Funciones Exponenciales Y LogaríTmicas

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Funciones Exponenciales Y LogaríTmicas

  1. 1. Funciones Exponenciales y logarítmicas Funciones exponenciales Definición: f(x) = abx b > 0 , b ≠ 1, a ≠ 0 donde a y b son constante, b llamada base, a coeficiente y x puede asumir cualquier valor real. A. Gráfica y = (1/2)x = 2-x y = 2x y = bx y = bx 0 <b<1 b>1 D = {-∞,∞) CV = (0, ∞) B. Dominio y Campo de valores Dominio de f es el conjunto de todos los números reales positivos y el campo de valore también será el conjunto de todos los números reales positivos. Se requiere que b sea positiva para evitar números imaginarios (-2)1/2 C. Propiedades básicas de f(x) = bx b > 0 , b ≠ 1 1. Todas las gráficas que pasan por el punto (0,1). b0 = 1 2. Todas las gráficas son continuas, sin huecos ni saltos. 3. El eje x es una asíntota horizontal. 4. Si b > 1, entonces bx aumenta conforme aumenta x. 5. Si 0 < b< 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x. 6. La función de f es uno a uno. D. Otras propiedades Para a y b positivos, a ≠ 1 , b ≠ 1 y x y y reales: Leyes de exponentes 1. ax ∙ ay = ax + y 2. (ax)y = axy 3. (ab)x = axbx Preparado por Profa. Carmen Batiz UGHS 1
  2. 2. x a ax ax 4.   = x 5. x = a x − y b b a x y 6. a = a si y sólo si x = y 7. Para x ≠ 0 , entonces ax = bx si y sólo sí a = b Ejemplo: 4x-3 = 8 (22)x – 3 = 23 se expresa el 4 y el 8 como potencia de 2 22x – 6 = 23 (ax)y = axy 2x – 6 = 3 Propiedad 2 2x = 9 x=4½ E. Aplicación P = población en el tiempo t P0 = población en el tiempo t = 0 1. Crecimiento demográfico d = tiempo de duplicación La bacteria Escherichia coli ( E. coli) se Cuando t = d P = P02t/d = P02 encuentra naturalmente en los intestinos de muchos mamíferos. En un experimento de laboratorio, se encuentra que el tiempo de duplicación para la E. coli es de 25 minutos. Si el experimento comienza con una población de 1000 E. coli y no hay ningún cambio en el tiempo de duplicación, ¿cuántas bacterias estarán presentes: a. en 10 minutos ? b. en 5 horas? = 300 minutos P0 = 1,000 minutos d = 25 minutos a. P = (1,000) (210/25) = 1,320 E. colí b. P = (1,000) (2300/25) = 4,096,000 = 4.1 x 106 E. colí 1. Decaimiento radiactivo A = cantidad al tiempo t 198 El oro radiactivo 198( Au) que se usa en A0 = cantidad al tiempo t = 0 las radiografías del hígado tiene una vida h = vida media media de 2.67 días. Si se empieza con 50 miligramos del isótopo, ¿Cuántos A = A02-t/h miligramos quedarán después de: a. ½ día? b. una semana? A0 = 50 mg h = 2.67 días a. A = 50(2-.5/2.67) = 50 = 43.9 mg 2.5/2.67 -7/2.67 b. A = 50(2 ) = 50 = 8.12 mg 2 7/2.67 2. Interés compuesto A = cuenta al final del año t años P = capital Si se invierten $1,000 en una cuenta que r = interés compuesto paga el 10% de interés compuesto n = cantidad al año mensualmente, ¿cuánto habrá en la cuenta después de 10 años? Redondea a la r centésima más cercana. A = P (1 + ) nt n Preparado por Profa. Carmen Batiz UGHS 2
  3. 3. P = $1,000 r = .10 n = 12 t = 10 años .10 (12)(10) A = 1,000(1 + ) = $2,707.04 12 Ejercicios 4.1 Preparado por Profa. Carmen Batiz UGHS 3
