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Tema 1 canales en comunicaciones digitales

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  • 1. Tema 1Canales en comunicaciones digitalesDr. José Ramón CerquidesTeoría de la Señal y ComunicacionesUniversidad de SevillaTransmisión Digital
  • 2. Organización• Introducción. Diagrama de bloques de un sistema detransmisión digital• Elementos de un sistema de transmisión digital• Fuente, codificador, modulador, canal, ruido, demodulador,detector, decodificador y destino• Canal digital equivalente• Definición y modelado• Obtención de los parámetros del canal digital equivalente• Parámetros importantes de una transmisión• Canal discreto equivalente• Definición y modelo• Obtención del canal discreto equivalente• Canal binario equivalente• Definición y modelo• Obtención del canal binario equivalente• Conclusiones• Referencias
  • 3. Diagrama de bloquesFUENTECODIFICADORMODULADORCANALDESTINODECODIFICADORDETECTORDEMODULADORMensajeemitidom[l](secuenciabinaria)Símbolosemitidoss[n](secuenciadigital)Señalemitidas(t)(señalanalógica)Señal a lasalida delcanalc(t)(señalanalógica)Ruidov(t)(señal analógica)Señalrecibidax(t)(señalanalógica)Símbolosrecibidosr[n](secuenciadiscreta)Símbolosestimadoss’[n](secuenciadigital)Mensajerecibidom’[l](secuenciabinaria)CANAL DIGITAL EQUIVALENTECANAL DISCRETO EQUIVALENTECANAL BINARIO EQUIVALENTE
  • 4. • Genera el mensaje binario m[l] a transmitir.• Puede proceder de una fuente analógica• La velocidad de transmisión, también denominadaflujo binario o régimen binario es Rb (bits/segundo).• Tb = 1/Rb es la duración de un bit o período de bit.• La codificación de fuente queda fuera de losobjetivos de la asignatura.FuenteFuenteanalógicaCodificadorde fuente(opcional)m(t)Mensajeanalógico(señalanalógica)Mensajebinario sincodificarMensajebinariocodificadom[l]ConversorA/DNb fs
  • 5. Ejemplos de fuentes• Telefonía• Señal analógica de voz• Banda de 300 a 3400 Hz• Muestreo a 8 bits y 8000 Hz  Rb = 64 Kb/s• Telefonía móvil• Señal analógica de voz• Banda de 300 a 3400 Hz• Muestreo a 8 bits y 8000 Hz  64 Kb/s• Codificación de fuente a Rb de 13 Kb/s• CD-Audio (1x)• Señal digital a 44100·16·2 = 176 KB/s• Música MP3 (MPEG II Layer 3)• Señal analógica de audio• Muestreo a 44100 Hz, stereo, 16 bits/muestra (como CD)• Codificación de fuente a Rb = 32, 64, 128, 256, 384 … Kbps
  • 6. Ejemplo de codificación de fuente• Supongamos que la fuente quiere transmitir elcarácter ‘N’.• Es necesario decidir qué código se va a utilizar.• Se decide utilizar el código ASCII extendido (8 bitspor caracter).• Dicho carácter toma el valor 78 (en decimal)• Codificado con 8 bits resulta ser 01001110• De ese modo,m[l] = 0,1,0,0,1,1,1,0sería el mensaje a transmitir.
  • 7. Codificador• Genera la secuencia de símbolos s[n] a transmitir,que representan la información contenida en elmensaje m[l].• Pueden añadirse códigos de privacidad, proteccióny/o corrección de errores a la secuencia original(fuera de este tema).• La velocidad de salida de los símbolos es Rs y sedenomina velocidad de señalización (en símbolos/so baudios).• Ts = 1/Rs = período de símbolo o duración de unsímbolo (segundos).• La relación Rb/Rs = Ts/Tb = ?bits por símbolo
  • 8. Ejemplo: Un codificador sencillo• Un ejemplo sencillo podría ser el que mapea lasecuencia de bits en símbolos de la forma siguiente:• El mensaje m[l] del ejemplo anteriorm[l] = 0,1,0,0,1,1,1,0se convertiría en la secuencia de símboloss[n] = [-1,1,-1,-1,1,1,1,-1].• En este caso Ts = Tb y por tanto Rs y Rb coincidirán.Bit Símbolo0 -11 1
  • 9. Equivalentes paso bajo• Supondremos siempre que utilizamos equivalentespaso bajo de los sistemas reales de comunicación.• Debemos considerar la posibilidad de símboloscomplejos,s[n] = si[n] + jsq[n]donde si[n] y sq[n] denotan respectivamente lascomponentes fase y cuadratura del símbolo s[n].
