Analisis matematico 1

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Análisis matemático I

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  • quiero saber si esque existe algun solucionario pra este libro porfavor si fuera asi publicalooo gracais
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  • 1. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 1 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ Vicerrectorado de Investigación ANÁLISIS MATEMÁTICO I TINS Básicos INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS, INGENIERÍA ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA, INGENIERÍA TEXTIL, INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES, INGENIERÍA AUTOMOTRIZ, INGENIERÍA AERONÁUTICA, INGENIERÍA DE SOFTWARE, INGENIERÍA MARÍTIMA, INGENIERÍA NAVAL TEXTOS DE INSTRUCCIÓN (TINS) / UTP Lima - Perú
  • 2. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 2 © ANÁLISIS MATEMÁTICO I Desarrollo y Edición : Vicerrectorado de Investigación Elaboración del TINS : • Lic. Carlos Bravo Quispe • Lic. Primitivo Cárdenas Torres Diseño y Diagramación : Julia Saldaña Balandra Soporte acadêmico : Instituto de Investigación Producción : Imprenta Grupo IDAT Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.
  • 3. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 3 “El presente material de lectura contiene una compilación de artículos, de breves extractos de obras matemáticas publicadas lícitamente, acompañadas de resúmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución. Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor”.
  • 4. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 4
  • 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 5 PRESENTACIÓN La matemática, ciencia de la más alta jerarquía, en el concierto de las ciencias, desde los albores de la civilización humana sigue siendo la base del desarrollo científico y tecnológico de nuestro mundo. La Ingeniería como expresión de la tecnología, se erige sobre la base de los diferentes espacios de la creación matemática, del sentimiento y del pensamiento de la humanidad. De allí, que en la formación académica de Ingenieros, la UTP privilegia el estudio de la matemática, en la convicción de dotar a sus estudiantes firme pensamiento abstracto y amplio pensamiento innovador. En esta dimensión se ha desarrollado el presente texto de instrucción, en su primera edición dirigido a estudiantes de Ingeniería de las Carreras de Ingeniería de: Sistemas, Industriales, Electrónica y Mecatrónica y Telecomunicaciones, para la Asignatura de ANÁLISIS MATEMÁTICO I. Plasma la preocupación institucional de la innovación de la enseñanza- aprendizaje en educación universitaria, que en acelerada continuidad promueve la producción de materiales educativos, actualizados en concordancia a las exigencias de estos tiempos. La estructura del contenido del texto permitirá lograr conocimientos de ANÁLISIS MATEMÁTICO, progresivamente modelada en función del silabo de la Asignatura acotada líneas arriba; contenido elaborado mediante un proceso acucioso de recopilación de temas, desarrollados en diferentes fuentes bibliográficas. La conformación del texto ha sido posible gracias al esfuerzo y dedicación académica de los profesores: Lic. Carlos Bravo Quispe y Lic. Primitivo Cárdenas Torres. La recopilación aludida de temas pertinentes, consistentes y actualizados, para estudiantes de segundo ciclo, tiene el siguiente ordenamiento temático: Relaciones, Funciones, Límite y Continuidad de Funciones, Derivadas y sus aplicaciones en los diferentes campos de la Ingeniería.
  • 6. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 6 Al cerrar esta presentación debemos reconocer el esfuerzo y trabajo de los profesores que han permitido la elaboración del presente texto en su primera edición y la dedicación paciente del Dr. José Reategui Canga en la revisión del texto. Vicerrectorado de Investigación
  • 7. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 7 ÍNDICE CAPÍTULO I: RELACIONES BINARIAS 11 1.1 PAR ORDENADO Y PRODUCTO CARTESIANO 11 1.1.1 PAR ORDENADO 11 1.1.2 PRODUCTO CARTESIANO 12 1.2 DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE UNA RELACIÓN 16 CAPÍTULO II: FUNCIONES 21 2.1 DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN 22 FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 25 2.2 FUNCIONES ESPECIALES O TIPOS DE FUNCIONES 27 FUNCIÓN CONSTANTE 27 FUNCIÓN IDENTIDAD 27 FUNCIÓN LINEAL 28 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO 28 FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA 29 FUNCIÓN SIGNO 29 FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO 30 FUNCIÓN CUADRÁTICA 30 FUNCIÓN RACIONAL ENTERA O POLINÓMICA. 31 FUNCIÓN RACIONAL FRACCIONARIA 32 FUNCIÓN PROYECCIÓN 33 FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO 33 OPERACIONES CON FUNCIONES 36 DEFINICIÓN 36 EJERCICIOS PROPUESTOS 40 2.3 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES: FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS 48 2.3.1 FUNCIÓN INYECTIVA 48 2.3.2 FUNCIÓN SOBREYECTIVA. 50 CAPÍTULO III: LÍMITES DE FUNCIONES 57 3.1. DEFINICIÓN INFORMAL DE LÍMITE 57 3.2 DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE 61 TEOREMA (UNICIDAD DE LÍMITE). DEMOSTRACIÓN 62 TEOREMA (TEOREMA DEL SÁNDWICH) 62 TEOREMA. DEMOSTRACIÓN
  • 8. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 8 3.3 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 63 3.4 LÍMITES LATERALES 66 LÍMITE POR LA IZQUIERDA 66 LÍMITE POR LA DERECHA. TEOREMA. EJERCICIOS 66 3.5 LIMITES AL INFINITO 74 3.6 ASÍNTOTAS 76 3.7 FUNCIONES CONTINUAS 79 3.8 LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS. TEOREMAS Y DEMOSTRACIONES 84 MISCELÁNEA DE PROBLEMAS DE LÍMITES Y CONTINUIDAD 92 CAPÍTULO IV: LA DERIVADA 95 4.1 DEFINICIÓN 95 4.2 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 100 4.3 REGLAS PARA LA DERIVACIÓN 103 4.4 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES 105 4.5 DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 108 4.6 DERIVADA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS 108 4.7 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 110 4.8 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 111 4.9 DERIVADAS DE ORDENSUPERIOR 116 4.10 DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA 119 4.11 DIFERENCIALES 120 4.12 LA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIO 123 4.13 EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADA Y SUS APLICACIONES 130 4.14 REGLAS DE L’ HOSPITAL 135 4.15 APLICACIONES DE LA DERIVADA 140 4.16 CONCAVIDAD Y CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA 150 EJERCICIOS 161 BIBLIOGRAFÍA 165
  • 9. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 9 DISTRIBUCIÓN TEMÁTICA Clase N° Tema Semana 1 Relaciones: dominio, rango y gráficas. Funciones: definición, dominio y rango. 1 2 Funciones especiales: constante, identidad lineal. Raíz cuadrada, función signo. 2 3 Clases de funciones: inyectivas, suryectiva y biyectiva. Función valor absoluto. Función escalón unitario. 3 4 Función entero. Funciones pares e impares. Funciones periódicas. 4 5 Operaciones com funciones: suma, resta, producto, división. Inversa de funciones. 5 6 Imágenes inversas de subconjuntos del dominio. Límite de funciones. Definición y propiedades. 6 7 Límites algebraicos y trigonométricos. Límites laterales. Límites al infinito y límites infinitos. Asíntotas. 7 8 Continuidad. Teoremas. Continuidad en un punto en un intervalo. Clases de discontinuidad. 8 9 Derivación. Interpretación geométrica. Rectas tangente y normal. Derivadas laterales. Gráficas. 9 10 E X A M E N P A R C I A L 10 11 Reglas de derivación. Derivadas trigonométricas. Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas. R. cadena. 11 12 Derivadas de orden superior. Derivación implícita. Derivada de las funciones inversa. Diferenciales. 12 13 Aplicaciones de diferenciales. La derivada como razón de cambio. 13 14 Teorema de Rolle y teorema de valor medio para derivadas. Interpretación y aplicaciones. 14
  • 10. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 10 15 Regla de L’Hospital. Funciones crecientes y decrecientes (funciones monótonas). Máximos – mínimos. 15 16 Puntos críticos. Teoremas. Criterio de la primera derivada para valores extremos. 16 17 Criterio de la segunda derivada. Concavidad y punto de inflexión. 17 18 Estudio de las funciones trascendentes. Funciones trigonométricas y trigonométricas inversas y sus derivadas. 18 19 E X A M E N F I N A L 19 20 E X A M E N S U S T I T U T O R I O 20
  • 11. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 11 CAPÍTULO I RELACIONES BINARIAS 1.1 PAR ORDENADO Y PRODUCTO CARTESIANO 1.1.1 PAR ORDENADO.- Dados dos elementos a y b interesa formar un conjunto que depende de dichos elementos y del orden en que se consideran. DEFINICIÓN. Par ordenado (a, b) es el conjunto cuyos elementos son {a} y {a, b}. Es decir: (a, b) = {{a}, {a, b}} a y b son la primera y la segunda componente del par ordenado. En particular se tiene: (a, a) = {{a},{a,a}} = {{a}} Si a ≠ b, entonces (a, b) ≠ (b, a) TEOREMA 1: Dos pares ordenados son iguales si y solo si tienen sus componentes respectivamente iguales. Es decir: (a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d DEMOSTRACIÓN: Se sigue de la definición de par ordenado. EJEMPLO N°1. Hallar m2 + n2 si: (m — n, – 2) = (4, m + n) Por el teorema anterior se tiene que: ⎩ ⎨ ⎧ −=+ =− 2nm 4nm sumando estas expresiones miembro a miembro se obtiene m = 1. Que al reemplazar en la primera ecuación da lugar a que n = – 3
  • 12. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 12 Por lo tanto m2 + n2 = 10 EJEMPLO N°2: ¿ Es (3, 2°) = (3, 32 - 23 )?. La repuesta es afirmativa, pues sabemos que: 2° = 1 y 32 – 23 = 1 1.1.2 PRODUCTO CARTESIANO.- Definimos el producto cartesiano de dos conjuntos no vacíos A y B como aquel conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados cuyas primeras componentes pertenecen a A y la segunda a B. Esto es: A × B = {(a,b)/a ∈ A ∧ b∈ B} En particular: A × A = A2 = {(a, b)/ a∈ A ∧ b∈ A} EJEMPLOS 1. El producto cartesiano de A = {1, 2, 3} por B = {4, 5}, está dado por: A × B = {(1,4), (1, 5), (2,4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)} y B × A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)} 2. Por ser pares ordenados, los elementos del producto cartesiano de dos conjuntos no vacíos pueden representarse mediante puntos del plano cuya abscisa y ordenada son, respectivamente, la primera y segunda componentes. Figura 1
  • 13. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 13 3. El producto cartesiano no es conmutativo, pues (3, 4) pertenece a A×B y (3, 4) no pertenece a B × A. 4. Dados los intervalos cerrados de números reales: [a, b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b} y [c, d] = {y ∈ R/c ≤ y ≤ d} Entonces [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R × R/a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} es el rectángulo cuyos lados son dichos intervalos. | Figura 2 5. Sean A = {x ∈ R/⏐x⏐ < 2} y B = R. Tenemos A × B = {(x , y) ∈ R × R/ –2 < x < 2 ∧ y∈R} es la franja abierta de la figura (fig. 3).
  • 14. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 14 Figura 3 Se puede definir un sistema coordenado rectángular o cartesiano* en el plano considerando en él dos rectas perpendiculares que se cortan o intersecan en el origen O de ambas. A menos que se especifique lo contrario, en cada recta se elige la misma unidad de longitud. Se acostumbra colocar una de las rectas en dirección horizontal con el sentido positivo a la derecha, y la otra, vertical en el sentido positivo hacia arriba, como se indica con las puntas de flecha en la figura (fig. 4) Las dos rectas se denominan los ejes coordenados y el punto O es el origen. La recta horizontal se suele llamar eje x y la vertical eje y, lo cual se indica escribiendo con X y una Y respectivamente, junto a las puntas de los ejes. Entonces tal plano es un plano coordenado XY. Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro partes llamadas el primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes que se denotan por I , II , III y IV, respectivamente. A cada punto P en el plano XY se le puede asignar un par ordenado único (a, b), como se muestra en la figura (4). El número a es la abscisa(o coordenada x) de P, y b es su ordenada (o coordenada y). Se dice que P tiene las coordenadas (a,b). Recíprocamente, todo par ordenado (a, b) determina un punto P en el plano XY con coordenadas a y b. A veces se habla del punto (a, b), o P(a, b) para indicar al punto P con abscisa a y ordenada b. Para trazar un punto P(a, b) se localiza en un plano cooordenado y se representa por un pequeño círculo, como se ilustra para varios puntos en la figura (5).
  • 15. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 15 Figura 4 Figura 5 Para fijar ideas consideremos el conjunto A formado por los alumnos del curso de Análisis Matemático I: a , b , c y d, y el conjunto B cuyos elementos son las posibles notas obtenidas en la primera práctica calificada: 1,2,3, 4, y 5, correspondiente a insuficiencia, aprobado, bueno, distinguido y sobresaliente. Es decir: A = {a,b,c,d} y B = {1,2,3,4,5} Los elementos de A quedan vinculados con los elementos del conjunto B mediante la propiedad: P(x,y) : x obtuvo la nota y Supongamos que la situación en la primera práctica calificada queda especificada mediante el siguiente diagrama: Figura 6
  • 16. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 16 Esta relación entre A y B está caracterizada por el conjunto de pares ordenados. P = {(a,2), (a,4), (b,4), (d,5)} Como c no tiene ningún correspondiente en B, consideremos que no ha clasificado en la prueba. Se tiene: (x,y) ∈ R P(x,y) es V DEFINICIÓN. Relación entre A y B es todo subconjunto del producto cartesiano A × B. En símbolos: R es una relación entre A y B ⇔ R ⊂ A × B o R: A → B Para indicar que un par ordenado (a,b) pertenece a la relación suele escribirse aRb, lo que equivale a (a,b) ∈ R. 1.2 DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE UNA RELACIÓN Consideramos una relación R entre los conjuntos A y B. Si (x,y) ∈ R diremos que y es una imagen de x a través de R, y que x es una preimagen de y por R. DEFINICIÓN. Dominio de R es la totalidad de los elementos de A, que admiten imagen en B. Dom(R) = {x ∈ A / ∃ y ∈ B ∧ (x,y) ∈ R} Es decir: El dominio de la relación R es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados (x,y) que pertenecen a R. DEFINICIÓN: El rango de la relación R es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados (x,y) que pertenecen a la relación R, esto es Rang(R)={y∈B /∃ x∈A ∧ (x,y)∈ R}. EJEMPLO 1: De la relación R = {(a,2), (a,4), (b,4), (d,5)} Tenemos: Dom(R) = {a, b, d} y Rang(R) = {2, 4, 5}
  • 17. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 17 EJEMPLO 2: Considerando el universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine el dominio, rango de las siguientes relaciones: 1. R1 = {(x,y) ∈ U × U / y = 2x} 2. R2 = {(x,y) ∈ U × U / x = 3} 3. R3 = {(x,y) ∈ U × U / 2x < y} Solución: Tenemos 1. R1 = {(1,2), (2,4), (3,6)} (i) Dom(Rl) = {1,2, 3} (ii) Rang(R1) = {2, 4, 6} 2. R2 = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3, 5), (3, 6)} (i) Dom(R2) = {3} (ii) Rang(R2) = {1,2, 3, 4, 5, 6} 3. R3 = {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,5), (2,6),} (i) Dom(R3) = {1, 2} (ii) Rang(R3) = {2, 3, 4, 5, 6} GRÁFICA DE UNA RELACIÓN Se llama gráfica de una relación de A en B al conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen dicha relación. Tener en mente que una relación puede ser de la forma F(x,y) = 0 o inecuaciones de la forma F(x, y) < 0, F(x, y) > 0, F(x, y) ≤ 0 o F(x, y) ≥ 0. Pasos a seguir para determinar la gráfica de una relación: 1. Determinación de la intersección con los ejes coordenados: (a) Eje X: Se hace y = 0 y se resuelve F(x, 0) = 0 (b) Eje Y: Se hace x = 0 y se resuelve F(0, y) = 0 2. Determinación de las simetrías con respecto a los ejes coordenados: (a) Eje X: Debe cumplirse F(x, –y) = F(x, y) (b) Eje Y: Debe cumplirse F(–x,y] = F(x,y] (c) Origen: Debe cumplirse F(–x, –y) = F(x,y) 3. Extensión: Consiste en determinar el dominio y rango de la relación 4. Asíntotas: Consiste en determinar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas que pueda tener la relación. Asíntotas verticales: se obtienen al determinar el dominio, viene a ser aquellos valores de x que hacen cero al denominador, es decir son rectas verticales en lascuales la gráfica de la función está muy
  • 18. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 18 cerca de dicha recta a medida x tiene a dichos valores que anulan al denominador. Asíntotas horizontales: se obtienen al determinar el rango, vienen a ser aquellos valores de y que anulan al denominado, es decir son rectas horizontales. Asíntotas oblícuas: son rectas y=mx+b, m≠0, que serán determinadas con suma facilidad, cuando los límites al infinito de una función. Ejemplo: 1 y x = Dom (f)=R -{0} Ran (f)= R -{0} L: x=0 es una asíntota vertical L: y=0 es una asíntota horizontal 5. Tabulación: Se determina un número finito de puntos que pertenecen a la relación para obtener la gráfica adecuada 6. Trazado de la gráfica de la relación. EJEMPLO Determine la gráfica de la relación R = {(x, y)∈R×R/y – x2 = 0} Solución 1. Intersección con los ejes coordenados (a) Eje x: hacemos y = 0 en la ecuación: y – x2 = 0 entonces: – x2 = 0 de donde x = 0 (b) Eje y: hacemos x = 0 en la ecuación: y – x2 = 0 entonces: y – 0 = 0 de donde y = 0
  • 19. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 19 2. Simetrías (a) Eje x: Debe ser F(x,–y) = F(x,y) –y + x2 ≠ y + x2 por lo tanto no existe simetría con respecto al eje x. (b) Eje y: Debe ser F(–x,y] = F(x,y) y – (–x)2 = y – x2 Por lo tanto, existe simetría con respecto al eje Y (c) Origen: Debe cumplirse F(–x, –y) = F(x,y] –y – (–x2 ) = –y – x2 ≠ F(x,y) Por lo tanto, no existe simetría con respecto al origen. 3. Extensión (a) Dominio: se despeja "y" De y – x2 = 0 se tiene y = x2 Por lo tanto, su dominio es R. (b) Rango: se despeja "x" De y – x2 = 0 se tiene x = ± y Luego: y ∈ Rang(R) ⇔ y ≥ 0 Por lo tanto Rang(R) = [0, +∞ >. 4. Asíntotas: no posee ningún tipo de asíntotas 5. Tabulación Figura 7
  • 20. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 20 EJERCICIOS – PROPUESTOS 1. En U = {1, 2, 4, 6, 8}. Determine dominio, rango y gráfica de la relación: R = {(x, y) ∈ U × U / x – y ≤ 40} 2. En U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Determine la relación: R = {(x,y) ∈ U x U / x + y es divisible por 4}, indicando su dominio y rango. 3. Determine dominio rango y gráfico de las siguientes relaciones: (a) R1 = {(x, y) ∈ R × R / xy –3 = 1} (b) R2 = {( x, y) ∈ R × R / x 2 y - 4y – 1 = 0} (c) R3 = {( x, y) ∈ R × R / 2 x + y ≤ 1} (d) #4 = {( x, y) ∈ R × R / 2y + x2 ≤ 0} (e) R5 = {( x, y) ∈ R × R / x 2 + 2y2 ≤ 4} 4. Determine la gráfica de las siguientes ecuaciones: (a) xy2 – 4x – y2 = 0 (b) x2 + 9y = 0 (C) x2 + y2 = 2 (d) x2 + y2 + 2x + 4y – 1 = 0 5. Determinar dominio, rango y gráfica de las siguientes relaciones: (a)R1 = {(x, y) ∈ R × R / |x – 2| – y = 0} (b)R2 = {(x, y) ∈ R × M / (x – 2y)(x + y) ≥ 0} (c)R3 = {(x,y) ∈ R × R / |x| + |y| ≤ 1} (d)R4 = {(x, y) ∈ R × R / l < x2 + y2 ≤ 4}
  • 21. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 21 CAPÍTULO II FUNCIONES Sean A y B dos conjuntos no vacíos y sea f una relación binaria de A en B, esto es, f⊂AxB. Entenderemos por función de A en B toda regla que asocia a cada elemento x del conjunto A un único elemento “y” del conjunto B. Es decir, una función es un conjunto de pares ordenados tales que la primera componente pertenece a A y la segunda a B, de modo tal que dos pares ordenados distintos no tengan la misma primera componente. Para denotar que d es una función de A en B, se escribe: f: A → B y se lee: “f es una función de A en B”. Formalmente tenemos la siguiente: DEFINICIÓN: f es una función de A en B si y sólo si se satisface las siguientes condiciones: i) f⊂AxB ii) (x,y)∈f ∧ (x,z) ∈f ⇒ y=z Regla de correspondencia: Si (x,y) ∈f, decimos que “y” es la imagen o valor de x por f, y suele escribirse y=f(x), es decir “y” es el transformado de x por la función f. De aquí que denotamos: f: A → B / y=f(x) EJEMPLO. Si A= {–1,0,1,2,4,}, B = {0,1,4,16} y f es la relación definida por: (x,y) ∈ f ⇔ y = x2 entonces se tiene f = {(–1, 1), (0, 0), (1, 1), (2,4), (4, 16)} ya que cada segunda componente es el cuadrado de la primera. El diagrama de Venn correspondiente es:
  • 22. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 22 Figura 1 DEFINICIÓN. f es una función o aplicación de A en B si y solo si f es una relación entre A y B, tal que todo elemento de A tiene un único correspondiente en B. OBSERVACIÓN: Toda función f : A → B es una relación, mas lo recíproco no necesariamente es cierto. 2.1 DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DEFINICIÓN. Definimos el dominio y el rango de una función f:A→B como el dominio y el rango de la relación f: D(f) = Dom(f ) ={x∈ A / ∃ y ∈ B; (x,y) ∈ f } R(f) = Rang(f) = {y∈ B / ∃ x ∈ A; (x,y) ∈ f } Al rango de f se le conoce también como imagen de f y se le denota por Img (f) = {f(x) / x ∈ A } Se denomina gráfica de la función f, al conjunto: Gf = {(x,y)/x ∈ Dom(f) ∧ y = f(x) ∈ Rang(f)} OBSERVACIÓN: Una función queda especificada si se dan el dominio A, el codominio B y además la relación f ⊂ A × B, que satisface las condiciones (i) y (ii) de la definición.
