Teoremas Y Postulados De TriáNgulos

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Teoremas Y Postulados De TriáNgulos

  1. 1. Unidad 9.1 Paralelas y Perpendiculares Teoremas y Postulados de triángulos Prof. Carmen Batiz UGHS
  2. 2. 1. Dibuja un triángulo CFG. C F G
  3. 3. 2. Enumera los vértices. C F G 1 2 3
  4. 4. 3. Recorta éstos. C F G 1 2 3
  5. 5. 4. Une los tres ángulos y explica que ocurrió. 1 2 3
  6. 6. Generalización 1 2 3 Teorema de la suma de los ángulos en un triángulo La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.
  7. 7. Ejemplo 1 Halla el valor de x en los siguientes triángulos. 3x + x +30 + 90 = 180 4x + 120 = 180 4x = 60 x = 15° 2x + x – 10 = 110 3x=120 x = 40 °
  8. 8. Angulo Exterior < BAF es un ángulo exterior del ABC A B C F Es formado por un lado del triángulo y la prolongación de otro de sus lados. ¿Cuántos ángulos exteriores tendrá un triángulo?
  9. 9. Angulos interiores no adyacentes o remotos internos < C y < B son ángulos interiores no adyacentes. A B C F Son los ángulos interiores del triángulo no adyacentes al ángulo exterior.
  10. 10. Teorema del ángulo exterior La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos o interiores no adyacentes.
  11. 11. Teorema del ángulo exterior m< FAB = m <B + m<C A B C F
  12. 12. Ejercicio : Encuentra la medida de cada ángulo enumerado en la figura a continuación. <2 = 69 Teo ángulos internos. <1 + <2 = 180 < 1 = 111 <1 = 46 + 65 <2 = 180 - 111 < 3 = 60 <3 + 82 = 142 65° 46° 1 2 5 4 3 82° 142° Teo ángulos internos. Teo suma de los ángulos.
  13. 13. Ejercicio : Encuentra la medida de cada ángulo enumerado en la figura a continuación. 65° 46° 1 2 5 4 3 82° 142°
  14. 14. Ejercicio : Encuentra la medida de cada ángulo enumerado en la figura a continuación. 65° 46° 1 2 5 4 3 82° 142° Teo ángulos internos. < 1 = 111 <1 = 46 + 65
  15. 15. Ejercicio : Encuentra la medida de cada ángulo enumerado en la figura a continuación. <2 = 69 <1 + <2 = 180 65° 46° 1 2 5 4 3 82° 142° Def. Par lineal <2 = 180 - 111
  16. 16. Ejercicio : Encuentra la medida de cada ángulo enumerado en la figura a continuación. Teo ángulos internos. < 3 = 60 <3 + 82 = 142 65° 46° 1 2 5 4 3 82° 142°
  17. 17. Ejercicio : Encuentra la medida de cada ángulo numerado en la figura a continuación. < 5 = 51 <2 + <4 + <5 = 180 69 + 60 + <5 = 180 65° 46° 1 2 5 4 3 82° 142° Teo suma de ángulos
  18. 18. TAREA Geometry Concepts and Applications Glencoe p. 26, 39
  19. 19. Elementos del triángulo Altura- Es la perpendicular bajada desde un vértice al lado opuesto. Se denominan ha , hb , hc ; donde el subíndice indica el vértice por el cual pasa. Las tres alturas se intersectan en un mismo punto llamado Ortocentro. AE ┴ BC ; BF ┴ AC ; CD ┴ AB AE = ha ; BF = hb ; CD = hc H: Ortocentro
  20. 20. Bisectriz- Es la recta que pasa por un vértice y divide al ángulo en dos ángulos congruentes. Se denominan bα , bβ y bᵞ ; donde el subíndice indica el ángulo que dimidia.
  21. 21. Las tres bisectrices se intersecan en un mismo punto llamado Incentro, el cual corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo, se decir, el incentro equidista de los lados del triángulo. El radio de esta circunferencia se designa por la letra griega “p”. AF = bα ; BG = bβ ; CE = bᵞ I: Incentro. E,G,F: Puntos de tangencia
  22. 22. Mediana- Es el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados del triángulo. •P,Q, R : Puntos medios (medianas) de los lados PQ, QR, RP Baricentro –punto donde se unen las medianas
  23. 23. TEOREMA: El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y su longitud es la mitad de ese lado. Si QP y QR son medianas del ∆ ABC entonces PR || AB y PR = ½ AB
  24. 24. Ejemplo 1: 1. Nombra una altura. 2. Nombra un segmento que sea una bisectriz perpendicular. 3. Nombra un segmento que no es altura ni bisectriz perpendicular.
