Universidad Simón Bolívar Programa Igualdad de Oportunidades Área de Matemática LOGARITMO
<ul><li>Tema:   Logaritmo </li></ul><ul><li>Logaritmo por definición </li></ul><ul><ul><li>  Propiedades </li></ul></ul><u...
<ul><li>OBJETIVOS DE LA UNIDAD  </li></ul><ul><ul><li>Conocer y usar la definición de logaritmo </li></ul></ul><ul><ul><li...
<ul><li>Veamos la siguiente expresión  2 3  = 8 </li></ul><ul><li>3 es el  exponente  (ó potencia) a la que se debe elevar...
Por lo tanto las siguientes expresiones son equivalentes y 3 elevado a la 4 = 81 Si entonces 4 es el numero al que hay que...
<ul><li>Pero qué pasa si te </li></ul><ul><li>pregunto a qué numero hay  </li></ul><ul><li>que elevar el 2 para que me  </...
3 4  =  81  Log 3   81= 4   Veamos en el siguiente cuadro la equivalencia entre la dos expresiones, la de potencia y la lo...
<ul><li>De manera general  </li></ul><ul><li>Logaritmo por definición:   </li></ul><ul><li>El logaritmo de un número respe...
<ul><li>Veamos varios ejemplos de logaritmo por definición </li></ul><ul><li>Hallar e l valor de x en la expresión Log 2 x...
<ul><li>Propiedades de los logaritmos </li></ul><ul><li>Sea m un numero real que escribiremos en potencias de a y en su fo...
<ul><li>Sean m y n dos números reales positivos cualesquiera que los escribimos en potencias de a en su forma logarítmica:...
<ul><li>Veamos esto a través de ejemplos: </li></ul><ul><li>Hallar el valor del logaritmo de x en la siguiente  </li></ul>...
<ul><li>Sean m y n dos números reales cualquiera que los escribimos en potencias de  a en su forma logarítmica. </li></ul>...
<ul><li>Sea m un número que escribimos en potencia de a y en su forma logarítmica.  </li></ul><ul><ul><ul><li>m =  a x   ⇒...
<ul><li>Calcular el logaritmo en base 2 de x, sabiendo que  </li></ul>
<ul><li>Log x, si esta comprendido entre (0,1) el logaritmo es negativo. Si esta comprendido entre (1, ∞) el logaritmo es ...
Propiedades de la potencia De manera esquemática recordemos las de la potencia
<ul><li>Log  a 1=0  </li></ul><ul><li>Log a a=1 </li></ul><ul><li>Log  a  (m.n) = Log a  m + Log a  n;  </li></ul><ul><li>...
<ul><li>Veamos cómo resolver ecuaciones logarítmicas donde tengamos que aplicar todo que ya hemos visto </li></ul><ul><ul>...
<ul><li>Ecuaciones exponenciales: </li></ul><ul><li>Son aquellas en las que las incógnitas forman parte de un exponente </...
La función logarítmica y exponencial F(x) = Función Exponencial   a>1 F(x) =  F. Logarítmica a>1 y x (1,0) (0,1) 0 Y= a x ...
Propiedades  de la función logarítmica <ul><li>Dom F(x) = R +   Rgo F(x) = R  </li></ul><ul><li>F(x) es creciente  </li></...
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Logaritmo orirent

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Esta es una presentación de power point acerca de logaritmo, su definición, propiedades y algunos ejemplos resueltos

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  1. 1. Universidad Simón Bolívar Programa Igualdad de Oportunidades Área de Matemática LOGARITMO
  2. 2. <ul><li>Tema: Logaritmo </li></ul><ul><li>Logaritmo por definición </li></ul><ul><ul><li> Propiedades </li></ul></ul><ul><ul><li>Ecuaciones logarítmicas </li></ul></ul><ul><li>Ecuaciones exponenciales </li></ul><ul><li>Función logarítmica </li></ul><ul><li>Prerrequisitos: </li></ul><ul><li>Propiedades de la potencia </li></ul><ul><li>Ecuaciones lineales </li></ul><ul><li>Operaciones con raíces </li></ul><ul><li>Un poco de historia </li></ul><ul><li>Sitio Web interesante para curiosear </li></ul>
  3. 3. <ul><li>OBJETIVOS DE LA UNIDAD </li></ul><ul><ul><li>Conocer y usar la definición de logaritmo </li></ul></ul><ul><ul><li>Conocer y utilizar las propiedades de los logaritmos </li></ul></ul><ul><ul><li>Resolver ecuaciones logarítmicas </li></ul></ul><ul><ul><li>Resolver ecuaciones exponenciales </li></ul></ul>
  4. 4. <ul><li>Veamos la siguiente expresión 2 3 = 8 </li></ul><ul><li>3 es el exponente (ó potencia) a la que se debe elevar el 2 para obtener 8. El exponente se denomina Logaritmo base 2 de 8 y se escribe </li></ul><ul><li>3 = Log 2 8 </li></ul>
