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Ecuaciones cuadraticas

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  • 1. Ecuación CuadráticaFunción Cuadrática PDF generado usando el kit de herramientas de fuente abierta mwlib. Ver http://code.pediapress.com/ para mayor información. PDF generated at: Tue, 24 May 2011 14:46:01 UTC
  • 2. ContenidosArtículos Ecuación de segundo grado 1 Función cuadrática 7 Discriminante 17Referencias Fuentes y contribuyentes del artículo 20 Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 21Licencias de artículos Licencia 22
  • 3. Ecuación de segundo grado 1 Ecuación de segundo grado Una ecuación de segundo grado, ecuación cuadrática o resolvente es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica: Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y=o), si los hubiese, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática. donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente. Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma: con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática. La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que junto con las ecuaciones lineales, permiten modelar un gran número de relaciones y leyes. Historia La ecuación de segundo grado y la solución tiene origen antiguo. Se conocieron algoritmos para resolverla en Babilonia. En Grecia fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandría. La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.
  • 4. Ecuación de segundo grado 2 Clasificación La ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera: 1.- Completa: Tiene la forma canónica: donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero. Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales y diferentes, dos números reales e iguales (un número real doble), o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente. Se resuelven por factorización, por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. La fórmula general se deduce más adelante. 2.- Incompleta pura: Es de la forma: donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y c tienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma: con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica y su única solución de multiplicidad dos es, por supuesto, x=0 3.- Incompleta mixta: Es de la forma: donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0. No tiene solución en números imaginarios. Solución general de la ecuación de segundo grado La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general: , donde el símbolo "±" indica que los dos valores y son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales del álgebra elemental. Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada): podremos saber el número y naturaleza de las soluciones: 1. Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje x); 2. Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje x);
  • 5. Ecuación de segundo grado 3 3. Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola y el eje x no se cruzan). Deducción de la fórmula general Relacionando la ecuación de segundo grado con un polinomio de segundo grado y las raíces del mismo (a su vez raíces de una función cuadrática), podemos resolver la ecuación algebraicamente y obtener la fórmula de dicha ecuación. Sea dada la ecuación: donde para garantizar que sea realmente una ecuación polinómica de segundo grado. Como a es distinto de cero, podemos dividir entre a cada término de la ecuación: Restamos el valor del término independiente en ambos miembros de la igualdad: Para completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP), o más brevemente, para completar el cuadrado en el miembro izquierdo, se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal, por lo que sumamos en ambos miembros de la ecuación: Factorizamos el TCP del lado izquierdo y hacemos la operación indicada del derecho: Hacemos la operación con fracciones en el miembro derecho: Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros: Separamos las raíces de la fracción del lado derecho: Simplificamos el radical del denominador del miembro derecho: Despejamos la incógnita que buscamos: Combinamos las fracciones con el mismo denominador del lado derecho y obtenemos la fórmula general:
  • 6. Ecuación de segundo grado 4 Es trivial el orden en que se toman los valores de x; algunos autores prefieren colocar en primer término el valor menor de x, es decir, aquél en el cual va el signo negativo antes del radical. Antes de aplicar indiscriminadamente la fórmula general en la solución de ecuaciones de segundo grado particulares, se sugiere resolver cada ecuación empleando todos los pasos de la deducción cada vez para tener dominio del método de completar el cuadrado. Deducción para resolver la ecuación de la forma Esta forma de ecuación cuadrática se caracteriza por que el coeficiente del término en es 1.Estas ecuaciones pueden resolverse por la fórmula general con solo suponer que a=1, pero existe para ellas una fórmula particular que vamos a deducir. Sin embargo, como se demostrará, es tan similar a la fórmula original que no significa un gran ahorro de tiempo respecto a la fórmula general. La ecuación es: Transponiendo n: Sumando : Descomponiendo el primer término el cual es un trinomio cuadrado perfecto: Transponiendo : Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros: Haciendo la relación con la fórmula general tenemos que: la cual es prácticamente igual a la anteriormente deducida: Teorema de Cardano-Viète Para toda ecuación cuadrática de la forma: de raíces se cumplen los siguientes dos aspectos: Suma de raíces Demostración * Partiendo del uso de la fórmula resolvente • Sumamos los numeradores, por ello las raíces desaparecen al ser opuestas • Simplificando nos queda
