Tema 3 ecualizacion de-canal
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    Tema 3 ecualizacion de-canal Tema 3 ecualizacion de-canal Presentation Transcript

    • Tema 3:Ecualización de canalDr. José Ramón Cerquides BuenoTeoría de la Señal y ComunicacionesUniversidad de SevillaTransmisión Digital
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 2Organización• Introducción• El detector MLSD• Ecualización de canal• Planteamiento del problema• Soluciones• Diseños fijos• Diseños no restringidos• Diseños retringidos a una estructura de filtro transversal• Diseños adaptativos• Comparación de las diferentes técnicas de ecualización• Conclusiones• Referencias
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 3Introducción• En los sistemas reales de transmisión frecuentementenos encontramos con ISI o con fenómenos queescapan a nuestro control:• Desvanecimientos• Propagación multicamino• Ecos• Desajustes en general en los circuitos transmisores oreceptores• Conmutación de circuitos• Otros fenómenos• RESULTADO:• La respuesta del canal difiere de la esperada o supuesta (laque habremos utilizado en el diseño teórico de los filtrosterminales óptimos)
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 4Introducción• CONSECUENCIAS:• Respecto al ruido• Nuestro sistema ya no tiene un diseño óptimo la relación SNR va a descender desciende la relación Eb/N0 aumenta la probabilidad de error• ISI (Interferencia intersimbólica)• Si no había ISIva a aparecer• Si ya había ISI (sistemas con ISI controlada o compensada)va a aumentar (descontrolándose).• En cualquier caso  ISI ↑↑ aumenta la probabilidad de error
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 5Introducción. Efectos multicamino• EJEMPLO:• Sistema BPSK diseñado para trabajar con Eb/No = 10dB BER = 3,9 · 10-6• ¿Qué le ocurre al aparecer multicamino (τ>Ts)?
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 6Introducción. Efectos multicamino0 20 40 60 80 10010-610-410-2100Potencia relativa del rayo secundario (%)BERISI + ruidoSolo ruido• EJEMPLO:• Sistema BPSK diseñado para trabajar con Eb/No = 10dB BER = 3,9 · 10-6• ¿Qué le ocurre al aparecer multicamino (τ>Ts)?
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 7Introducción. Efectos multicamino• EJEMPLO:• Sistema QPSK diseñado paratrabajar con Eb/No = 25dB• Al aparecer una componentemulticamino (retardo de unsímbolo, nivel relativo 5 dB pordebajo del camino principal)
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 8Introducción• CONCLUSIÓN• Necesitamos introducir elementos adicionales quecompensen o minoren el efecto nocivo de la ISI.• Tenemos dos alternativas• Cambiar a un detector MLSD (Maximum Likelihood SequenceDetection)• Introducir un subsistema encargado de compensar la ISI.• El subsistema encargado se denominaECUALIZADOR DE CANALo IGUALADOR DE CANAL• El ecualizador va colocado justo después del circuito demuestreo.
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 9El detector MLSD• Cuando la señal recibida tiene ISI, el detectorconvencional (critero de distancia mínima) deja deser la solución óptima.• EJEMPLO:• Supongamos que el canal digital viene dado porhd[n] = δ[n] - 0.7·δ[n-1] + 0.5·δ[n-2]• Si la secuencia de símbolos (binarios) emitida hubiese sido:s[n] = … 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 …
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 10El detector MLSD• La señal de salida hubiese venido dada por• Suponiendo que los dos símbolos transmitidos antes delinicio de s[n] son dos 1’s (estado inicial) tendríamos que lasecuencia recibida (sin incluir el efecto del ruido sería):r[n] =… 0.8, -1.2, 0.2, 1.2, -0.2, -1.2, 0.2, -0.8, -0.8, -0.8 …• Si la secuencia de ruido w[n] tomase los siguientes valores:w[n] = … 1.0, 0.5, 0.1, -0.4, 0.5, -0.9, -0.1, 1.1, 1.7, -0.6 …la secuencia completa recibida hubiese sido:r[n] =… 1.8, -0.7, 0.3, 0.8, 0.3, -2.1, 0.1, 0.3, 0.9, -1.4 …• La técnica de detección de mínima distancia hubiesearrojado la siguiente secuencia detectada:s’[n] = … 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 …• Comparando:s[n] = … 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 …[ ] [ ]dkh k s n k∞=−∞= −∑ds[n]*h [n] [ ] [ ] [ ]s n 0.7s n 1 0.5s n 2= − − + −
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 11El detector MLSD• Es necesario utilizar un detector que tenga en cuentael efecto de la ISI (unos símbolos interfieren sobre losotros).• En lugar de ser un detector que opere símbolo asímbolo deberá considerar la secuencia de símbolosmás probable  MLSD (Maximum LikelihoodSequence Detection)• Podemos ver el canal digital equivalente como uncodificador convolucional con relación de códigok/n = 1que utiliza una restricción de tamaño K = longituden muestras de la respuesta impulsional.• El “estado” del codificador serían los últimos K-1símbolos emitidos.