  • 10. EJEMPLO: Un codificador de 2 bits/símbolo.• Si realizamos el mapa siguiente:la secuencia original de bits m[l] = 0,1,0,0,1,1,1,0resultaría en una secuencia de símboloss[n] = j,1,-j,-1• Cada símbolo lleva información de 2 bitsTs = 2Tb Rs = Rb/2Bits Símbolo00 101 j10 -111 -j
  • 11. Constelación transmitida• Si marcamos sobre un planocomplejo los posiblesvalores de los símbolostransmitidos, obtendremosla constelación de la señaltransmitida.ReIm1-110ReIm1-1j-j00011011ReIm00011011
  • 12. Ejemplo: 128 - QAM
  • 13. • Supongamos que, debido a un error, se recibiese lasecuencia de símboloss’[n] = j,1,1*,-1(el * indica el símbolo erróneo)• El mensaje decodificado sería01000010 66 ‘B’• Obsérvese que entre el mensaje binario original y eldecodificado hay dos bits de diferencia.Original: 0 1 0 0 1 1 1 0Decodificado: 0 1 0 0 0 0 1 0Un error !!!!
  • 14. Códigos de Gray• Cuando se produce un error, se suele confundir elsímbolo con uno de los más próximos• Parece lógico, que los bits asociados a símbolos máspróximos se parezcan más entre sí, de modo que, alproducirse un error en un símbolo este repercuta enel menor número de bits posibles.• Esto es lo que persigue la codificación Gray.ReIm1-1j-j00011011ReIm1-1j-j00011110Código no Gray Código Gray
  • 15. EJEMPLO: Codificador alternativo (Gray)ReIm1-1j-j00011110• Si hubiesemos utilizado el codificador:Mensaje: 01001110 Codificada: j,1,-1,-j.Recibida: j,1,-j*,-j Decodificado: 01001010  74  ‘J’.• Entre el mensaje binario original y el decodificadohabría ahora únicamente un bit de diferencia.Original: 01001110Decodificado: 01001010
  • 16. Ejemplo: 256 QAM (Gray) (un cuadrante)
  • 17. Modulador• Elemento encargado de convertir la secuencia desímbolos presentes a la salida del codificador en unaseñal analógica s(t) que pueda ser transmitida através del canal de comunicaciones.• Tecnológicamente se despliegan en este punto unenorme número de posibilidades dependiendo de lascaracterísticas que se pretendan obtener del sistemade comunicaciones.• Iremos revisando algunas de los diferentes técnicasde modulación utilizadas habitualmente.• A la salida del modulador encontraremos una señalanalógica s(t) que debe contener la informaciónnecesaria para la correcta transmisión del mensaje.
  • 18. Ejemplo de modulador• Se podría construir unaseñal analógica s(t)asignando formas de ondadiferentes a los diferentessímbolos.• Podríamos transmitirp1(t) cuando s[n] = s0 = 1p-1(t) cuando s[n] = s1 = –1• La señal quetransmitiríamos sería:0 ½Ts Ts tp1(t)10 ½Ts Ts tp-1(t)10 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts 7Ts 8Ts ts(t)1
  • 19. Moduladores sin memoria• Aunque existen moduladores “con memoria” (laseñal transmitida en cada instante depende de laseñal actual y de señales anteriores), para estudiarlas principales características de un sistema detransmisión digital podemos suponer que nuestrosistema utiliza un modulador “sin memoria”:• Un modelo habitual de modulador que puede servirpara describir un buen número de modulacionesviene dado por la expresión:• Dependiendo de ps(t), el esquema anterior puede darlugar a diferentes modulaciones.( ) [ ] ( )ss kks t p t kT∞=−∞= −∑( ) [ ] ( )s sks t s k p t kT∞=−∞= −∑
  • 20. EJEMPLO: Un modulador en I-Q• Partiendo de la secuencia s[n] = j,1,-1,-j si utilizamosun modulador que genere a la salidacon ps(t) = u(t)-u(t-Ts).• Las señales generadas en los canales en fase y encuadratura serán:( ) [ ] ( )s sks t s k p t kT∞=−∞= −∑0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Tstsi(t)10 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Tstsq(t)1
  • 21. EJEMPLO: Un modulador I-Q (2)• La señal que realmente se emitirá seráŝ(t) = Re{s(t)·ej2πf0t}( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }i q 0 0ˆs t Re s t js t cos 2 f t jsen 2 f t   = + π + π  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i 0 q 0ˆs t s t cos 2 f t s t sen 2 f t= π − π0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Tst1 si(t)cos(2πf0t)0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Tst1-sq(t)sin(2πf0t)0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Tst1 si(t)cos(2πf0t)- sq(t)sin(2πf0t)
  • 22. EJEMPLO: Un modulador I-Q (y 3)f0 = 10 Hzf0 = 500 Hz
  • 23. EJEMPLO: Modulador con pulso de Nyquist• Si el pulso ps(t) es un pulso de Nyquist:y se utiliza un modulador lineal binario con símbolosde entrada ±1, la señal de salida será:0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Tst1pt(t)-1 1 -1 -1 1 1 1 -1s(t)10 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts 7Ts 8Ts 9Ts 10Ts 11Ts 12Ts 13Ts 14Tst
  • 24. Canal• El canal es el medio utilizado para transportar laseñal desde el transmisor hasta el receptor.• Puede ser un medio físico: hilos conductores, fibraóptica, guía de ondas..., o bien puede estarconstituido por la atmósfera o el espacio, como en losradioenlaces terrenales por microondas, en lascomunicaciones vía satélite o en la telefonía móvil.• Describiremos el canal analógico mediante surespuesta impulsional hc(t) o equivalentementemediante su función de transferencia Hc(f).• A la salida del mismo nos encontraremos con unaseñal c(t) dada por:c(t) = s(t)*hc(t) C(f) = S(f)·Hc(f)
  • 25. Ejemplos de canales• Canal ideal• Un canal ideal, que no presentara retraso ni atenuación,entregaría a la salida una señal c(t) idéntica a la señal s(t)que se hubiera presentado a su entrada.• Su respuesta impulsional hc(t) se representaría como unadelta,hc(t) = δ(t)• Retardo y atenuación• Para modelar un canal con retardo y atenuaciónutilizaríamos una expresión para su respuesta impulsionalcomo la siguiente:hc(t) = α•δ(t-td)siendo α la atenuación del canal y el parámetro td el retrasodel mismo.
