecto al tiempo si, partiendo para cualquier N del mismo estado inicial Xa para el índice ka + N y ante la misma entrada deplazada U(A + N) , se obtiene la misma salida desplazada y(k + N) . La propiedad de invarianza en los sistemas expresables en diferencias lineales dados por las Ecuaciones 7.8 y 7.9 representa que dichas ecuaciones tomen, respectivamente, la forma: x(k + 1) y(k) Ax(k) + Bu(k) Cx(k) + Du(k) (7. 10) (7. 1 1 ) donde las matrices A, B , C y D son constantes independientes del índice. 7.4. Obt ención d e mo delos discretos d e estado La primera observación necesaria para la obtención de modelos de estado es que el posible conjunto de variables de estado no es único. Por ejemplo, si para un sistema las variables { X l , X2 } determinan el estado, también {Xl , Xl + X2 } lo determinan, ya que conocido un conjunto es de inmediata determinación el otro. Hecha esta puntualización, se puede partir de la función de transferencia en z del sistema discreto: Y(z) U(z) bn z n + bn _ I zn- 1 + 4- b l z + ba z n + an _ I Z n - 1 + . . . + a l Z + a a donde tanto los ai como los bi pueden ser nulos. . . . (7.12)
  • 7.4 . OBTENCIÓN DE MODELOS DISCRETOS DE ESTADO 347 En el caso de los sistemas continuos se utiliza para la obtención del modelo de estado el operador derivada. En el caso discreto, dicho operador se sustituye por el de desplaza­ miento, haciendo uso de éste para el cálculo del modelo, manteníéndose de esta forma la analogía entre el caso discreto y el caso continuo: 2 [x(t) J = s 2 [x(t) J --. � [x(k + l ) J = z � [x(k) J (7. 13) Teniendo en cuenta el establecimiento de esta correspondencia entre sistemas con­ tinuos y discretos, se pueden volver a plantear los mismos métodos utilizados para la obtención de modelos de estado continuos, ahora desde el punto de vista discreto. 7.4. 1 . Modelo de estado e n variables de fase Partiendo de la expresión de la función de transferencia en z dada en 7. 12, para la obtención del modelo de estado en vari �bles de fase se utiliza la variable auxiliar W(z), definida como: W(z) = z n + a Z n -U(z). . . + al Z + ao n_I 1 + (7. 14) a partir de la cual se obtienen las variables de estado de la siguiente forma: x I (k) x2 (k) x3 (k) = w(k) x I (k + 1) x2 (k + 1) (7. 15) de manera que las ecuaciones del modelo de estado quedan como: x I (k + 1) x2 (k + 1) O O 1 O O 1 O O xn - l (k + 1) xn (k + 1) O O O 1 -an - l x I (k) x2 (k) O O u(k) + -ao -al -a2 y(k) = [ bo - aobn Xn - l (k) xn (k) O 1 (7. 16) X I ( �) x2 (k) . . . �n - l - aob� ] + bn u(k) xn - l (k) xn (k) (7. 17)
  • CAPíTULO 348 7.4 . 2 . 7. MODELO DISCRETO DE ESTADO Modelo d e estado e n variables d e Jordan Partiendo de la misma expresión de la función de transferencia en z que en el caso anterior, se realiza una descomposición en fracciones simples de la forma: Y(z) U(z) =� . Z-A z - Al + . . + � + bn n (7. 18) donde los Ai son los valores propios de la matriz A, que por simplicidad se suponen de multiplicidad uno. Dada esta descomposición, se obtiene el modelo de estado a partir de las transformadas de las variables de estado: = Xl (z) = X2 (z) X3 (Z) U(z) Z - Al U(z) Z - A2 U(z) Z - A3 ( 7. 19) U(z) Z - An es decir: xl (k + l ) [ 1 xn (k + 1) o bien de forma matricial: x, (k + 1) x2 (k + 1) = xn (k + 1) y = [1 = = AlXl (k) + u(k) ][ 1 [ 1 An xn (k) + u(k) A2 O O O : An O [ p l P2 . . . Pn ] Caso de rafces de multiplicidad ( 7.20) q 1 x, (k) 1 x2 (k) + : u(k) : 1 xn (k) x, (k) x� �� ) + bn u(k) xn (k) [ 1 (7.21) (7.22) Si el sistema no admite una descomposición en fracciones simples porque existe una raíz con una multiplicidad q, es decir, que la factorización queda como: P G(z) = (z - lA¡ ) q + (z - P2 ) q - l Al + . . . + Pq+ l + Pn Z - Al + Z - A 2 . + Z - An - q+ l � . . (7.23)
  • 7.4. 349 OBTENCIÓN DE MODELOS DISCRETOS DE ESTADO se eligen como transformadas z de las variables de estado: (7.24) U (z) z )'1 - z - U (z) An - q+1 que, pasadas a su expresión como ecuación en diferencias mediante la transformada in­ versa z, quedan como: x 1 (k + 1) x2 (k + 1) A 1 X 1 (k) + x2 (k) A 1 X2 (k) + x3 (k) xq (k + 1) A 1 X q (k) + u(k) xn (k + 1) An - q+1 xn (k) + u(k) (7.25) y expresadas en forma matricial: x 1 (k + 1) x2 (k + 1) Al 1 O O Al 1 O O O O O O O O O Xq - 1 (k + 1) xq (k + 1) xq+1 (k + 1) O O O O O O O O O 1 O Al O O A2 xn (k + 1) O O O O O An - q+1 Xl (k) x2 (k) O O xq - 1 (k) + O u(k) xq (k) 1 xq+1 (k) 1 xn (k) 1 (7.26)
  • CAPíTULO 350 7. MODELO DISCRETO DE ESTADO x I (k) x2 (k) y (k) = [ PI Pn ] P2 xq (k) xq+1 (k) (7. 2 7) xn (k) Obsérvese que la existencia de polos múltiples genera en la matriz del sistema unas submatrices, tal como se puede apreciar en la Ecuación 7.26, en las que, además de tener en la diagonal el polo múltiple, aparecen elementos unitarios en la diagonal inmediata­ mente superior. Estas submatrices se denominan bloques de Jordan. 7.4 . 3 . Transformaciones lineales La falta de unicidad en la representación de estado de un sistema se explica con­ siderando que el espacio de estados es un espacio vectorial: todo espacio vectorial de dimensión n queda determinado por cualquier conjunto de n vectores de dicho espacio que sean linealmente independientes. Si (Xl , X 2 , · · · , X n ) son las componentes de un vector respecto de una base: (7.28) x y se toma una segunda base formada por los vectores linealmente independientes ( tI , t 2 , . . . . . . , t n ) , entonces el vector se puede expresar como: T (7. 29 ) Denominando a la matriz formada por las componentes de los vectores de la nueva base respecto de la antigua: (7.30) y: (7.31) la Ecuación 7.29 se convierte en: Teniendo en cuenta que independientes: T x = Tw (7.32) es no singular, ya que sus columnas son vectores linealmente (7.33)
  • 7.5. OBTENCIÓN DE LA REPRESENTACIÓN EXTERNA A PARTIR DEL ESTADO 351 transformación lineal que da las componentes del vector respecto a la nueva base. Estas transformaciones se pueden utilizar para obtener diversas representaciones de estado de los sistemas. Si, por ejemplo, se tiene el sistema: x(k + 1) Ax(k) + B u(k) y(k) = Cx(k) + Du(k) y se realiza la transformación: x = Tw (7.34) (7.35) (7.36) la ecuación de estado se modifica de la forma: Tw(k + 1) = ATw(k) + B u(k) (7.37) y premultiplicando por T- 1 : w(k + 1) = T - 1 ATw(k) + T - 1 B u(k) (7.38) mientras que la ecuación de salida resulta: y(k) = CTw(k) + Du(k) (7.39) quedando, por tanto, definida por las Ecuaciones 7.3 8 y 7.39 una nueva representación del estado del sistema. 7. 5 . Obtención d e la representación externa a partir del estado La representación externa por medio de la función de transferencia en z únicamente contempla los sistemas lineales invariantes con el tiempo. Partiendo, por consiguiente, de un sistema de este tipo: x(k + 1) y(k) Ax(k) + B u(k) Cx(k) + Du(k) (7.40) (7.41) se toman transformadas en z, obteniéndose: zX(z) Vez) AX(z) + BU(z) CX(z) + DU(z) (7.42) (7.43) y resolviendo la Ecuación 7.42 en X(z) : ::::} (Iz - A)X(z) = BU(z) X(z) = [Iz - A] - l B U(z) (7.44)
  • 352 CAPíTULO 7. MODELO DISCRETO DE ESTADO Sustituyendo en la ecuación de salida 7.43 queda: => Y(z) Y(z) = ] [ ex(z) + DU(z) l = e [Iz - Aj - B + D U(z) (7.45) y, por tanto, la matriz de funciones de transferencia viene dada por: = e (zI - A) - l B + D (7.46) Teniendo en cuenta que la inversa de (zI - A) - l es la adjunta de la transpuesta G(z) dividida por el determinante, resulta que el polinomio característico del sistema viene dado por dicho determinante: p(z) = det (zI - A) (7.47) Además, como los valores propios de la matriz A son las soluciones de la ecuación: det (zI - A) = O (7.48) es decir, las raíces del polinomio característico, se tiene que dichos valores propios son los polos del sistema. 7.6. 7.6. 1 . Sistemas muestreados S istema discreto invariante equivalente Se pretende ahora deducir la representación de estado del sistema discreto equiva­ lente del conjunto bloqueador - sistema continuo - muestreador. Supóngase un sistema continuo invariante con m entradas, p salidas y n variables de estado, mostrado en la Figura 7.1 , que responda a las ecuaciones: Figura 7.1 : Sistema continuo multivariable. x(t) y(t) Ax(t) + B u(t) ex(t) + Du(t) (7.49) (7.50)
  • 7.6 . 353 SISTEMAS MUESTREADOS ltot q>(t - r)Bu(r)dr En este caso, la resolución de la Ecuación de estado 7.49 viene dada por: x(t) = q>(t - to )x(to ) + (7.51) donde q>(t) es la matriz de transición. Para el cálculo del sistema discreto equivalente se va a suponer ahora que las entradas al sistema continuo provienen de bloqueadores de orden cero, mientras que las salidas están muestreadas, tal como se indica en la Figura 7.2. X ¡ , X2 , · · · , Xn Figura 7.2: Sistema discreto equivalente. En este caso, las entradas continuas al sistema, por provenir de bloqueadores de orden cero, serán constantes en cada intervalo kT � t < (k + I)T. Por tanto, tomando en la Ecuación 7.51 to = kT, la solución para dicho intervalo vendrá dada por: y x(t) = q>(t - kT)x(kT) + haciendo: 8(t - kT) la Ecuación 7.52 se puede poner como: y, x(t) = = [1: q>(t - r)Bdr] u(kT) [t JkT q>(t - r)Bdr q>(t - kT)x(kT) + 8 (t - kT)u(kT) particularizando para el instante de muestreo t x [(k + l )T) = = (7.52) (7.53) (7.54) (k + l)T, se obtiene: q>(T)x(kT) + 8 (T)u(kT) (7.55)
