Informe 6 Simulación en Ing. Eléctrica - Integración numérica

1. Simulación en Ingeniería Eléctrica
ELI-213
INFORME: GUÍA DE TRABAJO N° 6
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Profesor: - Esteban Gil Sagás
Integrantes: - Sebastián Flores Carrasco
- Carlos Vergara Branje
Fecha: 13/06/2014

2. Pregunta 1:

3. Pregunta 2: Con el fin de conocer la influencia del campo magnético sobre las
propiedades eléctricas de ciertos gases se realiza un experimento consistente en lanzar
una partícula cargada eléctricamente dentro de un recipiente que contiene el gas. El
experimento consiste en arrojar la partícula de manera perpendicular a la dirección de un
campo magnético de magnitud 𝐻0 y registrar el movimiento de la partícula en el
recipiente. El movimiento de una partícula estuvo caracterizado por una curva
paramétrica (espiral logarítmica) determinada por:
𝑥( 𝑡) = 3cos( 𝑡) 𝑒−0.04𝑡 [ 𝑐𝑚], 𝑡 ∈ [0,100]
𝑦( 𝑡) = 3sin( 𝑡) 𝑒−0.04𝑡 [ 𝑐𝑚], 𝑡 ∈ [0,100]
La distancia 𝑑(𝑡) que recorre la partícula hasta el instante 𝑡 se puede determinar
mediante integración (largo de un arco para funciones paramétricas):
𝑑( 𝑡) = ∫ √ 𝑥′( 𝑡)2 + 𝑦′( 𝑡)2
𝑡
0
a) Grafique la trayectoria de la partícula y obtenga una expresión para 𝑑(𝑡).
Programe el integrando de 𝑑(𝑡) como una función en Matlab.
b) Divida el intervalo de tiempo [0,100] en 𝑛 sub-intervalos para distintos valores de
𝑛. Utilice los métodos del trapecio, de Riemann y de Simpson para estimar la
distancia recorrida por la partícula para cada valor de 𝑛 (paso ℎ = 100/𝑛).
Compare gráficamente la convergencia de cada método en la medida que 𝑛 crece.
c) Usando valores tabulados para los pesos y nodos, estime la distancia recorrida por
la partícula utilizando integración de Gauss-Legendre para 𝑛 = 1, … ,5 nodos.
d) Usando la función 'lgwt.m' provista en la página web, estime la distancia recorrida
por la partícula usando integración de Gauss-Legendre para 𝑛 > 5 nodos y
muestre gráficamente como converge.

4. Solución:
a) Primero se define la función del integrando en Matlab, según el siguiente código:
Luego se grafica el movimiento se la partícula, teniendo las componentes definidas del
movimiento en el plano de 𝑥 e 𝑦, según el siguiente código:

5. Lo que arroja el siguiente gráfico:
Comenzando el movimiento en el punto (3,0). Como se aprecia en el gráfico, la partícula
sigue una trayectoria paramétrica, según el comportamiento de las componentes 𝑥 e 𝑦.

6. b) Se programa el siguiente código, en el cual se utiliza la función creada
anteriormente:

7. Lo que entrega el siguiente gráfico:
Como se observa en el gráfico, la integración que converge más rápido es por método de
Simpson, siendo necesario solo un par de sub-intervalos. Luego le sigue el método del
trapecio, el cual se acerca la integral definida un poco después de los 10 sub-intervalos.
Por último, la integral por suma de Riemann es la que converge más lento, siendo
necesario unos 80 sub-intervalos, aunque no converge como lo llega a ser por método
Simpson o Trapecio.

8. c) Con los valores tabulados de pesos y nodos presentados en el marco teórico, y
dada la trasformación lineal necesaria para cambiar los límites de integración, se
programó el siguiente código en Matlab:

9. Lo que entrega los siguientes valores:
Nodos Distancia Recorrida [cm]
1 40.633052457156772
2 70.868613897270265
3 73.591993221117818
4 73.683552358009322
5 73.685186352230787
Considerando que la integral definida es de 73.685204603416452, desde los 3 nodos se
puede decir que se acerca al valor real, aunque desde los 4 nodos el valor respecto al real
tiene una diferencia de punto flotante en el orden 10−3
, lo que es poco como error
porcentualmente.
d) Usando la función programada 'lgwt.m' se analizó el caso para 5 < 𝑛 ≤ 15, según
el siguiente código:

10. Lo que entrega los siguientes valores de integración por cantidad de nodos:
Nodos Distancia Recorrida [cm]
6 73.685204465779378
7 73.685204602662935
8 73.685204603413410
9 73.685204603416494
10 73.685204603416423
11 73.685204603416338
12 73.685204603416409
13 73.685204603416409
14 73.685204603416466
15 73.685204603416324
Gráficamente:
Se tiene que la integral definida es de 73.685204603416452 (distancia recorrida real), y
como se aprecia, sobre los 5 nodos es muy parecido por método de integral de Gauss-
Legendre.

11. Como observación, se aprecian subidas y caídas de valor de integral entre nodos, no
siendo un comportamiento lineal a medida que se tengan más nodos. Como se está cerca
del valor real, existiendo variaciones de punto flotante del orden 10−12
, las crecidas y
caídas se pueden atribuir a un error de truncamiento por parte del programa.
De todas formas, un error de ese orden es bajo, por lo que ya 6 nodos serían considerados
como buena cantidad para integrar.