  5. 5. Por lo tanto las siguientes expresiones son equivalentes y 3 elevado a la 4 = 81 Si entonces 4 es el numero al que hay que elevar el 3 para que me de 81
  6. 6. <ul><li>Pero qué pasa si te </li></ul><ul><li>pregunto a qué numero hay </li></ul><ul><li>que elevar el 2 para que me </li></ul><ul><li>de 5? </li></ul><ul><li>Ahí vemos una de las </li></ul><ul><li>utilidades de los logaritmos. </li></ul><ul><li>Ya que la respuesta se </li></ul><ul><li>consigue aplicando la </li></ul><ul><li>definición de logaritmo. </li></ul><ul><li>Veamos: </li></ul>No es tan fácil base Argumento Exponente Ese resultado se buscaba en las tablas, ya hoy en día lo conseguimos en la calculadora
  7. 7. 3 4 = 81 Log 3 81= 4 Veamos en el siguiente cuadro la equivalencia entre la dos expresiones, la de potencia y la logarítmica Veamos la relación entre la expresión en forma de potencia y la logarítmica Expresión en forma de potencia Expresión logarítmica 3 3 = 27 3 = Log 3 27 5 2 = 25 2 = Log 5 25 16 1/2 = 4 ½ = Log 16 4 (3/2) 2 = 9/4 2 = Log 3/2 9/4
  8. 8. <ul><li>De manera general </li></ul><ul><li>Logaritmo por definición: </li></ul><ul><li>El logaritmo de un número respecto a cierta base es igual al exponente a que debe elevarse dicha base para encontrar el número. </li></ul><ul><li>Logaritmo decimal: </li></ul><ul><li>Logaritmos en base 10. Log x si no se coloca la base se supone que es en base 10 </li></ul><ul><li>Log a 1 = 0 ⇒ a 0 = 1 </li></ul><ul><li>El logaritmo de uno en cualquier base es cero </li></ul><ul><li>Log a a = 1 ⇒ a 1 = a </li></ul>
  9. 9. <ul><li>Veamos varios ejemplos de logaritmo por definición </li></ul><ul><li>Hallar e l valor de x en la expresión Log 2 x = 4 </li></ul><ul><ul><li>Aplicando la definición tenemos que Log 2 x = 4 ⇔ 2 4 = x; ⇒ x =16 </li></ul></ul><ul><li>Hallar el valor de x en la expresión log 2 64 = x </li></ul><ul><ul><li>Aplicando la definición tenemos que log 2 64 = x ⇔ 2 x = 64; 2 x = 2 6 ⇒ x = 6 </li></ul></ul><ul><li>Hallar el valor de x en la ecuación Log(2x- 4) = 1 </li></ul><ul><ul><li>Aplicando la definición tenemos que Log(2x- 4) = 1 ⇔ 10 1 = 2x – 4; 2x = 14 ⇒ x = 7 </li></ul></ul><ul><li>Hallar el valor de x en la expresión Log x 0,25 = 0,5 </li></ul><ul><ul><li>Aplicando la definición tenemos que Log x 0,5 = 0,25 ⇔ x 0,25 = 0,5; x ¼ = ½; </li></ul></ul>
  10. 10. <ul><li>Propiedades de los logaritmos </li></ul><ul><li>Sea m un numero real que escribiremos en potencias de a y en su forma logarítmica. </li></ul><ul><ul><ul><li>m = a x ⇒ x = Log a m </li></ul></ul></ul><ul><li>Elevando a la n la expresión m = a x nos queda </li></ul><ul><li>(m) n = (a x ) n ⇒ m n = (a n ) x </li></ul><ul><li>En notación logarítmica Log a m n = n. Log a m </li></ul><ul><li>El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de dicha potencia </li></ul><ul><ul><li>Log a m n = n Log a m </li></ul></ul>
  11. 11. <ul><li>Sean m y n dos números reales positivos cualesquiera que los escribimos en potencias de a en su forma logarítmica: </li></ul><ul><ul><ul><li>m = a x ⇒ x = Log a m </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>n = a y ⇒ y = Log a n </li></ul></ul></ul><ul><li>Multiplicando ambas expresiones resulta: </li></ul><ul><ul><ul><li>m  n = a x  a y ⇒ m  n =a x+y </li></ul></ul></ul><ul><li>En notación logarítmica x+y = Log a (m  n) sustituyendo en esta expresión x e y por sus valores nos queda </li></ul><ul><li>El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores </li></ul><ul><ul><li>Log a (m  n) = Log a m + Log a n </li></ul></ul>
  12. 12. <ul><li>Veamos esto a través de ejemplos: </li></ul><ul><li>Hallar el valor del logaritmo de x en la siguiente </li></ul><ul><ul><li>Aplicamos logaritmo en ambos lados de la expresión </li></ul></ul><ul><ul><li>Aplicamos las propiedades del logaritmo: </li></ul></ul><ul><li>Desarrollar la siguiente expresión </li></ul><ul><ul><li>Aplicamos la propiedad del producto: Log 2 2 . 3 2 a = Log 2 2 + Log 3 2 + Log a </li></ul></ul><ul><ul><li>Aplicamos la propiedad de los exponentes 2log 2 + 2 Log 3 + Log a </li></ul></ul>
