Instituto Superior T´cnico
                    e
Departamento de Matem´tica
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Sec¸ao...
1     Sistemas de Equa¸oes Lineares e C´lculo Matricial
                      c˜               a
1.1    Matrizes
Defini¸˜o ...
Defini¸˜o 2 Duas matrizes s˜o iguais se forem do mesmo tipo e se as entradas corres-
       ca                           a
...
Exemplo 4 Sejam A, B, C e D as matrizes do exemplo 2. N˜o ´ poss´ efectuar, por
                                          ...
(g) (Distributividade) α (A + B) = αA + αB.

   (h) (Associatividade do produto de matrizes) A (BC) = (AB) C.

   (i) (Dis...
Observa¸˜o 3 Tem-se: 1A = A, 0A = 0, A + A = 2A, A + . . . + A = nA.
       ca
                                           ...
tal que as equa¸oes do sistema s˜o satisfeitas quando substitu´
               c˜               a                         ...
Teorema 2 Se dois sistemas lineares AX = B e CX = D s˜o tais que a matriz aumentada
                                      ...
Exemplo 8 O sistema linear         
                                    x+z =3
                                   
    ...
Logo,                                              
                     x + 3y − z + 5w = −7           x = −3y − 2w −...
para qualquer z ∈ R, isto ´, o conjunto solu¸ao ´ dado por:
                          e                 c˜ e

            ...
Defini¸˜o 15 Um sistema linear da forma
     ca
                       
                        a11 x1 + a12 x2 + ... + a...
1.3    Matrizes Elementares
Defini¸˜o 16 Uma matriz elementar do tipo n × n ´ uma matriz obtida da matriz iden-
       ca  ...
Exemplo 11 As matrizes elementares do tipo 2 × 2 s˜o:
                                                  a


              ...
A opera¸ao elementar:
       c˜
                                                       
              1 3 −1 5 | −7   ...
Teorema 8 A inversa de uma matriz ´ unica.
                                  e´


   Dem. Sejam B e C as inversas de A. En...
Observa¸˜o 9 As entradas da diagonal principal da matriz D do teorema 12 s˜o os pivots
         ca                        ...
Teorema 14 Sejam A e B duas matrizes do tipo n × n. Se AB ´ invert´
                                                      ...
           
                     1 2 3
     (ii) Seja A =  1 1 2         . Tem-se
                     0 1 1
         ...
(ii) Afecta-se cada produto do sinal + ou do sinal − conforme as permuta¸oes (dos
                                        ...
Exemplo 17 (i)
                                 1 −1
                                         = 1(−2) − (−1)2 = 0.
       ...
Teorema 17 (F´rmula de Laplace4 .) Seja A ∈ Matn×n (R), com n > 1. Tem-se
             o
                                 ...
Teorema 19 (Regra de Cramer5 .) Seja A ∈ Matn×n (R) tal que A ´ n˜o singular. Ent˜o
                                      ...
Defini¸˜o 25 Um conjunto n˜o vazio V ´ um espa¸o linear (real) se existirem duas
       ca                      a          ...
(αf )(x) = αf (x).

   (iv) O conjunto P de todos os polin´mios reais, com as opera¸oes usuais.
                          ...
3.1    Subespa¸os lineares – exemplos: n´ cleo, espa¸o colunas e li-
               c                        u           c...
Observa¸˜o 20 (i) Se A ´ invert´ ent˜o Nuc(A) = {0}.
       ca              e       ıvel a

   (ii) Se Nuc(A) = {0} ent˜o ...
(v) O espa¸o linear V de todas as fun¸oes f : R → R diferenci´veis tais que f (x) = af (x)
              c                ...
Teorema 22 Se U e V s˜o subespa¸os do espa¸o linear W , ent˜o:
                     a         c          c                ...
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  1. 1. Instituto Superior T´cnico e Departamento de Matem´tica a c˜ ´ Sec¸ao de Algebra e An´lise a ´ Apontamentos das Aulas Te´ricas de Algebra Linear o 1o Semestre 2007/2008 LEAmb, LEMat, LQ, MEBiol, MEQ Paulo Pinto http://www.math.ist.utl.pt/˜ ppinto/ Conte´ do u 1 Sistemas de Equa¸oes Lineares e c˜ C´lculo a Matricial 2 1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Sistemas de Equa¸oes Lineares . c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Matrizes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 A matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Determinante 19 3 Espa¸os Lineares (Vectoriais) c 23 3.1 Subespa¸os lineares – exemplos: n´ cleo, espa¸o colunas e linhas de c u c uma matriz 26 3.2 Independencia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Bases e dimens˜o de Espa¸os Lineares . . . . . . . . . . . . . . . a c . . . . . . 33 3.4 Coordenadas de um vector numa base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4 Valores Pr´prios, Vectores Pr´prios e diagonaliza¸˜o de Matrizes o o ca 40 5 Produtos Internos 47 6 Transforma¸oes Lineares c˜ 59 6.1 Matriz mudan¸a de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c . . . . 61 6.2 Representa¸ao matricial de uma transforma¸ao linear . . . . . . . . . c˜ c˜ . . . . 62 6.3 Transforma¸oes injectivas, sobrejectiva e bijectivas – equa¸oes lineares c˜ c˜ . . . . 66 6.4 Valores e vectores pr´prios de transforma¸oes lineares . . . . . . . . . o c˜ . . . . 70 7 Algumas Aplica¸oes c˜ 71 7.1 Formas quadr´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 71 7.2 M´ınimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.3 Equa¸oes diferenciais ordin´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ a 71 1
