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GuíA De Semejanza
 

GuíA De Semejanza

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    GuíA De Semejanza GuíA De Semejanza Document Transcript

    • GUÍA: SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y si sus lados homólogos son proporcionales. ( lados homólogos son los opuestos a ángulos iguales ) Es decir : C C’ a’ b a b’ A’ B’ c’ A B c ∆ ABC ∼ ∆ A’B’C’ ( triángulo ABC es semejante al triángulo A’B’C’ ) si y sólo si : i) ∠ A = ∠ A’ ; ∠ B = ∠ B’ ; ∠ C = ∠ C’ a b c ii) = = a' b' c' Ejemplo: Los triángulos siguientes son semejantes : B 10 6 B’ C A 8 5 3 C’ A’ 4 En efecto: ∠ A = ∠ A’ ; ∠ B = ∠ B’ ; ∠ C = ∠ C’ a b c = = =2 a' b' c' Postulado: en el triángulo ABC : Si A' B' // AB , entonces : W AB BC AC = = A' B' B' C' A' C' K Q A G
    • Ejemplo: En el triángulo GAW , QK // GA AK = 4 , KW = 8 , GQ = 5 Encuentra WQ = CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS CRITERIO ángulo - ángulo ( A - A ) C Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de un segundo triángulo, entonces estos dos triángulos son semejantes. F Es decir , en los triángulos ABC y DEF : ∠A = ∠D y ∠B=∠E Entonces ∆ ABC ∼ ∆ DEF A B Ejemplo: D E Según la figura, si AB // DE , A B ¿ es ∆ ABC ∼ ∆ DCE ? Si AB // DE , entonces ∠D=∠B ( alternos internos entre paralelas ) C y ∠ E = ∠ A ( alternos internos entre paralelas) por lo tanto : ∆ ABC ∼ ∆ DCE D E CRITERIO lado - ángulo - lado ( L .A .L ) A Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y congruentes el ángulo comprendido entre ellos. decir , en los triángulos ABC y DEF , B D C AC AB Si ∠ A = ∠ D y = Entonces DF DE ∆ ABC ∼ ∆ DEF E F
    • Ejemplo: ¿ Son semejantes los triángulos ? 8 Q B 35º 15 12 como = y ademas ∠ R = ∠ B = 35º 10 8 10 L entonces ∆ CRJ ∼ ∆ LBQ C 15 35º R 12 J CRITERIO lado - lado - lado ( L . L . L . ) A Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. B C Es decir , en los triángulos ABC y DEF : AB BC AC D Si = = DE EF DF Entonces ∆ ABC ∼ ∆ DEF E F Ejemplo: ¿ son semejantes los triángulos TMQ y CJX ? T 18 J 10 12 M 8 X 15 C 12 Q 18 12 15 como = = 12 8 10 entonces ∆ ABC ∼ ∆ DEF CRITERIO lado - lado - ángulo ( L . L . A .) Si el lado más largo del triángulo, junto con otro lado de éste, y el ángulo superior del lado más largo del triángulo son congruentes con los del otro triángulo entonces los triángulos son semejantes.
    • EJERCICIOS 1. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta. 2. Si los triángulos ABC y A’B’C’ tienen iguales los ángulos marcados del mismo modo, establece la proporcionalidad de sus lados. 3. Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo. 4. La razón de semejanza del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero son 18, 21 y 30, determina los lados del segundo. 5. Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 m., 8 m. y 10 m. respectivamente. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m.? 6. Si a//b, r y r’ secantes que se cortan en O. Demuestra que ∆OAA’ ∼ ∆OBB’. 7. Si a//b, r y r’ secantes que se cortan en O y OA = 8 cm., OB = 12 cm., AA’ = 10 cm., A’B’ = 15 cm. Determina OB’ y BB’. 8. En el ∆ABC, AD ⊥ BC y CE ⊥ AB. Demostrar que CE ⋅ AB = AD ⋅ BC 9. Si en el ∆ABC, CD es la bisectriz del ∠ACB y ∠ABE ≅ ∠ACD, demostrar que ∆ACD ∼ ∆DBE y que ∆ADC ∼ ∆CEB.
    • 10. Los lados de un triángulo miden 2 cm., 1,5 cm. y 3 cm. Construye, sobre un segmento de 2,5 cm.. homólogo del primer lado de este triángulo, un triángulo semejante a aquel. 11. Si los segmentos AB y CD se cortan en un punto E tal que CE ⋅ EB = ED ⋅ AE, demostrar que los segmentos AC y BD que unen sus extremos, son paralelos. 12. Si AE = 12, EB = 28, CE = 15, AC = 18, determinar ED y BD. 13. Si los segmentos BC y DE tienen sus extremos en los lados del ∠ EAB y forman con estos lados los ángulos BCE y EDB iguales, demuestra que el ∆ADE ∼ ∆ABC. 14. Calcula AC y BC, sabiendo que AE = 18 cm., AB = 12 cm., DB = 6 cm. y DE = 21 cm.
    • 15. Encuentra el valor de AD si AC = 25 A D 15 3 B C E 16. Se sabe que PQ = PR y que PX biseca ∠ QPR . Demostrar que ∆ QPX ∼ ∆ QPR P Q R X 17. Dado que ∠ T = ∠ NGV Demostrar que ∆ NGV ∼ ∆ NTX N V G X T 18. Dado que ∠ R = ∠ W. Demostrar que ∆ JYW ∼ ∆ JMR R N J Y W 19. Dado que LK // CB .Demostrar que: ∆ LKM ∼ ∆ BCM C L M K B
    • 20.. Según la fig. J NK ⊥ JL ; ML ⊥ JL NK = 4 , ML = 6 , JM = 15 , JN =? K N L M 21. Hipótesis : WZ = XY ; WX = ZY Tesis : ∆ WTZ ∼ ∆ VWX W Z Y X V 22. Hipótesis : CF ⊥ AB ; BD ⊥ AC Tesis : ∆ FBE ∼ ∆ DEC T C D E B A F 23. ¿ En qué casos el ∆ ABC ∼ ∆ DEF ? C AB BC CA a) = = DE EF FD AB DE b) = ; ∠B=∠E BC EF A B BC AC c) = , ∠B=∠D EF DF E D d) ∠ A=∠D , ∠C=∠E F