  • 23. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 23 EJEMPLO. Del ejemplo anterior, tenemos: Dom(f)=A, Img(f)={0,1,4,16} EJEMPLO. Determinemos si las siguientes relaciones son funciones: i) Sean A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3} y la relación f = {(a,l),(b,2),(c,2),(d,l)} se cumplen las condiciones de la definición, y resulta f una función tal que f(a)=1, f(b)=2, f(c)=2, f(d)=1 El diagrama es el siguiente: Figura 2 ii) Con los mismos A y B, la relación f = {(a,1), (a,2), (c,1), (d,3)} no es una función, pues no se verifica la condición (ii), ya que un mismo elemento de A tiene dos imágenes en B, como ocurre con a. El diagrama de la relación es: Figura 3
  • 24. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 24 iii) Si A es el conjunto de personas y f es la relación en A definida por (x, y) ∈ f ⇔ x es hijo de y entonces f es una función de A en A, ya que toda persona tiene padre y este es único. En cambio la relación definida en el mismo A mediante (x, y) ∈ f ⇔ x es padre de y no es una función de A en A, ya que existen en A personas que no son padres, es decir elementos del dominio que carecen de imagen en el codominio; por otra parte, tampoco se verifica la unicidad, pues existen personas que son padres de mas de un hijo. Esto significa que si una relación es función la relación inversa no lo es necesariamente. EJERCICIOS — RESUELTOS 1. Se desea construir un tanque horizontal de acero para almacenar gas propano, que tenga forma de cilindro circular recto de 3m de largo con una semiesfera en cada extremo. El radio r no esta aún determinado. Expresar el volumen V del tanque como una función de r. Solución El volumen de la parte cilíndrica del tanque puede calcularse multiplicando la altura 3 por el área πr2 de la base del cilindro. Esto es: Volumen del cilindro = 3πr2 Los dos extremos semi esféricos forman juntos una esfera de radio r. Usando la formula para el volumen de la esfera, obtenemos Volumen de los extremos = 3 3 4 rπ
  • 25. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 25 Por lo tanto, el volumen V del tanque es: ( )94r 3 1 2 +π= rV 2. Dos barcos zarpan al mismo tiempo del puerto. Uno viaja al oeste a 17mi/h y el otro hacia el sur a 12mi/h. Sea t el tiempo (en horas) después de la salida. Expresar la distancia d entre las embarcaciones como una función de t. Solución Figura 4 Aplicando Pitágoras, tenemos: d2 = a2 + b2 y como: distancia = (velocidad) (tiempo) se tiene: a = 17t, b = 12t Por lo tanto, reemplazando, obtenemos ( ) ( ) tttd 4331217 22 =+=
  • 26. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 26 FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL DEFINICIÓN. Una función f : A → B donde A y B son subconjuntos no vacíos de R, se denomina función real de variable real o función de una variable real con valores reales. EJEMPLO Sea f:A→B una función definida por: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = <<+ ≤ = 3,5 32,3 2,2 )( x xx x xf donde A y B son, subconjuntos de R. Se observa que Dom (f) = A =< - ∞,3] , Rang(f) =[5,6 > ∪ {2} Figura 6 EJEMPLO Determine el dominio, rango y gráfica de la función f(x)= 2 16 x− a) El dominio se determina resolviendo la inecuación: 16 – x2 ≥ 0 ⇔ –4 ≤ x ≤ 4 Por tanto: Dom(f) = [–4, 4]
  • 27. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 27 b) Sea y = f (x) tenemos y = 2 16 x− y ∈ Rang (f) ⇔ (y ≥ 0 ∧ x2 = 16 – y2 ) ⇔ y ∈ [0,4] Por tanto Rang (f) = [0,4] c) La gráfica de f esta dado como Figura 7 2.3 FUNCIONES ESPECIALES O TIPOS DE FUNCIONES FUNCIÓN CONSTANTE.- Es aquella función f : R → R definida por f(x) = c, donde c es una constante real. (a) Dom(f) = R (b) Rang(f) = {c} Su gráfica es una recta horizontal Figura 8
  • 28. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 28 FUNCIÓN IDENTIDAD.- Es aquella función f : R → R talque f (x) = x para todo x ∈ R, también se denota por I(x)=x La identidad de R es entonces la función que asigna a cada elemento de R el mismo elemento. a) Dom(f) = R (b) Rang(f) = R Su gráfica es una recta diagonal como se muestra en la figura. Figura 9 FUNCIÓN LINEAL.- Es aquella función f : R → R definida por f(x) = ax + b, donde a, b ∈ R ,a ≠ 0 son constantes. a) Dom(f) = R (b) Rang(f) = R Su gráfica esta dada por: Figura 10
  • 29. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 29 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO.- Es aquella función f:R→R definida por ⎩ ⎨ ⎧ <− ≥ == 0, 0, )( xx xx xxf a) Dom(f) = R (b) Rang(f) = [0,+∞> Su gráfico esta dado por: Figura 11 FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA.- Es aquella función f:R→R dada por xxf =)( a) Dom(f) = [0, +∞ > (b) Rang(f) = [0, +∞ > Su gráfica es: Figura 12 0
  • 30. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 30 FUNCIÓN SIGNO.- Es aquella función f : R → R definida por ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = <− == 0,1 0,0 0,1 )sgn()( x x x xxf a) Dom(f) = R (b)Rang (f) = {-1,0, 1} Su gráfico esta dado por: Figura 13 FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO.- Es aquella función f : R → R definida por ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < == 0,1 0,0 )()( x x xUxf , llamado también función de Heaviside. a) Dom(f) = R (b)Rang(f) = {0, 1} Su gráfico esta dado por:
  • 31. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 31 Figura 14 FUNCIÓN CUADRÁTICA.- Es aquella función f : R → R definida por f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b, c ∈ R,a ≠ 0 Su dominio es el conjunto de los números reales es decir: Dom(f) = R La gráfica de una función cuadrática es una parábola con eje focal paralelo al eje y. DEFINIMOS: = b2 - 4ac, llamado discriminante. Tenemos los siguientes casos: i) si > 0, la función cuadrática tiene dos raíces reales diferentes, es decir la gráfica de f interseca al eje X en dos puntos reales diferentes. ii) Si = 0, la función cuadrática tiene una raíz real doble (raíz de multiplicidad dos) iii) Si < 0, la función cuadrática no tiene raíces reales, es decir la gráfica de la función f no interseca al eje X El vértice de la parábola está dada por ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ −−= aa b V 4 , 2 el cual determina el rango de la función cuadrática en los siguientes casos: Por lo tanto se tiene: i) Si a > 0 el rango está dado por Rang(f) = ⎢ ⎣ ⎡ ∞+ Δ − , 4a
  • 32. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 32 ii) Si a < 0 el rango está dado por Rang(f)= ⎥ ⎦ ⎤Δ −∞− a4 , FUNCIÓN RACIONAL ENTERA O POLINÓMICA.- Es aquella función f : R → R definida por: f(x) = a0xn + a1xn–1 + • • • + an–1x + an, a0 ≠ 0 donde los ai , i = 0, • • • , n son constantes reales. Llamado también función polinómica de grado n En este caso el dominio de f es R. CASOS PARTICULARES i) f(x) = x2n , n ∈ N (polinomio de exponente par):Rang (f] = [0,+∞ > ii) f(x) = x2n+1 , ∈ N (polinomio de exponente impar) : Rang(f) = R FUNCIÓN RACIONAL FRACCIONARIA.- Es aquella función f:R→R tal que f(x) es el cociente de dos polinomios P(x) y Q(x), osea; mm mm nn nn bxbxbxb axaxaxa xQ xP xf ++++ ++++ == − − − − 1 1 10 1 1 10 ... ... )( )( )( Donde a0 . b0 ≠ 0 y Dom (f ))= {x ∈ R/ Q(x) ≠0} donde los ai y bj, i=0, …, n, j = 0,…, m son constantes reales. POR EJEMPLO 1. f(x) = x 1 i) Dom (f) = R – {0}, (ii) Rang(f) = R –{0}
  • 33. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 33 Figura 15 2. f(x) = 2 1 1 x+ i) Dom(f) = R , (ii) Rang(f) = <0,1] Figura 16 FUNCIÓN PROYECCIÓN.- Consideremos A x B y las funciones P1:AxB→A, P2:AxB→B definidas por P1(a,b) = a , P2(a,b) = b. Tales funciones se llaman primera y segunda proyección del producto cartesiano y asignan a cada par ordenado la primera y segunda componente, respectivamente. En un gráfico cartesiano se tiene:
  • 34. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 34 Figura 17 FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO.- Es aquella función f : R → R tal que a cada número real x le asocia el número entero n denotado por x , tal que n ≤ x < n+ 1. Es decir x = n es el mayor entero que no supera a x. f(x) =n ⇔ n≤ x<n+l (i) Dom(f) = R (ii) Rang(f) = Z Su gráfico es: Figura 18 Esta función se llama también función escalera o escalonada.
  • 35. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 35 EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Determine dominio, rango y gráfica de la función ( ) 2 ( )f x x x= − Solución Sea x n= donde Zn ∈ ,entonces 2 )()( nxxf −= , 1+<≤ nxn . Luego dando valores a n se tiene: Para n=0; 2 )( xxf = , 10 <≤ x n=1; 2 )1()( −= xxf , 21 <≤ x n=2; 2 )2()( −= xxf , 32 <≤ x y así sucesivamente, como se puede ver la gráfica de cada una de las funciones es una parábola restringida al dominio que se da. Se observa que: Dom(f)=R y [ >= 1,0)( fRang 2.- Determine dominio, rango y gráfica de la función 9 )( 2 2 − = x x xf Solución Tenemos { }3,3)( −−= RfDom y además el grafico de la función es
  • 36. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 36 simétrico respecto al eje Y(es una función par). Sea )(xfy = ⇒ 92 2 − = x x y ⇒ 1 92 − = y y x Como: 0 1 9 02 ≥ − ⇔≥ y y x ] >+∞<∪−∞=<⇒ ,10,)( fRang Se observa que la gráfica de la función tiene como asíntotas verticales a 3=x y 3−=x y asíntota horizontal a 1=y . Su gráfica es:
  • 37. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 37 EJERCICIOS – PROPUESTOS 1. Hallar el dominio de cada una de las siguientes funciones: (1) 2 2 23 1 2)( xx xxxf −+ +−−= (2) 32 32 )( 2 ++ − = xx x xf (3) 22 2103)( xxxxxf −−+−−= (4) 32 53 2 25)( − −−= x xxf 2. En cada ejercicio, determine el domino, rango y gráfica de cada función: (1) f (x) = 3x – 1 (2) f (x) = x2 + 2 (3) f (x) = 3x2 – 6 (4) f (x) = 5 –x2 (5) 2 2 )( 23 − − = x xx xf (6) ( )( ) ( )( )323 6543 )( 2 22 −+− +−−+ = xxx xxxx xf (7) 13)( −= xxf (8) f (x) = 56 )103)(1( )( 2 2 ++ −++ = xx xxx xf (9) f (x) = |3x + 5| – 3 (10) 22)( 2 ++= xxf (11) f (x) = 3x2 + x + 1 (12) f (x) = x2 +2x + 5 (13) f (x) – |4x – 6| (14) f (x) = |3x + 2| (15) f (x) = |4x – 6| + 5 (16) f (x) = |2x – 3| + 5 (17) 2 62 )( 2 −− + = xx x xf
  • 38. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 38 (18) 9 3 )( 2 − = x xf 3. Hallar dominio rango y gráfica de las siguientes funciones: (a) f (x) = 3x2 – 2x + 5 , x ∈ < 2,5] (b) f (x) = –2x2 + 4x – 3 , x ∈ [–3,5> (c) f (x) = |4x – 6| + 5 (d) f (x) = ]6,2[,23 ∈− xx 4. Hallar dominio, rango y gráfica de las siguientes funciones: 1. ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >∈− >−∈− = 8,3[,3 5,3[,1 )( xx xx xf 2. ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=− −≠− = 3,2 3,4 )( 2 x xx xf 3. ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥− <− = 3,3 3,4 )( 2 xx xx xf 4. ⎩ ⎨ ⎧ >∈− >−∈+ = 12,7[,3 7,4[,5 )( xx xx xf 5. ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >∈−+ <− = 8,3[,52 0,2 )( 2 xxx xx xf 6. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > −∈− >−−∞∈<− = 2,3 ]2,2[,1 2,,4 )( x x x xf 5. Determine el domino, rango y gráfica de las siguientes funciones: 1. f (x) = (x– x )2 2. f (x) = x x− 3. g (x) = x x− 4. h (x) = |x – 1| – |x| 5. f (x) = sgn(x2 – 16) 6. f (x) = |2x – 1| – x 7. f (x) = sgn ( )( )2 2 3 9 2 8 x x x x ⎛ ⎞− + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠ 8. g (x) = x⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 9. g (x) = 1 + ( )1 x −
  • 39. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 39 OPERACIONES CON FUNCIONES DEFINICIÓN: Dos funciones ℜ→Af : y ℜ→Bg : son iguales cuando )()( gDfD = y )()( xgxf = )( fDx ∈∀ DEFINICIÓN: Sean f y g dos funciones reales con AfD =)( y BgD =)( . Si φ≠∩ BA , se define: a) Función suma de f y g : )()())(( xgxfxgf +=+ y BAgfD ∩=+ )( b) Función Diferencia de f y g : )()())(( xgxfxgf −=− y BAgfD ∩=− )( c) Función producto de f y g : )()())(.( xgxfxgf = y BAgfD ∩=).( d) Función cociente de f y g : )( )( ))(( xg xf x g f = y { }0)(/)( ≠∩∈= xgBAx g f D e) Producto de una constante por una función: )())(( xkfxkf = , k ∈R. Para este caso AkfD =)( . f) Función valor absoluto de f: )()( xfxf = y AfD =)( EJEMPLO. Para las funciones definidas por: 2 25)( xxf −= , [ ]5,5)( −=fD 9 53 )( 2 − − = x x xg , >+∞<∪>−−∞=< ,33,)(gD tenemos: i) 9 53 25))(( 2 2 − − +−=+ x x xxgf , ][ 5,33,5)( <∪>−−=+ gfD = M
  • 40. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 40 ii) 9 53 25))(( 2 2 − − −−=− x x xxgf , ][ 5,33,5)( <∪>−−=− gfD = M iii) 9 53 .25))(.( 2 2 − − −= x x xxgf , ][ 5,33,5).( <∪>−−=gfD = M iv) 53 9.25 ))(( 22 − −− = x xx x g f , ] { }[ 3 55,33,5)( −<∪>−−= g f D = M v) 2 253)(3))(3( xxfxf −== , MfD =)3( vi) 2 25)()( xxfxf −== , [ ]5,5)( −=fD DEFINICIÓN (COMPOSICIÓN DE FUNCIONES) Sean :f A → R y :g B → R dos funciones tales que φ≠∩ BfR )( . La función )( fg definida por: ))(())(( xfgxfg = se denomina función compuesta de g y f o función de funciones. El dominio de la función fg es { })()()( gDxffDxD ∈∧∈= EJEMPLO Sean f y g dadas por 2)( −= xxf y xxxg += 5)( . Encontrar ))(( xfg y el Dominio de fg Solución Tenemos: ( )D f = R , ( )R f = R ; [ >+∞= ,0)(gD , [ >+∞= ,0)(gR como φ≠∩ )()( gDfR , se tiene 2)2(5))(( −+−= xxxfg y [ >+∞= ,2)( fgD
  • 41. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 41 EJEMPLO Sean 1)( 2 −= xxf y 53)( += xxg . Determinar gf y fg Solución Se tiene: ( )D f = R , [ >+∞−= ,1)( fR , ( )D g = R , ( )R g = R a) Como φ≠∩ )()( gDfR , entonces 5)1(3))(())(( 2 +−== xxfgxfg ∴ 23))(( 2 += xxfg y ( )D g f = R b) Como φ≠∩ )()( fDgR , entonces 1)53())(())(( 2 −+== xxgfxgf ∴ 24309))(( 2 ++= xxxgf y ( )D f g = R Nótese que en este último ejemplo ))(( xgf y ))(( xfg no son iguales, es decir: fggf ≠ . EJEMPLO Sean las funciones definidas por 4)( 2 −= xxf y 2)( −= xxg Hallar gf y fg Solución Se tiene ] [ >+∞∪−−∞=< ,22,)( fD y [ >+∞= ,2)(gD a) { } [{ }>+∞∈−∩=∈∩= ,24:)()()(:)()( 2 xxfDgDxfxfDfgD { } { }66:)(24:)( 2 ≥∨−≤∩=≥−∩= xxxfDxxfD ] [ >+∞∪−−∞=< ,66, y 24))(())(( 2 −−== xxfgxfg b)
  • 42. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 42 { } ] [{ }>+∞∪−−∞∈<−∩=∈∩= ,22,2:)()()(:)()( xxgDfDxgxgDgfD { } { }6:)(2222:)( ≥∨∩=≥−∨−≤−∩= xxgDxxxgD φ [ >+∞= ,6 y 6))(())(( −== xxgfxgf EJEMPLO Un globo esférico de juguete se infla con helio. El radio del globo aumenta a razón de 1.5 cm/s, expresar el volumen V del globo como una función del tiempo t (en segundos) Solución Sea x el radio del globo. Suponiendo que al comenzar el radio es 0, entonces a los t segundos tx 5.1= (radio del globo a los t segundos). Después de 1seg. el radio es 1.5cm, a los 2seg. el radio es 3.0cm, a los 3seg. es 4.5cm, etcétera. Ahora escribimos V= 34 3 xπ (volumen de una esfera de radio x). Esto da una relación de composición de funciones en la que V es una función de x, y x es una función de t . Por sustitución, 3 3 34 4 4 27 (1.5 ) ( ) 3 3 3 8 V x t tπ π π= = = Simplificando llegamos a la siguiente formula para V como función de t : 39 2 V tπ=
  • 43. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 43 EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Dadas las funciones ] ⎩ ⎨ ⎧ >∈<+− −∈<− = 5,2,15 2,1,42 )( 2 xxx xx xf , ] ⎩ ⎨ ⎧ >+∞∈< −∈<−+ = ,1,5 1,2,12 )( 2 x xxx xg Determine dominio, rango y gráfica de gf + Solución Tenemos ] ] ] ] ] ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >>=<+∞<∩>∈<++− >=<+∞<∩−∈<+− −=<−<∩−∈<−++− =+ 5,2,15,2,515 2,1,12,1,542 1,11,22,1,1242 ))(( 2 2 xxx xx xxxx xgf ] ] ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >∈<+− ∈<+ −∈<−+ = 5,2,65 2,1,12 1,1,54 2 2 xxx xx xxx Luego, ] ]( ) 1,1 1,2 2,5 1,5Dom f g+ =< − ∪ < ∪ < >=< − > ] ] 1 ( ) 8,0 3,5 ,6 8,6 4 Rang f g −⎡ + =< − ∪ < ∪ >=< − >⎢ ⎣ 2.- Determine dominio, rango y gráfica de fg − Si 13)( −= xxf 32, <≤ x y 13)( −= xxg >∈< 3 8 , 3 7 , x Solución Como 93632 <≤⇔<≤ xx Los posibles máximos enteros de 3x son :6, 7, 8
  • 44. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 44 Para 7 3 6 6 3 7 2 3 x x x= ⇒ ≤ < ⇒ ≤ < 7 8 3 7 7 3 8 3 3 x x x= ⇒ ≤ < ⇒ ≤ < 8 3 8 8 3 9 3 3 x x x= ⇒ ≤ < ⇒ ≤ < Luego 7 5 , 2, 3 7 8 ( ) 3 1 6 , , 3 3 8 7 , ,3 3 x f x x x x ⎧ ⎡ ∈ >⎪ ⎢ ⎣⎪ ⎪ ⎡⎪ = − = ∈ >⎨ ⎢ ⎣⎪ ⎪ ⎡ ∈ >⎪ ⎢⎪ ⎣⎩ Por lo tanto 613))(( −−=− xxfg >∈< 3 8 , 3 7 , x El cual tiene como rango >−−=<− 67,66)( fgRang 3.- Dadas las funciones 13)( += xxf , ]2,6−∈<x y 12)( +−= xxg , [ ]5,3∈x . Determine gf , si existe. Solución Analicemos la existencia: [ ] ] φ≠−<∩−−=∩ 2,65,9)()( fDomgRang Esto determina que existe gf . { })()(/)()( fDomxgxgDomgfDom ∈∩= [ ] ]{ }3,5 / 2 1 6,2x x= ∩ − + ∈< − [ ] { }2126/5,3 ≤+−<−∩= xx
  • 45. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 45 [ ] ⎢ ⎣ ⎡ ⎢⎣ ⎡ >>= − ∩ 2 7 ,3 2 7 , 2 1 5,3 Y 461)12(3)12())(())(( +−=++−=+−== xxxfxgfxgf 4.- Dada 32)( += xxf ]3,1−∈<x y ⎩ ⎨ ⎧ ≥+− <+ = 1,32 1,18 )( 2 xxx xx xg Determine fg Solución Llamemos 18)(1 += xxg , 1<x y 32)( 2 2 +−= xxxg , 1≥x Veamos si existen fg1 y fg2 : i) ]1( ) ( ) 1,9 3 ,1Rang f Dom g x φ∩ =< ∩ < −∞ >= Luego no existe la composición fg1 ii) ] [ φ>≠+∞∩=<∩ ,19,1)()( 2gDomfRang . Luego si existe la composición fg2 { })()(/)()( 22 gDomxfxfDomfgDom ∈∩= = ] [{ }>+∞∈+∩−< ,132/3,1 xx ] { } ]3,11/3,1 −=<−≥∩−< xx y 3)32(2)32()32())(( 2 22 ++−+=+= xxxgxfg 684 2 ++= xx Por lo tanto 684))(( 2 ++= xxxfg , ]3,1−∈<x
  • 46. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 46 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Dadas las funciones f y g definidas por: a) ⎩ ⎨ ⎧ >+− <− = 9,64 6,43 )( xx xx xf , ⎩ ⎨ ⎧ ≥− <− = 3,64 3,5 )( xx xx xg b) ⎩ ⎨ ⎧ >− ≤+− = 472 4,53 )( 2 xx xxx xf , ⎩ ⎨ ⎧ >− <− = 5,14 2,5 )( xx xx xg c) 542)( 2 −−= xxxf , ⎩ ⎨ ⎧ ≤<− >− = 23,2 2,52 )( x xx xg d) 72,12)( 2 <<−−−= xxxxf , ⎩ ⎨ ⎧ ≥ <<+− = 34 3143 )( x xx xg Hallar dominio, rango y gráfica de ,gf + gf − . 2.- Dadas las funciones: a) 1,63)( 2 <−−= xxxxf , 22)( 2 −+−= xxxg , 0≥x b) 62,75)( 2 <≤−−= xxxxf , 41,54)( 2 <<−+−= xxxxg c) 54,45)( ≤<−+−= xxxf , 56)( 2 −−= xxxg , 1>x Hallar dominio rango y gráfica de gf + , gf − . 3.- }{ )1,5(),3,4(),4,3(),2,2(),0,1( −−−=f , { })9,8(),8,7(),4,2(),0,5(),2,4(),3,1( −−g Hallar el rango de ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − g gf . 4.- Dadas las funciones: { })6,6(),3,5(),1,4(),1,3(),0,2(),0,1(),4,3( −−=f , { }( 4, 3),( 3,0),(1,0),(2,3),(3,3),(4,6),(6,6),(7,5)g = − − − Hallar { })(),/( gfbabamáx +∈+ 5.- Dadas las funciones : { })5,7(),6,4(),2,3(),0,2(),0,2(),4,3( −−=f , ,53)( += xxg 4<x Hallar { } { })(),/(min)(),/( gfbabagfbabamáx −∈+++∈+
  • 47. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 47 2.2 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES DEFINICIÓN.- (Función inyectiva o uno a uno). Se dice que una función f:A→B con dominio D es inyectiva, si para cualquier x1, x2 ∈ D con x1 ≠ x2 se tiene que f(x1) ≠ f(x2) Es decir; f : A → B es inyectiva si f(x1) = f(x2) con x1,x2 ∈ D implica x1 = x2 EJEMPLO En A = {0,1, 2, 5}, B = {0, 2, 3,4, 5, } i) f = {(0,0), (1,3), (2,4), (5,2)} es función inyectiva. ii) f = {(1, 2), (2, 3), (5, 3), (0, 0)} no es función inyectiva. DEFINICIÓN.- (Función sobreyectiva). Una función f: A→B es sobreyectiva, si para todo y ∈ B, existe x ∈ A, talque f(x) = y. En otras palabras: f : A → B es sobreyectiva si Img(f) = B EJEMPLO Sea A = {0,1,2,3,4}, B = {1,,4,5} y la función f : A → B, definida por f (0) = 1, f (1) = 1, f (2) = 4, f (3) = 5, f (4) = 4 Esta función es sobreyectiva, porque Img(f) = B. DEFINICIÓN.- (Función Biyectiva). Se dice que una función f : A → B es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva. EJEMPLO Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 7, 8, 9} y la función f : A→ B definida por f(1) = 5, f (2)=7, f (3) = 8, f (8) = 9 es una función biyectiva.
  • 48. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 48 2.3 FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS 2.3.1 FUNCIÓN INYECTIVA DEFINICIÓN: se dice que una función es inyectiva (o univalente) cuando todo elemento del rango tiene un único elemento en el dominio al cual esta asociado. Es decir ∀ )(, fDomba ∈ : babfaf =⇒= )()( INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Una función es inyectiva si cualquier recta paralela al eje X, intersecta a la gráfico de la función en un solo punto. EJEMPLO N°1 Figura 1 NO ES INYECTIVA, porque la recta horizontal intersecta a la función )(xfy = en más de un punto. ES INYECTIVA, porque la recta intersecta a la función y=f(x). En un sólo punto. EJEMPLO N°2 Sea 2 )( xxf = , >−∞∈< 0,x . Determine si la función es inyectiva. Solución Sean >−∞∈< 0,,ba : )()( bfaf = 22 ba =⇒ 0=−⇒ ba ∨ 0=+ ba Como 000 <+⇒<∧< baba , por lo tanto ba = . Es decir f es inyectiva.