  • 7. Ecuación de segundo grado 5 Producto de raíces Demostración * Partiendo del uso de la fórmula resolvente • Realizando la multiplicación, por medio del producto de binomios conjugados en el numerador: • Resolviendo las potencias nos queda: • Distribuyo el menos y sumo en el numerador • Simplificando nos queda: Además se puede hacer uso de la identidad de Legendre para obtener la diferencia de raíces. Solución mediante cambio de variable Una manera sencilla de resolver una ecuación de segundo grado (y también de tercer y cuarto grado) es aplicar un cambio de variable. En el caso de la ecuación de segundo grado del tipo , el cambio de variable necesario es del tipo . Aplicando el cambio de variable anterior, obtenemos la ecuación y desarrollándola queda (1). Ahora debemos reducir la ecuación obtenida a un caso conocido que sepamos resolver. Es evidente que las ecuaciones de segundo grado del tipo se resuelven de forma directa extrayendo la raíz cuadrada de ambos términos y cuya solución general es del tipo . Para poder transformar nuestra ecuación (1) en una ecuación con el término de primer grado igual a cero, debemos forzar a que , es decir Sustituyendo en (1) queda . (2) Esta nueva ecuación está en la forma que era lo que pretendíamos lograr con el cambio de variable, y que, como ya se ha dicho, tiene una solución inmediata del tipo Por tanto, despejando la variable en la ecuación (2), queda Dado que , y que , obtenemos la solución de la ecuación original con variable en , que es
  • 8. Ecuación de segundo grado 6 El artificio de esta demostración, consiste, por tanto, en aplicar un cambio de variable que reduce la ecuación de segundo grado general a otra ecuación más sencilla y de solución inmediata. Véase también • Ecuación • Sistema de ecuaciones • Ecuación de tercer grado • Ecuación de cuarto grado • Ecuación de quinto grado • Ecuaciones con radicales • Función cuadrática Enlaces externos Wikilibros • Wikilibros alberga un libro o manual sobre Ecuación cuadrática. • Ecuaciones de segundo grado [1] • La ecuación de segundo grado, en descartes.cnice.mec.es [2] • Vídeo explicativo de la ecuación cuadrática [3] Referencias [1] http:/ / www. ematematicas. net/ ecsegundogrado. php?a=1 [2] http:/ / descartes. cnice. mec. es/ materiales_didacticos/ Ecuacion_de_segundo_grado/ index. htm [3] http:/ / audiovisuales. uned. ac. cr/ mediateca/ videos/ 146/ ecuación-cuadrática-(ecuaciones-de-segundo-grado)
  • 9. Función cuadrática 7 Función cuadrática En matemáticas una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como: Gráficas de funciones cuadráticas. donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano XY haciendo: esto es: es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.
  • 10. Función cuadrática 8 Estudio de la función Corte con el eje y La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0): lo que resulta: la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino independiente de la función. Corte con el eje x La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función: tendremos que: las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es sabido por la expresión: donde: se le llama discriminante, Δ: según el signo del discriminante podemos distinguir:
  • 11. Función cuadrática 9 Discriminante positivo Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, y por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos: y . Veamos por ejemplo la función: que cortara el eje x cuando: que tendrá por solución general: en este caso: que resulta: Para esta ecuación el discriminante tiene valor positivo: y por tanto tiene dos soluciones: operando:
  • 12. Función cuadrática 10 Los puntos: (-1,0), (5,0) son los de corte con el eje x, como se puede ver en la figura. Discriminante nulo Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en , la parábola solo tiene un punto en común con el eje x, el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola confluyen. si la función cuadrática: que cortara al eje de las x si: su solución sera: Operando los valores, tendremos: la raíz de cero es cero, luego el discriminante en este caso vale cero, y habrá una única solución: El punto de corte de la función con el eje de las x es (2,0), que en este caso es tangencial de la función con el eje, ver figura.