  • 26. Ruido• Uno de los problemas inevitables de cualquiersistema de comunicación es la presencia de ruido.• En nuestros modelos introduciremos el ruido comouna señal v(t), descrita en términos estadísticos y quese añade a la señal de salida del canal, para obtenerla señal de entrada a los circuitos del demodulador:x(t) = c(t) + v(t)• Debemos interpretar este ruido como un “ruidoequivalente”.• Será necesaria una caracterización estadística doble:• Función densidad de probabilidad (usualmente Gauss)• Densidad espectral de potencia (usualmente plana)
  • 27. EJEMPLO: Descripción del ruido• Ruido blanco• Si decimos que v(t) es un ruido blanco esto significa que sudensidad espectral de potencia es plana (igual a todas lasfrecuencias):Svv(f) = σv2• Dado que la autocorrelación y la densidad espectral depotencia forman un par transformado:rvv(τ) = E{v(t)v*(t-τ)} = σv2δ(τ)• Ruido gaussiano• Si decimos que v(t) es un ruido gaussiano de media ceroestamos imponiendo una f.d.p. a las muestras del ruido:( )22vv2v(t)v1f v e2−σ=πσ
  • 28. Ejemplos de ruido (diferentes p.d.f.’s)Gauss RayleighRice Uniforme
  • 29. Ejemplos de ruido (gauss) (diferentes colores)RuidoblancoRuidorosaRuidomarrón
  • 30. Demodulador• El demodulador es el elemento encargado deinterpretar la señal recibida, extrayendo de la mismalos símbolos que fueron inyectados en el modulador.• El demodulador es probablemente el elemento máscomplejo de todo el sistema de transmisión, ya quenormalmente necesita la incorporación de circuitosauxiliares de sincronismo, ecualización, muestreo...• En cualquier caso, a la salida del demodulador nosencontraremos con una secuencia discreta desímbolos que denominaremos r[n], secuencia queserá entregada al detector para su interpretación.• Nos centraremos en la demodulación mediante filtroadaptado, por ser óptimos para modulacioneslineales sin memoria.
  • 31. EJEMPLO: Demodulador con filtro adaptado• En modulaciones lineales sin memoria, la estructurade un demodulador óptimo es la siguiente:donde la expresión del filtro adaptado es:FILTROADAPTADOSeñalrecibidax(t)(señalanalógica)DEMODULADORSímbolosrecibidosr[n](secuenciadiscreta)Señalsalidar(t)(señalanalógica)( )( ) ( )( )0j2 ft* *s crvvP f H f eH f kS f− π=
  • 32. EJEMPLO: Demodulador y constelación• Las muestras tomadas a la salida del demoduladorconstituyen la constelación de la señal recibida.RecepcióncorrectaExcesode ruidoError de faseen sincronismode portadoraError defrecuencia ensincronismode portadora
  • 33. Detector• El detector o decisor es elemento encargado deinterpretar la secuencia de símbolos r[n] presente a lasalida del demodulador con el objetivo dedeterminar la secuencia de símbolos originaltransmitida s[n].• A la salida del detector encontraremos una secuenciade símbolos s’[n], donde la tilde indica “estimados”o lo que es lo mismo, que pueden ser erróneos.• Probablemente el parámetro de calidad másimportante de un sistema de transmisión digital esprecisamente el porcentaje de símbolos erróneos quese recibe, parámetro que suele expresarse como unaprobabilidad y que se denomina Probabilidad deError de Símbolo.