  • 354 . 00 '"' A i 1" T' � CAPíTULO 7. MODELO DISCRETO DE ESTADO es decir, la matriz de sistema del equivalente discreto es: A eq y l a matriz d e entrada: Beq = 8(T) = <P(T) = e , AT = i=O l(k+l)T <P [(k + l)T - T] BdT kT 1T <P(T - )Bd = 'x (7.56) 2. 'x = (7.57) La Ecuación 7.55 junto con la ecuación de salida particularizada para el instante de muestreo: y(kT) = Cx(kT) + Du(kT) (7.58) definen el sistema discreto equivalente buscado. En el caso de querer conocer la salida en instantes intermedios a los de muestreo, basta tomar: t = ,XT + kT, O < ,X < 1 (7.59) en la Ecuación 7.54 y se obtiene: x [(k + 'x )T] = <P( 'xT)x(kT) + 8( 'xT )u(kT) (7.60) Cabe destacar que, pese a que por hipótesis el sistema es invariante y, por tanto, todas sus matrices son constantes, existe una dependencia entre dichas matrices y el valor del período de muestreo elegido T, como queda patente en las ecuaciones del sistema discreto equivalente. Esto significa que del comportamiento que se observe en dicho sistema va a depender la elección de dicho período de muestreo, si bien una vez elegido se mantendrá la invarianza en dicho comportamiento. 7.6.2. S istemas variantes En el caso de que el sistema de la Figura 7.1 sea variante con el tiempo, responderá a unas ecuaciones de la forma: . x(t) y(t) A(t)x(t) + B (t)u(t) C(t)x(t) + D (t)u(t) (7.61) (7.62 ) entonces, si <P(t, T) es la matriz de transición, verificando: 8<P(t, T) 8t = T A(t)<P(t, ) (7.63)
  • 355 7.6. SISTEMAS MUESTREADOS ' la solución de la Ecuación de estado 7.61 viene dada por: x(t) = <p (t, to)x(to) J{tat <p (t, T)B(T)U(T)dT + = = = <p [(k + l )T, kT] x(kT) + e [(k + l )T, kT] u(kT) (7.64) El sistema discreto equivalente de la Figura 7.2 se obtiene igual que en el caso inva­ riante, tomando to kT, imponiendo la entrada constante en el intervalo [kT, (k + l )T] Y particularizando para t (k + l )T, con lo que se obtiene: e [(k + l) T, kT] x [(k + l ) T] donde = i(k+ l)T <P " kT : ,, [(k + l)T, T] B (T)dT (7.65) (7.66) La ecuación de salida del sistema discreto sérá, igual que en el caso invariante, la particularización de 7.62 para .el instante de muestreo: y(kT) = C(kT)x(kT) + D (kT)u(kT) (7.67) A partir de ahora, en los sistemas muestreados, se sustituye la referencia temporal k T por el índice de la correspondiente secuencia k. 7.6.3. Sistemas híbridos Se consideran en este apartado los sistemas en cadena abierta con parte continua y parte discreta, tal como el que muestra la Figura 7.3. Figura 7.3: Sistema con parte discreta y parte continua. = El sistema se compone de una parte discreta que responde a las ecuaciones: xD ( k + 1) w(k) ADx[j ( k ) + BDU(k) CDXD (k) + D DU (k) (7.68) (7.69) Estas salidas {w(k) } pasan a través de bloqueadores de orden cero y forman las entradas del sistema continuo: xc ( t ) Acxc ( t ) + B cw ( t ) (7.70)
  • 356 CAPÍTULO 7. MODELO DISCRETO DE ESTADO yc (t) = Cexc (t) + Dew(t) (7.71) donde la variable w(t) es la salida del bloqueador de orden cero que recibe a la entrada la secuencia {w ( k ) } . Tal como se ha visto anteriormente, es posible encontrar el sistema discreto equivalente a la parte continua, que viene dado por: xe [(k + 1)] = Aeqxc (k) + Beq (T)w(k) yc (k) = Cexe (k) + Dew(k) (7.72) (7.73) Ahora bien, el sistema discreto dado por las Ecuaciones 7.68 y 7.69, así como el equivalente discreto dado por 7.72 y 7.73, están íntimamente relacionados, ya que las salidas de uno son las entradas del otro, con lo que se puede sustituir 7.69 en 7.72 y 7.73: = Aeq (T)xc (k) + Beq (T)CDXD (k) + Beq (T)DDU(k) (7.74) y(k) xc [(k + 1)] (7.75) = Cexc (k) + DeCDXD (k) + DeDDU(k) Para representar de una manera conjunta todo el sistema, se va a tomar como vector de estado el formado por los otros dos: x(k) = [ xD (k) ] xc (k) ] x(k) [ BeqDD ] u(k) BD (7.76) con lo que las dos ecuaciones que definen el estado 7.74 y 7.75 se pueden agrupar como: x(k + 1) = [ AOeq BeqCD AD + (7.77) y la Ecuación de salida 7.75 se puede expresar como: 7.6.4. y(k) = [ Ce DeCD ] x(k) + DeDDU(k) (7.78) S istemas híbridos realimentados El sistema híbrido del apartado anterior se realimenta como se observa en la Figura 7.4. Al incluir dicha realimentación en las ecuaciones de estado del sistema conjunto quedan como: u(k) agrupando: = r(k) - y(k) = r(k) - [ Ce DeCD ] x(k) - DeDDU(k) [1 + DeDD] U(k) = (7.79) r(k) - [ Ce DeCD ] x(k) y despejando: u(k) = [1 + DeDD] - l r(k) - [1 + DeDD]- l [ ? e DeCD ] x(k) (7.80)
  • 357 7.7. EJERCICIOS RESUELTOS Figura 7.4: Sistema híbrido realimentado. con lo que, sustituyendo esta expresión en las Ecuaciones 7.77 y 7.78 , se obtienen las nuevas ecuaciones del estado y de salida del sistema realimentado. Un caso simplificado, pero importante, por la frecuencia con que aparece, es cuando en el sistema continuo la entrada no tiene influencia directa sobre la salida, esto es, cuando De = O. En este caso la Ecuación 7.79 queda de la forma: = u(k) = r(k) + 1 ) [ Aeq -BBeqDD Ce D Ce + - [ Ce O ] x(k) (7.81) con lo que, sustituyendo en 7.77, se obtiene la nueva ecuación de estado: x(k = BeqC D AD ] x(k) [ BeqDD ] r(k) BD mientras que la ecuación de salida queda de la forma: y(k) 7 . 7. 1. [ Ce O ] x(k) (7.82) (7. 83) Ej ercicios resueltos Dado el sistema de la figura: obtener los modelos de estado en variables de fase y en variables de Jordan. En ambos casos será necesario obtener la función de transferencia del sistema dis­ creto: Y(z) U(z) 1- 1 z + 0,5 0,5 z 1 + _1-_� z 1 z + 0,5 �------------- = �----- 0,5 2 - 0,5z - 0,5 z + 0,5 0,5 2 - 0,5z z
  • 358 CAPíTULO a) 7. MODELO DISCRETO DE ESTADO Variables de fase Se elige como variable auxiliar: W(z) = z 2 U(z) - 0,5z y se eligen como variables de estado: xl (k) x2 (k) = w(k) xl (k + 1) La primera ecuación de estado se obtiene directamente por la definición de la segunda variable: xl (k + 1) = x2 (k) z 2 W(z) - 0,5W(z) = U(z) ::::} w(k + 2) - 0,5w(k + 1) = u(k) mientras que para obtener la segunda ecuación se parte de la variable auxiliar: teniendo en cuenta que: w(k + 1) w(k + 2) se obtiene que: = xl (k + 1) = x2 (k) xl (k + 2) = x2 (k + 1) x2 (k + 1) - 0,5X 2 (k) = u(k) x2 (k + 1) = 0,5X2 (k) + u(k) ( k) [ xxl2 (k + 11)) ] [ °0 0,5 ] [ x$2l (k) ] + [ °1 ] u(k) (k 1 ecuaciones que, expresadas en forma matricial, quedan: + = siendo la ecuación de salida: Y(z) y(k) y(k) b) = o, z 2 - � , 5 z U(z) = 0,5W(z) 0,5w(k) = 0,5Xl (k) ::::} X 1 (k) [ 0 , 5 0 ] x2 (k) [ ] Variables de Jordan Partiendo de la función de transferencia y, teniendo en cuenta que los polos del sistema son:
  • 359 7.7. EJERCICIOS RESUELTOS se puede realizar la descomposición en fracciones simples: Y(z) U(Z) 0,5 2 - 0,5z Z P2 PI = - + -- = -;:----'---=- z z - 0,5 { °0,5 PI-0,5PI + P2 de donde se obtiene: = = ::::} ::::} Z PI - 0,5PI + P2 Z z 2 - 0,5z PI = - 1 P2 = 1 ::::} ::::} Si se eligen como variables de estado: X1 (z) = U(Z) Z U(Z) X2 (Z) = z - 0,5 --'--'---;:-'-"::-"::---'- � : x I (k + 1) = u(k) x2 (k + 1) - 0,5X2 (k) = u(k) 0 (k) (k + 1) [ xx2I (k + 1) ] [ °0 0,5 ] [ xx2I (k) ] + [ 1 ] u(k) ecuaciones que escritas en forma matricial quedan: y = la salida se puede expresar como: que expresada en forma matricial queda: 2. 1 1 [ x I (k) y(k) = [ - 1 1 ] x2 (k) 4 ] El esquema de la figura refleja el control discreto de un sistema continuo de primer orden: 1 - Z- l Se pide: a) Obtener el modelo de estado del regulador. 8+1 y (t )
  • 360 CAPÍTULO b) c) d) e) a) 7. MODELO DISCRETO DE ESTADO Obtener el modelo de estado del sistema continuo. Obtener el modelo de estado del sistema discreto equivalente del sistema continuo. Obtener el modelo de estado del sistema realimentado. Estudiar el rango de valores de T que hacen inestable al sistema realimentado. La función de transferencia del regulador es: 1 W (z) = 1 _ Z - 1 E (z) = z Si se toma como variable de estado: la ecuación de estado queda: y la ecuación de salida: XD ( z _ 1 E (z) = z _ E (z) + E (z) 1 1 Z) = Z 1 1 E (z) _ xD (k + 1) - xD (k) = e(k) xD (k + 1) = x D (k) + e(k) w(k) = x D (k) + e(k) ecuaciones que, expresadas en forma matricial, quedan: donde: b) xD (k + 1) = [ 1 ] xD (k) + [ 1 ] e(k) w(k) = [ 1 ] xD (k) + [ 1 ] e(k) AD = [ 1 ] BD = [ 1 ] CD = [ 1 ] DD = [ 1 ] El modelo de estado del sistema continuo se obtiene tomando como variable de estado la salida del sistema continuo: Xc(t) = y(t) con lo que: o en forma matricial: [ xc(t) ] y(t) 4w(t) = xc(t) + xc(t) xc (t) = -xc(t) + 4w(t) y(t) = xc (t) [ -1 ] xc (t) + [ 4 ] w(t) [ 1 ] xc(t) + [ O ] u(k)
  • 7 . 7. 361 EJERCICIOS RESUELTOS e) El modelo de estado del sistema discreto equivalente es el siguiente: xc ((k + l )T) y(k) siendo A eq = = Aeq x e (kT) + Beq w(k) C e xc (kT) + D e w(k) = 4>(T) = eA c T y Beq = foT 4>(T - .x)Bed.x, y Ae , Be , C e y D e las matrices obtenidas en el apartado anterior. Sustituyendo: = foT e - ( T - A) 4d.x = foT e A - T 4d.x = = [4eA -T]� = 4 (1 - e - T) e-T Aeq Beq [ e-T ] x e (kT) + [ 4 (1 - e-T) ] w(k) [ 1 ] xc (kT) + [ O ] w(k) las ecuaciones matriciales quedan como: xc ((k + l)T) y(k) d) = = [ Aeq - BeqDDCe -BD C e El modelo de estado del sistema realimentado es: x(k + 1) y(k) [ C e O ] x(k) = donde: x(k) BeqCD AD = [ x�;��) ] x(k) + [ BeqBD ] u(k) BD ] Reduciendo los términos de las matrices del modelo: Aeq - BeqDD Ce BeqCD -BDC e AD BeqDD BD Ce e-T - 4 (1 - e-T ) = = = = [ 5e-�1- 4 con lo que matricialmente queda: x(k + 1) y(k) = [ 1 1 · 1 = 5e-T - 4 4 (1 - e -T) 1 = 4 - 4e - T -1 · 1 = -1 1 4 (1 - e -T ) = 4 - 4e-T 1 1 4 - ie - T ] x(k) O ] x(k) + [ O ] u(k) + [ 4 - ie-T ] u(k)
  • 362 CAPÍTULO e) 7. MODELO DISCRETO DE ESTADO Para estudiar el rango de valores de T que hacen estable al sistema realimen­ tado, lo más sencillo es partir de la función de transferencia: • Del regulador: • • z = -1 zG(8) = 8 4 1 R (z) Del sistema continuo: = Del sistema muestreado: B G(z ) L....J -. + ( 1 - Z - l ) ".J Res L... (1 - Z-l ) Polos " � Res 1 G(p) pT Z - l p 1-e 4 1 (p + 1) 1 - epTz - 1 0, - 1 p 1 4 1 (1 - z - 1 ) 4 1 + -1 1 - e- Tz - 1 l - z1 - e-Tz- l - 1 + Z - l ) 4 1 - e-Tz- 1 e - T )z - l eT 4 (1 - e-Tz- 1 4(1--e-T) 1z ( [ = -'------='---:-, = ]= Por lo que la función de transferencia del sistema en cadena cerrada es: e z --1 4(1 --e--TT ) = � z- z z 2 - (1 e - T )z e - T (4 - 4 e - T )z = z 2 (3 - 5e - T )z e - T = 1+ O + + + + + O O � Como l e - T I < 1 el producto de las raíces siempre es menor que uno, lo que no garantiza la estabilidad del sistema si las raíces son reales. Para analizar la estabilidad, se puede dibujar el lugar de las raíces.
