COMO RESOLVER ECUACIONES EN UNA VARIABLE NOMBRE DEL CURSO: MATEMÁTICAS EN SECUNDARIA: LAS UNIDADES DIDÁCTICAS EN INTERNET Codigo: 0302134 PROFESOR: Luis Tejero ESTUDIANTE: Carmen Benavides CONTINUAR

INDICE Introducci ón Nociones Preliminares Ecuaciones Polin ó micas Lineales Cuadr á ticas Cubicas De grado cuatro, de grado cinco, etc Ecuaciones con Valor Absoluto Ecuaciones con Radicales Ecuaciones Racionales CONTINUAR

INDICE

Introducci ón

Nociones Preliminares

Ecuaciones Polin ó micas

Lineales

Cuadr á ticas

Cubicas

De grado cuatro, de grado cinco, etc

Ecuaciones con Valor Absoluto

Ecuaciones con Radicales

Ecuaciones Racionales

INTRODUCCION. En matem áticas un tema b ásico, muy importante y con muchas aplicaciones en la vida real es la solución de ecuaciones. Cuando este tema es estudiado en el aula, se va estudiando por separado cada tipo de ecuación pero algunos estudiantes, cuando se enfrentan a un grupo de varios tipos de ecuaciones, por lo general presentan dificultades. Mi objetivo en este trabajo es presentar la forma como se resuelven algunos tipos de ecuaciones. VOLVER CONTINUAR

NOCIONES PRELIMINARES 1.1. Definición de ecuación. Una ecuación es la igualdad de dos expresiones algebráicas. 1.2. Clasificación de las ecuaciones. Para este trabajo hablaré solamente de las polinómicas con valor absoluto radicales racionales . VOLVER CONTINUAR

NOCIONES PRELIMINARES

1.1. Definición de ecuación.

Una ecuación es la igualdad de dos expresiones algebráicas.

1.2. Clasificación de las ecuaciones.

Para este trabajo hablaré solamente de las

polinómicas

con valor absoluto

radicales

racionales .

2. ECUACIONES POLINO M ICAS 2.1. Definici ón Una ecuación polinómica es una ecuación formada por polinomios. 2.2. Clasificación Se clasifican en: lineales cuadráticas Cúbicas de grado cuatro, de grado cinco, etc . VOLVER CONTINUAR

2. ECUACIONES POLINO M ICAS

2.1. Definici ón

Una ecuación polinómica es una ecuación formada por polinomios.

2.2. Clasificación

Se clasifican en:

lineales

cuadráticas

Cúbicas

de grado cuatro, de grado cinco, etc .

2.1.1 Ecuaciones Lineales El mayor exponente que se encuentra en estas ecuaciones es uno. Su gráfica es una línea recta que intersecta al eje x en un punto. Tiene una solución. Para resolverla: Simplifique la ecuación, combinando los términos semejantes. Aplique en órden invertido el órden de las operaciones. EJEMPLOS 1) 5x + 2 = 3x – 8 2) 3x - 7 = 4 5 5x – 3x = - 8 – 2 3x – 7 = 20 2x = - 10 3x = 27 x = - 5 x = 9 VOLVER CONTINUAR

2.1.1 Ecuaciones Lineales

El mayor exponente que se encuentra en estas ecuaciones

es uno. Su gráfica es una línea recta que intersecta al eje x

en un punto. Tiene una solución.

Para resolverla:

Simplifique la ecuación, combinando los términos semejantes.

Aplique en órden invertido el órden de las operaciones.

EJEMPLOS

1) 5x + 2 = 3x – 8 2) 3x - 7 = 4

5

5x – 3x = - 8 – 2 3x – 7 = 20

2x = - 10 3x = 27

x = - 5 x = 9

2.1.2. Ecuaciones Cuadráticas. Son ecuaciones polinómicas cuyo mayor exponente es dos. Su gráfica es una parábola. Tiene dos soluciones que pueden ser reales o imaginarias. Estas ecuaciones pueden ser de dos tipos: Factorizables No factorizables. Factorizables. Simplifique y escriba en forma general ( igualar a cero). factorice, recuerde que sacar factor común es también unl caso de factorización. iguale a cero cada factor y resuelva como ecuación lineal que es cada uno. EJEMPLOS 7x 2 – 10x = x 2 + 4 2) 8x 3 = 2x 6x 2 – 10x – 4 = 0 8x 3 – 2x = 0 (3x + 1) (2x – 4) = 0 2x (4x 2 – 1) = 0 3x + 1 = 0 , 2x – 4 = 0 2x (2x + 1) (2x – 1) x = - 1 , x = 2 2x = 0, 2x + 1 = 0, 2x – 1 = 0 3 x = 0, x = - 1 , x = 1 2 2 VOLVER CONTINUAR