  • 13. Función cuadrática 11 Discriminante negativo Δ < 0, la ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje x. Si tenemos la función siguiente: que corta el eje x cuando: para encontrar su solución haremos: Haciendo las operaciones, tendremos: Al no existir ningún número real que sea la raíz de –8, no se puede continuar haciendo las operaciones, por lo que podemos decir que esta función no tiene corte con el eje x, como se ve en la figura. Si tenemos en cuenta la existencia de los números imaginarios, podemos realizar las siguientes operaciones: Continuando con las operaciones: dando como solución: Dado el plano cartesiano xy, real, la parábola vista no corta el eje real x en ningún punto, esa misma ecuación estudiada dentro de los números complejos presenta dos soluciones, cumpliéndose de este modo el Teorema
  • 14. Función cuadrática 12 fundamental del álgebra. Extremos relativos Para localizar los extremos relativos, se calcula la derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática: calculamos su derivada respecto a x: que si la igualamos a cero, tenemos: donde x valdrá: En la vertical que pasa por este valor de x se encontrar el valor máximo o mínimo relativo de la función. Para saber si es un máximo o un mínimo es necesario ver la derivada segunda de la función, veamos: esto es: 2a sera positivo cuando a sea positivo y negativo si a es negativo, por tanto, si la derivada segunda 2a es positiva la parábola es cóncava y el punto será un mínimo de la función, si a es negativa la parábola será convexa y sea un máximo. Ejemplo 1 Dada la función: De la figura, calcularemos su derivada primera:
  • 15. Función cuadrática 13 Esta derivada valdrá cero: cuando: esto es: Esta función presenta un extremo relativo para , veamos si es un máximo o un mínimo, calculando la derivada segunda: Que es 2, dado que 2 es un valor positivo, la función es concava, y el extremo relativo que presente para : , es un mínimo. El valor de la derivada segunda de una función de segundo grado es el coeficiente de , por lo que a la vista de la ecuación, podíamos adelantar que seria mínimo sin calcular la derivada segunda. Ejemplo 2 Dada la función: Para calcular sus extremos relativos calcularemos su derivada primera:
  • 16. Función cuadrática 14 Esta derivada valdrá cero cuando: esto es: que resulta: Para , la función presenta un extremo relativo, como sabemos que el coeficiente de , es negativo es un máximo. Si realizamos el estudio de signo de la derivada primera, nos da que en pasa de ser positivo a negativo, o sea la función cambia de ser creciente a decreciente, por lo que confirmamos que es un máximo. De otra forma; se puede calcular la derivada segunda en este punto, comprobando si la función es cóncava o convexa. Forma factorizada Toda función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada: se puede factorizar como: siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de sería siempre 1. y representan las raíces de . En el caso de que el Discriminante Δ sea igual a 0 entonces por lo que podríamos escribir: En este caso a se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2. Forma canónica Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera: A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se realiza el siguiente procedimiento: • Dado: • Se extrae a como factor común en el término cuadrático y en el lineal. • Se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la igualdad. • Se factoriza formando el cuadrado de un binomio. • sustituyendo:
  • 17. Función cuadrática 15 • la expresión queda: Determinar la ecuación conocidos tres puntos. Partiendo de la forma de la ecuación: y conocidos tres puntos del plano xy por los que pasa una función polinómica de segundo grado: se cumplira que: con lo que tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, donde las incógnitas son: a, b y c, este sistema tendrá solución si el determinante de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero.
