Funciones Y Sus GráFicas
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Funciones Y Sus GráFicas Presentation Transcript

  • 1.  
  • 2. Función Lineal
    • Destrezas Previas:
    • Hacer gráficas
    • Relación y función
    • Dominio y campo de valores
    Creado por: Profa. Carmen Batiz UGHS
  • 3. Haz la gráfica de x + y = 5 1. Hacer una tabla de valores con por lo menos 5 puntos. x x + y =5 y 1 1 + y = 5 4 2 2 + y = 5 3 0 0 + y = 5 5 -1 -1 + y = 5 6 -2 -2 + y = 5 7 2. Localizar estos puntos en el plano cartesiano.
  • 4. Dominio Conjunto de valores de la variable x. Campo de Valores Conjunto de valores de la variable y.
  • 5. 3. Se unen todos los puntos 4. Se identifica la función. x + y = 5 5. Dominio: Reales 6. Rango: Reales
  • 6. Haz la gráfica de y = 2x
  • 7. Haz la gráfica de y = 2x y = 2x Dominio: Reales CV: Reales
  • 8. Haz la gráfica de
  • 9. Haz la gráfica de Dominio: Reales CV: y > 0
  • 10. Haz la gráfica de
  • 11. Haz la gráfica de Dominio: x > 0 CV: y > 0
  • 12. Determina los rangos de las siguientes funciones si el dominio {-3,-2, 0 ,1,2,3} Para determinar el rango de éstas funciones, se debe sustituir cada valor del dominio.
  • 13. Determina los rangos de las siguientes funciones si el dominio {-3,-2, 0 ,1,2,3} Para determinar el rango de éstas funciones, se debe sustituir cada valor del dominio.
    • Resultados:
    • {-9,-4,0,-1,-4,-9}
    • {-1,0,2,3,4,5}
    • {-9,-6,0,3,6,9}
    • {0,0,1, , ,2}
    • {12,10,6,4,2,0}
  • 14. Práctica: Folleto de Ejercicios de práctica Parte I, II, III Algebra Glencoe p. 275 (1-31) impares Cuaderno pág. 36 (1-7) pág. 38
  • 15. Relación y Función
    • A. Identificar relaciones que son
    • funciones por:
    • G r áficas
    • Diagrama
    • Tabla
    • Pares ordenados
    • B. Evaluar una función
    Creado por: Profa. Carmen Batiz UGHS
  • 16. Def. Relación Es un conjunto de pares ordenados.
  • 17. Def. Función Es una relación en el cuál no hay dos pares ordenados que tengan la misma coordenada x.
  • 18. Ejemplo 1: Es una funci ón No hay puntos que tengan la misma coordenada x Puntos: (0,0) (1,1) (-1,1) (2,4) (-2,4)
  • 19. Ejemplo 2: No es una función. Puntos: (0,0) (4,2) (4,-2) Hay dos puntos que tienen la misma coordenada x. * *
  • 20. Ejemplo 3: x y x y
    • -2 4
    • -1 1
    • 0 0
    • 1
    • 4
    • 5
    • -7
    Función No Función
    • -5 -1
    • -4 -8
    • 3 4
    • 7 4
    • -5 3
    • 11
    • -5 0
  • 21. Ejemplo 4: Determina si el conjunto es una solución si: a. A = {-5,3),(4,3),(11,-1)} b. B = {(-5,1),(-1,-6),(-1,-5),(4,-6)} a. Es una funci ón . b. No es una funci ón porque hay dos puntos que tienen la misma coordenadas de x.
  • 22. Ejemplo 5 -3 1 0 15 Dominio Rango 2 5 6 Es Funci ón 4 3 -2 0 3 5 No es función Dominio Rango
  • 23. Evaluando una función: Si , evalúa:
  • 24. Evaluando una función: Si , evalúa : = -4(-2) + 8 = 8 + 8 = 16
  • 25. Función Par
    • Se dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que
    • f(-x)=f(x).
