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    numeros enteros numeros enteros Presentation Transcript

    • NÚMEROS ENTEROS
    • La suma tiene cuatro propiedades. Las propiedades son conmutativa,asociativa, distributiva y elemento neutro.Propiedad conmutativa: Cuando se suman dos números, el resultado esel mismo independientemente del orden de los sumandos.Propiedad asociativa: Cuando se suman tres o más números, el resultadoes el mismo independientemente del orden en que se suman los sumandos.
    • Elemento neutro: La suma de cualquier número y cero es igual alnúmero original.Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por untercer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por eltercer número.
    • RESTA O SUSTRACCIONRESTA O SUSTRACCION.Dada la suma de dossumandos (minuendo) yuno de ellos(sustraendo), hallar elotro sumando (resta,exceso o diferencia).
    • RESTA O SUSTRACCIONPruebas: 1)Sumando el 2) Restando lasustraendo con diferencia del la diferencia, minuendo,debiendo dar el debiendo ser el minuendo. sustraendo 15,200 15,20093,254 58,076 13,896 1,30458,076 35,178 1,304 13,89635, 178 93,254
    • RESTA O SUSTRACCIONRepresentaciónGrafica. De -7 a 4 7 A B 4 C D
    • RESTA O SUSTRACCIONLeyes de la resta:Ley de uniformidad: La diferencia de dosnúmeros tiene un valor único o siempre es igual.11 – 3 = 8 únicamente por que 8 es el único númeroque sumado con 3 da 11.
    • RESTA O SUSTRACCIONLey de monotonía: se divide en tres partes.1) Si una desigualdad (minuendo) se resta unaigualdad (sustraendo), siempre que la resta sepueda efectuar resulta una desigualdad del mismosentido que la desigualdad minuendo. 8>5 2=2 8-2>5-2 6>3
    • RESTA O SUSTRACCIONLey de monotonía:2) Si una desigualdad (minuendo) se resta unaigualdad (sustraendo), siempre que la resta sepueda efectuar resulta una desigualdad desentido contrario que la desigualdadsustraendo. 9=9 5>3 9-5<9-3 4<6
    • RESTA O SUSTRACCIONLey de monotonía:3) Si una desigualdad se resta otradesigualdad de sentido contrario,siempre que la resta sea posible, resultauna desigualdad del mismo sentido quela desigualdad del minuendo. 7>4 2<3 7-2>4-3 5>1
    • RESTA O SUSTRACCIONAlteraciones del minuendo yel sustraendo.1) Si el minuendo aumenta o disminuye un númerocualquiera y el sustraendo no varía, la diferenciaqueda aumentada o disminuida en el mismonúmero. 9-7=2 (9+3)-7=2 + 3 12-7= 5
    • RESTA O SUSTRACCION Alteraciones del minuendo y el sustraendo.2) Si el sustraendo aumenta o disminuye unnúmero cualquiera y el minuendo no varía, ladiferencia disminuye en el primer caso yaumenta en el segundo el mismo número. 10-3=7 10-(3+5)= 7 – 5 10-8= 2
    • RESTA O SUSTRACCIONAlteraciones del minuendo yel sustraendo.3) Si el minuendo y el sustraendoaumenta o disminuyen a la vez unmismo número, la diferencia no varía. 15-6=9 (15+2)-(6+2)=9 17-8=9
    • Para sumar un numero con una suma indicada el numero conuno cualquiera de los sumandos de la suma.Sea la operación (2+3+4)+5, decimos que : (2+3+4 )+5=2+(3+5)+4=14En efecto: al sumar el numero 5 con el sumando 3, la suma(2+3+4) queda aumentada en unidades porque si unsumando se aumenta en un numero cualquiera la sumaqueda aumentada en dicho numero.
    • Para sumar dos sumas indicadas se suman todos los sumandos quela forman .Sea la operación (5+6) +(7+8), decimos que: (5+6)+(7+8)= 5+6+7+8=26En efecto: al añadir la suma 7+8 al sumando 6 de la primera, estasuma queda aumentada en 7 +8 unidades por la misma razón delcaso anterior.
    • Para sumar un numero con una diferencia indicada, se suma elnumero con el minuendo y de esta suma se resta el sustraendo.Sea la operación (7-5)+4, decimos que: (7-5)+4=(7+4)-5=11-5=6En efecto: al sumar el numero 4 al minuendo, la diferencia 7-5queda aumentada en 4 porque hemos visto que si el minuendo seaumenta en un numero cualquiera, la diferencia que aumentadaen ese numero.
