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Prueba diagnostica con respuestas   ambiental
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Prueba diagnostica con respuestas ambiental

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  • 1. Y por último, si se comparan los tiempos de los tres atletas y PSU: Matemática se ordenan de menor a mayor, se tiene: 11,02; 11,2 y 11,3, lo que deriva a que Arturo demoró menos, luego él llega primero a la meta, por lo tanto III) es verdadera.Pregunta 01_2011 De esta manera la opción correcta es E). El distractor más marcado por parte de los postulantes que abordaron el problema fue C), esto posiblemente se debe a que no saben restar números con distintas cifras decimales o no saben interpretar que 0,18 significa 18 centésimas. Pregunta 03_2011 En una receta de un postre para 6 personas se necesitan 200 gramos de azúcar. Si se desea preparar dicho postre para npersonas, ¿por cuál número se debe multiplicar n para obtener cuántos gramos de azúcar se necesitan? __ A) 33, 3Comentario: Para resolver preguntas de este tipo, el alumno B) 200debe dominar la operatoria de fracciones compuestas. De C) 1.200tal modo que sepa realizar la operatoria básica de fracciones, D) 6en este caso, adición de fracciones y división de E) 0,03fracciones. ComentarioResolución: El contenido en esta pregunta contextualizada tiene que ver con proporcionalidad directa y ecuaciones con proporciones. Para resolver el problema el alumno debe tener la capacidad de comprender que las variables están en una proporcionalidad directa, plantear una proporción,Entonces, como vimos, la respuesta correcta está en la despejar la incógnita en la proporción planteada y, por último,opción D) saber transformar una fracción a número decimal. Es así como, si se designa por x a los gramos de azúcar que se necesitan para n personas, la proporción que se debePregunta 02_2011 plantear con los datos dados es:Tres atletas corrieron los 100 metros planos, Javier , luego para responder la pregunta se debecronometró 11,3 segundos; Arturo, 11,02 segundos, y Marcelo,11,2 segundos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es despejar x, obteniendo , por lo que el número(son) verdadera(s)? pedido es , valor que se encuentra en la opciónI) Javier llegó después que Marcelo. A).II) Entre Arturo y Marcelo hay 18 centésimas de segundo dediferencia al El distractor más llamativo fue B), y el error cometido por losllegar a la meta. alumnos que marcaron esta opción está en que en laIII) Arturo llegó primero. proporción que se plantean , multiplican cruzado,Alternativas resultando, 6 · x = 200 · n, pero no despejan x y sólo seA) Sólo I quedan con el valor 200.B) Sólo I y II Pregunta 04_2011C) Sólo I y IIID) Sólo II y III El gráfico de la figura 1 muestra el itinerario de un vehículo al irE) I, II y III y volver, en línea recta, a un determinado lugar. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?ComentarioEsta pregunta es del tipo combinada, que involucra elcontenido de números decimales. Aquí, el postulante debetener la habilidad de comprender el enunciado y a partir de lacomparación entre los datos entregados determinar laveracidad o falsedad de cada una de las afirmaciones dadas.Para determinar el valor de verdad de I), se debe comparar loque cronometraron Javier y Marcelo. Así, Marcelo llegó conuna décima de segundo antes a la meta que Javier, pues 11,2< 11,3, luego esta afirmación es verdadera.En II) se debe hacer la diferencia entre el tiempo que demoróArturo y el que demoró Marcelo; es decir, 11,2 - 11,02 = 0,18, Figura 1que corresponde a 18 centésimas de segundo, luego II) es I) La cantidad de kilómetros recorridos por el vehículo fue 180verdadera. km.
  • 2. II) El vehículo estuvo 4 horas detenido. Del enunciado se tiene que T es el total de gallinas y p es laIII) El vehículo se demoró más en ir al lugar que en volver de quinta parte del total de gallinas, luego , queél. corresponde a las gallinas blancas que hay en el corral.Alternativas Si al total de gallinas se le resta la cantidad de gallinas blancasA) Sólo I se obtiene la cantidad de gallinas que no son blancas, esB) Sólo II decir, , luego I) es verdadera.C) Sólo IIID) Sólo I y II Como las gallinas blancas son la quinta parte del total, se tieneE) I, II y III que , por lo tanto II) es verdadera.ComentarioEl contenido que el alumno debe saber en este ítem es el de Y por último, como en I) se llegó a que corresponde a laanálisis y descripción de fenómenos y situaciones que ilustren cantidad de gallinas no blancas del total, lo que a su vezla idea de variabilidad en un gráfico. equivale a cuatro veces la cantidad de gallinas blancas, se concluye que III) también es verdadera.El postulante debe comprender la información entregada tantoen el enunciado como en el gráfico, para luego interpretarlas y Como I), II) y III) son verdaderas se tiene que la opciónllegar a la verdad o falsedad de las afirmaciones dadas. correcta es E).En este caso, el gráfico muestra los kilómetros que recorre un Pregunta 06_2011vehículo para llegar a un lugar y el regreso de éste al punto departida, y el tiempo que demora en hacer este recorrido. -3 -3 Si p = 5,2 • 10 y q = 2 • 10 , ¿cuál(es) de las siguientesAl analizar la afirmación I), se puede concluir que ésta es falsa, igualdades se cumple(n)?porque al interpretar el gráfico se tiene que el automóvil -3recorre 180 km en llegar al lugar, pero al devolverse al punto I) p + q = 7,2 • 10de partida también recorre 180 km, luego en total recorre 360 II) p • q = 1,04 • 10 -5km y no 180 km como se afirma en I). III) p – q = 3,2Para determinar el valor de verdad de II), se deduce del gráficoque desde la tercera hora hasta la séptima hora (4 horas) Alternativasestuvo detenido, por lo tanto II) es verdadera. A) Sólo IPor último, del gráfico se desprende que se demora tres horas B) Sólo IIen llegar a su destino y cuando regresa del lugar al punto de C) Sólo IIIpartida, también lo hace en tres horas, luego en ir y volver D) Sólo I y IIocupó la misma cantidad de tiempo, por lo que III) es falsa. E) Sólo I y IIIComo sólo II) es verdadera se tiene que la respuesta Comentariocorrecta se encuentra en la opción B). El contenido involucrado en este ítem es el de notaciónLa opción distractiva que tuvo una mayor preferencia fue D). El científica, en donde el alumno debe tener la capacidad deerror que comete el alumno que marca esta opción es concluir operar números escritos en esta forma.que I) es verdadera, lo que probablemente pensó es que como Es así como el alumno debe operar con potencias de baseen el gráfico el valor mayor en el eje de los kilómetros es 180, 10 utilizando las propiedades de las potencias, en este casose queda con este valor y no analiza el recorrido del vehículo lamultiplicación de potencias de igual base.en ir y volver al lugar de partida. -3 -3 -3 En I), se tiene p + q = 5,2 • 10 + 2 • 10 = (5,2 + 2) • 10 =Pregunta 05_2011 -3 7,2 • 10 .En un corral, p gallinas son blancas, las que corresponden a la Otra forma de resolver esta adición es transformar losquinta parte del total T de gallinas. ¿Cuál(es) de las siguientes números de notación científica a números decimales y luegoafirmaciones es (son) verdadera(s)? pasar el resultado a notación científica, o sea, -3 -3 p + q = 5,2 • 10 + 2 • 10 = 0,0052 + 0,002 = 0,0072 = 7,2 •I) Las gallinas que no son blancas son -3 10 . Luego, I) es verdadera.II) El 20% de las gallinas son blancas. -3 -3 En II) se tiene, p • q = (5,2 • 10 )(2 • 10 ), aplicandoIII) El número total de gallinas que no son blancas es cuatro - multiplicación de potencias de igual base queda, 5,2 • 2 • 10veces el número de gallinas blancas. 6 -6 = 10,4 • 10 , luego 10,4 se escribe en notación científica, 1 -6Alternativas obteniéndose 1,04 • 10 • 10 , nuevamente se aplica -5 multiplicación de potencias de igual base quedando 1,04 • 10 .A) Sólo II Por lo tanto, II) es verdadera.B) Sólo I y IIC) Sólo I y III En III) se opera de forma similar que en I) y se obtiene:D) Sólo II y III -3 -3 -3 -3 p – q = 5,2 • 10 – 2 • 10 = (5,2 – 2) • 10 = 3,2 • 10 .E) I, II y III Por lo anterior, III) es falsa.Comentario Luego, se tiene que la opción correcta es D).En este problema el alumno debe dominar el contenidode porcentaje y su relación con las fracciones. Además, La alternativa A) fue marcada prácticamente por la cuartadebe interpretar los datos del enunciado y utilizarlos para parte de los postulantes que abordaron el ítem, esto quieredeterminar la verdad o falsedad de las afirmaciones. decir que la igualdad de II) les dio falsa o se conformaron con
  • 3. la A) ya que el resultado de la igualdad I es correcto. El error n + 0,15 • n = 1,15 • n. Luego, el precio original se debeque seguramente cometen fue que después de operar con la multiplicar por 1,15 para obtener el nuevo precio, valor que seigualdad II, el resultado que les dio no supieron escribirlo en encuentra en la opción D).notación científica, es decir, -3 -3 -6 -6 El distractor que fue marcado por más de un cuarto de losp • q = (5,2 • 10 ) (2 • 10 ) = 5,2 • 2 • 10 = 10,4 • 10 = 1,04 • -1 -6 -7 alumnos que abordaron el ítem fue B), y el error que10 • 10 = 1,04 • 10 seguramente cometieron, los que optaron por esta opción, esPregunta 07_2011 que calculan sólo el 15% de un artículo, es decir, 0,15 y no responden, efectivamente, lo que se está preguntando.En un supermercado trabajan reponedores, cajeros ysupervisores. El 60% corresponde a reponedores, los Pregunta 09_2011supervisores son 18 y éstos son un tercio de los cajeros. En un triángulo equilátero de lado 1.000 se unen los puntos¿Cuántos trabajadores tiene el supermercado? medios de cada lado y se obtiene un nuevo triánguloA) 54 equilátero, como se muestra en la figura 2. Si repetimos elB) 72 proceso 6 veces, el lado del triángulo que se obtiene esC) 108D) 120E) 180ComentarioEste problema contextualizado apunta al contenidode porcentajes. El alumno para resolverlo debe comprenderel enunciado e interpretar los datos entregados para realizarrelaciones entre ellos.Es así como en el enunciado se mencionan tres tipos detrabajadores en el supermercado, de los cuales 18 son Comentariosupervisores y éstos corresponden a un tercio de los cajeros El tópico que interviene en esta pregunta está asociado a la(C), es decir, obteniéndose que existen 54 cajeros. resolución de desafíos, en donde el alumno debe tener la capacidad de realizar cálculos orientados a la identificaciónAhora, como se tienen 18 supervisores y 54 cajeros, entre de regularidades numéricas, además de aplicar operatoriaellos hay 72 trabajadores que equivalen al 40% del total de de fracciones y propiedades de potencias.trabajadores, ya que el 60% son reponedores. Entonces, pararesponder la pregunta se debe plantear la siguiente Lo primero que se debe recordar es que un triánguloproporción, en donde x representa al total de trabajadores: equilátero es aquel que tiene sus tres lados iguales, contenido visto en Geometría de Enseñanza Básica. Ahora bien, si se unen los puntos medios del triángulo de laPor lo tanto, la respuesta correcta está en la opción E). figura se obtiene un triángulo inscrito en el triángulo mayor yLa opción C) fue el distractor más