Capítulo 1 Probabilidad y Estadística

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Resumen de la primera parte del Capítulo 1 del libro de texto para la clase electiva en Probabilidad y Estadística

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Capítulo 1 Probabilidad y Estadística

  1. 1. Conjuntos<br />Capítulo 1<br />
  2. 2. Teoría de conjuntos<br />Conjunto<br />Conjunto vacío<br />Conjunto universal<br />Conjunto de conjuntos<br />Conjunto potencia<br />Subconjuntos propios<br />Conjuntos iguales<br />Desigualdad de conjuntos<br />Conjuntos finitos e infinitos<br />Unión<br />Intersección<br />Conjuntos disjuntos<br />Diferencia entre conjuntos<br />Complemento de un conjunto<br />Conjunto producto<br />Diagrama de árbol<br />Diagramas de Venn -Euler<br />Conceptos claves<br />
  3. 3. Cualquier colección de objetos bien definidos, de tal manera que se pueda decir siempre si un objeto pertenece o no al conjunto al cual pertenecemos<br />Conjunto<br />
  4. 4. Instrumento matemático útil para la sistematización de nuestra forma de pensar<br />Permite la capacidad de análisis y comprensión de interrelaciones<br />Teoría de conjuntos<br />
  5. 5. Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas.<br />Es posible determinar un conjunto por enumeración o descripción.<br />Determinación de un conjunto<br />
  6. 6. <ul><li>También llamado extensión</li></ul>En este método los elementos que lo integran se colocan dentro de llaves { } y separados por comas.<br />Ejemplos:<br />A = { 3, 4, 5}<br />B = { Luis, Christian, Kirk}<br />Enumeración<br />
  7. 7. También llamado comprensión.<br />En esta forma se enuncia una propiedad o atributo que caracterice a todos los elementos del conjunto.<br />Ejemplos:<br />D = { los números menores que -2}<br />F = {los divisores de 21}<br />Otra forma de describir es utilizando una variable genérica, por ejemplo x , como indicador de elementos y una frase o relación matemática.<br />Se utiliza el símbolo “|” como “tal que” y también es encerrado entre llaves.<br />Ejemplo: A = {x | x es una vocal}<br />Descripción <br />
  8. 8. Se dice que un elemento pertenece a un conjunto sí y sólo sí éste se encuentra dentro del conjunto mencionado.<br />Ejemplo: A = {a, e, i, o, u} , se dice que <br />El símbolo se lee “pertenece a” o “ es elemento de”<br />En el caso , se lee: “no pertenece a” o “no es elemento de”<br />Relación de pertenencia<br />
  9. 9. Los conjuntos que no tienen elementos se denominan “conjunto vacío”.<br />Se representan con el símbolo “ ”<br />También se representa con las llaves vacías “{ }”<br />Conjunto vacío<br />
  10. 10. Sea U un conjunto.<br />Si U ≠ , es cierto conjunto cuyos subconjuntos están en consideración, se dice que el conjunto dado es un conjunto universal.<br />Se representa con el símbolo U.<br />Ejemplo: U = { Pueblos de Puerto Rico}<br />Subconjuntos de U:<br />A = {Mayagüez, Hormigueros, Cabo Rojo}<br />B = { San Juan}<br />Conjunto universal<br />
  11. 11. Los elementos de un conjunto, a su vez conjuntos<br />Ejemplo:<br />Un año es un conjunto de conjuntos porque el año es un conjunto de meses, mientras que los meses son un conjunto de semanas y las semanas son un conjunto de días, etc. <br />Conjunto de conjuntos<br />
  12. 12. A todos los subconjuntos de un conjunto se les llama “conjunto potencia”.<br />Se expresa como P(A).<br />Ejemplo:<br />Dado el conjunto A ={ a, b, c}<br />P(A) = { , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} }<br />Conjunto potencia<br />
  13. 13. Notas:<br />Un conjunto está contenido en sí mismo.<br />A A<br />Conjunto vacío “ ” es subconjunto de todo conjunto.<br />A<br />Cardinalidad de un conjunto:<br />Cantidad de elementos de l conjunto<br />Cardinalidadn del conjunto potencia P(A):<br />Se obtiene con 2n , donde n es el número de elementos de del conjunto A y se denota con n[P(A)]<br />Ejemplo: A = {a, b, c}<br /> su cardinalidad es n(A) = 3<br />la cardinalidad de del conjunto potencia:n[P(A)] = 23 = 8<br />
  14. 14. Notas:<br />Subconjuntos propios<br />Los subconjuntos de un conjunto, sin considerar el conjunto que lo genera<br />Hay tantos como 2n - 1, donde n también es el número de elementos del conjunto.<br />
  15. 15. Relación de conjuntos<br />
  16. 16. Para que dos conjuntos sean iguales, deben tener los mismos elementos y en consecuencia, debe cumplirse simultáneamente: <br />Notación: <br />“=”  “es igual a”, “igual a”<br />“ ”  “sí y sólo sí ”<br />“ ”  “ es subconjunto de”<br />Conjuntos iguales<br />