  2. 2. 1 Sistemas de Equa¸oes Lineares e C´lculo Matricial c˜ a 1.1 Matrizes Defini¸˜o 1 Uma matriz A, do tipo m ca × n (m por n), ´ uma tabela de mn n´ meros e u dispostos em m linhas e n colunas:   a11 a12 ··· a1n  a21 a22 ··· a2n    A= . . . .  .. . . ··· . .  am1 am2 · · · amn A linha i de A ´: e ai1 ai2 · · · ain , para cada i = 1, ..., m. A coluna j de A ´: e   a1j   a2j    . .   .  amj para cada j = 1, ..., n. Usa-se tamb´m a nota¸ao A = (aij )m×n na qual aij ´ a entrada (i, j) e c˜ e da matriz A. Se m = n, diz-se que A ´ uma matriz quadrada do tipo n × n e as entradas a11 , a22 , ..., e ann formam a chamada diagonal principal de A. Exemplo 1 As matrizes   4 1 −1 1 2 3 4  3  A= , B= , C= 0 0 7 eD=  −2 2 2 0 −2 0  2  1 s˜o dos seguintes tipos: A ´ 2 × 2, B ´ 2 × 4, C ´ 1 × 3, A ´ 4 × 1. Tem-se, por exemplo, a e e e e a21 = −2, b13 = 3, c12 = 0 e d41 = 1. Observa¸˜o 1 Uma matriz (real) A do tipo m × n ´ uma aplica¸ao: ca e c˜ A : {1, ..., m} × {1, ..., n} −→ R (i, j) −→ aij Nota¸˜o 1 O conjunto de todas as matrizes reais do tipo m×n ´ denotado por Matm×n (R). ca e 2
  3. 3. Defini¸˜o 2 Duas matrizes s˜o iguais se forem do mesmo tipo e se as entradas corres- ca a pondentes forem iguais, isto ´, A = (aij )m×n e B = (bij )p×q s˜o iguais se m = p, n = q e e a aij = bij , para i = 1, ..., m e j = 1, ..., n. Defini¸˜o 3 A soma de duas matrizes do mesmo tipo A = (aij )m×n e B = (bij )m×n ´ a ca e matriz A + B = (aij + bij )m×n . Exemplo 2 Sejam   −1 √ 1 4 −1 0 −3 2 A= ,B= , C =  −1/2  e D = −2 3 . −3 2 6 4 −1 −5 2 1 1 1 Tem-se A + B = e n˜o ´ poss´ somar C com D. a e ıvel 1 1 1 Defini¸˜o 4 O produto de um escalar (n´ mero) α por uma matriz A = (aij )m×n ´ a ca u e matriz: αA = (αaij )m×n . Nota¸˜o 2 A matriz (−1)A ser´ denotada por −A. ca a 1 4 −1 Exemplo 3 Seja A = . Tem-se, por exemplo, −3 2 6 −2 −8 2 −2A = . 6 −4 −12 Defini¸˜o 5 O produto AB de duas matrizes A e B s´ pode ser efectuado se o n´ mero ca o u de colunas da 1a matriz, A, fˆr igual ao n´ mero de linhas da 2a matriz, B. Nesse caso, o o u produto AB de A = (aij )m×p por B = (bij )p×n ´ definido por: e p AB = aik bkj , k=1 m×n isto ´, e    p p  a11 a12 ··· a1p   a1k bk1 ··· a1k bkn   . .  b11 · · · b1j · · · b1n   . . ··· .  .   k=1 k=1     b21 · · · b2j · · · b2n   ··· p aik bkj ···   ai1 ai2 ··· aip   . . . =  .  . ··· . ··· .    . . . . k=1   . . ··· .  .   p p   bp1 · · · bpj · · · bpn amk bk1 ··· amk bkn am1 am2 ··· amp k=1 k=1 3
  4. 4. Exemplo 4 Sejam A, B, C e D as matrizes do exemplo 2. N˜o ´ poss´ efectuar, por a e ıvel exemplo, AB. No entanto, tem-se:  √  2 − 3 √ −5 AC = e CD =  1 − √ 3/2  . 14 −4 2 3 Observa¸˜o 2 O produto de matrizes n˜o ´ comutativo. Por exemplo, para ca a e 0 1 0 −1 1 0 −1 0 A= eB= tem-se AB = e BA = . 1 0 1 0 0 −1 0 1 Logo AB = BA. Defini¸˜o 6 A transposta de uma matriz A = (aij )m×n ´ a matriz ca e AT = (aji )n×m que se obtem trocando as linhas com as colunas de A. Exemplo 5 Sejam A e C as matrizes do exemplo 2. Tem-se   1 −3 1 AT =  4 2  e C T = −1 − 2 . −1 6 2 Teorema 1 Sejam A, B, C e D matrizes de tipos apropriados, α e β escalares. S˜o v´lidas a a as seguintes propriedades para as opera¸oes matriciais. c˜ (a) (Comutatividade da soma) A + B = B + A. (b) (Associatividade da soma) A + (B + C) = (A + B) + C. (c) (Elemento neutro da soma) Existe uma unica matriz 0 do tipo m×n tal que A+0 = A, ´ para toda a matriz A do tipo m × n. A ` matriz 0, cujas entradas s˜o todas iguais a zero, a chama-se matriz nula. (d) (Sim´trico) Para cada matriz A existe uma unica matriz B tal que A + B = 0. Esta e ´ matriz B denota-se por −A. (e) (Associatividade do produto por escalares) α (βA) = (αβ) A. (f ) (Distributividade) (α + β) A = αA + βA. 4
  5. 5. (g) (Distributividade) α (A + B) = αA + αB. (h) (Associatividade do produto de matrizes) A (BC) = (AB) C. (i) (Distributividade) A (B + C) = AB + AC e (B + C) D = BD + CD. (j) α (AB) = (αA) B = A (αB). T (k) AT = A. (l) (A + B)T = AT + B T . (m) (αA)T = αAT . (n) (AB)T = B T AT . (o) (A1 A2 ...An )T = AT ...AT AT , com A1 , A2 , ..., An matrizes de tipos apropriados. n 2 1 ` (p) A matriz, do tipo n × n,   1 0 ··· 0   0 1 ··· 0   I= . . .. .  .   . . . 0 0 ··· 1 chama-se matriz identidade (de ordem n) e ´ tal que e AI = A e IB = B, para todas as matrizes A = (aij )m×n e B = (bij )n×m . Defini¸˜o 7 (i) A diferen¸a entre duas matrizes A e B do mesmo tipo ´ definida por ca c e A − B = A + (−B), ou seja, ´ a soma de A com o sim´trico de B. e e (ii) Sejam A uma matriz do tipo n × n e p ∈ N. A potˆncia p de A ´ definida por e e Ap = A...A e para p = 0 define-se A0 = I. p vezes ` (iii) A matriz do tipo n × n   a11 0 · · · 0   0 a22 · · · 0    . . .. . . ,  . . .  0 0 · · · ann cujas entradas fora da diagonal principal s˜o nulas, chama-se matriz diagonal. a 5
  6. 6. Observa¸˜o 3 Tem-se: 1A = A, 0A = 0, A + A = 2A, A + . . . + A = nA. ca n vezes Defini¸˜o 8 (i) Seja A = (aij )n×n uma matriz do tipo n × n. Diz-se que A ´ sim´trica se ca e e A = A , isto ´, se aij = aji , para i, j = 1, ..., n. Diz-se que A ´ anti-sim´trica se A = −AT , T e e e isto ´, se aij = −aji , para i, j = 1, ..., n. e 1.2 Sistemas de Equa¸oes Lineares c˜ Defini¸˜o 9 Uma equa¸˜o linear com n inc´gnitas x1 , x2 , ..., xn ´ uma equa¸ao da forma ca ca o e c˜ a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, em que a1 , a2 , ..., an e b s˜o constantes (reais ou complexos). a Defini¸˜o 10 Um sistema de m equa¸oes lineares com n inc´gnitas ´ um conjunto de ca c˜ o e equa¸oes da forma c˜   a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1   a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 (∗)   ...  am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm em que aij e bk s˜o constantes (reais ou complexos), para i, k = 1, ..., m e j = 1, ..., n. a Observa¸˜o 4 Usando o produto de matrizes definido na sec¸ao anterior, o sistema linear ca c˜ acima pode ser escrito como uma equa¸ao matricial c˜ AX = B, em que       a11 a12 ··· a1n x1 b1   a21 a22 ··· a2n     x2     b2   A= . . . . . . , X= . .  e B= . . .  . .··· .   .   .  am1 am2 · · · amn xn bm A matriz A ´ a matriz dos coeficientes do sistema, X ´ a matriz coluna das inc´gnitas e e o e B ´ a matriz coluna dos termos independentes. Uma solu¸ao do sistema linear (∗) ´ uma e c˜ e matriz   s1  s2    S= .  .   . sn 6