  • 7.7. 363 EJERCICIOS RESUELTOS El sistema es inestable cuando alguna de las ramas abandone el círculo unidad, lo que ocurre para z = -1. La KLDR para ese punto es: por lo que el sistema es inestable si: KLDR = 2(1 + e-T) 4(1 - e-T ) < > =} 2 + 2 e-T < 4 - 4e-T =} 6e-T < 2 =} e-T < 0,333 por lo que el sistema es inestable si T 1,0987. A la misma conclusión se puede llegar analizando la matriz del sistema reali­ mentado: 5e -4 4- e A =[ �1 - i -T ] cuyo polinomio característico es: (5e-T - 4 - A) ( l - A) + 4 - 4 e - T = ¡A - .U¡ 5e-T - 4 - A - 5e-TA + 4A + A 2 + 4 - 4e-T = A 2 + (3 - 5e-T ) A + e-T = que coincide con la ecuación obtenida anteriormente. Sus raíces son los valores propios de la matriz A y los polos del sistema. Así, por ejemplo: Al = -0,8273 Si T = 1,05 =} { A2 = -0,4229 y Si T = 1,10 =} { Al2 = -1,0041 A = -0,3315 °
  • 8 8. 1 . S olu ción de la ecu a ción discreta de esta do Introducción Al igual que en el caso del estudio de la ecuación de estado continuo, en el caso discreto se trata de encontrar una solución para la ecuación discreta de estado para sistemas lineales, que, como se ya se ha visto, se expresa de la forma: x(k + = 1) A(k)x(k) + B (k)u(k) (8.1) De la misma manera que en el caso continuo, el estudio de la resolución de esta ecuación se aborda en dos etapas; en primer lugar, se halla la solución de la ecuación homogénea, para la cual las entradas se anulan, por lo que se obtiene la evolución libre del sistema desde su estado inicial. A continuación, se considera la ecuación completa, para la que ya se tiene en cuenta la acción de las entradas sobre el sistema a la hora de calcular la evolución del estado. 8.2. Solución de la ecuación homogénea . Matriz de tran­ sición Como ya se ha anticipado, la ecuación homogénea es la misma que 8.1 , para la que se han anulado las entradas, es decir: x(k + = 1) A(k)x(k) 365 (8.2)
  • 366 CAPÍTULO 8. = SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DISCRETA DE ESTADO x(k) = <I>(xo, u(>.) , k, ko), y considerando que inicialmente el estado se encuentra en un estado Xo solución general de la ecuación discreta de estado es, como ya se vio: x(k) = <I>(xo , k, ko), x( ko). La (8.3) Teniendo en cuenta que se trata de la solución de la ecuación homogénea y que, por lo tanto, la entrada se supone nula en todo instante, la ecuación anterior queda: x(k) = <I>(k, ko)xo, (8.4) Del mismo modo, si se tiene en cuenta que la ecuación es lineal, hecho establecido por hipótesis, la solución formulada con la ecuación anterior debe adoptar la forma: (8.5) La matriz <I>(k, ko), como se vio en el capítulo anterior, se define como matriz de transición . 8.3. Propiedades de la matriz de transición (8.6) <I>(k + 1, ko)xo = A(k)<I>(k, ko)xo Como esta expresión se cumple para cualquier valor de Xo, se puede establecer que: <I>(k + 1, ko) = A(k)<I>(k, ko) (8.7) 1. Verifica la ecuación homogénea Sustituyendo 8.5 en la Ecuación 8.2 se tiene: Expresión que coincide con 8.2, comprobándose por lo tanto que la matriz de tran­ sición verifica la ecuación homogénea. 2. Identidad = <I>(ko, ko)xo Dado que la Ecuación 8.5 se verifica para todo k se ha de cumplir también para ko, es decir: <I>(ko, ko) = I Xo (8.8) Como esta expresión se ha de cumplir para todo estado inicial Xo, debe ser forzosamente: El estado para una determinada muestra m 2: k se puede obtener como: 3. Transitividad = x(m) <I>(m, k)x(k) (8.9) (8.10)
  • 8.4. Asimismo, partiendo del estado x(m), se puede calcular su valor para una muestra posterior l 2:: m como: CÁLCULO DE LA MATRIZ 367 TRANSICIÓN DE x(l) = <P(l, m)x(m) y (8. 1 1) componiendo las dos expresiones: x(l) = <P(I, m)<P(m, k)x(k) (8.12) Pero también se puede calcular este último estado partiendo del inicial x( k) me­ diante la expresión: x(l) = <P(l, k )x(k) (8. 13) Como esto es cierto para cualquier estado inicial y final, se debe cumplir entonces: <P(l, k) = <P(l, m)<P(m, k) (8. 14) 4. Inversión Dado un par de valores del estado (x(k) , x(m)), con k � m, por 8.5 se cumple que: x(m) = <P(m, k)x(k) Y (8. 15) Asimismo, si la matriz A(k) es invertible, utilizando 8.2 es posible calcular x(k) a partir de x( k + 1) generalizando: x(k) = <P(k, m)x(m) (8.16) con lo que, al hacer la composición de ambas expresiones, resulta: x(k) = <P(k, m)<P(m, k)x(k) (8. 17) Como esto se ha de cumplir para cualquier estado, se verifica que: 1 = <P(k, m)<P(m, k) 8.4. =? <P(m, k) = <P(k, m) - l (8. 18) Cálculo de la matriz de transición Existen diferentes métodos para calcular la matriz de transición, de entre los cuales se pasan a detallar los más significativos a continuación. 8 .4. 1 . Método iterat ivo Partiendo de la Ecuación 8.2, particularizada para la muestra inicial ka: x(ka + 1) = A(ka)x(ka) (8.19)
  • 368 CAPÍTULO 8 . SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DISCRETA DE ESTADO A(ko + l )x(ko + 1 ) = A(ko Los sucesivos valores del vector de estado se pueden calcular como: x(ko + 2) y x(k) - 2) · . A(ko + l )A(ko)x(ko ) + A(k - l)A(k (8.20) (8.21) + l)A(ko)x(ko ) . = A ( k - l )A(k - 2) · · · A(ko l)A(ko ) por lo que en el caso de que el sistema sea además invariante: <T>(k, ko) = A por lo tantol: <T>(k, ko) k - ka 8.4.2. (8.22) Método de la matriz fundamental de soluciones y Partiendo de la Ecuación homogénea 8.2, suponiendo que A(k) es invertible para cualquier valor de k, sea x l (k) , x2 (k) , . . . , xn (k) un conjunto de soluciones de la ecuación homogénea para distintas condiciones iniciales, expresadas por el superíndice: X l (k) x 2 (k) <T>(k, kO)x l (ko) <T>(k, kO)x2 (ko ) (8.23) Si se supone que dicho conjunto de soluciones cumple además con la propiedad de ser vectores linealmente independientes para cualquier valor del subíndice k, se le denomina conjunto fundamental de soluciones. La demostración de que si para cualquier valor de k, A(k) es invertible los esta­ dos x l (ko ) , X2 (ko ) ,n. . . , xn (ko ) son linealmente independientes, entonces también lo son x l (k) , x2 (k) , . . . , x (k), se refiere a continuación: Se parte de la hipótesis contraria, es decir, de suponer que existe una tupla de números a l , a 2 , . . . , an =1- O tales que: y = == a l x l (k) + a 2 x 2 (k) + . . . + a n x n (k) O <T>(k, ka) (a l x l (ko ) + a 2 x 2 (ko ) + . . . + an x n (ko)) (8.24) l De esta expresión e s fácil comprobar que s i la matriz A(k) e s invertible , lo e s asimismo la matriz de transición <I>(k, ka ) , propiedad que ha sido aludida sin demostración anteriormente. y como: (8.25)
  • 8.4. CÁLCULO DE LA MATRIZ DE 369 TRANSICIÓN entonces <I>(k, ko) tiene un valor propio nulo y, por tanto, es no invertible, lo que se contradice con la hipótesis de partida de que A(k) es invertible. Partiendo de los elementos de este conjunto, se construye la matriz: (8.26) que se denomina matriz fundamental de soluciones. La matriz fundamental de soluciones cumple con la Ecuación homogénea 8.2, al ser sus columnas vectores solución de dicha ecuación: = (8.27) X(k) <I>(k, ko)X(ko) (8.28) X(k + 1) A(k)X(k) = Cumple también con la expresión de la ecuación homogénea, por el mismo motivo: y además es invertible, puesto que por hipótesis sus columnas son linealmente indepen­ dientes. Contando con estas propiedades se puede calcular la matriz de transición, partiendo de la Ecuación 8 . 28 y despejando del segundo término: = Ejemplo 8 . 1 <I>(k, ko) X(k)X(ko) - 1 (k + 1) [ XXl2 (k + 1) ] [ � Dado el sistema : k+1 1 (8.29) (k) ] [ xXl2 (k) ] se toman como valores iniciales: y y entonces: a partir de x2 (O) se obtiene la secuencia : [ � 1 ' [ : 1 ' [ � 1 ' [ � 1 ' [ 0 1 o> [ ti) 1 k(k
  • 370 CAPÍTULO 8. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DISCRETA DE ESTADO con lo que: y X(k) = [� i k(k 1) 1 X(O) 1 dado q ue: = entonces es: 8.4.3. Método de diagonalización de Jordan Como ya se ha comprobado, para un sistema lineal e invariante, la matriz de transición se puede calcular como: k ka = <p(k, ka) A - (8.30) Al igual que en el caso de sistemas continuos, una forma sencilla de calcular la expo­ nencial de la matriz A es encontrar una transformación que la diagonalice en cajas de Jordan, resultando una matriz J : (8 . 31) de forma que se cumple que: = <p(k, ka) A k - ka 8.4.4. = TJ k - ka T - 1 (8 . 32) Método de Cayley- Hamilton Este método se basa en el teorema de Cayley-Hamilton, que dice que toda matriz verifica su propia ecuación característica. Como conclusión directa se tiene que si A es de dimensión n, entonces toda potencia de A de grado superior o igual a n se puede poner en función de las sucesivas potencias de A hasta el grado n - l o Por tanto, si F(A) es una función cualquiera que admite un desarrollo en serie de Taylor, entonces existe un polinomio R(A) de grado n - 1 tal que: = <p(k, ka) A - = F(A, k - ka) (8.34) Dividiendo ahora F( :A , k - ka) por el polinomio característico P(:A), de orden n, resulta F(A) R(A) (8 . 33) Se parte nuevamente del caso en que el sistema es lineal e invariante, por lo que se cumple la expresión: k ka = la expresión: = F( :A , k - ka) Q ( :A , k - ka)P( :A ) + R( :A , k - ka) (8.35)