  • 34. Decodificador• El objetivo del decodificador es analizar s’[n] paradeterminar el mensaje original. Si en el codificador sehan introducido códigos de protección y correcciónde errores, el decodificador deberá ser capaz deprocesar adecuadamente dicha información.• A la salida encontraremos en cualquier caso unmensaje “estimado” m’[l], formado por unasecuencia de bits.• Otro de los parámetros de interés en un sistemadigital de comunicaciones es la Probabilidad deError de Bit, que no tiene porqué coincidir con laProbabilidad de Error de Símbolo anteriormentedescrita.
  • 35. Canal digital equivalenteFUENTECODIFI-CADORMODU-LADOR CANALDEMODU-LADORDETECTORDESTINOMensajetransmitidom[l](secuenciadigital)Símbolostransmitidoss’[n](secuenciadigital)Señaltransmitidas(t)(señalanalógica)Ruidov(t)(señalanalógica)Señalrecibidax(t)(señalanalógica)Símbolosrecibidosr[n](secuenciadiscreta)Mensajerecibidom’[l](secuenciadigital)Señal de salidadel canalc(t)(señalanalógica)SímbolosestimadosDECODIFI-CADORs[n](secuenciadigital)CANALDIGITALEQUIVALENTECANALDISCRETOEQUIVALENTECANALBINARIOEQUIVALENTE
  • 36. Canal digital equivalenteFUENTECODIFICADORMODULADORCANALDESTINODECODIFICADORDETECTORDEMODULADORMensajeemitidom[l](secuenciabinaria)Símbolosemitidoss[n](secuenciadigital)Señalemitidas(t)(señalanalógica)Señal a lasalida delcanalc(t)(señalanalógica)Ruidov(t)(señal analógica)Señalrecibidax(t)(señalanalógica)Símbolosrecibidosr[n](secuenciadiscreta)Símbolosestimadoss’[n](secuenciadigital)Mensajerecibidom’[l](secuenciabinaria)CANAL DIGITAL EQUIVALENTE
  • 37. Canal digital equivalente• Si observamos el esquema de un sistema digital decomunicaciones, podemos ver que a la entrada delmodulador tenemos una secuencia discreta s[n], y ala salida del demodulador nos encontramos con unanueva secuencia discreta r[n].• Podemos suponer que la cadena “modulador – canal– ruido – demodulador” se comporta de maneraequivalente a un canal discreto.CANALDIGITALhd[n]s[n]Secuencia desímbolos deentradar[n]Secuencia desímbolos desalidaw[n]Ruido discreto
  • 38. Canal digital equivalente• El modelo resultaría por tanto:r[n] = s[n]*hd[n] + w[n]donde:• hd[n] es la respuesta impulsional del canal digitalequivalente.• w[n] es el ruido discreto equivalente.• Para tener perfectamente caracterizado el canaldigital equivalente necesitamos determinar:• La respuesta impulsional hd[n]• Las características de w[n]• Función densidad de probabilidad• Densidad espectral de potencia
  • 39. Obtención del canal digital equivalenteMODU-LADOR CANALDEMODULADORSímbolostransmitidosSeñaltransmitidas(t)(señalanalógica)Ruidov(t)(señalanalógica)Señalrecibidax(t)(señalanalógica)Símbolosrecibidosr[n](secuenciadiscreta)Señal de salidadel canalc(t)(señalanalógica)s[n](secuenciadigital)CANALDIGITALEQUIVALENTEFILTROADAPTADOr(t)(señalanalógica)SeñalfiltradaCANALDIGITALhd[n]s[n]Secuencia desímbolos deentradar[n]Secuencia desímbolos desalidaw[n]Ruido discreto¿hd[n]?¿w[n]?
  • 40. Obtención de hd[n]• Utilizaremos superposición:• Haciendo v(t) = 0  w[n] = 0 obtendremos hd[n]• Del modelo digital• Del modelo analógicor[n] = r(nTs+t0)t0 Instante óptimo de muestreo de r(t)• Para obtener t0 será necesario determinar queinstante elegirán (o debieran elegir) los circuitos desincronismo.• El objetivo es tomar la muestra en el instante en quela probabilidad de error de símbolo sea menor.[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]d dmr n s n *h n s m h n m∞=−∞= = −∑00 e,stt arg minP =  
  • 41. Obtención de t0• Obtendremos primero una expresión de r(t)r(t) = x(t) * hr(t) = c(t) * hr(t)• Utilizando las siguientes definiciones:pc(t) = ps(t)*hc(t) = Pulso a la salida del canal (recibido).pr(t) = pc(t)*hr(t) = Pulso a la salida del filtro de recepción.( ) [ ] ( ) ( ) ( )s s c rmr t s m p t mT *h t *h t∞=−∞ = − ÷ ∑( ) [ ] ( ) ( ) ( )( )s s c rmr t s m p t mT *h t *h t∞=−∞= −∑( ) [ ] ( )r smr t s m p t mT∞=−∞= −∑v(t) = 0( ) ( ) ( ) ( )c rr t s t *h t *h t=
  • 42. Obtención de t0• En general, los circuitos de sincronismo deben elegirt0 para que la probabilidad de error de símbolo seamínima.• En la práctica se utilizan diferentes técnicas desincronización, con diferentes resultados (véase cap.6 “Digital Communications”).• A fin de simplificar el procedimiento y dado que lastécnicas de sincronismo de símbolo quedan fuera delos objetivos de este tema, supondremos que loscircuitos de sincronismo se “enganchan” al puntomáximo del pulso recibido (esta no es la soluciónóptima, pero puede constituir una buenaaproximación).