  4. 4. Funciones Exponenciales de base e A. Definición f(x) = ex x es un número real B. Gráfica y = 4 – ex/2 y = ex y = e-x y = 4 asíntota horizontal x → ∞ ex/2 → 0 y 4 y → 4 C. Aplicación N= número de bacterias presentes después de t horas 1. Medicina -Crecimiento bacteriano N0 = número de bacterias presentes El cólera es una enfermedad intestinal cuando t = 0 causada por la bacteria del cólera que se t = tiempo de duplicación multiplica exponencialmente por la división de células modelada por la N = N0e1.386t fórmula presentada. Si se empieza con una bacteria, ¿cuántas bacterias habrá en a. 5 horas? b. 12 horas? Calcule sus respuestas con tres dígitos significativos. N0 = 1 t = 5 horas a. N = 1 e(1.386) (5) = e(1..386) (5) = 1,020 t = 12 horas b. N = 1 e(1.386) (12) = e(1.386) (12) = 16,700,000 . 2. Cálculo de fechas conel carbono 14 A = cantidad al carbono 14 presente El bombardeo de rayos-cósmicos de la en t años atmósfera produce neutrones, los que al A0 = cantidad al tiempo t = 0 regresar reaccionan con el nitrógeno y t = tiempo producen carbono 14 radiactivo. El carbono 14 radiactivo penetra en los tejidos de todos A = A0e-0.000124t los seres vivos a través del dióxido de carbono, el cual es absorbido primero por las plantas. Mientras que la planta o el animal esté vivo, el nivel de carbono 14 en el organismo se mantiene constante, Una vez que el organismo muere, el carbono 14 disminuye de acuerdo con la ecuación. Si 1000 mg de carbono 14 están presentes en un inicio, ¿cuántos miligramos estarán presentes en: a. 10,000 años b. 50,000 años? 4
  5. 5. A0 = 1,000 mg a. A = 1000e-0.000124(10,000) = 289 mg b. A = 1000e-0.000124(50,000) = 2.03 mg A = cuenta al final del año t años 3. Interés compuesto continuo P = capital invertido a una tasa anual r r = tasa anual Si se invierten $100 a una tasa anual del t = cantidad al año 8% de interés compuesto continuamente, ¿qué cantidad, aproximada al centésimo A = Pe rt más cercano, estará en la cuenta después de 2 años? P = $100 r = .08 t = 2 años = $117.35 A = 100e (.08)( 2 ) D. Crecimiento y decaimiento exponencial Crecimiento sin límite y = cekt c, k > 0 Decaimiento exponencial y = ce-kt c, k > 0 y y c t c c t c y c t c Crecimiento de la población a corto plazo Decaimiento radiactivo, absorción de luz (personas, bacterias, etcétera; crecimiento de en agua, vidrio, etcétera; presión dinero a un interés compuesto continuo. atmosférica. M Crecimiento limitado y = c(1- e-kt ) c, k > 0 Crecimiento logístico y = c, k , M > 0 1 + ce − kt y y c M t c t c Habilidades de aprendizaje, últimas Crecimiento de la población a largo plazo; ventas; crecimiento de la compañía; epidemias, ventas de nuevos productos; circuitos eléctricos. crecimiento de una compañía. Ejercicios p. 301-302 Ejercicios p. 292-293 Tomado del libro Pre-Cálculo 5 Funciones y sus Gráficas – Barnett-Ziegler-Byleen
  6. 6. Funciones logarítmicas A. Definición forma logarítmica forma exponencial y = log b x equivalente x = by si b > 0 y b ≠ 1 y = log 10 x x = 10y y = loge x x = ex y = 2x y=x B. Gráfica x= 2y = f-1 D (f) = (-∞,∞) = CV de f-1 CV de f = (0, ∞) = D de f-1 C. Conversiones logarítmicas a exponenciales Ejemplos : a. log 2 8 = 3 b. log 25 5 = ½ c. log 2 ¼ = -2 8 = 23 5 = 251/2 ¼ = 2-2 Ejemplos : a. 49 = 72 b. 3 = 9 c. 1/5 = 5-1 log 7 49 = 2 log 9 3 = ½ log 5 (1/5)= -1 D. Resolviendo ecuaciones con logarítmos Ejemplos: Encuentra y : y = log 9 27 27 = 9y cambiando a forma exponencial 33 =32y escribir cada número con la misma base 3 = 2y propiedad de exponentes 3/2 = y E. Propiedades de las funciones logarítmicas Si b, M y N son números reales positivos, b ≠1, y p y x son números reales, entonces: 1. log b 1 = 0 5. log b MN = log b M + log b N 2. log b b = 1 M 6. log b = log b M − log b N 3. log b bx = x N 4. blogb x = x , x > 0 7. log b Mp = p log b M 8. log b M = log b N si y sólo si M = N 6