    • Toda gráfia par es simétrica con respecto al eje y.
  • 26. Ejemplo:
    • Indica si la función es par y gráfica.
    f (x) = x 2 + 2
  • 27. Ejemplo:
    • Indica si la función es par y gráfica.
    f (x) = x 2 + 2 f(-x) = (-x) 2 + 2 = x 2 + 2 Si la función es par, entonces f (-x) = f(x) La función es par.
  • 28. Gráfica
    • f (x) = x 2 + 2 f (-x) = f (x)
    • Esta gráfica es simétrica con el eje de y.
  • 29. Función Impar
    • Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que
    • f(-x)=-f(x).
    • Toda gráfia impar es simétrica con respecto al origen.
  • 30. Ejemplo:
    • Indica si la función es impar y gráfica.
    f (x) = x
  • 31. Ejemplo:
    • Indica si la función es impar y gráfica.
    f (x) = x f(-x) = (-x) = -x Si la función es impar, entonces f (-x) = -f(x) La función es impar.
  • 32. Gráfica
    • f (x) = x f (-x) = f (x)
    • Esta gráfica es simétrica con el eje de y.
  • 33. Práctica
    • Determina si las gráficas son pares o impares e indica el por qué.
  • 34. 1
  • 35. 3
  • 36. 4
  • 37. 2
  • 38. Contestaciones
    • Par; simétrica con el eje de y.
    • Par, simétrica con el eje de y.
    • Impar, simétrica con el origen.
    • Impar, simétrica con el origen.
  • 39. Indica sin hacer la gráfica si son función par o impar.
  • 40. Contestaciones.
    • Impar
    • Impar
    • Ninguna
    • Par
    • ninguna
  • 41. Ejercicios: Folleto de Ejercicios de Práctica Parte IV -VII Algebra y Trigonometría Barnett 172-174 p.186-187 (35-48) Algebra Glencoe p. 266-267 (1-33) impares Cuaderno p.35 p.36
  • 42. Función Lineal
    • Determinar la pendiente de una recta.
    • Hacer gráfica con la pendiente y un punto.
    • Determinar la pendiente de una recta con dos puntos.
    Creado por: Profa. Carmen Batiz UGHS
  • 43. Pendiente Definición: Razón de cambio vertical con respecto a cambio horizontal.(m) m =
  • 44. Determina la pendiente de la recta Ej. 1
  • 45. Determina la pendiente de la recta Ej. 1
  • 46. Ej. 2
  • 47. Haz una gráfica con la información dada .
    • (-5,3); m = -2
    • 3
    • 2. (4,5); m = -3
  • 48. Haz la gráfica con la información dada .
    • (-5,3); m = -2
    • 3
    • 2. (4,5); m = -3
  • 49. La pendiente con dos puntos:
    • (5,1), (7,-3)
    • (-6,7),(-4,4)
  • 50.
    • (5,1), (7,-3)
    • (-6,7),(-4,4)
  • 51.
    • (5,1), (7,-3)
    • (-6,7),(-4,4)
    • m = 4 - 7 = -3
    • -4 – (-6) 2
  • 52. Descubriendo el Intercerpto de Y
    • Descubrir :
    • Ecuación lineal en forma standard
    • Significado de intercepto en y
    • La pendiente y el intercepto de una recta dada la ecuación.
    Creado por: Profa. Carmen Batiz UGHS
  • 53.
    • y = 3x + 2
    • 2. y = 2x - 3
    • 3. y = -3x + 2
    • y = -2x + 3
    • y = -3x - 2
    A. ¿Qué semejanzas hay en estas ecuaciones?
  • 54.
    • y = 3x + 2
    • 2. y = 2x - 3
    • 3. y = -3x + 2
    • y = -2x + 3
    • y = -3x - 2
    A. ¿Qué semejanzas hay en estas ecuaciones? Todas estan escritas de la forma y = mx + b, esto es la forma estándar de una ecuación lineal.
  • 55. B. ¿Qué diferencia existe entre estás ecuaciones?