  13. 13. <ul><li>Sean m y n dos números reales cualquiera que los escribimos en potencias de a en su forma logarítmica. </li></ul><ul><ul><ul><li>m = a x ⇒ x = Log a m </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>n = a y ⇒ y = Log a n </li></ul></ul></ul><ul><li>Dividiendo miembro ambos miembros resulta: </li></ul><ul><li>En notación logarítmica x – y = Log a (m/n). Sustituyendo en esta expresión x e y por sus valores nos queda </li></ul><ul><li>El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor </li></ul><ul><ul><li>Log a (m/n) = Log a m - Log a n </li></ul></ul>
  14. 14. <ul><li>Sea m un número que escribimos en potencia de a y en su forma logarítmica. </li></ul><ul><ul><ul><li>m = a x ⇒ x = Log a m </li></ul></ul></ul><ul><li>Sacando la raíz n a los dos miembros de la ecuación m = a x nos queda </li></ul><ul><li>en notación logarítmica = Log a </li></ul><ul><li>Sustituyendo en esta expresión x por su valor nos queda </li></ul><ul><li>El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la parte subradical dividido por el índice de la raíz. </li></ul>
  15. 15. <ul><li>Calcular el logaritmo en base 2 de x, sabiendo que </li></ul>
  16. 16. <ul><li>Log x, si esta comprendido entre (0,1) el logaritmo es negativo. Si esta comprendido entre (1, ∞) el logaritmo es positivo. </li></ul><ul><li>A las sumas y restas no se les puede aplicar logaritmo Log (a  b) queda exactamente igual, ya que no existe propiedad de potenciación ni para la suma ni para la resta. </li></ul><ul><li>Logaritmos Neperianos o naturales: Logaritmos en base e = 2,7182818285. </li></ul><ul><li>Log e x, se denota Ln </li></ul><ul><li>Cambio de base: Llevar Log a m a Log x </li></ul><ul><li>Log a m = </li></ul>
  17. 17. Propiedades de la potencia De manera esquemática recordemos las de la potencia
  18. 18. <ul><li>Log a 1=0 </li></ul><ul><li>Log a a=1 </li></ul><ul><li>Log a (m.n) = Log a m + Log a n; </li></ul><ul><li>Log a = Log a m – Log a n; </li></ul><ul><li>Log a m. n = n. Log a m ; </li></ul><ul><li>Colog a m = Log a 1/m = Log a 1- Log a m = 0–Log a m = -Log a m </li></ul><ul><li>Si Log a m = Log a n entonces m = n; </li></ul>a 0 m> 0 y n> 0 = 1 Veamos las propiedades de los logaritmos m >0 m> 0 y n> 0 m >0
  19. 19. <ul><li>Veamos cómo resolver ecuaciones logarítmicas donde tengamos que aplicar todo que ya hemos visto </li></ul><ul><ul><li>Log 5 – Log x = 1 Debemos conseguir una expresion del tipo Log (a) = b que nos permita aplicar la definción de logaritmo. Para ello tenemos que aplicar las propiedades y transformar la resta en división </li></ul></ul><ul><ul><li> Ahora si podemos aplicar la definición de logaritmo </li></ul></ul><ul><ul><li>Log 2 (x-1) - Log 2 (x+1) = 1 Transformamos la expresión en una del tipo Log (a) =b </li></ul></ul><ul><ul><li> </li></ul></ul><ul><ul><li>Aplicamos la definicion de logaritmo </li></ul></ul><ul><ul><li> </li></ul></ul>Recordar que Log implica que la base es 10, es decir se trata de logaritmo decimal Comprobación ☺
  20. 20. <ul><li>Ecuaciones exponenciales: </li></ul><ul><li>Son aquellas en las que las incógnitas forman parte de un exponente </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>Para que la igualdad sea cierta se debe cumplir que 2x -5 = 3x +2, de donde se desprende que x = -7 </li></ul><ul><ul><li>Calcular x en la ecuación </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Podemos transformarla en </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>obtenemos que x = 7. </li></ul></ul></ul><ul><li>En general </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul>
  21. 21. La función logarítmica y exponencial F(x) = Función Exponencial a>1 F(x) = F. Logarítmica a>1 y x (1,0) (0,1) 0 Y= a x Y= Log a x
  22. 22. Propiedades de la función logarítmica <ul><li>Dom F(x) = R + Rgo F(x) = R </li></ul><ul><li>F(x) es creciente </li></ul><ul><li>Cero de la función es 1, ya que (log a 1= 0) </li></ul><ul><li>La gráfica de la función logarítmica es simétrica a la gráfica de la exponencial respecto a la bisectriz del primer cuadrante </li></ul>Si consideras que estas listo aquí tienes una prueba de auto evaluación que te dará una idea de tu nivel de preparación

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