  • 49. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 49 EJEMPLO N°3 Dada la función 2 12 )( + − = x x xf , [ ]8,4∈x determine si esta función es inyectiva. Solución Sean [ ]8,4, ∈ba 2 12 2 12 )()(: + − = + − ⇒= b b a a bfaf )2)(12()2)(12( +−=+−⇒ abba 242242 −−+=−−+⇒ ababbaab ba =⇒ Luego f es inyectiva en su dominio [ ]8,4 EJEMPLO N°4 Dada 2 23)( xxxf −+= , [ ]3,1−∈x . Analiza si f es inyectiva. Solución Sea [ ] 22 2323)()(,3,1, bbaabfafba −+=−+⇒=−∈ 22 2323 bbaa −+=−+⇒ 0)2)(( =−+−⇒ baba 020 =−+∨=−⇒ baba Como [ ] 4243,1, ≤−+≤−⇒−∈ baba y además: 0)3()1( ==− ff , sin embargo 31 ≠− . Luego f no es inyectiva. OBSERVACIÓN. Para que una función de la forma ⎩ ⎨ ⎧ = 2 1 )( f f xf , sea una función inyectiva es suficiente que se verifique las dos condiciones siguientes: i) 1f y 2f son inyectivas en sus dominios y ii) φ=∩ )()( 21 fRfR
  • 50. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 50 EJEMPLO N°5 Dada la función [⎩ ⎨ ⎧ >∈− >∈<−− = 8,6,13 6,4,24 )( 2 xx xxx xf Determine si f es inyectiva. Solución i) Inyectividad: Sea 24)( 2 1 −−= xxxf , >∈< 6,4x . Tomemos 2424)()(:6,4, 22 −−=−−⇒=>∈< bbaabfafba 0)4)(( =−+−⇒ baba Pero 844 <−+< ba , entonces .ba = Por lo tanto 1f es inyectiva. Claramente 13)(2 −= xxf es inyectiva. ii) Como >−=< 10,2)( 1fR y [ >= 23,17)( 2fR se tiene que φ=∩ )()( 21 fRfR . Por lo tanto f es inyectiva. EJEMPLO N°6 Determine si la función ] ⎩ ⎨ ⎧ ≥+− −∈<− = 4,26 4,1,12 )( 2 xxx xx xf Es inyectiva. Solución Llamemos 12)(1 −= xxf y 26)( 2 2 +−= xxxf f es inyectiva 1) fi⇔ y 2f son inyectivas y ii) φ=∩ )()( 21 fRangfRang Tenemos i) 1f es inyectiva y además ]7,3)( 1 −=<fRang ii) 7)3()( 2 2 −−= xxf , 4≥x
  • 51. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 51 Sean 7)3(7)3()()( 22 −−=−−⇔= babfaf ba =⇔ ∨ 6=+ ba Como a y b pertenecen al dominio de la función se tiene que 8≥+ ba . Por lo tanto se debe verificar solamente ba = Luego 2f es inyectiva y además [ >+∞−= ,6)( 2fRang Tenemos que 1f y 2f son inyectivas y φ≠∩ )()( 21 fRangfRang , esto nos indica que la función f no es inyectiva. 2.3.2 FUNCIÓN SOBREYECTIVA DEFINICIÓN DE APLICACIÓN Sean A y B dos conjuntos de números reales y sea BAf →: una función de A en B. Diremos que f es una aplicación de A en B , si AfDom =)( . DEFINICIÓN (Función Sobreyectiva).- Sean A y B dos conjuntos de números reales, y sea BAf →: una aplicación de A en B. Diremos que f es sobreyectiva )()(, xffDomxBy =∈∃∈∀⇔ En otras palabras: f es sobreyectiva BfR =⇔ )( INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA f es sobreyectiva⇔ toda recta paralela L al Eje X corta al grafico de f . Es decir, ( )gra f L φ∩ ≠ .
  • 52. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 52 EJEMPLO N°8 La función >−>→<−< 17,45,2:f definida por 23)( += xxf ¿Es sobreyectiva? Solución Como 525,2 <<−>⇔−∈< xx 1536 <<−⇔ x 17234 <−<−⇔ x >−=<⇔ 17,4)( fR Por lo tanto f es sobreyectiva. DEFINICIÓN.- Se dice que una función BAf →: es biyectiva si y solamente si es inyectiva y sobreyectiva. EJEMPLO N°9 Dada la función 5 1 : 1,5 , 4 8 f < >→< − − > definida por 9 )( − = x x xf , verificar que es biyectiva.. Solución i) f es inyectiva. Sean 99 )()(:)(, − = − ⇒=∈ b b a a bfaffDomba )9()9( −=−⇒ abba ba =⇒ . Luego f es inyectiva ii) f sobreyectiva. Se tiene 9 9 1)( − += x xf , como 515,1 <<>⇔∈< xx 498 −<−<−⇔ x 8 9 9 9 4 9 −< − <−⇔ x
  • 53. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 53 ⇔ 8 1 9 9 1 4 5 −< − +<− x Luego f es sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva. DEFINICIÓN.- Dada una función biyectiva BAf →: , se llama Función Inversa de f a la función ABf →− :1 y definida de la siguiente manera: a cada Bb ∈ se le hace corresponder el único elemento Aa ∈ tal que baf =)( y que satisface las condiciones siguientes: i) xxff =− ))(( 1 , Ax ∈∀ ii) yyff =− ))(( 1 , By ∈∀ OBSERVACIÓN i) )()( 1 fRfDom =− ii) )()( 1 fDomfR =− EJEMPLO N°9 Dada la función >−−>→<< 8 1 , 4 5 5,1:f definida por 9 )( − = x x xf . Determine la inversa si existe. Solución Vemos que dicha función es biyectiva, por lo tanto posee inversa 1− f esta es 1 9 )(1 − =− x x xf EJERCICIOS 1.- Analizar si las siguientes funciones son inyectivas a) 53)( −= xxf >∈< 5,2x d) [⎩ ⎨ ⎧ >− >∈<− = 6,44 4,2,42 )( 2 x xx xf b) 342)( 2 +−= xxxf , [ >−∈ 3,2x e) ] [⎩ ⎨ ⎧ >− −∈<− = 7,33 2,1,42 )( x xx xf c) 36)( 2 +−−= xxxf , ]5,3∈<x f) 562)( +−= xxf , [ >∈ 5,3x
  • 54. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 54 2.- Determine la inversa de las siguientes funciones si existe a) 243)( 2 −−= xxxf , >∈< 5,2x c) ][⎩ ⎨ ⎧ ∈+− >∈<− = 5,3,53 3,1,12 )( xx xx xf b) 54)( −= xxf , ][ 6,2∈x d) [ ) ⎩ ⎨ ⎧ >∈<− ∈− = 9,6,23 6,4,4 )( xx xx xf 3.- Determine si las siguientes funciones dadas son inyectivas: a) Dada la función f definida por: f(x) = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤−+ <−− 3,32 3,32 xx xx determine si la función f es inyectiva. b) Demostrar que f es inyectiva donde: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ + <−− 2, 6 2,782 )( 2 x x x xxx xf c) Sea f . A → <–4,1], definida por: x x xf 210 310 )( + + = a) Determinar A. b) Mostrar que f es inyectiva. c) ¿f es sobreyectiva? 4.- Determine si las siguientes funciones son inyectivas: a) 0, 4 9 )( 2 2 ≥ − − = x x x xf b) >−−∞∈<−= 2,,4)( 2 xxxf c) ]1,2[,2 2 −∈−− xxx EJERCICIOS RESUELTOS 1. Determine si la función f : N → N definida por f(x) = 2x es inyectiva. Solución Sean a,b ∈ N tales que f (a) = f(b). Esto sigue que: 2a = 2b ⇒ a = b De modo que f es inyectiva.
  • 55. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 55 Además f no es sobreyectiva, Pues los elementos del codominio(conjunto de llegada) que son impares carecen de antecedente en N. Resultando que f no es biyectiva. 2. Si consideramos como codominio el conjunto P de los números naturales pares y f : N —> P talque f(x) = 2x, determine si f es sobreyectiva. Solución Ahora se puede demostrar que f es sobreyectiva, en efecto Dado b ∈ P existe a = 2 b ∈ N tal que f(a) = 2a = 2( 2 b ) = b Siendo f inyectiva y sobreyectiva resulta biyectiva. 3. Se lanza una moneda tres veces. Los posibles resultados de este experimento aleatorio son todas las ternas formadas por "caras" y "sellos", o bien por “unos" y "ceros", y son las siguientes: A = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0)} El conjunto A de todos los elementos, se llama espacio muestral asociado al experimento. Definamos ahora la función de A en R, que asigna a cada elemento la diferencia entre el número de caras y el número de sellos. Determine si la función: (i) es inyectiva (ii) es sobreyectiva cuya representación esta dada por: Figura 5
  • 56. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 56 Solución (i) No es inyectiva, pues a 1 le corresponde la imagen de los elementos (1,0,1) y (0,1,1) ' (ii) No es sobreyectiva, pues el elemento 2 del codominio no es imagen de ningún elemento del dominio. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Dada la función f(x) = 2x — 1, determine el valor de E = 4f(2)–5f(–2)f(3) 2. Dada la función f(x) = 2x2 + 5x — 3, determine el valor de )2( )1(3)0(2)1()2( f ffff E −+−− = 3. Hallar los valores de a y b si f(x) = ax2 + bx + 5, si f(x + 1) = f(x) + 8x + 1 4. Si f(x) = ax + b, f (2) = 7 , f(3) = 12. Calcular f (–4)f(l). 5. En A = {1,2,3,4} se definen las funciones f = {(1,1), (2,3), (4,2), (3,3), (4,m)} y g(x) = mx2 + bx + c. Si f (1) = g(l), f(2) = 4. Hallar Rang(g). 6. En cada caso determinar a y b para que f y g sean funciones y determinarla completamente: f = {(1,8), (2, –3), (1, a2 + b2 ), (–1, a + b), (a2 + b, a), (b + a2 , b)} g = {(4, 3), (–5, –3), (4, a2 – b2 ), (–5, a + b), (a2 + b, a), (a2 + b2 , b)} 7. Explique porque la gráfica de la ecuación x2 + y2 = 4 no es la gráfica de una función. 8. Se desea construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón rectángular que tiene dimensiones 20cm x 30cm. Para ello se recortaron cuatro cuadrados idénticos de área x2 , uno en cada esquina y se doblaron hacia arriba los lados resultantes. Exprese el volumen V de la caja como una función de x. 9. Un cilindro circular recto de radio r y altura h esta inscrito en cono circular de altura 12cm y radio de la base 4cm (a) Exprese h como una función de r.(sug.: use triángulos semejantes) (b) Exprese el volumen V del cilindro como una función de r 10. Un hombre se encuentra en un bote a 2 millas del punto más cercano A de la costa, que es recta, y desea llegar a una casa que se encuentra en el punto B de la citada costa, a 6 millas de A. El hombre piensa remar hasta un punto P entre A y B que se encuentran a x millas de la casa y luego caminar el resto. Suponiendo que puede remar a una velocidad de 3mi/h y caminar a 5mi/h, exprese el tiempo total T que le tomara llegar a la casa, como una función de x. 11. Una caja cerrada con una base cuadrada debe tener un volumen de 250cm3 . El material para la base y la tapa cuesta s/3 por cm2 y el material para los lados cuesta s/2 por cm2 . Expresar el costo de construcción de la caja como una función de la longitud de su base.
  • 57. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 57 CAPÍTULO III LÍMITES DE FUNCIONES 3.1. DEFINICIÓN INFORMAL DE LÍMITE: Sea x0∈I = <a,b> en un intervalo abierto y sea f una función definida en todo el intervalo excepto posiblemente en x0 y L un número real. Entonces: Lxf xx = → )(lim 0 significa que )(xf puede acercarse arbitrariamente a L si x se elige suficientemente cercano a x0 (pero x≠x0). La frase )(xf puede acercarse arbitrariamente a L que se tiene en la definición, significa que Lxf −)( se puede hacer tan pequeño como se quiera escogiendo x lo suficientemente cercano a x0 (pero x≠x0). Por ejemplo, tomando valores de x lo suficientemente cercanos a x0 (con x≠x0) se puede hacer que 0001.0)( <− Lxf , o bien 00001.0)( <− Lxf , etcétera. En la sección siguiente se demostrara que: 1lim 0 = → x senx x en donde x denota un número real que es el valor en radianes de un Angulo. Con una calculadora se puede obtener la siguiente tabla que ilustra este importante resultado. x x sex 1.0± 01.0± 001.0± 0001.0± 00001.0± 000001.0± 0.998334166 0999983333 0.999999833 0.999999995 1 1
  • 58. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 58 Aunque una calculadora puede usarse para tener una idea del valor de un límite, no sirve para demostrar que el límite existe. Es necesario contar con una teoría matemática precisa de los límites que no dependa de instrumentos mecánicos o de conjeturas. La gráfica de la función f en la figura 1 muestra un caso en el que 0 lim ( ) x x f x L → = . En ella no hace falta ubicar un punto correspondiente a 0x x= porque al tomar el limite el valor de 0( )f x no tiene ninguna importancia. Figura 1 EJEMPLO N°1 Sea 3 9 )( − − = x x xf a) Calcular )(lim 9 xf x→ b) Trazar la gráfica de f y comprobar gráficamente el límite en la parte (a) Solución a) Notemos que el número 9 no está en el dominio de f , ya que al sustituir x por 9 se llega a la expresión 0 0 que no tiene sentido. Para evaluar el límite cambiamos la forma de )(xf racionalizando como sigue:
  • 59. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 59 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + • − − = − − = →→→ 3 3 3 9 lim 3 9 lim)(lim 999 x x x x x x xf xxx = 9 )3)(9( lim 9 − +− → x xx x Por la definición 1, para calcular el limite de )(xf cuando 9→x , podemos suponer que 9≠x . Por lo tanto, 09 ≠−x y es posible dividir el numerador y el denominador por 9−x ; es decir, podemos cancelar la expresión 9−x . Esto da 639)3(lim)(lim 99 =+=+= →→ xxf xx b) Al racionalizar )(xf como en la parte (a), vemos que la gráfica de f es la misma que la de la función 3+= xy , excepto en el punto (9,6). El hecho de que (9,6) no esta en la gráfica de f se ilustra con un pequeño círculo claro en la Figura 2. Cuando x se acerca a 9, la ordenada )(xf en la gráfica de f se acerca al número 6. Nótese que )(xf nunca toma el valor 6, sin embargo, se puede hacer tan cercano a 6 como se desee escogiendo x suficientemente cerca de 9. Figura 2
  • 60. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 60 EJEMPLO N°2 Calcular )(lim 2 xf x→ , si 675 252 )( 2 2 −− +− = xx xx xf Solución El número 2 no está en el dominio de f por que al sustituir x por 2 se obtiene la expresión sin sentido 0 0 . Factorizando el numerador y el denominador, . )35)(2( )12)(2( )( +− −− = xx xx xf En este paso no puede cancelarse el factor 2−x , sin embargo, al tomar el limite de )(xf cuando 2→x si se puede cancelar ya que según la definición 1, 2≠x y entonces 02 ≠−x . Por lo tanto, 13 3 35 12 lim )35)(2( )12)(2( lim 675 252 lim)(lim 222 2 22 = + − = +− −− = −− +− = →→→→ x x xx xx xx xx xf xxxx La función racional f definida por 1 ( )f x x = proporciona un ejemplo en el que el limite no existe cuando x tiende a 0. Consultando la gráfica de f en la Figura 3 se capta que al dar a x valores cercanos a 0 (con 0≠x ), )(xf no esta acotado; es decir, crece sin frontera. Figura 3
  • 61. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 61 3.2 DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE DEFINICIÓN 2.- Sea a un punto de un intervalo abierto I= <a,b>, sea f una función definida en todo el intervalo excepto posiblemente en x0 y sea L un número real. Entonces: 0 lim ( ) x x f x L → = significa que para todo 0>ε existe un 0>δ tal que si 0( ) 0x Dom f x x δ∈ ∧ < − < , entonces ε<− Lxf )( EJEMPLO Comprobar que 2 7 )12( 2 1 lim 4 =− → x x Solución Tenemos, las siguientes desigualdades son equivalentes: <∈−− 2 7 2 1 )12( x εεε <−⇔<−⇔<−−⇔ 42827)12(2 1 xxx De la última desigualdad, tomando εδ 3 2 = , obtenemos: Si δ<−< 40 x , entonces se satisface <∈−− 2 7 2 1 )12( x . Luego, por la definición de limite se tiene que 2 7 )12( 2 1 lim 4 =− → x x . TEOREMA: Si Lxf ax = → )(lim y 0>L , existe entonces un intervalo abierto 0 0,x xδ δ< − + > que contiene a 0x , tal que 0)( >xf para todo x en 0 0,x xδ δ< − + > , excepto posiblemente en 0x x= . DEMOSTRACIÓN Tomemos L2 1 =ε ( 0>L ), entonces el intervalo >+−< εε LL , contiene solamente números positivos, luego por la definición de limite, existe un 0>δ tal que si x esta en el intervalo abierto 0 0,x xδ δ< − + > y 0x x≠ , entonces )(xf esta en >+−< εε LL , y, por lo tanto, .0)( >xf
  • 62. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 62 TEOREMA (UNICIDAD DE LÍMITE) El límite de una función, cuando existe, es único, es decir, si 0 1lim ( ) x x f x L → = y 0 2lim ( ) x x f x L → = , entonces 21 LL = . DEMOSTRACIÓN. Ejercicio TEOREMA (TEOREMA DEL SÁNDWICH O DE ENCAJE) Sean f , g y h funciones tales que: a) )()()( xhxgxf ≤≤ , >+−∈<∀ rarax , con ax ≠ (r>0) b) 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x h x L → → = = . Entonces 0 lim ( ) x x g x L → = DEMOSTRACIÓN. Ejercicio TEOREMA. Sean f y g dos funciones tales que a) 0 lim ( ) 0 x x f x → = b) 0>∃M tal que Mxg <)( , 0 0,x x r x r∀ ∈< − + > con 0x x≠ ( 0>r ). Entonces 0 lim ( ) ( ) 0 x x f x g x → = DEMOSTRACIÓN Sea 0>ε , de la hipótesis de (a) y (b), existe un intervalo abierto 0 0,x xδ δ< − + > con r≤< δ0 tal que, 0 0,x x xδ δ∀ ∈< − + > con 0x x≠ , se tiene M xf ε <)( ; también se verifica: ε ε =<<= M M Mxfxgxfxgxf )()()()()( Es decir, 00 ( ) ( )x x f x g xδ ε< − < ⇒ < Esto nos indica que 0 lim ( ) ( ) 0 x x f x g x → = .
  • 63. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 63 3.3 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES TEOREMA. Sean f y g funciones tales que 0 lim ( ) x x f x L → = y 0 lim ( ) x x g x M → = . Entonces 1.- 0 lim x x c c → = , c constante 2.- 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x cf x c f x → → = , c constante 3.- [ ]0 lim ( ) ( ) x x f x g x L M → ± = ± 4.- [ ]0 lim ( ) ( ) x x f x g x LM → = 5.- 0 ( ) lim ( )x x f x L g x M→ = , si 0≠M DEMOSTRACIÓN. Ejercicio TEOREMA Si 0 lim ( ) x x f x L → = y n es cualquier entero positivo, entonces: [ ] [ ]0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) n n nn x x x x x x f x L f x f x → → → ⎡ ⎤= ⇔ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ EJEMPLO Como 4)23(lim 2 =− → x x , se tiene que 644)23(lim 33 2 ==− → x x TEOREMA Si n es un entero positivo y Lxf ax = → )(lim , entonces: 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( )nn n n x x x x x x f x L f x f x → → → = ⇔ = con la restricción de que si n es par, 0>L .
  • 64. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 64 EJEMPLO. Determine 3 2 3 lim 22 5 x x x x + + → + Solución Del teorema 3 3 2 22 2 2 3 2 3 8 4 3 15 lim lim 5 5 4 5 3x x x x x x x x→ → + + + + + + = = = + + + EJEMPLO. Hallar 2 21 3 17 20 lim 4 25 21x x x x x→ + − − + Solución Claramente al determinar este limite se tiene 0 0 una indeterminación, Como 1 es raíz del numerador y del denominador, se pueden factorizar obteniéndose 1 1 ( 1)(3 20) 3 20 23 lim lim ( 1)(4 21) 4 21 17x x x x x x x x→ → − + + = = − − − − Observación. Las formas indeterminadas son: 0 0 , ∞ ∞ , ∞−∞ , ∞.0 , 0 0 , ∞ 1 y 0 )(∞ si en el cálculo del límite aparecen alguna de estas formas, se deben resolver estos límites usando artificios de tal manera que se puedan levantar la indeterminación. EJEMPLO. Hallar el límite (si existe) 2 2 23 2 6 2 6 lim 4 3x x x x x x x→ − + − + − − + Solución Evaluando se tiene; 2 2 23 2 6 2 6 0 lim 4 3 0x x x x x x x→ − + − + − = − + (indeterminado) Para levantar la indeterminación sumamos y restamos 3 en el numerador 2 2 23 2 6 2 6 lim 4 3x x x x x x x→ − + − + − = − + 2 2 23 ( 2 6 3) (3 2 6) lim 4 3x x x x x x x→ − + − + − + − − +
  • 65. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 65 factor a eliminar (x-3): = 2 2 2 2 23 2 3 2 15 2 6 3 3 2 6lim 4 3x x x x x x x x x x x→ − − + − − − + + + + − − + = 2 2 3 ( 3)( 1) ( 3)( 5) 2 6 3 3 2 6 lim ( 3)( 1)x x x x x x x x x x x→ − + − + − − + + + + − − − = 2 2 3 ( 1) ( 5) 2 6 3 3 2 6lim ( 1)x x x x x x x x→ + + − − + + + + − − = 4 8 16 6 2 3 − = − EJEMPLO. Determine 3 41 1 lim 1x x x→ − − Solución Tenemos 3 41 1 lim 1x x x→ − − = 0 0 (indeterminado) Hacemos el cambio: MCM(3,4)⇒x=y12 de aquí 12 1 1 x y si x y ⎧ = ⇒ ⎨ → ⇒ →⎩ Luego 43 341 1 1 1 0 lim lim 1 01x y x y yx→ → − − = = −− (indeterminado) factor a eliminar )1( −y ; 4 2 23 3 2 241 1 1 1 1 1 ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1) 4 lim lim lim lim 1 ( 1)( 1) 1 31x y y y x y y y y y y y y y y y yx→ → → → − − − + + + + = = = = − − + + + +−
  • 66. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 66 3.4 LÍMITES LATERALES LÍMITE POR LA IZQUIERDA: Sea f una función definida en un intervalo abierto >< ba, . Entonces 0 1lim ( ) x x f x L → = significa que )(xf puede acercarse arbitrariamente a 1L escogiendo x suficientemente cerca de 0x , con x< 0x LÍMITE POR LA DERECHA: Sea f una función definida en un intervalo abierto < 0x ,c>. Entonces 0 2lim ( ) x x f x L+ → = significa que )(xf puede acercarse arbitrariamente a 2L escogiendo x suficientemente cerca de 0x con x> 0x Damos a continuación algunas gráficas de los límites laterales. En la figura 4, x tiende a 0x por la izquierda. En la figura 5, x tiende a 0x por la derecha. Fig.4 Fig.5 Limite por la izquierda: 0 lim ( ) x x f x− → Limite por la derecha: 0 lim ( ) x x f x+ →
  • 67. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 67 TEOREMA: Sea x0 un punto contenido en un intervalo abierto y f una función definida en todo el intervalo, excepto posiblemente en x0. Entonces 0 lim ( ) x x f x L → = si y solo si 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x L− + → → = = . EJEMPLO N°3 Dado ( ) x f x x = . Calcular )(lim 0 xf x − → , )(lim 0 xf x + → y )(lim 0 xf x→ . Solución Si 0>x , entonces x x= y ( ) x f x x = =1. Por lo tanto: 11lim)(lim 00 == ++ →→ xx xf . Si 0<x , entonces xx −= y ( ) 1 x f x x = − = − . Por tanto, 1)1(lim)(lim 00 −=−= −− →→ xx xf . Como los límites por la derecha y por la izquierda no son iguales, del Teorema se deduce que )(lim 0 xf x→ no existe. EJEMPLO N°4 Sea f la función definida por ⎩ ⎨ ⎧ >+ <− = 1,1 1,2 )( 2 xx xx xf Evaluar )(lim 1 xf x − → , )(lim 1 xf x + → , )(lim 1 xf x→ . Solución Claramente, 1)2(lim)(lim 11 =−= −− →→ xxf xx 2)1(lim)(lim 2 11 =+= ++ →→ xxf xx Como los límites por la derecha y por la izquierda no son iguales, por el Teorema, )(lim 1 xf x→ no existe.
