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Credit Derivatives: un'analisi applicata di sensitività per i "First-To-Default Basket Products"
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  • 1. CREDIT DERIVATIVES Un’analisi applicata di sensitività per i “First-to-Default Basket Products” A cura di: Carmela D’Emilio (carmelademilio@libero.it) Tesi di laurea Università Degli Studi Di Foggia – Facoltà di Economia Relatore: S. Musti
  • 2. Il Rischio di Credito “la possibilità che una variazione inattesa del merito creditizio di una controparte nei confronti della quale esiste un’esposizione generi una corrispondente variazione inattesa del valore di mercato della posizione creditoria”. rischio di insolvenza o rischio di default rischio di downgrading o rischio di spread 17/07/2007 Carmela D' Emilio 2
  • 3. Le componenti del rischio di credito • Default Probability - PD • Loss Given Default - LGD • Exposure at Default - EAD Expected Loss, EL (la perdita che ci si aspetta mediamente di EL = PD × LGD × EAD conseguire a fronte di un credito): Expected Loss Rate, ELR (indicativo EL% = PD × LGD = ELR della frazione di credito che verrà persa): EL = EAD × ELR 17/07/2007 Carmela D' Emilio 3
  • 4. Le componenti del rischio di credito Unexpected Loss, UL (misura il grado di variabilità del tasso di perdita intorno al proprio valore atteso): UL = EAD × ULR Unexpected Loss Rate, ULR, dipende da: - grado di dispersione dei tassi di perdita possibili intorno alla media - probabilità che si verifichino tassi di perdita superiori a quello atteso S.q.m. ULR = ( EL − 0) 2 (1 − PD ) + ( EL − EAD ⋅ LGD ) 2 PD EL = EAD ⋅ LGD ⋅ PD ULR = LGD PD(1 − PD) EAD=1 17/07/2007 Carmela D' Emilio 4
  • 5. La diversificazione di portafoglio n n EL P = PD i × LGD i × EAD i = EL i i =1 i =1 n PD i × LGD i × EAD i n EAD EL w = i ELR P = n = i =1 n = wi × PD i × LGD i i n EAD i EAD i i =1 EAD i i=1 i =1 i =1 come per la singola esposizione, diventa necessario misurare la perdita inattesa di portafoglio ( UL ). P a livello di portafoglio, però, subentra un ulteriore elemento di incertezza: la default correlation corr ( A, B) ∈ [− 1;1] 17/07/2007 Carmela D' Emilio 5
  • 6. La diversificazione di portafoglio la perdita inattesa della singola esposizione UL i per i = A,B UL i = UL2 + UL2 + 2 ⋅ UL A ⋅ UL B ⋅ corr ( A, B ) A B mentre il tasso di perdita inatteso riferito all’intero portafoglio diventa: UL P = w A ⋅ UL2 + wB ⋅ UL2 + 2 ⋅ w A ⋅ wB ⋅ UL A ⋅ UL B ⋅ corr ( A, B ) 2 A 2 B Per un portafoglio caratterizzato da n titoli: n n ULP = wi w jULiUL j ρ i , j i =1 j =1 17/07/2007 Carmela D' Emilio 6
  • 7. Misurare la default correlation cov( A, B ) PD A, B − PD A PD B Corr ( A, B ) = ρ = = = σ Aσ B 1 [PD A (1 − PD A )] [PDB (1 − PDB )] 2 1 2 PD A, B − PD A PD B ( PD A − PD A )( PD B − PDB ) 2 2 ( )( PD A, B = corr ( A, B) PD A − PDB PDB − PDB + PD A PDB 2 2 ) 17/07/2007 Carmela D' Emilio 7
  • 8. La valutazione della PD approccio dicotomico o binomiale (cd. “default-mode paradigm”); 1 default D~Ber 0 non default approccio multistato o multinomiale ( “mark-to-market paradigm”) Variabile continua time until default T F(T) Survival function S(t) = 1- F(T) t=0 S(0)=1 Funzione d’azzardo h(x) t − h ( s ) ds S (t ) = e 0 17/07/2007 Carmela D' Emilio 8
  • 9. La LGD perdite valore recuperato LGD = = 1− = 1 − RR esposizione esposizione 0<RR<1= Recovery Rate ( ER − AC ) EAD LGD = 1 − (1 + TIT ) t ER = expected recovery ER, TIT e t AC = administrative costs EAD = exposure at default rischio di TIT = tasso interno di trasferimento recupero t = tempo stimato 17/07/2007 Carmela D' Emilio 9
  • 10. L’EAD natura: - monetaria (esposizioni per cassa) - non monetaria (crediti di firma) a importo: - certo (es. mutuo) usuali tecniche di valutazione(valore nominale/ attuale) Creditrisk: “default mode” VN dell’esposizione, corretto per una % di recupero (RR) conseguente al default Creditmetrics: “multistato” valore attuale, scontando i flussi di cassa futuri dell’esposizione ad un tasso di sconto corretto per il rischio di insolvenza. In caso di default, si corregge il valore nominale dell’esposizione in base al RR. Portfolio Manager o KMV: “default mode” Option Pricing Teory (OPT), in un contesto risk-neutral, il valore dell’esposizione si determina come somma del valore attuale della componente default-free e di quella rischiosa a importo: - incerto (es. apertura di credito in c/c) stima del valore futuro dell’esposizione EAD = DP + UP*UGD dove: DP = drawn portion = quota utilizzata UP = undrawn portion = quota inutilizzata UGD = usage given default = % della quota inutilizzata che si ritiene venga utilizzata in caso di default 17/07/2007 Carmela D' Emilio 10