  • 18. Función cuadrática 16 Bibliografia 1. Grupo Epsilon, ed (9 de 1994) (en español). Estudio de funciones : la función cuadrática (1 edición). Fundación Bancaja. ISBN 978-84-88715-06-7. 2. Gallego Palomero (7 de 1989) (en español). Función cuadrática (1 edición). Ediciones SM. ISBN 978-84-348-2869-8. Véase también • Ecuación cuadrática • Polinomio • Funciones matemáticas • Geometría analítica • Pendiente de una recta Enlaces externos Función cuadrática [1] Función cuadrática [2] Función cuadrática [3] Función cuadrática [4] Referencias [1] http:/ / thales. cica. es/ rd/ Recursos/ rd99/ ed99-0416-02/ indice. htm [2] http:/ / www. dav. sceu. frba. utn. edu. ar/ homovidens/ Marcela%20Martinez/ funcion_cuadratica_caracteristicas_nuevo. htm [3] http:/ / entren. dgsca. unam. mx/ ModMat/ mm15. html [4] http:/ / www. cam. educaciondigital. net/ acquaviva/ noveno/ FUNCIONES/ TPFUNCIONES/ simuladores/ PRIMERNIVEL/ SEGUNDONIVEL/ tpfuncionescuadraticas. htm
  • 19. Discriminante 17 Discriminante En álgebra, el discriminante de un polinomio es una cierta expresión de los coeficientes de dicho polinomio que es igual a cero si y solo si el polinomio tiene raíces múltiples en el plano complejo. Por ejemplo, el discriminante del polinomio cuadrático       es       . El discriminante del polinomio cúbico       es       . Este concepto también se aplica si el polinomio tiene coeficientes en un cuerpo que no está contenido en los números complejos. En este caso, el discriminante se desvanece si y solo si el polinomio no tiene raíces múltiples en su cuerpo de descomposición. El concepto de discriminante ha sido generalizado a otras estructuras algebraicas además de los polinomios, incluyendo secciones cónicas, formas cuadráticas y cuerpos de números algebraicos. Los discriminantes en la teoría de números algebraicos están fuertemente relacionados y contienen información sobre ramificaciones. De hecho, los tipos de ramificación están relacionados con tipos más abstractos de discriminantes, lo que convierte esta idea algebraica en capital en muchas aplicaciones. El discriminante de un polinomio El discriminante de los polinomios cuadráticos El polinomio cuadrático P(x) = ax2 + bx + dac tiene discriminante D = b2 − 4ac, que es la cantidad bajo el signo de la raíz cuadrada en la fórmula de la solución de la ecuación de segundo grado. Dados los números reales a, b, c, se tiene: • Cuando D > 0, P(x) tiene dos raíces reales distintas , y su representación cruza el eje de las abscisas dos veces. • Cuando D = 0, P(x) tiene dos raíces coincidentes reales , y su representación es tangente al eje de abscisas. • Cuando D < 0, P(x) no tiene raíces reales y su representación queda estrictamente por encima o por debajo del eje de abscisas. En este caso, P(x) tiene dos raíces complejas distintas. El discriminante de los polinomios cúbicos El polinomio cúbico       tiene discriminante       . Los polinomios más simples tienen discriminantes con expresiones más simples. Por ejemplo el polinomio mónico cuadrático       tiene discriminante       . el polinomio mónico cúbico       tiene discriminante       . El polinomio mónico cúbico sin término cuadrático       tiene discriminante       .
  • 20. Discriminante 18 Caso general El discriminante del polinomio general es, hasta cierto factor, igual al determinante de la matriz (2n − 1)×(2n − 1) (Véase también: matriz de Sylvester) El determinante de esta matriz se conoce como el resultante de y , notación . El discriminante de viene dado por . Por ejemplo, en el caso n = 4, el determinante es El discriminante del polinomio de cuarto grado se obtiene a partir de su determinante dividiéndolo por . De forma equivalente, el discriminante es igual a donde r1,..., rn son las raíces complejas (contando su multiplicidad) del polinomio p(x): Esta segunda expresión clarifica que p tiene raíz múltiple si y solo si el discriminante es cero (la raíz múltiple puede ser compleja). El discriminante puede definirse para polinomios en cuerpos arbitrarios de la misma manera. La fórmula que involucra las raíces ri igue siendo válida; las raíces tienen que tomarse en un cuerpo de descomposición del polinomio. beeromttz!
