Funciones reales

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Funciones reales

  1. 1. 2.4 ALGUNAS FUNCIONES REALES PARTICULARES2.4.1 FUNCION CONSTANTEEn matemática se llama función constante a aquella función matemática que tomael mismo valor para cualquier valor de la variable. Se la representa de la forma:donde a es la constante.Si es una constante real, la función definida por: Figura 2.35 Gráfica de la Función Constante Y 4 3 Notemos que: 2 I. II. 1 X -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
  2. 2. EJEMPLO Nº29: a. Sea definida por . Luego su representación gráfica es: Figura 2.36 Gráfica de la Función Y 1 X Notemos que: -1 1 -1
  3. 3. b. Sea La función definida por . Luego, su representación gráfica es: Figura 2.37 Gráfica de la función Y 3 2 Notemos que: I. 1 II. X-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
  4. 4. FUNCIÓN NULA: (Caso particular de la función Constante )Se llama Función Cero a aquella función definida por para todo ,ysu representación gráfica es la siguiente: Figura 2.38 Gráfica de la Función Nula Y 1 Notemos que: X I. -1 1 II. -1
  5. 5. 2.4.2 FUNCION IDENTIDADEn matemáticas una función identidad es una función matemática, de unconjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento.Sea una función. Se llama Función identidad a aquella función definidapor , y su representación gráfica es la siguiente: Figura 2.39 Gráfica de la Función Identidad y 4 3 2 1 Notemos que: X -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 I. -1 II. -2 -3 -4
  6. 6. 2.4.3 FUNCION VALOR ABSOLUTOEn matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numéricosin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo,3 es el valor absoluto de 3 y también es el valor absoluto de -3.El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia ynorma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valorabsoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetosmatemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espaciosvectoriales.La función valor absoluto es aquella función definida por , tal que . Su representación gráfica es la siguiente: Figura 2.40 Gráfica de la Función Valor Absoluto. Y 4 3 2 Notemos que: 1 I. X II. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4Aplicando la definición de Valor Absoluto a expresiones de la forma , se tiene que
  7. 7. EJEMPLO Nº 30:Pero, → →Por lo tanto,O como lo muestra la siguiente tabla:No olvidemos que en el valor absoluto de , sucede que indica elmovimiento horizontal, mientras que indica el movimiento vertical
  8. 8. 2.4.4 FUNCION EXPONENCIAL Sea , es una función real, esta es una función es una expresióncuya base es , y cuyo exponente es la variable independiente .Veamos el comportamiento de esta función en el gráfico.}Figura 2.41 Gráfico de la Función Exponencial. Y 4 Notemos que: 2 I. -4 -2 2 4 X II. -2 -4En general una función real de la forma de base real ; distintade 1, es llamada Función Exponencial.Podemos bosquejar la gráfica de la función exponencial a partir de la tabla devalores:
  9. 9. Figura 2.41 Comparación de Funciones Exponenciales Y y 4 4 3 3 2 2 1 1 X X -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4Si comparamos la gráfica de con , son funciones reflejas conrespecto al eje . Además, es una función creciente mientras que es una función decreciente.Ahora bien, comparamos la gráfica de ,podemos notar que a medida que la base crece, su gráfica tiende a estar máscerrada con el eje y.
  10. 10. Figura 2.43 comparación de Gráficas de Funciones Exponenciales con base mayor a 1. Y 4 3 2 1 X-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4
  11. 11. Gráfico de la función exponencial , con .EJEMPLO Nº 31: Figura 2.44 Comparación de Funciones Exponenciales con base mayor a 0 y menor 1. Y 4 3 2 1 X -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4
  12. 12. Podemos concluir lo siguiente.A. Si , entonces la función exponencial de base y exponentese concluye que:1. La gráfica asociada a la Función Exponencial intersecta al eje en el punto .2. Siempre es una función creciente, es decir, a medida que los valores deaumentan los valores que toma y aumentan.B. En general, si , entonces1. La gráfica asociada a la Función Exponencial intersecta al eje en el punto .2. Siempre es una función decreciente, es decir, a medida que los valores deaumentan los valores que toma y disminuyen, siendo cada vez mas cercanos acero, pero nunca cero.C. En general, para se concluye: 1. El dominio de dicha función, son todos los números reales. 2. El recorrido de dicha función, son todos los números reales positivos. 3. Si , entonces es creciente. 4. Si , entonces es decreciente.