  • 8.4. 371 CÁLCULO DE LA MATRlZ DE TRANSICIÓN donde R()", k - ko ) representa el resto de la división, de orden n - 1 , y tiene una expresión: R()", k - ko ) = n- l L ri (k - ko) ..i i =O (8.36) Dado que tanto los valores propios de la matriz A como ella misma cumplen la expresión del polinomio característico: se cumple entonces que: P().. i ) = O P(A) = O (8.37) (8.38) F (A, k - ko ) = R(A, k - ko ) (8.39) lo que indica que la matriz de transición se puede encontrar mediante una expresión polinómica de orden n - 1 de la matriz A. Para calcular los coeficientes de dicha expresión basta observar que la Ecuación 8.39 también la cumplen los valores propios de la matriz A, de donde se puede obtener un sistema de n ecuaciones (una por cada valor propio ) con n incógnitas (los coeficientes del polinomio R().. i , k - ko ) ) : (8.40) Si )..i es raíz de multiplicidad mi de la ecuación característica, entonces también es raíz de las mi - 1 primeras derivadas de ésta, y se verifica: Ejemplo 8 . 2 di F ().. , k - ko) d)"). I A=Ai = di R().. , k - ko ) d)") I A=Ai de manera que también se obtienen n ecuaciones con n incógnitas. Dado el sistema cuya matriz A es: entonces su ecuación característica es: y por tanto: det[)"I - Al = ).. ( ).. - 7) + 10 = O (8.41 )
  • 372 CAPÍTULO 8 . SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DISCRETA DE ESTADO Por ser la matriz A de grado 2, cualquier potencia suya se puede igualar a la expresión: Ak = aaI + a l A y puesto que debe cumplir dicha ecuación sus valores propios: � con lo que: y 8 .4 . 5 . aa = (5 2k _ 2 5k) 1 a l = - (5 k - 2 k ) 3 siendo: Método d e l a matriz resolvente En el caso de que el sistema sea lineal e invariante se cumple que: ct>(k , ka ) = ct>(k - ka) = A k - ko = (8.42) Si se establece la hipótesis de que ka = 0, entonces es: fe ct>(k, O) Ak (8.43) Dada esta expresión se comprueba que se cumple: [A k] = z(zI - A) - l (8.44) o, lo que es lo mismo, la matriz de transición puede calcularse como: (8.45)
  • 8.4. 373 CÁLCULO DE LA MATRlZ DE TRANSICIÓN z fZ [Ak ] = ¿ Ak z- k = 1 + Az-1 + A2 Z - 2 + A3 z -3 + . . . (8.46) k=O Premultiplicando en ambos miembros de la expresión por A z-1, y restando la expre­ Para demostrar que la anterior expresión es cierta, se parte de la definición de la transformada de una secuencia: 00 sión inicial menos la multiplicada queda: de donde resulta inmediato: (8.48) Ejemplo 8 . 3 y antitransformando: Dada la matriz: A = [ _ l� se calcula la matriz resolvente como: y (zI - A ) (zI - A ) -l por tanto: z [ 10 �] -1 z-7 ] 1 Z-7 1 z2 - 7z + 10 [ -10 z ] Ak = fZ -1 { Z 2 _ :z + 1O [ z_� ; Hallando la antitransformada de cada término: � ]}
  • 3 74 CAPÍTULO SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DISCRETA DE ESTADO 8. lOz [ z2 --7z + 12 ] = _ 1O [5k _ 2k 3 ] = �3 2k 1 _ �3 5k+l !& - l [ z 2 - 7z + 12 !& - l ] + Z Por lo que la matriz de transición queda: 8.5. S olución de la ecuación completa Resuelto el problema de la ecuación homogénea, el estudio ahora se centra en resolver la ecuación completa, para la cual las entradas no son nulas, con lo que la expresión de dicha ecuación en diferencias es: x(k + 1) = A(k)x(k) (8.49) + B ( k )u( k) Para resolver este problema, se parte de la matriz de transición, solución de la ecuación homogénea, cJI (k, ko ) . Se tiene entonces, que la solución de la ecuación completa se puede encontrar según la expresión: x(k) = cJI (k, ko )x(ko ) + k- l L cJI (k, l + I ) B (l) u ( l) (8.50) 0= (8.51) Para demostrar que la Ecuación 8.50 es realmente la solución de la ecuación comple­ ta se puede aplicar el método de inducción. Se comienza por comprobar que es válida particularizando para k = ko , y luego se supone que se cumple para un valor genérico de k y se comprueba que se cumple para k + 1. • l=ko Comprobación para k = ko x(ko ) • = cJI (ko , ko )x(ko ) + x(ko ) Comprobación para k + 1 Supuesta la expresión cierta para k, la expresión de x(k) se sustituye en la ecuación completa: x(H 1) = � [ A(k) 'P (k, ko )x(ko ) A(k)cJI(k, ko )x(ko ) + + A(k) ¡� k- l 'P (k, 1 1 + 1 ) B (l)u( l) + B ( k )u( k) L cJI (k, l + I )B ( l )u( l) + B (k)u( k) l= ko � =
  • 375 8.6. EJERCICIOS RESUELTOS k- l k = <I>(k + 1 , ko) x (ko) + L <I>(k + 1, 1 + l )B( l)u(l ) + L <I>(k + 1 , 1 + 1 ) B(l)u(l) = l=ko l=k , 1 ... k = <I> (k + 1 , ko) x (ko) + L <I> (k + 1, 1 + l )B( l ) u(l ) (8.52) l=ko Para el caso de sistemas invariantes, la Ecuación 8.50 .se convierte en: k- l x (k) = A k - ko x (ko) + L A k - l -1 Bu(l) l=ko Si además se considera como muestra inicial ko = O, se obtiene: k- l x (k) = A k x (O) + L A k - 1 -1 Bu( l ) 1 =0 Aplicando transformada z a esta expresión, y teniendo en cuenta (8.53) (8.54) que el segundo término es una convolución, queda: X( z ) X( z) 8.6. = = fZ' [A k x(O)] + fZ' [� A k - l -1 B U (l) l z ( zI - A) - lx ( O) + fZ' [A k - l ] fZ' [Bu( l ) ] z ( zI - A) - lx ( O) + z - lz ( zI - A) - lBU ( z ) z ( zI - A) - lX ( O) + ( zI - A ) - lBU(z) (8.55) Ej ercicios resueltos 1. Dado el sistema lineal discreto definido por las matrices: obtener las tres primeras muestras del estado y el estado inicial es: y de la salida cuando la entrada es: {u (k) } = { 2, 1, 1 } x(O) = [�]
  • 376 CAPÍTULO 8. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DISCRETA DE ESTADO La evolución del estado viene dada por la expresión: x(k) = <I> (k, ko)x(ko) + k- l L <I> (k, l + l) B ( l )u( l ) l = ko Ak - ko . Sustituyendo en la expresión anterior: k- l x(k) = Akx(O) + L A k - l - l Bu( l ) 1 =0 Es necesario calcular las potencias de la matriz A, siendo éstas: donde ko = O y <I> (k, ko) = Así, para k = para k = o: x(O) = 1: [�] [ � _ � ] [ � ] + t, A1 -1- 1 [ - � ] u(l ) x(l) = [ � ] + [ � � ] [ - � ] 2 = [ � ] + [ - ; ] = [ - ; ] para k = 2: x(2) x(l) = [ _ � -! ] [ � ] + t, A2-1-1 [ - � ] u(l ) = [ _ � ] + A1 [ - � ] u(O) + Ao [ - � ] u(l) = [ _� ] + [ � _ � ] [ - � ] 2 + [ � � ] [ - � ] 1 = [ - � ] + [ -� ] + [ - � ] = [ -1� ] { [ � ] , [ - ; ] , [ -1� ] } Con lo que la secuencia de estados queda: {x(k) } =
  • 8.6. 377 EJERCICIOS RESUELTOS Siendo la salida: Para k = O: para k = 1: para k = 2: y (k) = [ 1 -1 ] x ( k ) + [3]u (k) y (O) = 1 + 6 = 7 y (1) = -2 - 5 + 3 = -4 y (2) = 4 + 10 + 3 = 17 Por lo que l a secuencia de valores de l a salida es: {y ( k)} = { 7, -4 , 17 }
  • 9 9. 1 . Co n t ro l d i sc reto por rea I i m e n ta c i ó n d e l esta d o Controlabilidad Los objetivos que se plantean con el análisis de controlabilidad en sistemas discretos son los mismos que para los sistemas continuos. Lo que se busca es conocer en qué sistemas es posible transferir el estado o la salida de un punto a otro de sus respectivos espacios en un número finito de elementos de sus secuencias. De la misma manera se desea conocer, en el caso de no poder alcanzar cualquier punto, cuáles son los puntos alcanzables a partir de uno dado. Como tercer objetivo se pretende el análisis de controlabilidad de los sistemas multivariables. Los conceptos de controlabilidad, tando del estado como de la salida de sistemas discretos, son semejantes a los de los sistemas continuos, con la salvedad de que en vez del tiempo interviene el número de elementos de las secuencias. Esta diferencia intro­ duce cambios radicales en el planteamiento de la controlabilidad del sistema, puesto que, por la propiedad de densidad, en una señal continua se puede incluir una información teóricamente infinita, mientras que en una secuencia la cantidad de información codifi­ cable es limitada; este hecho impone restricciones adicionales a la hora de establecer la controlabilidad de un sistema discreto. Partiendo de estos conceptos, se pueden establecer las definiciones pertinentes, rela­ tivas a la controlabilidad: 379
  • 380 CAPÍTULO • 9. CONTROL DISCRETO POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO Controlabilidad en un intervalo Se dice que un punto del espacio de estados Xl de un sistema discreto es contro­ lable en [ko , kl l si existe una secuencia de entrada, u(ko ) ' u(ko + 1 ) , . . . , u(kl - 1 ) , tal que transfiera e l estado del sistema desde cualquier punto Xo de índice ko a Xl de índice kl . • Controlabilidad en cualquier intervalo Se dice que un punto del espacio de estado Xl de un sistema discreto es con­ trolable si, partiendo de cualquier estado inicial Xo de un índice cualquiera ko , existe una secuencfa de entrada u(ko ) , u(ko + 1 ) , · . . , u(kl - 1 ) que transfiera el sistema al estado xl (kl ) de índice kl finito. Estos conceptos se amplían a los de controlabilidad del sistema discreto en [ko , kl l y controlabilidad del sistema cuando todos los puntos del espacio de estados lo son. De la misma manera, se define la controlabilidad de la salida aplicando los conceptos anteriores a puntos del espacio de salidas en vez de puntos del espacio de estados. 9.2. Controlabilidad e n sistemas discretos lineales Al igual que en los sistemas continuos, el estudio de la controlabilidad de los sistemas discretos lineales se puede reducir al estudio de los puntos alcanzables desde el estado inicial nulo, dada la linealidad del sistema planteada por hipótesis. En efecto, partiendo de la expresión: x(k ¡ ) = cp (kl , ko)xo (ko ) + kl - l L cp (kl , l + l ) B (l )u(l) l=ko (9. 1) se observa que el cambio ep. el vector de estado es equivalente al que se obtiene al transferir el estado desde un valor inicial nulo al valor final: (9.2) con lo que, a partir del estado inicial nulo, los puntos alcanzables vienen dados por la expresión: kl - l x(kl ) = (9.3) cp (k1 . l + l ) B (l )u(l) L l=ko