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 12El canal digital como codificador convolucional• EJEMPLO:• El canal digital dado porhd[n] = δ[n] - 0.7·δ[n-1] + 0.5·δ[n-2]puede interpretarse como el siguiente codificadorconvolucional:s[n] s[n-1] s[n-2]1-0.7 0.5[ ] [ ] [ ]s n 0.7s n 1 0.5s n 2− − + −EstadoEntrada
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 13Diagrama de estados del codificador• Continuando con la similitud entre el canal digital yun codificador convolucional, podemos obtener sudiagrama de estados. Para el caso del ejemplo:a1,1c1,-1b-1,1d-1,-110.8-1-1.212.2-10.2-1-2.2-1-0.811.21-0.2
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 14Trellis del canal digital• Continuando con la similitud entre el canal digital yun codificador convolucional, podemos obtener suTrellis. Para el caso del ejemplo:abcdabcd1-11-11-11-11-11-1-11abcdabcdabcd1-11-11-1-11
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 15El detector MLSD• Opera sobre secuencias de símbolos en lugar desobre símbolos aislados.• Vamos a hacer uso del algoritmo de Viterbi para laobtención del camino más probable a lo largo delTrellis.• Necesitamos asignar un “peso” a cada una de lastransiciones dentro del Trellis. Dicho peso deberíaser la probabilidad• ¿Cuál es la probabilidad de cada transición?a ab1-1
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 16El detector MLSD• El símbolo recibido esr[n] = s[n] – 0.7 s[n-1] + 0.5 s[n-2] + w[n]• Queremos determinar la probabilidad de que s[n]sea 1 (o -1) sujeta a que el símbolo recibido sea r[n] ya que el estado original sea el estado a (1,1).[ ]( )p s n 1 r[n],a= = [ ] [ ]( )[ ]( )p s n 1,r n ,ap r n ,a==[ ] [ ]( ) [ ]( )[ ]( )p r n s n 1,a p s n 1,ap r n ,a= =[ ] ( )( ) [ ]( )[ ]( )p w n r[n] 1 0.7 0.5 p s n 1,ap r n ,a= − − + == =[ ]( )[ ]( )[ ]( )p s n 1,ap w n r[n] 0.8p r n ,a== = − =[ ]( )[ ]( )[ ]( )22wr n 0.82wp s n 1,a1ep r n ,a2−−σ=πσ
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 17El detector MLSD• La probabilidad buscada es:• La probabilidad de la otra transición (que supone laemisión del símbolo -1) será:• Si los símbolos son equiprobables el factor• Como la suma de ambas probabilidades debe ser 1,cada una será proporcional a la correspondienteexponencial.[ ]( )[ ]( )[ ]( )[ ]( )22wr n 0.82wp s n 1,a1p s n 1 r[n],a ep r n ,a2−−σ== =πσ[ ]( )[ ]( )[ ]( )[ ]( )22wr n 1.22wp s n 1,a1p s n 1 r[n],a ep r n ,a2+−σ= −= − =πσ[ ]( )[ ]( )[ ]( )[ ]( )p s n 1,a p s n 1,ap r n ,a p r n ,a= − ==
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 18El detector MLSD• Veamos un ejemplo de la asignación de pesos a lasramas.• Supongamos que se recibe el símbolo 1.8 y quepartimos del estado adonde k1 se habrá elegido de forma que la suma deambas probabilidades sea la unidad.a ab( )22w121k ·e−σ( )22w321k ·e−σ
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 19El detector MLSD• Si avanzamos en la decodificación, debemos asignarlas probabilidades de de las nuevas ramas queaparecen. Por ejemplo, si el siguiente símbolorecibido fuese -0.7 tendríamos:abcdabcdabcd( )22w121k ·e−σ( )22w321k ·e−σ( )22w1.522k ·e−−σ( )22w0.522k ·e−σ( )22w2.922k ·e−σ( )22w0.922k ·e−σ
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 20El detector MLSD• Suponiendo que el ruido es independiente en cadasímbolo, la probabilidad de cada camino es elproducto de las probabilidades de sus diferentesramas.abcdabcdabcd( )22w121k ·e−σ( )22w321k ·e−σ( )22w1.522k ·e−−σ( )22w0.522k ·e−σ( )22w2.922k ·e−σ( )22w0.922k ·e−σ( ) ( )2 22 2w w1 0.52 21 2k ·e k ·e− −σ σ( ) ( )2 22 2w w3 2.92 21 2k ·e k ·e− −σ σ
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 21El detector MLSD• Gracias a las propiedades de la exponencial,podemos compactar el peso de cada camino como:• Cuando dos caminos distintos confluyen en unmismo nodo, ambos tendrán distintasprobabilidades:• La de mayor probabilidad (exponente menor) será lasuperviviente.( ) ( )( ) ( ){ }2 22 22 2 2w w w1 0.5 11 0.52 2 21 2 1 2k ·e k ·e k ·k ·e− − − +σ σ σ=( ){ }2 2 21,1 2,1 n ,12w1d d ... d21 2 np ruta 1 k ·k ...·k ·e− + + +σ=( ){ }2 2 21,2 2,2 n,22w1d d ... d21 2 np ruta 2 k ·k ...·k ·e− + + +σ=
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 22El detector MLSD• Como acabamos de ver, finalmente el únicoelemento que se utiliza para decidir es el factordonde los di son las distancias entre el símbolo queteóricamente se debería haber recibido de producirsedicha transición y el que realmente se ha recibido.• Por tanto no es necesario trabajar con los exponentes,sino que podemos asignar a cada rama el peso d2,eligiendo finalmente el camino de menos peso.• El resto del algoritmo de Viterbi funciona de laforma habitual, descartando caminos hasta que sóloqueda uno posible, que corresponde a la secuenciaque se decodifica como correcta.2 2 21 2 nd d ... d+ + +
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 232.563.820.161.4215.860.365.861.967.46Detector MLSD y algoritmo de Viterbi• Si la secuencia recibida hubiese sido:r[n] =… 1.8, -0.7, 0.3, 0.8, 0.3, -2.1, 1.7, -2.0, 3.3, -1.4 …el algoritmo de Viterbi resultaría:abcdabcdabcdabcdabcd192.253.250.251.258.4117.410.819.810.253.52.255.53.614.860.011.260.2517.666.2523.660.8110.621.2111.020493.57.513.861
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 241.215.030.814.636.257.670.251.670.017.513.6111.112.255.750.253.75Detector MLSD y algoritmo de Viterbi• Continuando con la decodificación:-0.7 0.3 0.8 0.32.563.820.161.4210.361.96abcdabcdadabcd2.253.250.251.250.810.253.52.253.610.011.260.256.250.811.210493.57.5abcd
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 251.696.7210.8915.920.014.643.618.245.4911.0418.4924.240.812.488.4110.08Detector MLSD y algoritmo de Viterbi5.03abcdabcdadacdabcd3.821.423.55.751.673.53.251.254.631.26abcd-1 -1-0.7 0.3 0.8 0.3 -2.1
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 26Detector MLSD. Limitaciones• Como hemos visto el detector MLSD permiterealizar la decodificación óptima (máximaverosimilitud) en presencia de ISI.• Su realización hace uso del algoritmo de Viterbipara determinar el mejor camino dentro del Trellis.• Sin embargo, en la práctica su utilización está muylimitada fundamentalmente por dos factores:1. Es necesario conocer con precisión la respuesta del canaldigital hd[n].• Se dificulta su realización en el caso de canales variantes(comunicaciones móviles, sistemas inalámbricos engeneral…)1. El coste computacional asociado a la realización puedehacerlo inviable.