  • 43. Ilustración obtención de t0tpr(t)MáximoValor de t para elque se produce = t0
  • 44. EJEMPLO: Determinación de t0• Parámetros del sistema:• Pulso transmitido ps(t) =A·(u(t)-u(t-Ts)) = Π((t-Ts/2)/Ts)• Canal ideal hc(t) = δ(t)• Filtro receptor hr(t) = kps(Ts-t) = kA·(u(t)-u(t-Ts))pc(t) = ps(t) * hc(t) = ps(t)pr(t) = pc(t) * hr(t) = kA2Ts·Λ((t-Ts)/2Ts)0 Ts 2Ts tpr(t)kA2Ts0 Ts tps(t)A0 thc(t)10 Ts thr(t)kAValormáximot0 = Ts
  • 45. EJEMPLO: Determinación de t0• Parámetros del sistema:• Pulso transmitido ps(t) =A·(u(t)-u(t-Ts)) = Π((t-Ts/2)/Ts)• Canal con retraso y atenuación hc(t) = αδ(t-td)• Filtro receptor hr(t) = kps(Ts-t) = kA·(u(t)-u(t-Ts))pc(t) = ps(t) * hc(t) = αps(t-td)pr(t) = pc(t) * hr(t) = kαA2Ts·Λ((t-td-Ts)/2Ts)0 td td+Ts td+2Tstpr(t)kαA2Ts0 Ts tps(t)A0 td thc(t)α0 Ts thr(t)kAValormáximot0 = td+Ts
  • 46. Obtención de hd[n] (continuación)• Del modelo analógicor[n] = r(nTs+t0)r(t) = x(t) * hr(t) = c(t) * hr(t)r(t) = s(t) * hc(t) * hr(t)v(t) = 0( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )c r t s c rmr t s t *h t *h t s m p t mT *h t *h t∞=−∞ = = − ÷ ∑( ) [ ] ( ) ( ) ( )( )t s c rmr t s m p t mT *h t *h t∞=−∞= −∑( ) [ ] ( )r smr t s m p t mT∞=−∞= −∑[ ] ( ) [ ] ( )s 0 r s 0 smr n r nT t s m p nT t mT∞=−∞= + = + −∑[ ] [ ] ( )( )r s 0mr n s m p n m T t∞=−∞= − +∑
  • 47. Obtención de hd[n] (y 3)• Del modelo analógico• Del modelo digital• Conclusión:[ ] [ ] ( )( )r s 0mr n s m p n m T t∞=−∞= − +∑[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]d dmr n s n *h n s m h n m∞=−∞= = −∑[ ] ( )( )d r s 0h n m p n m T t− = − +[ ] ( )d r s 0h n p nT t= +
  • 48. Obtención de hd[n]. Interpretación[ ] ( )d r s 0h n p nT t= +thd[n]-4 -3 -2 -1 0 1tpr(t)t0-4Ts t0-3Ts t0-2Ts t0-Ts t0 t0+Ts
  • 49. EJEMPLO. Obtención de hd[n]• Parámetros del sistema• Pulso transmitido ps(t) =A·(u(t)-u(t-Ts)) = AΠ((t-Ts/2)/Ts)• Canal ideal hc(t) = δ(t)• Filtro receptor hr(t) = kps(Ts-t) = kA·(u(t)-u(t-Ts))• Nótese que si el canal hubiese tenido retraso y atenuaciónhc(t) = αδ(t-td)0 Ts 2Ts tpr(t)kA2Ts-1 0 1 nhd[n]kA2Ts0 td td+Ts td+2Tstpr(t)kαA2Ts-1 0 1 nhd[n]kαA2Ts
  • 50. Intrepretación de hd[n]• Partiendo ya del canal digital equivalente:es posible notar que:• hd[0] ≠ 0 por definición (o no hay transmisión)• si hd[n] ≠ kδ[n]  Hay ISI en el sistema  Ecualizador• EJEMPLO:s[n] = [-1,1,-1,-1,1,1,1,-1]hd[n] = δ[n] + 0.3 δ[n-1]r[n] = [-1,0.7,-0.7,-1.3,0.7,1.3,1.3,-0.7,0.3]• NOTA: Aunque en este caso la ISI por si sola no essuficiente para provocar un error de transmisión, ESTARíADEBILITANDO LA SEÑAL FRENTE AL RUIDO.[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]d dmr n s n *h n s m h n m∞=−∞= = −∑
  • 51. Caracterización del ruido• La relación entre v(t) y w[n] viene dada por:w[n] = w(nTs+ t0)donde• Función densidad de probabilidad:v(t) Gauss de media 0  w[n] Gauss de media 0( ) ( ) ( ) ( )r rw(t) v t *h t h v t d∞−∞= = τ − τ τ∫( ) ( )22vv2v tv1f v e2−σ=πσ[ ] ( )22ww2w nw1f w e2−σ=πσ
  • 52. Caracterización del ruido• Obtención densidad espectral de potencia de w[n]v(t) Densidad espectral de potencia Svv(f)v(t) Función de autocorrelación rvv(τ)rvv(τ) = E{v(t)v*(t-τ)} = F-1{Svv(f)}w[n] Densidad espectral de potencia Sww(F)w[n] Función de autocorrelación rww[m]rww[m] = E{w[n]w*[n-m]} = F-1{Sww(F)}• Sustituyendow[n] = w(nTs+ t0)rww[m] = E{w(nTs+to)w*((n-m)Ts+t0]} = rww(mTs)• Utilizando los resultados ya conocidos de ruido a través desistemas lineales:rww(t) = rvv(t) * rhrhr(t) = rvv(t) * hr(t) * hr*(-t)