marcado, y el error que se cuyo lado mide 500, es decir, .comete en este caso va en la comprensión de la pregunta delproblema, los alumnos no responden lo que les piden, sino Si en este triángulo inscrito se unen los puntos medios de susque calculan el 60% del total, que corresponde a 108 lados respectivos, se obtiene nuevamente un triánguloreponedores y no al total de trabajadores. equilátero, cuya medida de cada lado es 250, o sea,Pregunta 08_2011En una tienda se decide subir todos los precios en 15 %. ¿Porcuál número se deben multiplicar los precios antiguos para .obtener el nuevo precio?A) Por 15 Si se repite el proceso por tercera vez se obtiene que la medida del lado de un tercer triángulo equilátero esB) Por 0,15C) Por 1,5D) Por 1,15 .E) Depende del precio de cada artículo. Luego, como hay que hacer el proceso 6 veces, se deduceComentario que la medida del lado del último triángulo es .El alumno para encontrar la respuesta al ítem debe tener lacapacidad de relacionar porcentajes con números Por lo tanto, la respuesta correcta se encuentra en la opcióndecimales. C).En efecto, si se designa por n el precio de un artículo de la El distractor que obtuvo una mayor preferencia por parte de lostienda, se tiene que el alumnos fue D), y el error que cometen los postulantes que marcaron esta opción es que no comprendieron que se debía15% de este producto está dado por ir dividiendo el lado del triángulo por 2, esto 6 veces, y solamente pensaron en dividir el lado por 6.Ahora, para obtener el precio final del artículo, al preciooriginal se le debe agregar el 15% ya calculado, obteniéndose Pregunta 10_2011
  • 4. Si el índice de crecimiento C de una población A) – 4es inversamente proporcional al índice D de desempleo y en B) 0un instante en que C) 3 D) 4C = 0,5 se tiene que D = 0,25, entonces entre ambos E) 36índices se cumple Comentario En este ítem se debe resolver una ecuación de primer grado con una incógnita y con coeficientes numéricos. Para encontrar el valor de x, se debe aplicar operatoria de números enteros visto en la Enseñanza Básica. En efecto, la ecuación 3 • 2(2x + 4) = 24, es igual a 6(2x + 4) = 24, luego se aplica la propiedad distributiva, obteniendo 12x + 24 = 24, se suma el inverso aditivo de 24 a ambos lados de laComentario igualdad, resultando 12x = 0, de donde x = 0.En este ítem el alumno debe recordar cuando dos variables Entonces, la opción correcta es B).son inversamente proporcionales entre sí. En este caso, Cy D son inversamente proporcionales y por lo tanto Pregunta 13_2011el producto de ellas es constante, es decir, C · D = k, donde 2 Si 6 – 2x = 14, entonces x – x es igual ak es la constante de proporcionalidad inversa. A) –20Ahora bien, cuando C = 0,5 se tiene que D = 0,25, estos B) –10valores al reemplazarlos en la igualdad permiten obtener el C) –30valor de la constante de proporcionalidad, obteniéndose C · D D) 10= 0,5 · 0,25 = 0,125 = k. Como las opciones están en función E) 30de C, se despeja la variable D y se tiene que . ComentarioPor lo tanto E) es la opción correcta. Este ítem, al igual que el anterior, está referido a ecuaciones de primer grado, con la diferencia que en este problemaUno de los distractores con mayor preferencia por parte de los luego de encontrar el valor de x, se debe valorizar en lapostulantes fue D) y el error que cometen es al despejar la expresión algebraica dada, es decir,variable D, de la expresión C · D = 0,125, ya que en vez demultiplicar por el recíproco de C, a ambos lados de la igualdad, 6 – 2x = 14, se suma el opuesto de 6 (inverso aditivo) a cadasólo lo hacen a la izquierda de la igualdad y a la derecha lado de la igualdad, resultando –2x = 8, con lo que se tienemultiplican por C, obteniendo D = 0,125 · C. que x = –4 2Pregunta 11_2011 Ahora, se reemplaza x = –4 en x – x , obteniéndose –4 – (– 2 4) = –4 – 16 = –20, resultado que se encuentra en la opción A).Si n = 3, entonces es igual a El distractor D) fue el más llamativo, y para preferir esteA) 6 distractor es posible que se cometan errores tanto paraB) 9 encontrar el valor dex como al valorizar la expresiónC) 14 algebraica. Por ejemplo, de la igualdad 6 – 2x = 14, se llega,D) 17 erróneamente, a –2x = 20, obteniéndose x = –10. Después, alE) 18 2 2 reemplazarlo en la expresión x – x , se obtiene –10 – (–10) , 2Comentario luego se operan los signos obteniéndose, –10 + (10) y por último, se aplica mal la definición de potencia, resultando –10El contenido involucrado en este ítem está referido a + 20 = 10.la valorización de expresiones algebraicas. En estapregunta el estudiante debe reemplazar el valor dado en la Pregunta 14_2011expresión algebraica para luego realizar operaciones básicas La suma de tres números impares consecutivos es siemprede números racionales y potencias. I) divisible por 3.En efecto, al reemplazar n = 3, en la expresión , II) divisible por 6.se tiene III) divisible por 9. Alternativas Es (son) verdadera(s)Así, la opción correcta es D). A) sólo I.Los alumnos que se equivocaron en contestar el ítem, se B) sólo II.distribuyeron en forma pareja entre los distractores, debido a C) sólo I y III.diversos errores que pueden cometer cuando operan con D) sólo II y III.números. E) I, II y III.Pregunta 12_2011 ComentarioSi 3 • 2(2x + 4) = 24, entonces x es igual a
