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  • 1. ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASIng. GuamanTandazo Ezequiel AlbertoGrupo 4Integrantes: Borja Jaramillo Jorge Iván GualotuñaFajardoJefferson Santiago Gaibor Mariño Miguel Angel Vega Varela Roger Paul
  • 2. Objetivo general Definir y encontrar la representación mediante ecuaciones diferenciales del circuito serie RL y RC.Objetivos Específicos Aplicar la ley de Kirchhoff para la solución de este tipo de circuitos. Determinar mediante E.D. el comportamiento de este tipo de circuitosMarco teóricoCircuito RLUn circuito RL es un circuito eléctrico que contiene una resistencia yun inductor. Se dice que el inductor se opone transitoriamente alestablecimiento de una corriente en el circuito.
  • 3. Según la segunda ley de Kirchhoff aplicada al circuito RL de la figura,el voltaje aplicado es igual a la suma de caída de voltajes a través delinductor y el resistor. dqY si se tiene una corriente (i): i donde q es la carga aplicando la dtley de ohm para hallar la caída de voltaje para el Inductor en función dide la corriente es igual a L y la caída de voltaje para la resistencia dten función de la corriente igual a R iEntonces reemplazando las caídas de voltaje en la ley de Kirchhoff: diE (t ) L R i Ecuación diferencial en corriente para el circuito L-R dtSi dividimos todo para L :di R E (t ) i Ecuación Diferencial Linealdt L LMultiplicamos ambos miembros de la ecuación por el factor de R R dt tintegración e L eL R R R t di t R t E (t )eL eL i eL dt L Ld Rt R t E (t ) eL i eLdt L
  • 4. R R t t E (t )eL i eL dt C L R t R R L e t ti (t ) e L E dt Ce L Ecuación Diferencial para la corriente i(t ) LPara el circuito RL por lo general se da la corriente inicial i(0) comocondición inicial.CIRCUITO RCSe llama circuito RC a la combinación en serie de un capacitor y unresistor.Dicho circuito puede representar cualquier conexión de resistores ycapacitores cuyo equivalente sea un solo resistor en serie con un solocapacitor.En la figura se muestra un circuito RC conectado a una fuente devoltaje continuo. El interruptor tiene como objetivo cargar y descargaral capacitor.El proceso inicia cuando el interruptor se conmuta a la posición “a” enel tiempo t=0 [s] y se considera que el capacitor se encuentradescargado. Aplicando ley de kirchhoff a la malla.
  • 5. SustituyendoEcuación diferencial lineal de primer orden, no homogénea y decoeficientes constantes, cuya solución consta de dos partes: lasolución homogénea y la solución particular.1.- La solución homogénea
  • 6. Al integrar ambos miembros de la igualdad.Obteniendo el antilogaritmo en ambos miembros.2.- La solución particularDebido a que el segundo miembro de la ecuación diferencial nohomogénea es una constante, la solución particular será del tipo
  • 7. La solución completa esEntonces
  • 8. la corrienteDefiniendo la constante de tiempo comoLas ecuaciones anteriores se expresan como:Las siguientes figuras muestran las gráficas de las ecuacionesanteriores en función del tiempo y con una escala en múltiplos de
  • 9. Gráfica de voltaje en el capacitorGráfica de corriente en el capacitor
  • 10. En las gráficas o en las ecuaciones, se observa que el capacitor, paracuando, se carga y adquiere el voltaje de la fuente ε. Para entonces yano existe diferencia de potencial en las terminales del resistor, por loque lacorriente es cero, es decir, siAfortunadamente no es necesario esperar un tiempo infinito paraconsiderar que el capacitor se ha cargado, de acuerdo con las gráficaspara el tiempoel capacitor prácticamente ya se cargo y la corriente es casi nula. Esdecir, parase ha alcanzado el 98.2% del valor final del voltaje en el capacitor y setiene el 1.8% de la corriente inicial en el circuito; es por ello que, parafines prácticos, se considera que parase han alcanzado las condiciones estables del circuito.Resumiendo:En el tiempo t=0 el capacitor se comporta como un corto circuito yafluye la máxima corriente.
