Funciones Exponenciales

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Funciones Exponenciales

  1. 1. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Profa. Carmen Batiz UGHS
  2. 2. FUNCIONES EXPONENCIALES La forma standard es: y = ab x , donde a es la constante , a ≠ 0, b es la base , b >0 b ≠ -1 y x es el exponente, x = Reales.
  3. 3. GRÁFICA Y COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Si a > 0 y b > 1 y = 2 x y = 4 x y = 7 x La función crece
  4. 4. GRÁFICA Y COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Si a > 0 y 0 < b < 1 y = 1/2 x y = 1/4 x y = 1/7 x La función decrece
  5. 5. DOMINIO Y CAMPO DE VALORES <ul><li>Dominio de una función exponencial es el conjunto de todos los números reales positivos y el campo de valore también será el conjunto de todos los números reales positivos. Se requiere que b sea positiva para evitar números imaginarios (-2)1/2 </li></ul>
  6. 6. PROPIEDADES BÁSICAS DE f(x) = b X b > 0 , b ≠ 1 <ul><ul><ul><ul><li>Todas las gráficas que pasan por el punto (0,1). b 0 = 1 </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Todas las gráficas son continuas, sin huecos ni saltos. </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>El eje x es una asíntota horizontal. </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Si b > 1, entonces b x aumenta conforme aumenta x. </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Si 0 < b< 1, entonces b x disminuye conforme aumenta x. </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>La función de f es uno a uno. </li></ul></ul></ul></ul>
  7. 7. OTRAS PROPIEDADES Para a y b positivos, a ≠ 1 , b ≠ 1 y x y y reales: Leyes de exponentes 1. a x ∙ a y = a x + y 2. (a x ) y = a xy 3. (ab) x = a x b x 4. 5. 6. a x = a y si y sólo si x = y 7. Para x ≠ 0 , entonces a x = b x si y sólo sí a = b
  8. 8. EJEMPLO <ul><li>4 x-3 = 8 </li></ul><ul><li>2 2(x-3) = 2 3 se expresa el 4 y el 8 como potencia de 2 </li></ul><ul><li>2(x – 3) = 2 3 Propiedad 6 </li></ul><ul><li>2x – 6 = 3 eliminación de paréntesis y exponentes </li></ul><ul><li>2x = 9 P. suma de igualdad </li></ul><ul><li>x = 4 ½ P. multiplicación de la igualdad </li></ul>
  9. 9. Aplicación – Crecimiento demográfico <ul><li>La bacteria Escherichia coli ( E. coli) se encuentra naturalmente en los intestinos de muchos mamíferos. En un experimento de laboratorio, se encuentra que el tiempo de duplicación para la E. coli es de 25 minutos. Si el experimento comienza con una población de 1000 E. coli y no hay ningún cambio en el tiempo de duplicación, ¿cuántas bacterias estarán presentes: </li></ul><ul><li>a. en 10 minutos ? b. en 5 horas? = 300 minutos </li></ul>
  10. 10. <ul><li>P = población en el tiempo t </li></ul><ul><li>P 0 = población en el tiempo t = 0 </li></ul><ul><li>d = tiempo de duplicación </li></ul><ul><li>P = P 0 2 t/d </li></ul><ul><li>Si t = d </li></ul><ul><li>P = P 0 2 </li></ul>
  11. 11. P 0 = 1,000 d = 25 minutos <ul><li>a. P = (1,000) (210/25) = 1,320 E. colí </li></ul><ul><li>b. P = (1,000) (2300/25) = 4,096,000 </li></ul><ul><li> = 4.1 x 106 E. colí </li></ul>
  12. 12. Decaimiento radiactivo <ul><li>El oro radiactivo 198(198Au) que se usa en las radiografías del hígado tiene una vida media de 2.67 días. Si se empieza con 50 miligramos del isótopo, ¿Cuántos miligramos quedarán después de: </li></ul><ul><li>a. ½ día? b. una semana? </li></ul>