  • 68. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 68 EJEMPLO. Determinar si existe 2 6 3 lim 2 10x x x x→ − + Solución Analicemos sus límites laterales: i) Para 6<x : 2 1 3 3 x x < ⇒ = y 2 12 2 11x x< ⇒ = Por lo tanto; 2 2 6 6 1 353 lim lim 2 10 11 10 21x x x x x x− − → → − − = = + + . ii) Para :6>x 2 2 3 3 x x > ⇒ = y 2 12 2 12x x> ⇒ = Por lo tanto; 2 2 6 6 2 34 173 lim lim 2 10 12 10 22 11x x x x x x+ + → → − − = = = + + Como los límites laterales no son iguales, se tiene que no existe dicho límite. EJERCICIOS A. Determine (si existen) los siguientes límites: 1. ( )2 3 3 1 lim x a x a x a x a−→ − + + 2. 2012 128 lim 23 23 2 +−− +−− → xxx xxx x 3. 935 96 lim 23 23 3 ++− −+ → xxx xxx x
  • 69. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 69 4. 12 12 lim 50 100 1 +− +− → xx xx x 5. 2 2 0 11 lim x x x −+ → 6. 34 6262 lim 2 22 3 +− −+−+− → xx xxxx x 7. 741 63 lim 2 −− − → x x x 8. 47 3 lim 23 −+ + −→ x x x 9. 11 11 lim 30 −+ −+ → x x x 10. 2 4 lim 416 − − → x x x 11. 1 1 lim 4 3 1 − − → x x x 12. xx x x − − → 2 3 1 1 lim 13. 1 2 lim 3 1 − −+ → x xx x 14. 1 22 lim 3 1 − −+ → x xx x 15. 123 2 lim 4 −− − → x x x 16. 21 66 lim 2 3 −+ +−− → x xx x
  • 70. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 70 17. 13354 7213 lim 1 +−++ +−++ → xxx xxx x 18. 330 11 11 lim xx xx x −−+ −−+ → 19. 36254 20173 lim 2 2 4 +− +− → xx xx x 20. 633 842 lim 2 23 2 −+ +−− → xx xxx x 21. 34134 3252 lim 23 23 1 −+− −−− → xxx xxx x 22. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− − −→ 252 2 63 2 lim 22 xxxx 23. 23 1335 lim 3 1 +− +−+ → xx xx x 24. 1 232 lim 3 1 − −+− → x xxx x 25. ( )2 23 2 8 8 84 lim − +− → x xx x 26. 4 82 lim 33 4 − −+− → x xxx x B. Determine los siguientes límites: 1. )(lim),(lim 41 xfxf xx →→ , donde: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >− << < = 4,4 41, 1, )( 2 xx xx xx xf
  • 71. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 71 2. Determine 2 lim ( ) x f x → . Donde ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = >−− <− = 2,6 2,32 2,6 )( 2 2 x xxx xxx xf 3. Si ( ) 2 2 1/2 , 0 ( ) 2 , 0 bx ab x f x x b b x ⎧ + ≥⎪ = ⎨ + − <⎪⎩ C. Determine a y b para que: 1)1()0()(lim 0 −== → fyfxf x 4. )(lim 3 xf x→ . Donde ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ + −+ < − +−+ = 3, 2 11 3, 3 652 )( 23 x x x x x xxx xf 5. x xx x − +→ || lim 0 6. 2 |1|2 lim 3 − − −→ x xx x 7. 2 2 lim( 2 ) 1 x x x x → + − 8. 2 3 lim(2 5) x x x →− − 9. 5/ 2 lim | | 3 x x x → + 10. 2 21 1 2 lim 2 2 1x x x x x→ − + + + 11. 23 2 3 1 lim 2 1 2x x x x→ + + − + 12. 22 2 3 1 lim 2 1 2x x x x→ − + + − +
  • 72. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 72 13. 2 3 3 12 lim 3x x x x− → + − D. Calcular si existe )(lim 2 xf x +−→ donde: 1 , 9 2 ( ) 3 8 3 , 2 7 | | x x si x x x f x x x x si x x x ⎧ − − − ≤ < −⎪ −⎪ ⎪ = ⎨ − −⎪ ⎪ − ≤ < ⎪ −⎩ E. Sea f(x) = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ <+ ≤<− <++ 2,1 21, 1,12 xx xbax xbxax Hallar los valores de a y b para que existe los limites de f(x) en los puntos x = 1 y x = 2. F. Determine el siguiente límite: 3 36 5 36 5 lim 10 10x x x → + − + ⋅ 3.5 LIMITES AL INFINITO DEFINICIÓN.- Sea ℜ>→+∞< ,: af , una función y ℜ∈L , se dice que L es el límite de )(xf cuando x tiende para ∞+ , el cual denotamos como )(lim xfL x +∞→ = , si y solo si, dado ,0>ε 0>∃N / ε<−⇒> LxfNx )( DEFINICIÓN. Sea ℜ>→−∞< af ,: , una función y ℜ∈L , se dice que L es el límite de )(xf cuando x tiende para ∞− , el cual denotamos como )(lim xfL x −∞→ = , si y solo si, dado ,0>ε 0<∃N / ε<−⇒< LxfNx )(
  • 73. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 73 PROPIEDAD. Si n es un entero positivo cualquiera, entonces: i) 0 1 lim = +∞→ nx x ii) 0 1 lim = −∞→ nx x PROPIEDAD. Se cumplen las mismas que las del teorema de las operaciones con límites. EJEMPLO. Determine 375 634 lim 2 2 −+ +− +∞→ xx xx x Solución Dividiendo numerador y denominador por 2 x , se tiene: = −+ +− +∞→ 375 634 lim 2 2 xx xx x 5 4 37 5 63 4 lim 2 2 = −+ +− +∞→ xx xx x Observación: i) si 2 xxx =⇒+∞→ ii) si 2 xxx −=⇒−∞→ EJEMPLO. Determine 53 353 lim 2 − −− −∞→ x xx x Solución Dividiendo numerador y denominador por 2 xx −= , tenemos: 53 353 lim 2 − −− −∞→ x xx x = 3 3 5 3 35 3 lim 2 = − −− − −∞→ x xx x
  • 74. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 74 EJEMPLO. Hallar las constantes a y b para que 0) 1 1 (lim 2 =−− + + +∞→ bax x x x Solución Tenemos 0) 1 1)()1( (lim 2 = + −++−− +∞→ x bxbaxa x , Luego analizando este límite para que sea igual a cero cuando +∞→x , se tiene que: ∞ = k 0 , k=constante; esto es posible solo cuando los coeficientes de 2 x y de x sean ceros, es decir: 01 =− a y 0)( =+− ba ⇔ 1=a y 1−=b . LÍMITES INFINITOS Sea f una función definida en un intervalo abierto I que contiene al número x0, x0 puede o no estar en el dominio de f . DEFINICIÓN. Se dice que el limite de )(xf es ∞+ cuando x tiende al punto x0, y se escribe +∞= → )(lim xf ax , si dado 0>k 0>∃δ tal que 00 ( )x x f x kδ< − < ⇒ > (figura 6)
  • 75. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 75 DEFINICIÓN. Se dice que le limite de )(xf es ∞− cuando x tiende al punto x0, y se escribe −∞= → )(lim xf ax , si dado 0>k 0>∃δ tal que 00 ( )x x f x kδ< − < ⇒ < − (figura 7) PROPOSICIÓN. Si n es un entero positivo, entonces: i) +∞=+ → nx x 1 lim 0 ii) ⎩ ⎨ ⎧ ∞− ∞+ = −→ imparesn paresn xn x , ,1 lim 0 PROPOSICIÓN. Sea a un número real y 0 lim ( ) 0 x x f x → = , 0 lim ( ) , x x g x c → = 0≠c . Entonces: i) Si 0>c y 0)( →xf a través de valores positivos de )(xf , entonces 0 ( ) lim ( )x x g x f x→ = +∞ ii) Si 0>c y 0)( →xf a través de valores negativos de )(xf , entonces 0 ( ) lim ( )x x g x f x→ = −∞
  • 76. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 76 iii) Si 0<c y 0)( →xf a través de valores positivos de )(xf , entonces 0 ( ) lim ( )x x g x f x→ = −∞ iv) Si 0<c y 0)( →xf a través de valores negativos de )(xf , entonces 0 ( ) lim ( )x x g x f x→ = +∞ EJEMPLO. Determine 6 673 lim 2 2 2 −+ +− − → xx xx x Solución Tenemos = −+ +− − → 6 673 lim 2 2 2 xx xx x −∞== −+ +− −→ − 0 4 )2)(3( 673 lim 2 2 xx xx x 3.6 ASÍNTOTAS DEFINICIÓN. Si la distancia d entre una recta L y el punto A que se mueve a lo largo de una curva tiende a cero, cuando el punto A tiende al infinito, la recta L es llamada asíntota de la curva; es decir, si 0),(lim = +∞→ LAd A (Fig. 8) PROPOSICIÓN. La recta 0x x= es una asíntota vertical de la curva )(xfy = , si se cumple uno de los siguientes enunciados
  • 77. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 77 a) 0 lim ( ) x x f x → = ±∞ b) 0 lim ( ) x x f x+ → = ±∞ c) 0 lim ( ) x x f x− → = ±∞ (Fig. 9) PROPOSICIÓN. La recta ky = es una asíntota horizontal de la curva )(xfy = si se cumple una de las siguientes condiciones a) kxf x = +∞→ )(lim b) kxf x = −∞→ )(lim (Fig.10) PROPOSICIÓN. La recta y m x b= + , 0≠m , es una asíntota oblicua de la curva )(xfy = si se cumple una de las siguientes condiciones:
  • 78. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 78 i) m x xf x = +∞→ )( lim y [ ] bmxxf x =− +∞→ )(lim (llamada asíntota oblicua derecha. Fig. 11) fig 11 ii) m x xf x = −∞→ )( lim y [ ] bmxxf x =− −∞→ )(lim (llamada asíntota oblicua izquierda. Fig. 12) fig 12 EJEMPLO. Determine las asíntotas de la curva 27 34 )( 3 4 − −− == x xx xfy Solución i) Asíntotas verticales: 3=x , pues
  • 79. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 79 −∞= ++− −− − → )93)(3( 34 lim 2 4 3 xxx xx x y +∞= ++− −− + → )93)(3( 34 lim 2 4 3 xxx xx x ii) Asíntotas Horizontales: no existe, pues ±∞= − −− = − −− ±∞→±∞→ 3 32 3 4 27 1 34 lim 27 34 lim x xx x x xx xx iii) Asíntotas Oblicuas a) Derecha: 1 )27( 34 lim )( lim 3 4 = − −− == +∞→+∞→ xx xx x xf m xx y [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − −− =−= +∞→+∞→ x x xx mxxfb xx 27 34 lim)(lim 3 4 = 0 27 331 lim 3 = − −− +∞→ x x x por lo tanto xyL =: De manera se determina que la asíntota oblicua izquierda es xyL =: 3.7 FUNCIONES CONTINUAS DEFINICIÓN. Una función f : R→R es continua en un número x0 si se satisface las tres condiciones siguientes: (i) f está definida en un intervalo abierto que contiene a x0 (ii) 0 lim ( ) x x f x → existe (iii) 0 0lim ( ) (x ) x x f x f → = Si f no es continua en x0 entonces se dice que es discontinua en x0 o que tiene una discontinuidad en x0
  • 80. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 80 EJEMPLO a) Demostrar que un polinomio es una función continua en todo número real x0 b) Demostrar que una función racional es continua en todos los números reales de su dominio. Solución a) Un polinomio f esta definido en todo ℜ y además 0 0lim ( ) ( ) x x f x f x → = para todo número real .a Entonces f satisface las condiciones (i)-(iii) de la Definición de continuidad y, por lo tanto, es una función continua en x0. b) Si q es una función racional, entonces h f q = , donde f y h son polinomios. Por lo tanto q esta definida en todos los números reales excepto en los ceros de h . Resulta que si 0( ) 0h x ≠ , entonces q esta definida en un intervalo abierto que contiene a x0. Además, se sabe que 0 0lim ( ) ( ) x x q x q x → = . Luego de la definición de continuidad se sigue que q es continua en x0. En la figura 13 aparecen las gráficas de varias funciones que no son continuas en el número real x0 y se indican los nombres que se dan a tales discontinuidades.
  • 81. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 81 Fig 13 DEFINICIÓN. Sea f una función definida en un intervalo cerrado [ ]ba, . La función f es continua en [ ]ba, si lo es en >< ba, y además )()(lim afxf ax =+ → y )()(lim bfxf bx =− → Si una función f tiene un limite por la derecha o por la izquierda como los que aparecen en la Definición anterior, se dice que f es continua en a por la derecha o que f es continua en b por la izquierda, respectivamente. EJEMPLO. Sea 2 4)( xxf −= . Trazar la gráfica de f y demostrar que es continua en el intervalo cerrado [ ]2,2−
  • 82. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 82 Solución Claramente f es continua en el intervalo abierto >−< 2,2 y además 0)(lim)(lim 22 == ++ →−→ xfxf xx . Tiene como gráfica la parte superior de la circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 2. (Fig.14) TEOREMA. Si las funciones f y g son continuas en a , entonces también lo son la suma gf + , la diferencia gf − , el producto gf . y, si 0)( ≠ag , el cociente g f TEOREMA. Si f y g son funciones tales que 0 lim ( ) x x g x b → = , y f es continua en b , entonces: 0 0 lim ( ( )) ( ) (lim ( )) x x x x f g x f b f g x → → = = TEOREMA. Si g es continua en a y f es continua en )(agb = , entonces 0 0 0lim ( ( )) (lim ( )) ( ( )) x x x x f g x f g x f g x → → = = EJEMPLO. Sea ( )f x x= . Probar que f es continua en todo número real x0.
  • 83. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 83 Solución Como 2 xx = , se tiene que 0 0 0 0 2 2 2 lim ( ) lim lim lim ( ) x x x x x x x x f x x x x a a f a → → → → = = = = = = TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO Si f es continua en un intervalo cerrado [ ]ba, , y w es cualquier número entre )(af y )(bf , entonces existe al menos un número c en [ ]ba, tal que wcf =)( . EJEMPLO Verificar el Teorema del Valor Intermedio para 1)( += xxf en el intervalo [ ]24,3 . Solución La función f es continua en [ ]24,3 . Como 2)3( =f y 5)24( =f , si w es cualquier número real entre 2 y 5, debe encontrarse un número c en el intervalo [ ]24,3 tal que wcf =)( , es decir, wc =+1 . Elevando al cuadrado y despejando c obtenemos 12 −= wc . Este número c esta en el intervalo [ ]24,3 , pues si 52 << w , entonces: 2413 2 <−< w . Para verificar nuestro resultado escribimos: .1)1()1()( 22 wwwfcf =+−=−=
  • 84. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 84 3.8 LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS TEOREMA: 1lim 0 = → t sent t DEMOSTRACIÓN: Supongamos primero que π2 1 0 << t De la figura adjunta, se muestra la circunferencia unitaria 122 =+ yx Y el sector sombreado BOP, donde B es el punto (1,0) y P es el punto ),(cos sentt . El área de un sector circular de radio r y ángulo central medida en radianes t , esta dominada por tr2 2 1 ; así, si S unidades cuadradas representa el área del sector BOP, tS 2 1 = (1) Consideremos ahora el triángulo BOP y Sea 1K unidades cuadradas el área de dicho triangulo. De esto: sentsentOBAPK 2 1 2 1 2 1 1 )1)((. === (2) La recta que pasa por los puntos )0,0(O y ),(cos senttP tiene pendiente ( ) (cos ) sent t ; por lo tanto, su ecuación es:
  • 85. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 85 x t sent y cos = Esta línea corta a la recta 1=x en el punto ),1( cos t sent , que en la figura es el punto T. Si 2K unidades cuadradas es el área del triángulo rectángulo BOT, 1 2 2 1 1 . 0 .1 2 cos 2 cos sent sent K BT B t t = = = (3) Claramente de nuestra figura observamos que: 21 KSK << (4) Al sustituir (1), (2), (3) en la desigualdad (4), 1 1 1 2 2 2 cos sent sent t t < < De la multiplicación de cada miembro de esta desigualdad por sent 2 , lo cual es positivo por que π2 1 0 << t , obtenemos 1 1 cos t sent t < < Al tomar el reciproco de cada miembro de esta desigualdad y al invertir el sentido de los signos de la desigualdad tenemos 1cos << t sent t (5) De la desigualdad de la derecha en lo anterior, tsent < (6) y de la fórmula:
  • 86. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 86 21 cos 1 2 2 t sen t − = (7) Al sustituir t por t2 1 en la desigualdad (5) y elevar al cuadrado, obtenemos: 2 4 1 2 12 ttsen < (8) Así, de (7) y de (8) concluimos que: t ttt cos 2 1 42 cos1 22 <−⇔< − (9) De (5) y (9), y como π2 1 0 << t , 11 2 2 1 <<− t sent t si π2 1 0 << t (10) Si 02 1 <<− tπ entonces π2 1 0 <−< t y así, de (10), 1 )( )( 2 1 1 2 < − − <−− t tsen t si 02 1 <<− tπ Pero senttsen −=− )( ; así, lo anterior se puede escribir como 1 )( ( 2 1 1 2 <<− t tsen t si 02 1 <<− tπ (11) De (10) y (11) concluimos que: 1 )( 2 1 1 2 <<− t tsen t si ππ 2 1 2 1 <<− t y 0≠t (12) Como 1)1(lim 2 2 1 0 =− → t t y 11lim 0 = →t , de (12) y del teorema de restricción se sigue que: 1lim 0 = → t sent t
  • 87. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 87 EJEMPLO. Determinar si existe tsen tsen t 5 3 lim 0→ Solución. Claramente el límite es de forma 0 0 Podemos expresar el límite de la forma tsen tsen t 5 3 lim 0→ = t t tsen t t tsen t 5. 5 5 3. 3 3 lim 0→ como t tiende 0 (cero), lo mismo sucede con 3t y 5t. de aquí que: tsen tsen t 5 3 lim 0→ = 5 3 EJERCICIO: Demuestre que la función seno es continua en 0. Solución Tenemos: i) 0)0( =sen ii) 0)0).(1(..limlim 00 === →→ t t sent sent tt iii) )0(lim 0 sensent t = → Por lo tanto, la función seno es continua en cero. EJEMPLO. Calcular 0 cos1 lim 0 = − → t t t Solución Multiplicando numerador y denominador por tcos1+ y teniendo en cuenta que: tsent 22 cos1 =−
  • 88. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 88 Obtenemos: 2 2 0 0 0 0 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos lim lim . lim lim 0 1 cos 2 2t t t t t t t t sen t t t t t t→ → → → − − + − = = = = + . EJERCICIOS I. En los siguientes ejercicios, evalué el límite, si existe 1.- x xsen x 4 lim 0→ 6.- xsen xsen x 7 9 lim 0→ 2.- 2 3 0 lim x xsen x→ 7.- 5 5 0 4 2 lim x xsen x→ 3.- x x x 4cos1 lim 0 − → 8.- x x x 2 12 2 0 cos1 3 lim −→ 4.- xsen x x 3 lim 2 2 0→ 9.- senx x x + − → 1 cos1 lim 0 5.- x x x 4 2cos1 lim 0 − → 10. ( ) ( )xtgx x 42 2lim π → − II. Encuentre el límite si existe de: 1.- x senxsen x )( lim 0→ 3.- 3 2 0 1 lim x senx x→ 2.- x sensenx x 1 .lim 0→ 4.- x x x 1 coslim 0→
  • 89. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 89 EJERCICIOS DE CONTINUIDAD DE FUNCIONES 1.- Determinar la continuidad de la función en el punto 4=x , donde ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ − −− = 4,2 4, 4 43 )( 2 x x x xx xf 2.- Dada la función ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ <<− ≤<− ≤<+− = 43,16 32,14 21,14 )( 3 2 xx xx xxx xf Determinar si la función es continua en 2=x y 3=x . 3.- Dada la función ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥− < − − = 8,23 8, 2 8 )( 3 xx x x x xf .Determinar si f es continua en 8=x 4.- Dada ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ =− ≠ +−+ = 0, 2 1 0, 11 )( 2 24 4 x x x xx xf . Determinar si f es continua en 0=x . 5.- Dada ( ) 1g x x x= + − es continua en 1=x ?. 6.- Determinar si la función es continua en el punto indicado. Si es discontinua indicar el tipo de discontinuidad 2 1 , 1 ( ) 1 , 1 1 , 1 x x f x x x x ⎧ − < ⎪ = − >⎨ ⎪ =⎩ , a=1.
