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  1. 1. SliderShare.SlideShare es un sitio web que ofrece a los usuarios la posibilidad de subir ycompartir en público o en privado presentaciones de diapositivas en PowerPoint,documentos de Word, Open Office, PDF, Portafolios. Análisis Numérico.Es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a travésde números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos máscomplejos aplicados a procesos del mundo real.El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores.Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos,pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticassimples.Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiajenecesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticossusceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos quepermitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números. Métodos Numéricos.Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formularproblemas de tal forma que sean resueltas con operaciones aritméticas, Aunquehay muchos tipos de métodos numéricos todos comparten una característicacomún, llevan cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos.Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos afin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en unacomputadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas yresolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente paradichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadorassino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principioscientíficos básicos. Números de Máquina Decimales"Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base 2".El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es debase 2, la más pequeña posible; este tipo de representación requiere de menosdígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares.
  2. 2. Cálculo de errores. Error absoluto y relativo.Cualquier medida debe de ir acompañada del valor estimado del error de lamedida, y a continuación, las unidades empleadas.Por ejemplo, al medir un cierto volumen hemos obtenido 297±2 ml.Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa. Únicamente,en casos excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la segunda cifra 5 ó 0).Así, es incorrecto expresar 24567±2928 ml.La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error,expresados en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden demagnitud (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas).Así, es incorrecto expresar 43±0.06 mlBien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando unafórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dostipos de errores que se utilizan en los cálculos: • Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. • Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades. Cota de Errores Absolutos y Relativos.Cotas de error:1. Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa2. Una cota para el error relativo es: Cota de error relativo = cota del error absoluto/valor real Fuentes Básicas de Errores.Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error detruncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el númerolimitado de dígitos con que se representan los números en una PC (paracomprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en quese almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro deuna PC). El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la
  3. 3. fórmula matemática del modelo, también podemos decir que un error detruncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito. Redondeo y Truncamiento.Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados delos cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente:errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente unprocedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan derepresentar aproximadamente números exactos. • El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. • El error de truncamiento es cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n. Errores de Suma y Resta.En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en lacomputadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al épsilon de lamáquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso Condicionamiento.Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal paraindicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambiosrelativos en los datos de entrada. Estabilidad e Inestabilidad.La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambiosen los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestablesi la incertidumbre de los valores de entrada aumenta considerablemente por elmétodo numérico. Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños erroresque se producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores ydegradan seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto.

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