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 27Detector MLSD. Coste computacional• Para una modulación con J posibles símbolosemitidos y un canal con respuesta impulsional delongitud L tendremos JL-1estados posibles con JLposibles transiciones.• Cada transición supone evaluar 1 suma (resta) + 1multiplicación  2JLoperaciones.• EJEMPLO: Modulación 16-QAM , Rs = 1 Mbaud,respuesta impulsional de longitud 6• El número de operaciones para decodificar cada símboloserá:2·166= 33.5·106flops = 33.5 Mflops• El número de operaciones requeridas por segundo será:33.5 Mflops/símbolo · 1 Msímbolo/seg = 33.5·1012flops/seg(el límite actual de los procesadores es ~ Gflops/seg)
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 28Ecualización de canal• En muchas situaciones prácticas (desconocimientode la respuesta del canal, excesivo costecomputacional) la detección MLSD no es viable.• Se opta entonces por una solución sub-óptima: laecualización (o igualación) de canal.• La idea original es bastante sencilla: introducir unbloque (el ecualizador) capaz de eliminar la ISI o porlo menos de reducirla considerablemente, de formaque podamos seguir utilizando un detector clásico(de los que operan símbolo a símbolo).• ¿Dónde va a ir colocado este nuevo circuito?
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 29Localización del ecualizadorFUENTECODIFI-CADORMODU-LADOR CANALDEMODU-LADORDETECTORDESTINOMensajetransmitidom[l](secuenciadigital)Símbolostransmitidoss’[n](secuenciadigital)Señaltransmitidas(t)(señalanalógica)Ruidov(t)(señalanalógica)Señalrecibidax(t)(señalanalógica)Símbolosrecibidosr[n](secuenciadiscreta)Mensajerecibidom’[l](secuenciadigital)Señal de salidadel canalc(t)(señalanalógica)SímbolosestimadosDECODIFI-CADORs[n](secuenciadigital)CANALDIGITALEQUIVALENTECANALDISCRETOEQUIVALENTECANALBINARIOEQUIVALENTEEcualizador
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 30Localización y tecnología del ecualizador• Tecnológicamente, los ecualizadores suelenrealizarse con DSPs o ASICs  DigitalFILTROADAPTADOSeñalrecibidax(t)(señalanalógica)DEMODULADORSímbolosrecibidosr[n](secuenciadiscreta)Señalsalidar(t)(señalanalógica)EcualizadorSímbolosecualizadosy[n]FILTROADAPTADOSeñalrecibidax(t)(señalanalógica)DEMODULADORSímbolosrecibidosr[n](secuenciadiscreta)Señalsalidar(t)(señalanalógica)A/DDSPASIC(ecualizador+detector+decodificador)
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 31Planteamiento del problema• Utilizando el modelo de canal digital equivalente:• Si el canal fuese ideal y el diseño perfecto*:• hd[n] = √Ep· δ[n] (diseño perfecto, no ISI)• w[n] blanco y gaussiano, σw2= N0/2, rww[m] = σw2δ[m]• En la práctica puede ocurrir (incluso con un canalconocido y utilizando filtros terminales óptimos)• hd[n] ≠ √Es· δ[n]  (ISI)• w[n] adquiere color, σw2= N0/2, rww[m] ≠ σw2δ[m]CANALDIGITALhd[n]s[n]Secuencia desímbolos deentradar[n]Secuencia desímbolos desalidaw[n]Ruido discretox[n]Salidadelcanal*Suponiendo que no se trata de sistema con ISI controlada
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 32Planteamiento del problema• Ecualizar (igualar) el canal significa introducir unsistema en cascada de forma que:y[n] = hd[n]*hec[n]*s[n] + hec[n]*w[n] ≈ s[n-n0]hd[n]s[n] r[n]hec[n]y[n]≈ s[n-n0]w[n]x[n]↑Respuesta delcanal ecualizado↑Ruido a la salidadel ecualizador
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 33Soluciones• Diseños fijos• Estructuras sin restricciones• Filtrado inverso• Filtro de Wiener• Restringidas a una estructura de filtro transversal:• Filtro FIR de Wiener• Forzador de ceros• Mínimos cuadrados• Diseños adaptativos• Con referencia temporal• Algoritmo LMS• Algoritmo RLS• Sin referencias (ciegos)• Dirigidos por decisión• Otras alternativas
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 34Diseños fijos• El problema se plantea de la forma siguiente:• Dada una hd[n] y las características del ruido w[n] diseñarun ecualizador con respuesta impulsional hec[n] queresuelva el problema.• Se utilizan cuando el canal es conocido y no seesperan variaciones sustanciales con el tiempo.• EJEMPLO: Enlaces a través de medios guiados (cable, guíade ondas, fibra óptica…)• Pueden usarse también en diseños “adaptativos porbloques”• EJEMPLO: La transmisión se ejecuta en salvas de 1024símbolos (tramas). El sistema identifica el canal en cadatrama y supone que las carácterísticas de hd[n] y w[n] semantienen durante el tiempo que dura la trama. Se diseñaun ecualizador para las características de canal medidas.