  • 90. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 90 7.- Dada 3 3 2 2 2 27sgn( 1) , 5 0 3 3 3 9 9 9 ,0 5 3( ) 2 3 9 3 4 3 , 3 2 x x x x x x x x x x xf x x x x x ⎧ − − − < < ∧ ≠ −⎪ ⎪ + + − ⎪ ⎪ −⎪⎪ ≤ < ∧ ≠= ⎨ − − ⎪ ⎪ = − ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪⎩ Determinar si f es continua en 3−=x , 0=x , 3=x 8.- Determinar los valores de a y b de modo que la función dada sea continua en su dominio. a) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >− ≤≤−+ −<+ = 1,26 12,3 2,2 )( xbx xbax xax xf b) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > − = < − +− = 8, 72 2 8, 8, )2( 333 )( 3 3 x bx xab x xa x xf 9.- Dada ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ =− ≠ +−+ = 0, 2 1 0, 11 )( 2 24 4 x x x xx xf , ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠+ = − 0,2 0,41 )( 2 x xxx xg Determine si f+g es continua en 0=x
  • 91. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 91 10.- Determine los puntos de continuidad de la función ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥+−+− < − −≤− = 1,12 8 1 1, 9 1,) 4 1 sgn( )( 2 2 3 2 xxx x x x xx xf 11.- Dada la función f definida como ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥− <≤+− <+ = 4,832 41126 1, )( 2 xax xxax xbax xf Determinar los valores de ay b (enteros) para que la función sea continua en su dominio
  • 92. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 92 MISCELÁNEA DE PROBLEMAS DE LÍMITES Y CONTINUIDAD I. Calcular los siguientes límites: 1.- 12 12 lim 400 600 1 +− +− → xx xx x 2.- ( )2 33 2 8 8 44 lim − +− → x xx x 3.- 2 4321 1 1 2)1( lim x xnxxnnx nnnn x − −−++ ++++ → 4.- ) 35 79 8 1 (lim 3 0 xx xxx x x e − − + − − → 5.- 4 8222 lim 3 4 − −+− → x xxx x 6.- 9 33 lim 23 − −−+ → x xx x 7.- ) 1 3 (lim 2 43 1 x xxx x − −++ → 8.- ) 2 1 (lim 4 23 1 −+ −+− → xx xxx x 9.- ) 131643 6312 (lim 4 −++++ −−+++ → xxx xxx x 10.- ))2()2(( 1 lim 12212 0 ++ → ++−+ nn x xxx x , + ∈Zn II. Evaluar los siguientes límites trigonométricos 1.- xsen xx x 2 3 0 coscos lim − → 2.- ) 4 1 (lim 6 4 ππ − − → x xtg x 3.- ) cos1cos1 3 (lim 0 xsenxxsenx xsen x −−−++→ 4.- ) 32 cos1 (lim 0 xsensenx xx x + −+ → 5.- ) 33cos46cos (lim 40 x xx x +− → 6.- ) )( (lim 2/30 senxx senxx x − → 7.- )(cos1 )( lim 0 senx senxsenx x −→ 8.- ) 2 ()1(lim 1 xtgx x π − →
  • 93. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 93 III. Analizar la existencia de los siguientes límites: 1.- )(lim 3 xH x→ , si ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ > < +− = 3, 27 2 3, 2 12 )( 2 2 x x x x xx xH 2.- 2 21 1 7 lim 3x x x x→ + − 3. )(lim 4 xF x→ , ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ > +− < −+ = 4, 62 4, 7 843 )( 2 2 x x xx x xx xF 4.- ( )4 lim 4 x x x → − − 5.- )(lim 1 xG x→ , ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < − −− > − − = 1, )1(2 12 1, 1 1 )( 2 3 x x xx x x x xG 6.- 3 1 lim 3 2x x x → ⎛ ⎞ + −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 7.- ( )5 2 lim 3 4 x x x → + + 8.- 2 2 22 2 lim 2 ( 2 )x x x x x x x→ ⎛ ⎞− + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − ⎝ ⎠ IV. Calcular los siguientes límites 1.- ) )1( 1312 (lim +− +−++ ∞→ xxx xxx x 2.- ) 2 1 () 2 1 () 1 (lim 2 ++∞→ x sen x sen x senx x 3.- 2 1 )(lim x ox x senx → 4.- xbsenxasen ee xbxa x − − → 0 lim 5.- xx xx x xx xx 22 352 )3.()14( .)52( lim ++ + + −+ ∞→ 6- x x xx )11(lim +−+ ∞→
  • 94. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 94 7.- 2 0 ) 3 (lim + → x x x xsen 8.- ) 40231 40355764 (lim 4 2124 24 3 5 21049 −+++++ ++++++ ∞→ xxxx xxxx x 9.- 1 ) 12 32 (lim + ∞→ + + x x x x 10.- ) 1 5 () 1 3 () 1 ((21516(lim 36 +++ −+ ∞→ x x sen x x sen x x senxx x πππ V. Hallar el valor ( es ) de las constantes para que las funciones sean continuas en sus dominios 1.- ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ +−++ +−++ = 1, 1, 13354 7313 )( xM x xxx xxx xF 2.- 2 , 2 ( ) , 2 2 , 2 sen x x F x A sen x B x sen x x π π π π ⎧ − ≤ −⎪ ⎪ ⎪ = − − < <⎨ ⎪ ⎪ ≥⎪ ⎩ 3.- 6 4 8 6 ( ) 7 , 3 3 2 ( ) , 3 0 35 2 , 0 2 tg x x x F x A x B x sen x sen x x x x π⎧ − < ≤ −⎪ +⎪⎪ = + − ≤ ≤⎨ ⎪ +⎪ > ⎪ +⎩ 4.- 2 2 2 3 19 , 3 9 ( ) , 3 3 4 7 3 81 73 , 3 n x x x T x x x mx x x ⎧ − ≤ − ⎪ −⎪ = − < <⎨ − +⎪ ⎪− − − ≥⎩
  • 95. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 95 CAPÍTULO IV LA DERIVADA El desarrollo del cálculo surgió de cuatro grandes problemas que ocupaban a los matemáticos europeos en el siglo XVII: 1.- El problema de la tangente 2.- El problema de la velocidad y la aceleración 3.- El problema de máximos y mínimos y 4.- El problema de área Cada uno involucra la noción de límite y serviría para introducir el cálculo. 4.1 DEFINICIÓN.- Sea ><= baI , un intervalo abierto, Ix ∈0 , →If : R. La derivada de f en 0x denotado por )(' 0xf , se define como ) )()( (lim)(' 0 0 0 xx xfxf xf x xx − − = → si este límite existe. Si )(' 0xf existe decimos que la función f es derivable en 0x o que f tiene derivada en 0x . Una definición alterna de la derivada de una función en un punto 0x es: Sea 0xxx −=Δ , xxx Δ+= 0 y si 0xx → ⇒ 0→Δx , luego: ) )()( (lim)(' 00 0 0 x xfxxf xf x Δ −Δ+ = →Δ , mas aún si f es derivable para cualquier Ix ∈ , podemos escribir como: ) )()( (lim)(' 0 x xfxxf xf x Δ −Δ+ = →Δ EJEMPLO 1.- Dado 4 3)( xxf = , hallar )(' xf por definición y luego encontrar: )2('f , )4('f , )2(' −f y )(' 0xf Solución = Δ −Δ+ = →Δ ) )()( (lim)(' 0 x xfxxf xf x = Δ −Δ+ →Δ ) 3)(3 (lim 44 0 x xxx x
  • 96. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 96 = Δ −Δ+Δ+Δ+Δ+ →Δ ) 3))()(4)(64(3 (lim 4432234 0 x xxxxxxxxx x =Δ+Δ+Δ+ →Δ ))()(464(3lim 3223 0 xxxxxx x 3 12x 3 12)(' xxf =⇒ , luego: 224)2(' =f , 768)4(' =f , 3 00 12)(' xxf = EJEMPLO 2.- Si xxf 3)( = , hallar )(' xf y dominio de 'f Solución =)(' xf = Δ −Δ+ →Δ ) 33 (lim 0 x xxx x = +Δ+Δ +Δ+−Δ+ →Δ ) )( ))((3 (lim 0 xxxx xxxxxx x = +Δ+Δ −Δ+ →Δ ) )( )(3 (lim 0 xxxx xxx x = +Δ+→Δ ) )( 3 (lim 0 xxxx x2 3 , >∞<= ,0)'( fD Así se puede dar infinidad de ejemplos y las fórmulas de derivación es el producto del cálculo de ellas por definición y que no es gracia del divino. EJERCICIO.- Si 3 )( xxg = , hallar )(' xg y su dominio INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA La interpretación geométrica de la derivada, esencialmente se reduce a hallar la pendiente de la recta tangente TL en un punto ))(,( 000 xfxP en la gráfica de la curva )(xfy = y ésta puede aproximarse mediante rectas que pasan por ))(,( 000 xfxP y por otro punto de la curva ))(,( 0000 xxxfxxQ Δ++Δ+ a las que denominaremos rectas secantes SL ( la palabra secante viene del latín secare , referido a cortar y no de la función trigonométrica homónima) . La pendiente de la recta secante que pasa por 0P y 0Q está dado por x xfxxf mS Δ −Δ+ = )()( 00 y
  • 97. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 97 T x S x mxf x xfxxf m == Δ −Δ+ = →Δ→Δ )(') )()( (limlim 0 00 00 es la pendiente de la recta tangente a la grafica de )(xfy = en el punto 0P como se aprecia en la figura. La recta NL perpendicular a TL en el punto 0P , se llama recta normal a la gráfica de )(xfy = Las ecuaciones de estas rectas están dados por: )()(')(: 000 xxxfxfyLT −=− ∨ )()(': 000 xxxfyyLT −=− , donde )( 00 xfy = )( )(' 1 )(: 0 0 0 xx xf xfyLN −−=− ∨ )( )(' 1 : 0 0 0 xx xf yyLN −−=− , si 0)(' 0 ≠xf Si 0)(' 0 =xf , tenemos casos muy especiales 0: yyLT = y 0: xxLN = Fig. 1
  • 98. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 98 Fig. 2 Previamente a los ejemplos, daremos unas observaciones importantes: i) 0xxx −=Δ se llama incremento de x o cambio en x ii) )()( 00 xfxxfy −Δ+=Δ se denomina incremento de y o cambio en y iii) x xfxxf Δ −Δ+ )()( 00 se denomina cociente incremental iv) La derivada por sí, se interpreta como una razón de cambio o tasa de cambio o de variación que mas adelante veremos todas las aplicaciones del caso. EJEMPLOS 1.- Hallar los puntos en que la tangente a la curva 5)( 3 +== xxfy sea: a) Paralela a la recta 1712:1 =− yxL , b) Perpendicular a la recta 23:2 =+ yxL Solución Sea ),( 000 yxP punto de tangencia de la curva, entonces 5 3 00 += xy , 2 3)(' xxf = , Tmxxf == 2 0 3)(' , como: ⇒=⇒ 12// 1 TT mLL 2312 0 2 0 ±=⇒= xx luego los puntos son )13,2(0P , )3,2(1 −−P Recta tangente P 0 (x0 , f(x0)) y =f(x) 0 Y X Recta normal
  • 99. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 99 Como ⇒−=⇒⊥ 122 LTT mmLL 133 0 2 0 ±=⇒= xx , entonces los puntos son )6,1(2P )4,1(3 −P 2.- Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva 54)( 23 +−== xxxfy en el punto )3,2(0 −P Solución xxxf 83)(' 2 −= , entonces la pendiente de la tangente en el punto )3,2(0 −P es 4−=Tm luego la ecuación de la tangente y la normal son respectivamente: )2(43: −−=+ xyLT , )2( 4 1 3: −=+ xyLN 3.- Determinar todos los puntos de la curva 95132)( 23 +++== xxxxfy en que sus tangentes pasan por el origen de coordenadas y hallar la ecuación de las tangentes en todos los puntos encontrados. Solución Sea ),( 000 yxP un punto de tangencia, 5266)(' 2 ++= xxxf entonces la pendiente de la recta tangente en 0P es 5266)(' 0 2 00 ++== xxxfm , 5266(: 0 2 00 ++=− xxyyLT , pero TL pasa por el origen 0 2 0 3 00 5266 xxxy ++=⇒ ( 1 ) , pero como ),( 000 yxP es punto de tangencia 95132 0 2 0 3 00 +++=⇒ xxxy ( 2 ), de ( 1 ) y ( 2 ) igualando tenemos que 09134 2 0 3 0 =−+ xx 4 3 ,3,10 −−=⇒ x ⇒ los puntos son: )15,1(0 −P , )57,3(1 −P , ) 32 669 , 4 3 (0P , por tanto las rectas tangentes en cada uno de estos puntos son: )2(415: −−=− xyLT , )3(1957:' +−=− xyLT , ) 4 3 ( 8 223 32 669 :'' −=− xyLT .
  • 100. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 100 4.2 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD TEOREMA.- Si ⊂If : R→ R es derivable en el punto Ix ∈0 , entonces f es continua en 0x , el reciproco del Teorema no se cumple. Para que el desarrollo de la asignatura sea fluido, previo al enunciado de los teoremas o reglas de derivación definimos las: DERIVADAS LATERALES DEFINICIÓN.- Sea RRIf →⊂: , se dice que f es derivable por la derecha en el punto Ix ∈0 si o xxx xx xfxf x xfxxf − − = Δ −Δ+ ++ →→Δ )()( (lim) )()( (lim 000 0 0 ) existe. Este límite se denomina derivada lateral por la derecha y se denota por )(')(' 00 + + ∨ xfxf . Se dice que f es derivable por la izquierda si o xxx xx xfxf x xfxxf − − = Δ −Δ+ −− →→Δ )()( (lim) )()( (lim 000 0 0 existe y se denota por )(')(' 00 − − ∨ xfxf . Se dice que una función es derivable o diferenciable en el punto Ix ∈0 , si las derivadas laterales existen y son iguales y su aplicación es frecuente cuando las funciones están definidas en términos de valor absoluto o entero de x . DEFINICIÓN.- Una función f es derivable en un intervalo cerrado [a,b] si: i) f es derivable en el intervalo abierto < a , b > y si los ii) 0 ( ) ( ) lim x f a x f a x+ Δ → + Δ −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠ y 0 ( ) ( ) lim x f b x f b x− Δ → + Δ −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠ existen
  • 101. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 101 Fig. 3 EJEMPLOS 1.- Analizar la derivabilidad de la función 4)( −= xxf en el punto 4=x Solución ө 4 4 ,4 ,4 4)( ≥ < ⎩ ⎨ ⎧ − − =−= x x x x xxf , por derivadas laterales 1)1(lim)('lim)4(' 44 −=−== →→ − − xx xff y 1)1(lim)('lim)4(' 44 === →→ + + xx xff como )4(')4(' +− ≠ ff no existe )4('f . EJEMPLO 2.- Analizar si [ ]( )g x x x x= + − es derivable en 3=x Solución Si − → 3x [ ] 239,23 =⇒<<⇒<⇒ xxx entonces 22)( −+= xxg 22 1 )(' − =⇒ x xg y 2 1 22 1 lim)3(' 3 = − =⇒ − → − x g x Si 3 3 3 3,1 3x x x x+ → ⇒ > ⇒ < < ⇒ = entonces 33)( −+= xxg 32 1 )(' − =⇒ x xg ∞= − =⇒ + → + 32 1 lim)3(' 3 x g x , como )3(')3(' +− ≠⇒ gg )3('g⇒ no existe. f ’ ( a + ) A+Δx>0 b+Δx<0 ba P(a , f(a)) Q(b , f(b)) f ’ ( b- )
  • 102. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 102 En general 'g no existe para Zx ∈ . EJEMPLO 3.- Dado ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ <++ = 2, 8 2, )( 3 2 x x xpxnxm xg , hallar las constantes m , n y p para que la función sea continua en 2=x y derivable en 2−=x . Solución La función podemos escribir como ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ <<−++ −≤− = 2, 8 22, 2, 8 )( 3 2 3 x x xpxnxm x x xg Como es continua en 2=x , entonces: pnmpxnxmxg xx ++=++= −− →→ 24)(lim)(lim 2 22 1 8 lim)(lim 322 == ++ →→ x xg xx , entonces tenemos la primera ecuación 124 =++ pnm ( 1 ) , además para que sea dirivable en 2−=x tiene que ser continua en este punto , entonces pnmpxnxmxg xx +−=++= ++ −→−→ 24)(lim)(lim 2 22 y 1 8 lim)(lim 322 =−= −− −→−→ x xg xx entonces 124 =+− pnm ( 2 ) , de ( 1 ) y ( 2 ) tenemos que 0=n derivando la función tenemos que ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥− <<−+ −≤ = 2, 24 22,2 2, 24 )(' 4 4 x x xnxm x x xg , luego nmnmxxg xx +−=+= ++ −→−→ 4)2(lim)('lim 22 y ⇒== −− −→−→ 2 324 lim)('lim 422 x xg xx 2 3 4 =+− nm (3)
  • 103. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 103 de (3) 8 3 −=m y 2 5 =p , por tanto ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ <+− = 2, 8 2, 2 5 8 3 )( 3 2 x x xx xg satisface todas las condiciones del problema. 4.3 REGLAS PARA LA DERIVACIÓN TEOREMAS (Álgebra de las derivadas).- Sean ⊂Igf :, R→ R funciones derivables en )()(0 gDfDx ∩∈ . Entonces las funciones kh= (función constante) )(,, g f fggf ± en este último caso 0)( 0 ≠xg son derivadles en 0x y se cumplen: i) 0'' ==kh ii) )(')(')( 00 xfkxfk = iii) )(')(')(')( 000 xgxfxgf ±=± iv) )(')()()(')(')( 0000 xgxfxgxfxgf o += v) [ ]2 0 0000 0 )( )(')()()(' )()'( xg xgxfxgxf x g f − = , 0)( 0 ≠xg DEMOSTRACIÓN Como una muestra, solo probaremos v) y los demás teoremas se demuestran análogamente = Δ+Δ Δ+−Δ+ = Δ − Δ+ Δ+ = →Δ→Δ )()( )()()()( lim )( )( )( )( lim)()'( 00 0000 0 0 0 0 0 0 0 xgxxxg xxgxfxgxxf x xg xf xxg xxf x g f xx = Δ+Δ Δ+−+−Δ+ →Δ )()( )()()()()()()()( lim 00 00000000 0 xgxxxg xxgxfxgxfxgxfxgxxf x = Δ+Δ −Δ+−Δ+ →Δ )()( ])()()[(f-])()([)( lim 00 000000 0 xgxxxg xgxxgxxfxxfxg x
  • 104. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 104 = Δ+Δ −Δ+ − Δ −Δ+ →Δ →Δ→Δ )()(lim 1 ] ])()([ lim)() ])()([ [lim)( 00 0 00 0 0 00 0 0 xgxxgx xgxxg xf x xfxxf xg x xx [ ]2 0 0000 )( )(')()()(' xg xgxfxgxf − COROLARIO.- Si ⊂Af : R→ R es una función derivable en Ax ∈0 , entonces existe una función: )(hM , tal que )()(')()( 000 hMhxfhxfhxf +=−+ , Ahx ∈+∀ 0 y 0)0()(lim 0 == → MhM h TEOREMA (Regla de la cadena o derivación de funciones compuestas).- Sean ⊂Af : R→ R ⊂Bg : R→ R, dos funciones con Bf :)(Im ⊂ . Si f es derivable en Ax ∈0 y g es derivable en Bxf ∈)( 0 entonces fg es derivable en 0x y )('))(()(')( 000 xgxfgxfg = . DEMOSTRACIÓN Como g es derivable en Bxf ∈)( 0 , por Corolario existe una función )(hM tal que: )())(('))(()))(( 000 kMkxfgkxfgkxfg +=−+ (1) con 0)0()(lim 0 == → MkM k y como Bf :)(Im ⊂ , )(Im)()( 00 fhxfkxf ∈+=+ . Luego sustituyendo en ( ) y dividiendo por 0≠h tenemos que: )( )()()()( )).)((' ))(()))(( 0000 0 00 kM h xfhxf h xfhxf xfg h xfgkxfg −+ + −+ = −+ (2) y
  • 105. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 105 = −+ + −+ = −+ →→→ ))( )()( (lim )()( lim)).)((' ))(()))(( lim 00 0 00 0 0 00 0 kM h xfhxf h xfhxf xfg h xfgkxfg hhh )(')).)(('0).(')(')).)((' 00000 xfxfgxfxfxfg =+ Existen muchas formas de prueba de este teorema TEOREMAS ADICIONALES i) Si ⊂Af : R→ R es derivable en Ax ∈0 y n ])[)( xfxg = , Zn ∈ ⇒ 1-n ])[)(' xfnxg = ii) Si ⊂Af : R→ R es derivable y )()( xfxg = ⇒ )(' )( )( )(' xf xf xf xg = iii) Si :u R→ R y )(uyy = son dos funciones derivables dx du du dy dx dy = donde )(' uy du dy = y )(' xu dx du = , donde )(xuu = . iv) Si )(xfy = es derivable entonces admite inversa )(1 yfx − = que también es derivable y dx dydy dx 1 = . 4.4 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES TEOREMA.- Las seis funciones trigonométricas son derivables en sus dominios de definición y 1.- Si senxxf =)( , entonces xxf cos)(' = 2.- Si xxg cos)( = , entonces senxxg −=)(' 3.- Si tgxxh =)( , entonces xxh 2 sec)(' = 4.- Si gxxv cot)( = , entonces xecxv 2 cos)(' −= 5.- Si xxw sec)( = , entonces tgxxxw sec)(' = 6.- Si ecxxz cos)( = , entonces gxecxxz cotcos)(' −=
  • 106. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 106 DEMOSTRACIÓN (ii) = Δ −Δ−Δ = Δ −Δ+ == →Δ→Δ ] coscoscos [lim] cos)(cos [lim')(cos)(' 00 x xxsensenxxx x xxx xxg xx = Δ Δ − Δ −Δ = Δ Δ−−Δ →Δ→Δ→Δ x xsen senx x x x x xsensenxxx xxx 000 lim 1cos limcos] )1cos(cos [lim senxsenx −=− 1.0 COROLARIO.- Si :u R→ R / )(xuu = es una función derivable en x , entonces: i) Si usenxf =)( , entonces '.cos)(' uuxf = ii) Si uxg cos)( = , entonces '.)(' uusenxg −= iii) Si utgxh =)( , entonces '.sec)(' 2 uuxh = iv) Si ugxv cot)( = , entonces '.cos)(' 2 uuecxv −= v) Si uxw sec)( = , entonces '( ) (sec ) ( ) 'w x u tg u u= vi) Si uecxz cos)( = , entonces ' ( ) ( cos )(cot ). 'z x ecu gu u= − EJEMPLOS 1.- Si xxsenxf nm cos)( = , hallar )(' xf y ) 4 (' π f Solución =+= ')cos(cos')()(' xxsenxxsenxf nmnm 1 1 1 1 '(cos ) ( )cosm n m n m sen x x nsen x x− + + − − )() 2 2 () 2 2 () 2 2 () 4 (' nmnmf nmnmnm −=−= +++π 2.- Si )(cos)( 35 xtgxxg = , calcular )(' xg Solución =+= '))((cos)(')(cos)(' 3535 xtgxxtgxxg 4 3 2 5 2 3 5cos ( ) 3 cos sec ( )x sen x t g x x x x− +
  • 107. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 107 3.- Si 2 )2()( xxxF −+= , hallar el dominio de 'F e interpretar )2('F Solución Sabemos que 2 , xxRx =∈∀ , entonces '22 ])2([)(' xxxF −+= =−+−+= ])2()2([2 '22 xxxx ] 2 2 [)2(2 x x x x xx − + + −+ , }{ 0,2)'( −−= RFD y 0)2(' =F es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de F en el punto )4,2(0P . 4.- Hallar la derivada de 33 54)( −+= xxxG Solución 5 5 3 3 3 3 3 12 (4 5 ) ' ( ) ( ( 4 5 ) )' 4 5 x x G x x x x x − = + − = + − y existe { } 4 5 ,0)'( −=∈∀ RFDx 5.- Analizar si 3 9 3 ( ) 3 ( 3 ) 2 F x x x x x= − − + − es derivable, ( [ ] 1+<≤⇔= kxkkx ) Solución Sea ⇒<−≤⇒<≤⇒>∈ 6,1 2 3 4,11,39,21,3;9,2[ xxx 3 1 2 x − = , luego: ⎩ ⎨ ⎧ ≥+− <+−− =⇒ ⎩ ⎨ ⎧ ≥+− <+−− = 3,9)3(4 3,9)3(4 )(' 3,)3( 3,)3( )( 83 83 94 94 xxx xxx xF xxx xxx xF 1093 3 ' 3)9)3(4(lim)3( =+−−= − → − xxF x , 1093 3 ' 3)9)3(4(lim)3( =+−= + → + xxF x Como 10' 3)3(')3(')3(')3( =∧∃⇒= +− FFFF .