  • 11. L’approccio multinomiale o mark-to-market sistema di rating - rating di controparte - rating di emissione Si assegna alle obbligazioni con un determinato rating un rispettivo tasso d’insolvenza atteso Rating esterno Rating interno Moody’s: Aaa, Aa, A, Baa, Ba, B e Caa investment grade speculative grade • monitorare permanentemente il rating in modo da rispecchiare l’eventuale upgrade o downgrade del merito creditizio • per i titoli obbligazionari con rating inferiori sono da attendersi modifiche più frequenti che non per i titoli con rating superiori 17/07/2007 Carmela D' Emilio 11
  • 12. La stima della PD in base ai rating {AAA, AA,….., C} [0,1] PD real world < PD risk neutral per una data categoria di rating, perché gli investitori non basano i loro prezzi dei titoli solo sulla PD attuariale, ma incassano un ritorno addizionale per compensare i rischi PD real world agenzie di rating 17/07/2007 Carmela D' Emilio 12
  • 13. La stima della PD in base ai rating Rating Scadenza (anni) 1 2 3 4 5 7 10 15 AAA 0,00 0,00 0,04 0,07 0,12 0,32 0,67 0,67 AA 0,01 0,04 0,10 0,18 0,29 0,62 0,96 1,39 A 0,04 0,12 0,21 0,36 0,57 1,01 1,86 2,59 BBB 0,24 0,55 0,89 1,55 2,23 3,60 5,20 6,85 BB 1,08 3,48 6,65 9,71 12,57 18,09 23,86 27,09 B 5,94 13,49 20,12 25,36 29,58 36,34 43,41 48,81 CCC 25,26 34,79 42,16 48,18 54,65 58,64 62,58 66,12 Tabella 13: Probabilità d’insolvenza, valori medi cumulati (%). Fonte: Standard & Poor’s , gennaio 2001 (J. C. Hull, 2003, tabella 26.7). 17/07/2007 Carmela D' Emilio 13
  • 14. Le matrici di transizione Una variazione di rating è detta “migrazione” (ratings migration) Formalizzazione attraverso la matrice di transizione o di migrazione (transition matrix) dei rating, definibile come una matrice Q(t) il cui generico elemento p ij (t ) esprime, con riferimento ad un orizzonte temporale t, la probabilità di una società o di una singola esposizione di migrare dallo stato i allo stato j. AAA AA … C D AAA … p1, k −1 p1, k p11 p12 AA … p 21 p 22 p 2,k −1 p 2,k … … … … … … C … p k −1,1 p k −1, 2 p k −1, k −1 p k −1,k D 0 … 0 1 0 Tabella 14: Una matrice di transizione K x K 17/07/2007 Carmela D' Emilio 14
  • 15. Le matrici di transizione Se definiamo RT il processo di rating, con t = 0,...,T , la probabilità condizionata che, dato il rating iniziale di ordine i rispetto ai K possibili, dopo t periodi questo sia uguale a j, sarà: pij (t ) := P[Rt = j R0 = i ] con i,j = 1,…,K R0 = rating iniziale Rt = rating finale Rating a fine anno Aaa Aa A Baa Ba B Caa-C Default WR Aaa 89,76 6,87 0,71 0,00 0,02 0,00 0,00 0,00 2,63 Aa 1,14 88,34 7,42 0,25 0,07 0,01 0,00 0,02 2,76 Ra tin A 0,05 2,31 88,95 4,91 0,48 0,13 0,01 0,02 3,15 g Baa 0,05 0,23 4,97 84,49 4,66 0,76 0,15 0,17 4,51 ini zia Ba 0,01 0,05 0,46 5,06 79,03 6,54 0,51 1,18 7,17 le B 0,01 0,03 0,12 0,40 6,08 77,58 2,83 6,19 6,77 Caa-C 0,00 0,00 0,00 0,53 1,60 3,85 62,63 23,49 7,88 Tabella 15: Matrice delle transizioni di rating, probabilità a 1 anno (valori percentuali). Fonte: Moody’s (1970-2003). 17/07/2007 Carmela D' Emilio 15
  • 16. La matrice di transizione “multiperiodale”. Le probabilità di transizione relative a due periodi sono fornite dal prodotto matriciale Π ∗ Π . La matrice di transizione a due periodi viene dunque costruita moltiplicando la matrice di transizione a un anno per sé stessa. In generale, la matrice di transizione a t anni è data dalla “matrice potenza” Π . t Rating finale Aaa Aa A Baa Ba B Caa-C Default WR Aaa 80,34 12,71 1,65 0,03 0,14 0,00 0,00 0,00 5,13 Aa 2,25 77,80 13,17 0,96 0,24 0,05 0,01 0,03 5,51 Ra tin A 0,09 4,45 79,21 8,43 1,18 0,31 0,05 0,08 6,21 g Baa 0,10 0,50 9,16 71,68 7,21 1,60 0,34 0,49 8,92 ini zia Ba 0,03 0,06 0,89 8,80 62,49 9,91 0,87 2,93 14,03 le B 0,01 0,05 0,20 0,90 9,69 61,38 3,45 11,11 13,20 Caa-C 0,00 0,00 0,03 1,31 2,44 5,91 43,76 32,05 14,50 Tabella 16: Matrice delle transizioni di rating, probabilità a 2 anni (valori percentuali). Fonte: Moody’s (1970-2003). 17/07/2007 Carmela D' Emilio 16
  • 17. La dinamica della migrazione Rating finale Aaa Aa A Baa Ba B Caa-C Default WR Aaa 57,78 23,78 5,10 0,44 0,39 0,04 0,08 0,11 12,27 Aa 4,35 53,88 23,03 3,55 0,90 0,29 0,02 0,25 13,73 Rat A 0,24 8,10 58,10 14,14 2,93 0,82 0,15 0,43 15,09 ing Baa 0,23 1,52 15,71 47,13 9,61 2,60 0,45 1,69 21,06 iniz iale Ba 0,08 0,26 2,97 12,46 32,38 11,03 0,96 8,20 31,67 B 0,05 0,08 0,53 2,87 12,72 29,87 2,09 20,29 31,51 Caa-C 0,00 0,00 0,00 3,13 5,78 7,14 15,35 42,43 26,16 Tabella 17: Matrice delle transizioni di rating, probabilità a 5 anni (valori percentuali). Fonte: Moody’s (1970-2003). 17/07/2007 Carmela D' Emilio 17
  • 18. La dinamica della migrazione Le variazioni nel tempo per una società con rating A sono: RATING A 1 anno 2 anni 5 anni Probabilità di “stabilità” 88,95% 79,21% 58,10% Probabilità di default 0,02% 0,08% 0,43% Probabilità di downgrading (a Baa) 4,91% 8,43% 14,14% Tabella 18:Variazioni di una società con rating A. Fonte: Nostra elaborazione. Per una società con un basso rating, ad es. B: RATING B 1 anno 2 anni 5 anni Probabilità di “stabilità” 77,58% 61,38% 29,87% Probabilità di default 6,19% 11,11% 20,29% Probabilità di downgrading (a Caa-C) 2,83% 3,45% 2,09% Tabella 19:Variazioni di una società con rating B. Fonte: Nostra elaborazione. 17/07/2007 Carmela D' Emilio 18
