Propiedades De La Convolucion
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Propiedades De La Convolucion Propiedades De La Convolucion Presentation Transcript

  • Propiedades de la Convolución http://www.fiec.espol.edu.ec
  • ¿Qué veremos hoy?
    • Propiedades matemáticas
    • Respuesta a Impulso Comunes
    • Señales causales y no causales
    • Teorema del limite central
    • Correlación
    • Tiempo de cálculo de la convolución
  • Propiedades Matemáticas
    • Propiedad Conmutativa
    Si Entonces View slide
  • Propiedades Matemáticas
    • Propiedad Asociativa
    Si Entonces Tambien View slide
  • Propiedades Matemáticas
    • Propiedad Distributiva
    Si Entonces
  • Propiedades Matemáticas
    • Propiedad Lineal
      • Si algún proceso lineal afecta la entrada, el mismo proceso lineal afectará a la salida
    Si Entonces
  • Respuestas a Impulso comunes
    • Función Delta
      • Es la identidad de la operación convolución:
      • Es lo mismo que el 0 para la adición y el 1 para la multiplicación
      • Esta función es muy importante cuando lo que queremos es transmitir o almacenar una señal
  • Identidad
  • Respuestas a Impulso comunes
    • Amplificador o Atenuador
      • Cuando usamos a la función delta multiplicada por una constante
      • Si k > 1 entonces es un amplificador, si 0<k<1 entonces es un atenuador
  • Amplificador, Atenuador
  • Respuestas a Impulso comunes
    • Desplazador
      • Si desplazamos a la función delta, obtenemos una señal igual a lo original pero desplazada en el tiempo
      • Esto pude considerarse como un retardo o “delay” o un avance dependiendo del desplazamiento
  • Desplazador
  • Respuestas a Impulso comunes
    • Eco
      • Si usamos una función delta más una función delta desplazada y escalada obtenemos un sistema de eco
      • Muchas veces deseamos eliminar ese eco
  • Eco
  • Respuestas a Impulso Comunes
    • Primera Diferencia (Derivación)
  • Respuestas a Impulso Comunes
    • Suma continua (Integración)
  • Respuestas a Impulso Comunes Suma continua Primera diferencia
  • Repuestas a Impulso Comunes
    • Filtro pasa bajos
      • Los filtros pasa bajos estan formados por un grupo de puntos adyacentes positivos
      • Eso produce un promediado de la señal
      • Como vimos en clases pasadas puede haber varios tipos de filtros
  • Repuestas a Impulso Comunes
  • Respuestas a Impulso Comunes
    • Filtros pasa altos
      • Se construyen modificando filtros pasa bajos
      • Queremos la señal menos las frecuencias bajas
      • Pasamos toda la señal (función delta) y le restamos las frecuencias bajas (filtro pasa bajo)
  • Respuestas a Impulso Comunes
  • Señales causales y no causales
    • En un sistema analógico, el sistema responde a excitaciones en la entrada
    • Si aplicamos una señal de entrada, obtendremos una salida
    • Esto es una relación causa-efecto
    • Esto no es necesariamente cierto en un computador
  • Señales causales y no causales
    • En un computador la señal de entrada es un arreglo de números y la señal de salida también
    • Nada nos impide que una muestra en la entrada pueda afectar a valores previos de la salida
  • Señales causales y no causales
    • Diferenciamos una señal causal de uno no causal cuando todos los valores con número de muestra negativa son iguales a 0
    • Si no son iguales a 0, decimos que la señal es no causal
  • Señales causales y no causales Causal No Causal
  • Teorema del Limite Central
    • Nos dice que cuando una señal es el resultado de la suma de varios procesos aleatorios, esa señal tendrá una distribución normal (Gausiana)
    • Ej: Ruido Termal, Sección de un rayo laser, Agujeros en un tablero de dardos
  • Teorema del Limite Central
    • Esto tiene una aplicación en convolución
    • Si una señal parecida a pulsos es convolucionada con ella mismas varias veces, una campana de Gauss es producida
    • El ancho de la campana de gauss es igual al pulso original multiplicada por el número de convoluciones
  • Teorema del Limite Central
  • Correlación
    • Estudiemos el funcionamiento del radar
    • Un pulso es generado y transmitido por una antena transmisora
    • Cuando esta señal golpea algún objeto, es reflejada
    • Una antena receptora captura todos los pulsos reflejados y calcula la distancia
  •  
  • Correlación
    • La señal reflejada consistirá de:
      • Pulsos reflejados
      • Ruidos
    • Es difícil a simple vista diferenciar el uno del otro
    • Para poder identificar el pulso utilizamos una técnica llamada correlación
  • Correlación
    • La correlación es muy parecida a la convolución
    • La señal producida se llama la correlacion cruzada (cross-correlation)
    • Si la señal se correlaciona consigo misma se llama autocorrelación
  • Correlación
    • Se calcula con la “maquina de correlación”
    • Esta máquina va midiendo como tramos de la señal se parecen a la señal deseada
  • Correlación
  • Correlación
    • Se parece a la máquina de convolución excepto porque la señal dentro no esta volteada
    • De tal manera que correlacionar es simplemente hacer una convolución con la segunda señal volteada
  • Velocidad de Cálculo
    • Escribir un programa para convolución se escribe en pocas líneas de código
    • Ejecutarlo en cambio no es eficiente
    • Debemos multiplicar dos números y sumarlos en un acumulador
    • Debemos realizar NxM de estas operaciones
  • Velocidad de Cálculo
    • Para una señal de 10000 muestras convolucionada con una de 100 muestras requiere aproximadamente 1 segundo
    • Para una señal de un millón de muestras requerirá 100 segundos, más de un minuto
    • Esto es demasiado tiempo si deseamos utilizarlo en tiempo real
  • Velocidad de Cálculo
    • En la realidad utilizamos otros métodos para calcular eficientemente la convolución
    • Por ejemplo la FFT convolution que aplica el concepto e transformada de Fourier
  • Proxima Clase
    • Viernes 20 de Junio:
      • Transformada Discreta de Fourier
    • Tarea
      • Realizar un algoritmo para realizar la correlación de dos matrices