  13. 13. CASOS ESPECIALES DE FUNCIONES EXPONENCIALESDentro del estudio de las funciones exponenciales existen dos casos de sumaimportancia, aquellas funciones que tienen como base los números .a. FUNCION EXPONENCIAL DE BASESi , entonces . El número es conocido a vecescomo número de Euler o constante de Napier.En este caso tenemos que la base es Observemos su gráfica: Figura 2.45 Gráfica de la Función Exponencial con base Neperiana. Y 4 3 2 1 X -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 < -2 0,05 -1 0,13 0 1 1 2,72
  14. 14. b. FUNCION EXPONENCIAL DE BASE 10Si , entonces . Notemos la base . Figura 2.46 Gráfica de la Función Exponencial con base 10. Y 4 3 2 1 X -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -1 1/10 0 1 1 10
  15. 15. 2.4.5 APLICACIONES DE LA FUNCION EXPONENCIAL La función exponencial ayuda en la resolución de problemas matemáticosde situaciones reales. Observemos algunos casos:A. Aplicación a problemas físicos: Según una ley física referida al enfriamiento de un cuerpo, la temperaturafinal de un objeto, transcurrido minutos, está dada por la igualdad.Donde, es la temperatura del medio en que se encuentra el objeto. es la temperatura inicial del cuerpo. es la constante de enfriamiento.Si consideramos un caso hipotético, donde tenemos una temperatura inicial delcuerpo de 70 y una constante de enfriamiento de y el cuerpo es ubicado en unmedio que se encuentra a 30 de temperatura. ¿Qué temperatura tendrátranscurridos 7 segundos?Reemplazando los valores en la fórmula:
  16. 16. B. Aplicación a un problema de biología.Un cultivo de bacterias experimenta un crecimiento dado por la relaciónDonde: es la población inicial de bacterias que tienen la capacidad de reproducirse. es la población de bacterias producidas en un tiempo determinado. es el índice de crecimiento poblacional por bacteria. es el tiempo de cultivo. Consideremos un cultivo con una población inicial de 100 bacterias concapacidad de reproducirse y con un índice de crecimiento poblacional final de 8bacterias después de 10hrs.Reemplazando los valores de la fórmula:
  17. 17. 2.4.6 FUNCION LOGARITMOLa función logaritmo, es la función inversa de la función exponencial, es decir, si , entonces su inversa es . No olvides que la funciónlogaritmo es la función inversa de la función exponencial, esto es:Para poder estudiar la función logaritmo analizaremos su gráfica.Si con Figura 2.47 Comparación de Funciones Logaritmos con distinta base. Y 4 3 2 1 X -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 1/2 -1 1/3 -1 1 0 1 0 2 1 3 1
  18. 18. En general, si su base es mayor a ocurre que:i. La gráfica asociada a dicha función intersecta al eje en el punto .ii. La función es creciente.Si con Figura 2.48 Comparación de las Funciones Logaritmo con base menor a 1. Y 4 3 2 1 X -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 1/2 1 1/3 1 1 0 1 0 2 -1 3 -1
  19. 19. En general, si su base varía entre ocurre que:i. La gráfica asociada a dicha función intersecta al eje en el punto .ii. La función es decreciente para todo valor real de .En general, podemos decir que: a) El dominio es el conjunto de los números reales positivos b) El recorrido es el conjunto de los números reales c) Si , la función es creciente. d) SI , la función es decreciente.
  20. 20. 2.4.7 CASOS PARTICULARES DE LA FUNCIÓN LOGARITMODentro del estudio de las funciones logaritmos existen dos casos de sumaimportancia, aquellas funciones que tienen como base los números .a. SiSi , entonces . Que se lee logaritmo natural de .Observemos su gráfica: Figura 2.49 Gráfica de la Función Logaritmo Natural. Y 4 2 X 1/2 -0,69 -1 1 2 3 4 1 1 2 0,69 -2
  21. 21. b. SiSi , entonces . Observemos su gráfica: Figura 2.50 Gráfica de la Función Logaritmo con base 10. Y 4 0,5 -0,30 3 1 0 2 2 0,30 1 X -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -42.4.8 Función Logarítmica Inversa de la Función ExponencialSea , una función exponencial, determinemos la función inversa dedespejando la variable .Sabemos que si , entonces:Luego, intercambiamos los pares por los de la función en la expresión , tenemos:
  22. 22. Observemos sus gráficas Figura 2.51 Gráfica de la Figura 2.52 Gráfica de la Función Logaritmo con base Función Logaritmo con base mayor a 0. mayor a 0 y menor a 1. Y Y 4 4 3 3 2 , Si 2 1 1 X X -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4En general, podemos observar que: a) Las gráficas son simétricas con respecto a la bisectriz del cuadrante I y el cuadrante III. b) c)

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