  7. 7. tal que as equa¸oes do sistema s˜o satisfeitas quando substitu´ c˜ a ımos x1 = s1 , x2 = s2 , ..., xn = sn . Ao conjunto de todas as solu¸oes do sistema chama-se conjunto solu¸ao ou solu¸ao geral do c˜ c˜ c˜ sistema. Exemplo 6 O sistema linear de duas equa¸oes e duas inc´gnitas c˜ o x + 2y = 1 2x + y = 0 pode ser escrito do seguinte modo: 1 2 x 1 = . 2 1 y 0 −1/3 A solu¸ao (geral) do sistema acima ´ x = −1/3 e y = 2/3 (verifique!), isto ´, X = c˜ e e . 2/3 Observa¸˜o 5 De modo a facilitar a resolu¸ao de um sistema linear, este pode ser sempre ca c˜ substitu´ por outro que tenha o mesmo conjunto solu¸ao. Esse outro ´ obtido depois ıdo c˜ e de aplicar sucessivamente opera¸oes sobre as equa¸oes do sistema inicial que n˜o alterem a c˜ c˜ a solu¸ao do mesmo. As opera¸oes s˜o: c˜ c˜ a - Trocar a posi¸ao de duas equa¸oes do sistema; c˜ c˜ - Multiplicar uma equa¸ao por um escalar diferente de zero; c˜ - Somar a uma equa¸ao um m´ ltiplo escalar de outra equa¸ao. c˜ u c˜ Estas s˜o as chamadas opera¸oes elementares. Quando aplicamos opera¸oes elementares a c˜ c˜ as equa¸oes de um sistema linear, s´ os coeficientes e os termos independentes do sistema ` c˜ o s˜o alterados. Assim, podemos aplicar as opera¸oes a matriz a c˜ `   a11 a12 · · · a1n | b1  a21 a22 · · · a2n | b2    [A | B] =  . . . . . ,  . . . ··· . . . . .  . . am1 am2 · · · amn | bm a qual se d´ o nome de matriz aumentada do sistema. ` a Defini¸˜o 11 As opera¸oes elementares que podem ser aplicadas as linhas de uma matriz ca c˜ ` s˜o as seguintes: a (i) Trocar a posi¸ao de duas linhas da matriz; c˜ (ii) Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero; (iii) Somar a uma linha da matriz um m´ ltiplo escalar de outra linha. u 7
  8. 8. Teorema 2 Se dois sistemas lineares AX = B e CX = D s˜o tais que a matriz aumentada a [C | D] ´ obtida de [A | B] atrav´s de uma opera¸ao elementar, ent˜o os dois sistemas tˆm e e c˜ a e o mesmo conjunto solu¸ao, isto ´, s˜o equivalentes. c˜ e a Observa¸˜o 6 O m´todo que iremos usar para resolver sistemas lineares consiste na aplica¸ao ca e c˜ de opera¸oes elementares as linhas da matriz aumentada do sistema de modo a obter uma c˜ ` matriz em escada de linhas em rela¸ao a qual o sistema associado seja de f´cil resolu¸ao. c˜ ` a c˜ Defini¸˜o 12 Uma matriz A = (aij )m×n diz-se em escada de linhas se: ca (i) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) est˜o por baixo das linhas a n˜o nulas; a (ii) Por baixo (e na mesma coluna) do primeiro elemento n˜o nulo de cada linha e por a baixo dos elementos nulos anteriores da mesma linha, todas as entradas s˜o nulas. Esse a primeiro elemento n˜o nulo de cada linha tem o nome de pivot. a Defini¸˜o 13 Seja A uma matriz em escada de linhas. Ao no de pivots de A matriz, isto ca o ´, ao n de linhas n˜o nulas de A, d´-se o nome de caracter´ e a a ıstica de A, car A. Se A fˆr a o matriz em escada de linhas obtida de C atrav´s de opera¸oes elementares ent˜o diz-se que a e c˜ a caracter´ıstica de C ´ car A, tendo-se car C = car A. Temos que carA =carA T . e Exemplo 7 As seguintes matrizes est˜o em escada de linhas: a   2 −1 2 1/2 0 √0  0 0 −3 1 0 2  4 −1 0 1 3 0   A= , B= , C= 0 0 0 0 0 −5  . 0 0 0 0 −5 1   0 0  0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 Pivot de A: 4. Pivots de B: 1, −5. Pivots de C: 2, −3, −5. car A = 1, car B = 2 e car C = 3. Defini¸˜o 14 O m´todo de resolver sistemas lineares que consiste em aplicar opera¸oes ca e c˜ elementares as linhas da matriz aumentada do respectivo sistema de modo a que essa matriz ` fique em escada de linhas, chama-se m´todo de elimina¸˜o de Gauss1 . e ca 1 Johann Carl Friedrich Gauss 1777-1855 8
  9. 9. Exemplo 8 O sistema linear   x+z =3     x + 2y + 2z = 6      3y + 3z = 6 na forma matricial ´ e      1 0 1 x 3  1 2 2  y  =  6 . 0 3 3 z 6 Consideremos ent˜o a matriz aumentada e a o consequente m´todo de elimina¸ao de Gauss: e c˜       1 0 1 | 3 1 0 1 | 3 1 0 1 | 3  1 2 2 | 6  −→  0 2 1 | 3  3 −→  0 2 1 | 3 . −L1 +L2 →L2 − 2 L2 +L3 →L3 3 3 0 3 3 | 6 0 3 3 | 6 0 0 2 | 2 Logo,    x+z =3   x=2        2y + z = 3 ⇔ y=1       3    3  2 z=2 z = 1. Neste exemplo o sistema tem solu¸˜o unica e diz-se poss´ ca ´ ıvel e determinado. Exemplo 9 O sistema linear   3z − 9w = 6     5x + 15y − 10z + 40w = −45      x + 3y − z + 5w = −7 ´ equivalente a e    x    0 0 3 −9  6  5 15 −10 40   y  =  −45  .   z  1 3 −1 5 −7 w Consideremos ent˜o a matriz aumentada e o consequente m´todo de elimina¸ao de Gauss: a e c˜     0 0 3 −9 | 6 1 3 −1 5 | −7  5 15 −10 40 | −45  −→  1 3 −2 8 | −9  −→ L1 ↔L3 −L1 +L2 →L2 1 3 −1 5 | −7 1 L →L2 0 0 3 −9 | 6 5 2     1 3 −1 5 | −7 1 3 −1 5 | −7 −→  0 0 −1 3 | −2  −→  0 0 −1 3 | −2  . 3L2 +L3 →L3 0 0 3 −9 | 6 0 0 0 0 | 0 9
  10. 10. Logo,    x + 3y − z + 5w = −7  x = −3y − 2w − 5 ⇔   −z + 3w = −2 z = 3w + 2. As inc´gnitas y e w s˜o livres e as inc´gnitas x e z s˜o n˜o livres. A solu¸ao geral do sistema o a o a a c˜ ´: e     x −3y − 2w − 5  y   y  X= =  z   , 3w + 2  w w para quaisquer y, w ∈ R, isto ´, o conjunto solu¸ao ´ dado por: e c˜ e S = {(−3y − 2w − 5, y, 3w + 2, w) : y, w ∈ R} . Neste exemplo o sistema tem infinitas solu¸oes e diz-se poss´ c˜ ıvel e indeterminado. Exemplo 10 Seja a ∈ R. O sistema linear   x + 2y + z = 3     x+y−z =2      x + y + (a2 − 5) z = a ´ equivalente a e      1 2 1 x 3  1 1 −1   y  =  2  . 1 1 a2 − 5 z a Consideremos ent˜o a matriz aumentada e o consequente m´todo de elimina¸ao de Gauss: a e c˜       1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3  1 1 −1 2  −→  0 −1 −2 −1  −→  0 −1 −2 −1  . −L1 +L2 →L2 −L2 +L3 →L3 1 1 a2 − 5 a −L1 +L3 →L3 0 −1 a2 − 6 a − 3 0 0 a2 − 4 a − 2 Se a = 2, ent˜o o sistema ´ poss´ e indeterminado: a e ıvel    x + 2y + z = 3  x = 3z + 1 ⇔   −y − 2z = −1 y = −2z + 1, a inc´gnita z ´ livre, as inc´gnitas x e y s˜o n˜o livres e a solu¸ao geral do sistema ´ o e o a a c˜ e     x 3z + 1 X =  y  =  −2z + 1  , z z 10