  • 9.2. 381 CONTROLABILIDAD EN SISTEMAS DISCRETOS LINEALES La controlabilidad del sistema depende entonces exclusivamente de las matrices <l>(k, ka) y B(k) ; como, a su vez, la matriz <l>(k, ka) depende únicamente de la matriz A(k), se puede establecer que la controlabilidad depende de A(k) y B(k). El criterio de controlabilidad para los sistemas discretos lineales se formula de manera muy similar al establecido para los sistemas continuos: Dado el sistema discreto cuya ecuación de estado se expresa como: x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k) (9.4) es controlable en [ka , k 1 l si y sólo si la matriz denominada gramiano discreto de controlabilidad y definida como: W(k 1 , ka) = k - l 1 :L <l>(kl , l + 1)B(l)BT (l)<l>T (k1 , 1 + 1) l=ko (9.5) es no singular. La demostración de este criterio sigue los mismos pasos que la del criterio análogo formulado para los sistemas continuos. • Condición suficiente Si la matriz W(k 1 , ka) es no singular, para un estado final X l cualquiera existe una entrada: (9.6) que transfiere al sistema desde el estado inicial nulo al estado X l en k1 muestras, ya que: x(k¡ ) k1 - 1 L <l>(k1 , 1 + l)B(l)u(l) l=ko (9.7) • Condición necesaria Si W (k l , ka) es singular, debe existir un vector v no nulo tal que: por tanto: k - vTW(k1 , ka)v = O l 1 L vT<l>(kl , l + 1)B(l)BT (1)<l>T (k1 , 1 + l)v = O l=ko (9.8)
  • 382 CAPÍTULO CONTROL DISCRETO POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO 9. por lo que para ka ::; l ::; k1 - 1 se cumple: vTq, (k l , l + l)B(l) = O (9.9) Así pues, para cualquier entrada U(k): vT kl - 1 L q,(k1 , l + l)B(l)u(l) = vTx(k1 ) = O l= ko (9. 10) Lo que supone que, sea cual sea el valor que alcance el estado, existe un vector respecto al cual siempre es ortogonal, por lo que no se pueden alcanzar todos los puntos del espacio de estado; por lo tanto el sistema no es controlable. Al igual que en sistemas continuos, si las matrices q, o B son de coeficientes complejos para que la expresión 9.9 se siga verificando, hay que tomar en 9.5 las matrices conjugadas de las transpuestas en lugar de las transpuestas. 9.3. Controlabilidad e n sistemas discretos lineales in­ variantes El criterio utilizado para determinar la controlabilidad en el caso de sistemas discretos lineales e invariantes es idéntico al utilizado para los sistemas continuos con las mismas características . Dado el sistema discreto de dimensión n cuya ecuación de estado se expresa como: x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) (9.11) es controlable s i y sólo s i la matriz de controlabilidad definida como: (9.12) es de rango n. Al igual que en el caso continuo, la demostración de este criterio pasa por probar que es necesaria y suficiente. • Condición necesaria La prueba consiste en demostrar que si el par (A, B) es controlable, es imprescin­ dible que Q tenga n vectores columna linealmente independientes. Suponiendo que se parte de un estado inicial nulo: x(k) = k- l L q,(k, l + l)Bu(l) = l= ko
  • 9.3 . CONTROLABILIDAD EN SISTEMAS DISCRETOS LINEALES INVARIANTES = Ak - kO - 1 Bu(ko ) + A k - kO -2 Bu(ko + 1 ) + . . · + ABu(k - 2) + Bu(k - 1) 383 (9.13) y teniendo en cuenta el teorema de Cayley-Hamilton: (9.14) con lo que se demuestra que el estado para la muestra k se puede obtener como combinación lineal de los vectores columna de la matriz Q; por lo tanto, es imposi­ ble alcanzar cualquier punto del espacio de estado si no existen al menos n vectores columna linealmente independientes dentro de dicha matriz. Si no se pueden al­ canzar todos los puntos del espacio de estado, es evidente que, por definición, el sistema no es controlable. • Condición suficiente La demostración de esta condición de suficiencia es inmediata, puesto que partiendo de la expresión: x(ko + n) = An - l Bu(ko) + An - 2 Bu(ko + 1) + . . . + ABu(n - 2) + Bu(n - 1) (9. 15) y suponiendo que en la matriz Q existen n vectores columna linealmente indepen­ dientes, es posible elegir la secuencia de entrada {u(ko) , u(ko + 1) , · · · , u(n - 1)}, para que e l estado en e l elemento de l a secuencia k + n tome cualquier valor dentro del espacio de estado. Como puede observarse, al hecho de que el sistema sea o no controlable, hay que añadir el número de elementos de la secuencia de entrada para el que puede alcanzarse el estado deseado. Éste es uno de los puntos fundamentales de diferencia entre el comportamiento de los sistemas discretos respecto a los sistemas continuos. En estos últimos, el sistema es o no controlable, con independencia del tiempo disponible para transferir el estado desde su valor inicial al final; mientras que, en el caso discreto, se condiciona la controlabilidad a disponer del número de elementos de la secuencia de entrada necesarios para conseguir alcanzar el estado deseado. Este número de elementos de la secuencia de entrada es finito para cualquier sistema controlable, pero tiene un mínimo, por debajo del cual no se puede garantizar la transferencia entre los valores del estado. Este mínimo de elementos de la secuencia de entrada será el menor i que verifique que la matriz: (9.16) tenga rango n. Subespacio controlable De la demostración, y al igual que sucede en el caso de sistemas continuos, se puede observar fácilmente que la dimensión del subespacio controlable (cuya definición coincide
  • 384 CAPÍTULO 9. CONTROL DISCRETO POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO asimismo con la del caso continuo) , se obtiene también como el número de columnas linealmente independientes de la matriz Q, es decir, como el rango de dicha matriz. De otra parte, y dada la evidente dualidad entre las conclusiones obtenidas en el estudio de los sistemas discretos en relación con los continuos, se puede establecer que el subespacio controlable atiende en ambos casos al mismo comportamiento, tanto en la forma de la obtención de su base como en su invarianza ante transformaciones en la representación del estado, al ser una propiedad intrínseca del sistema. 9.4. Controlabilidad d e l a salida Al igual que viene ocurriendo con el estudio de otras propiedades de los sistemas con­ tinuos y discretos, la controlabilidad de la salida de estos últimos sigue manteniendo una clara semejanza con la estudiada para los sistemas continuos. Así, en el caso de sistemas discretos lineales, se establece el criterio: Dado el sistema discreto lineal de dimensión n definido por las ecuaciones: x(k + 1) y(k) A(k)x(k) + B(k)u(k) C (k)x(k) (9. 17) (9. 18) entonces la salida es controlable en [ko, k 1 l si y sólo si la matriz denominada gramiano de controlabilidad de la salida y definida como: Wc (k 1 , ko ) = kl - 1 L C(kd<'J?(k1 , l + l)B(l)BT (l)<'J?T (kl , l + l ) CT (kd l= ko (9.19) es no singular. Para realizar la demostración de la efectividad de este criterio, basta con expresar la salida en función de la entrada, suponiendo que se parte de salida inicial nula: y(kd = k1 - 1 L C(kd<'J?(k1 , l + 1)B(l)BT (l)<'J?T (k1 , l + 1 ) CT (k1 ) l= ko (9.20) y comparar esta expresión con la Ecuación 9.3 del estado en función de la entrada. Si alguna de las matrices del sistema es de coeficientes complejos, igual que en casos anteriores, en la Ecuación 9. 19 hay que tomar las matrices conjugadas de las transpuestas en lugar de las transpuestas. Caso lineal e invariante En el caso de que el sistema discreto sea lineal e invariante, el criterio para estudiar la controlabilidad de la salida se formula exactamente igual a como se hace para el caso continuo:
  • 9.5. 385 OBSERVABILIDAD Dado el sistema discreto lineal e invariante de dimensión n definido por las ecuaciones: Ax(k) + Bu(k) Cx(k) x(k + 1) y(k) con espacio de salida de dimensión p, entonces la salida es controlable si si la matriz definida como: es de rango p. Qc = [ CB CAB CA 2 B y sólo (9.21) Para demostrar este criterio, basta con tener en cuenta que multiplicando por la izquierda por la matriz' C las Ecuaciones 9.14 y 9.15 se obtiene la salida en función de las matrices CB, CAB, ' " , CA n - l B. 9.5. o bservabilidad El análisis de observabilidad de sistemas discretos tiene los mismos objetivos que en sistemas continuos. Teniendo en cuenta que el estado define el comportamiento del sistema, pero que en muchas ocasiones resulta inaccesible, se plantea como problema el calcular éste a partir del conocimiento del comportamiento externo del sistema. Dado que la evolución del sistem.a, conocidas sus ecuaciones, depende del estado inicial y de la entrada, el objetivo será conoc,er ' en qué sistemas es posible determinar su estado inicial a partir de su entrada y su sali d� . . Al igual que en sistemas éoÍlÜnuos, los otros dos puntos de interés en este análisis serán, por una parte, determinar cuáles son ' las variables de estado que no influyen sobre '' la salida, no determinables pués me(Ii�tJ �I conocimiento de ésta, y, por otra, en sistemas con varias salidas, determinar cuáÍes de'. ellas son necesarias para deducir el estado del ' . .' l sistema. El concepto de observabilidad en 'sistemas discretos viene determinado por las siguien­ tes definiciones: ' " > Se dice que un punto del espacio de estado de un sistema discreto es observable en [ko , k l ] si el conocimiento de las secuencias de entrada u(k) y de salida y(k), para ko ::; k ::; k l , permite determinar , el estado inicial Xo de índice ko . La observabilidad de un punto en cualquier instante como: Se dice que un punto del espacio de estado de un sistema discreto Xo es observa­ ble si, para todo índice inicial ko , exist'e un índice k1 finito tal que el conocimiento de las secuencias de entrada u( k) y de salida y( k), para ko ::; k ::; k l , permite determinar el estado inicial Xo de índice ko .
