Serie de Fourier
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Serie trigonometrica de fourier explicada con detalle

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Serie de Fourier Serie de Fourier Document Transcript

  • Tema 7.- SERIES DE FOURIER Ampliación de Matemáticas. Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.Índice1. Series trigonométricas y series de Fourier. Coeficientes de Fourier 12. Series de Fourier de funciones pares y de funciones impares 23. Convergencia puntual de las series de Fourier 34. Series de cosenos y series de senos 35. Otras formas de expresión de las series de Fourier. Forma exponencial. 46. Espectro de líneas y síntesis de formas de onda 61. Series trigonométricas y series de Fourier. Coeficientes de Fourier Toda serie funcional que se pueda expresar en la forma ∞ µ ¶ a0 X 2πn 2πn + an cos x + bn sen x 2 n=1 T Tdonde T ∈ R+ , a0 , a1 , a2 , . . . , b1 , b2 , . . . son constantes reales, se denomina serie trigonométrica y losan , bn son los coeficientes de la misma. Dado un número real x0 , observemos que si en la serie se sustituye la variable x por cualquier númerode la forma x0 + kT con k ∈ Z, la serie numérica obtenida es la misma cualquiera que sea k, puesto que: 2πn 2πn an cos (x0 + kT ) + bn sen (x0 + kT ) = µT ¶ T µ ¶ 2πn 2πn = an cos x0 + 2knπ + bn sen x0 + 2knπ T T 2πn 2πn = an cos x0 + bn sen x0 T TPor esta razón, se puede afirmar que si la serie trigonométrica converge en el punto x0 , entonces tambiénconverge en todo punto de la forma x0 + kT, y que su suma es la misma en cualquiera de dichos puntos.En consecuencia, si la serie trigonométrica converge, su suma será una función periódica, de período T .Definición 1.1 Sea f una función integrable en [0, T ]. Se llaman coeficientes de Fourier de f a losnúmeros Z 2 T 2πn an = f (x) cos xdx n = 0, 1, 2, 3, . . . T 0 T Z T 2 2πn bn = f (x) sen xdx n = 1, 2, 3, . . . T 0 T 1
  • Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 2 La serie trigonométrica que tiene estos coeficientes se denomina serie de Fourier de f en [0, T ].Cuando la función f es además periódica de período T , la serie citada se denomina simplemente serie deFourier de f . Para construir la serie de Fourier de una función sólo hay que calcular sus coeficientes, y para ello, deacuerdo con la Definición 1, basta con que f sea integrable. Pero hasta ahora no se ha expuesto ningúnargumento que permita decidir nada acerca de la convergencia de esta serie, ni tampoco, si la suma eso no la función f . Es decir, una cosa es obtener la serie de Fourier de una función, y otra muy distintadeterminar su convergencia y eventualmente su suma. Dejaremos para más tarde estas últimas cuestiones. Obsérvese que, en el caso de ser f una función T -periódica, los integrandos serían funciones de períodoT , y entonces, de acuerdo con la Proposición A.2 del Apéndice, es posible reemplazar el intervalo deintegración por cualquier otro intervalo de longitud T (como por ejemplo, el intervalo [−T /2, T /2]), loque en ciertas circunstancias puede facilitar el cálculo de los coeficientes de Fourier.2. Series de Fourier de funciones pares y de funciones impares En el cálculo de la serie de Fourier correspondiente a una función f , es posible evitar trabajo innecesarioal determinar los coeficientes de la serie cuando la función f considerada sea o bien una función par obien una función impar, como veremos a continuación: Si f es una función integrable en [0, T ], y además periódica de período T , su serie de Fourier es ∞ µ ¶ a0 X 2πn 2πn + an cos x + bn sen x 2 