  • 5. El contenido involucrado en este ítem es el sentido, notación Pregunta 16_2011y uso de las letras en el lenguaje algebraico, reducción de Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos partes, detérminos semejantes y factorización. modo que una de ellas es 50 cm más larga que la otra.Es así como, del enunciado se debe escribir las expresiones ¿Cuáles son las longitudes de cada parte?que representen a tres números impares consecutivos. A) 250 cm y 50 cmSabiendo que 2n será siempre un número par, si se designapor 2n + 1 el primer número, se tiene que el segundo es 2n + B) 150 cm y 150 cm3 y el tercer número impar es 2n + 5, luego la suma de estas C) 175 cm y 125 cmexpresiones se representa por, 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5,realizando reducción de términos semejantes se llega a 6n D) 200 cm y 100 cm+ 9, por último se factoriza por 3 obteniéndose 3(2n + 3). E) Ninguna de las medidas anteriores.Para ver la verdad o falsedad de las afirmaciones debemos Comentariorecordar que un número es divisible por otro cuando elprimero es múltiplo del segundo, es así como se puede En esta pregunta el alumno debe comprender el enunciado y adeducir que I) es verdadera, porque 3(2n + 3) es un múltiplo partir de los datos entregados en él debe plantear y resolverde 3, por lo tanto es divisible por 3 (cualquier valor que se le una ecuación de primer grado con una incógnita.asigne a n, siempre se obtendrá un número divisible por 3). Del enunciado se tiene que la tabla que mide 3 metros, quePor otro lado, II) y III) son falsas, ya que el valor de la equivalen a 300 cm, se divide en dos partes, si la parte másexpresión 3(2n + 3) depende del valor que pueda tener n, lo corta es x, la otra es 300 – x.que implica que la expresión no siempre es divisible por 6 o Además, se sabe que una de ellas es 50 cm más larga que lapor 9. otra, entonces se puede concluir que x + 50 = 300 – x, seComo sólo I) es verdadera, la clave se encuentra en la opción suma el inverso aditivo de -x y el inversoA). aditivo de 50, a ambos lados de la igualdad, obteniéndose 2x = 250, multiplicando porPara este ejemplo, se puede usar un sencillo esquema el recíproco de 2 a ambos lados de la igualdad, se llega adeductivo: sumamos 3 impares seguidos (3 + 5 + 7 = 15) y lodividimos por 3, da 5. El 15 no es divisible ni por 6 ni por9. Respuesta correcta A) Así, las medidas de cada parte de la tabla son 125 cm y 175Uno de los distractores más marcados fue E), en donde creen cm, valores que se encuentran en la opción C) .que las tres afirmaciones son verdaderas. El error queseguramente cometen es pensar que de la suma obtenida, 6n Uno de los distractores con mayor preferencia fue A) y el error+ 9, se puede concluir que es divisible tanto por 6 como por 9, que seguramente cometen los alumnos es no interpretarya que ambos números aparecen en la expresión. correctamente los datos del enunciado y asumir que uno dePregunta 15_2010 los trozos es 50 cm y como la tabla mide 300 cm el otro debe ser 250 cm. Pregunta 17_2011 El largo de un rectángulo es 8 metros mayor que su ancho. Si el ancho del rectángulo es x metros, la expresión algebraica que representa su perímetro es A) (4x + 16) metros. B) (2x + 8) metros. C) (2x + 16) metros. D) (4x + 8) metros. E) (4x + 32) metros.Comentario ComentarioEn este ítem el alumno debe recordar el desarrollodel producto notable de la suma por diferencia, es decir, El postulante debe comprender el enunciado y traducirlo arecordar que una expresión algebraica. Y, además, debe recordar que 2 2 el perímetro de un rectángulo es la suma de las medidas de(a + b)(a – b) = a – b . sus lados, contenido que se encuentra en Enseñanza Básica.Así, Como el ancho del rectángulo es x y el largo es 8 metros más largo que el ancho, se tiene que el largo se expresa como (x + 8) metros, luego para expresar el perímetro del rectángulo en función de x se tiene 2x + 2(x + 8) = 2x + 2x + 16 = (4x + 16) metros.Luego, la opción correcta es B). Así, la opción correcta es A).El distractor con mayor preferencia fue A), y el error que El distractor más marcado fue C). Posiblemente lo que piensancometen los alumnos que marcan esta opción es no elevar al los alumnos es que el largo es 8 metros y no (x + 8) metros, locuadrado el denominador del coeficiente numérico, obteniendo cual los lleva a considerar que el perímetro es x + x + 8 + 8 =la siguiente igualdad: (2x + 16) metros. Pregunta 18_2010
  • 6. Comentario Los contenidos que el alumno debe dominar para contestarlo correctamente son: raíz cuadrada y propiedades de lasCurso: Segundo medio potencias, en este caso, potencia elevada a potencia.Comentario En efecto, debe descomponer la cantidad subradical y luegoEl alumno debe tener la capacidad de operar con fracciones aplicar la raíz cuadrada, de este modo:algebraicas. En este caso, al reemplazar en la expresiónx – (a + b + c) las variables a, b y c por sus respectivas Más directamente, se puede dividir el exponente de la potenciafracciones algebraicas dadas en el enunciado, se tiene subradical (16) por el exponente de la raíz (2) lo que resulta igual a 8, sacamos el 2 afuera de la raíz y queda 28. Otra forma de resolverlos es transformar la raíz a una potencia con índice fraccionario, del siguiente modo:Luego, la respuesta correcta se encuentra en C).Con respecto a los distractores, uno de los más marcado fueE). Seguramente cometen el siguiente error: De esta forma, la opción correcta es E) El distractor más marcado por los postulantes fue B). Lo más probable es que quienes lo marcaron hicieron una erróneaAquí hacen una suma para el lado, llegando entonces, aplicación de la definición de la potencia, o sea,erróneamente, a Pregunta 21_2011 −x Si 3x + 3−x = P, entonces 9x + 9 es igual aPregunta 19_2011 2 A) PEl producto de 2 B) P +2 2 C) P −2 2 D) P −1 E) 3P Área temática: Álgebra Comentario En esta pregunta el contenido está referido a potencias conComentario