  • 386 CAPÍTULO 9. CONTROL DISCRETO POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO Como en todos los casos anteriores, estos conceptos se extienden a los de observa­ bilidad del sistema discreto en [ko , k 1 l y de observabilidad del sistema cuando todos los puntos del espacio de estado lo son. 9.6. Observabilidad e n sistemas discretos lineales Para determinar bajo qué condiciones se puede obtener el estado inicial, conociendo las secuencias de entrada y salida, se parte de la ecuación de la salida: y(k) = C (k)x(k) + D(k)u(k) con: x(k) = cp (k, ko)xo (ko ) + k-l L cp (k, l + l)B(l)u(l) l=ko (9.22) (9.23) Al igual que en los sistemas continuos, este análisis se puede reducir al caso de entrada nula, ya que conocidas la entrada y la salida se puede formar una nueva salida que cumpla: y (k) y(k) - C (k) k-l L cp (k, l + l)B(l)u(l) - D(k)u(k) l=ko = C (k) cp (k, ko)xo (ko) (9.24) Estas dos salidas coinciden si la entrada en el intervalo considerado es nula; de hecho se puede demostrar que la posibilidad de conocer el estado a partir de la entrada y de la salida es independiente de cuál sea la entrada, por lo que por comodidad se puede elegir, para realizar el estudio, una entrada nula. La observabilidad del sistema vuelve a depender, por tanto, únicamente de las matri­ ces cP y C; la observabilidad será, pues, función de las matrices A y C. E l caso trivial d e observabilidad será, asimismo, cuando l a matriz C sea d e dimensión n x n y no singular Vk, ya que entonces, ante entrada nula: x(k) = C - 1 y(k) (9.25) y si C es no singular para un determinado ks : (9.26) y para todo índice k: (9.27) El caso general de observabilidad se puede determinar por el siguiente criterio:
  • 9.6. OBSERVABILIDAD EN SISTEMAS DISCRETOS LINEALES 387 Dado un sistema discreto lineal con una representación de estado: A(k)x(k) + B (k)u(k) C (k)x(k) + D(k)u(k) x(k + 1) y(k) entonces es observable en [ko , k 1 l si observabilidad y definida como: V(k 1 , ko) = y (9.28) (9.29) sólo si la matriz denominada gramiano de kl L cI> T (l , kO)C T (l) C (l) cI> (l , ko) (9. 3 0) l=ko es no singular. Para demostrar la validez de este criterio, hay que probar que es necesario y suficiente: • Condición suficiente La prueba de que el cumplimiento del criterio es condición suficiente es inmediata, pues si la matriz V(k1 , ko) es invertible, entonces: L cI>T (l , kO)C T (l)y(l) k1 l=ko C� ) ;¡;T (1 , ko) C T (I)e( l);¡;( 1 , ko) Xo V(k 1 , ko)xo y por lo tanto: Xo • = V- 1 (kl , ko ) L cI>T (l, ko)CT (l)y(l) (9.3 1 ) k1 (9.32) l= ko Condición necesaria La prueba de que es también condición necesaria parte de que V (k 1 , ko) es singular, por lo que existe un vector Xo distinto de cero que verifica: X6V(k 1 , ko)xo = O y por lo tanto: = kl (9.33) = L x6 cI> T (l, kO)C T (l) C (l) cI> (l , ko)xo L II C (l) cI> (l , ko)xo l 1 2 O k1 l=ko l=ko (9.34) y puesto que es un sumatorio de términos mayores o iguales que cero Vl, ko � l � k1 : (9.35) C (l) cI> (l , ko)xo = O o, lo que es lo mismo, partiendo del estado inicial Xo , la evolución libre del sistema, su evolución ante entrada nula, es también nula, por lo que no es posible distinguir mediante la observación de la salida entre el estado inicial nulo y el estado inicial xo ·
  • Al igual que en los sistemas continuos, si las matrices el> o C son de coeficientes com­ plejos, se deben utilizar en la Ecuación 9.30 las matrices conjugadas de las transpuestas, en lugar de las transpuestas. Si el sistema no es observable, existen puntos que producen salida nula en el intervalo [ka , k 1 l ante entrada nula, puntos que se denominan no-observables. El resto de los puntos del espacio no son observables, puesto que cualquiera de ellos produce la misma salida que su suma con un punto no observable, por linealidad, por lo que no se puede distinguir entre ellos. La existencia de estos puntos que, tomados como estado inicial, producen una res­ puesta libre del sistema nula, llevan de manera semejante a los sistemas continuos a las siguientes definiciones: CAPÍTULO 388 CONTROL DISCRETO POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO 9. Se dice que un punto del espacio de estado Xa es no observable en [ka , k 1 l si la respuesta del sistema ante entrada nula y estado inicial Xa es idénticamente nula para ka :S k :S k 1 · Un punto del espacio de estado Xa es no observable si la respuesta del sistema ante entrada nula y estado inicial Xa es idénticamente nula. 9 . 7. Observabilidad en sistemas discretos lineales in­ variantes El criterio para determinar la observabilidad de los sistemas discretos lineales inva­ riantes se puede enunciar de la siguiente manera: Dado un sistema discreto lineal invariante con una representación de estado: Ax(k) + Bu(k) Cx(k) + Du(k) x(k + 1) y(k) entonces es observable si y • n. Condición suficiente [ c� 1 sólo si la matriz P definida como: P es de rango = (9.36) (9.37) (9.38) CA n - 1 La condición impuesta por el criterio es suficiente, ya que si el rango de la matriz
  • 9.7. OBSERVABILIDAD EN SISTEMAS DISCRETOS LINEALES INVARIANTES P 389 es n, entonces de: y(ko ) y(ko + 1 ) CXo CAxo (9.39) y(ko + n - 1 ) se pueden seleccionar n ecuaciones linealmente independientes y, a partir de ellas, determinar cuál es el estado xo . • Condición necesaria = Si la matriz P es de rango menor que n, existe un vector Xo no nulo que cumple: PXo O (9.40) ecuación que, al compararla con las Ecuaciones 9.39, indica que el vector de salida es nulo para (ko , ko + 1 , " . , ko + n - 1 ) .n� l para todo índice l la matriz CAl es Como combinación lineal de (C, CA, . . . , CA ) , entonces: (9.41) y, por tanto, Xo será no-observable. La observabilidad del sistema también está condicionada al número de elementos de la secuencia de salida disponibles, necesitándose como máximo n elementos y como mínimo el menor valor de i que verifique que la matriz: (9.42) sea de rango n. Si se define el subespacio no-observable como el conjunto de puntos no-observables, se llega, al igual que para los sistemas continuos, a que dicho sub espacio está generado por el núcleo de la aplicación definida por la matriz P, cuya dimensión será por tanto n - donde es el rango de P. Como sucede también en el caso continuo, la observabilidad es una propiedad in­ trínseca del sistema, de forma que no se ve afectada por la representación del estado elegida. De esta forma se garantiza que, aunque dicha representación se vea sometida a una transformación lineal, la observabilidad del sistema seguirá siendo la misma. r, r
  • 390 9.8. CAPÍTULO 9. CONTROL DISCRETO POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO Controlabilidad y observabilidad en sist emas mues­ treados Se analizan en este apartado las propiedades de controlabilidad y observabilidad del sistema discreto equivalente a un sistema muestreado, es decir, un sistema continuo, como el de la Figura 9. 1 , cuyas entradas Ui (k) provienen del bloqueo de secuencias {Ui (k) } y cuyas salidas Yi (t) se muestrean obteniéndose las secuencias de salida { Yi (k) } . (A , B , C ) Figura 9. 1 : Sistema muestreado. Resulta inmediato en este tipo de sistemas deducir que si el sistema continuo no es controlable o no es observable, el discreto equivalente tampoco lo será. Por una parte, si el sistema continuo es no-observable, no será posible conseguir algún determinado estado con ninguna entrada u(t) = (U l (t) , U2 (t) , ' " , um (t))T , y en particular con ninguna entrada procedente del bloqueo de u(k) = (u l (k) , u2 (k) , ' " , um (k))T. Por otra parte, si el conocimiento de la salida y( t) = (Yl (t) , Y2 (t) , . . (t)) T a lo largo del tiempo no permite determinar el estado inicial del sistema, tampoco lo permitirá el conocimiento de estas señales en los instantes de muestreo y(k) = ( Yl (k) , Y2 (k) , · · · , Yp (k))T . En cambio, dependiendo del período de muestreo T , se puede dar el caso de que el sistema continuo sea controlable u observable, mientras que el discreto equivalente no lo sea. La aparición de estos casos es natural, ya que, por una parte, el conjunto de las posibles entradas al sistema continuo se restringe a las procedentes de bloqueo, siendo pues menores las posibilidades de controlar el sistema. Por otra parte, en el proceso de muestreo de las salidas si, como es frecuente, no se verifican las condiciones del teorema de muestreo, existe pérdida de información y la posibilidad de que dicha información perdida resulte necesaria para la determinación del estado inicial, no resultando obser­ vable el sistema equivalente. . , yP
  • Ejemplo 9 . 1 9.8. CONTROLABILIDAD y OBSERVABILIDAD EN SISTEMAS MUESTREADOS Dado el sistema continuo: G(s) - S2 w W2 _ + con representación de estado en variables de fase: [ _�2 � ] x(t) [ � ] U(t) [ W O ] x(t) y(t) es controlable y observable, ya que las dos matrices: p= [ � � ] x(t) + son de rango dos. En cambio, el sistema discreto equivalente: x(k + 1 ) y(t) <f> (T)x(k) + 9 (k)u(k) C (T)x(k) cos sin wT [ -w sinwT wcos wT ] wT T 9 (T) = { <f> (T _ >')B d>' = [ �2 -: cos wT) ] � sm wT Jo que, particularizadas para el período de muestreo T = 2: , toman los valores: 9 (T) [ � ] <f> (T) = � � ] [ tiene como matrices de sistema y entrada : <f> (T) 1. (1 = y por tanto: Q= [ � � ] p= [ � � ] es decir, que el sistema discreto equivalente no será ni controlable ni observable. 391
  • 392 CAPÍTULO 9.9. 9. CONTROL DISCRETO POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO Control de sistemas discretos por realimentación del estado El control de un sistema discreto mediante la realimentación de sus variables de estado es paralelo en todos sus métodos a los estudiados para sistemas continuos. Tal y como se ve en la Figura 9.2, dado un sistema discreto en su representación de estado, definido por sus matrices A, B y C, el objetivo es diseñar una matriz de realimentación constante K, de modo que el sistema total cumpla los objetivos de diseño planteados. {v(k) } { y (k) } Figura 9.2: Sistema discreto con realimentación del estado. Igual que en los sistemas continuos se cumple que: x(k + 1) y(k) Ax(k) + Bu(k) Cx(k) y mediante la inclusión del lazo de realimentación: u(k) x(k + 1) v(k) + Kx(k) Ax(k) + Bv(k) + BKx(k) [A + BK] x(k) + Bv(k) = = (9.43) (9.44) (9. 45) (9.46) por tanto, también la dinámica del sistema viene determinada por: Ar A + BK (9.47) Bajo las condiciones adecuadas de controlabilidad del sistema, también se podrán fijar aquí los valores propios de la matriz Ar , determinando los valores adecuados de la matriz K. Obviamente los objetivos de diseño serán distintos, ya que los valores propios que se buscan estarán en una región distinta de diseño dentro del círculo unidad, por motivos cuyo estudio se aborda en otros textos.