    • Para sumar dos o mas diferencias indicadas, se suman los minuendos y deesta suma se resta la suma de los sustraendos.Sea la operación (8-5)+(6-4), decimos que: (8-5)+(6-4)= (8+6)-(5+4) = 14-9=5En efecto: al sumar el minuendo 8 el minuendo6, la diferencia(8-5) que da aumentada en 8 unidades, pero al restar el sustraendo 6queda disminuida en 6 unidades, luego si la suma (4+5) aumenta 8 ydisminuye 6 aumenta 2 que es la diferencia 8-6
    • Para restar de un numero una suma indicada, se restan del numero,uno a uno, todos los sumandos de la suma.Sea la operación 25-(2+3+4)= 25-2-3-4= 16En efecto: si 25 se disminuye primero en 2, después en 3 y luego en4, queda disminuido en 9 unidades que es la suma 2+3+4.
    • Para resta de una suma indicada y un numero, se resta el numero decualquier sumando de la suma.Sea la operación (4+5+6)-3, probar que: (4+5+6)-3=(4-3)+5+6=12en efecto: al restar el 3 de uno de los sumandos de la suma, esta quedadisminuida en 3 unidades.
    • Para restar de un numero una diferencia indicada, se suma el sustraendocon el numero y de esta suma se resta el minuendoSea l a operación 50-(8-5), que decimos que : 50-(8-5)= (50+5)-8=47En efecto: sabemos que si al minuendo y al sustraendo de una diferenciase sum a un mismo numero, la diferencia no varia. Añadiendo 5 alminuendo y al sustraendo de la diferencia 50-(8-5), tenemos. 50-(8-5)= (50+5)-(8-5+5) = (50+5)-8 por que si al 8 restamos 5 y le sumamos 5 queda 8
    • Para restar de una diferencia indicada un numero, se resta del minuendola suma del sustraendo y el numero.Sea la operación (15-7) -6, decimos que: (15-7) -6=15-(7+6)=15-13= 2En efecto: al sumar 6 con el sustraendo 7, la diferencia 15-7 quedadisminuida en 6 unidades porque si al sustraendo se suma un numerocualquiera. La diferencia queda disminuida en este numero.
    • Para restar dos sumas indicadas se restan de la primera suma, uno a uno,todos los sumandos de la segunda suma.Sea la operación (4+5)-82+3)= 4+5-2-3=4En efecto: si de la suma (4+5) restamos primero 2 y después 3, esta sumaqueda disminuida en 5 unidades que es la suma 2+3.
    • Para restar dos diferencias indicadas, se suma el minuendo de la primera con elsustraendo de la segunda y de esta suma se resta del sustraendo de la primeracon el minuendo de la segunda.Sea la operación (8-1) –(5-3)=(8+3)-(5+1)= 11 -6=5En efecto: al sumar el sustraendo 3 con el minuendo 8 la diferencia (8-1) quedaaumentada en 3 unidades, pero al sumar el minuendo 5 con el sustraendo 1 ladiferencia (8-1) queda aumentada en 3 unidades, pero al sumar el minuendo 5con el sustraendo 1 la diferencia (8-1) queda disminuida en 5 unidades; luego si(8-1) aumenta 3 disminuye 5, en definitiva disminuye 2, que es la diferencia 5-3
    • .Para restar de una suma una diferencia indica, se suma el sustraendo con lasuma indicada u de esta suma se resta el minuendo.Sea la operación (8+4)-(3-2), probar que: (8+4)-(3-2)=(8+4+2)-3= 14-3=11En efecto: al sumar el sustraendo 2 con la suma (8+4) esta suma quedaaumentada en 2 unidades, pero al restar el minuendo 3 disminuye 3 unidades,luego si aumenta 2 disminuye 3 , disminuye 1 unidad que es la diferencia (3-2)
    • Sean los números 8y 5, decimos que : (8+5 )+(8-5)=2x8= 16En efecto : sabemos que para sumar una suma con una diferencia, se sumael minuendo de la diferencia con uno de los sumandos de la suma y de estasuma se resta el sustraendo, luego : (8+5)+(8-5)=8+5+8-5=8+8+5-5=8+8= 2x8
    • Sean los números 8 y 5, decimos que: (8+5)+(8-5)= 2x5=10En efecto: sabemos que para restar de una suma una diferencia se suma elsustraendo con la suma y de esta suma se resta el minuendo, luego :
    • El complemento aritmético de un número es la diferenciaentre dicho número y una unidad de un orden superior a sucifra de mayor a menor. 1) El complemento aritmético de 98 es 100-98 = 2 2) El complemento aritmético de 356 es 1000-356 = 644
    • 3) El complemento aritmético de 1,250es 10,000-1,250 = 8,7504) El complemento aritmético de 14,200es 100,000-14,200 = 85,800
    • …..Se resta de 9 todas las cifras del número, empezando por laizquierda, menos la última cifra significativa, que se resta de 10.si el número termina en ceros, a la derecha de la última resta seescriben estos ceros .
