Producto cartesiano
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Producto cartesiano Producto cartesiano Document Transcript

  • 2.1 PRODUCTO CARTESIANOEl producto cartesiano tiene como eje central el trabajo de conjuntos, ya sea denúmeros o de otras entidades. Para esto debemos tener claro además, cuales sonlos conjuntos de los números y sus propiedades. (Figura 2.1) Figura 2.1 Conjuntos Numéricos Naturales o Positivos Naturales y Enteros el cero Negativos Racionales Números Reales Decimales Irracionales exactos Fraccionarios Puros Decimales periodicos MixtosUn conjunto es una lista, colección o agrupación de objetos bien definidos, los quese llaman elementos, y se escriben entre llaves separados por comas. Un conjunto puede ser descrito de dos formas:i) Por Extensión: Cuando se indican todos los elementos que lo forman.ii) Por Comprensión: Cuando se indican sus elementos por medio de unapropiedad precisa, que permita identificarlos a todos ellos y sólo a ellos.El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos dedos conjuntos que forman parejas ordenadas.
  • Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamosuna relación (no necesariamente matemática) Por ejemplo:Podemos definir la relación como La correspondencia que hay entre TODOS oALGUNOS elementos del primer conjunto con UNO o MÁS elementos delsegundo conjunto.Cuando hablamos de relaciones en las matemáticas no es un concepto tan lejanoa lo que se conoce como una relación entre otros entes (personas, objetos, etc.);hablamos de la relación que existe entre Chile y Argentina, una relación que losune, es “estar dentro del mismo continente”; o tal vez hablar de la relación queexiste entre un colegio y un grupo de adolescentes que pertenecen alestablecimiento, la relación es “ser estudiante del Colegio”. Ahora bien, enmatemática, el concepto no es tan lejano a lo que se ha comentado. Una relaciónmatemática debe tener presente el Plano Cartesiano, (Figura 2.2). Que estácompuesto por el eje (eje de las abscisas) y el eje (eje de las ordenadas).Cuando se trabaja con el plano cartesiano, se está trabajando con paresordenados, , donde es la primera componente e es la segundacomponente. En el plano cartesiano se ubican puntos mediante pares ordenados , representa un punto donde es la posición del eje de las abscisas e , esla posición del eje de las ordenas, estas se grafican como se muestran en la(Figura 2.3). El par ordenado , representa un único punto en el planocartesiano, y un punto está representado por un único par ordenado.
  • Figura 2.2 Plano Cartesiano Figura 2.3 Puntos en el PlanoII Cuadrante I Cuadrante Cartesiano Y Y 4 5 (3,5) 3 4 II Cuadrante I Cuadrante 3 2 2 1 1 X -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 X -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -1 -2 -2 IIICuadrante IV Cuadrante -3 -3 (-2,-3) -4 -4III Cuadrante IV Cuadrante El plano cartesiano, es un sistema de Puntos localizados en el plano referencia respecto a dos ejes que se cartesiano. cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) son las abscisas y las ordenadas respectivamente. Las abscisas son las primeras componentes del par ordenado y las ordenadas las segundas componentes. Para poder entender las funciones, debemos comprender el “Producto Cartesiano”, su definición, sus propiedades y la importancia de ésta en la ciencia de las matemáticas.
  • Definición Nº1: Producto CartesianoDado dos conjuntos , se llama Producto Cartesiano de en ese ordensimbolizado por , al conjunto de todos los pares ordenados cuyas primerascomponentes pertenecen al conjunto y las segundas componentes pertenecenal conjunto .Por comprensión:EJEMPLO Nº1:Si entonces:Luego, notemos que y .Observación:EJEMPLO Nº2:SiPor extensión:Por compresión:Se representa gráficamente como lo muestra la figura 2.4.
  • Figura 2.4 Producto Cartesiano de Y 2 1 (0,0) (1,0) (2,0) X -2 -1 1 2 (0,-1) (1,-1) (2,-1) -1 -2Si el conjunto tiene elementos y el conjunto tiene elementos, entonces lacantidad de pares ordenados que existe en el producto cartesiano es( ). Es decir, si es la cardinalidad (cantidad de elementos) de y la de tenemos que si y entoncesDel ejemplo anterior, notemos que:Observación: Si o bien entoncesEJEMPLO Nº3:Si (números naturales múltiplos de 2) yEntonces,Por comprensión:Por extensión:
  • Notemos que: Luego2.1.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PRODUCTO CARTESIANOLa representación grafica del producto cartesiano puede darse de dos maneras, através del plano cartesiano o a través de la representación del diagrama sagital.Al graficar en el plano cartesiano, debemos considerar los conjuntos en los cualesestamos trabajando. El producto cartesiano pueden resultar ser: puntos,segmentos, rectas, rayos o regiones rectangulares.EJEMPLO Nº4:Sea Notemos que Figura 2.5 Representación Gráfica de y 3 (-1,2) (0,2) (1,2) 2 (-1,1) (0,1) (1,1) 1 (-1,0) (0,0) (1,0) Y -1 1
  • EJEMPLO Nº5:Si y Figura 2.6 Representación Gráfica en el plano de la región Y 3 2 1 X -3 -2 -1 1 2 3 -1Sea Luego el producto cartesiano .Larepresentación sagital viene dada por la figura 2.7 Figura 2.7 Representación Sagital A B
  • Producto Cartesiano deEl producto cartesiano definido sobre , significa tomar como primera componenteun elemento del conjunto A y como segunda componente también un elemento delconjunto A. Esto es:EJEMPLO Nº5:El producto cartesiano definido en el conjunto viene dado porEscrito por Comprensión:Escrito por Extensión:2.1.2 PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANOSean y , conjuntos no vacíos, se cumple que:(a)El producto cartesiano de dos conjuntos , es vacio si, y sólo si uno de losconjuntos es vacio.(b)El producto cartesiano de dos conjuntos es conmutativo si, y sólo si uno delos conjuntos es vacío.(c) Distributividad del producto cartesiano respecto a: i. (La unión) ii. (La intersección) iii. (La diferencia)