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Logaritmo orirent

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Esta es una presentación de power point acerca de logaritmo, su definición, propiedades y algunos ejemplos resueltos

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  • 1. Universidad Simón Bolívar Programa Igualdad de Oportunidades Área de Matemática LOGARITMO
  • 2.
    • Tema: Logaritmo
    • Logaritmo por definición
      • Propiedades
      • Ecuaciones logarítmicas
    • Ecuaciones exponenciales
    • Función logarítmica
    • Prerrequisitos:
    • Propiedades de la potencia
    • Ecuaciones lineales
    • Operaciones con raíces
    • Un poco de historia
    • Sitio Web interesante para curiosear
  • 3.
    • OBJETIVOS DE LA UNIDAD
      • Conocer y usar la definición de logaritmo
      • Conocer y utilizar las propiedades de los logaritmos
      • Resolver ecuaciones logarítmicas
      • Resolver ecuaciones exponenciales
  • 4.
    • Veamos la siguiente expresión 2 3 = 8
    • 3 es el exponente (ó potencia) a la que se debe elevar el 2 para obtener 8. El exponente se denomina Logaritmo base 2 de 8 y se escribe
    • 3 = Log 2 8
  • 5. Por lo tanto las siguientes expresiones son equivalentes y 3 elevado a la 4 = 81 Si entonces 4 es el numero al que hay que elevar el 3 para que me de 81
  • 6.
    • Pero qué pasa si te
    • pregunto a qué numero hay
    • que elevar el 2 para que me
    • de 5?
    • Ahí vemos una de las
    • utilidades de los logaritmos.
    • Ya que la respuesta se
    • consigue aplicando la
    • definición de logaritmo.
    • Veamos:
    No es tan fácil base Argumento Exponente Ese resultado se buscaba en las tablas, ya hoy en día lo conseguimos en la calculadora
  • 7. 3 4 = 81 Log 3 81= 4 Veamos en el siguiente cuadro la equivalencia entre la dos expresiones, la de potencia y la logarítmica Veamos la relación entre la expresión en forma de potencia y la logarítmica Expresión en forma de potencia Expresión logarítmica 3 3 = 27 3 = Log 3 27 5 2 = 25 2 = Log 5 25 16 1/2 = 4 ½ = Log 16 4 (3/2) 2 = 9/4 2 = Log 3/2 9/4
  • 8.
    • De manera general
    • Logaritmo por definición:
    • El logaritmo de un número respecto a cierta base es igual al exponente a que debe elevarse dicha base para encontrar el número.
    • Logaritmo decimal:
    • Logaritmos en base 10. Log x si no se coloca la base se supone que es en base 10
    • Log a 1 = 0 ⇒ a 0 = 1
    • El logaritmo de uno en cualquier base es cero
    • Log a a = 1 ⇒ a 1 = a
  • 9.
    • Veamos varios ejemplos de logaritmo por definición
    • Hallar e l valor de x en la expresión Log 2 x = 4
      • Aplicando la definición tenemos que Log 2 x = 4 ⇔ 2 4 = x; ⇒ x =16
    • Hallar el valor de x en la expresión log 2 64 = x
      • Aplicando la definición tenemos que log 2 64 = x ⇔ 2 x = 64; 2 x = 2 6 ⇒ x = 6
    • Hallar el valor de x en la ecuación Log(2x- 4) = 1
      • Aplicando la definición tenemos que Log(2x- 4) = 1 ⇔ 10 1 = 2x – 4; 2x = 14 ⇒ x = 7
    • Hallar el valor de x en la expresión Log x 0,25 = 0,5
      • Aplicando la definición tenemos que Log x 0,5 = 0,25 ⇔ x 0,25 = 0,5; x ¼ = ½;
  • 10.
    • Propiedades de los logaritmos
    • Sea m un numero real que escribiremos en potencias de a y en su forma logarítmica.
        • m = a x ⇒ x = Log a m
    • Elevando a la n la expresión m = a x nos queda
    • (m) n = (a x ) n ⇒ m n = (a n ) x
    • En notación logarítmica Log a m n = n. Log a m
    • El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de dicha potencia
      • Log a m n = n Log a m
  • 11.
    • Sean m y n dos números reales positivos cualesquiera que los escribimos en potencias de a en su forma logarítmica:
        • m = a x ⇒ x = Log a m
        • n = a y ⇒ y = Log a n
    • Multiplicando ambas expresiones resulta:
        • m  n = a x  a y ⇒ m  n =a x+y
    • En notación logarítmica x+y = Log a (m  n) sustituyendo en esta expresión x e y por sus valores nos queda