  11. 11. para qualquer z ∈ R, isto ´, o conjunto solu¸ao ´ dado por: e c˜ e S = {(3z + 1, −2z + 1, z) : z ∈ R} . Assim, se a = 2, o sistema tem infinitas solu¸oes e diz-se poss´ c˜ ıvel e indeterminado. Se a = −2, o sistema n˜o tem solu¸˜o e diz-se imposs´ a ca ıvel. Se a = −2 e a = 2, o sistema tem a solu¸˜o unica: ca ´     x (a + 5)/(a + 2) X = y = a/(a + 2)  z 1/(a + 2) e diz-se poss´ ıvel e determinado. Observa¸˜o 7 Seja [A | B] a matriz aumentada associada a um sistema linear com n ca inc´gnitas. o (i) Se car A = car [A | B] = n ent˜o o sistema ´ poss´ a e ıvel e determinado (tem uma unica solu¸ao). ´ c˜ (ii) Se car A = car [A | B] < n ent˜o o sistema ´ poss´ a e ıvel e indeterminado (tem um no infinito de solu¸oes). c˜ (iii) Se car A < car [A | B] ent˜o o sistema ´ imposs´ a e ıvel (n˜o tem solu¸ao). a c˜ (iv) Podemos escolher como inc´gnitas livres (podem tomar valores arbitr´rios) do o a sistema aquelas que correspondem as colunas, que n˜o contenham pivots, da matriz em ` a escada de linhas obtida de A atrav´s de opera¸oes elementares. e c˜ (v) As inc´gnitas n˜o livres do sistema s˜o aquelas que correspondem as colunas, o a a ` que contenham pivots, da matriz em escada de linhas obtida de A atrav´s de opera¸oes e c˜ elementares. (vi) car A = no de linhas n˜o nulas da matriz em escada de linhas obtida de A = no de a o pivots = n de inc´gnitas n˜o livres. o a Teorema 3 Sejam A uma matriz do tipo m × n e B uma matriz do tipo m × 1. Se o sistema linear AX = B tem duas solu¸oes distintas X0 e X1 (X0 = X1 ), ent˜o ter´ infinitas solu¸oes. c˜ a a c˜ Dem. Basta verificar que Xλ = (1 − λ) X0 + λX1 ´ solu¸ao do sistema AX = B, para e c˜ qualquer λ ∈ R. 11
  12. 12. Defini¸˜o 15 Um sistema linear da forma ca   a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0   a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = 0   ...  am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = 0 tem o nome de sistema linear homog´neo. Este sistema poder ser escrito na forma e AX = 0. Todo o sistema linear homog´neo admite e pelo menos a solu¸˜o trivial: ca     x1 0  x2   0      X = .  =  . .  ..   . . xn 0 Assim, todo o sistema linear homog´neo tem solu¸ao. Al´m disso, ou tem apenas a solu¸ao e c˜ e c˜ trivial ou tem infinitas solu¸oes. c˜ Teorema 4 Se A = (aij )m×n ´ tal que m < n, ent˜o o sistema linear homog´neo AX = 0 e a e tem infinitas solu¸oes. c˜ Dem. Como o sistema tem menos equa¸oes do que inc´gnitas (m < n), o no de linhas c˜ o n˜o nulas r da matriz em escada de linhas obtida da matriz aumentada do sistema tamb´m a e ´ tal que r < n. Assim, r pivots e n − r inc´gnitas livres as quais podem assumir qualquer e o valor real. Logo, o sistema linear homog´neo AX = 0 tem infinitas solu¸oes. e c˜ Teorema 5 Sejam A = (aij )m×n e α, β ∈ R. (i) Se X e Y s˜o solu¸oes do sistema AX = 0, ent˜o X + Y tamb´m o ´. a c˜ a e e (ii) Se X ´ solu¸ao do sistema AX = 0, ent˜o αX tamb´m o ´. e c˜ a e e (iii) Se X e Y s˜o solu¸oes do sistema AX = 0, ent˜o αX + βY tamb´m o ´. a c˜ a e e Teorema 6 Seja A uma matriz do tipo m × n e B = 0 uma matriz do tipo m × 1. Qualquer solu¸ao X do sistema AX = B escreve-se na forma X = X0 + Y onde X0 ´ uma solu¸ao c˜ e c˜ particular do sistema AX = B e Y ´ uma solu¸ao do sistema homog´neo AX = 0. Assim: e c˜ e solu¸ao geral de c˜ solu¸ao particular de c˜ solu¸ao geral de c˜ = + . AX = B AX = B AX = 0 Dem. Sendo X0 uma solu¸ao particular do sistema AX = B, basta escrever c˜ X = X0 + (X − X0 ) e mostrar que X − X0 ´ solu¸ao do sistema homog´neo AX = 0. e c˜ e 12
  13. 13. 1.3 Matrizes Elementares Defini¸˜o 16 Uma matriz elementar do tipo n × n ´ uma matriz obtida da matriz iden- ca e tidade I atrav´s de uma unica opera¸ao elementar. e ´ c˜ (i) A matriz Pij , chamada matriz de permuta¸˜o, ´ a matriz elementar obtida por ca e troca da linha i com a linha j da matriz I. Tem-se:   1 0 ··· ··· 0  0 ... ... . .   .   . .   . .. 1  .     0 1   ←i   1    Pij =  ..  . .      1    1 0  ←j   .. . . .    1 .   . .. ..   . . . . 0  0 ··· ··· 0 1 (ii) A matriz Ei (α) ´ a matriz elementar obtida da matriz I atrav´s do produto do escalar e e α = 0 pela linha i da matriz I. Tem-se:   1 0 ··· ··· 0 .   0 ... ... .    . .   . ...   . 1    Ei (α) =  α  ←i .  .. .    1 . .  .   . .. ..   .. . . 0  0 ··· ··· 0 1 (iii) A matriz Eij (α) ´ a matriz elementar obtida da matriz I por soma da linha j com e um m´ ltiplo α da linha i. Tem-se: u   1 0 ··· ··· 0  0 ... ... .  .   .  . .   . .. 1 .  ←i    Eij (α) =  ..  . .    .. .  . .  ←j   α 1 .  . .. ..   . . . . 0  0 ··· ··· 0 1 13
  14. 14. Exemplo 11 As matrizes elementares do tipo 2 × 2 s˜o: a 0 1 α 0 1 0 P12 = P21 = , E1 (α) = , E2 (α) = , 1 0 0 1 0 α com α = 0, 1 0 1 α E12 (α) = e E21 (α) = . α 1 0 1 Teorema 7 Sejam E uma matriz elementar do tipo m × m e A uma matriz qualquer do tipo m × n. Ent˜o, EA ´ a matriz obtida de A atrav´s da mesma opera¸ao elementar que a e e c˜ originou E. Isto ´, aplicar uma opera¸ao elementar a uma matriz corresponde a multiplicar e c˜ essa matriz a esquerda por uma matriz elementar. ` Exemplo 12 Consideremos a matriz aumentada do exemplo 9:   0 0 3 −9 | 6  5 15 −10 40 | −45  . 1 3 −1 5 | −7 A opera¸ao elementar: c˜     0 0 3 −9 | 6 1 3 −1 5 | −7  5 15 −10 40 | −45  −→  5 15 −10 40 | −45  , L1 ↔L3 1 3 −1 5 | −7 0 0 3 −9 | 6 corresponde a seguinte multiplica¸ao (` ` c˜ a esquerda):      0 0 1 0 0 3 −9 | 6 1 3 −1 5 | −7  0 1 0   5 15 −10 40 | −45  =  5 15 −10 40 | −45  . 1 0 0 1 3 −1 5 | −7 0 0 3 −9 | 6 A opera¸ao elementar: c˜     1 3 −1 5 | −7 1 3 −1 5 | −7  5 15 −10 40 | −45  −→  1 3 −2 8 | −9  , 1 L →L2 0 0 3 −9 | 6 5 2 0 0 3 −9 | 6 corresponde a seguinte multiplica¸ao (` esquerda): ` c˜ a      1 0 0 1 3 −1 5 | −7 1 3 −1 5 | −7  0 1/5 0   5 15 −10 40 | −45  =  1 3 −2 8 | −9  . 0 0 1 0 0 3 −9 | 6 0 0 3 −9 | 6 14