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 35Diseños fijos y adaptativos por bloques• Diseños adaptativos por bloques¿ hd[n] ?s0[n] r0[n]¿w[n]?x0[n]Algoritmodeidentificacióndecanal[ ][ ]dˆh nˆw nEcualizador
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 36Diseños fijos sin restricción–Filtrado inversoy[n] = r[n]*hec[n] == (x[n]+w[n])*hec[n] == x[n] *hec[n] + w[n]*hec[n] ==s[n]*hd[n]*hec[n] + w[n]*hec[n] ≈ s[n-n0]• Ignorando la componente de ruidos[n] *hd[n]*hec[n] =s[n-n0]hd[n]s[n] r[n]hec[n]y[n]≈ s[n-n0]w[n]x[n]
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 37Diseños fijos sin restricción–Filtrado inversos[n] *hd[n]*hec[n] =s[n-n0]⇓hd[n]*hec[n] =δ[n-n0]⇓Hd(z)·Hec(z) = z-n0• Solución:( )( )0necdzH zH z−=
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 38Diseños fijos sin restricción–Filtrado inverso• Comentarios sobre la realizabilidad:• Solo es estable y causal si hd[n] es un sistema de fasemínima (todos sus ceros dentro del circulo unidad).• En caso contrario el ecualizador diseñado tiene polos fueradel círculo unidad:• Si el sistema es estable (ROC contiene la circunferenciaunidad), es no causal (ROC no contiene ∞)• Si el sistema es causal (ROC contiene ∞) es inestable.• Como la estabilidad es un criterio irrenunciable, el filtroinverso puede dar lugar a diseños no causales, lo quecompromete seriamente su aplicabilidad.• En resumen:• hd[n] es de fase mínima  hec[n] causal• hd[n] no es de fase mínima  hec[n] no causal
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 39Diseños fijos sin restricción–Filtrado inverso• Comentarios sobre las prestaciones• No se ha tenido en cuenta el ruido al diseñar el ecualizador.• El ruido a la salida será w[n]*hec[n], luego su densidadespectral será Sww(F)·|Hec(F)|2• En aquellas bandas en las que Hd(F) tome valores bajos⇓Hec(F) crecerá para compensar⇓La densidad espectral de ruido crecerá• La potencia de ruido a la salida será:( ) ( )0.52ruido,out ww ec0.5P S F H F dF−= ∫( )0.520ec0.5NH F dF2 −= ∫( )0.520ec0.5NH F dF2−= =∫[ ]20ecnNh n2∞=−∞= ∑
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 40EJEMPLO - Filtro inversohd[n] = δ[n] – 0.3·δ[n-1]-0.1·δ[n-2]Probabilidad de error (Eb/N0 = 5 dB) ≈ 0.023930
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 41EJEMPLO - Filtro inversoHd(F) = 1 – 0.3e-j2πF-0.1e-j4πF( ) ( ) ( )d1H F 110 54cos 2 F 20cos 4 F10= − π − π( )( ) ( )( ) ( )1d3sin 2 F sin 4 FH F tg10 3cos 2 F cos 4 F− π + π=  ÷− π − π R
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 42EJEMPLO - Filtro inversoHd(z) = 1 – 0.3z-1-0.1z-2Es un sistema de fase mínimaPolos en z = 0 (doble)Ceros en z = 0.5, -0.2
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 43EJEMPLO – Filtro inverso( )( )0necdzH zH z−= =( )( )( )15ec 1zH z1 0.5z 1 0.2z−−−=− +( )5dzH z−=51 2z1 0.3z 0.1z−− −− −En este casose ha elegidon0 = 5
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 44EJEMPLO – Filtro inverso[ ] [ ]n 5 n 5ec2 1 5 1h n u n 57 5 7 2− −    = − + −  ÷  ÷     ( )( )( )15ec 1zH z1 0.5z 1 0.2z−−−= ⇒− +
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 45EJEMPLO – Filtro inverso
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 46EJEMPLO – Filtro inverso• Probabilidad de error• Sin ecualizador: 0.026501• Con ecualizador: 0.012570• Mínimo teórico: 0.005954• Relación Eb/N0• Antes de ecualizar: 5 dB• Después de ecualizar: 4.04 dB
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 47EJEMPLO 2 – Filtro inverso
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 48EJEMPLO – Filtro inverso
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 49EJEMPLO – Filtro inverso• Probabilidad de error• Sin ecualizador:0.259265• Con ecualizador:0.220274• Mínimo teórico: 0.005954• Relación Eb/N0• Antes de ecualizar: 5 dB• Después de ecualizar: -5.25 dB
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 50Ecualizador por Filtro de Wiener (no causal)• Nos enfrentamos al problema:s[n] = Secuencia de símbolos emitidoshd[n] = Respuesta impulsional del canal digital equivalentex[n] = Salida del canal digital equivalentew[n] = Ruido digital equivalenter[n] = Señal a la entrada del ecualizadorhec[n] = Respuesta impulsional del Ecualizadory[n] = Señal a la salida del ecualizadord[n] = Señal deseada a la salida del ecualizadore[n] = Señal errors[n] r[n]w[n]x[n]d[n]y[n] e[n]hec[n]hd[n]
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 51Filtro de Wiener• Analizaremos primero un problema más sencillo:hd[n]s[n] r[n]hec[n]w[n]x[n]d[n]y[n] e[n]r[n]h[n]d[n]y[n] e[n]
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 52Filtro de Wiener• Buscamos la solución al problema:donde e[n] = d[n] – y[n]• Buscamos el mejor filtro h[n] en sentido cuadráticomedio (Mean Square Error) MSE, (Minimum MeanSquare Error) MMSEMSE = E{|e[n]|2} = potencia media del error• Queremos determinar que filtro h[n] debemoscolocar para minimizar el MSE.r[n]h[n]d[n]y[n] e[n]
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 53Principio de ortogonalidad• TEOREMA: El principio de ortogonalidad estableceque el MSE será mínimo cuando se verifique lacondición:γer[m] = E{e[n]r*[n-m]} = 0Alternativamente:γre[m] = γer*[m] = E{r[n]e*[n-m]} = 0• DEMOSTRACIÓN:• Sea h[n] un filtro tal que al usarlo se verifica γre[m] = 0• Sea g[n] otro filtro cualquiera• Vamos a demostrar que el MSE obtenido con el filtro h[n] essiempre menor o igual que el obtenido con g[n].
