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  • 1. CÍRCULO UNIDAD II FUNCIONES CIRCULARES Y TRIGONOMÉTRICAS A.PR.11.4.1 y A.PR.11.4.2 J. Pomales / enero 2010 UNITARIO CONCEPTOS BÁSICOS
  • 2. OBJETIVOS
    • A través de esta lección pretendemos:
    • Definir círculo unitario
    • Representar el círculo unitario
    • Identificar ángulos:
      • en posición estándar
      • cuadrantales
      • de referencia
      • coterminales
  • 3. CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA
  • 4. CÍRCULO
    • ALGUNAS DEFINICIONES
    • Figura plana comprendida por una sola línea, llamada circunferencia.
    • Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a la misma.
  • 5. CIRCUNFERENCIA
    • ALGUNAS DEFINICIONES
    • Es el conjunto de todos los puntos de un plano que está a una distancia fija de un centro.
    • Es el borde del círculo con medida C = 2  r .
  • 6. PARTES DEL CÍRCULO
    • CIRCUNFERENCIA
    • CENTRO
    • RADIO (r):
    • Distancia desde el centro hasta un punto en la circunferencia
    • DIÁMETERO (d):
    • Distancia que empieza en un punto de la circunferencia pasa por el centro y termina en el otro lado.
    DIÁMETRO RADIO CIRCUNFERENCIA Es el doble del radio. CENTRO
  • 7. PARTES DEL CÍRCULO
    • TANGENTE:
    • Línea que sólo toca la circunferencia
    • CUERDA:
    • Una línea que va de un punto de la circunferencia a otro.
    ARCO: Una parte de una circunferencia. Arco Cuerda
  • 8. TROZOS DE UN CÍRCULO
    • SECTOR:
    • Espacio comprendido entre dos rayos y el arco entre ellos. Tiene forma de un pedazo de pizza.
    • SEGMENTO:
    • El espacio comprendido entre una cuerda y el arco que comparte sus puntos.
    Segmento Sector
  • 9. SECTORES COMUNES DEL CÍRCULO Cuadrante Semicírculo CUADRANTE: Un cuarto de círculo. SEMICÍRCULO: Medio círculo.
  • 10. SECTORES COMUNES DEL CÍRCULO Cuadrante Semicírculo CUADRANTE: Un cuarto de círculo. SEMICÍRCULO: Medio círculo. EJERCICIO CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO www.oup.com/word/es/12025722.doc
  • 11. CÍRCULO UNITARIO
    • DEFINICIÓN
    • Círculo de radio 1 con el centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares (cartesianas).
  • 12. REPRESENTACIÓN DEL CÍRCULO UNITARIO (-1,0) (0,1) (1,0) (0,-1) u 2 + v 2 =1 (0,0) ¿Cuántos cuadrantes tiene este círculo? CUADRANTE II CUADRANTE I CUADRANTE III CUADRANTE IV (+,+) (-,+) (+,-) (-,-) ¿Cómo son sus signos? 1 1 -1 -1 1
  • 13. ÁNGULOS
  • 14. ÁNGULOS
    • DEFINICIÓN
    • La unión de dos segmentos o rayos, llamados lados, con un punto de intersección llamado vértice .
  • 15. ILUSTRACIÓN DE UN ÁNGULO
    • Es común utilizar letras griegas para nombrar los ángulos.
    • A la izquierda se muestra el ángulo  (zeta).
    • Los grados y los radianes se utilizan como unidades de medidas para los ángulos.
    VÉRTICE LADO LADO 
  • 16. ALFABETO GRIEGO
    • El alfabeto griego fue desarrollado alrededor del siglo IX, A. C. a partir del alfabeto fenicio.
    • Continúa en uso hasta nuestros días principalmente para denotar eventos en las ciencias (física y astronomía) y las matemáticas.
  • 17. MEDICIÓN EN GRADOS
    • La unidad de medida grados , fue creada por los babilonios y aún es utilizada.
    • Ellos dividieron el círculo en 360 partes iguales.
    1 o ¿Existen medias mayores de 360 o ? Explica Así que un grado (1 o ) representa 1/360 parte del ángulo circular.
  • 18. MEDICIÓN EN RADIANES
    • Es la unidad de medida de ángulos más usada en las matemáticas.
    • En un círculo se define el ángulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del círculo.
    Las medidas en radianes de un ángulo se escribe solo con un número sin unidades. 1 r En esta figura, ¿cuánto mide r?
  • 19. Compara el tamaño de 1 radian con 1 o . La medida de un radián es más grande que la medida de un grado. 1 r 1 o Grados Radián
  • 20. OBSERVA ESTA REPRESENTACIÓN En un semicírculo, ¿Cuántos radianes hay? ¿Por qué el punto (-1,0) =  ? (-1,0)  ≈ 0.14 En el círculo unitario, ¿Por qué el punto (1,0) = 2  ? ¿Qué valor podría tener  , 2  en términos de grado? (1,0) 2  Recuerda:  ≈ 3.14 esto es en términos de radianes
  • 21. TIPOS DE ÁNGULOS Ángulo agudo :                                                                          Los ángulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0º pero menor que 90º Ángulo recto :                                                                          Los ángulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90º Ángulo obtusos :                                                                          Los ángulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90º pero menor de 180º Ángulo llano o plano : Los ángulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180º http://www.primaryresources.co.uk/online/angle.swf
  • 22. LOS ÁNGULOS NOS PERMITEN:
    • Precisar la posición de objetos
    • Describir:
      • procesos dinámicos
        • rotaciones
        • patrones cíclicos
        • etc
      • trayectoria de objetos en movimiento
      • orientación entre dos o más rectas
  • 23. POSICIÓN ESTÁNDAR DE LOS ÁNGULOS
    • Un ángulo está en posición estándar si su vértice está en el origen (0,0) y su lado inicial está a lo largo del eje horizontal positivo.