exponente entero, multiplicación de potencias de igualPara resolver el ítem, el alumno debe recordar raíces base y el desarrollo de un binomio al cuadrado.cuadradas, sus propiedades y el producto notable de la 2 2 El alumno debe reconocer que hay una relación entre lossuma por diferencia; es decir, (a + b) )a – b) = a – b . datos del enunciado y lo que se pide.Es así como, en el segundo factor del −x Es así como, de la igualdad 3x + 3 = P, se debe encontrarproducto se ordenan sus términos, para −x una expresión para 9x + 9 .aplicar el producto de suma por diferencia y el cuadrado de −x Entonces, en 3x + 3 = P, se eleva al cuadrado en ambosuna raíz, obteniéndose −x 2 2 lados de la igualdad, o sea (3x + 3 ) = P , se desarrolla el cuadrado del binomio, llegando a 2 −x −x 2 2 (3x) + 2 • 3x • 3 + (3 ) = P , aplicando propiedades de potencias se obtieneLuego, la opción correcta es D). −x 2 −x 9x + 2 • 30 + 9 = P , que es igual a 9x + 2 + 9 =Uno de los distractores más marcados por los alumnos fue el 2 P , se suma el inverso aditivo de 2 a ambos lados de laE). Tal vez operaron, equivocadamente, de la siguiente forma: igualdad −x 2 y se obtiene 9x + 9 = P – 2.Pregunta 20_2011 Por lo cual, la alternativa correcta es la opción C). Los distractores más marcados por lo alumnos, pregunta que resultó muy difícil, fueron A) y E).
  • 7. Para llegar al distractor A), el error que posiblemente cometen Es así como si se designa por x uno de estos tres númeroses desarrollar mal el binomio del cuadrado; esto es, sólo enteros consecutivos se tiene que su antecesor es (x − 1) yelevan al cuadrado cada uno de los términos de la igualdad su sucesor es (x + 1); luego, la suma de los cuadrados de −x 2 −x 2 23x + 3 = P y obtienen (3x) + (3 ) = P , llegando a 9x cada uno de ellos, que es igual a 291, está dada por −x 2 2 2 2+ 9 =P . (x − 1) + x + (x + 1) = 291, igualdad que se encuentra −x en la opción C).En el caso de E), en 3x + 3 = P multiplican por 3 en −xambos lados de la igualdad: 3(3x + 3 ) = 3P, Erróneamente, la alternativa más marcada por los alumnos fue −x la A) y corresponde a aquellos que saben escribir la expresiónobteniendo 3 • 3x + 3 • 3 = 3P, luego realizan una −x de los tres números enteros consecutivos, pero elevan almultiplicación errónea, llegando a 9x + 9 = 3P. cuadrado la suma de todos ellos y no elevan cada una de susPregunta 22_2011 expresiones.En la figura 3, si ABCD es un rectángulo, entonces el área de Pregunta 24_2011la sección achurada se expresa como El gráfico que representa al conjunto solución del sistema de inecuaciones esÁrea temática: ÁlgebraComentarioEsta pregunta está relacionada con el contenido del análisisde fórmulas de áreas.El postulante debe tener la capacidad de comprender elenunciado para luego calcular el área de la región achurada,contenido tratado en Enseñanza Básica. Área temática: ÁlgebraComo ABCD es un rectángulo y considerando los ángulosrectos marcados en su interior se tiene que la región achurada Comentariotiene sus cuatro ángulos interiores rectos; por lo tanto, su área El tópico que se debe saber en esta pregunta es el relacionadoes igual al producto de dos de sus lados contiguos. con sistemas de inecuaciones lineales sencillas con unaAdemás, BC = AD = y, con lo cual se concluye que uno de incógnita. El alumno debe resolver cada una de laslos lados de la región achurada es (y – z) y el otro es x. Luego, inecuaciones del sistema para luego interceptar losel área de esta región es x(y – z), fórmula que es válida para conjuntos solución de cada una y obtener la respuesta a lacualquier medida que tomen sus lados, de esta manera la pregunta.opción correcta es B). En efecto, en la inecuación 3x ─ 6 < 3, se suma el inversoLa pregunta resultó difícil, lo que demuestra que los alumnos aditivo de ─6 a cada lado de la inecuación, de donde seno están habituados a trabajar problemas que relacionen el obtiene queÁlgebra con la Geometría. 3x < 9, luego se multiplica por el recíproco de 3 a cada lado deEl distractor más usado fue C), y el error que seguramente la inecuación, para obtener que x < 3. El siguiente gráficocometen los alumnos es asumir que los dos rectángulos representa a todos los números reales que son menores que 3pequeños interiores que se forman en el rectángulo ABCD son (que no incluye al 3):congruentes (si lo fueran, estaría indicado en la pregunta), porlo tanto también asumen que los lados del rectánguloachurado son x y z, y así su área es xz.Pregunta 23_2011 Ahora, en la inecuación 4 ─ 2x ≤ 6, se suma el inverso aditivo de 4 a cada lado de la inecuación, resultado ─2x ≤ 2, seLa suma de los cuadrados de tres números enteros multiplica por el recíproco de ─2 a cada lado de la inecuación,consecutivos es 291. ¿Cuál de las siguientes expresiones se llega a x ≥ ─1, se debe recordar que cuando unarepresenta el planteamiento algebraico de este problema?: inecuación se multiplica por un número negativo se obtiene 2A) [x + (x + 1) + (x + 2)] = 291 una inecuación equivalente, donde el signo de la desigualdad 2 2 2 cambia de sentido. El gráfico que representa esta desigualdadB) x + (x + 1) + (x + 2) = 291 (que incluye el –1) es: 2 2 2C) (x − 1) + x + (x + 1) = 291 2 2 2D) (x − 1) x (x + 1) = 291 2 2 2E) x (x + 1)(x + 2) = 291 Por lo tanto, el conjunto solución para el sistema planteado es la intersección que se produce de estos dos gráficos, es decir:Área temática: ÁlgebraComentarioEn este ítem el alumno debe tener la capacidad de Luego, la clave se encuentra en la opción E).comprender, interpretar y expresar los datos del enunciado através de una igualdad de expresiones algebraicas.