  13. 13. Decaimiento radiactivo <ul><li>A = cantidad al tiempo t </li></ul><ul><li>A 0 = cantidad al tiempo t = 0 </li></ul><ul><li>h = vida media </li></ul><ul><li>A = A 0 2 -t/h </li></ul><ul><li>Cuando t = h </li></ul><ul><li>A = A 0 2 </li></ul>
  14. 14. Decaimiento radiactivo <ul><li>A 0 = 50 mg h = 2.67 días </li></ul><ul><li> </li></ul><ul><li>a. A = 50(2 -.5/2.67 ) = 50 = 43.9 mg </li></ul><ul><li> 2 .5/2.67 </li></ul><ul><li>b. A = 50(2 -7/2.67 ) = 50 = 8.12 mg </li></ul><ul><li> 2 7/2.6 7 </li></ul>
  15. 15. Interés compuesto <ul><li>Si se invierten $1,000 en una cuenta que paga el 10% de interés compuesto mensualmente, ¿cuánto habrá en la cuenta después de 10 años? Redondea a la centésima más cercana. </li></ul>
  16. 16. Interés compuesto <ul><li>A = cuenta al final del año t años </li></ul><ul><li>P = capital </li></ul><ul><li>r = interés compuesto </li></ul><ul><li>n = cantidad al año </li></ul>
  17. 17. Interés compuesto <ul><li>P = $1,000 r = .10 n = 12 t = 10 años </li></ul><ul><li> = $2,707.04 </li></ul>
  18. 18. Ejercicios <ul><li>Sección 4.1 </li></ul><ul><li>Pre-Cálculo Funciones y Gráficas-Barnett </li></ul>
  19. 19. FUNCIONES LOGARÍTMICAS La forma standard es: log b y = x, si y = b x Y se lee: log de b y como “log base b de y”
  20. 20. EJEMPLO: 25 = 5 2 y = b x función exponencial x = log b y función logarítmica 2 = log 5 25 función logarítmica
  21. 21. ESCRIBE EN FORMA LOGARÍTMICA. <ul><li>½ 3 = 1/8 </li></ul><ul><li>3 2 = 9 </li></ul>
  22. 22. ESCRIBE EN FORMA LOGARÍTMICA. <ul><li>½ 3 = 1/8 </li></ul><ul><li>3 2 = 9 </li></ul>Log ½ 1/8 = 3 Log 3 9 = 2
  23. 23. ESCRIBE EN FORMA EXPONENCIAL <ul><li>log 2 64 = 6 </li></ul><ul><li>log 6 1296 = 4 </li></ul>
  24. 24. ESCRIBE EN FORMA EXPONENCIAL <ul><li>log 2 64 = 6 </li></ul><ul><li>log 6 1296 = 4 </li></ul>2 6 = 64 6 4 = 1296
  25. 25. Práctica <ul><li>Cambia a forma exponencial. </li></ul><ul><li>1. log 3 27=3 </li></ul><ul><li>2. log 36 6 = ½ </li></ul><ul><li>log 3 (1/9) = -2 </li></ul><ul><li>Cambia a forma logarítmica. </li></ul><ul><li>1. 64 = 4 3 </li></ul><ul><li>2. 2 = </li></ul><ul><li>3. </li></ul>
  26. 26. Práctica <ul><li>Cambia a forma exponencial. </li></ul><ul><li>1. log 3 27=3 </li></ul><ul><li>2. log 36 6 = ½ </li></ul><ul><li>log 3 (1/9) = -2 </li></ul><ul><li>Cambia a forma logarítmica. </li></ul><ul><li>1. 64 = 4 3 </li></ul><ul><li>2. 2 = </li></ul><ul><li>3. </li></ul><ul><li>3 3 =27 </li></ul><ul><li>3 -2 = 1/9 </li></ul><ul><li>Log 4 64 = 3 </li></ul><ul><li>log 8 2 = 1/3 </li></ul><ul><li>Log 4 1/16 = -2 </li></ul>
  27. 27. EVALÚA LOG 8 16 Sea x = log 8 16 entonces: 8 x = 16 (2 3 ) x = 2 4 2 3x = 2 4 3x = 4 3 3 3x = 4 x = 4 3 Por lo tanto log 8 16 =4/3
  28. 28. EVALÚA LOG 5 125
  29. 29. EVALÚA LOG 5 125 Sea x = log 5 125 entonces: 5 x = 125 5 x = 5 3 x = 3 Por lo tanto log 5 125 =3
  30. 31. PARA TODO NÚMERO POSITIVO ; SE ESTABLECE QUE: 1. log b MN = log b M + log b N Propiedad de productos 2. log b M = log b M - log b N N Propiedad de cocientes
  31. 32. CONTINUACIÓN... 3. log b M k = k log b M Propiedad de potencia
  32. 33. Prueba que log 3 27 = 3
  33. 34. Prueba que log 3 27 = 3 log 3 27 = 3 log 3 27 = log 3 (3)(9) = log 3 3 + log 3 9 log 3 3 = x por lo tanto 3 x = 3 x = 1 log 3 9 = y por lo tanto 3 y = 9 3 y = 3 2 y = 2 1 + 2 = 3
  34. 35. Escribe en forma logarítmica más simple. <ul><li>log b r </li></ul><ul><li>uv </li></ul><ul><li>2. log b </li></ul><ul><li>3. log b </li></ul>
