GuíA De Semejanza

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GuíA De Semejanza

  1. 1. GUÍA: SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y si sus lados homólogos son proporcionales. ( lados homólogos son los opuestos a ángulos iguales ) Es decir : C C’ a’ b a b’ A’ B’ c’ A B c ∆ ABC ∼ ∆ A’B’C’ ( triángulo ABC es semejante al triángulo A’B’C’ ) si y sólo si : i) ∠ A = ∠ A’ ; ∠ B = ∠ B’ ; ∠ C = ∠ C’ a b c ii) = = a' b' c' Ejemplo: Los triángulos siguientes son semejantes : B 10 6 B’ C A 8 5 3 C’ A’ 4 En efecto: ∠ A = ∠ A’ ; ∠ B = ∠ B’ ; ∠ C = ∠ C’ a b c = = =2 a' b' c' Postulado: en el triángulo ABC : Si A' B' // AB , entonces : W AB BC AC = = A' B' B' C' A' C' K Q A G
  2. 2. Ejemplo: En el triángulo GAW , QK // GA AK = 4 , KW = 8 , GQ = 5 Encuentra WQ = CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS CRITERIO ángulo - ángulo ( A - A ) C Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de un segundo triángulo, entonces estos dos triángulos son semejantes. F Es decir , en los triángulos ABC y DEF : ∠A = ∠D y ∠B=∠E Entonces ∆ ABC ∼ ∆ DEF A B Ejemplo: D E Según la figura, si AB // DE , A B ¿ es ∆ ABC ∼ ∆ DCE ? Si AB // DE , entonces ∠D=∠B ( alternos internos entre paralelas ) C y ∠ E = ∠ A ( alternos internos entre paralelas) por lo tanto : ∆ ABC ∼ ∆ DCE D E CRITERIO lado - ángulo - lado ( L .A .L ) A Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y congruentes el ángulo comprendido entre ellos. decir , en los triángulos ABC y DEF , B D C AC AB Si ∠ A = ∠ D y = Entonces DF DE ∆ ABC ∼ ∆ DEF E F
  3. 3. Ejemplo: ¿ Son semejantes los triángulos ? 8 Q B 35º 15 12 como = y ademas ∠ R = ∠ B = 35º 10 8 10 L entonces ∆ CRJ ∼ ∆ LBQ C 15 35º R 12 J CRITERIO lado - lado - lado ( L . L . L . ) A Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. B C Es decir , en los triángulos ABC y DEF : AB BC AC D Si = = DE EF DF Entonces ∆ ABC ∼ ∆ DEF E F Ejemplo: ¿ son semejantes los triángulos TMQ y CJX ? T 18 J 10 12 M 8 X 15 C 12 Q 18 12 15 como = = 12 8 10 entonces ∆ ABC ∼ ∆ DEF CRITERIO lado - lado - ángulo ( L . L . A .) Si el lado más largo del triángulo, junto con otro lado de éste, y el ángulo superior del lado más largo del triángulo son congruentes con los del otro triángulo entonces los triángulos son semejantes.
  4. 4. EJERCICIOS 1. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta. 2. Si los triángulos ABC y A’B’C’ tienen iguales los ángulos marcados del mismo modo, establece la proporcionalidad de sus lados. 3. Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo. 4. La razón de semejanza del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero son 18, 21 y 30, determina los lados del segundo. 5. Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 m., 8 m. y 10 m. respectivamente. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m.? 6. Si a//b, r y r’ secantes que se cortan en O. Demuestra que ∆OAA’ ∼ ∆OBB’. 7. Si a//b, r y r’ secantes que se cortan en O y OA = 8 cm., OB = 12 cm., AA’ = 10 cm., A’B’ = 15 cm. Determina OB’ y BB’. 8. En el ∆ABC, AD ⊥ BC y CE ⊥ AB. Demostrar que CE ⋅ AB = AD ⋅ BC 9. Si en el ∆ABC, CD es la bisectriz del ∠ACB y ∠ABE ≅ ∠ACD, demostrar que ∆ACD ∼ ∆DBE y que ∆ADC ∼ ∆CEB.
  5. 5. 10. Los lados de un triángulo miden 2 cm., 1,5 cm. y 3 cm. Construye, sobre un segmento de 2,5 cm.. homólogo del primer lado de este triángulo, un triángulo semejante a aquel. 11. Si los segmentos AB y CD se cortan en un punto E tal que CE ⋅ EB = ED ⋅ AE, demostrar que los segmentos AC y BD que unen sus extremos, son paralelos. 12. Si AE = 12, EB = 28, CE = 15, AC = 18, determinar ED y BD. 13. Si los segmentos BC y DE tienen sus extremos en los lados del ∠ EAB y forman con estos lados los ángulos BCE y EDB iguales, demuestra que el ∆ADE ∼ ∆ABC. 14. Calcula AC y BC, sabiendo que AE = 18 cm., AB = 12 cm., DB = 6 cm. y DE = 21 cm.
  6. 6. 15. Encuentra el valor de AD si AC = 25 A D 15 3 B C E 16. Se sabe que PQ = PR y que PX biseca ∠ QPR . Demostrar que ∆ QPX ∼ ∆ QPR P Q R X 17. Dado que ∠ T = ∠ NGV Demostrar que ∆ NGV ∼ ∆ NTX N V G X T 18. Dado que ∠ R = ∠ W. Demostrar que ∆ JYW ∼ ∆ JMR R N J Y W 19. Dado que LK // CB .Demostrar que: ∆ LKM ∼ ∆ BCM C L M K B
  7. 7. 20.. Según la fig. J NK ⊥ JL ; ML ⊥ JL NK = 4 , ML = 6 , JM = 15 , JN =? K N L M 21. Hipótesis : WZ = XY ; WX = ZY Tesis : ∆ WTZ ∼ ∆ VWX W Z Y X V 22. Hipótesis : CF ⊥ AB ; BD ⊥ AC Tesis : ∆ FBE ∼ ∆ DEC T C D E B A F 23. ¿ En qué casos el ∆ ABC ∼ ∆ DEF ? C AB BC CA a) = = DE EF FD AB DE b) = ; ∠B=∠E BC EF A B BC AC c) = , ∠B=∠D EF DF E D d) ∠ A=∠D , ∠C=∠E F

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