Sistemas binarios y algebra de boole
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Sistemas binarios y algebra de boole Document Transcript

  • 1. P.Q.P.I. AUXILIAR MUNTTGE ORDINADORS – CARLOS CARDELO – IES MVMSISTEMA BINARIOInternamente, la máquina computadora representa los valores numéricos mediantegrupos de bits agrupados en bytes. Por ejemplo, el número 3 se representa medianteun byte que tiene "activos" los bits primero y segundo contando desde la derecha(00000011). Esta sería la forma de representación del número 3 en un sistemanumérico de base 2, también conocido como BINARIO. El sistema que utilizamosnormalmente es un sistema DECIMAL o de base 10. En un sistema DECIMAL, contamosdesde el 0 hasta el 9 antes de añadir un nuevo dígito. El número 22 en un sistemadecimal significa que tenemos dos conjuntos de 10s y 2 conjuntos de 1s.En un sistema BINARIO sólo pueden haber dos valores para cada dígito: ya sea un0=DESACTIVADO ó un 1=ACTIVADO. Para representar el número 22 en notaciónBINARIA lo haríamos como 00010110, notación que se explica según la siguiente tabla: Posición del BIT: 7 6 5 4 3 2 1 0 Valor Binario: 0 0 0 1 0 1 1 0 Valor Decimal: 128 64 32 16 8 4 2 1 Valores a Sumar: 0 0 0 16 0 4 2 0 Valor Resultante: 16 + 4 + 2=22Conversión de Binario a Decimal:Todos los valores que corresponden a posiciones a las que se asigna el valor binario de0 (cero) no se cuentan, ya que 0 representa DESACTIVADO.De la misma manera, los números que corresponden a las posiciones con valor binario1 se sumarán, (16 + 4 + 2=22) ya que 1 representa ACTIVADO.Conversión de decimal a binario:Si queremos convertir cualquier número decimal en binario (base 2) debemosproceder a dividir por 2 y tomar los restos (ceros o unos) i el último cociente, porejemplo, para convertir el número 45 a binario:28/02/2011 Pàgina 1
  • 2. P.Q.P.I. AUXILIAR MUNTTGE ORDINADORS – CARLOS CARDELO – IES MVM45 |_2 22 |_205 02 11 |_2 1 0 1 5 |_2 1 2 |_2 0 1Por lo tanto el resultao es: 45 (decimal) = 101101 (bin)Valores Decimales y sus equivalentes Binarios: POSICIÓN BIT VALOR DECIMAL VALOR BINARIO 1 1 1 2 2 10 3 3 11 4 4 100 5 5 101 6 6 110 7 7 111 8 8 1000 9 9 1001 10 10 1010 11 16 10000 12 32 100000 13 64 1000000 14 100 1100100 15 256 100000000 16 512 1000000000 17 1000 1111110100 18 1024 1000000000028/02/2011 Pàgina 2
  • 3. P.Q.P.I. AUXILIAR MUNTTGE ORDINADORS – CARLOS CARDELO – IES MVMBits, Bytes y Palabras...Se suelen escribir los números binarios como una secuencia de grupos de cuatro bits,también conocidos como NIBBLES. Según el número de estas agrupaciones losnúmeros binarios se clasifican como: Unidad: Núm. bits Ejemplo: Bit 1 1 Nibble 4 0101 Byte (Octeto) 8 0000 0101 Palabra 16 0000 0000 0000 0101 Doble Palabra 32 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101Los computadores personales con el sistema operativo MS DOS utilizaban palabras de16 BITS. Los sistemas operativos actuales sobre los que corre AutoCAD 2000 utilizanPalabras de 32 BITS.ALGEBRA DE BOOLEÁlgebra de Boole aplicada a la informáticaSe dice que una variable tiene valor booleano cuando, en general, la variable contiene un 0lógico o un 1 lógico. Esto, en la mayoría de los lenguajes de programación, se traduce en false(falso) o true (verdadero), respectivamente.Una variable puede no ser de tipo booleano y guardar valores que no son booleanos, ya quelos compiladores trabajan con esos otros valores que son normalmente numéricos, aunquetambién algunos permiten cambios, desde caracteres hasta valor booleano.El 0 lógicoEl valor booleano de negación suele ser representado como false, aunque también permite yequivale al valor natural, entero y decimal (exacto) 0, así como la cadena "false", e incluso lacadena "0".28/02/2011 Pàgina 3