  • 108. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 108 4.5 DERIVADA DE LAS FUNCIONES: EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA TEOREMA.- Las funciones exponenciales y logarítmicas son derivables en sus correspondientes dominios y se tiene: 1.- Si ⇒≠>= 1,0,)( aaaxf x ∈∀= xaaxf x ,ln)(' R 2.- Si ∈∀= xexf x ,)( R ∈∀= xexf x ,)(' R 3.- Si ∈∀= xxxg a ,log)( R + , ax xfaa ln 1 )('1,0 =⇒≠> 4.- Si ∈∀= xxxf ,ln)( R + x xf 1 )(' =⇒ 5.- ⇒≠>= 1,0,)( aaaxh u '.ln)(' uaaxh u = , donde )(xuu = es derivable 6.- ⇒= u axh )( '.)(' uaxh u = 7.- ⇒= uxh ln)( u u xh ' )(' = 8.- ⇒= uxh alog)( au u xh ln ' )(' = 9.- ⇒= v uxF )( ] ' ln'[)(' u uv uvuxF v += , donde )(xuu = , )(xvv = son derivables EJEMPLOS 1.- Aplicando logaritmos derivar la función 2/12 735 )2( )3()53( )( + ++ == x xx yxf Solución Para aplicar logaritmos por definición debemos asegurar que ⇒≠ 0y 2ln 2 1 3ln753ln5ln)(ln 23 +−+++== xxxyxf , luego ) 23 21 53 15 (' 23 21 53 15' 23 2 23 2 + − + + + =⇒ + − + + + = x x x x x yy x x x x xy y 5 3 7 2 2 1/ 2 3 2 ( 3 5 ) ( 3 ) 15 21 ' ( 2 ) 3 5 3 2 x x x x y x x x x ⎛ ⎞+ + = + −⎜ ⎟ + + + +⎝ ⎠
  • 109. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 109 4 3 7 2 4 3 6 5 3 7 2 1/ 2 2 1/ 2 2 15 ( 3 5 ) ( 3 ) 21 ( 3 5 ) ( 3 ) ( 3 5 ) ( 3 ) ' ( 2 ) ( 2 ) 2 x x x x x x x x y x x x + + + + + + = + − + + + 2.- Si xnes xy 2 = , hallar 'y Solución Aplicando el teorema 9, 2 2 ' (2 cos ).lns e n x sen x y x senx x x x ⎛ ⎞ = + =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ )ln.2( 2 2 x xsen xxsenx xnes + 3.- Si )(log 2 xnes xy = , hallar 'y Solución Aplicando teorema 8 y 9, 10ln )ln.cos2( 10ln ')( ' 2 2 2 2 2 xnes xnes xnes xnes x x xsen xxsenxx x x y + == 4.- Dado xgtcra xxf )1()( 2 += , calcular )1('f Solución Aplicando el teorema 9, ⇒=+= + )1(ln2 2 )1()( xxgtcraxgtcra exxf ] 1 2 1 )1(ln [)1()1()(' 22 2 22 x arctgxx x x xxxf xgtcraxgtcra + + + + +=+= , ] 42 )2(ln [2] 2 2 2 )2(ln [2)1(' 44 π π ππ +=+=f
  • 110. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 110 4.6 DERIVADA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS Las seis funciones trigonométricas hiperbólicas se denotan y se definen como: 1.- )( 2 1 )( xx eesenhxxf − −== xxf cosh)(' =⇒ 2.- )( 2 1 cosh)( xx eexxf − +== senhxxf =⇒ )(' 3.- x senhx tghxxg cosh )( == xhxg 2 sec)(' =⇒ 4.- senhx x ctghxxg cosh )( == xechxg 2 cos)(' −=⇒ 5.- x hxxh cosh 1 sec)( == tghxhxxh sec)(' −=⇒ 6.- senhx hxcoxh 1 sec)( == ctghxechxxh cos)(' −=⇒ 4.7 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Las seis funciones trigonométricas son periódicas y por tanto no son biunívocas, en consecuencia no es inyectiva, sin embargo restringiendo el dominio adecuadamente podemos invertir estas funciones y estas funciones inversas denotamos y definimos como sigue: 1.- { } 2 ,1,/),( π ≤≤== yxsenyxyxArcsen 2.- { }π≤≤≤== yxyxyxArc 0,1,cos/),(cos 3.- { }∞<<∞−<<−== xytgyxyxtgArc , 22 ,/),( ππ 4.- { }∞<<∞−<<== xytgycxyxtgcArc ,0,/),( π 5.- { }1, 2 0 2 ,sec/),(sec ≥<≤∨−<≤−== xyyyxyxArc ππ π 6.- { }1, 2 0 2 ,cos/),(cos ≥≤<∨−≤<−== xyyecyxyxecArc ππ π
  • 111. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 111 Las derivadas de estas funciones son: Si arcsenxy = 2 1 1 ' x y − =⇒ , 1<x Si xy arccos= 2 1 1 ' x y − −=⇒ , 1<x Si arctgxy = 2 1 1 ' x y + =⇒ Si ctgxarcy = 2 1 1 ' x y + −=⇒ Si xarcy sec= 1 1 ' 2 − =⇒ xx y , 1>x Si ecxarcy cos= 1 1 ' 2 − −=⇒ xx y , 1>x 4.8 DERIVACIÓN IMPLÍCITA Dadas dos funciones :F R2 → R, :g R→ R la ecuación 0),( =yxF define implícitamente la función g si 0),( =yxF para todo )( gDx ∈ . EJEMPLO Sea 4),( 22 −+= yxyxF , entonces la condición: 04])([))(,( 22 =−+= xgxxgxF , )(gDx ∈∀ se cumple si g es: 2 1 4)( xxg −= , 22 ≤≤− x 2 2 4)( xxg −−= , 22 ≤≤− x ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤−− ≤≤−− = 20,4 02,4 )( 2 2 3 xx xx xg Según la definición, las funciones 321 ,, ggg están definidas implícitamente por la ecuación 0422 =−+ yx
  • 112. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 112 No toda función ),( yxF define a )(xgy = como una función implícita, pues no existen pares ),( yx que satisface la ecuación 04),( 22 =++= yxyxF . En la práctica, la derivación implícita se trata de la forma siguiente: Se supone que el conjunto solución de 0),( =yxF contiene una función derivable g en )(gD , entonces para 0])(,[)( =⇒∈ xgxFgDx . Si ])(,[)( xgxFxh = es una función compuesta de funciones derivables, se aplica el álgebra de las derivadas y la regla de la cadena, para calcular )(' xh . Pero 0)( =xh )(gDx ∈∀ implica que 0)(' =xh )(gDx ∈∀ y como 'h contendrá a 'f como factor se halla )(' xf en Términos de )(xf . EJEMPLOS 1.- Hallar la derivada de cualquier función derivable f en el conjunto solución de 046 22 =−+ xyx Solución )(gDx ∈∀ 04)(6 22 =−+ xxgx la función 4)(6)( 22 −+= xgxxxh es derivable )(gDx ∈∀ ⇒=∧ 0)(' xh ⇒=++ 0)(')(12)(62 2 xgxgxxgx )(12 )(62 )(' 2 xgx xgx xg + −= y existe para 0≠∀ x y 0)( ≠xg . 2.- Hallar todos los puntos de contacto de las tangentes horizontales y verticales de la curva 27164 22 =++ yxyx y sus respectivas ecuaciones. Solución 0)(')(32)('4)(42 =+++ xgxgxgxxgx )(324 )(42 )(' xgx xgx xg + + =⇒ ⇒ las tangentes serán horizontales ⇔ 0)(' =xg 0)(42 =+∨ xgx ⇒ 2 )( x xgy −== reemplazando en la ecuación
  • 113. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 113 dada tenemos 3273 2 ±=⇒= xx ⇒ los puntos de contacto son ) 2 3 ,3(0 −P , ) 2 3 ,3(1 −P luego las tangentes horizontales son: 2 3 :1 −=yL , 2 3 :2 =yL Las tangentes serán verticales ⇔ ∞=)(' xg ⇔ ⇒=+ 0324 yx 8 x y −= , sustituyendo en la ecuación tenemos 61083 2 ±=⇒= xx , los puntos de contacto son ) 4 3 ,6(2 −P , ) 4 3 ,6(3 −P por tanto las tangentes verticales son 6:3 =xL , 6:4 −=xL 3.- Resolver como en el ejemplo (2) cuado la curva es 2516924 22 =+− yxyx Solución Derivando implícitamente 0'338'24242 =+−− yyxyyx ⇒ − − =⇒ )(16912 )(12 )(' xgx xgx xg Si ⇒= 0)(' xg yx 12= , reemplazando en la ecuación dada 25169)12(24)12( 22 =+− yyyy 12525 2 ±=⇒=⇒ yy ⇒ )1,12(0P )1,12(1 −−P son los puntos de contacto de las tangentes horizontales y las ecuaciones de las tangentes horizontales son: 1:1 =yL , 1:2 −=yL Las tangentes serán verticales si: ⇒∞=)(' xg yxyx 12 169 016912 =⇒=− , en la ecuación dada obtenemos 13 12 144169 2 ±=⇒= yy 13±=⇒ x , luego: ) 13 12 ,13(2 −P , ) 13 12 ,13(3 −−P las rectas verticales son 13:3 =xL , 13:4 −=xL
  • 114. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 114 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.- Encontrar la derivada de 3)( xxxF += para cualquier x 2.- Usando definición, verificar que la función ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = 0,0 0,) 1 ( )( 2 x x x senx xg es derivable en 0=x 3.- La curva 01233 =−+ xyyx se denomina Folium de Descares, hallar la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica de ella en el punto )6,6(0P . 4.- La curva 4222222 4)( kxbbyx =−++ se llama Óvalos de Cassini, hallar la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica de ella en el punto )2,2(0Q , para 6,2 == ka . 5.- La curva 2222 )( yyxx =+ se denomina curva kappa, hallar la ecuación de las rectas tangente y normal en el punto ) 2 3 , 2 2 (0P . 6.- Hallar la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva xyyx 300)(9 222 =+ en el punto )1,3(0P . 7.- Hallar todos los puntos de contacto en que la grafica de las curvas tienen tangente horizontal o vertical: a) 04001602001625 22 =+−++ yxyx b) 04484 22 =++−+ yxyx 8.- Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de cada uno de las curvas en los puntos indicados a) 132)( 23 ++= xxxf en )3,2( −−P b) 3 2 7)( += xxf en )2,1(P c) 23 2 4 31)( xxxxf −++= − en )0,1(Q d) 5 3 5)( += xxh en )2,3(P
  • 115. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 115 9. Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la gráfica de la función xsen xsen xf − + = 1 1 )( , en el punto )0,( πP 10.- Hallar las ecuaciones de las rectas verticales que pasan por los puntos de las curvas 542)( 23 +−+= xxxxf y )3392( 3 1 )( 23 −−+= xxxxg , en los que las tangentes a ella son paralelas 11.- Hallar todos los puntos sobre la gráfica de 101284)( 234 +−−−= xxxxxf tal que la recta en dichos puntos sea paralela a la recta 0512: =−+ yxL y hallar las ecuaciones de las rectas tangentes 12.- Analizar la derivabilidad de la siguiente función: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥+− <≤− <+ = 2,24 20,22 0,2 )( 2 2 xxx xx xx xf en 0=x y 2=x 13.- Dado ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤+ > = 5, 5, 1 )( 2 xcax x xxh , hallar a y c para que la función sea derivable en 5=x y calcular )5('h 14.- Hallar todos los puntos de la circunferencia 2522 =+ yx en los que la recta tangente a ésta sea paralela a la recta 034: =− yxL 15.- Sea RRf →: una función derivable en el punto 0xx = , pruebe que = − − → ) )()( (lim 0 000 0 xx xfxxfx xx )(')( 000 xfxxf − 16.- Si ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = 0,0 0,) 1 ()( )( x x x senxg xf tal que 0)0(')0( == gg , ¿existe )0('f ?
  • 116. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 116 4.9 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR El estudiante debe estar informado que todas las aplicaciones de la matemática en los campos de la ingeniería, economía, biología, ciencias sociales y en otras carreras afines se da con derivadas de segundo orden, como en las ecuaciones diferenciales, circuitos eléctricos etc. Aquí a lo más estudiaremos hasta tercero o cuarto orden como máximo, las derivadas de mayor orden a éstas solo se pueden realizar como una satisfacción personal para los amantes de la matemática. Sabemos que la derivada de una función )(xfy = es a su vez una función )(' xf . Si derivamos la función )(' xf , la función resultante se llama segunda derivada de )(xf con respecto a x y denota por )('' xf . De manera análoga, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada y se escribe como )(''' xf Continuando de esta manera obtenemos la n-ésima derivada de la función f , donde ∈n Z + 1>n y lo denotamos por )()( xf n . Existen distintas formas de representación de estas derivadas de orden superior, pero lo más usual es lo que se tiene arriba. TABLA DE REPRESENTACIÓN yDxf dx d dx dy xfy x==== ])([)('' )])([(])([)('''' 2 2 2 2 2 xfDDyDxf dx d dx yd xfy xxx ===== yDxf dx d dx yd xfy x 3 3 3 3 3 ])([)('''''' ==== yDxf dx d dx yd xfy x 4 4 4 4 4 )4()4( ])([)( ==== . . . yDxf dx d dx yd xfy n xn n n n nn ==== ])([)()()( , derivada n- ésima de f . En particular, cuando derivamos en un punto 0x tenemos:
  • 117. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 117 ] )(')(' [lim)('' 00 0 x xfxxf xf ox Δ −Δ+ = →Δ , si existe este límite y análogamente ] )()( [lim)( 0 )1( 0 )1( 0 )( x xfxxf xf nn ox n Δ −Δ+ = −− →Δ , si existe este límite EJEMPLOS 1.- Hallar la derivada de orden 4 de la función circular senxxfy == )( Solución ) 2 (cos)'()('' π +==== xsenxsenxxfy , )()'(cos)('''' π+=−=== xsensenxxxfy ) 2 3 (cos)'()('''''' π +=−=−== xsenxsenxxfy , )2()'cos()()4( π+==−= xsensenxxxf … ) 2 ()()( )()()( πn xsensenxxfy nnn +=== , ∈n Z + . 2.- Si 3 54)( −= xxg , encuentre )('',)(' xgxg , ) 4 5 ('',) 4 5 (' gg ¿existe )(''' xg ? Solución ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥− <− = 4 5 ,)54( 4 5 ,)45( )( 3 3 xx xx xg , entonces ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥− <−− = 4 5 ,)54(12 4 5 ,)45(12 )(' 2 2 xx xx xg ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥− <−− = 4 5 ,)54(96 4 5 ,)45(96 )('' xx xx xg , ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ <− = 4 5 ,384 4 5 ,384 )(''' x x xg observamos que: ) 4 5 ('''g no existe.
  • 118. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 118 3.- Hallar )()6( xg si x x xg − + = 1 1 )( y la derivada n-ésima Solución 2 )1( 2 )(' 1 2 1 1 1 )( x xg xx x xg − =⇒ − +−= − + = , 33 )1( )!2(2 )1( 4 )('' xx xg − = − = , 44 )1( )!3(2 )1( 12 )(''' xx xg − = − = , … 7 )6( )1( )!6(2 )( x xg − = , … 1 )( )1( )!(2 )( + − = n n x n xg 4.- Sean ⊂Igf :, R→ R dos funciones que admiten primera y segunda derivada en el punto 0=x y satisfacen las siguientes relaciones: )0( 2 )0( g f = )0(4)0('2)0(' ggf == , 3)0(6)0(''5)0('' === ffg a) Si )( )( )( xg xf xh = , calcular )0('h b) Si senxxgxfxu )()()( = , calcular )0('u c) Calcular ] )(' )(' [lim xf xg ox→ y ] )('' )('' [lim xg xf ox→ Solución De las condiciones del problema tenemos que 2 1 )0(3)0(6)0(''5)0('' =⇒=== fffg , entonces 4)0( =g , 16)0(' =f , 8)0(' =g , 3)0('' =g , 5 3 )0('' =f , luego: a) 2 ])([ )(')()()(' )(' xg xgxfxgxf xh − = 4 15 ] ])([ )(')()()(' [lim)('lim 2 = − =⇒ →→ xg xgxfxgxf xh oxox b) xxgxfsenxxgxfsenxxgxfxu cos)()()(')()()(')(' ++= tomando el límite tenemos 2)0(cos)0()0()('lim ==⇒ → gfxu ox
  • 119. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 119 c) 2 1 )0(' )0(' ] )(' )(' [lim == → f g xf xg ox , 5 1 )0('' )0('' ] )('' )('' [lim == → g f xg xf ox 5.- Sea ⊂If : R→ R una función derivable hasta tercer orden tal que 3)7(' =f , 8)7('' =f y si )72()( 2 +−= xxfxxg , calcular )2(''g Solución )72(')22()72()(' 222 +−−++−= xxfxxxxfxg )72('')484()72(')46()('' 2232 +−+−++−−= xxfxxxxxfxxg 886424)7(''8)7('8)2('' =+=+= ffg 6.- Dado ))(()( 3 xgfxh = tal que 1)8( =g , 2)8(' =g , 3)8('' =g 2)1(' =f y 1)1('' −=f . Hallar )2(''h Solución )('))(('3)(' 332 xgxgfxxh = )(''))(('9))(')(((''9)('))(('6)('' 334233433 xgxgfxxgxgfxxgxgxfxh ++= 336)3()2(144)4)(1(144)2)(2(12)2('' =+−+=h 4.10 DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA Teorema.- Si ⊂If : R→ R es una función continua y invectiva , entonces 1− f es también continua. Teorema.- Sea ⊂If : R→ R una función inyectiva continua definida sobre el intervalo I y supongamos que f es derivable en )(1 bf − con derivada 0))((' 1 ≠− bff . Entonces: 1− f es derivable en b y mas aún ))((' 1 )()'( 1 1 bff bf − − =
  • 120. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 120 4.11 DIFERENCIALES Dado una función una función )( xfy = derivable en su dominio, entonces ][lim)(' x y xf ox Δ Δ = →Δ con )()( xfxxfy −Δ+=Δ , entonces podemos concluir que cuando 0→Δx , )(' xf x y → Δ Δ . Si asignamos por ε la diferencia entre x y Δ Δ y )(' xf , esto es, =− Δ Δ )(' xf x y ε, entonces += Δ Δ )(' xf x y ε ( 1 ), 0≠Δx , entonces ε 0→ cuando 0→Δx . De ( 1 ) tenemos +Δ=Δ )(' xfxy ε xΔ ( 2 ) por tanto con las condiciones expuestas tenemos que xxfy Δ≅Δ )(' . DEFINICIÓN .- Si )( xfy = en una función derivable en su dominio, entonces: a) dx se llama diferencial de x y se define por la relación xdx Δ= b) dy se denomina diferencial de y y se define por la relación xxfdy Δ= )(' OBSERVACIÓN.- De xdx Δ= y xxfdy Δ= )(' para 0≠dx tenemos que )(' xfy dx dy = , como ilustración de estos conceptos apreciar el siguiente gráfico.
  • 121. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 121 TEOREMA.- Si )( xfy = es derivable para todos los valores de )( fDx ∈ , )(tgx = , ))(( tgfy = . Entonces dt dx dx dy dt dy = y dt dt dy dy ⋅= EJEMPLOS 1.- Aplicando diferenciales, hallar el valor aproximado de 3 28 Solución Sea 3 xy = , entonces 3273 ==y , tomando 137 =∧= xx tenemos que 3273 ==y y 328 33 xx Δ+= , entonces se obtiene una aproximación para yΔ calculando dy dx x dxxfdy 3 2 3 1 )(' == , como 11 =⇒=Δ∧Δ= dxxxdx , luego: 27 1 )1( )27(3 1 3 2 ==dy 037,3 dyy ≅Δ 27 1 =Δ⇒ y , por tanto 037,3 27 1 3 =+≅Δ+ yy 037,3283 =⇒ X M dy Δ yR ө P ( x , y ) ε Δx → Δ x = dx Q( x + Δ x , y + Δ y ) y =f (x) 0 Y xRQ xdyy dyxxfMR xdxPM xf PM MR tg Δ= Δ+=Δ =Δ= Δ== == ε ε θ )(' )('
  • 122. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 122 2.- Hallar el valor aproximado de 3 122 análogo al problema anterior Solución Sea 3 xy = dx x dy 3 2 3 1 =⇒ sustituyendo 3125 −=∧= dxx tenemos que 04,0 25 1 )3( )125(3 1 3 1 3 23 2 −=−=−==⇒ dx x dy y 5=⇒ y entonces 96,404,05 =−≅Δ+ yy 96,41223 =⇒ 3.- Para 3 3xy = , calcular dy yΔ para cualquier dxx =Δ luego para 10=x y 1,0=Δx , para 10=x y 01,0=Δx Solución dxxdy 2 9= , entonces para 10=x y 1,0=Δx se tiene que 90)1,0()10(9 2 ==dy y para 10=x , 1,0=Δx tenemos 9)10,0()10(9 2 ==dy Ahora usando )()( xfxxfy −Δ+=Δ tenemos que =−Δ+=Δ 33 3)(3 xxxy 322 )(3)(9)(9 xxxxx Δ+Δ+Δ para 10=x , 1,0=Δx tenemos que 903,90)1,0(3)1,0(90)1,0(900 32 =++=Δ y , análogamente para 10=x y 01,0=Δx 900003,9)01,0(3)01,0(90)01,0(900 32 =++=Δ y 4.- Hallar el valor aproximado de º31sen Solución ) 1806 ()º1º30(º31 ππ +=+= sensensen , sea senxy = y 180 , 6 ππ =Δ= xx , entonces 51512,00512,05,0 )180(2 3 2 1 ) 6 (cos 180 ) 6 (º31 =+=+=+≅ ππππ sensen 5.- En ESSALUD (Hospital Almenara) se examinó las historias clínicas de un grupo de pacientes hospitalizados por una enfermedad cardiovascular. Se encontró que la proporción total P que fue dado de alta al final de t días está dado por 3 ) 300 300 (1)( t tPP + −== . Usando diferenciales
  • 123. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 123 estimar el cambio en la proporción dada de alta si t cambia de 300=t a 305=t . Solución El cambio de t de 300 a 305 es 5300305 =−==Δ dtt , el cambio en P es )300()305( PPP −=Δ , aproximando PΔ por dP tenemos que dt tt dttPdPP ] )300( 300 [) 300 300 (3)(' 2 2 + − + −==≅Δ cuando 300=t y 5=dt tenemos )5(] )600(2 1 [) 2 1 (3)5(] )300300( 300 [) 300300 300 (3 2 2 2 −−= + − + −=dP 0031,0 320 1 ≅= por comparación el valor ponderado de PΔ es )300()305( PP − por tanto 00307,087500,087807,0)300()305( =−=−=Δ PPP 4.12 LA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIO El objetivo es explicar la tasa instantánea de cambio de una función por medio de la velocidad e interpretar la derivada como una instantánea de cambio, aún que es una redundancia, puesto que la derivada por definición es razón de cambio. Hemos dado interpretación geométrica de la derivada, la pendiente de la recta tangente a una Curva en un punto. Históricamente, una aplicación muy importante de la derivada implica el Movimiento de un objeto viajando en línea recta. Esto nos da una manera conveniente de interpretar la derivada como una razón de cambio. Para denotar el cambio en una variable x, por lo común se usa el símbolo xΔ (delta x ) DEFINICIÓN.-Sea y una variable que es una función del tiempo tal que al tiempo tox , se tiene )( xhy = donde h es derivable en x .