  25. 25. Ejemplo 1: 1. Nombra una altura. 2. Nombra un segmento que sea una bisectriz perpendicular. 3. Nombra un segmento que no es altura ni bisectriz perpendicular. FD FD AG
  26. 26. EJEMPLO 2 Si en el ∆ACD, DB bisecta <ADC, y CE bisecta <ACD. 1. ¿Cuál es la medida de <3, si m<ACD = 36? 2. ¿Cuál es la medida de <ADB, si m<BDC =39?
  27. 27. EJEMPLO 2 Si en el ∆ACD, DB bisecta <ADC, y CE bisecta <ACD. 1. ¿Cuál es la medida de <3, si m<ACD = 36? 2. ¿Cuál es la medida de <ADB, si m<BDC =39? 36/2 = 18 39 x 2 = 78
  28. 28. TAREA Geometry Concepts and Applications Glencoe p. 31,32,33
  29. 29. Triángulo Isósceles TEOREMA: Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes.
  30. 30. Ejemplo 3: Encuentra las variables. 1. 2.
  31. 31. Ejemplo 3: Encuentra las variables. 1. 2. y = 180 -70 = 110 x = 180 -40 = 140 = 70 2 2 a = 180 = 60 3 b = 180 -52 = 128 = 64 2 2
  32. 32. Ejemplo 4: En ∆ADF, si AD = x+6 y DF =3x – 10. ¿Cuál es la medida de AD?
  33. 33. Ejemplo 4: En ∆ADF, si AD = x+6 y DF =3x – 10. ¿Cuál es la medida de AD? x+6 = 3x -10 Teo. Triángulo isósceles 6 +10 = 3x – x 16 = 2x x = 8 AD = x + 6 AD = 8 + 6 AD = 14
  34. 34. TAREA Geometry Concepts and Applications Glencoe p. 34
  35. 35. Triángulo Rectángulo
  36. 36. Actividad: MATERIALES: 1.Papel cuadriculado 2.Tijeras PROCEDIMIENTO: 1.Recorta dos cuadrado de diferentes tamaños. Algunas unidades que puedes utilizar son: 3, 4, ó 6 y 8 y sus múltiplos. 2.Une los dos cuadrados formando entre ellos un triángulo rectángulo como se demuestra a continuación:
  37. 37. Actividad:
  38. 38. Actividad: 3. Ahora, encuentra un cuadrado que pueda acomodarse en el tercer lado del triángulo formado. 4. Contesta las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es el triángulo formado por los cuadrados? b. Identifica los lados del triángulo. c. Determina la medida de los lados de los cuadrados y luego el área de cada una de ellos. d. ¿Puedes hacer alguna conclusión? 5. Veamos las conclusiones de los diferentes grupos para generalizar…
  39. 39. TEOREMA DE PITÁGORAS Establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.
  40. 40. Triángulos pitagóricos Una triángulo pitagórico consiste en una tupla de tres enteros positivos a, b, c que cumplen que a² + b² = c². ( 3 , 4 , 5 ) ( 5, 12, 13) ( 7, 24, 25) ( 8, 15, 17) ( 9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85) (16, 63, 65) (20, 21, 29) (28, 45, 53) (33, 56, 65) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (48, 55, 73) (65, 72, 97)
  41. 41. EJEMPLO 5 Halla la medida del lado que en los siguientes triángulos rectángulos. Puedes expresar el resultado en radical simple. 1. 2.
  42. 42. EJEMPLO 5 Halla la medida del lado que en los siguientes triángulos rectángulos. Puedes expresar el resultado en radical simple. 1. 2. a2 + b2 = c2 32 + 52 = c2 9+ 25 = c2 34 = c2 c = ≈ 5.8 a2 + b2 = c2 a2 + 252 = 292 a2 + 625 = 841 a2 = 841-625 a = =
  43. 43. TAREA Geometry Concepts and Applications Glencoe p. 36
  44. 44. Actividad MATERIALES: Papel cuadriculado y transportador PASO 1: Dibuja un cuadrado cuyas dimensiones sea 4 unidades. Etiqueta los vértices del cuadrado A, B, C, and D. PASO 2: Dibuja una diagonal AC. PASO 3: Utiliza el transportador para medir el <CAB y < ACB. PASO 4: Utiliza el teorema de Pitágoras para hallar AC. Expresa el resultado en la forma mas simple. (radical) PASO 5: Repite el proceso para un cuadrado de 6 unidades y de 8 unidades. PASO 6. Haz una conclusión relacionando los lados del cuadrado y su diagonal.