  • 19. Credit Derivatives Strumenti OTC Permettono di isolare e trasferire il rischio ( commodity) relativo al reference entity Protection buyer Protection seller (credit wiews) Finalità di trading / assicurativa Rischio Acquirente Venditore (protection (protection buyer) seller) Protezione 17/07/2007 Carmela D' Emilio 19
  • 20. Lo sviluppo dei credit derivatives 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0 1996 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2006 2008 rilevaz. 1996/1998 180 350 740 rilevaz. 1999/2000 586 893 1581 rilevaz. 2001/2002 1189 1952 4799 rilevaz.2003/2004 3548 5021 8206 rilevaz. 2006 20207 33120 Figura 5. Fonte: Nostra elaborazione basata su Chaplin G. e sui dati aggiornati della British Bankers Association. 17/07/2007 Carmela D' Emilio 20
  • 21. Credit Event In un credit derivatives: Sottostante: rischio di credito relativo al reference entity rischio di default rischio di downgrading Credit event = mancato adempimento dell’obbligazione di pagamento del reference entity default payment Reference entity Credit event Pagamento Protection Protection buyer seller 17/07/2007 Carmela D' Emilio 21
  • 22. Modalità di settlement dei credit derivatives 1) Binary settlement (o binary payout): Reference entity Credit event commission i - premi Protection Protection buyer seller rimborso 17/07/2007 Carmela D' Emilio 22
  • 23. Modalità di settlement dei credit derivatives 2) Cash settlement: . Reference entity Credit event commission i - premi Delta Value = Initial Value – Final Value Protection Protection buyer seller Delta Value 17/07/2007 Carmela D' Emilio 23
  • 24. Modalità di settlement dei credit derivatives 3) Phisical settlement: Reference entity Credit event reference obligation Protection Protection buyer seller valore predetermi nato nel contratto 17/07/2007 Carmela D' Emilio 24
  • 25. Le tipologie di credit derivatives credit default option credit default swap credit spread option credit spread swap total rate of return swap credit–linked note basket product 17/07/2007 Carmela D' Emilio 25
  • 26. Credit Default Option (CDO) opzione esercitabile solo nel caso di credit event Credit Default Put: Il buyer: acquista protezione dal rischio di default versando un premio; in caso di credit event avrà la facoltà ( S<E ) di vendere un credito a una controparte; obiettivo lucrare in seguito a verifica del credit event Il seller: in caso di credit event, è tenuto a: bynary payout /cash settlement versare il default payment stabilito phisical settlement acquistare il titolo del reference entity al valore stabilito sarà obbligato ad acquistare al valore stabilito un titolo il cui valore corrente è inferiore. 17/07/2007 Carmela D' Emilio 26
  • 27. Credit Default Put A = buyer; B = seller; Payoffs: Periodicamente (o a scadenza): A paga a B: Un premio P; In caso di default: B paga ad A: bynary payout , un rimborso R ; Delta Value DV = IV − FV = VN − RV = cash settlement, il = [RO(T0 ) − RO(Ti )] + essendo, al tempo i di verifica del default: RO(Ti ) < RO(T0 ) phisical settlement, al verificarsi del default A paga a B: Consegna fisica della RO (con valore RO (Ti ) ) (T B paga ad A: Valore stabilito all’inizio del contratto: RO(T0 ) . [ ] + A guadagnerà: RO(T0 ) − RO (Ti ) 17/07/2007 Carmela D' Emilio 27
  • 28. Credit Default Call Credit Default Call: in caso di credit event il buyer avrà la facoltà di acquistare da una controparte determinati titoli di emittenti primari (ad es. rating AAA) ad un prezzo scontato. obiettivo compensare la perdita relativa alla RO con lo sconto relativo ai titoli privi di rischio Lo sconto sarà pari a: S = VN – VC guadagno S − [ RO (T0 ) − RO (Ti ) ]+ 17/07/2007 Carmela D' Emilio 28
  • 29. Credit default swap (CDS) CDO : credit event “automaticamente” all’obbligazione di pagamento del seller materiality clause: min di prezzo o di spread Payoff (in caso di default in t): VN − RR ⋅ VN [1 + I (t )] = VN [1 − RR + I (t )] VN = valore nominale della RO RR = recovery rate I(t) = l’interesse della RO maturato al tempo t 17/07/2007 Carmela D' Emilio 29
  • 30. Credit Spread Option Contratto di opzione “differenziale” o “asimmetrico” Sottostante: credit spread ( tra il rendimento di un’obbligazione societaria e un titolo di stato di uguale scadenza) obiettivo Speculare sui futuri credit spread (RO): - downgrading RE - upgrading RE C.S. Put: Buyer: posizione short downgrading spread widening Seller: posizione long upgrading spread tightening C.S. Call: aspettative inverse 17/07/2007 Carmela D' Emilio 30
