2. DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA
La integral definida es un concepto utilizado para
determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y
rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno
de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o
igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la
función entre los puntos a y b al área de la porción del
plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX
y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
3. La integral definida se representa por.
Donde:
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar .
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que
se integra.
4. Cuando se calcula el valor de la integral definida
se dice que se e valúa la integral.
La continuidad asegura que los límites en las tres
definiciones existen y dan el mismo valor por eso
podemos asegurar que el valor es el mismo
independientemente de cómo elijamos los valores
de x para evaluar la función (extremo derecho,
extremo izquierdo o cualquier punto en cada sub-
intervalo). Enunciamos entonces una definición
más general.
6. Quizá sea interesante hacer varias observaciones:
1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura
la existencia de por lo menos un punto con esa
propiedad.
2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la
tasa de variación media en el intervalo considerado.
Se trata de un concepto diferente.
7. 3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c
en el que se alcanza presupone el cálculo de una
integral definida. Dicho cálculo puede hacerse
por la Regla de Barrow (que se supone conocida)
o bien, en el caso de funciones complicadas,
utilizando métodos numéricos, como la Regla de
Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos
funciones de integración sencilla.
8. REGLA DE BARROW
La regla de Barrow dice que la integral
definida de una función continua f(x) en un
intervalo cerrado [a, b] es igual a la
diferencia entre los valores que toma una
función primitiva G(x) de f(x), en los
extremos de dicho intervalo.
10. Únanse las ordenadas consecutivas por líneas rectas (cuerdas); de
esta manera se formarán trapecios. Puesto que el área de un trapecio
es igual a la semisuma de las bases por la altura, tenemos:
½(Yo + Y1)∆x= área del primer trapecio,
½ (Y1 + Y2) ∆x= área del segundo trapecio, … ,
½ (Yn-1 + Yn) ∆x= área del enésimo trapecio.
11. Sumando, se obtiene la fórmula del área de todos los trapecios:
At= ( ½ Yo + Y1 + Y2 + Y3, … , + ½ Yn) ∆x
Es necesario tomar en cuenta que cuando mayor sea el número de
intervalos (cuanto más pequeño sea ∆x) tanto más se aproximará el
total de los trapecios al área bajo la curva.
12. FORMULA SIMPSON O PARABOLICA
Sumando el área de cada una de las tiras parabólicas, obtenemos de
la fórmula de Simpson, donde n es par; es decir:
At= (∆x /3)(Yo + 4Y1 + 2Y2 + 4Y3 + 2Y4 + … + Yn)
![DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA
La integral definida es un concepto utilizado para
determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y
rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno
de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o
igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la
función entre los puntos a y b al área de la porción del
plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX
y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)