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Transformada De Fourier

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  • 1. Transformada de Fourier http://www.fiec.espol.edu.ec
  • 2. ¿Qué veremos hoy? <ul><li>Las transformadas de Fourier </li></ul><ul><li>DFT Real </li></ul><ul><li>DFT Complejo </li></ul><ul><li>El dominio de la frecuencia </li></ul><ul><li>La inversa de la DFT </li></ul><ul><li>Calculo de la DFT </li></ul><ul><li>Representación Polar </li></ul><ul><li>Análisis Espectral </li></ul><ul><li>Respuesta en Frecuencia </li></ul><ul><li>Convolución usando Frecuencia </li></ul>
  • 3. Transformadas de Fourier <ul><li>Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) </li></ul><ul><li>Contribuyo a la idea de que una función puede ser representada por la suma de funciones sinusoidales </li></ul>
  • 4. Transformada de Fourier
  • 5. Transformada de Fourier
  • 6. Transformada de Fourier
  • 7. Trasformada de Fourier <ul><li>Es interesante descomponer una señal en sinusoides por la: </li></ul><ul><ul><li>FIDELIDAD SINUSOIDAL </li></ul></ul><ul><li>Eso garantiza que si entra un sinusoide a un sistema lineal solo variará su fase y su amplitud pero su frecuencia sera la misma </li></ul>
  • 8. Transformadas de Fourier <ul><li>Dependiendo del tipo de función que se desee transformar se utilizan diferentes métodos </li></ul>
  • 9. Transformadas de Fourier <ul><li>Aperiodiodicas Continuas Transformada de Fourier </li></ul><ul><li>Periódicas Continuas Series de Fourier </li></ul><ul><li>Aperiódicas Discretas T. Discreta en Tiempo de Fourier </li></ul><ul><li>Periódicas Discretas Transformada Discreta de Fourier </li></ul>
  • 10. Transformada de Fourier <ul><li>Nosotros manejamos señales con un número finito de muestras </li></ul><ul><li>Hay dos opciones </li></ul><ul><ul><li>Convertirlas a Aperiódicas Discretas </li></ul></ul><ul><ul><li>Convertirlas a Periódicas Discretas </li></ul></ul><ul><li>Para sintetizar una señal aperiódica se necesita un número infinito de sinusoides </li></ul>
  • 11. Transformada de Fourier <ul><li>Por lo tanto nos concentraremos en la Transformada Discreta de Fourier </li></ul><ul><li>Llamada más comúnmente por su siglas en ingles DFT </li></ul><ul><li>Para hacerlo debemos pensar en la señal digital como periódica, o sea que se repite indefinidamente </li></ul>
  • 12. Transformada de Fourier <ul><li>Existen dos maneras de atacar matemáticamente la DFT </li></ul><ul><ul><li>DFT Sinusoidal (Real) </li></ul></ul><ul><ul><li>DFT Exponencial (Complejo) </li></ul></ul>
  • 13. DFT Real <ul><li>Se basa en calcular los coeficientes de la siguiente ecuación: </li></ul>
  • 14. DFT Real
  • 15. DFT Real
  • 16. DFT Complejo <ul><li>Se basa en la identidad </li></ul><ul><li>De tal manera que: </li></ul>
  • 17. Real vs. Complejo <ul><li>La verdadera transformada de Fourier es compleja por naturaleza </li></ul><ul><li>Hacerla real permite estudiarla mejor, pero introduce ciertos problemas </li></ul><ul><li>Nosotros utilizaremos las dos dependiendo de la aplicación </li></ul>
  • 18. El dominio de la frecuencia <ul><li>Aplicar la transformada de fourier a una señal en el dominio del tiempo tiene como efecto expresar esa señal en el dominio de la frecuencia </li></ul><ul><li>X[n]=DFT(x[n]) </li></ul><ul><li>Por lo tanto el eje x de la transformada de fourier representa frecuencia </li></ul>
  • 19. El dominio de la frecuencia
  • 20. El dominio de la frecuencia <ul><li>El eje x se puede expresar de 4 maneras: </li></ul><ul><ul><li>Fracción de la frecuencia de Muestreo </li></ul></ul><ul><ul><li>Número de Muestra </li></ul></ul><ul><ul><li>Frecuencia Natural (radianes) </li></ul></ul><ul><ul><li>Frecuencia Absoluta </li></ul></ul>
  • 21. Inversa de la DFT <ul><li>Así como podemos ir del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia </li></ul><ul><li>Usamos la inversa de la DFT para pasar de la frecuencia al tiempo </li></ul><ul><li>Por lo tanto podemos ver que al pasar del tiempo a la frecuencia solo estamos expresando la misma información de otra manera </li></ul>
  • 22. Inversa de la DFT <ul><li>Eso nos lleva a un concepto muy importante en analisis de señales y sistemas: Dualidad </li></ul>
  • 23. Cálculo de la DFT <ul><li>Hay 3 métodos para calcular la DFT </li></ul><ul><ul><li>DFT por ecuaciones simultaneas </li></ul></ul><ul><ul><li>DFT por correlación </li></ul></ul><ul><ul><li>FFT </li></ul></ul><ul><li>Hoy veremos los dos primeros </li></ul>
  • 24. DFT por ecuaciones simultaneas <ul><li>Tenemos N valores en tiempo y hay que calcular N valores en frecuencia </li></ul><ul><li>Debemos escribir N ecuaciones lineales independientes </li></ul>
  • 25. DFT por ecuaciones simultaneas <ul><li>Se puede resolver usando los métodos como Eliminación de Gauss </li></ul><ul><li>Pero en la práctica es muy lento </li></ul><ul><li>Solo se utiliza de manera teórica </li></ul>