  • 8. Esta pregunta resultó difícil y fue omitida por un alto porcentaje Dado el sistemade alumnos. Esto se debe a que hay un dominio sólo parcialdel contenido o bien a que existe un desconocimiento de éste. , el valor de y esEl distractor más usado fue el D). El error que cometen losalumnos es, seguramente, que en la inecuación 4 ─ 2x ≤ 6, no A) 0cambian el sentido de la desigualdad, obteniendo x ≤ ─1 y B) 3bconcluyen que la inecuación 3x ─ 6 < 3 es igual a ─6 ─ 3 < C) 6b─3x, obteniendo D) 7a E) 14a─9 < ─3x, luego multiplican por el recíproco de ─3 a amboslados de la inecuación sin cambiar el signo de la desigualdad Área temática: Funcionesllegando a 3 < x. Por último, unen los dos conjuntos soluciones Comentarioen vez de interceptarlos, por lo que su representación gráficaes el distractor D). Esta pregunta está referida al contenido que involucra resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dosPregunta 25_2011 incógnitas y concoeficientes literales. En ella es necesarioPara que la expresión aplicar algún método de resolución que permita encontrar el valor de las incógnitas, en este caso se usará el de reducción. Como se necesita encontrar el valor de y, en el sistema dado se multiplica la ecuación x ─ y = 7a + 3b por ─1, a ambos lados de la igualdad, obteniéndose el sistemasea positiva, se debe cumplir necesariamente queA) xy < 0B) x<0 Luego, al sumar los términos de ambas ecuaciones seC) xy > 0 obtiene 2y = 6b, lo que es equivalente a y = 3b, y dicho valorD) y<0 se encuentra en la opción B).E) x>y Cabe mencionar que a pesar de ser un contenido que seÁrea temática: Álgebra supone es trabajado por los profesores, la pregunta alcanzó gran porcentaje de omisión, lo cual demuestra que el alumnoComentario no sabe trabajar con sistemas de ecuaciones conEn este ítem el alumno debe trabajar con fracciones coeficientes literales.algebraicas, para ello debe sumar fracciones, factorizar y Pregunta 27_2011simplificar el numerador con el denominador de la fracciónresultante. Después debe hacer un análisis de la expresión Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de producción de $resultante para determinar las condiciones necesarias para 1.000.000 mensuales y costos varios por lámpara de $ 5.000.que la fracción sea positiva. Si x representa el número de lámparas producidas en un mes ¿cuál de las siguientes expresiones representa laEs decir, función costo C(x)? A) C(x) = x + 1.005.000 B) C(x) = 1.000.000x + 5.000 C) C(x) = 1.005.000xPara que una fracción sea positiva el numerador y el D) C(x) = 5.000x + 1.000.000denominador deben serlo, o bien ambos deben ser negativos, E) C(x) = (x ─ 5.000) + 1.000.000 Área temática: Funcionesluego (fracción negativa) será positiva cuando secumplen las desigualdades (─y > 0 y x > 0) o (─y < 0 y x < Comentario0). Entonces, del primer paréntesis, si ─y > 0 y x > 0, se tiene El contenido de este ítem está relacionado conque y < 0 y x > 0, por lo que xy < 0. Ahora, del segundo una función que modela una situación contextualizada.paréntesis, si ─y < 0 y x < 0, se tiene que y > 0 y x < 0, por lotanto xy < 0. Como en ambos casos se llega a que xy < 0, El postulante debe comprender e interpretar el texto della clave es la opción A). enunciado, para luego escribir la función que modela el costo C(x).Este ítem resultó muy difícil. Muy pocos alumnos contestaroncorrectamente, lo cual hace pensar que la gran mayoría no El enunciado informa que el costo fijo mensual de produccióndomina a cabalidad el contenido o no están acostumbrados a de lámparas es $ 1.000.000 y que el costo variable de cadatrabajar con este tipo de preguntas en donde la respuesta no lámpara que se fabrica es de $ 5.000. Si x representa eles una expresión sino una condición. Además, requiere que el número de lámparas que se fabrican en un mes, entonces elestudiante haya desarrollado las habilidades de orden costo total se expresa como 5.000x + 1.000.000, expresiónsuperior, como el análisis de situaciones. que se encuentra en la opción D).El distractor con más preferencias fue C). Quienes se f(x) = 5.000x + 1.000.000 es la expresión algebraica deinclinaron por él, posiblemente operaron mal la fracción una función lineal. En general f(x) = ax + b El distractor más marcado por los estudiantes fue B). Lo másalgebraica , entonces asumen que esta fracción es probable es que quienes optan por esta opción hayan hechomayor que cero cuando xy > 0. una mala interpretación del texto, considerando que el costoPregunta 26_2011 fijo ($ 1.000.000) se tiene que multiplicar por la cantidad de