  • 124. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 124 La tasa o razón promedio (media) de cambio (variación) de )( xhy = con respecto a x en el intervalo ][ xxx Δ+, es x xhxxh x y Δ −Δ+ = Δ Δ )()( La tasa (o razón) de variación de )( xhy = con respecto a x es ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ −Δ+ == →Δ x xhxxh xh dx dW x )()( lim)(' 0 a ésta, a veces se denomina la tasa o razón instantánea de variación de W con respecto a x (o simplemente razón de cambio). Si xΔ (un cambio) en x es próximo a 0, entonces x y Δ Δ es cercano a dx dy , esto es ≅ Δ Δ x y dx dy por tanto ≅Δy x dx dy Δ . DEFINICIÓN.- Sea P un punto sobre una recta L tal que su posición al tiempo t está dado por )(tS donde S es una función derivable en el tiempo t . La velocidad )(tv de P al tiempo t es )(')( tStv = La rapidez de P al tiempo t es )(')( tStv = La aceleración )(ta de )(tP al tiempo t es )('')(')( tStvta == PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1.- Sea 2 100)( qqP −= la función de demanda del producto de un fabricante. Encontrar la razón de cambio del precio P en dólares por unidad con respecto a la cantidad q . ¿Qué tan rápido está cambiando el precio con respecto a q cuando 5=q ? Solución
  • 125. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 125 La razón de cambio de P con q es q dq dP 2−= , entonces 105 −==q dq dP , esto significa que cuando se demandan 5 unidades, un incremento de una unida extra demandada corresponde a una disminución de aproximadamente $ 10 en el precio por unidad, que los consumidores están dispuestos a pagar. 2.- Un sociólogo estudia varios programas que pueden ayudar en la educación de niños de edad escolar en un pueblo joven. El sociólogo cree que x años después de iniciado un programa particular, )( xf miles de niños estarán matriculados donde )12( 9 100 )( 2 xxxf −= 120 ≤≤ x ¿A que razón cambiará la matricula i) después de 3 años iniciado el programa y ii) después de 9 años? Solución )212( 9 100 )(' xxf −= , entonces: i) Después de 3 años la razón de cambio es 3 20 )3(' =f , la matrícula estará creciendo entonces a razón de 3 20 miles de niños. ii) Después de 9 años la razón de cambio es 3 20 )9(' −=f , la matricula estará disminuyendo entonces a razón de 3 20 miles de niños por año. 3.- La corriente I en un resistor como la función de la potencia P desarrollada en el resistor, está dado por PPI 6,2)( = : Encuentre la razón de cambio de I con respecto a P cuando 4=P Solución ⇒= P PI 2 6,2 )(' ampI 65,0 4 6,2 42 6,2 )4(' ===
  • 126. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 126 4.- Se dispara un proyectil verticalmente hacía arriba con una velocidad inicial de 120m/s . Su altura desde el suelo t segundos después está dado por tttS 1209,4)( 2 +−= . Calcular el tiempo en el que el proyectil llegará al suelo de regreso y su velocidad en ese momento. ¿Cual es la altura máxima alcanzada por el proyectil?. ¿Cual es la aceleración en el instante 0>t ? Solución El proyectil se halla al nivel del suelo cuando 5,24 9,4 120 001209,4 2 =≅=∧=⇒=+− tttt El proyectil tocará el suelo al caer de regreso a los 5,24 9,4 120 =≅=t seg. La velocidad al tiempo t es ⇒+−== 1208,9)(')( ttStv smSv /120) 9,4 120 (') 9,4 120 ( −== es la velocidad de impacto El signo negativo indica que en el instante en que el proyectil llega al suelo, se está movimiento en la dirección negativa (hacia abajo). La rapidez en ese tiempo smSv /120120) 9,4 120 (') 9,4 120 ( =−== La altura máxima alcanza cuando la velocidad es cero, ⇒=+−== 01208,9)(')( ttStv st 24,12 8,9 120 ≅= y por lo tanto la altura máxima es mS 7,734) 8,9 120 (120) 8,9 120 (9,4) 8,9 120 ( 2 =+−= y la aceleración es 2 /8,9)('')( smtSta −== , esta aceleración constante se debe a la fuerza de gravedad. 5.- En un circuito eléctrico, la corriente I en amperes )( A está dado por R I 1000 = donde R es la resistencia en ohms )( Ω . Calcular la tasa de cambio de I con respecto R cuando la resistencia es Ω20 . Solución
  • 127. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 127 ⇒−= 2 1000 RdR dI 2 5 400 1000 )20( −=−= dR dI , esto significa que, cuando Ω= 20R al aumentar R , I disminuye a razón de Ω= /5,2 2 5 A (amperes por ohms). 6.- Un fabrica de Laptops calcula que el costo de producir x unidades está dado por 2 0001,005,0200)( xxxC ++= Hallar el costo medio y el costo marginal por la producción de 500=x 1000=x unidades Comparar el costo marginal por la producción de 1000=x unidades con el costo de producir 1001=x unidades. Solución a) El costo medio de fabricar x Laptops es x xx xC xc 0001,005,0 200)( )( ++== , el costo marginal es xxC 0002,005,0)(' += , luego estimando para las unidades dadas tenemos: 250)500(0001,0)500(05,0200)500( 2 =++=C 350)1000(0001,0)1000(05,0200)1000( 2 =++=C 2 1 )500(0001,005,0 500 200 )500( =++=c 20 7 )1000(0001,005,0 1000 200 )1000( =++=c 20 3 )500(0002,005,0)500(' =+=C 4 1 )1000(0002,005,0)1000(' =+=C b) 25,350)1100(0001,0)1001(05,0200)1001( 2 =++=C 4 1 35025,350)1000()1001( =−=− CC 4 1 )1000()1001()1000(' =−= CCC
  • 128. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 128 7.- Una escalera de de 20 pies de largo está apoyada contra la pared de un edificio. La base de la escalera se desliza horizontalmente a razón de 10 pie/seg. ¿Con qué rapidez resbala el otro extremo de la escalera cuando se encuentra a 12 pie del suelo? Solución Sea x la distancia del edificio a la base de la escalera y otra variable y para denotar la altura sobre el suelo del otro extremo de la misma. Como x aumenta a razón de 2pie/seg. segpie dt dx /2= , pero nuestro propósito es hallar dt dy La rapidez de cambio de la altura del extremo superior de la escalera en el momento que piey 12= .Pero por teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo tenemos que 40022 =+ yx entonces 022 =+ dt dy y dt dx x , entonces dt dx y x dt dy −= , pero ⇒=+⇒= 40014412 2 xy 16=x entonces ./ 3 8 )2( 12 16 segpie dt dy −=−= EJERCICIOS 1.- A las trece horas un barco A se encuentra a 25 millas al sur del barco B. El barco A navega hacia el oeste a razón de 16 millas /h y B navega hacia el sur a 20 millas/s. Hallar la rapidez de cambio o variación de la distancia entre los dos barcos a las trece horas con 30 minutos 2.- Los extremos de un abrevadero de 3m de largo tienen la forma de triángulo equilátero, con lados de 60cm.Se suministra agua al abrevadero a razón de 20 litros/min. ¿Cual es la rapidez de cambio o variación del nivel del agua cuando la profundidad es de 20cm? (1 litro = 3 1000cm ). 3.- En un depósito de un cono invertido se vierte agua a razón de hm /16 3 . El cono tiene m25 de profundidad y m20 de diámetro en su parte superior .Si hay una fuga de agua en la base y el nivel de agua está
  • 129. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 129 subiendo a razón de hm / 9 1 cuando el agua tiene m15 de profundidad. Hallar la rapidez con que el agua sale del depósito. 4.- Un grifo vierte agua en un depósito hemisférico de diámetro cm16 a la razón de 3 12cm . Determinar la rapidez con que se eleva la superficie del agua: Cuando el nivel del agua alcanza la mitad de la altura del depósito Cuando el agua empieza a derramarse. Sug: El volumen del segmento esférico es igual a 2 3 31 3 S r h h mπ π= − 5.- Una cámara de televisión sigue desde el suelo el despegue vertical de un cohete de acuerdo con la ley 2 50)( ttSS == con S en pies y t en segundos. Si la cámara está a 2000 pies del lugar de despegue .Hallar la razón de cambio del ángulo de elevación de la cámara 15 segundos del despegue. 6.- Un abrevadero de 9 pies de largo, tiene sección transversal en la forma de un triángulo isósceles de hipotenusa de 2 pies de largo, en la parte abierta del abrevadero. Si se vierte agua a razón de .min/2 3 pies Calcular la altura )(th del agua a los .mint de haber iniciado la operación. Encontrar también la razón del cambio de la altura en el instante 2=t . 7. Una asociación de padres de familia de un colegio desea rentar el tren del centro para llevar a sus hijos a Huancayo. La empresa accede a rentar el tren si el número de viajeros no es menor que 200.La tarifa por persona será $ 8 si viajan 200 y se reduce en un centavo de dólar por cada viajero adicional ¿Cuál es el número de pasajeros que conviene a la empresa? 8.- Un avión despega de un campo con dirección al N a las 14 horas a una velocidad de 100 Km./h .Un segundo avión sale del mismo campo con dirección hacia el E a las 15 horas a una velocidad de de 150 Km. /h. ¿A qué razón está aumentando la distancia entre ellos a las 16 horas?
  • 130. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 130 9.- Un astronauta se lanza al espacio, el peso de su cuerpo disminuye hasta llegar a un estado de ingravidad o ingravidez total . El peso W de un astronauta de 150 libras a una altura de x Km. Sobre el nivel del mar está dado por ] 2 640 6400 150 ⎢⎣ ⎡ + = x W ¿ A razón de cuantas libras por segundo ( lb/s ) pierde peso el astronauta si cuando kmx 1000= la astronave se va alejando a razón de 6 Km./s ?. 10.- Un estudio ambiental de una cierta comunidad indica que allí habrá 12003)( 2 ++= pppQ unidades de polución nociva de en el aire cuando la población sea de p miles . La población actual es de 30 000 y está creciendo a un ritmo de 2 000 por año ¿A que ritmo está creciendo el nivel de polución del aire ? 4.13 EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADA Y SUS APLICACIONES TEOREMA DE ROLLE.- Sea ][ →baF ,: R una función tal que : i) F es continua en el intervalo ][ ba , ii) F es derivable en el intervalo >< ba, y iii) 0)()( == bFaF Entonces existe al menos un punto ><∈ bac , tal que 0)(' =cF INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.- En algún punto ))(,(0 cFcP de la curva sobre el intervalo >< ba,
  • 131. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 131 La recta tangente TL es paralela al eje X . (Ver fig.) TEOREMA DEL VALOR MEDIO.- Sea ][ →baF ,: R una función tal que: i) F es continua en el intervalo ][ ba , ii) F es derivable en el intervalo >< ba, Entonces existe un punto ><∈ bac , tal que ab aFbF cF − − = )()( )(' INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.- En algún punto ))(,(0 cFcP de la curva sobre el intervalo >< ba, la recta tangente TL es paralela al segmento AB . (Ver fig.). Y 0 f’ (c) = 0 (a, f (a)) P0 (c , f (c)) c (b, f (b)) Pendiente = 0 X
  • 132. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 132 EJEMPLOS 1.- Dado xxxF 94)( 3 −= , verificar que satisface las condiciones del teorema de Rolle en los intervalos [ ]0, 2 3 − [ ] 2 3 ,0 [ ] 2 3 , 2 3 − y hallar un valor apropiado dec en cada uno de los intervalos para los cuales 0)(' =cF . Solución xxxF 94)( 3 −= es continua y derivable en todo R por ser una función polinomial ,esto prueba que se cumple las condiciones i) y ii) . Haciendo 0)( =xF se tiene que 2 3 −=x 0=x 2 3 =x Si 2 3 −=a 0=b se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle en [ ]0, 2 3 − y análogamente se cumplen en [ ] 2 3 ,0 [ ] 2 3 ,0 . Y (x, f (x)) A a x b c (x, y) E(x) ( a , f (a)) (b, f (b)) B X
  • 133. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 133 ⇒=−= 0912)(' 2 xxF 2 3 0912)(' 2 ±=⇒=−= cccF , entonces tenemos que: para [ ]0, 2 3 − 2 3 −=c , para [ ] 2 3 ,0 2 3 =c y para [ ] 2 3 , 2 3 − , 2 3 ±=c . 2.- Hallar el valor de 0x que satisface las condiciones del Teorema del valor Medio si 343)( 2 −+= xxxF cuando 1=a 3=b . Solución Aplicando el TVM 4)1()( == FaF 36)3()( == FbF 46)(' += xxF 46)(' 00 += xxF 2=− ab entonces tenemos que 2)46(2436 00 =⇒++= xx 3.- Aplicando el TVM calcular aproximadamente 6 65 Solución Sea 6 )( xxF = 64=a 65=b , entonces se obtiene que )6465( 6 1 )64()(')6465()64()65( 6 5 0 0 −+=−+= x FxFFF 6564 0 << x , como 0x no se conoce asumimos 640 =x , entonces 00521,2 192 1 2 646 1 6465 6 5 66 ≅+=+= 4.- Dado 12)( 2 ++= xxxF , 41 ≤≤ x , encuentre un número >∈< 4,1c tal que 14 )1()4( )(' − − = FF xF Solución F satisface las condiciones del TVM sobre el intervalo [ ]4,1 por tanto existe tal número >∈< 4,1c , pero como 22)(' += xxF 25)4( =F 4)1( =F , por tanto ⇒ − − =+ 14 425 22c 2 5 =c es un número con las propiedades requeridas .
  • 134. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 134 EJERCICIOS 1.- Enuncie la generalización del Teorema del Valor Medio 2.- Si 3 43 5 )( xxxg += , [ ]8,8− , hallar todos los números >−∈< 8,8c tal que se cumple )8(8 )8()8( )(' −− −− = gg xg . 3.- Para la función 3124)( 23 −−+= xxxxH , encontrar tres intervalos [ ]ba , tal que se cumplan las condiciones del teorema de Rolle y halle un número 0x en cada intervalo abierto >< ba, tal que 0)(' 0 =xH . 4.- Aplicando el teorema de Rolle, verificar que la ecuación 01464 23 =−+− xxx tiene al menos una raíz real en el intervalo abierto >< 1,0 . 5.- En cada uno de los ejercicios, hallar los intervalos [ ]ba , en los que 0)()( == bFaF y el Teorema de Rolle es aplicable .Para cada uno de ellos hallar los 0x tal que 0)(' 0 =xF . a) xxxF 2)( 2 −= f) 23)( 2 +−= xxxF b) 6116)( 23 −+−= xxxxF g) )2()( 2 −−= xxxxF c) 1)( 3 2 −= xxF h) 2 32 )( 2 + −− = x xx xF d) 33)( −−= xxF i) 2 )1()3()( +−= xxxF e) 106)( 2 +−= xxxF j) ( ) 4 ( )F x x tg xπ= − f) ( ) 2 6 x x F x sen π⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ k) xsen x xF 2 4 6 )( −= π 6.- Aplicar el Teorema del Valor Medio a F en el intervalo indicado y hallar los valores de 0x en >< ba, tales que ab aFbF xF − − = )()( )(' 0 a) )2()( 2 −−= xxxxF , [ ]1,1− b) senxxxF 2)( −= , [ ]ππ ,−
  • 135. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 135 c) 3 )( xxF = , [ ]1,0 d) senxsenxxF += 2)( [ ]π,0 7.- La altura de una bola t segundos después de ser lanzada viene dada 324816)( 2 ++−= txtF ¿Según el Teorema de Rolle , que velocidad ha llevado en algún momento del intervalo [ ]2,1 ? 8.- El costo de pedido y transporte de compuesto usado en una factoría viene dado por ) 3 1 (10)( + += x x x xC con C medido en miles de dólares y x la cantidad del pedido en cientos de unidades : a) Verificar que )6()3( CC = b) Según el teorema de Rolle , la razón de cambio del costo debe ser cero en algún tamaño del pedido en el intervalo [ ]6,3 . Hallarlo. 4.14 REGLAS DE L’ HOSPITAL TEOREMA 1. Sean →IGF :, R dos funciones y )()(0 GDFDx ∩∈ . Supongamos que 0)(...)(')( 0 )1( 00 ==== − xFxFxF n , 0)(...)(')( 0 )1( 00 ==== − xGxGxG n donde )()( nn GyF son continúas en un intervalo )()( GDFDI ∩⊂ tal que Ix ∈0 y 0)( 0 )( ≠xG n , entonces )( )( ) )( )( (lim 0 )( 0 )( 0 xG xF xG xF n n xx = → . TEOREMA 2. Sean →IGF :, R dos funciones continuas en [ ] )()(, 00 GDFDxhx ∩⊂− para 0>h y derivables en >−=< 00 , xhxI , con IxxG ∈∀≠ 0)(' .Si 0)( 0 =xF 0)( 0 =xG y ⇒=− → L xG xF xx ) )( )( (lim ' ' 0 L xG xF xx =− → ) )( )( (lim 0 .
  • 136. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 136 TEOREMA 3. Sean →IGF :, R dos funciones continuas en [ ] )()(, 00 GDFDhxx ∩⊂+ para 0>h y derivables en >+=< hxxI 00 , , con IxxG ∈∀≠ 0)(' .Si 0)( 0 =xF 0)( 0 =xG y ⇒=+ → L xG xF xx ) )( )( (lim ' ' 0 L xG xF xx =+ → ) )( )( (lim 0 TEOREMA 4.- Sean →IGF :, R dos funciones continuas en [ ] )()(, 00 GDFDhxhx ∩⊂+− para 0>h y derivables con 0)(' ≠xG en el intervalo >+<∪>−< hxxhx 000 ,, . Si 0)( 0 =xF 0)( 0 =xG y ⇒= → L xG xF xx ) )( )( (lim ' ' 0 L xG xF xx = → ) )( )( (lim 0 TEOREMA 5.- Sean →IGF :, R dos funciones y )()(0 GDFDx ∩∈ para los cuales )1()1( −− nn GyF son continuas en [ ]hxhx +− 00 , , 0>h y además )()( xF n y )()( xG n existen en el mismo intervalo tal que 0)()( ≠xG n en >+<∪>−< hxxxhx 0000 ,, . Si 0)(....)('')(')( 0 )1( 000 ===== − xFxFxFxF n 0)(....)('')(')( 0 )1( 000 ===== − xGxGxGxG n y L xG xF n n xx = → ) )( )( (lim )( )( 0 entonces ) )( )( (lim) )( )( (lim )( )( 00 xG xF xG xF n n xxxx →→ = . Los teoremas mencionados se llaman Reglas de L’ Hospital y es muy importante tener presente que estos teoremas solamente se pueden aplicar para calcular el ) )( )( (lim 0 xG xF xx→ cuando 0)( 0 =xF y 0)( 0 =xG . TEOREMA 6.- Sean →IGF :, R funciones derivables en [ >∞,h para algún 0>h y 0)(' ≠xG para [ >∞∈ ,hx .Si 0)(lim = ∞→ xF x y 0)(lim = ∞→ xG x y si L xG xF x = ∞→ ) )(' )(' (lim , entonces L xG xF x = ∞→ ) )( )( (lim
  • 137. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 137 TEOREMA 7.- Sean →IGF :, R funciones derivables en ]h,−∞< para algún 0>h y 0)(' ≠xG para ]hx ,−∞∈< .Si 0)(lim = ∞→ xF x y 0)(lim = ∞→ xG x y si L xG xF x = −∞→ ) )(' )(' (lim , entonces L xG xF x = −∞→ ) )( )( (lim TEOREMA 8 ( L’ Hospital ∞ ∞ ).- Sean →IGF :, R funciones: Continuas en [ ]hxx +00 , Derivables en >+< hxx 00 , 0)(' ≠xG >+∈< hxxx 00 , ∞=+ → )(lim 0 xF xx ∞=+ → )(lim 0 xG xx )() )(' )(' (lim ∞±= −∞→ oL xG xF x . Entonces L xG xF xG xF xxxx == ++ →→ ) )(' )(' (lim) )( )( (lim 00 )( ∞±o
  • 138. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 138 PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1.- Calcular )(lim 30 x senxx x − → Solución Sea senxxxF −=)( , 3 )( xxG = observamos que 0)0( =F 0)0( =G , por tanto )0( )0( G F está indefinido, por tanto 6 1 ) 6 (lim) 3 cos1 (lim) )( )( (lim 0200 == − = →→→ x senx x x xG xF xxx 2.- Evaluar 2 1 0 )(lim x x x senx → Solución 2 2 3 30 1 1 1 lim 6 0 0 0 lim lim 1 1 lim 1 x x senx x senx x senx xx x x x x x x senx senx senx x e e x x x → − − − − → → → ⎡ ⎤ ⎛ − ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + − = + = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ En este problema se ha usado el numero e la Regla de L’ Hospital. 3.- Encontrar )(lim 0 senxx xtgx x − − → Solución Aplicando el mismo método que en el problema 1, = − −− = − − →→ ) )cos1(cos 1seccos1 (lim) cos1 1sec (lim 2 22 0 2 0 xx xx x x xx 2) cos cos1 (lim 20 = + → x x x 4.- Calcular ) 1 ) 1 ( (lim x x tg x ∞→ Solución 1) 1 (seclim) 1 ) 1 (sec 1 (lim) 1 ) 1 ( (lim 2 2 2 2 == − − = ∞→∞→∞→ x x xx x x tg xxx
  • 139. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 139 5.- Para un cierto valor deλ , el límite ][ xxx x −++ → λ )27(lim 45 0 es finito y diferente de cero. Determinar λ y calcular el valor del límite. Solución ] =⎢ ⎣ ⎡ +++ +++−++ =−++= ∞→∞→ ) )27( ))27)(()27(( (lim)27(lim 45 4545 45 xxx xxxxxx xxxL xx λ λλ λ ) )27( )27( (lim) )27( ))27)(()27(( (lim 45 2245 45 4545 xxx xxx xxx xxxxxx xx +++ −++ =⎢ ⎣ ⎡ +++ +++−++ ∞→∞→ λ λ λ λλ este límite existe si el grado del numerador y del denominador son iguales, entonces 210 =λ o 15 =λ en ambos casos 5 1 =λ , por tanto para este valor 5 7 =L
  • 140. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 140 4.15 APLICACIONES DE LA DERIVADA MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES DE FUNCIONES. FUNCIONES CRECIENTE Y DECRECIENTE (O MONÓTONAS) DEFINICIÓN.- Sea →IF : R una función definida en un intervalo I y Ixx ∈21 , . Entonces: i) F es una función creciente en I , si para ⇒< 21 xx )()( 21 xFxF < ii) F es una función decreciente en I , si para ⇒< 21 xx )()( 21 xFxF > iii) F es una función constante en I , si para ⇒< 21 xx )()( 21 xFxF = La figura 1 ilustra gráficamente la definición anterior. Figura 1 Con la siguiente definición se presenta la terminología que se usa para denotar los valores más grandes y los valores más pequeños de una función en un intervalo I . DEFINICIÓN.- Sea →IF : R una función definida en un intervalo I y sea Ix ∈0 . Entonces: i) )( 0xF es el máximo o valor máximo de F en I si )()( 0xFxF ≤ Ix ∈∀ ii) )( 0xF es el mínimo o valor mínimo de F en I si )()( 0xFxF ≥ Ix ∈∀
  • 141. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 141 Las figuras 2 y 3 muestran un máximo y un mínimo, en ellas se presenta I como intervalo cerrado [ ]baI ,= . Figura 2 y 3 Si )( 0xF es el máximo de F en I , se dice que F alcanza su máximo en 0x y en este caso el punto ))(,( 000 xFxP es el punto mas alto de la gráfica, llamado también cúspide o cima. Si )( 0xF es el mínimo de F en I , se dice que F alcanza su mínimo en 0x y en este caso ))(,( 000 xFxP es el punto mas bajo de la gráfica, llamado también valle o sima. Los máximos y mínimos son también denominados valores extremos de F .
  • 142. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 142 EJEMPLOS 1.- La función 23 3)( xxxF −= es creciente en ]0,−∞< , [ >∞,2 y decreciente en [ ]2,0 como se ve en la figura 4 Figura 4 2.- Localizar los valores extremos de 23 3)( xxxF −= en los intervalos siguientes intervalos >−< 5,3 , >−< 3,2 >−< 3,1 >−< 4,1 [ >− 5,3 [ ]5,3− Solución i) En >−< 5,2 , F no posee máximo ni mínimo ii) En >−< 3,2 , F solo tiene máximo y su valor máximo es 0)0( =F iii) En >−< 3,1 , F tiene máximo y mínimo, su valor máximo es 0)0( =F y su valor mínimo es 4)2( −=F . iv) En >−< 4,1 , F tiene mínimo y su valor mínimo es 4)2( −=F v) En [ >− 5,3 , F tiene mínimo y su valor mínimo es 54)3( −=−F vi) En [ ]5,3− , F tiene máximo y mínimo absolutos y su valor máximo 50)5( =F y su valor mínimo es 54)3( −=−F
  • 143. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 143 Figura 5 TEOREMA.- Si [ ]→baF ,: R es una función continua en [ ]ba , , entonces F alcanza un mínimo y un máximo por lo menos una vez en [ ]ba , . Los valores extremos de una función se llaman también mínimo absoluto y máximo absoluto de F en un intervalo. Los máximos y mínimos locales de una función son también importantes y se definen como sigue. DEFINICIÓN.- Sea 0x un punto del dominio de F ( )(0 FDx ∈ ) entonces: i) )( 0xF es un máximo local (o máximo relativo) de F si existe un intervalo abierto ><= baI , Ix ∈0 tal que )()( 0xFxF ≤ Ix ∈∀ ii) )( 0xF es un mínimo local (o mínimo relativo) de F si existe un intervalo abierto ><= baI , Ix ∈0 tal que )()( 0xFxF ≥ Ix ∈∀ .
