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Sistemas Lineales
 

Sistemas Lineales

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  • muy buen aporte didactico
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  • REPASO DE ECUACIONES DIFERENCIALES / CONTROL ANALÓGICO
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  • Muy buen manejo de conceptos
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    Sistemas Lineales Sistemas Lineales Presentation Transcript

    • Sistemas Lineales http://www.fiec.espol.edu.ec
    • ¿Qué veremos hoy?
      • Introducción
      • Requerimientos para la Linealidad
      • Pruebas Prácticas de Linealidad
      • Propiedades Especiales
      • Superposición
      • Decomposición
    • Introducción
      • En la naturaleza existen muchos tipos de sistemas que desearíamos analizar
      • Afortunadamente la mayoría de esos sistemas caen dentro de una clasificación
      • Esa clasificación es la de sistemas lineales
    • Introducción
      • Los sistemas lineales se rigen por un conjunto de propiedades que facilitan su estudio y análisis
      • Los sistemas no lineales son mucho más difíciles de analizar
      • Es importante saber cuando un sistema se clasifica como sistema lineal
    • Requerimientos de Linealidad
      • Los requerimientos para que una sistema sea lineal son:
        • Homogeneidad
        • Aditividad
        • Invariabilidad en el tiempo
    • Requerimientos de Linealidad
      • Homogeneidad
        • Decimos que un sistema es homogéneo cuando un cambio en la amplitud de la señal de entrada produce una variación proporcional en la señal de salida
        • Si una señal de entrada x[n] produce una señal de salida y[n], una señal de entrada kx[n] dara lugar a una señal ky[n]
    • Requerimientos de Linealidad Si Entonces
    • Requerimientos de Linealidad
      • Ejemplo: una resistencia es un sistema homogéneo con respecto a la corriente
        • Señal de entrada: voltaje aplicado
        • Señal de salida: intensidad de corriente
      • Si duplicamos el voltaje entonces duplicamos también la corriente
      • No es homogéneo con respecto a la potencia
    • Requerimientos de Linealidad
      • Aditividad
        • Un sistema es aditivo cuando la señal a la salida es igual a la suma de las salidas generadas por las diferentes señales de entrada
        • Si x 1 [n] produce y 1 [n] y x 2 [n] produce y 2 [n] entonces x 1 [n]+x 2 [n] produce y 1 [n]+y 2 [n]
    • Requerimientos de Linealidad Si y Entonces
    • Requerimientos de Linealidad
      • Ejemplo:
        • El teléfono es aditivo, porque si dos personas hablan, del otro extremo se puede distinguir las dos voces por separado
        • No es aditiva la radio, porque al mezclar la portadora con la señal que queremos transmitir, se funden de tal manera que queda solamente una señal
    • Requerimientos de Linealidad
      • Invariabilidad en el tiempo
        • Significa que mover la señal de entrada en el tiempo produce un movimiento idéntico en la señal de salida
        • Si x[n] produce y[n] entonces x[n + t] produce y[n + t]
    • Requerimientos de Linealidad Si Entonces
    • Requerimientos de Linealidad
      • Ejemplo:
        • Si decimos “hola” en el telefono, la otra persona siempre escuchara “hola”, sin importar a que hora del día lo diga
    • ¿Qué veremos hoy?
      • Introducción
      • Requerimientos para la Linealidad
      • Pruebas Prácticas de Linealidad
      • Propiedades Especiales
      • Superposición
      • Decomposición
    • Pruebas de Linealidad
      • Matemáticamente para probar que un sistema es lineal debemos asegurarnos de que:
        • Es homogéneo
        • Es aditivo
        • Es invariable en el tiempo
    • Pruebas de Linealidad
      • Pero en la práctica, es muy difícil probar en un sistema del cual no conocemos el funcionamiento
      • Por eso usamos otras pruebas
        • Linealidad estática
        • Fidelidad sinusoidal
    • Pruebas de Linealidad
      • Linealidad Estática
        • La linealidad estática solo significa que la señal de salida no es más que la señal de entrada multiplicada por una constante
        • Graficamos para varios valores de entrada los valores que obtenemos a la salida
        • Ese gráfico debe ser una línea
    • Pruebas de Linealidad
      • Linealidad Estática
    • Pruebas de Linealidad
      • Linealidad Estática
    • Pruebas de Linealidad
      • Fidelidad sinusoidal
        • Si la entrada de un sistema lineal es una onda sinusoidal, la salida será también una onda sinusoidal con la misma frecuencia