  • 31. Credit Spread Option Il seller, in caso di Phisical settlement: spread widening, premio dovrà acquistare il C.S. Put titolo pagando lo strike spread Protection Protection buyer seller titolo Strike Spread (in caso di spread widening ) C.S. Call premio Il buyer, in caso di spread tightening, potrà Protection Protection esercitare la buyer seller facoltà di acquisto del titolo titolo allo strike spread, < al Strike Spread valore di mercato (in caso di spread tightening ) 17/07/2007 Carmela D' Emilio 31
  • 32. Credit Spread Option premio Cash settlement: C.S.Put: Protection Protection buyer seller titolo Market Spread − Strike Spread (in caso di spread widening ) I Payoffs di una CSO con scadenza t<T : C.S. Put: D × max( S tT − K ,0) C.S. Call: D × max( K − S tT ,0) dove: K = strike spread S tT = market spread D = duration (usata per tradur re lo spread in prezzo ) una C.S. put verrà esercitata solo se: S tT > K una C.S. call solo se: S tT < K 17/07/2007 Carmela D' Emilio 32
  • 33. Credit Spread Swap Strumenti “differenziali”, come le CSO spread widening RO Strike Spread (K) spread tightening RO Es: • A detiene un titolo obbligazionario con rendimento di 200 p. b. > a quello di un titolo di stato risk-free.. • Per coprirsi da un eventuale spread widening credit spread swap K = market spread - 200 p.b. • Nel caso in cui la PD del RE aumenta (es. lo spread aumenta a 250 p. b.), A riceve una somma da B •Nel caso in cui la PD diminuisce (es. lo spread si riduce a 150 p. b.), B a riceve una somma da A 17/07/2007 Carmela D' Emilio 33
  • 34. Total rate of return swap cash flow RO + (eventuale) apprezzamento RO Total Return Payer Total Return Receiver (protection buyer) (protection seller) Libor ± Spread + Settlement dates (eventuale)deprezzamento RO cash flows RO rischio economico RO Reference Obligation (RO) Payoffs Trors: Il TRP paga al TRR, ad intervalli regolari: • La cedola c relativa alla RO; • L’eventuale apprezzamento RO: [RO(Ti +1 ) − RO(Ti )]+ • Il rimborso del capitale a scadenza della RO; • Il Recovery Value della RO (in caso di default). In caso di default, tutti i Il TRR paga: cash flows cessano e il • Un regolare importo pari a: LIBOR ± spread TRP riceve la perdita derivante dal • L’eventuale deprezzamento della RO: [RO(Ti ) − RO(Ti +1 )]+ deprezzamento della RO • Il VN del titolo (in caso di default). (VN – RV) 17/07/2007 Carmela D' Emilio 34
  • 35. Credit linked note Obbligazione (note) + credit derivatives No default rimborso coupon e capitale a scadenza Default estinzione CLN investitori ricevono il RV = RO (Ti ) < RO (T0 ) SPV (rischio di default poco significativo) coupon i + D n NO DEFAULT o un intermediario finanziario con un elevato rating Emittente Investitore (banca A) (B) [RO (T 0 ) − RO (T i ) ]+ DEFAULT premio Buyer Seller default payement 17/07/2007 Carmela D' Emilio 35
  • 36. Credit linked note Payoffs: A = emittente CLN; B = investitore; B paga ad A: D = capitale investito nel titolo obbligazionario A paga a B: n In caso di non default: couponi + Dn i =1 dove: couponi = cedola al tempo i-esimo Dn = rimborso del capitale a scadenza In caso di default: RV = RO (Ti ) dove: RV = recovery value E, dunque, in questo caso la perdita per B sarà: [RO(T0 ) − RO(Ti ) ]+ 17/07/2007 Carmela D' Emilio 36
  • 37. Basket product premio A B buyer seller default payement RE1 RE2 RE3 RE4 • first-to-default effetto leva • second- to default • third-to-default 17/07/2007 Carmela D' Emilio 37
  • 38. Il pricing dei credit derivatives Modelli “strutturali” (Merton, 1974) attività (asset) dell’impresa (approccio endogeno) Modelli “in forma ridotta” valutazioni di mercato (RR e PD esogene all’impresa) Modelli “ibridi” 17/07/2007 Carmela D' Emilio 38
  • 39. Il modello di Merton (1974) HIP: Il valore degli assets, V, segua un moto Browniano geometrico: dV = µVdt + σ V Vdz dove: µ = tasso istantaneo di rendimento atteso di V, σ V = volatilità istantanea dz = processo di Wiener VT VT t densità di VT 17/07/2007 Carmela D' Emilio 39
  • 40. Il modello di Merton (1974) 2 fonti di finanziamento: Et = capitale di rischio B d (t , T ) = capitale di debito (ZCB), con maturity T>t e rimborso B [0, T ] Vt = E t + B d (t , T ) Al tempo T: ET = max(0, VT − B) B d (T , T ) = min( B, VT ) Formula per il pricing di uno ZCB con scadenza T: 1 v d (0, T ) = e − rt N ( h1 ) + N (h2 ) dove: d N(.) = funzione di distribuzione di una normale standardizzata r = tasso di interesse risk-free 1 2 1 2 ln(d ) − σ V T ln( d ) + σVT 2 2 ln( d ) h1 = h2 = = h1 − 2 σV T σV T σV T e − rT B d= V0 17/07/2007 Carmela D' Emilio 40
  • 41. Il modello di Merton (1974) PD = Pr[VT < B ] = Pr [ln VT < ln B ] 1 2 1 2 ln VT − ln V0 + r − σ V T ln B − ln V0 + r − σ V T 2 2 = Pr < σV T σV T 1 2 ln B − (ln V0 + r − σ V T 2 σV T 1 1 − z 2 dz = e 2 −∞ 2π = N ( − h 2 ) = 1 − N ( h2 ) densità di VT PD 0 B 17/07/2007 Carmela D' Emilio 41