    • 1) Hallar el complemento aritmético de 346. diremos: de 3 a 9 = 6; de 4 a 9 = 5; de 6 a 10 = 4,luego el complemento aritmético de 346 es 654.2) Hallar el complemento aritmético de 578, 900.diremos: de 5 a 9 = 4; de 7 a 9 = 2; de 8 a 9 = 1; de9 a 10 = 1,luego el complemento aritmético es 421,100
    • Para efectuar la resta por medio del complemento aritmético sesuma el minuendo con el complemento aritmético del sustraendo,poniéndole a este delante una unidad son signo menos, que setendrá al efectuar la suma.1) Efectuar 1,034 – 615 por medio del complemento aritmético.Es el complemento aritmético con una unidadcon signo menos adelante, y tendremosLa diferencia entre 1,034 y 615 es 419, que se puede comprobarefectuando la resta 1, 034 1, 034 + 1, 385 - 615 0, 419 0, 419
    • Para efectuar sumas y restas combinadas por medio delcomplemento aritmético se suman todos los sumandoscon los complementos aritméticos de los sustraendos ,poniendo delante de cada complemento una unidad consigno menos, que se tomara en cuenta al efectuar la suma.
    • Es una operación de composición que tiene porobjeto, dados números llamados multiplicando ymultiplicador, hallar un numero llamado productoque sea respecto del multiplicando lo que elmultiplicador es respecto de la unidad.
    • El producto de dos números se indica con el signoX o con punto colocado entre los factores, que esel nombre que se le da al multiplicando ymultiplicador. Así, el producto de 6 por 5 se indica 6 x 5 o 6 · 5
    • 1) Si el multiplicador es cero, el producto es cero.2) Si el multiplicador es 1, el producto es igual al multiplicando.3) Si el multiplicador es >1, el producto es > el multiplicando.4) Si el multiplicador es < 1, el producto es < el multiplicando.
    • Cuando el multiplicador es un numeronatural, la multiplicación es una sumaabreviada que consta de tantossumandos iguales al multiplicandocomo unidades tenga el multiplicador
    • Para multiplicar un entero por la unidadseguida de ceros se añaden al enterotantos ceros como ceros acompañen a launidad.54 x 100 = 5400, por que el valor relativo decada cifra se ha hecho 100 veces mayor
    • Se multiplican los números como si no tuvieranceros y a la derecha de este producto se añadentantos ceros como haya en el multiplicando ymultiplicador. 4300 x 2500 = 107 500 000
    • En el producto hay siempre tantas cifrascomo haya en el multiplicando ymultiplicador juntos o una menos.Así, el producto 345 x 23 ha de tener cuatrocifras o cinco.345 x 23 > 345 x 10, y como este ultimo producto 345 x 10 =3450 tiene cuatro cifras, el producto 345 x 23, que es mayorque el, no puede tener menos de cuatro cifras.
    • Representar gráficamente 3x2Se construye un rectángulo cuya base sea el segmento que representael 3 y cuya altura sea el segmento que representa el 2. El rectánguloABCD que consta de dos filas horizontales de 3 cuadrados cada una esla representación grafica del producto 3 x 2 = 6
    • Para hallar el producto de mas de dos números como 2x3x4x 51. Se halla el producto de dos de ellos.2. Luego se multiplica este producto por el tercero.3. Luego este segundo producto por el factorsiguiente y así hasta el ultimo factor.Así, en este caso, tendremos:
    • 1. El producto de dos números tiene un valor único o siempreigual.2. Los productos de números respectivamente iguales soniguales.3. Productos de dos igualdades. Multiplicando miembro amiembro varias igualdades resulta otra igualdad.
    • 1. Que se trate de dos factores 2. que se trate de dos o mas factores. Vamos a demostrar que 6 x 4 = 4 x 6. Sea el producto 5 x 4 x 3 x 2Se puede considerar descompuesto en dos factores: 5 . 4 y 3 . 2
    • El producto de varios números no variasustituyendo dos o mas factores por suproducto
    • Inversa de la multiplicación Su objeto dado el producto de 2 factores(dividendo Y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente)Dividir un número (dividendo) entre otro ( divisor) es hallar un número(cociente) que multiplicado por el divisor de el dividendo.Ejemplo 20/4 es hallar el número que multiplicado por 4 de 204x5=20
    • Todo número que divide a otros varios, divide a su sumaSea el número 5 , que divide al 10, 15, 20=45, o sea que 10+25+20 esm. 5en efecto:Sacando el valor común 5 en el segundo miembro de la ultimaigualdad, tenemos:10+15+20= 45, contiene al 5, 9 veces y 5 divide a la suma10+5+20
    • Todo número que no divide a otro vario divide a u suma, si la sumade los residuos que resultan de dividir estos entre el número que nolos divide, es divisible entre este número.