        • Pueden diferir en amplitud y fase
        • Solo es válido para señales sinusoidales
    • Pruebas de Linealidad
      • Fidelidad sinusoidal
      Sistema Lineal
    • ¿Qué veremos hoy?
      • Introducción
      • Requerimientos para la Linealidad
      • Pruebas Prácticas de Linealidad
      • Propiedades Especiales
      • Superposición
      • Decomposición
    • Propiedades Especiales
      • La Linealidad es Conmutativa
        • Si colocamos dos sistemas en cascada, si los dos sistemas son lineales, el sistema total será también lineal
        • Podemos intercambiar el orden de los sistemas sin que esto afecte al sistema total
    • Propiedades Especiales Si Entonces
    • Propiedades Especiales
      • De tal manera un sistema continuará siendo lineal si todos sus componentes son lineales y las operaciones realizadas entre ellos son solamente de adición
      • No importa que tan complejo sea el sistema ni cuantas entradas o salidas tenga
    • Propiedades Especiales
    • Propiedades Especiales
      • La multiplicación puede ser lineal o no, dependiendo que multipliquemos
      • Señal * constante = lineal
      • Señal * Señal = no lineal
      Lineal No Lineal
    • ¿Qué veremos hoy?
      • Introducción
      • Requerimientos para la Linealidad
      • Pruebas Prácticas de Linealidad
      • Propiedades Especiales
      • Superposición
      • Decomposición
    • Superposición
      • En un sistema lineal la única manera de combinar señales es escalandolas (multiplicar las señales por constantes) y después sumándolas
      • El proceso de combinar señales a través del escalado y la suma se conoce como Síntesis
    • Superposición
      • La Descomposición es la operación inversa
      • Una señal se puede dividir en dos o mas componentes que la forman
      • Es más complejo que la síntesis porque hay muchas maneras de descomponer señales
    • Superposición + + Síntesis Decomp.
    • Superposición
      • Superposición es la estrategia con que podemos analizar sistemas y señales
      • Si una señal de entrada x[n], que produce una señal de salida y[n] la descomponemos en señales más simples x 0 [n], x 1 [n], x 2 [n],...
      • Y hacemos pasar cada una de estas componentes por el sistema obteniendo y 0 [n], y 1 [n], y 2 [n],...
      • Sintetizando estas señales obtenemos y[n]
    • Superposición Sistema Lineal
    • Superposición
    • Superposición
      • La señal de salida obtenida sintetizando las componentes es igual a la obtenida pasando la señal de entrada original por el sistema
      • En vez de tratar de comprender como se comporta el sistema para señales complicadas, las dividimos en señales sencillas y sumamos sus respuestas
    • ¿Qué veremos hoy?
      • Introducción
      • Requerimientos para la Linealidad
      • Pruebas Prácticas de Linealidad
      • Propiedades Especiales
      • Superposición
      • Decomposición
    • Decomposición
      • Ha varios métodos para realizar la descomposición
        • En impulsos
        • En pasos
        • Par/Impar
        • Entrelazada
        • Fourier
    • Decomposición
      • En impulsos:
        • Divide la señal de N muestras en igual número de señales, cada una con una muestra diferente
        • Es examinar la señal una muestra por vez
        • Si sabemos como el sistema responde a un impulso, podemos calcular como responde para cualquier señal
    • Decomposición
    • Decomposición
      • En pasos:
        • Muy parecida a la por impulsos, pero descomponemos la señal en funciones escalera
        • Estas funciones escaleras tiene un valor de cambio de x[k] - x[k-1]
        • Sirve para describir como cambia una señal
    • Decomposición
    • Descomposición
      • Par/Impar
        • Dividimos una señal en sus muestras en dos componentes, una con simetría impar y otra con simetría par
    • Descomposición
    • Descomposición
      • Entrelazada
        • Aquí simplemente dividimos la señal en dos componentes, uno con las muestras pares y otro con las impares
        • Puede parecer sencillo pero es el fundamente del cálculo de la FFT
        • Cada componente tendra N/2 muestras
    • Descomposición
    • Descomposición
      • Fourier
        • Una señal de N muestras puede ser descompuesta en N+2 señales, la mitad cosenos y la mitad senos.
        • La componente n completa n ciclos en N muestras
        • Es la base para la transformada de Fourier
        • Muy importante por la fidelidad sinusoidal
    • Descomposición