  • 21. Discriminante 19 Discriminante de una sección cónica Para una sección cónica definida por el polinomio real: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f= 0, el discriminante es igual a b2 − 4ac, y determina la forma de la sección cónica. Si el discriminante es menor a 0, la ecuación describe una elipse una circunferencia. Si el discriminante es igual a 0, la ecuación describe una parábola. Si por el contrario es mayor a cero, la ecuación describe una hipérbola. Esta fórmula no funciona en los casos en que ya se ha factorizado Discriminante de una forma cuadrática Hay una generalización de las formas cuadráticas Q sobre cualquier cuerpo K de característica ≠ 2. Pueden expresarse como la suma de términos aiLi2 donde los términos Li son formas lineales y 1 ≤ i ≤ n donde n es el número de variables. Entonces el discriminante es el producto de ai, tomado en K/K2, y está bien definido. Una forma más invariante de decir lo mismo es que es el determinante de una matriz simétrica para Q.
  • 22. Fuentes y contribuyentes del artículo 20 Fuentes y contribuyentes del artículo Ecuación de segundo grado  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=46595350  Contribuyentes: Abece, Airunp, Aleposta, Alhen, Alvaro qc, Amadís, Angel GN, Angel verde, Antur, Armando-Martin, Atibays, Baiji, Banfield, BlackBeast, Boanerges1001, Chanchicto, Charly genio, Cobalttempest, Danielba894, Dark, Der Kreole, Diegusjaimes, Dodo, Dreitmen, Ferbr1, Fernando H, Fran89, GNM, Gaddy, GermanX, Ggenellina, Gsrdzl, Guilleralpoder, HUB, Heylan, HiTe, Hosg, Hprmedina, Humberto, Ialad, Interwiki, JMCC1, Javierito92, Jecanre, Jesús González Álvaro, JoseA, Juan Mayordomo, Jurgens, Jynus, Kved, L30nc1t0, Lffallas, Lourdes Cardenal, Lucien leGrey, Magister Mathematicae, Manuel Trujillo Berges, Manuelt15, Manwë, Matdrodes, Mcetina, Morgul, Moriel, Mpinomej, Navarroaxel, Netito777, Nixón, ObscurO, Pan con queso, Pedro Nonualco, Rcamacho, Rockr24, Romero Schmidtke, Rovnet, Rαge, Sabbut, Saladinmad, Santiperez, Savh, Sergio Andres Segovia, Tano4595, Thormaster, Tirithel, Trousy, Vitamine, Xenoforme, Xosema, Youssefsan, 334 ediciones anónimas Función cuadrática  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=45823393  Contribuyentes: -jem-, Angel GN, Bachi 2805, Bboccioz, Cal Jac02, Charly genio, Ctrl Z, Dactilos, Dark Bane, Delphidius, Diegusjaimes, Dnu72, Echani, Emiduronte, Emmanuel yo, Farisori, Gaijin, HUB, HiTe, Juan Mayordomo, LuMiTaS, Macheledesma, Matdrodes, Melijoan, Navarroaxel, Netito777, Paisvasco, Palomagaviota, PeTTi93, Petronas, PoLuX124, Proferichardperez, Tano4595, Technopat, Thingg, Ugly, 128 ediciones anónimas Discriminante  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=45597055  Contribuyentes: Ecelan, HUB, Hprmedina, Ignacio Icke, JMCC1, Jkbw, Juan Mayordomo, Niqueco, Soulreaper, 27 ediciones anónimas
  • 23. Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 21 Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes Archivo:Ecuación cuadrática.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Ecuación_cuadrática.svg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Drini Image:Wikibooks-logo.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Wikibooks-logo.svg  Licencia: logo  Contribuyentes: User:Bastique, User:Ramac Archivo:Parábolas verticales.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Parábolas_verticales.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes: User:Drini Archivo:Función cuadrática 03.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_cuadrática_03.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:HiTe Archivo:Función cuadrática 11.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_cuadrática_11.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:HiTe Archivo:Función cuadrática 12.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_cuadrática_12.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:HiTe Archivo:Función cuadrática 05.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_cuadrática_05.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:HiTe Archivo:Función cuadrática 04.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_cuadrática_04.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:HiTe
  • 24. Licencia 22 Licencia Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/

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