Teorema de Bolzano
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Teorema de Bolzano

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Enunciado, demostración y ejercicios de aplicación del teorema

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Teorema de Bolzano Teorema de Bolzano Presentation Transcript

    • Biografía
    • Planificación de Clase
    • Metodología
    TEOREMA DE BOLZANO
  • OBJETIVOS 1) Lograr la participación de los alumnos a través de las propuestas planteadas. 2) Demostrar el Teorema de BOLZANO. 4) Estimular la comunicación en general con un lenguaje matemático en particular. 3) Mostrar aplicaciones del Teorema.
  • Teorema de Bolzano INTRODUCCIÓN INTUITIVA
  • A) Representamos una función continua en el intervalo [a,b[, con f(a).f(b)<0 ¿Puede una función continua en un intervalo tal que f(a).f(b)<0, no cortar el eje Ox? f(b) f(a) a b
  • B) Representamos una función continua en el intervalo, con f(a)>0 yf(b)>0 , y que corte el eje Ox. ¿Existe una función continua en un intervalo, que corte el eje Ox tal que f(a).f(b)>0? f(b) f(a) a b
  • C) Representamos una función continua en el intervalo cerrado [a,b[ , con f(a)>0 yf(b)>0, y que no corte el eje de las abscisas C) f (b) f(a) a b
  • D) Representamos una función no continua en el intervalo, con f(a).f(b)<0 f(b) f(a) a b
  • PREGUNTA I)
    • Pregunta: De los cuatro primeros gráficos, Qué conclusiones puede realizar?
  • f(b) f(a) a b f(b) f(a) a b f (b) f(a) a b f(b) f(a) a b
  • OBSERVACIONES
    • A) Si los dos valores funcionales de los extremos tienen signos distintos, la función corta el eje Ox.
    • B) Si la función corta el eje y los valores funcionales de los extremos tienen el mismo signo, la misma cortará el eje un número par de veces, o no lo cortará.
    • C) Si la función tiene los valores funcionales de los extremos de distinto signo y no corta el eje Ox, entonces no es continua.
  • Teorema de Bolzano ENUNCIADO Y DEMOSTRACIÓN
  • Enunciado: f(b) f(a) a b
  • f(b) f(a) a b Dem:
  • En 2) y 3) se producen contradicciones debido al supuesto falso por lo tanto dada la propiedad de Tricotomía: Quedando demostrado el teorema de Bolzano “ Si f es continua en un intervalo [a,b[ de su dominio y f(a). f(b)<0, entonces f tiene al menos un cero en el intervalo”. Obs: Si suponemos f(a)>0 se demuestra análogamente.
  • Teorema de Bolzano EJERCICIOS DE APLICACIÓN
  •  
  •  
  • PREGUNTA II
    • ¿Es el teorema de Bolzano una condición suficiente, (de la existencia de ceros en un intervalo)?, dadas sus condiciones ¿es necesaria?
  • Ejercicio :2) Presentamos como Corolario del Teorema de Bolzano, el siguiente ejemplo, que nos permite observar si dicho teorema es: condición suficiente pero (y o no) necesaria . ,
      • Solución :
      • Se tiene que la función es continua para todo x real, por
      • lo que será continua en un intervalo. Luego trabajamos
      • conociendo que f(0) = 0. Nos tomamos entonces el inter-
      • valo siguiente [–1,1] y realizando cuentas:f(-1) = 1 y
      • f(1) = 1, entonces f(-1).f(1) > 0. Con lo que no se cumple
      • las condiciones de Hipótesis de Bolzano, por lo que podemos concluir:
  • CONCLUSIONES II
    • El teorema de Bolzano es una condición suficiente pero no necesaria, puesto que existiendo valores funcionales iguales a cero, siendo además continua la función, entonces los valores funcionales extremos no presentan distinto signo.