  • 42. Il modello di Merton (1974) RR = valore atteso degli assets condizionato al default: VT RR = E VT < B B 1 2 ln B − ln V0 + r + σ V T 2 σV T 1 V0 1 1 − y2 = − rT e 2 dy e B N (− h2 ) −∞ 2π 17/07/2007 Carmela D' Emilio 42
  • 43. Il modello di Jarrow e Turnbull (1995) Spread tra attività rischiosa/risk free PD v(0,1) = prezzo del titolo rischioso v d (0,1) < v(0,1) v d (0,1) = prezzo del titolo privo di rischio r = tasso risk-free v(0,1) = (1 + r ) −1 s = spread v d (0,1) = (1 + r + s ) −1 Payoffs: 1 (1-PD) v(0,1) 1 v d (0,1) RR<1 (PD) 1 s v d (0,1) = v(0,1)[(1 − PD ) + PD * RR] PD = * 1 − RR 1 + r + s 17/07/2007 Carmela D' Emilio 43
  • 44. Il modello di Jarrow e Turnbull (1995) Uno ZCB rischioso con scadenza in t: [ ] v d (0, t ) = v(0, t ){Pr τ > t + RR ⋅ Pr τ ≤ t [ ]} [ = e − rt e − λt + RR (1 − e )] − λt Dove: r = tasso risk-free e v(0, t ) = e − rt è il prezzo dello ZCB non rischioso Un portafoglio di ZCB a diverse scadenze, che paga alle scadenze t cedole di importo c su un VN unitario: [ ( )] [ ( )] N − λt N v ( c, t ) = c d e − rti e −λti + RR 1 − e −λti + e − rt N e .λt N + RR ⋅ 1 − e i =1 17/07/2007 Carmela D' Emilio 44
  • 45. La valutazione di un Trors Determinazione dello spread da addizionare/sottrarre al Libor: sp VAN t =0 = 0 flussi di cassa attesi della swap leg (libor spread): n SLCF = ( f 0,i −1,i + sp ) ⋅ ∆swap leg ⋅ (1 + i zci ) −i ⋅ (1 − p idefault ) i i =1 dove: n = numero totale di scambio dei flussi di cassa delle due gambe; f 0 ,i −1,i = tasso forward stimato all’epoca 0 per partenza al tempo (i-1) e scadenza all’epoca i; ∆swap leg = convenzione temporale della swap leg (30/360, Act/360, Act/Act); i i zci = tasso zero coupon spot con scadenza all’epoca i. La credit leg = somma dei cash flows derivanti dalla RO (cedole) e cash flows derivanti da apprezzamenti/deprezzamenti della RO n 1° compon.: ROCF = couponi ⋅ ∆reference ⋅ (1 + i zci ) −i ⋅ (1 − pidefault ) i i =1 dove: couponi = flusso cedolare del titolo al tempo i; ∆reference = convenzione temporale di liquidazione degli interessi cedolari del titolo. i 17/07/2007 Carmela D' Emilio 45
  • 46. La valutazione di un Trors 2°compon.: liquidazione periodica a strike variabile: n ~ ~ (Vi − Vi −1 ) ⋅ (1 + i zci ) −i ⋅ (1 − pidefault ) i =1 Equaz. del valore di un Trors: swap leg = credit leg swap leg = coupon component + price component n n n ~ ~ ( f 0,i −1,i + sp ) ⋅ ∆swap leg ⋅ (1 + i zci ) −i ⋅ pino default = couponi ⋅ ∆reference ⋅ (1 + i zci ) −i ⋅ p ino default + (Vi − Vi −1 ) ⋅ (1 + i zci ) −i ⋅ pino default i i i =1 i =1 i =1 Lo spread di equilibrio del Trors: n n n ~ ~ couponi ⋅ ∆ reference i ⋅ df i ⋅ p no default i + (Vi − Vi −1 ) ⋅ df i ⋅ p ino default − f 0,1−1,i ⋅ ∆swap leg ⋅ df i ⋅ p ino default i i =1 i =1 i =1 sp = n ∆swap leg ⋅ df i ⋅ p ino default i i =1 17/07/2007 Carmela D' Emilio 46
  • 47. La valutazione di un CDS pagamento “automatico” in caso di default • Se definiamo: X = pagamento effettuato in caso di default da B ad A X = (1 − RR )C C = rimborso del capitale della RO RR = recovery rate Un CDS = “garanzia” sulla solvibilità del reference entity G = EL − EL g G = valore corrente di una garanzia EL= valore corrente della perdita attesa sul titolo privo di garanzia EL g = valore corrente dell’EL sul titolo garantito N EL = (1 − RR )C Dt coupont Qt + D N Q N t =1 dove: N = numero dei periodi alla scadenza; t = le date di pagamento; coupon t = cedola pagata dalla RO alla data t; Qt = probabilità cumulata di default del reference entity al tempo t; D t = valore corrente di uno zero coupon bond con scadenza t; D N = valore a scadenza dello zero coupon bond; Q N = probabilità cumulata di default del reference entity alla scadenza. 17/07/2007 Carmela D' Emilio 47
  • 48. La valutazione di un CDS N ELg = (1 − RR)C Dt coupont Q gt + D N Q gN t =1 Q gt = probabilità congiunta che il reference entity e il seller siano contemporaneamente insolventi al tempo t. Il valore di un CDS: N G = (1 − RR)C Dt coupont (Qt − Q gt ) + D N (Q N − Q gN ) t =1 NB: Nella pratica, però, per il calcolo del valore di un CDS, PD e RR vengono forniti dal mercato degli asset swap (titolo obbligazionario + IRS). 17/07/2007 Carmela D' Emilio 48
  • 49. La valutazione di una CLN No default cedola + rimborso a scadenza Default perdita RO Scadenza T = tn Date di pagamento [ t = t1 , t 2 ,..., t n ] [(1 − p ] n PV T no default = default i ) ⋅ ∆CLN ⋅ couponi ⋅ (1 + izci ) −i + Dn (1 − pn i default ) ⋅ (1 + izcn ) − n i =1 n PV T default = RV ⋅ ( pidefault − pidefault ) ⋅ (1 + i zci ) −i −1 i =1 valore attuale CLN : CLN T = PVTno default + PVTdefault 17/07/2007 Carmela D' Emilio 49