  15. 15. A opera¸ao elementar: c˜     1 3 −1 5 | −7 1 3 −1 5 | −7  1 3 −2 8 | −9  −→  0 0 −1 3 | −2  , −L1 +L2 →L2 0 0 3 −9 | 6 0 0 3 −9 | 6 corresponde a seguinte multiplica¸ao ` c˜ (` esquerda): a      1 0 0 1 3 −1 5 | −7 1 3 −1 5 | −7  −1 1 0   1 3 −2 8 | −9  =  0 0 −1 3 | −2  . 0 0 1 0 0 3 −9 | 6 0 0 3 −9 | 6 Finalmente, a opera¸ao elementar: c˜     1 3 −1 5 | −7 1 3 −1 5 | −7  0 0 −1 3 | −2  −→  0 0 −1 3 | −2  , 3L2 +L3 →L3 0 0 3 −9 | 6 0 0 0 0 | 0 corresponde a seguinte multiplica¸ao ` c˜ (` esquerda): a      1 0 0 1 3 −1 5 | −7 1 3 −1 5 | −7  0 1 0   0 0 −1 3 | −2  =  0 0 −1 3 | −2  . 0 3 1 0 0 3 −9 | 6 0 0 0 0 | 0 Tem-se ent˜o: a     0 0 3 −9 | 6 1 3 −1 5 | −7 1 E23 (3) E12 (−1) E2 P13  5 15 −10 40 | −45  =  0 0 −1 3 | −2  . 5 1 3 −1 5 | −7 0 0 0 0 | 0 1.4 A matriz inversa Defini¸˜o 17 Uma matriz A (do tipo n × n) diz-se invert´ se existir uma matriz B (do ca ıvel tipo n × n) tal que AB = BA = I. ` A matriz B chama-se matriz inversa de A e denota-se por A−1 . Observa¸˜o 8 Obviamente que resulta da defini¸ao de matriz inversa o seguinte facto: ca c˜ −1 −1 sendo A a matriz inversa de A, ent˜o A ´ invert´ e a sua inversa ´ a pr´pria matriz a e ıvel e o −1 −1 A, isto ´, (A ) = A. e Exemplo 13 As seguintes matrizes s˜o a inversa uma da outra: a −2 1 −1/2 1/6 A= e B= . 0 3 0 1/3 15
  16. 16. Teorema 8 A inversa de uma matriz ´ unica. e´ Dem. Sejam B e C as inversas de A. Ent˜o, a B = BI = B (AC) = (BA) C = IC = C. Teorema 9 (i) Se A = (aij )n×n e B = (bij )n×n s˜o duas matrizes invert´ a ıveis, ent˜o AB ´ a e invert´ e ıvel (AB)−1 = B −1 A−1 . ıvel, ent˜o AT ´ invert´ e (ii) Se A = (aij )n×n ´ invert´ e a e ıvel −1 T AT = A−1 . Defini¸˜o 18 Uma matriz A = (aij )n×n diz-se n˜o singular se ap´s o m´todo de elimina¸ao ca a o e c˜ de Gauss esta fˆr transformada numa matriz triangular superior (matriz cujas entradas o por baixo da diagonal principal s˜o todas nulas) cujas entradas da diagonal principal sejam a todas n˜o nulas. Uma matriz A = (aij )n×n diz-se singular se ap´s o m´todo de elimina¸ao a o e c˜ de Gauss existir (pelo menos) uma linha nula na matriz obtida de A. Teorema 10 Uma matriz A = (aij )n×n ´ invert´ se e s´ se ´ n˜o singular. e ıvel o e a Teorema 11 Toda a matriz elementar ´ invert´ e ıvel e a respectiva inversa ´ tamb´m uma e e matriz elementar. Tem-se: (i) (Pij )−1 = Pij . (ii) (Ei (α))−1 = Ei (1/α), para α = 0. (iii) (Eij (α))−1 = Eij (−α). Teorema 12 (Factoriza¸˜o triangular). Seja A uma matriz n˜o singular do tipo n × n. ca a Ent˜o ou A admite a factoriza¸ao unica A = LDU ou existe uma matriz de permuta¸ao P a c˜ ´ c˜ tal que P A admite a factoriza¸ao unica P A = LDU , onde L e U s˜o respectivamente uma c˜ ´ a matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior com as entradas das diagonais principais todas iguais a 1, e D ´ uma matriz diagonal com as entradas da diagonal principal e todas n˜o nulas. a 16
  17. 17. Observa¸˜o 9 As entradas da diagonal principal da matriz D do teorema 12 s˜o os pivots ca a que resultam da aplica¸ao do m´todo de elimina¸ao de Gauss a matriz A. c˜ e c˜ `   1 1 1 Exemplo 14 Seja A =  2 1 4 . Tem-se: 2 3 5      1 1 1 1 0 0 1 1 1 E23 (1)E13 (−2)E12 (−2)A =  0 −1 2  =  0 −1 0   0 1 −2  . 0 0 5 0 0 5 0 0 1 Logo,    1 0 0 1 1 1 A = (E12 (−2))−1 (E13 (−2))−1 (E23 (1))−1  0 −1 0   0 1 −2  . 0 0 5 0 0 1 Isto ´, e    1 0 0 1 1 1 A = E12 (2)E13 (2)E23 (−1)  0 −1 0   0 1 −2  , 0 0 5 0 0 1 ou ainda, A = LDU , com   1 0 0 L = E12 (2)E13 (2)E23 (−1) =  2 1 0 , 2 −1 1     1 0 0 1 1 1 D =  0 −1 0  e U =  0 1 −2  . 0 0 5 0 0 1 Observa¸˜o 10 Uma matriz A ´ invert´ ca e ıvel se e s´ se fˆr igual ao produto de matrizes o o elementares. Teorema 13 Seja A uma matriz do tipo n × n. (i) O sistema associado a AX = B tem solu¸ao unica se e s´ se A fˆr invert´ c˜ ´ o o ıvel. Neste −1 caso a solu¸ao ´ X = A B. c˜ e (ii) O sistema homog´neo AX = 0 tem solu¸ao n˜o trivial se e s´ se A fˆr singular (n˜o e c˜ a o o a invert´ ıvel). 17
  18. 18. Teorema 14 Sejam A e B duas matrizes do tipo n × n. Se AB ´ invert´ e ıvel, ent˜o A e B a s˜o invert´ a ıveis. Dem. Considere o sistema (AB) X = 0. Se B n˜o fosse invert´ a ıvel, ent˜o pelo teorema a 13 existiria X = 0 tal que BX = 0. Logo, X = 0 seria solu¸ao n˜o trivial de ABX = 0, o c˜ a que contraria o teorema 13 uma vez que por hip´tese AB ´ invert´ o e ıvel. Assim, B ´ invert´ e ıvel. −1 Finalmente, A ´ invert´ por ser o produto de duas matrizes invert´ e ıvel ıveis: A = (AB) B . Observa¸˜o 11 (Como inverter matrizes do tipo n × n). Seja A uma matriz do tipo ca n × n e consideremos a equa¸ao AX = B. Se A fˆr invert´ c˜ o ıvel temos AX = B ⇔ X = A−1 B, isto ´, e AX = IB ⇔ IX = A−1 B. Assim, para determinar a inversa de A, iremos transformar a matriz aumentada [A | I] na matriz [I | A−1 ], por meio de opera¸oes elementares aplicadas as linhas de [A | I]. Este c˜ ` m´todo tem o nome de m´todo de elimina¸˜o de Gauss-Jordan2 e consistir´ na conti- e e ca a nua¸ao do m´todo de elimina¸ao de Gauss agora aplicado a [matriz triangular superior | ∗], c˜ e c˜ efectuando-se as elimina¸oes de baixo para cima de modo a obter-se [I | A−1 ]. c˜   1 1 1 Exemplo 15 (i) Seja A =  2 1 4 . Tem-se 2 3 5     1 1 1 | 1 0 0 1 1 1 | 1 0 0 [A | I] =  2 1 4 | 0 1 0  −→  0 −1 2 | −2 1 0  −→ −2L1 +L2 −→L2 L2 +L3 −→L3 2 3 5 | 0 0 1 −2L1 +L3 −→L3 0 1 3 | −2 0 1     1 1 1 | 1 0 0 1 1 1 | 1 0 0 −→  0 −1 2 | −2 1 0  1 −→  0 −1 2 | −2 1 0  −→ L3 −→L3 −2L3 +L2 −→L2 0 0 5 | −4 1 1 5 0 0 1 | −4/5 1/5 1/5 −L3 +L1 −→L1   1 1 0 | 9/5 −1/5 −1/5 −→  0 −1 0 | −2/5 3/5 −2/5  −→ L2 +L1 −→L1 0 0 1 | −4/5 1/5 1/5   1 0 0 | 7/5 2/5 −3/5 −→  0 −1 0 | −2/5 3/5 −2/5  −→ −L2 −→L2 0 0 1 | −4/5 1/5 1/5   1 0 0 | 7/5 2/5 −3/5 −→  0 1 0 | 2/5 −3/5 2/5  . 0 0 1 | −4/5 1/5 1/5 2 Wilhelm Jordan 1842 – 1899 18
