Convolucion

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Convolucion

  1. 1. Convolución http://www.fiec.espol.edu.ec
  2. 2. ¿Qué veremos hoy? <ul><li>Funcion Delta y Respuesta a Impulso </li></ul><ul><li>Definición de Convolución </li></ul><ul><li>Algoritmo desde la Entrada </li></ul><ul><li>Algoritmos desde la Salida </li></ul><ul><li>Definición matemática (Digital) </li></ul><ul><li>Definición matemática (Analógico) </li></ul>
  3. 3. Respuesta a Impulso <ul><li>Cualquier señal puede ser descompuesta en impulsos </li></ul><ul><li>Un impulso es una señal compuesta de ceros excepto en un punto en que tiene un valor no cero </li></ul><ul><li>Un impulso normalizado o impulso unitario tiene el valor de uno en la muestra 0, se representa con  [n]. </li></ul>
  4. 4. Respuesta a Impulso <ul><li>La respuesta a impulso es como un sistema responde su entrada es alimentada con un impulso unitario </li></ul>Sistema Lineal Impulso Unitario Respuesta Impulso
  5. 5. Respuesta a Impulso <ul><li>Si dos sistemas son diferentes de alguna manera, tendrán diferente respuesta a impulso </li></ul><ul><li>La respuesta impulso se representa con h[n] </li></ul>
  6. 6. Respuesta a Impulso <ul><li>Cualquier impulso puede ser representado por un impulso unitario desplazado y escalado </li></ul><ul><li>4  [n-5] es un impulso cuya muestra número 5 tiene un valor de 4 y el resto de muestras valen 0 </li></ul>
  7. 7. Respuesta a Impulso <ul><li>Si sabemos que la respuesta a impulso de un sistema lineal es h[n], ¿cual será la salida si la entrada es b  [n-a]? </li></ul><ul><li>¿Porqué? </li></ul>
  8. 8. Respuesta a Impulso <ul><li>La salida sería bh[n-a] </li></ul><ul><li>Porque aplicamos las propiedades de homogeneidad e invariabilidad en el tiempo </li></ul>b  [n-a] bh[n-a]
  9. 9. Convolución <ul><ul><li>Si una función puede ser descompuesta en impulsos, </li></ul></ul><ul><ul><li>Si la respuesta a cualquier impulso es la respuesta al impulso unitario desplazada y escalada y </li></ul></ul><ul><ul><li>Si la sumando las componentes de salida puedo obtener la salida total </li></ul></ul><ul><li>Entonces si conocemos la respuesta a impulso... ¡¡¡Lo conocemos todo sobre el sistema!!! </li></ul><ul><li>Porque podemos saber la repuesta del sistema a cualquier señal </li></ul>
  10. 10. Convolución <ul><li>Es una operación matemática en la cual tomamos dos señales y producimos una tercera </li></ul><ul><li>De la misma manera que en multiplicación tomamos dos número y producimos un tercero </li></ul>
  11. 11. Convolución <ul><li>En sistemas lineales, la convolución brinda una manera de relacionar 3 señales: la señal de entrada, la respuesta a impulso y la señal de salida </li></ul><ul><li>La señal de entrada convolucionada con la respuesta a impulso es igual a la señal de salida </li></ul><ul><li>La convolución se representa con * </li></ul>
  12. 12. Convolución
  13. 13. Convolución
  14. 14. Convolución
  15. 15. Convolución <ul><li>Ahora que sabemos que representa la convolución en sistemas lineales vamos a ver como se calcula </li></ul><ul><li>Hay dos formas de verlo, desde la entrada o desde la salida </li></ul><ul><li>El primero nos permite ver de una manera conceptual la convolución, el otro es la definición matemática </li></ul>
  16. 16. Algoritmo desde la Entrada <ul><li>Usamos el mismo concepto de descomposición en impulsos </li></ul><ul><li>Tomamos cada muestra y la vamos pasando por el sistema </li></ul><ul><li>Al final sumamos todas las salidas </li></ul><ul><li>Asi obtenemos la salida total, o sea la covolución de la entrada con la respuesta a impulso </li></ul>
  17. 17. Algoritmo desde la Entrada
  18. 20. Algoritmo desde la Entrada <ul><li>Se puede pensar como que cada punto en la entrada contribuye a varios puntos en la salida </li></ul><ul><li>Siempre vamos a tener N + M muestras en la salida </li></ul>
  19. 21. Algoritmo desde la Salida <ul><li>En el anterior punto de vista, vemos como una muestra en la entrada contribuye a la salida </li></ul><ul><li>Ahora veremos lo contrario, veremos como cada muestra en la salida es influenciada por varias muestras en la entrada </li></ul><ul><li>Hacemos esto porque matemática y computacionalmente es la forma tradicional de resolver problemas </li></ul>
  20. 22. Algoritmo desde la Salida <ul><li>Viendo el ejemplo anterior para saber cuanto vale y[6] tenemos que ver muestras en la entrada producen valores no cero en y[6] </li></ul><ul><li>y[6]=x[3]h[3]+x[4]h[2]+x[5]h[1]+x[6]h[0] </li></ul><ul><li>Para verlo mejor usaremos la “máquina de convolución” </li></ul>
  21. 23. Algoritmo desde la Salida
  22. 24. Algoritmo desde la Salida
  23. 25. Algoritmo desde la Salida
  24. 26. Algoritmo desde la Salida <ul><li>Vemos que para los extremos tenemos que rellenar la señal de entrada con 0s </li></ul><ul><li>Los puntos iniciales y finales contienen menos información que los puntos intermedios </li></ul><ul><li>Se dice que la respuesta a impulso no esta totalmente inmersa en la señal de entrada </li></ul>
  25. 27. Algoritmo desde la Salida <ul><li>Es por eso que en una señal convolucionada generalmente descartamos el primer y último pedazo </li></ul>
  26. 28. Definición Matemática <ul><li>Si transladamos a una fórmula el funcionamiento de la “maquina” tenemos </li></ul>
  27. 29. Definición Matemática <ul><li>Esta sumatoria se conoce como suma de convolución o simplemente como convolución </li></ul><ul><li>Cada punto en la salida puede ser calculado independientemente </li></ul>
  28. 30. Definición Matemática <ul><li>En pocas palabras podemos decir que convolución en el ambito digital es multiplicar cada muestra de la primera señal por toda la segunda señal y luego sumar todos esos resultados </li></ul>
  29. 31. Definición Matemática <ul><li>En el ambito continuo seguimos el mismo razonamiento. Multiplicamos cada punto de una primera señal por toda la segunda señal y luego sumamos. </li></ul><ul><li>En continuo cuando queremos sumar todos los puntos usamos una integral </li></ul>
  30. 32. Definición Matemática
  31. 33. Definición Matemática
  32. 34. ¿Qué veremos hoy? <ul><li>Funcion Delta y Respuesta a Impulso </li></ul><ul><li>Definición de Convolución </li></ul><ul><li>Algoritmo desde la Entrada </li></ul><ul><li>Algoritmos desde la Salida </li></ul><ul><li>Definición matemática (Digital) </li></ul><ul><li>Definición matemática (Analógico) </li></ul>
  33. 35. Próxima Clase <ul><li>Viernes 13 de Junio: </li></ul><ul><ul><li>Propiedades de la Convolución </li></ul></ul>

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