    • y = 3x + 2
    • 2. y = 2x - 3
    • 3. y = -3x + 2
    • y = -2x + 3
    • y = -3x - 2
    Para saberlo hagamo la gráfica de cada una de ellas.
  • 56. y = 3x + 2
  • 57. y = 2x - 3
  • 58. y = -3x + 2
  • 59. y = -2x + 3
  • 60. y = -3x -2
  • 61. B. ¿Qué diferencia existe entre estás ecuaciones?
    • y = 3x + 2
    • 2. y = 2x - 3
    • 3. y = -3x + 2
    • y = -2x + 3
    • y = -3x - 2
    Pendiente e interceptos son diferentes.
  • 62. B. ¿Qué diferencia existe entre estás ecuaciones?
    • y = 3x + 2
    • 2. y = 2x - 3
    • 3. y = -3x + 2
    • y = -2x + 3
    • y = -3x - 2
    Llenemos la siguiente tabla para conocer un poco más sobre las diferencias. pendiente Corte en el eje de y Inclinación positiva/negativa
  • 63. B. ¿Qué diferencia existe entre estás ecuaciones?
    • y = 3x + 2
    • 2. y = 2x - 3
    • 3. y = -3x + 2
    • y = -2x + 3
    • y = -3x - 2
    Llenemos la siguiente tabla para conocer un poco más sobre las diferencias. pendiente Corte en el eje de y Inclinación positiva/negativa 3 (0,2) Positiva 2 (0,-3) Positiva -3 (0,2) Negativa -2 (0,-3) Negativa -3 (0,-2) Negativa
  • 64. Intercepto de y Cuando la ecuación se escribe de la forma y = mx + b m = pendiente y b = intercepto en y. ¿Qué es intercepto en y? Es por donde pasa la recta en el eje de y. Le das valor a la x de 0.
  • 65. Ejercicio:
    • Determina la pendiente y el eje de y para cada ecuación.
    • y = -5x –3
    • y = 2x + 1/5
    • y = -1/2 x
    • y = 3x
    • 3x – 5y = 2
    • 3y = -2x – 1
  • 66. Ejercicio:
    • Determina la pendiente y el eje de y para cada ecuación.
    • y = -5x –3
    • y = 2x + 1/5
    • y = -1/2 x
    • y = 3x
    • 3x – 5y = 2
    • 3y = -2x – 1
    • m = -5 b = (0,-3)
    • m = 2 b = (0,1/5)
    • m = -1/2 b = (0,0)
    • m = 3 b = (0,0)
    • m = -3/5 b = (0,-2/5)
    • m = -2/3 b = (0,-1/3)
  • 67. E. ¿Cuál sería el intercepto en x? ¿Se podría obtener de la ecuación standard? El intercepto en x, es cuando se le da el valor de y = 0, ó cuando la recta pasa por el el eje de x. No, no se puede obtener directamente de la ecuación standard.