  • 50. La valutazione dei basket products First-to-default P(X) 2 reference entities (X e Y) P(X,Y)= P(Y) prob. congiunta di default La probabilità di default di X o Y: Probabilità di default di Y P( X Y ) = P ( X ) + P (Y ) − P ( X , Y ) condizionata al default di X corr ( X , Y ) > 0 P( X , Y ) = P( X ) ⋅ P(Y X ) P( X Y ) = P( X ) + P(Y ) − P( X ) ⋅ P(Y X ) P < P1 + P2 corr ( X , Y ) = 1 P = P1 = P2 corr ( X , Y ) = 0 P ( X , Y ) = P ( X ) ⋅ P (Y ) P( X Y ) = P ( X ) + P (Y ) − P ( X ) ⋅ P (Y ) P dipende dalla grandezza di P1 e P2 corr ( X , Y ) < 0 P ( X , Y ) < P ( X ) ⋅ P (Y ) P = P1 + P2 Carmela D' Emilio 17/07/2007 50
  • 51. La valutazione dei basket products La diversificazione riduce il rischio Non per un first-to-default 17/07/2007 Carmela D' Emilio 51
  • 52. La valutazione dei basket products Funzione di densità di corr = 0 ciascuna variabile Tud n = RE f (t ) = h ⋅ e − ht con t > 0; h > 0. h = cost n f (t ) = H ⋅ e − H ⋅t con H = H i =n ⋅ h i =1 Funzione di densità congiunta T Default payment = 1 P= e − rt ⋅ H ⋅ e − H ⋅t dt = 0 H = (1 − e −T ( r + H ) r+H Cash settlement T P = L(1 − RR) ⋅ e − rt ⋅ H ⋅ e − H ⋅t dt = 0 H = L(1 − RR ) ⋅ (1 − e −T ( r + H ) ) r+H 17/07/2007 Carmela D' Emilio 52
  • 53. Un’analisi di sensitività per i “first- to-default basket products” output / input analisi per scenari futuri / what if Comportamento del first-to-default: al variare dei valori in relazione a 2 variabili 17/07/2007 Carmela D' Emilio 53
  • 54. Ipotesi Reference Entity (AA) Esposizione A € 4.000,00 B € 4.000,00 C € 4.000,00 D € 4.000,00 E € 4.000,00 Valore complessivo € 20.000,00 Tasso d'interesse T risk-free 1 2,24% 2 2,26% 3 2,54% 4 2,80% 5 3,01% 17/07/2007 Carmela D' Emilio 54
  • 55. H P = L(1 − RR ) (1 − e −T ( r + H ) ) r+H L € 4.000,00 RR 55% n 5 h 0,1 H=n*h 0,5 T 2 r 2,26% P € 1.116,61 17/07/2007 Carmela D' Emilio 55
  • 56. La sensitività rispetto agli hazard rates Incrementi Incrementi h H P di h di P 0,01 0,05 € 167,54 100,00% 90,56% 0,02 0,1 € 319,26 100,00% 82,01% 0,04 0,2 € 581,08 25,00% 19,39% 0,05 0,25 € 693,78 20,00% 14,71% 0,06 0,3 € 795,84 33,33% 22,14% 0,08 0,4 € 972,03 25,00% 14,87% 0,1 0,5 € 1.116,61 20,00% 10,63% 0,12 0,6 € 1.235,28 8,33% 4,14% 0,13 0,65 € 1.286,40 15,38% 6,86% 0,15 0,75 € 1.374,69 17/07/2007 Carmela D' Emilio 56
  • 57. sensitività del valore di un first-to-default rispetto ai tassi d'azzardo € 1.600,00 € 1.400,00 € 1.200,00 € 1.000,00 P € 800,00 P € 600,00 € 400,00 € 200,00 €- 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 h Si può notare come il valore di P aumenta meno che proporzionalmente rispetto all’aumentare del tasso d’azzardo. L’incremento è dovuto al fatto che l’hazard rate è espressivo della probabilità istantanea di default, ed è chiaro che di fronte ad una maggiore possibilità reale di default, il premio che dovrà pagare il buyer per proteggersi sarà maggiore. 17/07/2007 Carmela D' Emilio 57
  • 58. La sensitività rispetto al valore nominale per diversi tassi d’azzardo Diretta proporzionalità tra P e L (un aumento del VN della RO comporta un aumento del delta value L*(1 - RR) pagato dal seller in caso di default, e, a sua volta, un aumento di P, ovvero il delta value attualizzato) Aumento meno che proporzionale di P rispetto ad h h =0,1, h = 0,05, h = 0,15 17/07/2007 Carmela D' Emilio 58
  • 59. P P P L per h=0,05 per h=0,1 per h=0,15 € 100,00 € 17,34 € 27,92 € 34,37 € 200,00 € 34,69 € 55,83 € 68,73 € 500,00 € 86,72 € 139,58 € 171,84 € 1.000,00 € 173,44 € 279,15 € 343,67 € 2.000,00 € 346,89 € 558,31 € 687,35 € 3.000,00 € 520,33 € 837,46 € 1.031,02 € 4.000,00 € 693,78 € 1.116,61 € 1.374,69 € 5.000,00 € 867,22 € 1.395,76 € 1.718,36 € 7.000,00 € 1.214,11 € 1.954,07 € 2.405,71 € 10.000,00 € 1.734,44 € 2.791,53 € 3.436,73 € 15.000,00 € 2.601,66 € 4.187,29 € 5.155,09 € 25.000,00 € 4.336,10 € 6.978,82 € 8.591,82 17/07/2007 Carmela D' Emilio 59
  • 60. Incrementi di P, Incrementi di L uguali per tutti gli h 100,00% 100,00% 150,00% 150,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 50,00% 50,00% 33,33% 33,33% 25,00% 25,00% 40,00% 40,00% 42,86% 42,86% 50,00% 50,00% 66,67% 66,67% Incremento totale di L 249 Incremento totale di P per h = 0,05 249 Incremento totale di P per h = 0,1 249 Incremento totale di P per h = 0,15 249 17/07/2007 Carmela D' Emilio 60
  • 61. sensitività del valore di un first-to-default al variare del nominale per diversi tassi d' azzardo € 30.000,00 € 25.000,00 € 20.000,00 L P per h=0,05 € 15.000,00 P per h=0,1 P per h=0,15 € 10.000,00 € 5.000,00 €- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 L’aumento del tasso d’azzardo non influisce sulla diretta proporzionalità di P rispetto ad L; l’effetto dell’aumento di h, però, è sempre quello di contribuire ad un’ulteriore incremento di P. 17/07/2007 Carmela D' Emilio 61