2.1.2. Ecuaciones Cuadráticas.

Son ecuaciones polinómicas cuyo mayor exponente es dos. Su gráfica es una parábola. Tiene dos soluciones que pueden ser reales o imaginarias. Estas ecuaciones pueden ser de dos tipos:

Factorizables

No factorizables.

Factorizables.

Simplifique y escriba en forma general ( igualar a cero).

factorice, recuerde que sacar factor común es también unl caso de factorización.

iguale a cero cada factor y resuelva como ecuación lineal que es cada uno.

EJEMPLOS

7x 2 – 10x = x 2 + 4 2) 8x 3 = 2x

6x 2 – 10x – 4 = 0 8x 3 – 2x = 0

(3x + 1) (2x – 4) = 0 2x (4x 2 – 1) = 0

3x + 1 = 0 , 2x – 4 = 0 2x (2x + 1) (2x – 1)

x = - 1 , x = 2 2x = 0, 2x + 1 = 0, 2x – 1 = 0

3 x = 0, x = - 1 , x = 1

2 2

b) No factorizables. En este caso se puede aplicar uno de dos métodos: completar el cuadrado o utilizar fórmula cuadrática. Estos dos métodos también pueden ser aplicados en el caso de las ecuaciones cuadráticas factorizables. Completando el cuadrado Simplifique y organice la ecuación en la forma x 2 + bx = c En cada lado de la ecuación sume (b/2) 2 Escriba ahora la ecuación en la forma (x + b/2) 2 = s, donde s = c + (b/2) 2 En ambos lados de la ecuación aplique raiz cuadrada, recuerde que al sacar raiz cuadrada de un real, se obtienen dos respuestas con igual valor absoluto pero con diferente signo. Resuelva cada ecuación lineal obtenida. EJEMPLO 1) 2x 2 + 16x + 14 = 0 2) x 2 – 6 x +10 = 0 x 2 + 8x = - 7 x 2 – 6 x + 9 = - 10 + 9 x 2 + 8x + 16 = - 7 + 16 (x – 3) 2 = - 1 (x + 4) 2 = 9 x – 3 = i ó x – 3 = - i x + 4 = 3 ó x + 4 = - 3 x = 3 + i x = 3 – i x = - 1 x = - 7 VOLVER CONTINUAR

b) No factorizables.

En este caso se puede aplicar uno de dos métodos: completar el cuadrado o utilizar fórmula cuadrática. Estos dos métodos también pueden ser aplicados en el caso de las ecuaciones cuadráticas factorizables.

Completando el cuadrado

Simplifique y organice la ecuación en la forma x 2 + bx = c

En cada lado de la ecuación sume (b/2) 2

Escriba ahora la ecuación en la forma (x + b/2) 2 = s, donde s = c + (b/2) 2

En ambos lados de la ecuación aplique raiz cuadrada, recuerde que al sacar raiz cuadrada de un real, se obtienen dos respuestas con igual valor absoluto pero con diferente signo.

Resuelva cada ecuación lineal obtenida.

EJEMPLO

1) 2x 2 + 16x + 14 = 0 2) x 2 – 6 x +10 = 0

x 2 + 8x = - 7 x 2 – 6 x + 9 = - 10 + 9

x 2 + 8x + 16 = - 7 + 16 (x – 3) 2 = - 1

(x + 4) 2 = 9 x – 3 = i ó x – 3 = - i

x + 4 = 3 ó x + 4 = - 3 x = 3 + i x = 3 – i

x = - 1 x = - 7

UsandoF ó rmula Cuadr ática Para la ecuación ax 2 + bx + c = 0 x = Escriba la ecuaci ón en la forma ax 2 + bx + c = 0 Aplique la F ó rmula Cuadr ática Simplifique para obtener las dos respuestas. EJEMPLO x 2 + 4x + 5 = 0 ______ x = - 4 ± √16 - 20 2 ___ x = - 4 ± √- 4 2 x = - 4 ± 2i 2 x = - 2 + i , x = - 2 – i CONTINUAR