  • 26. DFT por correlación <ul><li>Correlacionamos la señal original con cada una de las funciones sinusoidales base </li></ul><ul><li>Esto significa multiplicar cada punto de la señal de entrada por la función sinusoidal y luego sumar todos los puntos </li></ul>
  • 27. DFT por correlación
  • 28. DFT por correlación
  • 29. Notación Polar <ul><li>Tal como representamos a la función en frecuencia con una parte real y una imaginaria podemos expresarla en forma de Magnitud y Fase </li></ul><ul><li>Mag X[0] y Fas X[0] son calculadas a partir de Re X[0] y Im X[0] y asi con las demas muestras </li></ul>
  • 30. Notación Polar <ul><li>Esta forma de representar la función en frecuencia nos ayuda a visualizarla mejor </li></ul>
  • 31. Notación Polar <ul><li>Se calcula de la siguiente manera </li></ul>
  • 32. Notación Polar
  • 33. Notación Polar <ul><li>Usamos la notación polar para visualizar la señal </li></ul><ul><li>Usamos la notación rectangular para hacer los cálculos </li></ul>
  • 34. Análisis Espectral <ul><li>Como ya vimos, en muchas señales, la información no esta codificada en la forma de la señal, sino en su frecuencia </li></ul><ul><li>Ejemplo de esto: </li></ul><ul><ul><li>Sonido </li></ul></ul><ul><ul><li>Radar Submarino </li></ul></ul><ul><ul><li>Color </li></ul></ul>
  • 35. Análisis Espectral <ul><li>Para analizar este tipo de señales el dominio del tiempo es insatisfactorio </li></ul><ul><li>Trate de analizar su voz simplemente viendo a forma de la señal en tiempo </li></ul><ul><li>Se utiliza la transformada de fourier para representar estas señales en frecuencia y asi poderlas analizar </li></ul>
  • 36. Análisis Espectral
  • 37. Análisis Espectral <ul><li>Obtenemos la transformada de Fourier </li></ul><ul><li>Obtenemos la parte real y la graficamos </li></ul>
  • 38. Análisis Espectral
  • 39. Análisis Espectral <ul><li>Vamos tomando grupos de muestras y realizamos la misma técnica y luego las graficamos juntas </li></ul>
  • 40. Análisis Espectral
  • 41. Análisis Espectral <ul><li>A representar una función en sus componentes de frecuencia se le llama Análisis Espectral </li></ul><ul><li>Nos permite saber que frecuencias están presentes dentro de una señal </li></ul>
  • 42. Análisis Espectral <ul><li>Al tomar un grupo de muestras estamos multiplicando la función por una ventana cuadrada </li></ul><ul><li>Eso provoca distorsiones en las frecuencias obtenidas </li></ul>
  • 43. Análisis Espectral
  • 44. Multiplicación por Ventana
  • 45. Ventanas <ul><li>Existen varias ventanas </li></ul><ul><ul><li>Cuadrada </li></ul></ul><ul><ul><li>Barlett (triangulo) </li></ul></ul><ul><ul><li>Welch (parabola) </li></ul></ul><ul><ul><li>Hann (Hanning) </li></ul></ul><ul><ul><li>Hamming </li></ul></ul>
  • 46. Ventanas Cuadrada Barlett Welch Hann
  • 47. Resolución <ul><li>Si tomamos más puntos tendremos una mejor definición en frecuencia </li></ul><ul><li>Pero empeorara la definición en tiempo </li></ul><ul><li>Si tomamos menos puntos, tendremos una mejor definición en tiempo </li></ul><ul><li>Pero empeorara la definición de la frecuencia </li></ul>
  • 48. Resolución
  • 49. Resolución
  • 50. Resolución
  • 51. Resolución
  • 52. Resolución
  • 53. Respuesta en Frecuencia <ul><li>Asi como en el dominio del tiempo un sistema puede ser caracterizado por su Respuesta a Impulso </li></ul><ul><li>En la Frecuencia un sistema se caracteriza por su Respuesta en Frecuencia </li></ul><ul><li>La relación entre las dos es la transformada de Fourier </li></ul>
  • 54. Respuesta en Frecuencia
  • 55. Respuesta en Frecuencia <ul><li>Muchas veces podemos entender mejor el funcionamiento de un sistema si analizamos la Respuesta a Frecuencia en vez de la Respuesta a Impulso </li></ul>
  • 56. Respuesta en Frecuencia
  • 57. Convolución en Frecuencia <ul><li>Si </li></ul><ul><ul><li>x[n] * h[n] = y[n] </li></ul></ul><ul><li>Entonces </li></ul><ul><ul><li>X[f] ? H[f] = Y[f] </li></ul></ul><ul><li>Respuesta </li></ul><ul><ul><li>Multiplicación </li></ul></ul>
  • 58. Convolución en Frecuencia <ul><li>Convolucionar dos señales en el dominio del tiempo, significa multiplicarlas en el dominio de la frecuencia </li></ul><ul><li>Y viceversa </li></ul>
  • 59. Convolución en Frecuencia
  • 60. Convolución en Frecuencia
  • 61. ¿Qué veremos hoy? <ul><li>Las transformadas de Fourier </li></ul><ul><li>DFT Real </li></ul><ul><li>DFT Complejo </li></ul><ul><li>El dominio de la frecuencia </li></ul><ul><li>La inversa de la DFT </li></ul><ul><li>Calculo de la DFT </li></ul><ul><li>Representación Polar </li></ul><ul><li>Análisis Espectral </li></ul><ul><li>Respuesta en Frecuencia </li></ul><ul><li>Convolución usando Frecuencia </li></ul>
  • 62. Proxima Clase <ul><li>Viernes 27 de Junio: </li></ul><ul><ul><li>Aplicaciones de la DFT </li></ul></ul>

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