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 54Principio de ortogonalidadyh[n] = salida del filtro h[n]yg[n] = salida del filtro g[n]eh[n] = d[n] – yh[n] = error al usar el filtro h[n]eg[n] = d[n] – yg[n] = error al usar el filtro g[n]MSEh = E{|eh[n]|}2= E{|d[n] – yh[n]|2}MSEg = E{|eg[n]|}2= E{|d[n] – yg[n]|2} == E{|d[n] – yg[n]+ yh[n] - yh[n]|2} == E{|eh[n] + yh[n] - yg[n]|2}r[n]h[n]d[n]yh[n] eh[n] r[n]g[n]d[n]yg[n] eg[n]
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 55Principio de ortogonalidadMSEg = E{|eh[n] + yh[n] - yg[n]|2} == E{(eh[n] + yh[n] - yg[n]) *(eh[n] + yh[n] - yg[n])} == E{|eh[n]|2} + E {eh*[n](yh[n] - yg[n])} ++ E {eh[n](yh[n] - yg[n]) *} + E {|yh[n] - yg[n]|2} == MSEh + E {|yh[n] - yg[n]|2} ++ E {eh*[n](yh[n] - yg[n])} + E {eh [n](yh[n] - yg[n]) *}• Luego MSEg = MSEh + un término que es siempremayor o igual que 0 + otros dos términos (que, comodemostraremos a continuación, son 0)• Veamos primero que ambos son complejosconjugados uno del otro:E {eh*[n](yh[n] - yg[n])} = [E {eh[n](yh[n] - yg[n]) *}]*de modo que basta demostrarlo para uno de ellos.
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 56Principio de ortogonalidad[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]*hm mE e n h m r n m g m r n m∞ ∞=−∞ =−∞   = − − − =  ÷   ∑ ∑[ ] [ ] [ ]( ){ }*h h gE e n y n y n− =[ ] [ ] [ ]( ) [ ]* *hmE e n h m g m r n m∞=−∞ = − − =  ∑[ ] [ ]( ) [ ] [ ]{ }* *hmh m g m E e n r n m∞=−∞= − − =∑[ ] [ ]( ) [ ]h*e rmh m g m m∞=−∞= − γ =∑[ ] [ ]( )*mh m g m 0 0∞=−∞= − =∑
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 57Principio de ortogonalidad• Por tanto,MSEg = MSEh + E {|yh[n] - yg[n]|2}de forma que el filtro capaz de verificar γer[m] = 0 dael mínimo MSE (cualquier otro filtro tiene MSEmayor).• Así, el filtro que buscamos verificará el principio deortogonalidadγer [m] = 0que era lo que queríamos demostrar.• A partir de ahora utilizaremos siempre dicho criteriopara el diseño.
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 58Filtro de Wiener• La solución al problema:se obtendrá cuando γer[m] = 0 (ppo. ortogonalidad)γer[m] = E {e[n]r*[n-m]} == E {d[n]r*[n-m] - y[n]r*[n-m]} == γdr[m] – γyr[m] = 0γdr[m] = γyr[m]r[n]h[n]d[n]y[n] e[n]
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 59Recordatorio – Correlación y filtros• Dado un proceso estocástico r[n] con autocorrelaciónrrr[m] que actúa como entrada a un filtro conrespuesta impulsional h[n] y salida y[n], se verifica:y[n] = h[n]*r[n]γrr[m] = E{r[n]r*[n-m]}rhh[m] = h[m]*h*[-m]γyy[m] = E{y[n]y*[n-m]} = γrr[m] * rhh[m] = γrr[m]*h[m]*h*[-m]γry[m] = E{r[n]y*[n-m]} = γrr[m] * h*[-m]γyr[m] = E{y[n]r*[n-m]} = γrr[m] * h[m]r[n]h[n]y[n]
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 60Recordatorio – Densidad espectral y filtros• Dado un proceso estocástico R(z) con densidadespectral Γrr(z)que actúa como entrada a un filtro confunción de transferencia H(z) y salida Y(z), severifica:Y(z)=H(z)R(z)Γrr(z) = Z{γrr[m]}Shh(z) = H(z)H*(1/z*)Γyy(z) = Γrr(z)· Shh(z) = Γrr(z)·H(z) H*(1/z*)Γry(z) = Γrr(z)·H*(1/z*)Γyr(z) = Γrr(z)·H(z)R(z)H(z)Y(z)
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 61Filtro de Wiener - SoluciónLa aplicación del principio de ortogonalidad resultaγdr[m] = γyr[m]o, tomando transformadasΓdr(z) = Γyr(z)Γyr(z) = Γrr(z)·H(z)r[n]h[n]d[n]y[n] e[n]( )( )( )drrrzH zzΓ=Γ
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 62Ecualizador mediante filtro de Wiener• Aplicando ahora la solución anterior a nuestroproblema:• Necesitamos determinar Γrr(z) y Γdr(z), teniendo encuenta que d[n] = s[n-n0]hd[n]s[n] r[n]hec[n]w[n]x[n]d[n]y[n] e[n]( )( )( )drecrrzH zzΓ=Γ
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 63Determinación de Γdr(z)Γdr(z) = Z{γdr[m]}γdr[m] = E{d[n]r*[n-m]} = E{s[n-n0] (x[n-m]+w[n-m])*} == E{s[n-n0]x*[n-m]} + E{s[n-n0] w*[n-m]} == γsx[m-n0] + γsw[m-n0] = γsx[m-n0]• LuegoΓdr(z) = Z{γsx[m-n0]} = z-n0·Γsx(z)Γsx(z) = Hd*(1/z*)·Γss(z)Γss(z) = Z{γss[m]} = Z{E{s[n]s*[n-m]}}• Si la secuencia de símbolos es blanca (símbolosindependientes) que es lo habitualγss[m] = E{|s[n]|2}δ[m]  Γss(z) = E{|s[n]|2}Γdr(z) = z-n0·Hd*(1/z*)· E{|s[n]|2}