  • 393 9. 10. SISTEMAS MUESTREADOS DE CONTROL Teniendo en cuenta que tanto la matriz de controlabilidad: Q = [ B AB A2 � como la de observabilidad: p= (9.48) C CA CA 2 (9.49) CAn - 1 son las mismas que en sistemas continuos, las matrices de transformación y toda la metodología estudiada para aquellos sistemas es válida para el diseño de sistemas discre­ tos. 9. 10. Sistemas muestreados de control El caso que se plantea aquí es el común de los sistemas actuales de control, en el que se pretende controlar un sistema continuo mediante el uso de un computador, por naturaleza discreto. La configuración del sistema suele ser la que se indica en la Figura 9.3; el conjunto de variables de estado x(t) se muestrea con un período T mediante un convertidor analógico-digital, obteniéndose la secuencia discreta {x( k) } ; se multiplica por la matriz de constantes K; este vector se realimenta se compara con un vector de referencias; la diferencia se lleva mediante un bloqueador normalmente de orden cero, convertidor digital-analógico, a las variables de actuación del sistema u(t) . y y (t) Computador I nterfase Sistema continuo Figura 9.3: Sistema muestreado con realimentación del estado. El diseño se puede enfocar de dos maneras. Se puede considerar todo el sistema como continuo, diseñar la correspondiente matriz de realimentación K para dicho sistema
  • 394 CAPíTULO 9. CONTROL DISCRETO POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO continuo, con el fin de calcular un equivalente discreto de esta matriz. Este caso es inmediato, ya que, como la matriz K es constante, cualquier método de discretización da como resultado la misma matriz K . Este enfoque, como es sabido, únicamente es aproximado pues tanto en el proceso de muestreo como en el de reconstrucción hay siempre una pérdida de información. El otro enfoque del problema es calcular un equivalente discreto del sistema continuo, operación exacta sin pérdida de información, para hacer luego el diseño como sistema discreto. En el caso más sencillo en el que se pueda suponer que el tiempo de cálculo es nulo, reflejado en la Figura 9 . 4, se discretiza directamente el sistema continuo mediante el método estudiado en 7.6. e {v(k) } r.�--.. {y(k) } Figura 9.4: Sistema muestreado con tiempo de cálculo nulo. Discretizando se obtiene el sistema: x(k + 1 ) u(k) � (T)x(k) + 8 (T)u(k) v(k) + Kx(k) (9.50) (9.51) y realimentando mediante la matriz K de constantes se llega al sistema: x(k + 1) = � (T)x(k) + 8 (T)v(k) + 8 (T)Kx(k) (�(T) + 8(T)K) x(k) + 8v(k) = (9.52) en el que, como es sabido, si el sistema (�(T) , 8 (T)) es controlable, se pueden asignar libremente los polos del sistema. p(A) = I AI - �(T) - 8 (T)K I (9.53) Aunque con los sistemas actuales de cómputo lo normal sea despreciar el tiempo de cálculo, cabe dentro de lo posible que en algún sistema con período de muestreo muy bajo sea necesaria su consideración.
  • 395 9.10. SISTEMAS MUESTREADOS DE CONTROL y La suposición más sencilla es considerar un tiempo de cálculo igual al período de muestreo, equivalente a actuar sobre el sistema obtener sus medidas en el instante de muestreo, dedicando el tiempo entre muestra muestra para calcular la siguiente actuación sobre el sistema. En este caso el esquema es equivalente al de la Figura 9.5, donde el tiempo de cálculo se representa mediante un retraso Z - l . y �___ {v (k) } {y(k) } {w(k) } Figura 9 . 5: Sistema muestreado con tiempo de cálculo no nulo. Las ecuaciones de este nuevo sistema antes de realimentar (parte derecha de la Figura serían de la forma: 9.5) [ x(k + 1) w(k + 1 ) ] = [ <I> (T) OO ] [ w(k) ] + [ 8 O(T) ] u(k) X(k) 1 La matriz de controlabilidad, utilizando la notación forma: <1> = <I>(T) y 8 = 8 (T) , (9.54) es de la (9.55) n que coincide en sus primeras filas con la matriz de controlabilidad Q del sistema [<I> (T) , 8(T)] . Se puede sacar como conclusión que si el sistema sin retardo era controlable, el sub­ sistema controlable del sistema con retardo contiene al menos al sistema primitivo. Realimentando entonces con: u(k) = v (k) + [ O K ] [ x(k + 1 ) ] se obtiene el sistema total: w(k + 1) X(k) [ w(k) ] (9.56) (9.57)
  • 396 CAPÍTULO 9. y(k) = CONTROL DISCRETO POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO [ e o x(k) 1 w(k) [ ] (9.58) en el que, mediante la adecuada elección de la matriz K, se pueden ajustar los valores propios del sistema. En el caso más general se puede estudiar el comportamiento del sistema considerando un tiempo de cálculo AT, con O ::; A ::; 1 . Aunque este retardo se produce en la parte discreta del sistema, a la hora de su estudio puede resultar algo más sencillo considerar que el retardo se produce en la parte continua, como se muestra en la Figura 9.6, considerando u(k) x(k) en el instante de actuación w(k) en el de muestreo . y {v(k) } {u(k) } y . I I y(t) Figura 9.6: Sistema con retardo no múltiplo entero del tiempo de muestreo. En este caso, dado que: x(t) = el> (t, to)x(to) + se obtiene que: x(k + 1) w(k + 1 ) ¡ t el> (t, T)Bu(T)dT it o el> (T)X(k) + 8 (T)u(k) x ( (k + 1)T - AT) = el> ( (1 - A)T) x(k) + 8 ((1 - A)T) u(k) (9.59 ) (9.60) (9.61) por lo que el nuevo sistema antes de realimentar (parte derecha de la Figura 9.6) viene determinado por: O x(k X(k) [ w(k + 1) ] = [ el> ( (1el>(T)A)T) O ] [ w(k) ] + [ 8 ( (18 (T)A)T) ] u(k) + 1) - { el> ( ( 1 - A)T) = el>(T) } ==} w(k) = x(k) 8 ( ( 1 A)T) = (9.62) Obsérvese que para A = O se está en el primero de los casos estudiados: A = O ==} _ 8(T) (9.63)
  • 9.11. y {I <I> ( (1 - >')T) = 1O } � w(k + l ) = x(k) >')T) que para >. = 1 se está en el segundo de los casos: >. = 1 � y 397 EJERCICIOS RESUELTOS e ((l - (9.64) = La matriz de controlabilidad en este caso, utilizando como notación <I>).. = <I> (( 1 - >. )T) es de la forma: e).. = e ( ( l - >')T) , Q= e [ e).. <I>e <I> 2 e . . . <I> n- l e <I>).. e <I>).. <I> e . . . <I>).. <I> n - 2 e n ] (9.65) coincidiendo también en sus primeras filas con la matriz de controlabilidad del sistema sin retardo. Vuelve a suceder aquí que si el sistema sin retardo, de dimensión es con­ trolable, la dimensión del subespacio del sistema con retardo es al menos conteniendo al sistema original. En este caso la realimentación es también: n, n, (9.66) [ x(k + 1) ] = [ ] [ w(k)) ] + [ e ( (e-(T)>')T) ] v (k) X(k l obteniéndose como sistema realimentado: w(k + 1) e (k)K <I>(T) <I> ( (1 - >')T) e ( ( l - >')T)K y(k) = [ e O ] [ :��) ] (9.67) n (9.68) sistema en el que una adecuada elección de K permite la asignación de polos del sistema. 9.11. Ejercicios resueltos [ Xx2l (k + 1l)) ] (k + 1 . Dado un sistema discreto definido por las ecuaciones: y(k) [ 0,5 O [ 1 ] [ x l (k) ] + [ 11 ] u(k) x 2 (k) [ O ] X l (k) ] O -0,5 x 2 (k) Estudiar la controlabilidad del sistema. Determinar igualmente si, partiendo del estado inicial x(O) = [1 I V , existe alguna secuencia que permita alcanzar los si­ guientes estados finales en el número de muestras indicado en cada caso: a) x(l ) = [3 3V
  • 398 b) x(2) = [3 3f c) x(3) = [3 3f d) x(l) = [3 2]T La controlabilidad del sistema entre la muestra ko la muestra k1 depende del rango de la matriz: CAPÍTULO 9. CONTROL DISCRETO POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO Qi = [ B AB . . . A i - 1 B , i = k 1 - ko 1 con ko = O para este problema. Para k1 = 1 : Q= [ B y rango(Q) = 1 por lo que el sistema no es controlable con k 1 = 1 . Para k1 = 2 : 0,5 Q = [ B AB 1 = � [ -0,5 ] rango(Q) = 2 por lo que el sistema es controlable para k1 = 2. Obviamente, para k1 = 3 el sistema sigue siendo controlable. Se puede afirmar, pues, que se alcanzará cualquier estado final si se fija un k1 igual o superior a k1 = 2. Con un valor menor de k1 se pueden alcanzar también algunos puntos, pero no todos los del espacio de estado. Para alcanzar un punto debe existir una secuencia de entrada que cumpla la ecuación de la evolución del estado: 1= [�] � � x(k) = A k - ko x(ko ) + k- 1 L A k - l - 1 Bu(l) l = ko o, lo que es lo mismo, el punto que se desea alcan�ar debe ser la suma de la evolución libre de un vector correspondiente al subespacio controlable para ese k1 . ) Si x(l) = [3 3]T, k 1 = 1 , ko = O, entonces: O 1 -0- 1 O 1 -0 � ] = [ 005 -0,5 ] [ 11 ] [ 0,5 -0,5 ] [ 11 ] u(O) O [ a y � = + = u(O) 2,5 [ � ] [ _�:� ] [ � ] u(O) { u(O) = 3,5 � Como puede comprobarse, no existe una secuencia de entrada que permita alcanzar dicho estado para k1 = 1 . �
  • 9 . 1 1 . EJERCICIOS RESUELTOS b) 1 = 2, ko 2= O, entonces: 33 ] = 0 , 5 O ] - 0 1 ] + O 5 O ] 2 - 0 - 1 1 ] u(O) + [ [ 0 -0, 5 [ 1 [ O -0, 5 [1 2 1-1 1 O5 O + [ O - 0, 5 ] - [ 1 ] u(l) [ � ] = [ � :; � ] + [ _ � :� ] u(O) + [ � ] u(l) = = =} { 2,75 = 0, 5 u(0) + u(l) 2,75 -0, 5 u(0) + u(l) { u(O) = O2,75 u(l) Luego con la secuencia de entrada {u (k)} = {O, 2,75} se logra llevar el sistema al estado deseado. Esta conclusión era esperable, puesto que el sistema es controlable cuando k = 2 como ya se ha demostrado. Si x(3) = [3 3jT, k1 =1 3, ko = O: 005 -� , 5 o [ � ] + 0 5 � r- O - 1 � ] u(O) + [�]=[ r[ 0 - ,5 2- 1 [ + [ 005 - �,5 ] 3 - 1 - 1 [ � ] u(l) + [ 005 - �, 5 ] 3 - [ � ] u(2) [ � ] = [ _ � :�;� ] + [ � : ; � ] u(O) + [ _ �: � ] u(l) + [ � ] u(2) 2,875 = 0, 22 5u(0 ) + 0, 55 u(1) + u(2) { 3,125 = 0, 5u(0) - 0, u(1) + u(2) Si x(2) = [3 3jT, k =} =} e ) 399 =} =} =} =} =} { u(O) u(l) 12 = u(O) = u(O) = -0, 2 5 ; { u(l) = O-0, 2 5 ; { u(l) = 2,4 2 5 -0, u(2) O u(2) 3 u(2) = 2,4 Esta conclusión era esperable, pues ya se ha demostrado que el sistema es controlable para k1 = 3. Si x(l) = [3 2jT, k1 = 1, ko = O, entonces: [ ; ] = [ 005 - �, 5 r- o [ � ] + [ 005 -� ,5 r-O- 1 [ � ] u(O) [ ; ] = [ _ �: � ] + [ � ] u(O) { ���� : ; : � ecuaciones para las que se pueden obtener infinitas soluciones, como por ejem­ plo: d) =} = = = =} =}