n=1 T Ty sus coeficientes se obtienen empleando las fórmulas Z 2 T 2πn an = f (x) cos xdx n = 0, 1, 2, 3, . . . T 0 T Z 2 T 2πn bn = f (x) sen xdx n = 1, 2, 3, . . . T 0 Tque también se pueden expresar (considerando la periodicidad de f ) en la forma Z 2 T /2 2πn an = f (x) cos xdx n = 0, 1, 2, 3, . . . T −T /2 T Z 2 T /2 2πn bn = f (x) sen xdx n = 1, 2, 3, . . . T −T /2 TAsí, se tiene que: i) Cuando f es par, al calcular los coeficientes an las funciones a integrar son funciones pares, ya que tanto f como los cosenos lo son; sin embargo, al calcular los bn las funciones a integrar son impares, porque f es par y los senos impares, de ahí que de acuerdo con la Proposición A.3 del Apéndice resulte Z 4 T /2 2πn an = f (x) cos xdx n = 0, 1, 2, 3, . . . T 0 T bn = 0 n = 1, 2, 3, . . . y por tanto la serie de Fourier obtenida es una serie cosenoidal, es decir, es de la forma ∞ a0 X 2πn + an cos x 2 n=1 T
  • Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 3 ii) Cuando f es impar, al calcular los coeficientes an las funciones a integrar son funciones impares, ya que f es impar y los cosenos pares; sin embargo, al calcular los bn las funciones a integrar son pares, porque tanto f como los senos son impares, de ahí que de acuerdo con la Proposición A.3 del Apéndice resulte an = 0 n = 0, 1, 2, 3, . . . Z T /2 4 2πn bn = f (x) sen xdx n = 1, 2, 3, . . . T 0 T y por tanto la serie de Fourier obtenida es una serie senoidal, es decir, es de la forma ∞ X 2πn bn sen x. n=1 T 3. Convergencia puntual de las series de Fourier Siendo f una función integrable en [0, T ], y además periódica de período T , podemos hablar de la serie de Fourier de f en [0, T ]. Sin embargo, como hemos aclarado antes, no hemos dicho que la serie converja hacia la función f , ni siquiera que sea convergente. Un teorema importante sobre la convergencia puntual de la serie de Fourier de una función f , que cubre la mayoría de las situaciones en las que se encuentran las funciones a considerar en las aplicaciones, es el que exponemos después de la siguiente definición. Definición 3.1 Se dice que una función f es monótona por tramos en un intervalo [a, b], si existe una partición {a = x0 < x1 < . . . < xn = b} del intervalo (a, b)a bx0 x1 x2 xn−1 xn de modo que la función f es monótona en cada subintervalo (xi−1 , xi ). Teorema 3.1 Si la función f es acotada y monótona a tramos en el intervalo [0, T ], y periódica de período T , entonces la serie de Fourier de f es convergente en cada punto x de R, y su suma es 1 £ ¡ +¢ ¡ ¢¤ f x + f x− 2 donde f (x+ ) y f (x− ) denotan respectivamente los límites por la derecha y por la izquierda de f en x, es decir f (x+ ) = l´ + f (x + h) y f (x− ) = l´ + f (x − h). ım ım h→0 h→0 4. Series de cosenos y series de senos A veces en las aplicaciones, surge la necesidad de representar mediante una serie de Fourier una función dada, que sólo está definida sobre cierto intervalo acotado de la recta real. Supongamos que la función f está definida en el intervalo [0, ], y que se desea representar por una serie de Fourier. Puesto que toda serie de Fourier, cuando converge, representa una función periódica, resolveremos el problema si consideramos una nueva función periódica, que coincida con la función f en el intervalo [0, ], y hallamos su serie de Fourier. Así si la serie de Fourier de la función construida a partir de f , representa a dicha función, también representará a f en el intervalo [0, ] en el que está definida. Con esta idea, se podrían adoptar distintas formas de proceder, como las tres que se sugieren a continuación.
  • Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 4 i) Construir una nueva función f ∗ , periódica de período , tal que en el intervalo (0, ) coincida con la función f . La serie de Fourier de f ∗ representará a la función f en el intervalo (0, ), si estamos en las condiciones del teorema de convergencia. ii) Construir una nueva función fp , periódica, de período 2 , que en el intervalo [− , ] se defina como ½ f (x) si x ∈ [0, ] fp (x) = f (−x) si x ∈ [− , 0) La función fp así definida es una función periódica, de período 2 , y además es par. Por ello fp tiene asociada una serie de Fourier cosenoidal. Dicha serie, que se denomina serie de cosenos de f , representará a la función f en el intervalo [0, ], si estamos en las condiciones del teorema de convergencia. iii) Construir una nueva función fi , periódica, de período 2 , que en el intervalo [− , ] se defina como ½ f (x) si x ∈ [0, ) fi (x) = −f (−x) si x ∈ (− , 0) La función fi así definida es una función periódica, de período 2 , y además es impar. Por ello fi tiene asociada una serie de Fourier senoidal. Dicha serie, que se denomina serie de senos de f , representará a la función f en el intervalo [0, ], si estamos en las condiciones del teorema de convergencia.5. Otras formas de expresión de las series de Fourier. Forma exponencial. En términos de los coeficientes an y bn , las series de Fourier adoptan la forma ∞ µ ¶ a0 X 2πn 2πn + an cos x + bn sen x 2 n=1 T Tpero a veces se utilizan otros coeficientes A0 , An , ψ n relacionados con éstos mediante las igualdades ⎫ A0 = a0 ⎬ an = An cos ψ n n = 1, 2, 3, . . . ⎭ bn = An sen ψ nsiendo An ≥ 0 y 0 ≤ ψ n < 2π, lo que permite escribir 2πn 2πn 2πn 2πn an cos x + bn sen x = An cos ψ n cos x + An sen ψ n sen x T T µ T ¶ T 2πn = An cos x − ψn , Tasí que la serie queda ∞ µ ¶ A0 X 2πn + An cos x − ψn . 2 n=1 TSi ahora introducimos el parámetro ω mediante la igualdad 2π ω= T
  • Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 5las series de Fourier se pueden escribir ∞ ∞ a0 X A0 X + (an cos nωx + bn sen nωx) o bien + An cos (nωx − ψ n ) 2 n=1 2 n=1Ahora, usando una terminología muy común en Física, llamaremos ¾ an cos nωx + bn sen nωx armónico de orden n An cos (nωx − ψ n ) An amplitud del armónico nωx − ψ n fase del armónico nω pulsación o frecuencia angular del armónico ψn constante de fase del armónico nω frecuencia del armónico 2πFORMA EXPONENCIAL DE LAS SERIES DE FOURIER La forma trigonométrica de la serie de Fourier de una función f , periódica de período T , dada por ∞ µ ¶ a0 X 2πn 2πn + an cos x + bn sen x 2 n=1 T Tdonde los coeficientes son los de la Definición 1, puede adoptar otra expresión a menudo más cómoda entérmino de funciones exponenciales complejas como mostraremos seguidamente. Si escribimos 2πinx 2πinx 2πn e T + e− T cos x= T 2 2πinx 2πinx 2πn e T − e− T sen x= T 2itendremos 2πn 2πn 1 h ³ 2πinx 2πinx ´ ³ 2πinx 2πinx ´i an cos x + bn sen x = an e T + e− T − ibn e T − e− T T T 2 1h 2πinx 2πinx i = (an − ibn ) e T + (an + ibn ) e− T 2 1De modo que definiendo b0 = 0, cn = (an − ibn ), y llamando cn a su conjugado, podremos expresar la 2serie de Fourier en la forma X³ ∞ 2πinx 2πinx ´ c0 + cn e T + cn e− T n=1y si por último llamamos c−n = cn quedará la forma exponencial de la serie: ∞ X 2πinx cn e T n=−∞cuyos coeficientes complejos, utilizando las expresiones de an y bn dadas en la Definición 1, se puedenobtener utilizando la fórmula Z 1 T 2πinx cn = f (x)e− T dx para todo n ∈ Z T 0
  • Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 6En términos de la pulsación ω, los coeficientes de Fourier quedarían Z 2π/ω ω cn = f (x)e−inωx dx para todo n ∈ Z 2π 0y la serie ∞ X cn einωx n=−∞6. Espectro de líneas y síntesis de formas de onda Existe un procedimiento gráfico para estudiar la contribución de cada armónico en una serie de Fourier.Consiste en un diagrama cartesiano en cuyo eje horizontal se representa la frecuencia de cada armónico,y en el vertical la amplitud del mismo. Ello da origen a un diagrama de segmentos verticales que seconoce con el nombre de espectro de líneas. Una simple inspección del mismo da una idea rápida dela velocidad de convergencia de la serie y de la contribución de cada armónico a la onda dada por laserie. Los armónicos que más contribuyen tienen mayores amplitudes, y en el espectro de líneas aparecenrepresentados por segmentos de mayor longitud. En el epígrafe A.4 del Apéndice se muestran algunos desarrollos de Fourier y sus correspondientesespectros de línea. Describimos a continuación otro concepto en relación con las aplicaciones de las series de Fourier. Laidea central de toda la teoría de series de Fourier es que en condiciones bastante generales, una funciónperiódica se puede expresar como una “suma” de infinitos armónicos. La convergencia de las series deFourier hace que los sucesivos armónicos tengan cada vez menor amplitud, por lo que la suma de unospocos de ellos basta para obtener una buena aproximaciónde la función. Supongamos que tenemos unafunción periódica y calculamos sus primeros armónicos. Podemos entonces reconstruir aproximadamentela función sumando tantos armónicos como se considere necesario para conseguir la precisión deseada.Este proceso se conoce con el nombre de síntesis de formas de onda y para ponerlo de manifiesto, loaplicaremos a algunos ejemplos que se describen en el epígrafe A.5 del Apéndice. Obsérvese que en el ejemplo b) podemos conseguir una buena síntesis tomando pocos armónicos, adiferencia de lo que ocurre en los casos a) y c) en los que el número de armónicos necesario es mayor. Elloes debido a que la velocidad de convergencia de la serie de Fourier es tanto mayor (y en consecuencia tantomenor el número de armónicos que se necesitan para la síntesis) mientras más “suave” sea la función, esdecir, mientras más derivadas continuas tenga la función.
  • Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 7APÉNDICE.-A.1. Proposición. Para todo n, p ∈ {0} ∪ N se cumple que: ⎧ Z T ⎨ T si n = p = 0 2πn 2πp a) cos x cos xdx = T /2 si n = p > 0 0 T T ⎩ ⎧ 0 si n 6= p Z T ⎨ 0 si n = p = 0 2πn 2πp b) sen x sen xdx = T /2 si n = p > 0 0 T T ⎩ 0 si n 6= p Z T 2πn 2πp c) cos x sen xdx = 0 0 T TDemostración: 1a) Utilizando la relación cos α cos β = [cos(α + β) + cos(α − β)] resulta que: 2 Z T Z µ ¶ Z µ ¶ 2πn 2πp 1 T 2πn 2πp 1 T 2πn 2πp cos x cos xdx = cos + xdx + cos − xdx T T 2 0 T T 2 0 T T 0 ⎧ ⎨ T /2 + T /2 si n = p = 0 = 0 + T /2 si n = p > 0 ⎩ 0 si n 6= pb) Se demuestra de manera análoga utilizando la relación 1 sen α sen β = [cos(α − β) − cos(α + β)] 2c) Se demuestra de forma análoga utilizando la relación 1 cos α sen β = [sen(α + β) − sen(α − β)] 2A.2. Proposición. Si g : R → R es una función T -periódica e integrable en un intervalo de longitud T ,entonces se verifica: Z a+T Z T g (x) dx = g(x)dx para todo a ∈ R a 0es decir, la integral en todo intervalo de longitud T toma siempre el mismo valor.Demostración: Z a+T Z T g(x)dx − g(x)dx = a 0 Z 0 Z T Z a+T Z T = g(x)dx + g(x)dx + g (x) dx − g(x)dx a 0 T 0 Z 0 Z a+T = g(x)dx + g(x)dx a T Z a+Ty esta última suma es cero, ya que haciendo el cambio de variable x = t + T en la integral g(x)dx, Z 0 Tresulta ser igual a − g(x)dx. aA.3. Proposición. Si f : [−a, a] → R es integrable, se puede asegurar que:
  • Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 8 Z a Z a a) Si f es par, entonces f (x)dx = 2 f (x)dx. −a 0 Z a b) Si f es impar, entonces f (x)dx = 0. −aDemostración: a) Z a Z 0 Z a Z 0 Z a f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx = f (−x)dx + f (x)dx = −a −a 0 −a 0 pero las dos últimas integrales quedan, después de hacer el cambio de variable t = −x en la penúltima de ellas, así Z 0 Z a Z a Z a Z a = −f (t)dt + f (x)dx = f (t)dt + f (x)dx = 2 f (x)dx a 0 0 0 0 b) Z a Z 0 Z a Z 0 Z a f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx = −f (−x)dx + f (x)dx = −a −a 0 −a 0 pero las dos últimas integrales quedan, después de hacer el cambio de variable t = −x en la penúltima de ellas, así Z 0 Z a Z a Z a = f (t)dt + f (x)dx = − f (t)dt + f (x)dx = 0 a 0 0 0A.4. Espectro de líneas. A continuación se describen algunas funciones periódicas, sus desarrollos de Fourier y las amplitudesde los armónicos. También se representan los correspondientes espectros de líneas. ½ 0 si − 5 < x < 0 a) f (x) = y periódica de periodo T = 10 3 si 0 < x < 5 µ ¶ 3 6 πx 1 3πx 1 5πx + sen + sen + sen + ··· 2 π 5 3 5 5 5 6 An = n = 1, 2, 3, . . . (2n − 1) π 2 1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1
  • Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 9 b) f (x) = sen x en [0, π] y periódica de periodo T = π µ ¶ 2 4 cos 2x cos 4x cos 6x − + + + ··· π π 3 15 35 4 An = n = 1, 2, 3, . . . (4n2 − 1) π 0.5 0.25 1/π 2/π 3/π 4/π 5/π c) f (x) = x2 en (0, 2π) y periódica de periodo T = 2π 4π2 4 4π 4 4π 4 4π + cos x − sen x + cos 2x − sen 2x + cos 3x − sen 3x + · · · 3 1 1 4 2 9 3 4p An = 2 1 + n2 π 2 n = 1, 2, 3, . . . n 10 5 1/2π 2/2π 3/2π 4/2π 5/2π 6/2πA.5. Síntesis de formas de onda. En los ejemplos que siguen se muestran algunas funciones periódicas, la suma de sus primeros armóni-cos, y superpuestas en el mismo diagrama, las gráficas de la suma de armónicos y de la función, sobre unintervalo de longitud igual a un período. Debe observarse cómo la suma de los armónicos se adapta cadavez mejor a la función, mientras más sumandos tenga. a) f (x) = x en (−π, π) y periódica de periodo T = 2π S2 (x) = 2 sen x − sen 2x 2 2 2 S5 (x) = 2 sen x − sen 2x + sen 3x − sen 4x + sen 5x 3 4 5
  • Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 10 3 3 2 2 1 1 -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -1 -2 -2 -3 -3 b) f (x) = x3 − x en [−1, 1] y periódica de periodo T = 2 12 S1 (x) = − sen πx π3 12 3 S2 (x) = − 3 sen πx + 3 sen 2πx π 2π 0.4 0.4 0.2 0.2 -1 -0.5 0.5 1 -1 -0.5 0.5 1 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 Obsérvese que bastan sólo dos armónicos para reproducir casi exactamente la función f . Ello es debido, como se comentó en la Sección 6, a que f tiene (compruébese) derivada primera continua. ½ 0 si x < 0 c) f (x) = u(x) = (función escalón unidad) definida en (−1, 1) y periódica de periodo 1 si x 0 T =2 1 2 S2 (x) = + sen πx 2 π 1 2 2 S4 (x) = + sen πx + sen 3πx 2 π 3π 1 2 2 2 2 S7 (x) = + sen πx + sen 3πx + sen 5πx + sen 7πx 2 π 3π 5π 7π 1 1 1 0.8 0.8 0.8 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2 0.2 -1 -0.5 0.5 1 -1 -0.5 0.5 1 -1 -0.5 0.5 1
  • Tema 7. Series de Fourier. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 11 d) f (x) = sen x en [0, π] y periódica de periodo T = π 2 4 4 S2 (x) = − cos 2x − cos 4x π 3π 15π 2 4 4 4 4 S4 (x) = − cos 2x − cos 4x − cos 6x − cos 8x π 3π 15π 35π 63π 2 4 4 4 4 S7 (x) = − cos 2x − cos 4x − cos 6x − cos 8x − π 3π 15π 35π 63π 4 4 4 − cos 10x − cos 12x − cos 14x 99π 143π 195π 1 1 1 0.8 0.8 0.8 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2 0.2 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.5 1 1.5 2 2.5 3 En este ejemplo, también la aproximación de la suma de armónicos a la función es bastante buena,debido a que f es continua, pero no tan buena como en el ejemplo b), porque ahora, en los extremos delintervalo, la derivada no es continua.