1. Enigme n°19
Loïc collectionne les vieux livres de problèmes mathématiques . Il vient d’en acheter un des
années cinquante dans lequel une des énigmes lui résiste…La voici :
« Quel est le dernier chiffre non nul du produit des mille premiers entiers positifs ? »
Correction de l’énigme 19 (Le chiffre mystère)
Deux problèmes se présentent :
 Mettre de côté tous les facteurs 10 possibles de ce produit et donc en réalité tous les facteurs 5×2.
 Déterminer le chiffre des unités du produit restant.
Par commodité, on note
1000
1
( )
i
entiers i

 le produit de tous les entiers compris entre 1 et 1000.
1000 1000 1000
1 1 1
1000 1000
1 1
500 1000
500
1 1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 ( ) ( )
i i i
i i
i i
entiers i entiers pairs i entiers impairs i
entiers pairs i entiers impairs i
entiers i entiers impairs i
  
 
 
 
 
  
  
 
 
Les entiers pairs de 1 à 1000 sont 2, 4, 6, …, 1000.
Leur produit est donc bien
500
500
1
(1 2) (2 2) (3 2) ...(500 2) 2 ( )
i
entiers i

         .
On extrait ensuite les facteurs 5 possibles dans
500
1
( )
i
entiers i

 .
500 500 100
100
1 1 1
( ) ( 5) 5 ( )
i i i
entiers i entiers i non div par entiers i
  
     car les entiers divisibles par 5 sont 5, 10,
15, 20, …, 500 : leur produit est donc
100
100
1
(1 5) (2 5) (3 5) ...(100 5) 5 ( )
i
entiers i

         .
100 100 20
20
1 1 1
( ) ( 5) 5 ( )
i i i
entiers i entiers i non div par entiers i
  
    
20 20
4
1 1
( ) ( 5) 5 2 3 4
i i
entiers i entiers i non div par
 
     
Au final
500 500 100 20
124
1 1 1 1
( ) 5 ( 5) ( 5) ( 5) 2 3 4
i i i i
entiers i i non div par i non div par i non div par
   
         
On extrait ensuite les facteurs 5 possibles dans
1000
1
( )
i
entiers impairs i

 .
1000 1000 200
100
1 1 1
( ) ( 5) 5 ( )
i i i
entiers impairs i i impairs non div par impairs i
  
    
200 200 40
20
1 1 1
( ) ( 5) 5 ( )
i i i
entiers impairs i i impairs non div par impairs i
  
    

2. 40 40
5
1 1
( ) ( 5) 5 3 7
i i
entiers impairs i i impairs non div par
 
    
Au final
1000 1000 200 40
125
1 1 1 1
( ) 5 ( 5) ( 5) ( 5) 3 7
i i i i
impairs i impairs non div par impairs non div par impairs non div par
   
       
Le produit
1000
1
( )
i
entiers i

 finit donc par 249 zéros à cause du produit 249 249
5 2 .
Dernier chiffre non nul :
Pour connaitre le dernier chiffre du produit
1000
1
( )
i
entiers i

 , il suffit donc de trouver le dernier chiffre de
chacun des facteurs restants, à savoir :
(1)
500 100 20
1 1 1
( 5) ( 5) ( 5) 2 3 4
i i i
i non div par i non div par i non div par
  
      
(2)
1000 200 40
1 1 1
( 5) ( 5) ( 5) 3 7
i i i
impairs non div par impairs non div par impairs non div par
  
     
(3) 500 249 251
2 2

Tous les produits 1 2 3 4 6 7 8 9       , 11 12 13 14 16 17 18 19       … finissent tous par 6 .
Donc
500 100 20
1 1 1
( 5) ( 5) ( 5) 2 3 4
i i i
i non div par i non div par i non div par
  
       finit par 4 car
6 6 6 2 3 4 4      .
Tous les produits 1 3 7 9   , 11 13 17 19   … finissent tous par 9 .
Dans
1000 200 40
1 1 1
( 5) ( 5) ( 5)
i i i
impairs non div par impairs non div par impairs non div par
  
    , on dénombre
100 20 4 124   produits de ce type. Le dernier chiffre du produit est donc 1 puisque 9entier pair
finit par 1.
On examine enfin les derniers chiffres des puissances de 2 successives :
2 / 4 / 8 / 6 / 2 /… Les chiffres des unités reviennent de façon cyclique tous les 4 termes…
Alors 251
2 finit par un 8 car 251 4 62 3   .
Conclusion :
Le dernier chiffre cherché est aussi le dernier chiffre de 4 1 8  . C’est donc un 2.