  19. 19.   1 2 3 (ii) Seja A =  1 1 2 . Tem-se 0 1 1     1 2 3 | 1 0 0 1 2 3 | 1 0 0 [A | I] =  1 1 2 | 0 1 0  −→  0 −1 −1 | −1 1 0  −→ −L1 +L2 −→L2 L2 +L3 −→L3 0 1 1 | 0 0 1 0 1 1 | 0 0 1   1 2 3 | 1 0 0 −→  0 −1 −1 | −1 1 0  . 0 0 0 | −1 1 1 Logo, A ´ singular e como tal n˜o ´ invert´ e a e ıvel. 2 Determinante Defini¸˜o 19 Dados os n´ meros naturais 1, 2, ..., n chama-se permuta¸˜o desses n n´ meros ca u ca u a qualquer lista em em que os mesmos sejam apresentados por ordem arbitr´ria. a Defini¸˜o 20 Seja (i1 i2 ...in ) uma permuta¸ao dos n´ meros naturais 1, 2, ..., n. Diz-se que ca c˜ u um par (ij ik ) ´ uma invers˜o quando (j − k) (ij − ik ) < 0 (isto ´, quando ij e ik aparecerem e a e na permuta¸ao por ordem decrescente). c˜ ca c˜ ımpar) quando o no m´ximo de in- Defini¸˜o 21 Uma permuta¸ao (i1 i2 ...in ) diz-se par (´ a vers˜es inclu´ o ıdas fˆr par (´ o ımpar). Exemplo 16 A permuta¸ao (21453) ´ ´ c˜ e ımpar pois contem as invers˜es (21), (43) e (53). o Defini¸˜o 22 Seja A ∈ Matn×n (R). Chama-se determinante3 de A, e escreve-se |A| ou ca det A, o n´ mero que se obtem do seguinte modo: u (i) Formam-se todos os produtos poss´ıveis de n factores em que intervenha um elemento de cada linha e, simultaneamente, um elemento de cada coluna de A. 3 O Determinante de uma matriz foi pela primeira vez considerado por Talakazu Seki 1642–1708 19
  20. 20. (ii) Afecta-se cada produto do sinal + ou do sinal − conforme as permuta¸oes (dos c˜ n´ meros naturais 1, 2, ..., n) que figuram nos ´ u ındices de linha e de coluna tenham a mesma paridade ou n˜o. a (iii) Somam-se as parcelas obtidas. Em resumo: |A| = (−1)σ a1j1 a2j2 ...anjn , (j1 j2 ...jn ) permuta¸ao de 1,2,...,n c˜ em que   0 se (j1 j2 ...jn ) ´ par e σ=  1 se (j1 j2 ...jn ) ´ ´ e ımpar. Observa¸˜o 12 Podemos ainda escrever de modo equivalente: ca |A| = (−1)σ ai1 1 ai2 2 ...ain n , (i1 i2 ...in ) permuta¸ao de 1,2,...,n c˜ em que   0 se (i1 i2 ...in ) ´ par e σ=  1 se (i1 i2 ...in ) ´ ´ e ımpar. Teorema 15 Seja A ∈ Mat2×2 (R). Ent˜o a a11 a12 |A| = = a11 a22 − a12 a21 . a21 a22 (ii) Seja A ∈ Mat3×3 (R). Ent˜o a a11 a12 a13 |A| = a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 . a31 a32 a33 Observa¸˜o 13 Se A ∈ Matn×n (R) ent˜o |A| tem n! parcelas, pelo que p.ex. se aplicarmos ca a a defini¸ao de determinante a uma matriz 4 × 4, teremos 4! = 24 parcelas. c˜ 20
  21. 21. Exemplo 17 (i) 1 −1 = 1(−2) − (−1)2 = 0. 2 −2 (ii) 1 2 1 3 −1 2 = 1(−1)(−3) + 3 + 8 − 1(−1)2 − 6(−3) − 2 = 32. 2 1 −3 Teorema 16 Sejam A, B ∈ Matn×n (R). Seja λ ∈ R. (i) det (AB) = det A det B. (ii) Se A fˆr uma matriz triangular superior ou triangular inferior ent˜o det A = produto o a dos elementos da diagonal principal de A. (iii) Se A tiver uma linha nula ent˜o det A = 0. a (iv) Se B fˆr obtida de A multiplicando uma linha de A por um n´ mero real λ ent˜o o u a det B = λ det A. (v) Se B fˆr obtida de A somando a uma linha de A um m´ ltiplo real λ de uma outra o u linha de A ent˜o det B = det A. a (vi) Se duas linhas de A forem iguais ent˜o det A = 0. a (vii) Se B fˆr obtida de A trocando duas linhas de A ent˜o det B = − det A. o a (viii) det AT = det A. 1 (ix) Se A fˆr invert´ det (A−1 ) = o ıvel . det A (x) det (λA) = λn det A. (xi) det (AB) = 0 ⇒ det A = 0 ou det B = 0. (xii) det (AB) = det (BA). (xiii) det(A) = 0 se e s´ se A invert´ o ıvel. Observa¸˜o 14 Em geral, det(A + B) = det(A) + det(B). ca Defini¸˜o 23 Seja A = (aij ) ∈ Matn×n (R), com n > 1. Seja Aij a matriz do tipo (n − ca 1) × (n − 1) que se obtem de A suprimindo a linha i e a coluna j de A. Chama-se a Aij o menor-ij da matriz A. 21
  22. 22. Teorema 17 (F´rmula de Laplace4 .) Seja A ∈ Matn×n (R), com n > 1. Tem-se o n det A = aij (−1)i+j det Aij . j=1 Observa¸˜o 15 Seja A ∈ Matn×n (R), com n > 1. Tem-se ca n det A = aij (−1)i+j det Aij . i=1 Exemplo 18 1 0 −2 3 1 −2 3 1 0 −2 2 1 −1 4 3+2 3+4 = (−1)(−1) 2 −1 4 + (−2)(−1) 2 1 −1 = 0 −1 0 −2 1 −2 −3 1 0 −2 1 0 −2 −3 = (−1)(−3) + (−2)4 + 2(−2)3 − (−1)3 − (−2)2(−3) − 4(−2) + 2 [(−2) − (−2)] = −18 Defini¸˜o 24 Seja A = (aij ) ∈ Matn×n (R), com n > 1. Seja aij = (−1)i+j det Aij onde ca Aij ´ o menor-ij da matriz A. Chama-se a aij o cofactor-ij da matriz A e a matriz e ` cof A = (aij ) ∈ Matn×n (R), com n > 1, a matriz dos cofactores de A. Teorema 18 Para qualquer matriz A ∈ Matn×n (R), com n > 1, tem-se A (cof A)T = (det A) I. Se det A = 0 ent˜o A ´ invert´ e a e ıvel 1 A−1 = (cof A)T . det A a b Exemplo 19 Seja A = ∈ Mat2×2 (R) tal que det A = 0. Ent˜o A ´ invert´ e a e ıvel c d 1 d −b A−1 = . ad − bc −c a (Veja por exemplo o exo 10 da ficha 2.) Note que ad − bc = det A. (ii) Podemos usar o teorema 18 para calcular n˜o s´ a inversa de uma matriz (n˜o a o a singular) mas tamb´m entradas concretas dessa inversa. Seja e   1 0 0 A =  4 5 6 . 7 8 9 A entrada (2, 3) da matriz A−1 ´ dada por e 1 1 1 1 0 (A−1 )23 = (cof A)T = (−1)3+2 det A32 = − det = 2. det A 23 det A −3 4 6 4 Pierre-Simon Laplace 1749–1827 22