  • 400 CAPÍTULO 9. CONTROL DISCRETO POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO Luego con la secuencia { u(k) } = {2,5} se consigue. Aunque el sistema no es controlable para k1 = 1, es posible alcanzar algunos puntos del espacio de estado. 2. Dado el sistema: x(k + 1) [ 0,5 [ ] O x(k) + 1 u(k ) 1 -0,5 + [ 1 1 ] x(k) [ 1 ] u(k) ] O Estudiar su observabilidad. Determinar el estado inicial, siempre que sea posible, si se conoce que, ante entrada { u(k) } = {2, 1 } , la salida es { y (k) } = {4, 5} . y(k) La observabilidad del sistema entre ko y k1 depende del rango de la matriz: Pko ,k¡ = [ C ] =} rango(Pko ,k¡ ) = 1 luego el sistema no es observable para k1 = ko . Si k1 = ko 1 , entonces: Si k1 = ko es: + por lo que el sistema es observable. Si se conoce la entrada { u(k) } = {2, 1 } la salida { y(k) } = {4, 5 } , entonces es evidente que k1 = ko + 1, por lo que el sistema es observable se puede conocer el estado inicial. Si dicho estado inicial x(ko ) se representa por: Y = x(ko ) = se cumple que para k1 = ko : y(ko ) 4= [ 1 1 1 y [ XXO02l ] Cx(ko ) + Du(ko ) [ XXO20l ] + 2 =} 2 = XO l + X 02
  • 401 9 . 1 1 . EJERCICIOS RESUELTOS Para k1 = ko + 1 : y(kd = Cx(kd + Du(kd con: x(kI ) A k l -ko x(ko) + [ [ k, - l L A kl - I - 1 Bu(l) = ][ ] ] [ ] l = ko O 0,5 XO l X0 2 O -0,5 2 0,5x Q1 -0,5X 0 2 + 2 + Ao Sustituyendo en la ecuación de salida: 5= [ 1 1 ] [ 11 ] u(O) = 0,5XO [ -0,5X02l + 22 ] + [ 1 ] 1 + 5 = 0,5XO l + 2 - 0,5X 0 2 + 2 + 1 con: 2 = XO l + X0 2 =* Es decir, que el estado inicial es: x(ko) = =* O = XO l - X0 2 { XO02l = 11 X = [�] =*
  • Parte III Apéndices 403
  • A A. lo Va lores y vectores prop i os • Definiciones Se definen a continuación los conceptos de valor y vector propio: Los valores propios de una matriz A son las raíces de su polinomio característico, que se construye como: • det [A - Al] = O (A. l ) Según la naturaleza y número de los valores propios, se distinguen los siguientes casos: • • • • Raíz real con orden de multiplicidad uno. Raíz compleja con orden de multiplicidad uno (al ser una matriz de coeficientes reales también será valor propio el conjugado de este valor). Raíz real o compleja con orden de multiplicidad mayor que uno . Vector propio asociado a una matriz A y valor propio A. Es el vector u que cumple la expresión: Au 405 = AU (A.2)
  • 406 APÉNDICE A. VALORES A.2. y VECTORES PROPIOS Diagonalización de una matriz en caj as de Jordan Cualquier matriz A, de dimensión mediante una transformación lineal: A [el = n x n => A = T- 1 AT _ o se puede diagonalizar en cajas de Jordan, 6 o ( A .3) Una matriz diagonal en cajas de Jordan presenta la siguiente estructura para cada caja, en función de los valores propios de la matriz A de partida: • Un valor propio real de multiplicidad produce la siguiente caja: [A] • • IR => [ -ab ab ] (A.4) Un valor propio complejo y su conjugado de orden de multiplicidad uno producen la siguiente caja: ( A .5) Un valor propio real de orden de multiplicidad mayor que uno (por ejemplo doble) , puede originar distintas cajas : (A.6) El que se produzca una u otra situación depende sólo de la matriz inicial A. Así, por ejemplo, se muestra la imposibilidad de diagonalizar la matriz: A= [ � � ] ( A .7) mediante una matriz de transformación T: donde: = T= ( A .8) [ �� � ��� ] ( A .9) Si fuese posible la transformación mediante esta matriz T, debería cumplirse que TA AT, es decir: [ ��� ��� ] [ � � ] = [ � � ] [ ��� ��� ] ( A . I O)
  • A.3. CÁLCULO DEL VECTOR PROPIO ASOCIADO A UN VALOR PROPIO o, lo que es lo mismo, elemento a elemento: Atn + t 21 = Atn At 21 = At 21 At 12 + t 22 = Ah2 At 22 = At 22 407 ( A.ll) Igualdades que sólo se cumplen en el caso: T T ( A.l2) lo que haría que la matriz no fuera invertible, por lo que no existiría posibilidad de realizar la transformación, por lo que se llega a la conclusión de que no existe la matriz que permita el cambio. • Valor propio complejo de orden de multiplicidad mayor que uno. La situación es similar a la del punto anterior. T La matriz tiene m conjuntos de vectores columna, cada uno correspondiente a una caja, siendo la dimensión de cada conjunto igual a la dimensión de la caja correspondiente. A.3. C álculo del vector propio asociado a un valor pro. plO T. En el presente apartado se plantea el problema de la obtención del vector propio u, asociado al valor propio A en la matriz A, aspecto íntimamente relacionado al de la T. construcción de la matriz de transformación Para cada valor propio distinto, que a su vez origina una caja de Jordan, se va a determinar el conjunto de vectores columna que conforman la matriz Según la naturaleza de las cajas de Jordan, se presentan los siguientes casos: • Valor propio real simple Au = AU ::::} T ( A - Al) = O ( A.l3) El vector propio se obtiene resolviendo un sistema con n ecuaciones y n incógnitas. Este valor propio aporta a la matriz el mencionado vector propio . • Valor propio complejo Si se trabaja en el plano complejo, el tratamiento es similar al caso anterior. Si se trabaja en el plano real, para una matriz A con valores propios ( a ± jb) y con vectores propios ( u ± jv) , se cumple: (A.l4)
  • APÉNDICE A. VALORES y VECTORES PROPIOS 408 con T = [u v] . El valor propio complejo y su conjugado aportan a la matriz T dos vectores, que se corresponden con la parte real e imaginaria del vector propio correspondiente. Para calcular el vector propio se opera: [ u v 1 [ �b ! ] = A [ u v 1 T Á = AT (A.l5) AU = au bv (A.l6) { Av = bu +- av v = ( -� ) (A - aI)u (A.l7) y sustituyendo en la segunda ecuación se obtiene: (A.l8) ( - � ) A(A - aI)u = bu - � (A - aI)u '* '* '* '* [( � ) A2 + 2ba A - bI - ab2 1] u = O (A.l9) Se resuelve un sistema de ecuaciones y incógnitas, se obtiene el vector u y, sustituyendo, se calcula el vector v. Se puede demostrar que la matriz de cambio T está formada por la parte real e imaginaria del vector propio. Así se cumple: jv) = (a jb) (u jv) { A(u + jv) = (a + jb) (u + jv) (A.20) A(u { Au + jAv = au - bv + jj (av + bu) jAv au - bv (av + bu) (A.2l) Au = De donde, igualando la parte real y la parte imaginaria de cada ecuación: { Av = av + bu Au = au - bv (A.22) que demuestra lo propuesto. • - n n Valor real propio de orden de multiplicidad mayor que uno Al resolver la ecuación: Au = .xu '* (A - .xI)u = O (A.23) para un valor propio de multiplicidad mayor que uno, se puede hallar una variedad lineal de vectores propios cuya dimensión, o bien coincida con el orden de mul­ tiplicidad del valor propio (en cuyo caso se comporta como varios valores propios
  • A.3. CÁLCULO DEL VECTOR PROPIO ASOCIADO A UN VALOR PROPIO y 409 simples) o por el contrario sea menor que el orden de multiplicidad. En este caso no coincide el número de valores propios vectores propios, siendo la caja de Jordan asociada igual a una matriz diagonal con una subdiagonal superior de unos. Una vez hallado el vector propio u asociado al valor propio, se plantea cómo con­ seguir en la matriz de transformación T la aportación de este valor propio. Así, para el caso en que el orden de multiplicidad sea dos, la aportación será de dos vectores columnas que se expresan como: (A.24) T= [ u x ] siendo conocido u desconocido x. Se cumplirá: (A.25) de donde: A [ u x ] = [ u x J [ � � ] = [ 'u u + 'x ] (A.26) { Au = u'u+ 'x(A -(A'I)u'I)xO = u = = (A.27) Ax De esta última ecuación se obtiene el vector x. y =* =*
  • ín dice a lfa bético Cayley-Hamilton método, 72, 123, 185, 370, 383 Ceros del sistema, 239, 294 Controlabilidad, 231, 390, 392 de cualquier punto en cualquier in­ tervalo, 112 de la salida, 134, 384 gramiano, 135 matriz, 135 de la salida en un intervalo, 134 de un punto en cualquier intervalo, 112, 380 de un sistema, 113 desde cualquier punto en un intervalo, 112 elipsoide, 126, 200 en un intervalo, 112, 380 gramiano, 114, 125 matriz, 122, 238, 251, 253, 291, 294, 382, 393, 395 teorema, 381 Descomposición de Cholesky, 201 Descomposición en valores singulares, 201 Ecuación diferencial completa, 64, 70 homogénea, 64, 78 Energía de una señal, 117 Entrada de mínima energía, 117 escalón, 119 Estado controlable, 130 de equilibrio, 113 definición, 4, 344 ecuación, 10, 345, 365 espacio, 7, 109, 344 inicial, 181 Forma canónica controlable, 299 observable, 295, 296, 299, 301, 305 Función de transferencia, 17, 235, 243, 346, 347, 351 y realización mínima, 195 y sub espacio controlable, 132 y sub espacio observable, 192 Ganancia del sistema, 239, 243 Grado de McMillan, 195, 198 Integrador, 15, 246 Invarianza, 13, 346 Jordan forma canónica, 75 método, 370 variables, 28, 348 Laplace antitransformada, 78 transformada, 78 Linealidad, 12, 345 Matriz de transición, 65, 78, 354, 366, 367, 374 cálculo, 72 410
  • 41 1 ÍNDICE ALFABÉTICO propiedades, 68 transformación, 75 Modos de segundo orden, 199 Multiplicador, 15 Número de condición, 121, 182 Observabilidad, 231 , 390 de un punto en cualquier instante, 177, 385 de un punto en un intervalo, 1 77, 385 de un sistema, 1 77 de un sistema en un intervalo, 177 elipsoide, 189, 200 gramiano, 179 matriz, 185, 299, 306, 388, 393 teorema, 387 Observador, 231 , 287 de orden reducido, 308 definición, 289 Peano-Baker, método, 64 Período de muestreo, 354, 393 Polinomio característico, 19, 72, 239, 252, 296, 352 Polos del sistema, 239, 243, 245, 294, 296, 352, 394 asignación, 234 cálculo, 19 Régimen permanente, 238 Realimentación del estado, 231 , 234, 243, 287, 291 , 299, 392 Realización, 10 del sistema, 132, 192 equilibrada a la entrada, 200 equilibrada a la salida, 200 internamente equilibrada, 200, 204 mínima, 195, 198, 204, 231 , 233, 288 Salida ecuación, 10 Servosistemas, 243 Sistema discreto equivalente, 352, 355, 394 Subespacio controlable, 128, 197, 383 base, 130 separación, 131 controlable observable separación, 194 no-observable, 189, 191, 198, 389 base, 190 separación, 191 Sumador, 16 Superposición, 12 Tipo del sistema, 243, 245 Transformación contragrediente, 199 Valores propios, 73, 348, 352, 371 , 392, 396 múltiples, 74 Valores singulares de Hankel, 199, 204 Variables de fase, 27, 235, 238, 241 , 243, 296, 347 Variación de las constantes, 70 Vectores propios, 75, 125 y
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