    • El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores
      • Log a (m  n) = Log a m + Log a n
  • 12.
    • Veamos esto a través de ejemplos:
    • Hallar el valor del logaritmo de x en la siguiente
      • Aplicamos logaritmo en ambos lados de la expresión
      • Aplicamos las propiedades del logaritmo:
    • Desarrollar la siguiente expresión
      • Aplicamos la propiedad del producto: Log 2 2 . 3 2 a = Log 2 2 + Log 3 2 + Log a
      • Aplicamos la propiedad de los exponentes 2log 2 + 2 Log 3 + Log a
  • 13.
    • Sean m y n dos números reales cualquiera que los escribimos en potencias de a en su forma logarítmica.
        • m = a x ⇒ x = Log a m
        • n = a y ⇒ y = Log a n
    • Dividiendo miembro ambos miembros resulta:
    • En notación logarítmica x – y = Log a (m/n). Sustituyendo en esta expresión x e y por sus valores nos queda
    • El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor
      • Log a (m/n) = Log a m - Log a n
  • 14.
    • Sea m un número que escribimos en potencia de a y en su forma logarítmica.
        • m = a x ⇒ x = Log a m
    • Sacando la raíz n a los dos miembros de la ecuación m = a x nos queda
    • en notación logarítmica = Log a
    • Sustituyendo en esta expresión x por su valor nos queda
    • El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la parte subradical dividido por el índice de la raíz.
  • 15.
    • Calcular el logaritmo en base 2 de x, sabiendo que
  • 16.
    • Log x, si esta comprendido entre (0,1) el logaritmo es negativo. Si esta comprendido entre (1, ∞) el logaritmo es positivo.
    • A las sumas y restas no se les puede aplicar logaritmo Log (a  b) queda exactamente igual, ya que no existe propiedad de potenciación ni para la suma ni para la resta.
    • Logaritmos Neperianos o naturales: Logaritmos en base e = 2,7182818285.
    • Log e x, se denota Ln
    • Cambio de base: Llevar Log a m a Log x
    • Log a m =
  • 17. Propiedades de la potencia De manera esquemática recordemos las de la potencia
  • 18.
    • Log a 1=0
    • Log a a=1
    • Log a (m.n) = Log a m + Log a n;
    • Log a = Log a m – Log a n;
    • Log a m. n = n. Log a m ;
    • Colog a m = Log a 1/m = Log a 1- Log a m = 0–Log a m = -Log a m
    • Si Log a m = Log a n entonces m = n;
    a 0 m> 0 y n> 0 = 1 Veamos las propiedades de los logaritmos m >0 m> 0 y n> 0 m >0
  • 19.
    • Veamos cómo resolver ecuaciones logarítmicas donde tengamos que aplicar todo que ya hemos visto
      • Log 5 – Log x = 1 Debemos conseguir una expresion del tipo Log (a) = b que nos permita aplicar la definción de logaritmo. Para ello tenemos que aplicar las propiedades y transformar la resta en división
      • Ahora si podemos aplicar la definición de logaritmo
      • Log 2 (x-1) - Log 2 (x+1) = 1 Transformamos la expresión en una del tipo Log (a) =b
      • Aplicamos la definicion de logaritmo
    Recordar que Log implica que la base es 10, es decir se trata de logaritmo decimal Comprobación ☺
  • 20.
    • Ecuaciones exponenciales:
    • Son aquellas en las que las incógnitas forman parte de un exponente
    • Ejemplo:
    • Para que la igualdad sea cierta se debe cumplir que 2x -5 = 3x +2, de donde se desprende que x = -7
      • Calcular x en la ecuación
        • Podemos transformarla en
        • obtenemos que x = 7.
    • En general
    • Ejemplo:
  • 21. La función logarítmica y exponencial F(x) = Función Exponencial a>1 F(x) = F. Logarítmica a>1 y x (1,0) (0,1) 0 Y= a x Y= Log a x
  • 22. Propiedades de la función logarítmica
    • Dom F(x) = R + Rgo F(x) = R
    • F(x) es creciente
    • Cero de la función es 1, ya que (log a 1= 0)
    • La gráfica de la función logarítmica es simétrica a la gráfica de la exponencial respecto a la bisectriz del primer cuadrante
    Si consideras que estas listo aquí tienes una prueba de auto evaluación que te dará una idea de tu nivel de preparación

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