  35. 36. Escribe en forma logarítmica más simple. <ul><li>log b r </li></ul><ul><li>uv </li></ul><ul><li>2. log b </li></ul><ul><li>3. log b </li></ul><ul><li>log b r – (log b u + log b v) </li></ul><ul><li>3/5 ( log b m – log b n) </li></ul><ul><li>1/3 log b u – 5log b v </li></ul>
  36. 37. EJEMPLOS: Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo. <ul><li>log 3 20 – log 3 4 </li></ul><ul><li>3log 2 x + log 2 y </li></ul><ul><li>3. log 8 – 2 log 2+ log 3 </li></ul>
  37. 38. EJEMPLOS: Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo. <ul><li>log 3 20 – log 3 4 </li></ul>log 3 20 4 log 3 5
  38. 39. EJEMPLOS: Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo. <ul><li>3log 2 x + log 2 y </li></ul>log 2 x 3 y
  39. 40. EJEMPLOS: Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo. 3. log 8 – 2 log 2+ log 3 log ( 8 ) 3 2 2 log 6
  40. 41. EXPANDE CADA LOGARÍTMO <ul><li>log 5 x </li></ul><ul><li>y </li></ul><ul><li>log 3r 4 </li></ul>
  41. 42. EXPANDE CADA LOGARÍTMO <ul><li>log 5 x </li></ul><ul><li>y </li></ul><ul><li>log 3r 4 </li></ul>log 5 x – log 5 y log 3 + 4log r
  42. 43. EJERCICIOS Sección 4.3 Pre-Cálculo Funciones y Gráficas-Barnett
  43. 44. Funciones exponenciales con base e
  44. 45. Definición: <ul><li>f(x) = e x x es un número real </li></ul>
  45. 46. Gráfica: y = e x y = e -x
  46. 47. Aplicación <ul><li>1. Medicina -Crecimiento bacteriano </li></ul><ul><li>El cólera es una enfermedad intestinal causada por la bacteria del cólera que se multiplica exponencialmente por la división de células modelada por la fórmula presentada. Si se empieza con una bacteria , ¿cuántas bacterias habrá en a. 5 horas? b. 12 horas? </li></ul><ul><li>Calcule sus respuestas con tres dígitos significativos. </li></ul>
  47. 48. <ul><li>N= número de bacterias presentes después de t horas </li></ul><ul><li>N 0 = número de bacterias presentes cuando t = 0 </li></ul><ul><li>t = tiempo de duplicación </li></ul><ul><li>N = N 0 e 1.386t </li></ul>
  48. 49. Aplicación <ul><li>1. Medicina -Crecimiento bacteriano </li></ul><ul><li>El cólera es una enfermedad intestinal causada por la bacteria del cólera que se multiplica exponencialmente por la división de células modelada por la fórmula presentada. Si se empieza con una bacteria , ¿cuántas bacterias habrá en a. 5 horas? b. 12 horas? </li></ul><ul><li>Calcule sus respuestas con tres dígitos significativos. </li></ul><ul><li> N 0 = 1 t = 5 horas a. N = 1 e (1.386) (5) = 1,020 </li></ul><ul><li>t = 12 horas b. N = 1 e(1.386) (12) = e(1.386) (12) = 16,700,000 . </li></ul>
  49. 50. Ecuaciones con exponentes y logarítmos
  50. 51. RESUELVE 4 + x 3/2 = 31 4 + x 3/2 = 31 x 3/2 = 31 -4 x 3/2 = 27 x = 9
  51. 52. RESUELVE 3y 4/3 =768
  52. 53. RESUELVE 3y 4/3 =768 3y 4/3 =768 y = 64 y 4/3 = 768 3 y 4/3 =256 y =256 3/4
  53. 54. RESUELVE 7 3X = 20
  54. 55. RESUELVE 7 3X = 20 7 3x = 20 log 7 3x = log 20 3xlog 7 = log 20 x = log 20 3log 7 Utilizando la calculadora x = 0.513
  55. 56. RESUELVE LOG (3X + 1) = 5
  56. 57. RESUELVE LOG (3X + 1) = 5 log (3x + 1) = 5 3x + 1 = 10 5 3x + 1 = 100,000 3x = 99,999 x = 33,333
  57. 58. RESUELVE 2LOG X- LOG 3 = 2
  58. 59. RESUELVE 2LOG X- LOG 3 = 2 2log x- log 3 = 2 log x 2 = 2 3 x 2 = 10 2 3 x 2 = 100 3 x 2 = 300
  59. 60. EJERCICIOS 7.5 Examples Exercises Mixed Exercises

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