  • 11. En el tiempo t = 4Ƭ o mayor el capacitor se comporta como circuitoabierto ya que en sus extremos tiene un voltaje, prácticamente, igual alde la fuente y ya no circula corriente.Si Después de cargado el capacitor hasta alcanzar una diferencia depotencial Vc=V0 se cambia el interruptor a la posición “b”, como semuestra en la siguiente figura, se obtendrá un circuito a través del cualse pueda descargar el capacitor, transformando su energíaalmacenada en energía en forma de calor en el resistor.Circuito de descargaAplicando la LVKPeroAdemás
  • 12. Al sustituir todas las expresiones en la primera ecuación se tiene:Dividiendo entre RCLa solución de esta última ecuación es:Utilizando las condiciones iniciales para evaluar KFinalmentey la corriente se obtiene
  • 13. En la tabla siguiente se muestran los valores de la diferencia depotencial y de la corriente en el capacitor para diferentes valores de laconstante de tiempo y considerando como condiciones inicialesVc=V0=1 [V] y Vo/R=1 [A].TÉRMINO TRANSITORIO Y ESTACIONARIOPara entender este tema, empezaremos por definir lo que es cada unode estos estados.Estado estacionario se da cuando las características físicas de unsistema no varían con el tiempo. Este es el fundamento en el que sebasan las teorías de a electrostática y la magnetostática.
  • 14. Estado transitorio es la respuesta de un circuito eléctrico quedisminuye con el tiempo, en oposición al régimen estacionario, que esla respuesta que permanece constante hasta que se varía bien elcircuito o bien la alteración del mismo.Para un estudio orientado hacia circuitos, debemos entender quehablaremos sobre el estudio y análisis de ondas u oscilaciones.Así se tiene la ecuación diferencial que describe las oscilacionesforzadas y es:La solución general de la ecuación diferencial homogénea tiene laformaDonde los coeficientes C y D se determinan a partir de las condicionesiniciales. Una solución particular de la ecuación diferencial completatiene la formax2=Acos(ωf t)+Bsen(ωf t)Obtendremos los valores de A y B haciendo que cumpla la ecuacióndiferencial lineal completaLa solución general de la ecuación diferencial completa es la suma dela solución general de la homogénea más la soluciónparticular x=x1+x2.
  • 15. El primer término, describe el estado transitorio que desaparece alcabo de cierto tiempo (teóricamente infinito) y depende de lascondiciones iniciales. El segundo término, describe el estadoestacionario.Bases para resolver problemas de circuitosLa siguiente ecuación muestra un circuito que contiene una fuerzaelectromotriz de V volt (V), un capacitor con capacitancia de C faradios(F) y un resistor con una resistencia de R ohm.La caída de voltaje a través del capacitor Q/C, donde Q es la carga encoulomb (C). La ley de Kirchhoff establece:A continuación se muestra la manera de resolver ejercicios decircuitos, y se plantean otros:
  • 16. EjerciciosEjercicio 1Un circuito en el cual la resistencia es de , la capacitancia es de F,la batería suministra un voltaje constante de 1. Determinar la ecuacióndada la carga inicial es de Q (1) = 5C. Q (1)=5
  • 17. Ejercicio 2Un circuito en el cual la resistencia es de 1, la capacitancia es de 5 F,la batería suministra un voltaje constante de 20. Determinar laecuación dada la carga inicial es de Q (0) = 1C. Q (0) = 1C
  • 18. Ejercicio 3Un circuito en el cual la resistencia es de t, la capacitancia es de 4tF,la batería suministra un voltaje constante de 20t. Determinar laecuación dadala carga inicial es de Q (0) = 3C. Q (0)=3
  • 19. Ejercicio 4Un circuito en el cual la resistencia es de 1, la capacitancia es de 1/t F,la batería suministra un voltaje constante de . Determinar laecuación dada la carga inicial es de Q (1) = 0C. Q (1)=0
  • 20. Ejercicio 5Un circuito en el cual la resistencia es de , la capacitancia esde t F, la batería suministra un voltaje constante de t. Determinar laecuación dada la carga inicial es de Q (0) = 0C. Q (0)=0