  • 9. lámparas producidas (x), más el costo de fabricar una lámpara El contenido abordado en esta pregunta es de ecuaciones($ 5.000). exponenciales. En este ítem el alumno debe analizar la verdad o falsedad de las igualdades y para ello debe recordarPregunta 28_2011 las propiedades de las potencias; en este caso, potencia de 2El conjunto solución (o raíces) de la ecuación x + 1 = x + 1 es una potencia, multiplicación de potencias de igual base y la propiedad de potencia con exponente negativo. Como , en la igualdad de I) se tiene , ésta se escribe como 4x = 4 − 3 y como las bases de las potencias son iguales, se llega a que x = −3. Por lo que I) es verdadera.Área temática: Funciones 3 En II), en la igualdad 4 • 4x = 1, se multiplican las potenciasComentario 3+x de igual base y se llega a 4 = 1, pero se sabe que 1 = 4 , 0 3+x 0El contenido que mide esta pregunta es la resolución entonces se tiene 4 = 4 , como las bases son iguales, sede ecuaciones de segundo grado, para esto el alumno obtiene 3 + x = 0, de donde se determina que x = −3, por lodebe igualar la ecuación a cero y determinar los valores tanto II) es verdadera.de x. −1 x En III), en la igualdad (4 ) = 64 se aplica la propiedad de −x 3A continuación se presentan dos maneras de hacerlo: potencia de una potencia, resultando 4 = 4 , como las bases 2 son iguales se tiene que –x = 3, de donde x = −3, así III) esLa primera es por factorización. De la ecuación x + 1 = x + 1, verdadera. Por todo lo anterior, la opción correcta es E).se suma el inverso aditivo de 1 y de x, a ambos lados de la 2igualdad, y se obtiene x ─ x = 0, luego al factorizar por x, Pregunta que resultó muy difícil y que contestó correctamenteresulta x(x ─ 1) = 0. sólo el 36,8 por ciento de los postulantes.Aquí el postulante debe saber que un producto es igual a La opción que más confundió fue C), y es probable que en I)cero cuando un factor, o ambos, es igual a cero, en estecaso (x = 0) o(x ─ 1) = 0, lo que da como solución el los alumnos no supieron aplicar la propiedad y en 0conjunto {0, 1}. II) no recordaron que a = 1.La segunda manera de resolverlo es por completación de Pregunta 30_2011cuadrados. Se debe recordar que completación de cuadrados Dada la función f(x) = 2|1 − x| − x, ¿cuá(les) de las siguienteses formar un trinomio cuadrado perfecto de la igualdades es (son) verdadera(s)? 2 2 2forma ax + 2axb + b , en este caso se tiene x ─ x = 0, por loque 2a = ─1, luego , pero el término que falta para 2completar el trinomio es , entonces a la expresión x ─x = 0 se le suma a ambos lados de la igualdad A) Sólo I B) Sólo IIobteniéndose , se factoriza el trinomio C) Sólo IIIcomo cuadrado perfecto y se tiene , se aplica la D) Sólo I y II E) Sólo II y III.raíz cuadrada a ambos lados llegando a .Por lo tanto existen dos posibles valores para Comentariox, . Para resolver correctamente el ítem el alumno debe recordarLo que da como solución el conjunto {0, 1}, que se encuentra la definición de la función valor absoluto para aplicarla en losen la opción C). valores dados y así verificar si se cumplen las igualdades de I), de II) y de III). En I), se calcula f(−2) = 2|1 − (−2)| − (−2) = 2 • 3 + 2 = 8, luegoPregunta 29_2011 se calcula f(−1) = 2|1 − (−1)| − (−1) = 2 • 2 + 1 = 5, como f(−2)¿En cuál de las siguientes expresiones el valor de x es −3? ≠ f(−1), I)es falsa. En II) se calcula , de donde II) es verdadera. En III) se determina f(2) = 2|1 − 2| − 2 = 2 • 1 − 2 = 0, por lo que III) es verdadera.A) Sólo en I De este modo, la alternativa correcta es E).B) Sólo en II Ítem difícil, según las estadísticas, ya que sólo el 19,6 deC) Sólo en III alumnos contestó en forma correcta. La omisión fue del 61,4D) Sólo en I y en II por ciento, esto debido a que tal vez no han trabajado la función valor absoluto en la forma en que se presentó enE) En I, en II y en III la pregunta.Comentario
  • 10. La alternativa B) fue considerada por el 7,3 por ciento de lospostulantes, quienes de seguro no reconocen el símbolo devalor absoluto y usan las barras como un tipo de paréntesis,trabajando con operatoria de números enteros o bien seequivocan al operar con números enteros.Pregunta 31_2011Si f(x) = log2 x, entonces f(16) − f(8) esA) 1B) 2C) 3D) 4 ComentarioE) 7 El contenido aquí medido es referente al gráfico deComentario una función raíz cuadrada y el alumno, para encontrar el queEl contenido que corresponde a esta pregunta es función representa mejor a la función , debe determinarlogarítmica. Además, el alumno debe recordar la propiedad el dominio de la función y para esto debe saber que nlogbb = n. la cantidad subradical siempre debe ser mayor o igual que 4 3 cero; es decir, x ─ 3 ≥ 0, de donde se deduce que el dominioAsí, f(16) = log2 2 = 4 y f(8) = log2 2 = 3. Luego, f(16) − f(8) es x ≥ 3, por lo que se descartan las opciones B) y D), ya= 4 − 3 = 1, respuesta que se encuentra en la opción A). que trabajan con x ≥ 0.A pesar de ser un ítem de aplicación de una propiedad de los Ahora, si se asignan valores a la variable x y se reemplazanlogaritmos, resultó difícil y sólo el 18 por ciento de los en la función dada, para luego graficar en los ejespostulantes contestó correctamente. La omisión fue del 45,6 coordenados, se obtiene una curva como la de la siguientepor ciento. figura:Muchos eligieron la opción D) y de seguro porque aplicaronmal la definición de logaritmo, es decir,f(16) − f(8) = log2 16 – log2 8 = 8 − 4 = 4.Pregunta 32_2011 2Si f(x) = x + 3x ─ 4, entonces f(x + 1) es igual a 2A) x + 3x ─ 2 2B) x + 5x ─ 3 Esta curva está mejor representada en la opción C). 