  • 4. P.Q.P.I. AUXILIAR MUNTTGE ORDINADORS – CARLOS CARDELO – IES MVMEl 1 lógicoEn cambio, el resto de valores apuntan al valor booleano de afirmación, representadonormalmente como true, ya que, por definición, el valor 1 se tiene cuando no es 0.Cualquier número distinto de cero se comporta como un 1 lógico, y lo mismo sucedecon casi cualquier cadena (menos la "false", en caso de ser ésta la correspondiente al 0lógico).Álgebra de Boole en informática y matemática, es una estructura algebraica en querigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operacionesunión, intersección y complemento.Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de1864), matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistemalógico a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar lastécnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad,el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico.Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutacióneléctrica biestables, en 1938.Operaciones LógicasHemos definido el conjunto A = {0,1} como el conjunto universal sobre el que se aplicael álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos lasOperación suma (O lógica o OR)La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores enparalelo.28/02/2011 Pàgina 4
  • 5. P.Q.P.I. AUXILIAR MUNTTGE ORDINADORS – CARLOS CARDELO – IES MVMSi uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dossumandos sean 0, para que el resultado sea 0.Su tabla de la verdad: a b f=a+b 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1Operación producto (Y lógica o AND)La operación producto ( ) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A: f=a·bEsta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptoressolo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 elresultado será 0.28/02/2011 Pàgina 5
  • 6. P.Q.P.I. AUXILIAR MUNTTGE ORDINADORS – CARLOS CARDELO – IES MVMCon la siguiente tabla de la verdad: A B f=a·b 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1Operación negación (NOT)La operación negación presenta el opuesto del valor de a: f=Un interruptor inverso equivale a esta operación:Tabla de la verdad: a f= 0 1 1 0Operaciones combinadasPartiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras más complejas,que podemos representar como ecuaciones booleanas, por ejemplo:28/02/2011 Pàgina 6
  • 7. P.Q.P.I. AUXILIAR MUNTTGE ORDINADORS – CARLOS CARDELO – IES MVM f= +bQue representado en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores enparalelo, siendo el primero de ellos inverso.La distinta secuencia de valores de a y b da los resultados vistos en la tabla de verdad.La tabla de la verdad de la función seria: A B f= +b 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1La operación OR exclusiva (XOR)Hay un operación que en electrónica digital se utiliza mucho, llamada XOR (ORexclusiva) y que se denota por el símbolo .La equivalencia de esta función mediante contactos de interruptores será:La secuencia de valores seria:28/02/2011 Pàgina 7
  • 8. P.Q.P.I. AUXILIAR MUNTTGE ORDINADORS – CARLOS CARDELO – IES MVMEsta operación la podemos definir mediante una tabla de verdad:Fijándonos en esta tabla podemos ver lo que hace: esta operación devuelve ’0’ cuandolos dos bits sobre los que operan son iguales, y ’1’ cuando con distintos.Vamos a ver, tanto para esta operación como su negada: F=cómo las podemos definir a partir de las operaciones + y - ,y ver algunas de suspropiedades.Partiremos de la tabla de verdad: A B A B 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 128/02/2011 Pàgina 8
  • 9. P.Q.P.I. AUXILIAR MUNTTGE ORDINADORS – CARLOS CARDELO – IES MVMVamos a obtener las dos formas canónicas de ambas funciones: A B= ·B+A· = (A+B) · ( + ) = · + A · B = (A+ )·( +B)Y la siguiente propiedad es: = B=ALeyes fundamentalesEl resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables delsistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.1. Ley de idempotencia:2. Ley de involución:3. Ley conmutativa:4. Ley asociativa:5. Ley distributiva:28/02/2011 Pàgina 9
  • 10. P.Q.P.I. AUXILIAR MUNTTGE ORDINADORS – CARLOS CARDELO – IES MVM6. Ley de cancelación:7. Leyes de De Morgan:Principio de dualidadEl concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica lecorresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (sumalógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0.Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarloen los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación delprincipio de dualidad. Véase que esto no modifica la tabla adjunta. Adición Producto 1 2 3 4 5 6 7 8 928/02/2011 Pàgina 10
