Movimiento armonico simple

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  • 1. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE: El movimiento armónico simple (m.a.s.),también denominado movimiento vibratorio armónico simple (m.v.a.s.), es un movimientoperiódico, oscilatorio y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerzarecuperadora que es directamente proporcional al desplazamiento pero en sentido opuesto.Yque queda descrito en función del tiempo por una función senoidal (seno o coseno). Si ladescripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería unmovimiento armónico, pero no un m.a.s.En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscilaalejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal maneraque su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En estemovimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamientorespecto a dicho punto y dirigida hacia éste.ElongaciónEn un movimiento armónico simple la magnitud de la fuerza ejercida sobre la partícula esdirectamente proporcional a su elongación, esto es la distancia a la que se encuentra éstarespecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando elorigen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que donde es unaconstante positiva y es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento lafuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, endirección contraria a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio).Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en unadimensión mediante laecuación diferencialSiendo la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo se obtiene lasiguiente ecuación donde es la frecuencia angular del movimiento:(2)La solución de la ecuación diferencial (2) puede escribirse en la forma(3)donde: es la elongación o desplazamiento respecto al punto de equilibrio. es la amplitud del movimiento (elongación máxima). es la frecuencia angular es el tiempo. es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila. Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como esto:
  • 2. (4) , y por lo tanto el periodo comoOscilaciónSe denomina oscilación a una variación, perturbación o fluctuación en el tiempo de un medio osistema. Si el fenómeno se repite, se habla de oscilación periódica. Oscilación, en física, química eingeniería es el movimiento repetido de un lado a otro en torno a una posición central, o posición deequilibrio. El recorrido que consiste en ir desde una posición extrema a la otra y volver a la primera,pasando dos veces por la posición central, se denomina ciclo. El número de ciclos por segundo, ohercios (Hz), se conoce como frecuencia de la oscilación empleada en el MAS (MovimientoArmónico Simple).Una oscilación en un medio material es lo que crea el sonido. Una oscilación en una corrienteeléctrica crea una onda electromagnética.Una partícula oscila con un movimiento armónico simple de tal forma que sudesplazamiento varía de acuerdo con la expresión x=5 cos(2t+ /6) .Donde x está en cm y t en s. En t=0 encuentre  el desplazamiento,  su velocidad,  su aceleración.  Determinar el periodo y la amplitud del movimiento Componer los siguientes MAS: x1=2sen(t+5/4) e x2=5sen(t+5/3) Componer los dos MAS de la misma dirección y frecuencia x1=2sen(3t-π/6)x2=4sen(3t+π/4)  Escribir la ecuación del MAS resultante.Una partícula describe el primer MAS. x1=2sen(3t-π/6)  Dibujar el desplazamiento x1 en función del tiempo durante un periodo  Determinar los instantes en los que la partícula pasa por la posición x=0.75 moviéndose hacia la izquierda. SISTEMA MASA-RESORTE Otro ejemplo de Movimiento Armónico Simple es el sistema masa-resorte queconsiste en una masa “m” unida a un resorte, que a su vez se halla fijo a una pared,
  • 3. como se muestra en la figura. Se supone movimiento sin rozamiento sobre lasuperficie horizontal. El resorte es un elemento muy común en máquinas. Tiene una longitud normal,en ausencia de fuerzas externas. Cuando se le aplican fuerzas se deforma alargándoseo acortándose en una magnitud “x” llamada “deformación”. Cada resorte secaracteriza mediante una constante “k” que es igual a la fuerza por unidad dedeformación que hay que aplicarle. La fuerza que ejercerá el resorte es igual yopuesta a la fuerza externa aplicada (si el resorte deformado está en reposo) y sellama fuerza recuperadora elástica. Dicha fuerza recuperadora elástica es igual a :
  • 4. En el primer dibujo tenemos el cuerpo de masa “m” en la posición de equilibrio,con el resorte teniendo su longitud normal. Si mediante una fuerza externa lo apartamos de la misma (segundo dibujo),hasta una deformación “x = + A” y luego lo soltamos, el cuerpo empezará a moversecon M.A.S. oscilando en torno a la posición de equilibrio. En este dibujo la fuerza esmáxima pero negativa, lo que indica que va hacia la izquierda tratando de hacerregresar al cuerpo a la posición de equilibrio. Llegará entonces hasta una deformación “x = -A” (tercer dibujo). En este casola deformación negativa indica que el resorte está comprimido. La fuerza será máximapero positiva, tratando de volver al cuerpo a su posición de equilibrio. A través de la Segunda Ley de Newton relacionamos la fuerza actuante(recuperadora) con la aceleración a(t).
  • 5. Sistema masa-resorteEl sistema masa resorte está compuesto por una masa puntual, un resorte ideal una colgante y un punto desujeción del resorte. Se puede considerar como masa puntual una esfera de material muy denso, como elhierro o el acero, también de plomo, lo general es un portapesas al que se le agregan masas.El resorte ideal puede ser un resorte de alto coeficiente de elásticidad y que no sedeforme en el rango de estiramiento del resorte, por lo general se utilizan resortesde acero. masa-resorte La ecuación de fuerzas del sistema masa resorte es: m a = - kx donde x es la posición (altura) de la masa respecto a la línea de equilibrio defuerzas del sistema, k es la constante de elasticidad del resorte y m la masa delcuerpo que es sometido a esta oscilación. Esta ecuación puede escribirse como:md2 x/d t2 = - k x cuya solución es x = Am sin ( w t + ø), donde: Am es la máximaamplitud de la oscilación, w es la velocidad angular que se calcula como ( k /m) 0,5.La constante ø es conocida como ángulo de desface que se utiliza para ajustar laecuación para que calce con los datos que el observador indica.
  • 6. De la ecuación anterior se puede despejar el periodo de oscilación del sistema quees dado por: T = 2 pi (m/k)0,5 A partir de la ecuación de posición se puededeterminar la rapidez con que se desplaza el objeto: Vs = valor absoluto de ( dx /dt).Vs = |Am (k/m)0,5 * cos(wt + ø) | El signo de la evaluación del términotrigonométrico define el sentido en que se mueve la masa, si es positivo hacia arribaen caso contrario hacia abajo. También la rapidez se puede calcular en términos dela posición del objeto respecto a la línea de equilibrio, a saber: Vs2 = (Am2 - x2)Determinación de la línea de equilibrio Para determinar la línea de equilibrio en elsistema masa resorte, en el laboratorio se toma el sistema montado, se sujeta elportapesas por la parte baja y se va bajando lentamente, hasta que se llegue alequilibrio. cuando el resorte ya no se estira más, el centro de masa de la masacolgante se encuentra en la línea de equilibrio. En la condición de equilibrio lafuerza ejercida por la atracción gravitacional sobre la masa colgante es canceladapor la fuerza que ejerce el resorte a ser deformado. A partir de esta posición deequilibrio se puede realizar un estiramiento lento hasta llegar a la amplitud máximadeseada y esta es la que se utilizará como Am de la ecuación de posición del centrode masa de la masa colgante. Si se toma como posición inicial la parte más baja, laconstante de desface será - pi/2, pues la posición se encuentra en la parte más bajade la oscilación. Todo lo anterior supone que luego del estiramiento a partir de laposición de equilibrio el tiempo en que se suelta la masa es t 0 0 s.