  • 53. EJEMPLO. Caracterización del ruido• En el ejemplo que venimos siguiendohr(t) = kA(u(t)-u(t-Ts))rhrhr(τ) = k2A2Ts·Λ(t/2Ts)• Si el ruido v(t) es blancorvv(τ) = σv2δ(τ)rww(τ) = σv2k2A2Ts·Λ(t/2Ts)• La autocorrelación del ruido digital serárww[m] = rww(mTs)rww[m] = σv2k2A2Ts·δ[m]-Ts 0 Ts trhrhr(τ)k2A2Ts-Ts 0 Ts trww(τ)σv2k2A2Ts-1 0 1nrww[m]σv2k2A2Ts
  • 54. Caracterización del ruido. Relaciones• Potencia de ruidoσw2= Potencia de ruido = rww[0]rww[0] = rww(0) = rvv(τ)*rhrhr(τ)|τ=0• Si el ruido v(t) es blanco  rvv(τ) = σv2δ(τ)pero rhrhr(0) es, precisamente, la energía del filtro receptor.• CONCLUSIÓN: En caso de ruido blanco la potencia deruido en el modelo digital simplemente se incrementa en laenergía del filtro de recepción.• CONCLUSIÓN: Si la “k” del filtro de recepción se elige deforma que la energía sea 1, se simplifica la formulación.[ ] ( ) ( )r rww h h vvr 0 r u r u du∞−∞= −∫[ ] ( ) ( ) ( )r r r r2 2 2w ww h h v v h hr 0 r u u du r 0∞−∞σ = = σ δ − = σ∫
  • 55. EJEMPLO. Normalización del filtro receptor• En el ejemplo que venimos siguiendohr(t) = kA(u(t)-u(t-Ts))rhrhr(τ) = k2A2Ts·Λ(t/2Ts)rhrhr(0) = k2A2TsSi queremos normalizarrhrhr(0) = k2A2Ts = 1• Si el ruido v(t) es blancorvv(τ) = σv2δ(τ)rww(τ) = σv2Λ(t/2Ts)• La autocorrelación del ruido digital serárww[m] = rww(mTs)rww[m] = σv2δ[m]s1kA T=
  • 56. EJEMPLO. Normalización del filtro receptor• Otra consecuencia de la normalización del filtroreceptor es que afecta a la amplitud de hd[n].• En el ejemplo que hemos venido desarrollando• Pulso transmitido ps(t) =A·(u(t)-u(t-Ts)) = AΠ((t-Ts/2)/Ts)• Canal ideal hc(t) = δ(t)• Filtro receptor hr(t) = kps(Ts-t) = 1/√Ts·(u(t)-u(t-Ts))• CONCLUSIÓN: Al normalizar el filtro receptor y sino hay ISI hd[n] = √Epδ[n]• CONCLUSIÓN: A partir de ahora tomaremossiempre el filtro receptor normalizado.0 Ts 2Ts tpr(t)sA T-1 0 1 nhd[n]sA T
  • 57. Parámetros importantes de una transmisión• Energía del pulso y energía media por símbolo• Se calculan a la entrada del receptor, es decir, sobre c(t)• Densidad espectral de ruido (supuesto blanco)• Se calcula a la entrada del receptor, es decir, sobre v(t), peroteniendo en cuenta toda la cadena de recepciónσv2= σw2= N0/2 = kT0F/2• Por eso la potencia de ruido disponible en un equipo decomunicaciones es siemprePn = kT0FB( )2p cE p t∞−∞= ∫( )J 1 J 12 2s j j p j pj 0 j 0Equiprobables1E p s s E s EJ− −↑= == =∑ ∑
  • 58. El canal discreto equivalenteFUENTECODIFI-CADORMODU-LADOR CANALDEMODU-LADORDETECTORDESTINOMensajetransmitidom[l](secuenciadigital)Símbolostransmitidoss’[n](secuenciadigital)Señaltransmitidas(t)(señalanalógica)Ruidov(t)(señalanalógica)Señalrecibidax(t)(señalanalógica)Símbolosrecibidosr[n](secuenciadiscreta)Mensajerecibidom’[l](secuenciadigital)Señal de salidadel canalc(t)(señalanalógica)SímbolosestimadosDECODIFI-CADORs[n](secuenciadigital)CANALDIGITALEQUIVALENTECANALDISCRETOEQUIVALENTECANALBINARIOEQUIVALENTE
  • 59. El canal discreto equivalente (sin memoria)• Observando el esquema podemos ver que a laentrada del modulador tenemos una secuencia desímbolos s[n]= {s0…sJ-1}, y a la salida del detector nosencontramos con una nueva secuencia discreta s’[n]con otros valores posibles {r0…rK-1}.• ¿Cómo modelaría el sistema un observador queestuviera analizando ambas secuencias?CANALDISCRETOEQUIVALENTEs[n]Secuencia desímbolos deentradas’[n]Secuencia desímbolos desalida