UsandoF ó rmula Cuadr ática

Para la ecuación ax 2 + bx + c = 0

x =

Escriba la ecuaci ón en la forma ax 2 + bx + c = 0

Aplique la F ó rmula Cuadr ática

Simplifique para obtener las dos respuestas.

EJEMPLO

x 2 + 4x + 5 = 0

______

x = - 4 ± √16 - 20

2

___

x = - 4 ± √- 4

2

x = - 4 ± 2i

2

x = - 2 + i , x = - 2 – i

2.1.3. Ecuaciones c úbicas Su mayor exponente es de grado 3. Para resolverla los pasos a seguir son; a. Escriba la ecuaci ón en forma general. b. Observe si hay un factor com ún, si lo hay y contiene variable pueden presentarse dos casos. El factor común tiene variable con exponente dos, en este caso después de sacar el factor común, iguale a cero cada factor y resuelva. El factor común tiene variable con exponente uno, en este caso después de sacar el factor común, queda una expresión de grado dos que debe ser resuelta con cualquiera de los casos para ecuaciones cuadráticas. EJEMPLOS 3x 3 = 6x 2 2) 3x 3 + 6x = - 9x 2 3x 3 – 6x 2 =0 3x 3 + 9x 2 + 6x = 0 3x 2 ( x – 2) = 0 3x (x 2 + 3x + 2) = 0 3x = 0 , x – 2 = 0 3x (x + 2) (x + 1) = 0 x = 0, x= 2 3x = 0, x + 2 = 0, x + 1 = 0 x = 0, x = - 2 , x = - 1 VOLVER CONTINUAR

2.1.3. Ecuaciones c úbicas

Su mayor exponente es de grado 3.

Para resolverla los pasos a seguir son;

a. Escriba la ecuaci ón en forma general.

b. Observe si hay un factor com ún, si lo hay y contiene variable pueden presentarse dos casos.

El factor común tiene variable con exponente dos, en este caso después de sacar el factor común, iguale a cero cada factor y resuelva.

El factor común tiene variable con exponente uno, en este caso después de sacar el factor común, queda una expresión de grado dos que debe ser resuelta con cualquiera de los casos para ecuaciones cuadráticas.

EJEMPLOS

3x 3 = 6x 2 2) 3x 3 + 6x = - 9x 2

3x 3 – 6x 2 =0 3x 3 + 9x 2 + 6x = 0

3x 2 ( x – 2) = 0 3x (x 2 + 3x + 2) = 0

3x = 0 , x – 2 = 0 3x (x + 2) (x + 1) = 0

x = 0, x= 2 3x = 0, x + 2 = 0, x + 1 = 0

x = 0, x = - 2 , x = - 1

c. Observe si la ecuación corresponde a una suma o diferencia de cubos, en ese caso Aplique la fórmula de factorización a 3 + b 3 = (a+ b) (a 2 – ab + b 2 ) a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2 ) Iguale cada factor a cero y resuelva con el m étodo apropiado. En este caso hallará una solución real y dos imaginarias. EJEMPLO 8x 3 = 27 8x 3 – 27 = 0 (2x) 3 – 3 3 = 0 (2x – 3) ((2x) 2 + (2x)3 + 3 2 ) = 0 (2x – 3) (4x 2 + 6x + 9) = 0 2x – 3 = 0 ó 4x 2 + 6x + 9 = 0 ________ x = - 6 ± √36 - 144 8 ____ x = - 6 ± √- 108 8 __ x = - 6 ± 6i√3 8 _ x = 3/2 x = - 3 ± 3i√3 4 CONTINUAR

c. Observe si la ecuación corresponde a una suma o diferencia de cubos, en ese caso

Aplique la fórmula de factorización a 3 + b 3 = (a+ b) (a 2 – ab + b 2 )

a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2 )

Iguale cada factor a cero y resuelva con el m étodo apropiado. En este caso hallará una

solución real y dos imaginarias.

