Experimentos Aleatorios Y Sucesos

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Experimentos Aleatorios Y Sucesos

  1. 1. Experimentos aleatorios y Sucesos Profa. Carmen Batiz UGHS Tomado de: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/1.html
  2. 2. Espacio muestral Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista . Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria .
  3. 3. Experimentos o fenómenos aleatorios <ul><li>Son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento. </li></ul>
  4. 4. <ul><li>La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociológico (viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un gran almacén o que se matricularán en una carrera...) aunque son suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorios. </li></ul>
  5. 5. Suceso aleatorio <ul><li>Es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar. </li></ul>
  6. 6. Espacio muestral <ul><li>Es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E . </li></ul><ul><li>Ejemplos: </li></ul><ul><li>En un dado, E={1,2,3,4,5,6} </li></ul><ul><li>En una moneda, E={C,+} </li></ul>
  7. 7. Ejercicio 1: <ul><li>Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: </li></ul><ul><li>a. Lanzar tres monedas. </li></ul><ul><li>b. Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos. </li></ul><ul><li>c. Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras. </li></ul><ul><li>d. El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos. </li></ul>
  8. 8. Contestaciones <ul><li>Lanzar tres monedas. </li></ul><ul><li>Llamando C a obtener cara y X a la </li></ul><ul><li>obtención de cruz, obtenemos el </li></ul><ul><li>siguiente espacio muestral: </li></ul><ul><li>E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)} </li></ul>
  9. 9. Contestaciones <ul><li>b. Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos. </li></ul><ul><li>E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18} </li></ul>
  10. 10. Contestaciones <ul><li>c. Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras. </li></ul><ul><li>Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos: </li></ul><ul><li>E={BB,BN,NN} </li></ul>
  11. 11. Contestaciones <ul><li>d. El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos. </li></ul><ul><li>Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin </li></ul><ul><li>lluvia, para tres días consecutivos se </li></ul><ul><li>obtiene el siguiente espacio muestral: </li></ul><ul><li>E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)} </li></ul>
  12. 12. Sucesos . <ul><li>En el ejercicio anterior podemos ver que el espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es: </li></ul><ul><li>E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18} </li></ul><ul><li>Podemos considerar algunos subconjuntos de E, por ejemplo: </li></ul><ul><li>Salir múltiplo de 5: </li></ul><ul><li>A={5,10,15} </li></ul><ul><li>Salir número primo: </li></ul><ul><li>C={2,3,5,7,11,13,17} </li></ul><ul><li>Salir mayor o igual que 12: </li></ul><ul><li>D={12,13,14,15,16,17,18} </li></ul><ul><li>Todos estos subconjuntos del espacio muestral E los llamamos sucesos. </li></ul>
  13. 13. <ul><li>Los elementos de E se llaman sucesos individuales o sucesos elementales . </li></ul><ul><li>Suceso de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E . </li></ul><ul><li>También son sucesos el suceso vacío o suceso imposible , Ø, y el propio E, suceso seguro . </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>{1,2},{2,4,6},{3,5} son sucesos. </li></ul><ul><li>{1},{2}, {3}..., son sucesos individuales. </li></ul>
  14. 14. S <ul><li>Al conjunto de todos los sucesos de una experiencia aleatoria lo llamaremos S . </li></ul><ul><li>Si E tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2 n . </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>En un dado hay 2 6 = 64 sucesos. </li></ul><ul><li>En una moneda hay 2 2 = 4 sucesos, que son: Ø, {C},{+}, {C,+} Es decir, S={Ø,{C},{+},{C,+}} </li></ul>
  15. 15. Ejercicio 2: <ul><li>Se considera el sexo de los hijos de las familias de tres hijos. Sea A el suceso el hijo mayor es una hembra , y B el suceso los dos hijos pequeños son varones . ¿Cuáles son los elementos de A y B? </li></ul>
  16. 16. Contestación <ul><li>Llamando V a ser varón y H a ser hembra, el espacio muestral está formado por los sucesos elementales: </li></ul><ul><li>E={(VVV),(VVH),(VHV),(HVV),(VHH),(HVH),(HHV),(HHH)} </li></ul><ul><li>Y los sucesos A y B son compuestos y están formados por los siguientes sucesos elementales: </li></ul><ul><li>A={(HHH),(HHV),(HVH),(HVV)} </li></ul><ul><li>B={(VVV),(HVV)} </li></ul>
  17. 17. Operaciones con sucesos <ul><li>Dados dos sucesos, A y B, se llaman: </li></ul><ul><li>Unión es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B . </li></ul>