  • 60. Canal discreto equivalente• El modelo que utilizaremos para representarlo seráuna matriz de probabilidades de transición:• NOTAS• Se utilizará rk en lugar de s’k por claridad.• No confudir los símbolos rk detectados con la secuencia r[n] ala entrada del detector.• Obsérvese que la suma de cualquier fila es 1p(r0|sj) + p(r1|sk) + … + p(rJ-1|sk) = 1 (p. total)( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 0 1 0 K 1 00 1 1 1 K 1 10 J 1 1 J 1 K 1 J 1p r | s p r | s p r | sp r | s p r | s p r | sp r | s p r | s p r | s−−− − − −      LLM M O MK
  • 61. Canal discreto equivalente• En ocasiones, cuando J x K = número total decombinaciones es bajo, puede representarse la matrizanterior en forma gráfica:p(r0|s0)p(r1|s0)p(r2|s0)s0s1s2s3r0r1r2
  • 62. Obtención del canal discreto equivalente• Para tener perfectamente especificado el canaldiscreto equivalente necesitamos determinar lamatriz anterior.• Para ello partiremos del canal digital equivalente yobtendremos cada una de las probabilidades.• EJEMPLO:• Pulso transmitido ps(t) =AΠ((t-Ts/2)/Ts)• Canal ideal hc(t) = δ(t)• Filtro receptor normalizado hr(t) = 1/√Ts·Π((t-Ts/2)/Ts)• Ruido blanco• Potencia de ruido σv2= N0/2 = kT0F/2• Codificador binario s[n] = {s0,s1} = {-1,1}• Detector  s’[n]=signo(r[n])
  • 63. Obtención del canal discreto equivalente• Canal digital equivalente• hd[n] = √Epδ[n]• w[n] blanco de potencia σw2= N0/2• Determinación de p(r0|s0) y p(r1|s0)• Señal recibida si se transmite s0r|s0 = -√Ep + w• Función densidad de probabilidad de la señal recibida( )( ) ( )2 2p p2w 00r E r E2 Nr|sw 01 1f r e e2 N+ +− −σ= =πσ π( ) ( ) ( )00p p0 0 0 r|s0 0E 2E1p r | s p r | s 0 f r dr 1 erfc 1 Q2 N N−∞   = < = = − = − ÷  ÷ ÷  ÷   ∫( ) ( ) p p1 0 0 00 0E 2E1p r | s 1 p r | s erfc Q2 N N   = − = = ÷  ÷ ÷  ÷   
  • 64. El canal binario equivalenteFUENTECODIFI-CADORMODU-LADOR CANALDEMODU-LADORDETECTORDESTINOMensajetransmitidom[l](secuenciadigital)Símbolostransmitidoss’[l](secuenciadigital)Señaltransmitidas(t)(señalanalógica)Ruidov(t)(señalanalógica)Señalrecibidax(t)(señalanalógica)Símbolosrecibidosr[n](secuenciadiscreta)Mensajerecibidom’[l](secuenciadigital)Señal de salidadel canalc(t)(señalanalógica)SímbolosestimadosDECODIFI-CADORs[n](secuenciadigital)CANALDIGITALEQUIVALENTECANALDISCRETOEQUIVALENTECANALBINARIOEQUIVALENTE
  • 65. El canal binario equivalente• Observando el esquema podemos ver que a laentrada del codificador tenemos una secuenciabinaria m[l], y a la salida del decodificador nosencontramos con una nueva secuencia binaria m’[l].• Ambas secuencias tienen únicamente dos símbolosposibles: 0 y 1.• Sería posible establecer un modelo especial de canaldiscreto denominado canal binario, que relacioneambas secuencias:0|0 1|00|1 1|1p pp p   0101p0|0p1|0 p0|1p1|1
  • 66. Obtención del canal binario equivalente• Para obtener el canal binario equivalentenecesitaremos conocer:• El canal discreto equivalente• El funcionamiento del codificador/decodificador.• Deseamos calcular• p0|0 Probabilidad de recibir un ‘0’ si se transmite un ‘0’• p0|1 Probabilidad de recibir un ‘0’ si se transmite un ‘1’• p1|0 Probabilidad de recibir un ‘1’ si se transmite un ‘0’• p1|1 Probabilidad de recibir un ‘1’ si se transmite un ‘1’• Nótese que p0|0 + p1|0 = p0|1 + p1|1 = 1• Será necesario identificar todas las posiblessituaciones y realizar un promedio.• Normalmente explotaremos la simetría.