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 64Determinación de Γrr(z)Γrr(z) = Z{γrr[m]}γrr[m] = E{r[m]r*[n-m]} == E{(x[n]+w[n])(x*[n-m]+w*[n-m])} == γxx[m] + γwx[m] + γrw[m] + γww[m] == γxx[m] + γww[m]• LuegoΓrr(z) = Γxx(z) + Γww(z) =Γrr(z) = Γss(z)Hd(z)Hd*(1/z*) + Γww(z)• Suponiendo ruido blanco de potencia N0/2Γrr(z) = E{|s[n]|2}· Hd(z)Hd*(1/z*) + N0/2
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 65Ecualizador mediante filtro de Wiener• Finalmente• Comentarios:• El filtro de Wiener tiene en cuenta simultáneamente losefectos de la ISI y del ruido.• Cuando el ruido es muy pequeño (N0  0) el filtro secomporta como un filtro inverso• En aquellas zonas en las que Hd(z) toma valores bajos, elfiltro de Wiener no intenta compensar a cualquier precio,sino que responde de forma mucho más suave (no olvidanunca el ruido)• El filtro obtenido con la expresión anterior es siempre nocausal( )[ ]{ }[ ]{ } ( )02 n*d *ec2 * 0d d *1E s n H zzH zN1E s n H z Hz 2−  ÷ = + ÷ 
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 66EJEMPLO – Ecualizador por filtro de Wiener
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 67EJEMPLO – Ecualizador por filtro de Wienerhd[n] = δ[n] – 0.3·δ[n-1]-0.1·δ[n-2]Hd(z) = 1 – 0.3z-1– 0.1z-2Hd*(1/z*) = 1 – 0.3z - 0.1zSímbolos transmitidos ±1  E{|s[n]|2} = 1Eb/N0 = 5 dB = 3.16[ ]2b d 0nE h n 1.1 N 0.348∞=−∞= = → =∑( )3 4 5ec 2 1 20.1z 0.3z zH z0.1z 0.27z 1.274 0.27z 0.1z− − −− −− − +=− − + − −
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 68EJEMPLO – Ecualizador por filtro de Wiener
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 69EJEMPLO – Ecualizador por filtro de Wiener• Probabilidad de error• Sin ecualizador:0.026821• Con filtro inverso: 0.011840• Con filtro Wiener: 0.008910• Mínimo teórico: 0.005954• Relación Eb/N0• Sin ecualizar: 5 dB• Con filtro inverso: 4.04 dB• Con filtro Wiener: 4.44 dB
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 70EJEMPLO – Ecualizador por filtro Wiener
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 71EJEMPLO – Ecualizador por filtro Wiener
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 72EJEMPLO – Ecualizador por filtro Wiener• Probabilidad de error• Sin ecualizador:0.256885• Con filtro inverso: 0.217144• Con filtro Wiener: 0.060841• Mínimo teórico: 0.005954• Relación Eb/N0• Sin ecualizar: 5 dB• Con filtro inverso: -5.26 dB• Con filtro Wiener: 2.44 dB
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 73Diseños fijos sin restricción - Conclusiones• Ofrecen la mejor solución, desde el punto de vistamatemático al problema planteado.• Dos alternativas• Filtro inverso:• Se diseña ignorando el ruido.• Solo causal en sistemas de fase no mínima• No es un buen diseño si el ruido es importante• Filtro Wiener:• Balancea ruido e ISI• Solución no causal al problema de diseño• Mayor complejidad de diseño• Funciona bien en situaciones de ruido elevado• Mejores prestaciones que el filtro inverso
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 74Diseños fijos sin restricción - Conclusiones• Desde el punto de vista de su construcción(programación) aparecen una serie deinconvenientes:• Se desconoce a priori la longitud de la respuestaimpulsional que se obtendrá como solución • Se ignora la estructura del filtro (realizaciones hard) o seignora el coste computacional asociado al ecualizador enrealizaciones soft (puede comprometer seriamente la selecciónde procesador).• La no causalidad puede suponer retardos de una trama (omás) que pueden ser intolerables en el sistema decomunicaciones.• La obtención del filtro es un procedimiento complejo(especialmente en el caso del filtro de Wiener).• Estos inconvenientes son tan serios que han llevado a labúsqueda de otras soluciones  diseños restringidos.