  • 11. P.Q.P.I. AUXILIAR MUNTTGE ORDINADORS – CARLOS CARDELO – IES MVMOtras formas de notación del álgebra de BooleEn matemática se emplea la notación empleada hasta ahora ({0,1}, + , ) siendo laforma más usual y la más cómoda de representar.Por ejemplo las leyes de De Morgan se representan así:Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica, suele emplearse la mismadenominación que para las puerta lógica AND (Y), OR (O) y NOT (NO), ampliándoseen ocasiones con X-OR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO Y), NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia). las variables pueden representarse con letras mayúsculas ominúsculas, y pueden tomar los valores {0, 1}Empleando esta notación las leyes de De Morgan se representan: ( = · [NOT (a OR b) = NOT a AND NOT b] ( )=( + ) [NOT ( a AND b) = (NOT a OR NOT b)]Simplificación de funciones booleanasCuando estamos diseñando circuitos digitales, utilizamos funciones booleanas paradescribirlos.Y antes de implementarlos, es decir, antes de convertir las ecuaciones a componenteselectrónicos (puertas lógicas) tenemos que simplificar al máximo. No basta conrealizar un circuito, sino que hay que hacerlo con el menor número posible decomponentes electrónicos. Y esto es lo que conseguimos si trabajamos con funcionessimplificadas.Las funciones booleanas se tienen que simplificar al máximo, para diseñar loscircuitos con el menor número de componentes electrónicos.Esta simplificación la podemos realizar de dos maneras diferentes: 1. Utilizando las propiedades y Teoremas del Algebra de Boole. Se denomina método analítico de simplificación de funciones. Hay que manejar muy bien estas propiedades para poder eliminar la mayor cantidad de términos y variables. 2. Utilizando el método de Karnaugh. Es un método gráfico que si lo aplicamos bien, nos garantiza que obtendremos la función más simplificada posible, a partir de una tabla de verdad.Normalmente las formas canónicas no son las expresiones más simplificadas.28/02/2011 Pàgina 11
  • 12. P.Q.P.I. AUXILIAR MUNTTGE ORDINADORS – CARLOS CARDELO – IES MVMMétodo analítico de simplificación de funcionesNo existe un método como tal. Hay que basarse en la experiencia y en el conocimientode las propiedades y teoremas del Algebra de Boole.Ejemplo:Simplificar la siguiente función: F = · ·C + ·B· + ·B·C + A·B·Si aplicamos la propiedad distributiba: F = · ·C + ·B· + ·B·C + A·B· · ·C + ·B·C = ·C·( +B) = ·CHaciendo lo mismo con los otros dos factores: F = · ·C + ·B· + ·B·C + A·B· ·B· A·B· ·B· + A·B· = ( +A)·B· = B·Con lo que nos queda: F = ·C+ B·Tanto la función inicial, como la que hemos obtenido son funciones equivalentes.Tienen la misma tabla de verdad, sin embargo, la segunda está mucho mássimplificada: sólo tiene dos sumandos y cada sumando tiene sólo dos variables.Método de KarnaughEn este apartado veremos un método para obtener la función más simplificada apartir de una tabla de verdad.Es un método gráfico, que funciona perfectamente para funciones con cualquiernúmero de variables, si bien su máxima eficacia se da con las de hasta 4 variables. Paramás de 4 también funciona, pero podría convertirse en un método excesivamentecomplejo.Supongamos que tenemos una función F(A,B) de dos variables, cuya tabla de verdades:28/02/2011 Pàgina 12
  • 13. P.Q.P.I. AUXILIAR MUNTTGE ORDINADORS – CARLOS CARDELO – IES MVM Ecuación Lógica A B F igual a 1 0 0 0 ----- 0 1 1 ·B 1 0 1 A· 1 1 1 A·BLa función desarrollada en forma canónica será: F = ·B+A· +A·BEl método de Karnaugh se basa en construir una tabla con un sistema de casillas quenos permite, visualmente, una rápida simplificación, siempre que sigamos unas normasmuy simples. Para el ejemplo que nos ocupa, situemos en la tabla de Karnaugh losvalores de la función que resulten 1 en la tabla de la verdad, donde cada fila de latabla de la verdad se corresponde con una casilla de la de Karnaugh. Las normas aseguir son: 1. Los ceros no se escriben 2. Si encabeza la fila o columna un 1 se pondrá el término o variable que indique la fila o columna correspondiente 3. Si la variable de la casilla donde aparece un 1 esta encabezada por 0, se pondrá el complemento de la variable, esto es el NEGADO Lógico de esta 4. Si dos celdas contiguas por cualquiera de sus lados contienen un 1 se agrupan y se tendrán en cuenta solo las variable que en la fila o columna no cambien de valor 5. Si la celda contiene 1 la ecuación que la representa sera la del producto lógico (Y) de todas las variables de que la afecten, en el estado que indique la fila o columna 6. Todas las variables individuales que aparecen como resultado del apartado 5, se agrupan mediante una suma lógica (O), formando de este modo la ecuación resultante final A AB 0 1 0 1 B 1 1 1 F = A+B28/02/2011 Pàgina 13
