Nazoki

van Emde Boas Trees 〜明日から使えない謎の速い木〜catupper

van Emde Boas Treesとは● 読み：ばん　えんで　ぼーす● 以下「謎木」● 集合（set)● 非常に速い● あらゆる操作がO(lg lg u)● 実装が重い

機能要件● MAXIMUM　　最大値● MINIMUM　　　最小値● MEMBER　　　有無● INSERT　　　　挿入● DELETE　　　　削除● SUCCESSOR　　それより大きい最小の要素● PREDECESSOR それより小さい最大の要素

平衡二分探索木● 葉にビットを立てて有無を表現● 親は全子孫のORの結果を保持（Summary）１０ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7

各オーダー● MAXIMUM　 log u● MINIMUM log u● MEMBER log u● INSERT log u● DELETE log u● SUCCESSOR log u● PREDCESSOR log u● 木の深さに依存

深さをlog log u にしたい

平方兵法● サイズu の親は　サイズ√uの子を√u個持つ● 最小サイズは２● 深さはlog log u サイズ256 サイズ４サイズ４サイズ４サイズ４サイズ２サイズ２

各ノードのデータ● サイズuのノードサイズ U 最大値 max 最小値 min Cluster● 最大値 Summary 木木　　木　　木　　木　　木● 最小値● 子へのポインタ● Summary – 各子に対する　そのノードとその子孫のOR値

全体図

各オペレーションのオーダー

MIN,MAX,MEMBER● MIN、MAX – 子孫の最大値と最小値を各親が持ってる – O（１）● MEMBER – 該当箇所へ降りて行って確認するだけ – 処理数は深さ分 – O（log log u）

SUCCESSOR,PREDCESSOR● SUCCESSOR – 木を下りながら – minより小さくなったらminを返す – maxより大きくなったら次の兄弟のminを返す – 次の兄弟はsummaryからSUCCESSORで探す – 処理数は深さ分 – O（log log u）● PREDCESSOR – 逆も然り

INSERT● INSERT – 該当場所へ向かって木を降りて行って – ｍinもmaxも未定義だったら両方に入れて summaryを更新して終わる – minより小さかったら値を交換して再帰続行 – ｍaxより大きかったらmaxを更新 – 処理数は深さ分 – O（log log u）

DELETE● DELETE – 該当箇所に向かって降りていく – minとmaxが等しかったら削除して終了 – minと等しかったらsummaryのminのminで更新 – maxと等しかったらsummaryのmaxのmaxで更新 – いた木のminとmaxが等しかったらsummary更新 – O(log log u)

超ややこしい

要するに● maxとminで要素数が０か１か２以上かを判断 – Summaryの更新が必要かを判断● どの要素もいずれかの木のmin – min maxを中心にオペレーションを回せる● Summaryはminを扱わない – 削除のとき更新が楽になる● 要素数が２未満ならそこで再帰終了 – 必要メモリが減る

空間計算量● 扱う数字の範囲分（u）必要● よってO（u）● Int型なら32bit● 大きい

使えない？

工夫● オペレーションは空の木の子に行かない● 空の木はINSERT時以外更新されない● INSERT時に動的につくればええやん● 木の数は要素数(n)を超えない● よって空間計算量O(n)

やったねたえちゃん二分ヒープと同じ

まとめ● ヒープ並のメモリ使用量でO(log log u)で同じ機能をサポート● 実装 – ややこしいオペレーション関数 – ややこしい構造 – 動的ハッシュ – スクリプト言語に向いてない – デバッグ大変でした

まとめ使えるまでメモリを削減するには動的ハッシュが必要

結論実装が重い！

結論実装できんかった＞＜

結論謎木速いんだけど微妙にバグる

ご清聴ありがとうございました

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Nazoki

by catupper on Aug 28, 2012

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