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 75Diseños restringidos - Introducción• En los diseños restringidos la estructura del filtro seestablece de antemano.• Se utilizan filtros FIR de una longitudpredeterminada (Lec muestras).• Motivos:• Estructuras fijas permiten la realización del ecualizador encircuitos hard o el conocimiento a priori del costecomputacional asociado en realizaciones soft.• Al ser filtros FIR son estructuras intrínsecamente estables• La causalidad implícita de la estructura va a permitir acotarel retardo máximo.• Los algoritmos de diseño son sensiblemente más sencillos yfáciles de programar que para sistemas no restringidos.• El inconveniente es que van a ofrecer prestacionesmás moderadas que los diseños sin restricciones.
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 76Diseños restringidos - Planteamiento• El problema de ecualización continua siendo:donde ahora vamos a forzarhec[n] = {hec[0], hec[1], … hec[Lec-1]}hec[n] = 0 n ≠ 0..Lec -1hd[n]s[n] r[n]hec[n]w[n]x[n] y[n]
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 77Criterio de minima distorsión de pico• El criterio de mínima distorsión de pico puede versecomo la versión del filtro inverso para el casorestringido.• Ignorando el ruido trataremos de resolver:s[n] *hd[n]*hec[n] ≈ s[n-n0]o lo que es lo mismo:htot[n] = hd[n]*hec[n] ≈ δ[n-n0]• Desarrollando:donde no debemos olvidar que la longitud total dehtot[n] será Ltot = Ld+ Lec- 1[ ] [ ] [ ] [ ]ecL 1tot ec d 0k 0h n h k h n k n n−== − ≈ δ −∑
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 78Criterio de mínima distorsión de picohtot[0] = hec[0]hd[0] + hec[1]hd[-1] + … + hec[Lec-1]hd[-Lec+1] = 0htot[1] = hec[0]hd[1] + hec[1]hd[0] + … + hec[Lec-1]hd[-Lec+2] = 0…htot[n0] = hec[0]hd[n0]+hec[1]hd[n0-1]+ … +hec[Lec-1]hd[n0-Lec+1]=1…htot[Ltot-1] = hec[0]hd[Ltot-1]+hec[1]hd[Ltot-2]+ … +hec[Lec-1]hd[Ltot-Lec]=0[ ] [ ] [ ] [ ]ecL 1tot ec d 0k 0h n h k h n k n n−== − ≈ δ −∑Ltot ecuacionesLec incógnitas
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 79Criterio de mínima distorsión de pico• Vemos que tenemos un sistema de Ltot ecuacionescon Lec incógnitas, que se puede expresar en formamatricial como:Hdhec ≅ δn0donde:[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]d d d ecd d d ecd 0 d 0 d 0 ecd tot d tot d dh 0 h 1 h L 1h 1 h 0 h L 2h n h n 1 h n L 1h L 1 h L 2 h L 1 − − + − +   − − +   − − −  KKM M O MKM M O ML[ ][ ][ ][ ]ececec 0ech 0h 1h nh L 1    ≅    −  MM0010         MMLtot filas x Lec columnas Lec filas Ltot filas
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 80Criterio de mínima distorsión de picoHdhec = δn0Hd = Matriz del canal (Ltot filas x Lec columnas)hec= Vector representa al ecualizador (incognitas) (Lecfilas)δn0 = Vector de respuesta deseada o de condiciones (0en todos los valores excepto en n0) (Ltot filas)• Imposible verificar todas las ecuacionessimultáneamente• Es necesario seleccionar un criterio y tratar deoptimizarlo.• El criterio que veremos es el denominado Minimax(o de mínima distorsión de pico):min {max |htot[n]|}, n=0..Ltot-1, n ≠ n0
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 81Criterio de mínima distorsión de pico• Minimax (mínima distorsión de pico)min {max |htot[n]|}, n=0..Ltot-1, n ≠ n0• Se podría interpretar como la minimización del valormáximo de la ISI.• No existe una solución cerrada para el caso general optimización numérica algoritmos difíciles de llevar a la práctica• La elección de n0 tiene efecto sobre el resultado finalobtenido sería necesaria una doble optimización(que habitualmente no se hace).• Nótese que en caso de permitir que Lec  ∞ se obtiene elfiltro inverso.
