55730 8780 06.02.2014 19.09.11_aula00_numeroscomplexos

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  • 1. Números Complexos e Senóides Números Complexos e Senóides Edmar José do Nascimento (Análise de Sinais e Sistemas) http://www.univasf.edu.br/˜edmar.nascimento Universidade Federal do Vale do São Francisco Colegiado de Engenharia Elétrica
  • 2. Números Complexos e Senóides Roteiro 1 Números Complexos e Senóides Números Complexos Senóides
  • 3. Números Complexos e Senóides Números Complexos Roteiro 1 Números Complexos e Senóides Números Complexos Senóides
  • 4. Números Complexos e Senóides Números Complexos Introdução Os números complexos surgiram inicialmente como um artifício matemático para a resolução de equações algébricas Equações possuíam soluções reais Surgiam raízes quadradas de números negativos em passos intermediários da solução Números reais passaram a ser um subconjunto dos complexos
  • 5. Números Complexos e Senóides Números Complexos Definição Um número complexo pode ser representado na forma √ z = a + jb; a, b ∈ R; j = −1 As coordenadas (a, b) de um número complexo podem ser representadas no plano complexo Eixos das abscissas - Parte real (Coordenada a) Eixos das ordenadas - Parte imaginária (Coordenada b) Assim, tem-se: a = Re{z} b = Im{z}
  • 6. Números Complexos e Senóides Números Complexos Forma Polar Além da representação cartesiana, os números complexos são freqüentemente representados na forma polar a = r cos θ b = r sin θ
  • 7. Números Complexos e Senóides Números Complexos Forma Polar A partir da expansão da série de Maclaurin para e j θ, obtém-se a Fórmula de Euler ejθ = cos θ + j sin θ Portanto, z = a + jb = r (cos θ + j sin θ) = re jθ Ou ainda, z = |z|ej arg z
  • 8. Números Complexos e Senóides Números Complexos Forma Polar A correspondência entre as duas representações é facilmente obtida a = r cos θ, b = r sin θ r = a2 + b2 , θ = arctan b a O conjugado de um número complexo z = a + jb é definido como z ∗ = a − jb = r (cos θ − j sin θ) = re −jθ = |z|e−j arg z Tem-se ainda que z + z ∗ = 2a = 2Re{z} z.z ∗ = r 2 = |z|2
  • 9. Números Complexos e Senóides Números Complexos Identidades Úteis A partir das representações no plano complexo, podem ser obtidas várias relações e±jnπ = −1, n ímpar; e±j2nπ = 1, n inteiro ejπ/2 = j, e−jπ/2 = −j e±jnπ/2 = ±j, n = 1, 5, 9, 13, · · · e±jnπ/2 = j, n = 3, 7, 11, 15, · · ·
  • 10. Números Complexos e Senóides Números Complexos Operações com Números Complexos Adição e subtração Forma cartesiana Multiplicação e divisão Forma cartesiana e polar Potenciação e radiciação Forma polar
  • 11. Números Complexos e Senóides Senóides Roteiro 1 Números Complexos e Senóides Números Complexos Senóides
  • 12. Números Complexos e Senóides Senóides Senóides Uma senóide pode ser escrita como x(t) = C cos (2πf0 t + θ) = C cos (ω0 t + θ) Sendo, f0 - freqüência em Hertz ω0 = 2πf0 - freqüência angular em radianos por segundo θ - fase em radianos Casos particulares C cos (ω0 t − π/2) = = C sin (ω0 t) C sin (ω0 t + π/2) = = C cos (ω0 t)
  • 13. Números Complexos e Senóides Senóides Senóides
  • 14. Números Complexos e Senóides Senóides Adição de Senóides Senóides de mesma freqüência mas com fases diferentes podem ser somadas resultando em uma senóide com mesma freqüência C cos (ω0 t + θ) = C cos θ cos ω0 t − C sin θ sin ω0 t = a cos ω0 t + b sin ω0 t Sendo, a = C cos θ, b = −C sin θ Essas relações resultam em C = a2 + b2 , θ = arctan −b a
  • 15. Números Complexos e Senóides Senóides Fasores C e θ são o módulo e a fase de z = a − jb = Ce jθ Uma senóide é então representada como um fasor de módulo C e ângulo θ
  • 16. Números Complexos e Senóides Senóides Exponenciais É de grande importância no estudo das transformadas a relação entre senóides e exponenciais Duas relações importantes podem ser obtidas a partir da fórmula de Euler cos ϕ = sin ϕ = 1 jϕ (e + e−jϕ ) 2 1 jϕ (e − e−jϕ ) 2j