  18. 18. Operaciones con sucesos <ul><li>Intersección es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B . </li></ul>Dos sucesos A y B , se llaman incompatibles cuando no tienen ningún elemento común. Es decir, cuando = Ø ( A y B son disjuntos )
  19. 19. Operaciones con sucesos <ul><li>Diferencia es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B . </li></ul>
  20. 20. Operaciones con sucesos <ul><li>Suceso contrario El suceso = E - A se llama suceso contrario de A . </li></ul>
  21. 21. Ejemplo: <ul><li>En el experimento E = &quot;lanzar un dado al aire&quot;, consideramos los sucesos: </li></ul><ul><li>A = &quot;sacar un número par&quot;. </li></ul><ul><li>B = {1,2,3,5} = &quot;obtener un 1, 2, 3 ó 5&quot;. </li></ul><ul><li>C = {4,6} = &quot;obtener un 4 ó un 6&quot;. </li></ul><ul><li>D = {2,4,6} = &quot;obtener un 2, 4 ó 6&quot;. </li></ul><ul><li>F = {1,3} = &quot;obtener un 1 ó un 3&quot;. </li></ul><ul><li>G = &quot;obtener un múltiplo de 3&quot;. </li></ul>
  22. 22. Observaciones <ul><li>A y D son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales. </li></ul><ul><li>C está contenido en A . Luego = C , puesto que siempre que ocurre el suceso C (sacar 4 ó 6) ocurre el suceso A , puesto que se obtiene un número par. </li></ul><ul><li>B y C son incompatibles, ya que B C = Ø y complementarios, al cumplirse BC = E . </li></ul><ul><li>= &quot;sacar un número par&quot; {1,2,3,5} = {1,2,3,4,5,6} = E . </li></ul><ul><li>A G = {2,4,6} {3,6} = {6}, es decir, el suceso intersección de los sucesos &quot;sacar un número par&quot; y &quot;obtener un múltiplo de tres&quot; es &quot;sacar un 6&quot;. </li></ul><ul><li>B - D = B = {1,2,3,5} {1,3,5} = {1,3,5} = &quot;obtener un número impar&quot; = . </li></ul><ul><li>C y F son incompatibles puesto que C F = Ø. </li></ul>
  23. 23. Propiedades: <ul><li>Conmutativa </li></ul>
  24. 24. Propiedades: <ul><li>Asociativa </li></ul>
  25. 25. Propiedades: <ul><li>Idempotente </li></ul>
  26. 26. Propiedades: <ul><li>Simplificación </li></ul>A A B A B A
  27. 27. Propiedades: <ul><li>Distributiva </li></ul>
  28. 28. Propiedades: <ul><li>Elemento Neutro </li></ul>
  29. 29. Propiedades: <ul><li>Absorción </li></ul>
  30. 30. Otras Propiedades <ul><li>P(A υ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) </li></ul><ul><li>A c B, entonces, P(A) < P(B) </li></ul>
  31. 31. Probabilidad condicionada <ul><li>Dado un suceso B con probabilidad no nula, se llama probabilidad de A condicionado a B a la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B, y se calcula como: </li></ul>
  32. 32. Ejemplo <ul><li>En una ciudad el 40% de las personas tienen el </li></ul><ul><li>pelo rubio, el 25% tiene los ojos azules y el 15% </li></ul><ul><li>pelo rubio y ojos azules. Seleccionada una </li></ul><ul><li>persona al azar, calcular: </li></ul><ul><li>1. Que tenga el pelo rubio, si tiene los ojos azules. </li></ul><ul><li>2. Que tenga los ojos azules, si tiene el pelo rubio. </li></ul><ul><li>3. Que tenga una de estas características. </li></ul>
  33. 33. Contestación <ul><li>1. Que tenga el pelo rubio, si tiene los ojos azules. </li></ul><ul><li>Sea la P(pelo rubio) = 0.4, </li></ul><ul><li>P(ojos azules) = 0.25 y </li></ul><ul><li>P(rubio azules) = 0.15. </li></ul><ul><li>Entonces </li></ul><ul><li>la probabilidad de ser rubio condicionado a tener los ojos azules será: </li></ul>
  34. 34. Contestación <ul><li>2. Que tenga el/ los ojos azules, si tiene el pelo rubio. </li></ul>
  35. 35. Contestación <ul><li>3. Que tenga una de estas características. </li></ul>
  36. 36. Álgebras de Boole . <ul><li>Se les denomina a las familias de conjuntos que verifican las propiedades anteriores. </li></ul><ul><li>En el álgebra de Boole anterior se verifican las siguientes propiedades, conocidas como leyes de De Morgan : </li></ul><ul><li>El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos contrarios: </li></ul><ul><li>El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos contrarios: </li></ul>
  37. 37. Ejercicio 3 <ul><li>Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. </li></ul><ul><li>Consideramos los siguientes sucesos: </li></ul><ul><li>A=&quot;salir un número primo&quot; y </li></ul><ul><li>B=&quot;salir un número cuadrado&quot;. </li></ul><ul><li>Responde a las cuestiones siguientes: </li></ul><ul><li>Calcula los sucesos y . </li></ul><ul><li>Los sucesos A y B , ¿son compatibles o incompatibles?. </li></ul><ul><li>Encuentra los sucesos contrarios de A y B . </li></ul>
  38. 38. Contestaciones <ul><li>Los sucesos A y B están formados por los sucesos elementales que pueden verse a continuación: </li></ul><ul><li>A = {2,3,5,7} B = {1,4,9} </li></ul><ul><li>A partir de estos conjuntos, tenemos: </li></ul><ul><li>La unión e intersección de A y B son: </li></ul><ul><li>= {1,2,3,4,5,7,9} = Ø </li></ul><ul><li>Al ser = Ø, los sucesos A y B son incompatibles. </li></ul><ul><li>El suceso contrario de A es = {1,4,6,8,9} El suceso contrario de B es = {2,3,5,6,7,8} </li></ul>

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