  17. 17. No se cumple en forma simultánea<br />Ejemplo:<br />A = { 1, 2, 3} <br />B = {1, 2, 3, 4}<br />Con sólo observar la cardinalidad de ambos conjuntos (cantidad de elementos en cada uno) notamos que no son iguales.<br />Se denota con el símbolo “≠” y se lee “no es igual a” o “es diferente”<br />Desigualdad de conjuntos<br />
  18. 18. Un conjunto es finito cuando sus elementos se pueden poner por correspondencia biunívoca con un subconjunto de los primeros k números naturales, si no es así, entonces es un conjunto infinito.<br />Conjunto finito:<br />M = {x | 6 < x < 75} <br />M = {7, 8, 9, 10, 11, … , 74} <br />Es un conjunto finito de 68 elementos<br />Conjunto infinito:<br />H = { }<br />H = {1, 2, 3, 4, 5, …}<br />Conjuntos finitos e infinitos<br />
  19. 19. Las operaciones entre conjuntos son formas específicas de combinarlos para obtener otros conjuntos. <br />Todas son operaciones binarias (operación matemática, que necesita el operador y dos operandos o argumentos para que se pueda calcular un valor)<br />Operaciones entre conjuntos<br />
  20. 20. Unión<br />Intersección<br />Conjuntos disjuntos<br />Diferencia entre conjuntos<br />Complemento de un conjunto<br />Conjunto producto<br />Diagrama de árbol<br />Operaciones entre conjuntos<br />
  21. 21. Si se reúnen los elementes de dos o más conjuntos para formar uno solo.<br />Si existen elementos comunes entre los conjuntos originales, éstos no se repiten en el conjunto unión.<br />La unión se representa con el símbolo “U”, colocado entre los dos conjuntos: A U B<br />Se lee “A unión B”<br />Tambiénse establece por descripción, usando el símbolo“ | ” (“tal que”): <br />Unión<br />
  22. 22. Sean los conjuntos:<br />Ejemplo<br />
  23. 23. Propiedades de la unión de conjuntos<br />
  24. 24. La intersección de dos conjuntos A y B que forman los elementos comunes a ambos conjuntos<br />Se denota con el símbolo “ ” <br /> se lee “A intersección B”<br />También se puedeestablecerpordescripción:<br />Intersección<br />
  25. 25. Sean los conjuntos:<br />Ejemplo<br />
  26. 26. Propiedades de la intersección de conjuntos<br />
  27. 27. Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes<br />Ningún elemento de A está en B<br />Ningúnelemento de B está en A<br />A y B son disjuntos o ajenos entre sí y suintersecciónes el conjuntovacío:<br />Conjuntos disjuntos<br />
  28. 28. Con los conjuntos:<br />Los conjuntos A y B son disjuntos: <br />Ejemplo 1:<br />
  29. 29. Con los conjuntos:<br />Los conjuntos C y D NO son disjuntos: <br />Ejemplo 2:<br />
  30. 30. Los paréntesis indican qué operación se debe hacer primero.<br />Cuando una expresión algebraica contiene varios paréntesis, comenzamos desde adentro hacia afuera<br />Uso de paréntesis<br />
  31. 31. Sean los conjuntos:<br />T = {1, 2, 3}<br />P = {1, 3, 4, 5}<br />L = {5, 6, 7}<br />Obtener: <br />Primeroobtenemos T  P = {1, 2, 3, 4, 5}<br />Ahorabuscamos (T  P) L = {5}<br />Ejemplo<br />
  32. 32. Dados dos conjuntos A y B, el conjuntodiferencia se define como la diferencia de A – B.<br />“ A – B” Se lee “A menos B” , “A diferencia B”<br />Cuando el conjunto se determinapordescripciónusando el símbolo de “talque”, la diferencia se expresa: <br />Diferencia entre conjuntos<br />
  33. 33. Dados los conjuntos:<br />Halla A-B:<br />Ejemplo:<br />
  34. 34. Cuando se ha establecido un conjunto universal U, la diferencia de U y la de un conjuntocualquiera (A), se le llama el “complemento de A”<br />Se expresa A’<br />En algunoslibros se expresa Ac<br />Complemento de un conjunto<br />
  35. 35. Dados los conjuntos:<br />Halla A’:<br />Ejemplo:<br />
  36. 36. Operaciones con conjuntos<br />
  37. 37. Sean los conjuntos: <br />A = {a, e} <br />B = {1, 2, 3}<br />El producto cartesiano de dos conjuntos A × B, en este orden, es el conjunto de todas los posibles pares ordenados, tales que la primera correspondiente del par ordenado es un elemento de A y la segunda componente es un elemento de B.<br />La expresión A × B se lee “A cruz B”<br />Si es expresado por descripción:<br />Conjunto producto<br />
  38. 38. Sean los conjuntos: <br />A = {a, e} <br />B = {1, 2, 3}<br />A × B = { (a, 1), (a, 2), (a, 3), (e, 1), (e, 2), (e ,3) }<br />Ejemplo<br />

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