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Introducci´n a
           o
  los Vectores
 Claudia Alarc´n Mustieles
              o
Juan Carlos Espinoza Tapia
   Jorge ...
Definici´n
       o
Un vector es una cantidad que posee magnitud y direcci´n.
                                             ...
Representaci´n de un vector
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 •   Cualquier vector equivalente representa a los dem´s
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Representaci´n algebraica
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Si v es un vector de posici´n, entonces v queda dado me-
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Vector del punto P al punto Q
 Sean P (p1, p2) y Q(q1, q2) ∈ R2; el vector de P a Q se denota
      −→
como P Q y est´ dad...
Tipos de vectores
Vector columna: Las componentes se escriben en forma de
   columna                    
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Operaciones con vectores
Sean u = u1, u2, . . . , un y v = v1, v2, . . . , vn vectores en Rn
y sea c un escalar.
 1. Suma:...
Geometric´mente
         a
Suma:
Propiedades de las operaciones con vec-
tores
Sean u, v, w vectores en Rn, y sean c y d escalares.
 1. u + v = v + u      ...
Magnitud y vector unitario
Magnitud
Sea u = u1, u2, . . . , un un vector en Rn. Entonces la mag-
nitud de u est´ dada por:...
Producto punto
Sean u = u1, u2, . . . , un y v = v1, v2, . . . , vn vectores en Rn.
El producto punto de u y v es el escal...
Propiedades del producto punto
Sean u, v, w vectores en Rn y sea c un escalar

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  1. 1. Introducci´n a o los Vectores Claudia Alarc´n Mustieles o Juan Carlos Espinoza Tapia Jorge Salazar Serrano Gilberto Varela Carmona
  2. 2. Definici´n o Un vector es una cantidad que posee magnitud y direcci´n. o Se representan por medio de segmentos de recta dirigidos. Vectores equivalentes:
  3. 3. Representaci´n de un vector o • Cualquier vector equivalente representa a los dem´s a • Un vector de posici´n tiene su punto inicial en el origen o
  4. 4. Representaci´n algebraica o Si v es un vector de posici´n, entonces v queda dado me- o diante sus componentes de la siguiente manera: • En R2 : v = v1, v2 • En R3 : v = v1, v2, v3 • En Rn : v = v1, v2, . . . , vn
  5. 5. Vector del punto P al punto Q Sean P (p1, p2) y Q(q1, q2) ∈ R2; el vector de P a Q se denota −→ como P Q y est´ dado por: a −→ P Q = q1 − p1, q2 − p2 En Rn, Sean P (p1, p2, . . . , pn) y Q(q1, q2, . . . , qn) ∈ Rn; el vector de P a Q est´ dado por: a −→ P Q = q1 − p1, q2 − p2, . . . , qn − pn
  6. 6. Tipos de vectores Vector columna: Las componentes se escriben en forma de columna   u1  u2    u= .   .  . un Vector fila Sus componentes se escriben en el mismo rengl´n o separados por comas. u = (u1, u2, . . . , un)
  7. 7. Operaciones con vectores Sean u = u1, u2, . . . , un y v = v1, v2, . . . , vn vectores en Rn y sea c un escalar. 1. Suma: u + v = u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn 2. Multiplicaci´n escalar: c u = cu1, cu2, . . . , cun o 3. Negativo: −u = −u1, −u2, . . . , −un 4. Diferencia: u − v = u1 − v1, u2 − v2, . . . , un − vn 5. Igualdad: u = v si y s´lo si u1 = v1, u2 = v2, . . . , un = vn. o 6. Vector 0: Todas sus componentes son nulas 0 = 0, 0, . . . , 0
  8. 8. Geometric´mente a Suma:
  9. 9. Propiedades de las operaciones con vec- tores Sean u, v, w vectores en Rn, y sean c y d escalares. 1. u + v = v + u Propiedad conmutativa 2. (u + v) + w = u + (v + w) Propiedad asociativa 3. u + 0 = u Propiedad de la identidad aditiva 4. u + (−u) = 0 Propiedad del inverso aditivo 5. c(du) = (cd)u 6. (c + d)u = cu + du Propiedad distributiva 7. c(u + v) = cu + cv Propiedad distributiva 8. 1u = u, 0u = 0
  10. 10. Magnitud y vector unitario Magnitud Sea u = u1, u2, . . . , un un vector en Rn. Entonces la mag- nitud de u est´ dada por: a ||u|| = u2 + u2 + . . . + u2 1 2 n Vector unitario Un vector que tiene magnitud 1 se llama vector unitario. Si v es un vector distinto de cero en Rn, entonces el vector v u= ||v|| tiene longitud 1 y la misma direcci´n que v. o El proceso de obtener un vector unitario se llama normalizar.
  11. 11. Producto punto Sean u = u1, u2, . . . , un y v = v1, v2, . . . , vn vectores en Rn. El producto punto de u y v es el escalar dado por: u · v = u1 · v1 + u2 · v2 + . . . + un · vn El producto punto tambi´n se conoce como producto e escalar. Esto se debe que da como resultado un escalar. Otro nombre es producto interno.
  12. 12. Propiedades del producto punto Sean u, v, w vectores en Rn y sea c un escalar 1. u · v = v · u Propiedad conmutativa 2. u · (v + w) = u · v + u · w Propiedad distributiva 3. c(u · v) = cu · v = u · cv 4. 0 · v = 0 5. v · v = ||v||2
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