EJEMPLO

8x 3 = 27

8x 3 – 27 = 0

(2x) 3 – 3 3 = 0

(2x – 3) ((2x) 2 + (2x)3 + 3 2 ) = 0

(2x – 3) (4x 2 + 6x + 9) = 0

2x – 3 = 0 ó 4x 2 + 6x + 9 = 0

________

x = - 6 ± √36 - 144

8

____

x = - 6 ± √- 108

8

__

x = - 6 ± 6i√3

8

_

x = 3/2 x = - 3 ± 3i√3

4

d. Si no se puede aplicar ninguno de los casos anteriores, trate de aplicar divisi ón sintética (se recordará más adelante). e. Si dispone de una calculadora gráfica, realice la gráfica de la función contenida en la ecuación y localice los interceptos en x, éstas son las soluciones de la ecuación. CONTINUAR

2.1.4. Ecuaciones de grado tres o m ás. a. Escríbala en forma general. b. Trate de factorizar agrupando. c. En caso de no poder factorizar, trate de aplicar divisi ón sintética. Para ésto Escriba la ecuación en forma general. busque los factores del término de grado cero y del primer coeficiente para formar cocientes con el primer grupo de factores. evalúe en la ecuación cada uno hasta encontrar uno que la haga igual a cero. Proceda a realizar la divisi ón sintética. Exprese la ecuación como un producto de factores. Proceda igual que en los otros casos. A continuación se muestra un ejemplo. VOLVER CONTINUAR

2.1.4. Ecuaciones de grado tres o m ás.

a. Escríbala en forma general.

b. Trate de factorizar agrupando.

c. En caso de no poder factorizar, trate de aplicar divisi ón sintética. Para ésto

Escriba la ecuación en forma general.

busque los factores del término de grado cero y del primer

coeficiente para formar cocientes con el primer grupo de factores.

evalúe en la ecuación cada uno hasta encontrar uno que la haga igual a cero.

Proceda a realizar la divisi ón sintética.

Exprese la ecuación como un producto de factores.

Proceda igual que en los otros casos.

A continuación se muestra un ejemplo.

EJEMPLO - 4x3 + 7x + 3 = 0 Los factores de 3 son 1, - 1, 3 y – 3. También ½, - ½, 3/2, -3/2, ¼, - ¼, ¾, -3/4 Al reemplazar por 1 obtenemos 6. Al reemplazar por – 1 obtenemos 0. División sintética: disponemos en fila los coeficientes del polinomio y en el lado izquierdo colocamos el factor que al sustituir dió cero. - 4 0 7 3 - 1 _________________________ A continuación el primer coeficiente se coloca justo debajo de la línea, luego se multiplica por el factor y se coloca debajo del segundo coeficiente, sobre la línea y se procede a sumar los dos números, el resultado se coloca debajo de la línea y se sigue igual hasta terminar - 4 0 7 3 - 1 4 - 4 -3 - 4 4 3 0 (x + 1) es un factor y los números debajo de la línea representan los coeficientes del segundo factor Exprese la ecuación como un producto y resuelva: - 4x 3 + 7x + 3 = 0 (x + 1) (- 4x 2 + 4x + 3) = 0 (x + 1) ( - 2x + 3) (2x + 1) = 0 X = - 1, x = 3/2, x = - 1/2 CONTINUAR

EJEMPLO

- 4x3 + 7x + 3 = 0

Los factores de 3 son 1, - 1, 3 y – 3. También ½, - ½, 3/2, -3/2, ¼, - ¼, ¾, -3/4

Al reemplazar por 1 obtenemos 6. Al reemplazar por – 1 obtenemos 0.

División sintética:

disponemos en fila los coeficientes del polinomio y en el lado

izquierdo colocamos el factor que al sustituir dió cero.