  • 62. La sensitività rispetto al tasso d’interesse r P 1,20% € 1.126,48 1,50% € 1.123,68 1,63% € 1.122,46 1,70% € 1.121,81 1,82% € 1.120,69 1,90% € 1.119,95 2% € 1.119,02 2,17% € 1.117,44 2,26% € 1.116,61 2,32% € 1.116,06 2,55% € 1.113,93 2,63% € 1.113,19 2,75% € 1.112,09 2,90% € 1.110,71 3,20% € 1.107,96 4% € 1.100,67 5% € 1.091,67 6% € 1.082,76 17/07/2007 Carmela D' Emilio 62
  • 63. sensitività del valore di un first-to default al variare del tasso d' interesse € 1.130,00 € 1.120,00 € 1.110,00 P P € 1.100,00 € 1.090,00 € 1.080,00 0,00% 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00% 7,00% r In corrispondenza di maggiori tassi d’interesse risk-free, il valore del first-to-default si riduce. Il decremento è dovuto al fatto che P non è altro che il valore del payoff a scadenza attualizzato. E’ chiaro che se aumenta il tasso di attualizzazione il valore di P è minore. 17/07/2007 Carmela D' Emilio 63
  • 64. La sensitività rispetto al tasso d’interesse per diversi valori dell’hazard rate P P P r per h=0,05 per h=0,1 per h=0,15 1,20% € 700,51 € 1.126,48 € 1.385,72 1,50% € 698,60 € 1.123,68 € 1.382,58 1,63% € 697,77 € 1.122,46 € 1.381,23 1,70% € 697,32 € 1.121,81 € 1.380,50 1,82% € 696,56 € 1.120,69 € 1.379,25 1,90% € 696,05 € 1.119,95 € 1.378,42 2% € 695,42 € 1.119,02 € 1.377,38 2,17% € 694,34 € 1.117,44 € 1.375,62 2,26% € 693,78 € 1.116,61 € 1.374,69 2,32% € 693,40 € 1.116,06 € 1.374,07 2,55% € 691,95 € 1.113,93 € 1.371,70 2,63% € 691,45 € 1.113,19 € 1.370,87 2,75% € 690,69 € 1.112,09 € 1.369,64 2,90% € 689,75 € 1.110,71 € 1.368,10 3,20% € 687,88 € 1.107,96 € 1.365,02 4% € 682,92 € 1.100,67 € 1.356,88 5% € 676,78 € 1.091,67 € 1.346,80 6% € 670,73 € 1.082,76 € 1.336,84 17/07/2007 Carmela D' Emilio 64
  • 65. Riduzione Riduzione Riduzione Incremento di P di P di P di r per h=0,05 per h=0,1 per h=0,15 25,00% -0,27% -0,25% -0,23% 8,67% -0,12% -0,11% -0,10% 4,29% -0,06% -0,06% -0,05% 7,06% -0,11% -0,10% -0,09% 4,40% -0,07% -0,07% -0,06% 5,26% -0,09% -0,08% -0,08% 8,50% -0,15% -0,14% -0,13% 4,15% -0,08% -0,07% -0,07% 2,65% -0,05% -0,05% -0,05% 9,91% -0,21% -0,19% -0,17% 3,14% -0,07% -0,07% -0,06% 4,56% -0,11% -0,10% -0,09% 5,45% -0,14% -0,12% -0,11% 10,34% -0,27% -0,25% -0,22% 25,00% -0,72% -0,66% -0,60% 25,00% -0,90% -0,82% -0,74% 20,00% -0,89% -0,82% -0,74% 17/07/2007 Carmela D' Emilio 65
  • 66. sensitività del valore di un first-to-default al variare del tasso d' interesse, per diversi valori dell' hazard rate € 1.600,00 € 1.400,00 € 1.200,00 € 1.000,00 P per h=0,05 P € 800,00 P per h=0,1 P per h=0,15 € 600,00 € 400,00 € 200,00 €- 0,00% 2,00% 4,00% 6,00% 8,00% r La riduzione di P all’aumentare di r è via via minore quanto maggiore è il tasso d’azzardo; dunque, il tasso d’azzardo influisce in via compensativa sulle variazioni di P rispetto ad r, in quanto valori maggiori di h riducono l’ampiezza dei decrementi di P dovuti all’aumento di r 17/07/2007 Carmela D' Emilio 66
  • 67. La sensitività rispetto al recovery rate per diversi tassi d’azzardo Inversa proporzionalità di P rispetto a RR P P P RR per h=0,05 per h=1 per h=0,15 5% € 1.464,64 € 2.357,29 € 2.902,13 15% € 1.310,47 € 2.109,15 € 2.596,64 25% € 1.156,29 € 1.861,02 € 2.291,15 35% € 1.002,12 € 1.612,88 € 1.985,67 45% € 847,95 € 1.364,75 € 1.680,18 55% € 693,78 € 1.116,61 € 1.374,69 65% € 539,60 € 868,47 € 1.069,20 75% € 385,43 € 620,34 € 763,72 85% € 231,26 € 372,20 € 458,23 95% € 77,09 € 124,07 € 152,74 17/07/2007 Carmela D' Emilio 67
  • 68. Riduz. Di P, Incr. di RR uguali per tutti gli h 200,00% -10,53% 66,67% -11,76% 40,00% -13,33% 28,57% -15,38% 22,22% -18,18% 18,18% -22,22% 15,38% -28,57% 13,33% -40,00% 11,76% -66,67% 17/07/2007 Carmela D' Emilio 68
  • 69. sensitività del valore di un first-to-default al variare del recovery rate, per diversi valori dell' hazard rate € 3.500,00 € 3.000,00 € 2.500,00 P per h=0,05 € 2.000,00 P P per h=1 € 1.500,00 P per h=0,15 € 1.000,00 € 500,00 €- 0% 20% 40% 60% 80% 100% RR D' (RR) per h=0,05 -1.541,72 H D ' ( RR ) = − L (1 − e −T ( r + H ) ) D' (RR) per h=0,1 -2.481,36 r+H D' (RR) per h=0,15 -3.054,87 L’aumento del tasso d’azzardo non influisce sulle riduzioni di P rispetto a RR; l’aumento di h ha comunque l’effetto di incrementare il valore di P. 17/07/2007 Carmela D' Emilio 69
  • 70. La sensitività rispetto al numero dei reference entities n H P 1 0,1 € 319,26 2 0,2 € 581,08 3 0,3 € 795,84 4 0,4 € 972,03 5 0,5 € 1.116,61 6 0,6 € 1.235,28 7 0,7 € 1.332,71 8 0,8 € 1.412,74 9 0,9 € 1.478,48 10 1 € 1.532,53 17/07/2007 Carmela D' Emilio 70
  • 71. sensitività del valore di un first-to-default al variare del numero dei reference entities € 1.800,00 € 1.600,00 € 1.400,00 € 1.200,00 € 1.000,00 P P € 800,00 € 600,00 € 400,00 € 200,00 €- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n Il valore del premio aumenta meno che proporzionalmente all’aumentare del numero dei reference entities. L’incremento è dovuto al fatto che all’aumentare di n aumenta la probabilità che una qualsiasi delle società possa subire un default. 17/07/2007 Carmela D' Emilio 71