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 82Filtro de Wiener (FIR)• Una alternativa a la técnica anterior es la versión FIRdel filtro de Wiener.donde ahora vamos a forzarhec[n] = {hec[0], hec[1], … hec[Lec-1]}hec[n] = 0 n ≠ 0..Lec -1e intentar minimizar el criterio MSE = E{|e[n]|2}hd[n]s[n] r[n]hec[n]w[n]x[n]d[n]y[n] e[n]
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 83Filtro de Wiener (FIR)• Buscamos determinar el valor de los Lec coeficientesdel filtro ecualizadorhec[0], hec[1], … hec[Lec-1]que minimizan el MSE• Para ello lo más sencillo es resolver:[ ] ececMSE0 k 0,1, ,L 1h k∂= = −∂K[ ][ ]{ }[ ][ ] [ ]{ }[ ]2*ec ec ecE e n E e n e nMSEh k h k h k∂ ∂∂= =∂ ∂ ∂[ ] [ ]{ }[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]* **ec ec ece n e n e n e nE E e n e nh k h k h k ∂  ∂ ∂   = = + =   ∂ ∂ ∂    
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 84Filtro FIR de Wiener• Teniendo en cuenta quee[n] = d[n] – y[n]y dado que d[n] es independiente de los coeficientesdel ecualizadortenemos que:mientras que el término[ ]ecd[n]0h k∂=∂[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]ecL 1ecl 0ec ec ece[n] y[n]h l r n l r n kh k h k h k−=∂ ∂ ∂= − = − − = − −∂ ∂ ∂∑[ ] [ ] [ ][ ] [ ]ec* L 1* *ecl 0ec ec ece [n] y*[n]h l r n l 0h k h k h k−=∂ ∂ ∂= − = − − =∂ ∂ ∂∑
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 85Filtro FIR de Wiener• Sustituyendo los resultados anterioresy como e*[n] = d*[n]-y*[n] tenemos:por lo que la condición se puede resumir en:condición que debe satisfacerse para[ ][ ]{ }*ececMSEE r n k e [n] 0 k 0,1, ,L 1h k∂= − − = = −∂K[ ] [ ] [ ]( ){ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }* * * *E r n k d n y n 0 E r n k y n E r n k d n− − − = ⇒ − = −[ ] [ ] [ ] [ ]* *yr dr yr drk k k kγ = γ ⇒ γ = γ[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ecL 1yr rr ec ec rr drm 0k k *h k h m k m k−=γ = γ = γ − = γ∑eck 0,1, ,L 1= −K
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 86Filtro FIR de Wiener. Solución• Desarrollando la expresiónse obtiene:hec[0]γrr[0] + hec[1] γrr[-1] + … + hec[Lec-1] γrr[-Lec+1] = γdr[0]hec[0] γrr[1] + hec[1] γrr[0] + … + hec[Lec-1] γrr[-Lec+2] = γdr[1]…hec[0] γrr[Lec-1]+hec[1] γrr[Lec-2]+ … +hec[Lec-1] γrr[0]= γdr[Lec-1]cuya solución existe (en general ) y es única.[ ] [ ] [ ]ecL 1ec rr dr ecm 0h m k m k k 0,1, ,L 1−=γ − = γ = −∑ KLec ecuacionesLec incógnitas
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 87Filtro FIR de Wiener. Solución• Tenemos un sistema de Lec ecuaciones con Lecincógnitas, que se puede expresar como:Γrrhec = γdr• El sistema de ecuaciones anteriores se conoce comoecuaciones de Wiener-Hopf y se suele resolverutilizando para ello el denominado algoritmo deLevinson-Durbin, que reduce el coste computacionalal explotar la simetría de la matriz.[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]rr rr rr ecrr rr rr ecrr ec rr ec rr0 1 L 11 0 L 2L 1 L 2 0 γ γ − γ − + γ γ γ − +   γ − γ − γ KKM M O MK[ ][ ][ ]ececec ech 0h 1h L 1    =  − M[ ][ ][ ]drdrdr ec01L 1 γ γ   γ − MLec filas x Lec columnas Lec filas Lec filas
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 88Filtro FIR de Wiener. Solución• El valor de γrr[m], γdr[m] ya se obtuvieron cuando seanalizó el filtro de Wiener sin restricciones.Γrr(z) = Γss(z)Hd(z)Hd*(1/z*) + Γww(z)Γdr(z) = z-n0·Hd*(1/z*)·Γss(z)por tanto:γrr[m] = γss[m]*rhdhd[m] + γww[m]γdr[m] = hd*[-m]*γss[m-n0]que en el caso habitual de secuencia de símbolosblanca y ruido blanco se convierte en:γrr[m] = E{|s[n]|2} rhdhd[m] + N0/2δ[m]γdr[m] = hd*[-m+n0]· E{|s[n]|2}
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 89EJEMPLO – Ecualizador por filtro de Wienerhd[n] = δ[n] – 0.3·δ[n-1]-0.1·δ[n-2]Símbolos transmitidos ±1  E{|s[n]|2} = 1Eb/N0 = 5 dB = 3.16, n0= 2γrr[m] = rhdhd[m] + 0.174γdr[m] = hd*[-m+2]rhdhd[m] = -0.1δ[m+2] – 0.27δ[m+1]+1.1δ[m]-0.27δ[m-1]-0.1δ[m-2]γrr[m] = -0.1δ[m+2] – 0.27δ[m+1]+1.274δ[m]-0.27δ[m-1]-0.1δ[m-2]γdr[m] = δ[-m+2] – 0.3·δ[-m+1]-0.1·δ[-m][ ]2b d 0nE h n 1.1 N 0.348∞=−∞= = → =∑
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 90Filtro FIR de Wiener. Ejemplo• Suponiendo que deseamos construir un ecualizadorde longitud Lec = 3 tendremos:cuya solución es:1.274 0.27 0.10.27 1.274 0.270.1 0.27 1.274− −  = − − − −  rrΓ[ ][ ][ ]ececech 0h 1h 2  =    ech0.10.31−  = −   drγ0.03560.08090.7650−  = −   ech
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 91Conclusiones• La presencia de ISI limita enormemente lasprestaciones de los sistemas de transmisión digital.• Posibles soluciones• Cambiar el detector  MLSD• Mejor solución posible teóricamente• Problemas de realizabilidad• Mantener el detector y añadir un ecualizador• Solución subóptima, pero realizable• Posibilidades de diseño• Fijos (adaptativos por bloques)• No restringidos (inverso, Wiener, Wiener causal)• Restringidos a una estructura de filtro transversal (mínimadistorsión de pico, filtro FIR Wiener)• Adaptativos
    • Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 92Referencias• Communication Systems, 3rd.ed.• Simon Haykin, John Wiley & Sons, 1994.• Páginas 424 a 427 y 448 a 465.• Digital Communications, 4thed.• John G. Proakis, McGraw-Hill, 2000.• Capítulo 10• An Introducction to Digital Communications• Jack Kurzweil, John Wiley & Sons, 1999.• Páginas 143 a 144, cap.10• Digital Transmission Engineering• John B. Anderson, 1999.• Páginas 318-336