2C) x + 5x ─ 2 Esta pregunta resultó muy difícil. Sólo seis de cien alumnos la responden correctamente (preocupante). Esto demuestra que 2D) x + 5x el alumno no domina a cabalidad este contenido o no lo ha 2E) x + 3x trabajado.Comentario El distractor D) fue marcado por once de cada cien alumnos, y seguramente se equivocaron porque reemplazan x por 0 yEn este ítem el alumno debe reemplazar en la funcióncuadrática la variable x por (x + 1), para luego operan mal los signos; es decir;desarrollar productos notables y reducir términos y luego reemplazan x por 3, ,semejantes. concluyendo, erradamente, que el gráfico está en D). 2En efecto, f(x + 1) = (x + 1) + 3(x + 1) ─ 4, aplicando binomio Otro modo de resolverlo sería anotar los puntos para una 2al cuadrado y multiplicación se obtiene x + 2x + 1 + 3x + 3 ─ gráfica de : 2 4, haciendo reducción de términos semejantes se tiene, x +5x, por lo que la opción correcta es D).El ítem resultó de dificultad difícil. Esto se puede deber a queel alumno no sabe trabajar con este tipo de preguntas, endonde tiene que encontrar la imagen de una expresión nonumérica. Graficamos uniendo los puntos rojos (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3):El distractor más marcado fue B), y quienes llegaron a él, lo 2más probable es que reemplazaron sólo en x , es decir, 2 2 2f(x + 1) = (x + 1) + 3x ─ 4 = x + 2x + 1 + 3x ─ 4 = x + 5x ─ 3.Pregunta 33_2011¿Cuál de las siguientes opciones representa mejor algráfico ?
  • 11. Luego graficamos sabiendo que el (–3),desplaza la función desde cero tres lugares hacia la derecha: En II), como se tiene que a = 1, reemplazando en el vértice de la parábola se obtiene (1, 0), luego esta intersecta en un soloAlternativa correcta. C) punto al eje x, por lo que II) es verdadera.Pregunta 34_2011 Su gráfica es: 2Dada la parábola de ecuación y = x − 2x + a, ¿cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Si a > 1, entonces la parábola intersecta en dos puntosal eje x. II) Si a = 1, entonces la parábola intersecta en un solopunto al eje x.III) Si a < 1, entonces la parábola no intersecta al eje x.AlternativasA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y II Al analizar III), se tiene que a < 1, por lo que la ordenada (−1 + a) será siempre un valor negativo. Como se tiene que laD) Sólo I y III parábola se abre hacia arriba y el vértice está abajo del eje x,E) Sólo II y III entonces la parábola lo intersecta en dos puntos. Por lo que III) es falsa.Comentario Su gráfica es:Para resolver el ítem, el alumno debe realizar un análisis decada una de las afirmaciones dadas en I), en II) y en III), paraello debe recordar la gráfica de una parábola,su concavidad y su intersección con los ejes coordenados.Antes de analizar las afirmaciones, se determinarán laconcavidad y el vértice de la parábola. Es así como se debe 2recordar que la parábola de ecuación y = px + bx + c tieneconcavidad hacia arriba si p > 0 y hacia abajo si p < 0, en este 2caso de la ecuación de la parábola dada y = x − 2x + a, setiene que p = 1 > 0, luego, la parábola tiene concavidad haciaarriba.Por otro lado, se debe recordar que el vértice de la parábola De lo anterior se deduce que la clave es B). Este ítem resultó muy difícil, contestado sólo por el 14,3 porestá dado por las coordenadas , ciento del total, con una alta omisión del 67 por ciento. Esto demuestra la inseguridad de los alumnos, ya que se requierereemplazando por p = 1 y b = −2, se tiene de un buen análisis. En el caso erróneo de afirmar que I) es verdadero los alumnosy posiblemente creyeron que basta con que a > 1 para que laLuego, el vértice de la parábola es (1, −1 + a). parábola intersecte en dos puntos al eje x, sin realizar un análisis sobre la posición del vértice.Ahora, si se analiza I) se tiene que a > 1, entonces (−1 + a) >0, por lo tanto el vértice de la parábola está sobre el eje x, y Nota del Profesor en Línea:como la concavidad es hacia arriba no intersecta a este eje. 2 La ecuación que aquí se anota y = px + bx + c correspondePor lo tanto, I) es falsa. 2 a f(x) = ax + bx + c que utilizamos al tratar la funciónSu gráfica es: cuadrática, cuya gráfica siempre es una parábola. Por lo tanto, la letra p que aquí se utiliza para obtener las coordenadas del vértice de la parábola corresponde a la letra a de la fórmula general. En lo que se refiere al vértice, debió ser del siguiente modo:
  • 12. “Por otro lado, se debe recordar que el vértice de la parábolaestá dado por las coordenadas ,reemplazando por a = 1 y b = −2, se tieney . Luego, el vértice de laparábola es (1, −1 + c).”

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