  • 67. Obtención del canal binario equivalente• EJEMPLO:• Codificador QPSK (no Gray)• Canal discreto equivalente• Supongamos que se transmite un ‘0’. Hay 4 posiblessituaciones:• 1) 1ercero de s0• 2) 2º cero de s0• 3) 1ercero de s1• 4) 2º cero de s2ReIm1-1j-j00011011s0s1s2s30.75 0.1 0.05 0.10.1 0.75 0.1 0.050.05 0.1 0.75 0.10.1 0.05 0.1 0.75      
  • 68. Obtención del canal binario equivalente• EJEMPLO (continuación)• Debemos determinar la probabilidad de que se reciba un ‘0’para cada una de las situaciones anteriores.• Situación 1): Se recibirá un ‘0’ si se recibe el símbolo s0 o s1p0|01= p(r0|s0) + p(r1|s0) = 0.85• Situación 2): Se recibirá un ‘0’ si se recibe el símbolo s0 o s2p0|02= p(r0|s0) + p(r2|s0) = 0.8• Situación 3): Se recibirá un ‘0’ si se recibe el símbolo s1 o s0p0|03= p(r1|s1) + p(r0|s1) = 0.85• Situación 4): Se recibirá un ‘0’ si se recibe el símbolo s2 o s0p0|04= p(r2|s2) + p(r0|s2) = 0.8• Suponiendo equiprobables las cuatro situaciones anteriores:p0|0 = ¼ · (p0|01+ p0|02+ p0|03+ p0|04)p0|0 = 0.825p1|0 = 1 - p0|0 = 0.175
  • 69. Obtención del canal binario equivalente• EJEMPLO (continuación)• En este caso hay simetría en el problema, luegop1|1 = p0|0 = 0.825p0|1 = p1|0 = 0.175• Se trataría de un canal binario simétrico.• También podemos describirlo diciendo que se trata de uncanal binario simétrico con una probabilidad de errorPe = 0.1750.82501010.175 0.1750.825
  • 70. Conclusiones• 4 modelos de canal• Canal analógico o de forma de onda• Muchos parámetros, mayor complejidad• Diseño de moduladores, demoduladores…• Canal digital equivalente• Pocos parámetros, más versatilidad• Diseño de ecualizadores, análisis de ISI, ruido, …• Canal discreto equivalente• Matriz de probabilidades de transición• Diseño de codificadores, criptografía• Canal binario equivalente• Modelo más sencillo posible• Diseño de codificadores de fuente, protocolos de enlace…• La obtención sólo es posible en un sentidoAnalógico  Digital  Discreto  Binario
  • 71. Referencias• Communication Systems, 3rd.ed.• Simon Haykin, John Wiley & Sons, 1994.• Apartados 1.1, 1.3, 1.4, 1.7, 2.11 a 2.13, 4.10 a 4.14, 7.1 a 7.4,7.10, 8.2, 8.7, 8.8 y 8.22, 10.5, Apéndices 6 (Figura de Ruido),8 (Caracterización estadística de procesos aleatorioscomplejos) y 10 (Criptografía)• Digital Communications, 4thed.• John G. Proakis, McGraw-Hill, 2001.• Apartados 1.1, 1.2, 1.3, 3.3, 4.1 a 4.3, 5.1, 5.2, 6.3, y 7.1• An Introducction to Digital Communications• Jack Kurzweil, John Wiley & Sons, 2000.• Apartados 3.1, 3.2, 3.6, 3.8, 3.10, 3.12, 3.18, 4.1 a 4.6, 4.A, 5.3a 5.6, 6.8 a 6.10, 7.1, 8.1 a 8.3.• Digital Transmission Engineering• John B. Anderson, 1999.• Apartados 2.4, 3.1, 3.3, 3.8, 3.A a 3.C, 4.8, 6.1 y 7.1