  23. 23. Teorema 19 (Regra de Cramer5 .) Seja A ∈ Matn×n (R) tal que A ´ n˜o singular. Ent˜o e a a a unica solu¸ao do sistema de equa¸oes lineares AX = B ´ dada por ´ c˜ c˜ e 1 X = A−1 B = (cof A)T B. det A T T Isto ´, sendo X = e x1 . . . x n eB= b1 . . . bn tem-se n 1 det Bj xj = akj bk = , det A k=1 det A onde Bj ´ a matriz obtida de A substituindo a coluna j de A pela matriz coluna B dos e termos independentes. Exemplo 20 O sistema de equa¸oes lineares c˜   2x + y = 8     −x + 2y + 4z = 7      −x + z = 1 pode ser resolvido usando a regra de Cramer: 8 1 0 2 8 0 2 1 8 7 2 4 −1 7 4 −1 2 7 1 0 1 −1 1 1 −1 0 1 x= = 13, y= = −18 e z= = 14. 2 1 0 2 1 0 2 1 0 −1 2 4 −1 2 4 −1 2 4 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 3 Espa¸os Lineares (Vectoriais) c No final do s´culo XIX e no come¸o do s´culo XX tornou-se claro – gra¸as a Grassmann 6 , e c e c 7 8 Peano e a Weyl – que o desenvolvimento axiom´tico da geometria Euclideana podia ser feito a apelando a estruturas matem´ticas — Espa¸os Vectoriais e Euclidianos — que desempanham a c um papel determinante noutras areas da matem´tica e de outras ciˆncias. O estudo das ´ a e estruturas matem´ticas independente quer dos contextos que lhes deram origem quer dos a contextos em que aplicam constitui uma das ideias mais ricas da matem´tica do s´culo XX a e a a ´ e ´ indissoci´vel da matem´tica Emmy Noether9 . A Algebra linear ´ basicamente o estuda e e dessas estruturas. 5 Gabriel Cramer 1704–1752 6 Hermann Grassmann 1809–1877 7 Giuseppe Peano 1858–1932 8 Hermanm Weyl 1885–1955 9 Emmy Noether 1882–1935 23
  24. 24. Defini¸˜o 25 Um conjunto n˜o vazio V ´ um espa¸o linear (real) se existirem duas ca a e c opera¸oes associadas a V , uma soma de elementos de V e um produto de escalares (n´ meros c˜ u reais) por elementos de V , com as seguintes propriedades: (a) (Fecho da soma). Para quaisquer u, v ∈ V tem-se u + v ∈ V . (b) (Fecho do produto por escalares). Para quaisquer α ∈ R e u ∈ V tem-se αu ∈ V . (c) (Comutatividade da soma). Para quaisquer u, v ∈ V , u + v = v + u. (d) (Associatividade da soma). Para quaisquer u, v, w ∈ V , u + (v + w) = (u + v) + w. (e) (Elemento neutro da soma). Existe um elemento de V designado por 0 tal que, para qualquer u ∈ V , u + 0 = u. (f ) (Sim´trico). Para cada (qualquer) u ∈ V existe v ∈ V tal que u + v = 0. A v e chama-se o sim´trico de u e denota-se por −u. e (g) (Associatividade do produto por escalares). Para quaisquer α, β ∈ R e u ∈ V , α (βu) = (αβ) u. (h) (Distributividade em rela¸ao a soma de vectores). Para quaisquer α ∈ R e u, v ∈ V , c˜ ` α (u + v) = αu + αv. (i) (Distributividade em rela¸ao a soma de escalares). Para quaisquer α, β ∈ R e u ∈ V , c˜ ` (α + β) u = αu + βu. (j) Para qualquer u ∈ V , 1u = u. Observa¸˜o 16 Aos elementos de V chamaremos vectores. ca Exemplo 21 Exemplos de espa¸os lineares: c (i) Rn , com as opera¸oes usuais: c˜ (u1 , u2 , ..., un ) + (v1 , v2 , ..., vn ) = (u1 + v1 , u2 + v2 , ..., un + vn ), α(u1 , u2 , ..., un ) = (αu1 , αu2 , ..., αun ). (ii) Matm×n (R) (conjunto de todas as matrizes reais do tipo m × n), com as opera¸oes c˜ (usuais): A + B e αA. (iii) O conjunto de todas as fun¸oes reais de vari´vel real definidas num conjunto n˜o c˜ a a vazio S ⊆ R, com as opera¸oes usuais: c˜ (f + g)(x) = f (x) + g(x), 24
  25. 25. (αf )(x) = αf (x). (iv) O conjunto P de todos os polin´mios reais, com as opera¸oes usuais. o c˜ (v) O conjunto Pn de todos os polin´mios reais de grau menor ou igual a n, com as o opera¸oes usuais. c˜ Observa¸˜o 17 Um mesmo conjunto pode servir para formar espa¸os lineares diferentes: ca c (i) O conjunto dos n´ meros reais R, com a soma definida por u u v = u + v + 1, e o produto por escalares definido por α · u = αu + α − 1, ´ um espa¸o linear. (Neste caso o elemento neutro ´ −1.) e c e (ii) O conjunto dos n´ meros reais maiores do que zero, com a soma definida por u u v = uv, e o produto por escalares definido por α · u = uα , ´ um espa¸o linear. (Neste caso o elemento neutro ´ 1.) e c e Observa¸˜o 18 Altera¸oes nos conjuntos considerados anteriormente podem resultar em ca c˜ conjuntos que n˜o s˜o espa¸os lineares. a a c (i) O conjunto {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 e y ≥ 0}, com as opera¸oes usuais, n˜o ´ um espa¸o c˜ a e c linear. Por exemplo, os sim´tricos n˜o est˜o no conjunto. e a a (ii) O conjunto V = {a0 + a1 t + ... + an tn : a0 , a1 , ..., an ∈ R e an = 0}, com as opera¸oes c˜ usuais, n˜o ´ um espa¸o linear. Por exemplo: a e c tn , −tn + t ∈ V , mas tn + (−tn + t) = t ∈ V . / (iii) O conjunto U = {f : R −→ R tais que f (1) = 2}, com as opera¸oes usuais, n˜o ´ c˜ a e um espa¸o linear. Por exemplo, se f1 , f2 ∈ U , c (f1 + f2 ) (1) = f1 (1) + f2 (1) = 2 + 2 = 4 = 2. Logo, f1 + f2 ∈ U . / 25
  26. 26. 3.1 Subespa¸os lineares – exemplos: n´ cleo, espa¸o colunas e li- c u c nhas de uma matriz Defini¸˜o 26 Seja V um espa¸o linear. Diz-se que S ´ um subespa¸o de V se S ´ um ca c e c e subconjunto de V e se S, com as opera¸oes de V , fˆr um espa¸o linear. c˜ o c Observa¸˜o 19 No entanto, para mostrar que um certo conjunto S ⊂ V ´ um subespa¸o ca e c do espa¸o linear V , n˜o ser´ necess´rio verificar as 10 propriedades da defini¸ao 25, como se c a a a c˜ pode ver no seguinte teorema. Teorema 20 Um subconjunto n˜o vazio S de um espa¸o linear V ´ um subespa¸o de V se a c e c e s´ se: o (i) Para quaisquer u, v ∈ S tem-se u + v ∈ S. (ii) Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S tem-se αu ∈ S. Exemplo 22 Exemplos de subespa¸os: c (i) Os unicos subespa¸os do espa¸o linear R, com as opera¸oes usuais, s˜o {0} e R. ´ c c c˜ a (ii) Os subespa¸os do espa¸o linear R3 , com as opera¸oes usuais, s˜o: {(0, 0, 0)}, R3 , c c c˜ a todas as rectas que passam pela origem e todos os planos que passam pela origem. (iii) O conjunto de todas as matrizes (reais) triangulares superiores (do tipo n × n) ´ um e subespa¸o do espa¸o linear Matn×n (R), com as opera¸oes usuais. c c c˜ (iv) O conjunto de todas as fun¸oes reais definidas e cont´ c˜ ınuas em I ⊂ R (I ´ um e intervalo) ´ um subespa¸o do espa¸o linear de todas as fun¸oes f : I −→ R, com as opera¸oes e c c c˜ c˜ usuais. (v) Seja A uma matriz (real) do tipo m × n. O conjunto C(A) = {b ∈ Rm : Au = b tem pelo menos uma solu¸ao u} c˜ ´ um subespa¸o do espa¸o linear Rm , com as opera¸oes usuais, ao qual se d´ o nome de e c c c˜ a espa¸o das colunas de A. c (vi) Seja A uma matriz (real) do tipo m × n. O conjunto Nuc(A) = {u ∈ Rn : Au = 0} ´ um subespa¸o do espa¸o linear Rn , com as opera¸oes usuais, ao qual se d´ o nome de e c c c˜ a espa¸o nulo ou n´cleo de A. c u 26