- 4 0 7 3

- 1 _________________________

A continuación el primer coeficiente se coloca justo debajo de la línea, luego se multiplica por el factor y se coloca debajo del segundo coeficiente, sobre la línea y se procede a sumar los dos números, el resultado se coloca debajo de la línea y se sigue igual hasta terminar

- 4 0 7 3

- 1 4 - 4 -3

- 4 4 3 0

(x + 1) es un factor y los números debajo de la línea representan los coeficientes del segundo factor

Exprese la ecuación como un producto y resuelva:

- 4x 3 + 7x + 3 = 0

(x + 1) (- 4x 2 + 4x + 3) = 0

(x + 1) ( - 2x + 3) (2x + 1) = 0

X = - 1, x = 3/2, x = - 1/2

3. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO a│f(x)│+ b = c A ísle el valor absoluto, de forma que quede │ f(x)│= d, donde d = (c – b) / a Tome la expresi ón contenida dentro del valor absoluto y escriba dos ecuaciones, una igual a d y la otra a – d. Resuelva cada ecuaci ón. EJEMPLO 5│2x + 3│ - 7 = 8 5│2x + 3│= 15 │ 2x + 3│ = 3 2x + 3 = 3 , 2x + 3 = - 3 x = 0 x = - 3 VOLVER CONTINUAR

3. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

a│f(x)│+ b = c

A ísle el valor absoluto, de forma que quede

│ f(x)│= d, donde d = (c – b) / a

Tome la expresi ón contenida dentro del valor absoluto y escriba dos ecuaciones,

una igual a d y

la otra a – d.

Resuelva cada ecuaci ón.

EJEMPLO

5│2x + 3│ - 7 = 8

5│2x + 3│= 15

│ 2x + 3│ = 3

2x + 3 = 3 , 2x + 3 = - 3

x = 0 x = - 3

4. ECUACIONES RADICALES. Son ecuaciones que contienen variables dentro de un radical. A ísle la expresión radical. Eleve ambos lados de la ecuación a una potencia igual al índice del radical. Resuelva la ecuación EJEMPLO ______ - 4 + 2 √ 2x + 5 = 8 ______ 2 √ 2x + 5 = 12 ______ √ 2x + 5 = 6 2x + 5 = 36 x = 31/2 VOLVER CONTINUAR

4. ECUACIONES RADICALES.

Son ecuaciones que contienen variables dentro de un radical.

A ísle la expresión radical.

Eleve ambos lados de la ecuación a una potencia igual al índice del radical.

Resuelva la ecuación

EJEMPLO

______

- 4 + 2 √ 2x + 5 = 8

______

2 √ 2x + 5 = 12

______

√ 2x + 5 = 6

2x + 5 = 36

x = 31/2

5. ECUACIONES RACIONALES Son ecuaciones que tienen forma de fraccionario con variable en el denominador. Se pueden resolver de varias formas, la m ás f ácil es la siguiente: Busque el com ú n denominador de toda la ecuaci ón. Multiplique cada término de la ecuaci ón por ese com ú n denominador . Resuelva la ecuaci ón polinómica resultante. Asegúrese que la solución pertenezca al dominio. EJEMPLO 2 + 4x = __ 2 __ x x – 1 x 2 – 1 Com ú n denominador: x (x 2 – 1) Al multiplicar cada término de la ecuación por x (x 2 – 1), obtenemos 2x 2 – 2 + 4x 2 = 2x 6x 2 – 2x – 2 = 0 Al aplicar F ó rmula Cuadr ática obtenemos ___ x = 1 ± √ 13 Dominio: x ≠ o, x ≠ 1 , x ≠ - 1 6 VOLVER INICIO

5. ECUACIONES RACIONALES

Son ecuaciones que tienen forma de fraccionario con variable en el denominador.

Se pueden resolver de varias formas, la m ás f ácil es la siguiente:

Busque el com ú n denominador de toda la ecuaci ón.

Multiplique cada término de la ecuaci ón por ese com ú n denominador .

Resuelva la ecuaci ón polinómica resultante.

Asegúrese que la solución pertenezca al dominio.

EJEMPLO

2 + 4x = __ 2 __

x x – 1 x 2 – 1

Com ú n denominador: x (x 2 – 1)

Al multiplicar cada término de la ecuación por x (x 2 – 1), obtenemos

2x 2 – 2 + 4x 2 = 2x

6x 2 – 2x – 2 = 0

Al aplicar F ó rmula Cuadr ática obtenemos

___

x = 1 ± √ 13 Dominio: x ≠ o, x ≠ 1 , x ≠ - 1

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