  • 14. P.Q.P.I. AUXILIAR MUNTTGE ORDINADORS – CARLOS CARDELO – IES MVMCon otro ejemplo veremos como actuamos con 3 variables.Tenemos la tabla de la función F(A,B,C) de tres variables, cuya tabla de la verdad será: A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1que de forma canonica: F= ·B· + ·B·C+A· · +A· ·C+A·B· +A·B·CAhora la simplificaremos empleando el método estudiado, añadiendo las siguientesnormas: 1. Primero creamos la tabla ordenandoa los ejes de modo que cada vez que cambiemos de fila o columna solo cambie una de las variables, esto es, mediante un ordenamiento NO BINARIO A 0 1 BC Para situar en la tabla los estados de las variables, al pasar de una 00 fila a otra o de una columna a otra solo podemos cambiar una 01 variable 11 1028/02/2011 Pàgina 14
  • 15. P.Q.P.I. AUXILIAR MUNTTGE ORDINADORS – CARLOS CARDELO – IES MVM 2. Podemos combinar grupos de celdas adyacentes que contengan 1, de 2 en 2, de 4 en 4 o de 8 en 8, para simplificar a 2 o 1 variable 3. Las celdas que contengan 1 y no se puedan combinar representan las 3 variables o 4, según las filas y columnas que representen 4. Pueden intersectarse grupos entre si 5. También se consideran celdas adyacentes entre si las de los extremos A 0 1 BC 00 1 A· 01 1 11 1 1 B·C B· 10 1 1Hemos agrupado por grupos de 2 celdas y nos queda la fórmula como sigue F=A· +B·C+B·No sera la mayor simplificación, pues podríamos, también, realizar agrupación de 4componentes, lo cual nos daria una mejor simplificación: A 0 1 BC 00 1 01 1 A 11 1 1 B 10 1 1Con lo cual la función simplificada quedará: F=A+BPor último veremos un ejemplo con 4 variables.Tenemos la siguiente tabla de la verdad:28/02/2011 Pàgina 15
  • 16. P.Q.P.I. AUXILIAR MUNTTGE ORDINADORS – CARLOS CARDELO – IES MVM A B C D F 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0La función canónica será:F= · · · + · ·C· + ·B· · + ·B· ·D+ ·B·C· + ·B·C·D+A· · · +A· ·C· +A·B· · +A·B·C·Evidentemente la simplificación es compleja. Apliquemos la tabla de Karnaugh paraconseguir una simplificación más completa: AB 00 01 11 10 CD ( ) ( B) (AB) (A ) 00 ( ) 1 1 01 ( D) 1 1 1 1 11 (CD) 1 1 10 (C ) 1 1en donde agruparemos los 1 en grupos del mayor número de adyacentes posibles,respetando siempre que deben ser grupos de 1, 2, 4, 8, etc.:28/02/2011 Pàgina 16
  • 17. P.Q.P.I. AUXILIAR MUNTTGE ORDINADORS – CARLOS CARDELO – IES MVM AB 00 01 11 10 (Grupo de 4 variables) CD ( ) ( B) (AB) (A ) 1 ·B 00 ( ) 1 1 1 01 ( D) 1 11 (CD) 1 10 (C ) 1 1 1 1 (¡Podemos crear un grupo de 8 unos adyacentes! Esto implica que como resultado tendremos una sola variable) ( )definitivamente la función queda: F= + ·Bque definitivamente es la más reducida.28/02/2011 Pàgina 17
  • 18. P.Q.P.I. AUXILIAR MUNTTGE ORDINADORS – CARLOS CARDELO – IES MVM EJERCICIOS:Ejercicio 1:Realizar las siguientes operaciones:1. 1 + 0 =2. 1 + 1 =3. 1 0 = 4. 1 1 = 5. A+0 =6. A+1=7. A 1= 8. A 0= 9. A+A=10. A.A=11. A+ = _12. A = _13. A+AB =14. A(A+B) =15. A+AB+B =Ejercicio 2:Aplicar las leyes de Morgan en los siguientes casos: 1. = 2. = 3. =Ejercicio 3:Obtener la tabla de la verdad de las siguientes funciones booleanas. 1. F= A+B 2. F= A+ 3. F= ·B+C 4. F=A·B+ ·B 5. F= ·B·C+A· ·C+ · ·C28/02/2011 Pàgina 18
  • 19. P.Q.P.I. AUXILIAR MUNTTGE ORDINADORS – CARLOS CARDELO – IES MVMEjercicio 4:Simplificar la función F=A·B+ de las siguientes maneras: 1. Obteniendo la tabla de verdad y aplicando Karnaugh 2. Aplicando las propiedades del Algebra de BooleEjercicio 5:Obtener las expresiones más simplificadas a partir de las tablas de verdad:28/02/2011 Pàgina 19