  • 68. ¿Cómo se obtendría el intercepto en x? El intercepto en x se define como el punto donde una recta pasa por el eje de x. Se obtiene cuando le damos valor de y = 0. Ejemplo: Halla el intercepto de x de la recta que pasa por y = 3x + 2. El intercepto en x, NO se puede obtener a simple vista, la forma más fácil de obtener es escribiendo la ecuación en forma standard y le da valor y = 0 . y – 3x = 2 Si y = 0, obtnemos que x = -2/3
  • 69. Halla los interceptos de x + 2y = 2. Si x = 0, obtenemos el intercepto en y. 0 + 2y = 2 y = 1 (0,1) Si y = 0 , obtnemos el intercepto en x. x + 2(0) = 2 x = 2 (2,0)
  • 70. Trabajo: Folleto de trabajo Parte VIII- XIII Algebra Glencoe p. .329 (1-35) impares Pag. 37 , 41
  • 71. Laboratorio para descubrir la pendiente e interceptos de rectas horizontales o verticales.   Rectas Horizontales y Verticales Creado por: Profa. Carmen Batiz UGHS
  • 72.   A. Utilizando la calculadora gráfica traza la gráfica de las siguientes ecuaciones y observa la tabla de valores de cada una de ellas.   1.      y = 4 2.      y = -4 3.      y = 2 4.      y = -2 5.      y = -1/2
  • 73.   A. Utilizando la calculadora gráfica traza la gráfica de las siguientes ecuaciones y observa la tabla de valores de cada una de ellas.   1.      y = 4 2.      y = -4 3.      y = 2 4.      y = -2 5.      y = -1/2
    • (2,4) ,(0,4),(3,4), (-4,4)…
    • (2,-4), (2,-4), (1,-4)…
    • (0,2),(2,2),(-1,2)…
  • 74.   B.    Utilizando un papel cuadriculado y traza la gráfica de las siguientes ecuaciones observa la tabla de valores de cada una de ellas.   1.      x = 4 2.      x = -4 3.      x = 2 4.      x = -2 5.      x = -1/2  
  • 75.   B.    Utilizando un papel cuadriculado y traza la gráfica de las siguientes ecuaciones observa la tabla de valores de cada una de ellas.   1.      x = 4 2.      x = -4 3.      x = 2 4.      x = -2 5.      x = -1/2  
    • (4,-1), (4,2), (4,0)…
    • (-4,0),(-4,2), (-4,-1)…
    • (2,4),(2,-1),(2,0)…
  • 76.   A    C. Compara las gráficas de la parte A y la parte B. Qué puedes concluir?
  • 77.   A    C. Compara las gráficas de la parte A y la parte B. Qué puedes concluir? Las gráficas de la parte A son gráficas horizontales y las de la parte B son gráficas verticales.
  • 78.
    • Como podrías escribir estas ecuaciones de la forma
    • estándar?
    Parte A: 1. y = 0x + 4 2.    y = 0x - 4 3. y = 0x + 2 4. y = 0x – 2 5. y = 0x - 1/2
  • 79.
    • Como podrías escribir estas ecuaciones de la forma
    • estándar?
    Parte A: 1. y = 0x + 4 2.    y = 0x - 4 3. y = 0x + 2 4. y = 0x – 2 5. y = 0x - 1/2    Parte B 1.   Las gráficas verticales no tienen pendiente y no se podría escribir como forma estándard. Cuando se expresa x = 2 2 es el intercepto en x. (2,0)
  • 80.   E. Encuentra la pendiente y los interceptos de cada una de ellas.   1.      x = 4 2.      x = -4 3.      x = 2 4.      x = -2 5.      x = -1/2
  • 81.   E. Encuentra la pendiente y los interceptos de cada una de ellas.   Parte A 1. m = 0 (0,4) 2. m = 0 (0,-4) 3. m = 0 (0,2) 4. m = 0 (0,-2) 5. m = 0 ( 0,-1/2) Parte B Las gráficas verticales no tienen pendiente ni intercepto de y.
  • 82. Ejercicios
    • Encuentra la pendiente y el intercepto en y de cada una de las siguientes ecuaciones lineales.Determina si es ascendente, descendente, horizontal o vertical.
    • y = 5x – 3
    • y = 4
    • x = 5
    • y = 2x
  • 83. Ejercicios
    • Encuentra la pendiente y el intercepto en y de cada una de las siguientes ecuaciones lineales.Determina si es ascendente, descendente, horizontal o vertical.
    • y = 5x – 3
    • y = 4
    • x = 5
    • y = -2x
    • m = 5 ; (0,-3) ascendente
    • m = 0 (0,4) horizontal
    • m= indefinida , no tiene, vertical
    • m = -2, (0,0); descendente
  • 84. Rectas Paralelas
    • Grafica
    • y = 5x
    • y = 5x – 3
    • y = 5x + 2
    ¿Son éstas gráficas paralelas? ¿Qué tienen en común?
  • 85. Rectas Paralelas
    • y = 5x
    • y = 5x – 3
    • y = 5x + 2
    Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.