  27. 27. Observa¸˜o 20 (i) Se A ´ invert´ ent˜o Nuc(A) = {0}. ca e ıvel a (ii) Se Nuc(A) = {0} ent˜o A ´ invert´ a e ıvel. (iii) Poderemos obter subespa¸os de um espa¸o linear atrav´s de combina¸oes lineares c c e c˜ de vectores desse espa¸o. c Defini¸˜o 27 Seja S um subconjunto n˜o vazio de um espa¸o linear V . Diz-se que um vector ca a c u ´ combina¸˜o linear finita dos elementos de S, se existir um no finito de elementos de e ca S, u1 , ..., uk , e de escalares λ1 , ..., λk tais que k u = λ1 u1 + ... + λk uk = λ i ui . i=1 Ao cojunto de todas as combina¸oes lineares finitas de elementos de S chama-se expans˜o c˜ a linear de S e designa-se por L(S). Se S ´ o conjunto vazio ∅, escreve-se L(∅) = {0}. e Teorema 21 Seja S um subconjunto n˜o vazio de um espa¸o linear V . A expans˜o linear a c a L(S) de S ´ o menor subespa¸o de V que cont´m S. Deste modo, a L(S) tamb´m se chama e c e e o subespa¸o gerado por S, e diz-se que S gera L(S). c Observa¸˜o 21 Seja S e T dois subconjuntos n˜o vazios de um espa¸o linear V , com S ⊂ T . ca a c Se L(S) = V ent˜o L(T ) = V . a Exemplo 23 (i) O espa¸o linear R2 ´ gerado por qualquer dos seguintes conjuntos de vec- c e tores: {(1, 0), (0, 1)}, {(1, 2), (−1, 11)} e {(23, 8), (6, 14)}. (ii) O subespa¸o {(x, y) ∈ R2 : y = 2x} do espa¸o linear R2 ´ gerado por qualquer dos c c e seguintes conjuntos de vectores: {(1, 2)}, {(−2, −4)} e {(77, 154)}. (iii) O espa¸o linear Pn de todos os polin´mios de grau menor ou igual a n, ´ gerado c o e por qualquer dos seguintes conjuntos de vectores: 2 n 2 n t t2 tn {1, t, t , ..., t }, {1, 1 + t, (1 + t) , ..., (1 + t) } e {1, , , ..., }. 1! 2! n! (iv) O espa¸o linear P de todos os polin´mios, ´ gerado pelo conjunto infinito de vectores: c o e {1, t, t2 , ...}. 27
  28. 28. (v) O espa¸o linear V de todas as fun¸oes f : R → R diferenci´veis tais que f (x) = af (x) c c˜ a ax ´ gerado pela fun¸ao f1 (x) = e , i.e. V = L({f1 }). e c˜ (vi) Seja A uma matriz (real) do tipo m × n. O espa¸o das colunas de A, c C(A) = {b ∈ Rm : Au = b tem pelo menos uma solu¸ao u} , c˜ ´ o subespa¸o (do e c espa¸o linear Rm ) gerado pelas colunas de A, uma vez que: c            b1 a11 a12 · · · a1n u1 a11 a12 a1n  b2   a21 a22 · · · a2n     u2   a21   a22   a2n             . = . .   . . . ··· .   .  = u1  .  + u2  .  + ... + un  . .  .  .  .  .  . . . . .  .  .  ..  bm am1 am2 · · · amn un am1 am2 amn (vii) Seja A uma matriz (real) do tipo m × n. Ao subespa¸o linear de Rn gerado pelas c linhas de A d´-se o nome de espa¸o das linhas de A e designa-se por L(A). a c (viii) Sejam     1 −3 1 −1 2 0 0 0 2 0 A= , B =  0 0 7  , C =  2 −4  e D= . 0 0 0 0 −1 0 0 0 −2 4 Tem-se C(A) = {(0, 0)}, Nuc(A) = R3 e L(A) = {(0, 0, 0)}. C(B) = L ({(1, 0, 0) , (1, 7, 0)}) , Nuc(B) = L ({(3, 1, 0)}) e L(B) = L ({(1, −3, 1) , (0, 0, 7)}) . C(C) = L ({(−1, 2, −2)}) , Nuc(C) = L ({(2, 1)}) e L(C) = L ({(−1, 2)}) . C(D) = L ({(2, 0) , (0, −1)}) , Nuc(D) = {(0, 0)} e L(D) = L ({(2, 0) , (0, −1)}) . (ix) Seja U = {A ∈ Mat3×2 (R) : a12 = a21 = a32 = 0 e a11 + 2a31 = 0}. Tem-se, para A ∈ U,         a11 a12 −2a31 0 −2 0 0 0 A=  a21 a22  =  0 a22  = a31  0 0  + a22  0 1  , a31 a32 a31 0 1 0 0 0 com a31 , a22 ∈ R. Logo,      −2 0 0 0  U = L  0 0 , 0 1  .   1 0 0 0 (x) Seja U = {p(t) = a0 + a1 t + a2 t2 ∈ P2 : p(1) = p(0)}. Tem-se, para p(t) ∈ U , p(1) = p(0) ⇐⇒ a0 + a1 + a2 = a0 ⇐⇒ a1 + a2 = 0 ⇐⇒ a1 = −a2 . Logo, p(t) = a0 − a2 t + a2 t2 = a0 1 + a2 −t + t2 , com a0 , a2 ∈ R. Assim, U =L 1, −t + t2 . 28
  29. 29. Teorema 22 Se U e V s˜o subespa¸os do espa¸o linear W , ent˜o: a c c a (i) O conjunto U ∩ V ´ um subespa¸o linear de W . e c e c ´ (ii) O conjunto U + V = {u + v : u ∈ U e v ∈ V } ´ um subespa¸o de W . E o menor subespa¸o de W que cont´m U ∪ V . O conjunto U ∪ V em geral n˜o ´ um subespa¸o. Tem-se c e a e c U + V = L(U ∪ V ). Exemplo 24 (i) Em R3 , considere os subespa¸os: c U = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y − 2z = 0} e V = L ({(1, 1, −1), (1, 2, 1)}) . Seja v ∈ V , ent˜o a v = α(1, 1, −1) + β(1, 2, 1) = (α + β, α + 2β, −α + β), com α, β ∈ R. Para que v esteja tamb´m em U ´ preciso que: e e (α + β) + (α + 2β) − 2 (−α + β) = 0. A ultima equa¸ao ´ equivalente a 4α + β = 0 ⇐⇒ β = −4α. Logo, ´ c˜ e U ∩ V = {(−3α, −7α, −5α) : α ∈ R} = {α(−3, −7, −5) : α ∈ R} = L ({(3, 7, 5)}) . (ii) Em R3 , considere os subespa¸os: c U = L ({(1, −1, 1), (1, 2, 2)}) e V = L ({(2, 1, 1), (−1, 1, 3)}) . Seja v ∈ U , ent˜o a v = α(1, −1, 1) + β(1, 2, 2) = (α + β, −α + 2β, α + 2β), com α, β ∈ R. Para que v esteja tamb´m em V ´ preciso que: e e (α + β, −α + 2β, α + 2β) = λ(2, 1, 1) + µ(−1, 1, 3) = = (2λ − µ, λ + µ, λ + 3µ) , com λ, µ ∈ R. Deste modo,   α + β = 2λ − µ     −α + 2β = λ + µ      α + 2β = λ + 3µ. Considerando a matriz aumentada tem-se       1 1 | 2λ − µ 1 1 | 2λ − µ 1 1 | 2λ − µ  −1 2 | λ + µ  −→  0 3 | 3λ  −→  0 3 | 3λ  L1 +L2 →L2 − 1 L2 +L3 →L3 1 2 | λ + 3µ −L1 +L3 →L3 0 1 | −λ + 4µ 3 0 0 | −2λ + 4µ 29

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