Relaciones

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Relaciones

  1. 1. 2.2 RELACIONES Las relaciones son un subconjunto de producto cartesiano. Las relaciones son condiciones que posee la variable de las abscisas con respecto a la variable de las ordenadas en los pares ordenados Definición N°2: Relación de en Dado los conjuntos y , se llama relación definida de en a cualquier subconjunto del producto cartesiano Por comprensión lo anterior lo podemos expresar como: , es la relación definida de en si, y sólo si (relación). , o bien es decir, EJEMPLO Nº7:a- Si es el conjunto de todos los países y es el conjunto de todos los ríos, podemosdefinir una relación:Algunos pares de son:
  2. 2. b- SeaEntonces,Dos relaciones de en son: Relación de : Se llama relación definida en a cualquier subconjunto de . EJEMPLO Nº8: 1. Sea , las siguientes son relaciones definidas en es impar a- Sea luego Número de subconjunto: subconjuntos. b.- Sea y , Entonces el número de Relaciones de
  3. 3. Notemos que si es un conjunto finito con elementos, entonces el número desubconjuntos de es Además, si tiene elementos, el El númerode Relaciones que se pueden definir de en es
  4. 4. 2.2.1 REPRESENTACION GRÁFICA DE UNA RELACIÓN.Si una relación está definida en conjuntos numéricos reales, se puedenrepresentar en el plano cartesiano como lo indican los siguientes ejemplos. Figura 2.8 Circunferencia de Figura 2.9 Primer cuadrante centro y radio Y Y 4 2 3 2 1 1 x -2 -1 1 2 X -1 1 2 3 4 5 -1 -1 -2 -22.2.2 DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA RELACIÓN.Definición Nº3: DominioSe llama Dominio de una relación definida de , al conjunto formado portodas las primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a larelación.Dicho por comprensión, esto es:
  5. 5. EJEMPLO N°9:a.-Sea y la relacióndefinida porLos pares ordenados de la relación son:Luego, el dominio de la relación es:b.- SeaLuego, el dominio de la relación es:Definición Nº4: RecorridoSe llama Recorrido de una relación definida de , al conjunto de lossegundos componentes de los pares ordenados que pertenecen a la relación.Dicho por comprensión, esto es:EJEMPLO Nº10:a.-Sea y la relacióndefinida porLos pares ordenados de la relación son:
  6. 6. Luego, el recorrido de la relación es:b.- SeaLuego, el recorrido de la relación es: 2.2.3. RELACIÓN INVERSALa relación inversa de la relación padre es la relación hijo, y la relación inversa dela relación hermano es ella misma. La relación inversa de divide es ser múltiplo.En matemática una relación inversa es solo conmutar, cambiar el orden de laabscisa con la ordenada. A continuación veremos la definición formal y algunosejemplos que muestren una relación inversa.Definición N°5: RELACIÓN INVERSADada una relación definida de , tiene una relación inversa que denotamospor , cuyos elementos son los pares conmutados dePor comprensión, esto es:Si la relación viene dada por los pares ordenados de la forma , los paresordenados de la relación inversa se invierten, es decir, .Si es una relación definida de , entonces es una relación definida de en Entonces
  7. 7. Además, si es la relación inversa de , entonces: yEl diagrama sagital muestra la relación de en y su relación inversa de en Figura 2.1 Representación Sagital de una Relación InversaEJEMPLO N°11:a.- En un conjunto de personas consideramos la relación:La relación inversa es:b.- SiLa relación inversa es:
  8. 8. 2.2.4 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS EN .Una relación definida en un conjunto puede cumplir las siguientes propiedades:a) Propiedad Refleja:Una relación definida en un conjunto , satisface la propiedad refleja si, y sólo si, para todo elemento de Esto quiere decir que todos los elementosde A están relacionados consigo mismo.Para que una relación sea refleja deben estar todos los pares ordenados de laforma , para todos los elementos del conjunto.EJEMPLO N°12:Para y se definen las relaciones siguientes: Satisface la propiedad refleja: No satisface la propiedad refleja, pues el parb) Propiedad SimétricaLa relación definida en un conjunto , satisface la propiedad simétrica si, y sólosi , entonces .Una relación cumple la propiedad simétrica si cada vez que se encuentra el par , entonces necesariamente debe estar el par .Una relación satisface la propiedad simétrica si, y sólo si,
  9. 9. EJEMPLO N°13:En . Consideremos las relaciones y . No satisface la propiedad simétrica pues pero . De hecho, Satisface la propiedad simétrica; ya quec) Propiedad TransitivaUna relación definida en un conjunto , satisface la propiedad transitiva si, ysólo si, entonces .La propiedad transitiva indica que si en la relación se encuentran los pares , entonces también debe estar dentro de la relación el par .EJEMPLO N°14:a.- Sea y la relación , verifiquemos que esuna relación que cumple la propiedad transitivaLuego, la relación es una relación que cumple la propiedad transitiva.
  10. 10. b.- Sea y la relación , verifiquemos si cumple lapropiedad transitivaLuego, la relación , no cumple la propiedad transitiva.d) Propiedad AntisimétricaLa relación definida en un conjunto , satisface la propiedad antisimétrica si, ysólo si . Entonces,Para todos los elementos del conjunto A se forman los pares ordenados ylos pares de la forma que están en la relación , entonces necesariamentelos elementos son los mismos, es decir,EJEMPLO N°15:Sea el conjunto .Se define como la relación definida en Cumple con la propiedad antisimétrica.Sea una relación definida en No cumple la propiedad simétrica y tampoco cumple la propiedad antisimétrica.
  11. 11. 2.2.5 TIPOS DE RELACIONESLas relaciones que satisfacen algunas de las propiedades se denominan de lasiguiente manera:a) Relación EquivalenciaUna relación definida en un conjunto , es una relación de equivalencia si, ysólo si cumple con las propiedades refleja, simétrica y transitiva. Esto es, debecumplir las tres propiedades de manera simultánea. Si una de estas no se cumple,la relación no es de Equivalencia.EJEMPLO N°16:Sea y se define una relación porLos pares ordenados de la relación son:Luego, la relación es una Relación de equivalencia.b) Relación de OrdenUna relación definida en un conjunto es una relación de orden si, y sólo sicumple las propiedades refleja, antisimétrica y transitiva. Esto es, tiene quecumplir con las tres propiedades de manera simultánea (refleja, antisimétrica ytransitiva), si una de estas no se cumple, la relación no es una Relación de Orden.EJEMPLO N°17:Sea y se define la relaciónLuego, la relación es una Relación de Orden

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