  • 21. Ejercicio 6Un circuito en el cual la resistencia es de 1, la capacitancia es de 2t F,la batería suministra un voltaje constante de t. Determinar la ecuacióndadala carga inicial es de Q (0) = 2C. Q (0)=2
  • 22. Ejercicio 7Un circuito en el cual la resistencia es de t, la capacitancia es de 4 F,la batería suministra un voltaje constante de . Determinar laecuación dadala carga inicial es de Q (1) = 0C. Q (1)=0
  • 23. Ejercicio 8Un circuito en el cual la resistencia es de , la capacitancia esde F, la batería suministra un voltaje constante de .Determinar la ecuación dadala carga inicial es de Q (1)=1C. Q (1)=1
  • 24. Ejercicio 9Un circuito en el cual la resistencia es de 2, la capacitancia es de0.001F, la batería suministra un voltaje constante de 10 sen (60t).Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (0) = 0C. Q (0)=0
  • 25. Ejercicio 10Un circuito en el cual la resistencia es de t, la capacitancia es de 1 F,la batería suministra un voltaje constante de 5tcos (8t). Determinar laecuación dada la carga inicial es de Q (2) = 0C. Q (2) = 0C
  • 26. Ejercicios Propuestos1.- Un circuito en el cual la resistencia es de t, la capacitancia es de 1F, la batería suministra un voltaje constante de (8t+3). Determinar laecuación dada la carga inicial es de Q (2) = 3C.2.- Un circuito en el cual la resistencia es de , la capacitancia es de tF, la batería suministra un voltaje constante de 9t. Determinar laecuación dada la carga inicial es de Q (1) = 2C.3.- Un circuito en el cual la resistencia es de , la capacitancia es det+3 F, la batería suministra un voltaje constante de . Determinarla ecuación dada la carga inicial es de Q (3) = 5C.4.- Un circuito en el cual la resistencia es de , la capacitancia es det+5 F, la batería suministra un voltaje constante de . Determinarla ecuación dada la carga inicial es de Q (1) = 7C.5.- Un circuito en el cual la resistencia es de , la capacitancia esde 1/t F, la batería suministra un voltaje constante de 5t. Determinar laecuación dada la carga inicial es de Q (3) = 7C.6.- Un circuito en el cual la resistencia es de , la capacitancia es det/(5+t) F, la batería suministra un voltaje constante de 8t. Determinar laecuación dada la carga inicial es de Q (1) = 8C.7.- Un circuito en el cual la resistencia es de , la capacitancia es det+6 F, la batería suministra un voltaje constante de . Determinar laecuación dada la carga inicial es de Q (5) = 8C.8.- Un circuito en el cual la resistencia es de , la capacitancia es de1/t F, la batería suministra un voltaje constante de . Determinar laecuación dada la carga inicial es de Q (9) = 4C.
  • 27. 9.- Un circuito en el cual la resistencia es de t, la capacitancia es de 5F, la batería suministra un voltaje constante de . Determinar laecuación dada la carga inicial es de Q (1) = 9C.10.- Un circuito en el cual la resistencia es de , la capacitancia es de1/t F, la batería suministra un voltaje constante de .Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (2) = 4C.Conclusiones Definimos y encontramos la representación mediante ecuaciones diferenciales del circuito serie RL y RC. Aplicamos la ley de Kirchhoff para la solución de este tipo de circuitos. La ley de Ohm es de gran importancia para los circuitos eléctricos. Determinamos mediante E.D. el comportamiento de este tipo de circuitos Las características físicas de un sistema no varían con el tiempo; es el fundamento en el que se basan las teorías de a electrostática y la magnetostática.BIBLIOGRAFÍA: Kent Nagle - Edward Saff - Arthur David, ECUACIONES DIFERENCIALES, cuarta Edición, México, 2005 https://www.youtube.com/watch?v=Ans9yM9xKL0 http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/transitorio/transito rio.htm http://es.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9gimen_transitorio_(electr% C3%B3nica) http://es.wikipedia.org/wiki/Estado_estacionario