  45. 45.  □ ABCD cuyos lados mide ____  <CAB mide y < ACB mide ____  AC = _____ A B C Formato para los tres cuadrados, recuerda concluir al final. D Actividad 1
  46. 46. CONCLUSIÓN:  Al pasar una diagonal en los tres cuadrados, se formaron triángulo______________ cuyos ángulos miden ______, _______, ________. Puedo llegar a la conclusión que cada triángulo es un triángulo ________________ y ___________________.  El triángulo que mide _____ unidades y _____ unidades, su hipotenusa mide:________  El triángulo que mide _____ unidades y _____ unidades, su hipotenusa mide:________  El triángulo que mide _____ unidades y _____ unidades, su hipotenusa mide:________
  47. 47. CONCLUSIÓN:  Al pasar una diagonal en los tres cuadrados, se formaron triángulo______________ cuyos ángulos miden ______, _______, ________. Puedo llegar a la conclusión que cada triángulo es un triángulo ________________ y ___________________. isósceles 45∘ 45∘ 90∘ isósceles rectángulo 4 El triángulo que mide _____ unidades y _____ unidades, su hipotenusa mide:________  El triángulo que mide _____ unidades y _____ unidades, su hipotenusa mide:________  El triángulo que mide _____ unidades y _____ unidades, su hipotenusa mide:________ 4 6 6 8 8
  48. 48. Actividad 2 MATERIALES: Libreta y transportador PASO 1 Construye un triángulo equilátero cuyos lados midan 2 unidades. Etiqueta los vértices A, B, y C. PASO 2 Encuentra el punto medio del lado AB y etiqueta al punto como D. Traza el segmento CD, que es la mediana .
  49. 49. Actividad 2 PASO 3 Utiliza el transportador para medir <ACD, < A, y < CDA. PASO 4 Utilizaq la regla para medir AD. PASO 5 Copia y completa la siguiente tabla Utiliza el teorema de Pitágoras pa encontrar CD. Escribe la contestación en radical más simple.
  50. 50. Actividad 2 PASO 3 Utiliza el transportador para medir <ACD, < A, y < CDA. PASO 4 Utilizaq la regla para medir AD. PASO 5 Copia y completa la siguiente tabla Utiliza el teorema de Pitágoras pa encontrar CD. Escribe la contestación en radical más simple.
  51. 51. TRIÁNGULO 45°-45°-90° En un triángulo isósceles), la medida de la hipotenusa es la medida del cateto multiplicado por .
  52. 52. Ejemplos Halla la medida que falta, expresa el resultado en radical. 1 2
  53. 53. Ejemplos Halla la medida que falta, expresa el resultado en radical. 1 2 55
  54. 54. INTENTA Si ∆ABC es un triangulo rectángulo isósceles. Encuentra s para cada valor de h. a. 4 b. 5 c. 32
  55. 55. INTENTA Si ∆ABC es un triangulo rectángulo isósceles. Encuentra s para cada valor de h. a. 4 b. 5 c. 32
  56. 56. TRIÁNGULO EQUILÁTERO  Un triángulo equilátero tiene tres lados iguales y tres ángulos iguales.  Si la medida de los ángulos de un triángulo es 180°, entonces la medida de cada ángulo en un triángulo equilátero es de 60°.  Si se dibuja una mediana desde el vértice A al lado BC, entonces la mediana es la bisectriz del ángulo A.  La mediana es el segmento que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.  La bisectriz de un ángulo es el segmento que divide al ángulo en dos ángulos que tienen la misma medida.
  57. 57. TRIÁNGULO EQUILÁTERO La mediana de un triángulo equilátero separa a dos triángulos 30°-60°-90°
  58. 58. TRIÁNGULO 30°-60°-90° En un triángulo 30°-60°-90° (triángulo equilátero), la hipotenusa es el doble del cateto menor y el otro cateto es el cateto menor multiplicado por multiplicado por .
  59. 59. Ejemplos: Halla la medida que falta, expresa el resultado en radical. 21 2 3
  60. 60. Ejemplo Halla la medida que falta, expresa el resultado en radical. 2 1 2 3
  61. 61. Ejemplos Halla la medida que falta, expresa el resultado en radical. 1
  62. 62. Ejemplos Halla la medida que falta, expresa el resultado en radical. 1 2 55
  63. 63. INTENTA Si ∆ABC es un triangulo rectángulo isósceles. Encuentra s para cada valor de h. a. 4 b. 5 c. 32
  64. 64. INTENTA Si ∆ABC es un triángulo rectángulo isósceles. Encuentra s para cada valor de h. a. 4 b. 5 c. 32
  65. 65. Actividad de cierre En tu libreta de avalúo, en la parte de Reflexiones completa la siguiente aseveración: Describe en tus propias palabras los Triángulos 30°-60°-90° y 45°-45°-90°
  66. 66. Tarea :  Geometry workbook p. 33,34

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