  • 144. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 144 La palabra local se refiere a que estos máximos y mínimos lo son en relación con una región, un intervalo abierto pequeño ><= baI , que contiene al punto 0x . Fuera de este intervalo F puede tomar valores mayores o menores. Los máximos y mínimos locales pueden no incluir entre ellos a los máximos y mínimos absolutos de F . Figura 6 DEFINICIÓN (PUNTO CRÍTICO).- Sea →IF : R, un punto Ix ∈0 se llama punto crítico o punto singular (o estacionario) de F si 0)(' 0 =xF o )(' 0xF no existe (siempre que )(0 FDx ∈ o que existe )( 0xF ). EJEMPLOS 1.- Hallar los puntos estacionarios de la función 3 1 2 )4()5()( −+= xxxF Solución ⇒−+= 3 1 2 )4()5()( xxxF =−++−+= − 3 2 23 1 )4()5(( 3 1 )4)(5(2)(' xxxxxF
  • 145. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 145 0)(' )4(3 197)(5( )(' 3 2 =⇒ − −+ = xF x xx xF si 7 19 5 =∨−= xx , )4('F no existe, pero )(4 FDx ∈= , entonces 7 19 ,5 =−= xx y 4=x son puntos críticos de F . 2.- Hallar los puntos críticos de 2 1 2 )( x x xG + = Solución [ ] 1010 )1( 12 )(' 2 22 2 ±=⇒=−⇔= + − = xx x x x x xG , pero en )0('G no existe, sin embargo )0(G existe, entonces 1,0,1−=x son puntos críticos de G TEOREMA.- Sea [ ]→baF ,: R una función continua en [ ]ba , y derivable en >< ba , . i) Si 0)(' >xF para todo ><∈ bax , , entonces F es creciente en [ ]ba , ii) Si 0)(' <xF para todo ><∈ bax , , entonces F es decreciente en [ ]ba , iii) Si 0)(' =xF para todo ><∈ bax , , entonces F es una constante en >< ba , EJEMPLOS 1.- Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 23 2 3 )( xxxF −= Solución ⇒=−= 033)(' 2 xxxF 10 yx = son los puntos críticos, entonces analizaremos en los siguientes intervalos >∞−< 0, >< 1,0 >∞< ,1 .
  • 146. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 146 Intervalo >∞−< 0, >< 1,0 >∞< ,1 Valor prueba 1−=x 2 1 =x 2=x Signo de )(' xF 06)1(' >=−F 0 4 3 ) 2 1 (' <−=F 06)2(' >=F Conclusión Creciente en ]0,∞−< Decreciente en [ ]1,0 Creciente en [ >∞,1 La grafica de F se ilustra en la figura 7. Figura 7 2.- Encontrar los intervalos donde )696( 6 1 )( 23 ++−= xxxxH es creciente o decreciente 0)94( 2 1 )(' 2 =+−= xxxxH 31 yx = son los punto críticos, lo analizaremos en los siguientes intervalos >∞−< 1, >< 3,1 >∞< ,3
  • 147. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 147 Intervalo >∞−< 1, >< 3,1 >∞< ,3 Valor prueba 0=x 2=x 4=x Signo e )(' xH 0 2 3 )0(' >=H 0 2 1 )2(' <−=H 0 2 3 )4(' >=F Conclusión Creciente en ]1,∞−< Decreciente en [ ]3,1 Creciente en [ >∞,3 La gráfica se ilustra en la figura 8. Figura 8 OBSERVACIÓN.- ¿Como determinar los máximos y mínimos absolutos de una función F en un intervalo cerrado [ ]ba , ? Esta no es una regla rígida, pero es una recomendación muy importante: i) Encontrar todos los puntos singulares de F ii) Calcular )( 0xF para cada punto crítico 0x iii) Calcular )(aF )(bF
  • 148. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 148 iv) El máximo y el mínimo absolutos de F en [ ]ba , , son respectivamente el mayor y menor de los valores de la función obtenidos en ii) y iii) . EJEMPLO Calcular el máximo y mínimo absolutos de xxxH 12)( 3 −= en el intervalo [ ]5,3− Solución ⇒=−= 0123)(' 2 xxH i) 2±=x son los puntos críticos de H ii) 16)2( =−H 16)2( −=H iii) 16)2( =−H 16)2( −=H iv) 9)3( =−H 65)5( =H Por la observación [ ]5,3− , el mínimo absoluto es 16)2( −=−H y el máximo absoluto es 65)5( =H como se aprecia en el gráfico. Figura 9 TEOREMA (CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA).- Sea 0x un punto crítico de una función →IF : R continua en un intervalo abierto >=< baI , Ix ∈0 y derivable en >=< baI , , excepto a lo sumo en el mismo punto 0x . Entonces )( 0xF puede clasificarse como sigue:
  • 149. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 149 i) Si 'F cambia de signo de positiva a negativa en 0x , entonces )( 0xF es un Máximo relativo de F . ii) Si 'F cambia de signo de negativa a positiva en 0x , entonces )( 0xF es un mínimo relativo de F . iii) Si 0)(' >xF ∨ 0)(' <xF para todo Ix ∈ , excepto 0xx = , entonces )( 0xF no es un valor extremo de F . EJEMPLOS 1.- Determinar los valores extremos de la función 3 22 )8()( xxxH −= y trazar la gráfica. Solución 0 3 )2(8 ) 3 2 ()8()(' 3 2 3 1 2 = − =−= − x x xxxH entonces los puntos críticos son 2±=x )0('H no existe, pero )0(H está bien definida, entonces 0=x es también punto crítico, sugiere obtener el signo de )(' xH en cada uno de los intervalos >−∞−< 2, >−< 0,2 >< 2,0 >∞< ,2 Intervalo 2−<<∞− x ><<− 02 x 20 << x ∞<< x2 Valor prueba k 8−=x 1−=x 1=x 8=x Valor de prueba )(' kH 3 248 )8(' −=−H 3 8 )1(' =−H 3 8 )1(' −=H 3 248 )8(' =H Signo de )(' kH ⎯ + ⎯ + Conclusión decreciente en ]2,−∞−< creciente en [ ]0,2− decreciente en [ ]2,0 creciente en [ >∞,2 Por el teorema del primer criterio tiene mínimos locales en 2±=x y un máximo local en 0=x y los valores mínimos están dados por 3 26)2( −=±H y su valor máximo por 0)0( =H (Figura 10)
  • 150. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 150 Figura 10 4.16 CONCAVIDAD Y CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA DEFINICIÓN.- Sea F una función derivable en un punto 0x . i) La gráfica de F es cóncava hacia arriba en el punto ))(,( 000 xFxP si existe un intervalo abierto >=< baI , que contiene a 0x , tal que en >=< baI , la gráfica de F está por encima de la recta tangente en ))(,( 000 xFxP ii) La gráfica de F es cóncava hacia abajo en el punto ))(,( 000 xFxP si existe un intervalo abierto >=< baI , que contiene a 0x , tal que en >=< baI , la gráfica de F está por debajo de la recta tangente en ))(,( 000 xFxP . TEOREMA (CRITERIO DE CONCAVIDAD).- Sea F una función derivable en un intervalo >=< baI , , tal Ix ∈0 y )('' 0xF existe. i) Si 0)('' 0 >xF , la gráfica tiene concavidad hacia arriba en 0x ii) 0)('' 0 <xF , la gráfica tiene concavidad hacia abajo en 0x . DEFINICIÓN (PUNTO DE INFLEXIÓN).- Un punto ))(,( 000 xFxP en la gráfica de una función F es punto de inflexión si
  • 151. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 151 ''F existe en un intervalo abierto >=< baI , , tal que Ix ∈0 y que ''F cambia de signo en 0x . Dicho en pocas palabras: Un punto ))(,( 000 xFxP donde cambia de concavidad la gráfica de la función F se denomina punto de inflexión TEOREMA.- Si ))(,( 000 xFxP es un punto de inflexión de la gráfica de F , entonces 0)('' 0 =xF o )('' 0xF no está definido. TEOREMA (CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA).- Si una función ⊂IF : R⇒R satisface las condiciones: i) F tiene dderivadas hasta segundo orden continuas en >=< baI , con Ix ∈0 ii) 0)(' 0 =xF iii) 0)('' 0 ≠xF Entonces: a) Si 0)('' 0 <xF , F posee un máximo local en 0x y su valor máximo es )( 0xF b) Si 0)('' 0 >xF , F posee un mínimo local en 0x y su valor mínimo es )( 0xF ¡COMENTARIO! Existen problemas en que las condiciones dados en los criterios de la primera y segunda derivada no son aplicables. Por ejemplo si 4 )5()( −= xxH para todo ∈x R Como ⇒−= 3 )5(4)(' xxH 5=x es un punto critico de H , pero ⇒−= 2 )5(12)('' xxH 0)5('' =H entonces el criterio de la segunda derivada no se puede aplicar, pero la teoría recomienda retomar el criterio de la primera derivada o viceversa, sin embargo podemos determinar los valores extremos de H , concavidad , puntos de inflexión con la ayuda del siguiente teorema que no es muy común en los textos de calculo diferencial.
  • 152. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 152 TEOREMA ⊗ .- Sea ⊂IF : R⇒R que satisface las siguientes condiciones: i) F tiene derivadas continuas hasta el orden n en >=< baI , ii) 0)(....)(''')('' 0 )1( 00 ==== − xFxFxF n y iii) 0)( 0 )( ≠xF n Entonces se tiene: iv) Si n es par y ⇒> 0)( 0 )( xF n F es cóncava hacía arriba en 0x v) Si n es par y ⇒< 0)( 0 )( xF n F es cóncava hacía abajo en 0x vi) Si n es impar, en 0x existe punto de inflexión para F EJEMPLOS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 1.- Dado la función )8( 8 1 )( 24 xxxG −= encontrar los valores extremos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y graficar Solución ⇒=−= 0)164( 8 1 )(' 3 xxxG 2;0;2−=x son los puntos críticos, lo analizaremos en los siguientes intervalos >−∞−< 2, >−< 0,2 >< 2,0 >∞< ,2 Intervalo 2−<<∞− x 02 <<− x 20 << x ∞<< x2 Valor prueba k 3−=x 1−=x 1=x 3=x Valor de prueba )(' kG 2 15 )3(' −=−G 2 5 )1(' =−G 2 3 )1(' −=G 2 15 )3(' =G Signo de )(' kH ⎯ + ⎯ + Conclusión decreciente en ]2,−∞−< creciente en [ ]0,2− decreciente en [ ]2,0 creciente en [ >∞,2 De acuerdo el criterio de la primera derivada tenemos que 0)0( =G es un valor máximo relativo y 2)2()2( −==− GG son valores mínimos relativos.
  • 153. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 153 Figura 11 2.- Dado la función 35 5)( xxxH −= , encontrar los valores extremos, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los intervalos de concavidad, puntos de Inflexión y trazar la grafica. Solución ⇒=−= 0155)(' 24 xxxH 3,0,3−=x son los puntos estacionarios ⇒=−= 03020)('' 3 xxxH 2 3 ,0, 2 3 −=x son los posibles puntos de inflexión Como 0)0('' =H el criterio de la segunda derivada no se puede aplicar, sin necesidad de acudir al criterio de la primera derivada podemos decidir aplicando el último Teorema ⊗ , 030)0('''3060)(''' 2 ≠−=⇒−= HxxH entonces 0=x corresponde a un punto de inflexión en 2 3 ,0, 2 6 −=x los puntos de inflexión son:
  • 154. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 154 ) 8 6 21, 2 6 () 2 6 (, 2 6 (0 −=− HP ))0,0(1P ) 8 6 21, 2 6 (2 −P Intervalo 2 6 −<<∞− x 0 2 6 <<− x 2 6 0 << x ∞<< x 2 6 Valor prueba k 2−=x 1−=x 1=x 2=x Valor de prueba )('' kH 100)2('' −=−H 10)1('' =−H 10)1('' −=H 100)2('' =H Signo de )('' kH ⎯ + ⎯ + Concavidad Cóncava abajo en ] 2 6 ,−∞−< Cóncava arriba en ]0, 2 6 ⎢ ⎣ ⎡ − Cóncava abajo en [ ] 2 6 ,0 Cóncava arriba en >∞⎢ ⎣ ⎡ , 2 6 ⇒<−=− 0330)3(''H existe máximo y su valor máximo es 36)3( =−H , ⇒<= 0330)3(''H existe mínimo y su valor mínimo es 36)3( −=H Los intervalos de crecimiento son y de decrecimiento ]3, −∞−< y [ >∞,3 Intervalos de decrecimiento [ ]3,3− .
  • 155. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 155 Figura 12 3.- Dado la función 16203)( 35 +−= xxxF , encontrar los valores extremos, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los intervalos de concavidad, puntos de inflexión y trazar la grafica Solución ⇒=−= 06015)(' 24 xxxF 2,0,2−=x son los puntos críticos ⇒=−= 012060)('' 3 xxxF 2,0,2−=x son los posibles puntos de inflexión, análogamente que en el ejemplo anterior 0)0('' =F , entonces no es aplicable el segundo criterio, pero por Teorema ⊗ 0120)0('''120180)(''' 2 ≠−=⇒−= FxxF 0=⇒ x corresponde a punto de inflexión y los punto de inflexión son )22816,2(0 +−P ))16,0(1P )22816,2(2 −P
  • 156. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 156 Intervalo 2−<<∞− x 02 <<− x 20 << x ∞<< x2 Valor prueba k 2−=x 1−=x 1=x 2=x Valor de prueba )('' kH 240)2('' −=−H 60)1('' =−H 60)1('' −=H 240)2('' =H Signo de )('' kH ⎯ + ⎯ + Concavidad Cóncava abajo en ]2,−∞−< Cóncava arriba en ]2 , 0⎡− ⎣ Cóncava abajo en [ ]2,0 Cóncava arriba en 2 ,⎡ ∞ > ⎣ 0240)2('' <−=−F existe máximo y su valor máximo es 80)2( =−H , 0240)2('' >=H existe mínimo y su valor máximo es 48)2( −=H Los intervalos de crecimiento son: ]2,−∞−< [ >∞,2 Intervalos de decrecimiento [ ]2,2− Figura 13
  • 157. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 157 4.- Dado la función 3 )4()( −= xxxH , encontrar los valores extremos, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los intervalos de concavidad, puntos de inflexión y trazar la grafica Solución =+−−=−+−= )34()4()4(3)4()(' 223 xxxxxxxH 0)4()1(4 2 =−− xx 4,1=x son los puntos críticos 0)2)(4(12)('' =−−= xxxH 4,2=x son los posibles puntos de inflexión , pero 0)4('' =H entonces no se puede aplicar el criterio de la segunda derivada, pero por Teorema ⊗ 072)4(''' ≠−=H entonces 4=x corresponde a punto de inflexión y los puntos de inflexión son )16,2())2(,2(0 −=HP )0,4())4(,4(1 =HP , el comportamiento del grafico analizaremos en los siguientes intervalos como se ve en el recuadro: Intervalos )( xH )(' xH )('' xH Forma de gráfica 1<x - + Decreciente, cóncava hacia arriba 1=x - 27 0 + Mínimo relativo y su valor mínimo 27)1( −=H 21 << x + + Creciente , cóncava hacia arriba 2=x -16 + 0 Punto inflexión 42 << x + - Creciente , cóncava hacia Abajo 4=x 0 0 0 Punto de inflexión 4>x + + Creciente cóncava hacia arriba
  • 158. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 158 Figura 14 5.- Determinar los valores extremos, la concavidad y los puntos de inflexión de la función 186)( 34 +−= xxxh . Solución 02424)(' 23 =−= xxh 1,0=x son los puntos críticos, ⇒=−= 0)23(24)('' xxxh 3 2 ,0=x son los posibles punto de inflexión. Como 0)0('' =h no se puede aplicar el teorema de segundo criterio, pero usando Teorema ⊗ tenemos 048)0(''' ≠−=h entonces 0=x corresponde a un punto de Inflexión y los puntos de inflexión son )1,0())0(,0(0 =gP ) 27 5 , 3 2 ()) 3 2 (, 3 2 (1 −=gP , además 024)1('' >=h , entonces hay mínimo en 1=x y su valor mínimo es 1)1( −=h . Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento se da en gráfico de la función.
  • 159. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 159 Figura 15 6.- El costo de producción de x pantalones de casimir ingles 100 a 100 es xxC 32)( += dólares y el precio de venta por pantalón es xxP 255)( −= ¿Cuántos pantalones se debe producir diario para maximizar la utilidad? Solución El ingreso por la venta de pantalones es )255()( xxxI −= , luego la utilidad es 2252)()()( 2 −−=−= xxxCxIxU , entonces 130452)(' =⇒=−= xxxU es el único punto de inflexión 04)13(''4)('' <=⇒−= UxU entonces existe máximo y valor máximo es 336$)13( =U el número de pantalones producidos por día es 13=x Con lo cual ayuna utilidad diaria de 336$)13( =U . 7.- En una ciudad de 5000 habitantes, la tasa de propagación de una epidemia (índice de variación de personas infectadas) es proporcional al producto del número de personas infectadas por el número de personas inmunizadas de esta enfermedad .Si la epidemia se difunde con una tasa de 9 personas por día cuando hay 100 personas infectadas a) ¿Con que
  • 160. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 160 tasa se difunde la epidemia cuando ya están contagiados 200 personas? b) ¿Cuál es el número de personas contagiadas? Solución Sea x = el número de personas contagias, =− x5000 número de personas no contagias y =)(xg número de personas contagiadas por día, entonces )5000()( xkxxg −= donde 0>k es la constante de proporcionalidad. Por dato, cuando hay 100=x personas infectadas, hay 9 personas contagiadas por día 9)100( =g sustituyendo 490000 9 )1005000)(100(9 =⇒−= kk , entonces )5000( 490000 9 )( xxxg −= a) Cuando 200=x 6,17)2005000()200( 490000 9 )200( =−=g personas por día b) 0)25000( 490000 9 490000 9 )5000( 490000 9 )(' =−=−−= xxxxg entonces 2500=x 0 245000 9 )2500('' 245000 9 )2( 490000 9 )('' <−=⇒−=−= gxg , luego hay un máximo de 2500=x y 115)25005000()2500( 490000 9 )2500( ≅−=g contagiadas por día.
  • 161. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 161 EJERCICIOS 1.- Un abrevadero de 9 pies de largo tiene sección transversal en la forma de un triángulo isósceles de hipotenusa de 2 pies de largo en la parte abierta del abrevadero. Supongamos que en el abrevadero se vierte agua a razón de 2 pies3 /min. Calcular la altura h(t) del agua a los t minutos de haber empezado la operación, encontrar también la razón de cambio de la altura en el instante t = 2. 2.- El volumen de ventas y = F(x) de una tienda en función del gasto diario x de publicidad está dado por )388(50)( 2 ++−= xxxF donde x e y están expresados en miles de dólares: a) Determinar si es ventajoso que el presupuesto diario de publicidad fuera aumentado, si actualmente éste es: i) 300 dólares, ii) 600 dólares b) ¿Cuánto debe asignarse al presupuesto de publicidad para obtener el máximo volumen de ventas? 3.- Se estima que dentro de x meses la población de una cierta comunidad será 80020)( 2 ++= xxxP a) ¿A qué ritmo cambiará la población dentro de 15 meses? b) ¿Cuánto cambiará realmente la población durante el décimo sexto mes. 4.- Dado las siguientes funciones, hallar los valores extremos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, intervalos de concavidad, puntos de inflexión (si existen) y graficar la curva: i) 22 )4()( −= xxF vi) 52 2 3 4 1 )( 24 ++−= xxxxG ii) )135403( 270 1 )( 35 xxxxF ++−= vii) )696( 6 1 )( 23 ++−= xxxxH iii) 311232)( 23 +−−= xxxxF viii) 2 )212()( xxxG −= iv) 34 44)( xxxF −= ix) )8()( 23 2 −= xxxG v) 3 1 3 2 )2()1()( +−= xxxG x) xxxxxv 8126)( 234 −+−=
  • 162. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 162 5.- Lo mismo que en el problema (4) resolver los siguientes problemas: a) 143)( 34 +−= xxxh f) 68)( 24 −−= xxxh b) 125 12 7 30 1 )( 246 −++−= xxxxxf g) 35 53)( xxxf −= c) 20100 )( 45 xx xg −= h) 210 3 32 5 9 )( 36 −+−= xxxxf d) 32 )5()( −= xxh i) 32 )8()( −= xxh e) 8188)( 234 −++= xxxxg j) 22 )9()( −= xxg 6.- Hallar los valores de m y n tal que la función definida por 3 ( ) 9F x m x n x= + + tiene un valor máximo igual a 5 en 10 =x . 7.- Se va bardear un campo rectangular con 600 metros de material y después subdividir el campo en dos partes con una barda paralela a uno de los lados. De todos los terrenos en los cuales se puede hacer esta operación ¿cuáles son las dimensiones para que el área sea máxima? 8.- Se va a reforzar una pared por medio de una viga que debe pasar sobre otra pared baja de b metros de altura y situada a metros de la pared alta que va a ser reforzada. Graficar y hallar la longitud de la viga mas corta que se puede usar .Estimar para a = 27b 9.- El Departamento de carreteras del Ministerio de Transportes planea construir un área de recreo para automovilistas a los largo de la panamericana sur. Debe ser de forma rectangular con un área de 5 000 m2 y debe ser cercado por los tres lados no adyacentes de la carretera. ¿Cuál será la menor cantidad de cerca que será necesario para completar el trabajo? 10.- Una compañía de autobuses alquila un autobús de 50 asientos a grupos de 35 o mas personas .Si un grupo es exactamente de 35 personas cada una de ellos paga S/. 60 c/u. en grupos mayores, la tarifa de todos se reduce en un sol por persona que sobrepasa los 35 personas .Determinar el tamaño del grupo para el cual los ingresos de la compañía sean mayores. 11.- Discutir la gráfica de la función 1,69,91,325,0)( 23 −+−= xxxxG , determinando los valores extremos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, intervalos de concavidad, puntos de inflexión.
  • 163. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 163 12.- Un hombre se encuentra en una lancha, a cuatro millas del punto P más cercano de la costa (que es recta) y desea llegar a un punto Q, que está a diez millas del punto P a lo largo de la costa: La lancha puede desplazarse a 18 millas/hora. Y en cualquier punto de la costa podrá abordarse un automóvil que puede viajar a 30 millas/hora en dirección Q. ¿Hacia qué punto de la costa deberá dirigirse la lancha para alcanzar Q en este viaje combinado en el mínimo de tiempo? 13.- Una asociación de padres de familia de Cuzco desea rentar tren para llevar a sus hijos a Machu-Picchu .La compañía accede rentar si el número de viajeros no es menor que 200.La tarifa por persona será de $8 si viajan 200 y se reduce en un Centavo de dólar por cada viajero adicional ( así si viajan 250 personas la tarifa se reduce a $7,50) ¿Cuál es el número de pasajeros que representará el mejor arreglo para la CIA ferroviaria? 14.- Esbozar el gráfico de una función con todas las propiedades siguientes: a) 0)(' >xh cuando 0<x y cuando 5>x b) 0)(' <xh cuando 50 << x c) 0)('' >xh cuando 36 −<<− x y cuando 2>x d) 0)('' <xh cuando 6−<x y cuando 23 <<− x 15.- Esbozar el gráfico de una función con todas las propiedades siguientes: a) 0)(' >xf cuando 1−<x y cuando 3>x b) 0)(' <xf cuando 31 <<− x c) 0)('' <xf cuando 2<x d) 0)('' >xf cuando 2>x 16.- Un alambre de 60 cm. de largo se va partir en dos trozos .Una de las partes se va a doblarse en forma de circunferencia y la otra en forma de triángulo equilátero. ¿Como se debe cortar el alambre para que la suma de las áreas de la circunferencia y del triángulo que se forman sea máximo? ¿Y como debe cortar para que sea mínimo?
  • 164. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 164
  • 165. ANÁLISIS MATEMÁTICO I 165 BIBLIOGRAFÍA Armado O. Rojo (1976). Algebra I. Argentina Ed. Ateneo. M. Mitacc-L.Toro (1984). Tópicos de Cálculo Diferencial. Perú. Ed. San Marcos. L. D. Hoffmann. (1980). Cálculo Avanzado para Administración y Economía. México. Ed. McGRAW-HILL Maynanard Kong (2001). Cálculo Diferencial. Perú. Ed. UPCP E. F. Haeussler-R.S.Paul (2003). Matemática para Administración y Economía. México. Ed. Prentice Hall. Tom. M Apóstol (1973). Cálculus V-I. México. Ed. Reverté. E .W. Swokowski (1988). Cálculo con Geometría Analítica. México. Ed. Iberoamericana. Larson –Hosteler (1991). Cálculo con Geometría Analítica. México. Ed. McGRAW-HILL H. Taylor – T. Wade (1997). Cálculo Diferencial e Integral. México. Ed. Limusa Alvaro Pinzón (1984). Cálculo Diferencial I. Ed. Harla Frank Ayres, Jr (1985). Cálculo Diferencial e Integral. Ed. MGH Louis Leithold. Cálculo con Geometría Analítica. Ed. Harla