  • 72. La sensitività rispetto al numero dei reference entities per diversi tassi d’interesse P P P P n H per r=2,26% per r= 3,20% per r=7% per r=15% 1 0,1 € 319,26 € 316,40 € 305,18 € 283,30 2 0,2 € 581,08 € 576,06 € 556,34 € 517,80 3 0,3 € 795,84 € 789,20 € 763,13 € 712,12 4 0,4 € 972,03 € 964,21 € 933,51 € 873,33 5 0,5 € 1.116,61 € 1.107,96 € 1.073,97 € 1.007,26 6 0,6 € 1.235,28 € 1.226,07 € 1.189,86 € 1.118,69 7 0,7 € 1.332,71 € 1.323,16 € 1.285,56 € 1.211,55 8 0,8 € 1.412,74 € 1.403,00 € 1.364,66 € 1.289,07 9 0,9 € 1.478,48 € 1.468,69 € 1.430,10 € 1.353,92 10 1 € 1.532,53 € 1.522,77 € 1.484,32 € 1.408,29 17/07/2007 Carmela D' Emilio 72
  • 73. Incremento Incremento Incremento Incremento Incremento di P di P di P di P di n per r = 2,26% Per r = 3,20% per r = 7% per r = 15% 100,00% 82,01% 82,07% 82,29% 82,78% 50,00% 36,96% 37,00% 37,17% 37,53% 33,33% 22,14% 22,18% 22,33% 22,64% 25,00% 14,87% 14,91% 15,05% 15,34% 20,00% 10,63% 10,66% 10,79% 11,06% 16,67% 7,89% 7,92% 8,04% 8,30% 14,29% 6,00% 6,03% 6,15% 6,40% 12,50% 4,65% 4,68% 4,80% 5,03% 11,11% 3,66% 3,68% 3,79% 4,02% Variaz. tot. Incr. n -88,89% Variaz. tot. Incr. P per r = 2,26% -95,54% Variaz. tot. Incr. P per r = 3,20% -95,51% Variaz. tot. Incr. P per r = 7% -95,39% Variaz. tot. Incr. P per r = 15% -95,15% 17/07/2007 Carmela D' Emilio 73
  • 74. sensitività del valore di un first-to-default all'aumentare dei reference entities, per diversi tassi d' interesse € 1.800,00 € 1.600,00 € 1.400,00 € 1.200,00 P per r=2,26% € 1.000,00 P per r= 3,20% P P per r=7% € 800,00 P per r=15% € 600,00 € 400,00 € 200,00 €- 0 2 4 6 8 10 12 n Nonostante P diminuisca all’aumentare di r, in questo caso all’aumentare di r il valore del first-to-default subisce incrementi via via maggiori. E, però, la variazione totale degli incrementi si riduce per valori crescenti di r. 17/07/2007 Carmela D' Emilio 74
  • 75. La sensitività rispetto alla scadenza T P 1 € 700,96 sensitività del valore di un first-to-default alla 2 € 1.116,61 scadenza 3 € 1.363,08 4 € 1.509,23 € 2.000,00 € 1.800,00 5 € 1.595,90 € 1.600,00 6 € 1.647,29 € 1.400,00 7 € 1.677,76 € 1.200,00 8 € 1.695,83 € 1.000,00 P P 9 € 1.706,55 € 800,00 10 € 1.712,90 € 600,00 € 400,00 20 € 1.722,11 € 200,00 30 € 1.722,16 €- 50 € 1.722,16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 50 T Il valore del first-to-default aumenta con l’aumentare di T, ma gli incrementi, inizialmente notevoli, sono via via decrescenti, fino a che il valore diventa costante. Questo comportamento può essere spiegato considerando che se nessuna società, all’interno del basket, è soggetta a default entro un tempo più o meno ampio, è difficile che possa esserlo successivamente. Il valore del first-to-default sarà massimo in corrispondenza di un hazard rate massimo, e costante in corrispondenza di un hazard rate costante 17/07/2007 Carmela D' Emilio 75
  • 76. La sensitività rispetto alla scadenza per diversi tassi d’interesse P P P P T per r=2,26% per r=3,20% per r=7% per r=15% 1 € 700,96 € 697,96 € 686,01 € 661,78 2 € 1.116,61 € 1.107,96 € 1.073,97 € 1.007,26 3 € 1.363,08 € 1.348,81 € 1.293,37 € 1.187,62 4 € 1.509,23 € 1.490,29 € 1.417,45 € 1.281,78 5 € 1.595,90 € 1.573,40 € 1.487,61 € 1.330,93 6 € 1.647,29 € 1.622,22 € 1.527,30 € 1.356,59 7 € 1.677,76 € 1.650,90 € 1.549,74 € 1.369,98 8 € 1.695,83 € 1.667,74 € 1.562,43 € 1.376,98 9 € 1.706,55 € 1.677,64 € 1.569,61 € 1.380,63 10 € 1.712,90 € 1.683,45 € 1.573,66 € 1.382,53 20 € 1.722,11 € 1.691,69 € 1.578,93 € 1.384,61 30 € 1.722,16 € 1.691,73 € 1.578,95 € 1.384,62 50 € 1.722,16 € 1.691,73 € 1.578,95 € 1.384,62 17/07/2007 Carmela D' Emilio 76
  • 77. Incremento Incremento Incremento Incremento Incremento di P di P di P di P di T per r=2,26% per r=3,20% per r=7% per r=15% 100,00% 59,30% 58,74% 56,55% 52,20% 50,00% 22,07% 21,74% 20,43% 17,91% 33,33% 10,72% 10,49% 9,59% 7,93% 25,00% 5,74% 5,58% 4,95% 3,83% 20,00% 3,22% 3,10% 2,67% 1,93% 16,67% 1,85% 1,77% 1,47% 0,99% 14,29% 1,08% 1,02% 0,82% 0,51% 12,50% 0,63% 0,59% 0,46% 0,27% 11,11% 0,37% 0,35% 0,26% 0,14% 100,00% 0,54% 0,49% 0,33% 0,15% 50,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 66,67% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 17/07/2007 Carmela D' Emilio 77
  • 78. sensitività del valore di un first-to-default alla scadenza per diversi tassi d' interesse € 2.000,00 € 1.800,00 € 1.600,00 € 1.400,00 P per r=2,26% € 1.200,00 P per r=3,20% € 1.000,00 P per r=7% € 800,00 P per r=15% € 600,00 € 400,00 € 200,00 €- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 All’aumentare di r il valore del first-to-default subisce incrementi via via minori rispetto a T, fino a divenire costante rispetto alla scadenza. 17/07/2007 Carmela D' Emilio 78

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