    El otro lado del ángulo se llama lado terminal . lado inicial lado terminal
  • 24. MEDIDA DE LOS ÁNGULOS La medida de un ángulo será un número positivo si su lado inicial fijo está en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj. La medida de un ángulo será un número negativo si su lado inicial fijo está en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj. ÁNGULO POSITIVO ÁNGULO NEGATIVO Aquí el signo del ángulo sólo representa la dirección del mismo
  • 25. ÁNGULOS CUADRANTALES
    • Ángulos que estando en posición estándar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado.
  • 26. ÁNGULOS DE REFERENCIA
    • Un ángulo de referencia para  ,
    •  , es el ángulo agudo que forman el lado terminal de  y el eje horizontal.
    Explica por qué los ángulos cuadrantales no tienen ángulos de referencia.
  • 27. Ejemplos: Calcula ángulos de referencia de  : 1)  = 30 º 2)  = 190 º En este caso para calcular el ángulo de referencia utilizaremos la medida en grados. Por tal razón,  equivale a 180 º y 2  a 360 º Como  esta en el cuadrante I Por lo tanto, Como  esta en el cuadrante III Por lo tanto,
  • 28. ÁNGULOS COTERMINALES
    • Dos ángulos en posición estándar que tienen el mismo lado terminal.
    ¿Qué signo tiene cada uno de ellos? Lado terminal compartido Los ángulos y son coterminales
  • 29. ÁNGULOS COTERMINALES
    • En este caso el ángulo coterminal de  tiene signo diferente.
    Para un ángulo dado en posición estándar existen infinitos ángulos coterminales a él pero no necesariamente con signos diferentes. Explica. Lado terminal compartido
  • 30. ÁNGULOS COTERMINALES (Para los ángulos menores de 360 º) Encuentre ángulos coterminales con  = 30  , en posición estándar. Sacado de: http://books.google.com/books?id=CiHF4fJ_ezwC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#
  • 31. ÁNGULOS COTERMINALES (Para los ángulos mayores de 360 º) Sacado de: http://books.google.com/books?id=CiHF4fJ_ezwC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#
  • 32. RESUMEN
  • 33. PAREA LOS SIGUIENTES CONCEPTOS
    • Una parte de una circunferencia.
    • 2r
    • Distancia desde el centro hasta un punto en la circunferencia.
    • 2  r
    • Una línea que va de un punto de la circunferencia a otro.
    • Todos los puntos de la circunferencia y sus interiores.
    ___ Cuerda ___ Segmento ___ Radio ___ Arco ___ Circunferencia ___ Círculo ___ Sector ___ Diámetro
    • Dos rayos y el arco entre ellos.
    • Una cuerda y el arco que comparte sus puntos
  • 34. Coloca los elementos necesarios para representar:
    • Círculo unitario
    • Un ángulo  en posición estándar
    • Ángulo de referencia a 
    • Un ángulo β que sea coterminal al ángulo 
    Las respuestas pueden variar
  • 35. Suponga que todos estos ángulos están en posición estándar. Calcula ángulos de referencia de  :
    •  = 25 º
    •  = 130 º
    •  = 57 º
    •  = 290 º
    •  = 93 º
    •  = 270 º
    •  = 38 º
    •  = 300 º
    Recuerda:  = _____ 2  = _____
  • 36. Los siguientes ángulos están en posición estándar, encuentre 2 ángulos coterminales positivos y 2 ángulos coterminales negativos en cada caso.
    • β = 120 º
    • β = 240 º
    • β = 60 º
    • β = – 225 º
    • β = – 30 º
    • β = – 150 º
    • β = – 790 º
    • β = 1845 º
  • 37. Encuentre un ángulo con medida entre 0º y 360º que es coterminale con cada uno de los siguientes ángulos en posición estándar.
    •  = 570 º
    • β = 2500 º
    • α = 1361 º
    • ω = 850 º
  • 38. REFERENCIAS
    • ALFABETO GRIEGO . http://www.taringa.net/posts/offtopic/1434807/El-Alfabeto-Griego-[-Aprendelo-].html
    • EJERCICIO CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO www.oup.com/word/es/12025722.doc
    • MEDICIÓN DE ÁNGULOS. http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/TRIG3.htm
    • ÁNGULOS DE REFERENCIA. http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap5/trigo8.html
    • LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA. http://www.algobar.com/recursos/spip.php?article190
    • Libro - Precálculo: Matemáticas para el cálculo http://books.google.com/books?id=CiHF4fJ_ezwC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_v2_summary_r&cad=0 #
  • 39. Para otras presentaciones y temas Visite nuestro Blog CURSO: FUNCIONES Y MODELOS 11 mo Grado http://juanpomales.blogspot.com Juan A. Pomales Reyes Esc. Dr. Juan J. Maunez Pimentel Distrito Escolar de Naguabo

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