  • 86. Rectas Perpendiculares
    • Grafica:
    • y = 5x
    • y =
    ¿Son éstas gráficas perpendiculares? Observa la pendiente en la ecuación. ¿Qué puedes concluir?
  • 87. Hallando la ecuación de una recta.
    • Ejemplo 1:
    • Halla la ecuación de una recta que es paralela a y = 5x – 3 y pasa por (0,4)
  • 88. Hallando la ecuación de una recta.
    • Ejemplo 1:
    • Halla la ecuación de una recta que es paralela a y = 5x – 3 y pasa por (0,4)
    La pendiente de la recta paralela es 5. Si la ecuación de la recta es y = mx + b, donde m es la pendiente y b el intercepto, entonces obtendrémos: y = 5x + 4
  • 89. Hallando la ecuación de una recta.
    • Ejemplo 2:
    • Halla la ecuación de una recta que es perpendicular a y = 3x – 2 y pasa por (2,4)
  • 90. Hallando la ecuación de una recta.
    • Ejemplo 2:
    • Halla la ecuación de una recta que es perpendicular a y = 3x – 2 y pasa por (2,4)
    Si la pendiente de la recta es perpendicular a 3, entonces la recta tendrá una pendiente opuesta y recíproca a ésta. Por lo tanto, lo opuesto y recíproco a 3 es: -1/3. Si tenemos la pendiente un punto (x.,y) obtendrémos entonces el intercepto sustituyendo en y = mx + b
  • 91. Hallando la ecuación de una recta.
    • Ejemplo 2:
    • Halla la ecuación de una recta que es perpendicular a y = 3x – 2 y pasa por (2,4)
    y = mx + b Entonces la ecuación de la recta perpendicular a y = 3x – 2 es:
  • 92. Ejercicios
    • Folleto de trabajo Parte XIIIy XIV
  • 93. Variación Directa
    • Se describe mediante la ecuación de la forma:
    • y = kx donde k ≠ 0
    • K es la constante de variación y se dice que y varía proporcionalmente con x.
  • 94. El número de galones de agua que uno usa depende directamente del tiempo que uno se demora en ducharse. 90 15 72 12 54 9 36 6 18 3 y(galones) x(min)
  • 95. La ecuación para esta variación directa sería:
    • y = 6x
    La constante de variación es K. Por lo tanto en este caso es 6.
  • 96. ¿La ecuación y = 2x expresa una variación directa?
  • 97. ¿La ecuación y = 2x expresa una variación directa?
    • Si, porque lo podemos expresar como:
  • 98.  
  • 99.  
  • 100.  
  • 101. La constante de proporcionalidad es -6.
  • 102.  
  • 103.  
  • 104. y = 28
  • 105. Variación Inversa
    • Se describe con una ecuación de la forma :
    • donde k ≠ 0
    • K es la contante de variación y se dice que y es inversamente proporcional a x.
  • 106. Ejemplo: Escribe una ecuación que describa la relación entre y y x. 128 ½ 32 2 8 8 4 16 2 32 ½ 128 ¼ 256 -2 -32 -16 -4 x y
  • 107. Ejemplo: Escribe una ecuación que describa la relación entre y y x. La ecuación sería xy = 64 128 ½ 32 2 8 8 4 16 2 32 ½ 128 ¼ 256 -2 -32 -16 -4 x y
  • 108.  
  • 109.  
  • 110.  
  • 111.  
  • 112.  
  • 113.  
  • 114.  
  • 115.  
  • 116.  
  • 117.  
  • 118. Variación Combinadas
  • 119.  
  • 120.  
  • 121.  
  • 122.  
  • 123.  
  • 124.  
  • 125.  
  • 126. Práctica
    • Folleto de trabajo Parte XVI y XVII
    • Algebra Glencoe p 243
  • 127. Referencias:
    • Las Funciones
    http://www.google.com.pr/search?hl=es&q=las+funciones+sonya&meta=