  7. 7. Ejemplos: a. log 10 10-5 = -5 propiedad # 3 b. log 5 25 = log 5 52 = 2 propiedad #3 c. log 10 1 =0 propiedad #1 m+n d. log e e = m+n propiedad #3 e. 10 log104 = 4 propiedad #4 f. eloge(x4 + 1) = x4 + 1 propiedad #4 r g. log b = logb r - (logb u + logbv) = logb r - logb u - logbv Prop uv 5y6 3/ 5 m h. log b   = (3/5) (logb m - logb n) Prop 6 y 7 n u1/ 3 i. log b 5 = (1/3) logb u - 5 logb v Prop 6 y 7 v 510 j. log e 5 = 1.609 y log e 8 = 2.079, encuentre log e 8 510 log e = 10 loge 5 - loge 8 = 10(1.609) – 2.079 = 14.01 8 8 k. log e 5 = 1.609 y log e 8 = 2.079, encuentre log e 4 5 8 (si ¼ = .25 ) log e 4 = .25 (loge 8 - loge 5) = .25 (2.079 - 1.609) 5 = 0.1175 l. Encuentre x, tal que log b x = 2/3 log b 8 + ½ log b 9 – log b 6 sin usar calculadora o tabla. log b x = 2/3 log b 8 + ½ log b 9 – log b 6 = log b 8 2/3 + log b 91/2 – log b 6 = log b 4 + log b 3 – log b 6 (4 ⋅ 3) 82 / 3 = 3 82 = 3 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 4 = log b 6 91/ 2 = 9 = 3 log b x = log b 2 x=2 Errores comunes : log b M 1. ≠ log b M − log b N log b N Ejercicios p. 312-313 2. log b ( M + N ) ≠ log b M + log b N 7
  8. 8. Logaritmos communes y naturales A. Definición log x = log10 x logaritmo común ln x = loge x logaritmo natural B. Uso de la calculadora para hallar logaritmos Ejemplos: Utiliza la calculadora para evaluar cada una con seis cifras decimales. a. log 3184 Utilizando la techa 10x entra 3184 = 3.502973 b. ln 0.000349 Utilizando la techa ex entra 0.000349 = -7.960439 c. log(-3.24) = error ln 3 d. = 14.27549 ln 1.08 3 e. ln = 1.02165 1.08 f. ln 3 – ln 1.08 = 1.02165 C. Relaciones logarítmicas y exponenciales Log x = y es equivalente a x = 10x Ln x = y es equivalente a x = ex Ejemplos: Encuentre x con tres dígitos significativos, dados los logaritmos indicados. a. log x = -9.315 x = 10-9.315 x = 4.84 x 10-10 b. ln x = 2.386 x = e2.386 x = 10.9 8
  9. 9. D = nivel de decibeles del sonido I = intensidad del sonido Io = 10-12 w/m2 (estandarizado) D. Aplicaciones D = 10 log I 1. Intensidad del sonido I0 Encuentra el número de decibeles de un cuchicheo con intensidad de sonido de 5.20 x 10-10 watt por metro cuadrado. Calcule la respuesta hasta dos cifras decimales. D = 10 log I D = 10 log 5.20 x 10-10 I0 10-12 = 10 log (5.20 x 102) = 10 (log 5.20 + log 102) = 10 (0.716 +2) = 27.16 decibeles 2. Intensidad de un terremoto M = magnitud en la escala Richter El terremoto de 1985 en Chile liberó E = energía liberada por el terremoto aproximadamente 1.26 x 1016 joules de Eo = 104.40 joules (estandarizado) energía. ¿cuál fue su magnitud en la escala de Richter? Calcule la respuesta con dos cifras 2 E M = log decimales? 3 E0 2 E 2 1.26 x1016 M = log M = log 3 E0 3 10 4.40 2 M = log1.26 x1011.60 3 2 M = (log1.26 + log 10 ) 11.60 3 2 M = (0.100 + 11.60) = 7.80 3 3. Teoría de vuelo de un cohete v = velocidad de un cohete al apagarse cuando se agota el combustible En una etapa típica, el combustible sólido de un c = velocidad de escape de motor del cohete cohete puede tener una razón de peso W1/Wb = W1 = peso de partida (combustible, estructura y 18.7 y una velocidad de escape c = 2.38 km/s. carga útil) ¿Alcanzaría este cohete una velocidad de Wb = peso consumido (estructura y carga útil) lanzamiento de 9.0 km/s W1 v = c ln W1 Wb v = c ln v = 2.38 ln 18.7 Wb v = 6.97 km/s No alcanzará llegar a la órbita por ser menor a 9.0 km/s Ejercicios de Práctica Tomado del libro: Pre- Cálculo Ejercicios p. 321- 322 Funciones y Gráficas Barnett – Ziegler-Byleen 9
  10. 10. Funciones Exponenciales y Logarítmicas Libro: Pre-Cálculo Funciones y sus Gráficas Barnett, Ziegler y Byleen 10
  11. 11. 11

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