0
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
11111
Demostrar que los puntos ( )A 0,1= y ( )B 3,5= ; ( )C 7,2= y ( )D 4, 2= −
son...
22222
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos ( )A 1,1= − y
( )B ...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
33333
( )
( ) 





==
==
+−
=
+
+−
=
+
+
=
3
1
,0y,xP
3
1
y
3
1
3
43
21
223
...
44444
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es
dividido en ...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
55555
Solución:
( ) ( )
( ) ( )79,y,xN
7y132y3x13MNSi
9x123x12ABSi
22
−−==
−==++−=
...
66666
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
( ) ( )4,6D,6xD
:Luego
6x
4x
024x2x
es:operacionEfectuando
2
1
2
==




−=
=...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
77777
( ) ( )2,2yx,G
2
3
6
y
3
071
y
3
yyy
y
2
3
6
x
3
842
x
3
xxx
x
321
321
==
==
...
88888
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
!
"
→=+−−+
++−=−+−+++−
=+
→=−−−+
++−=...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
99999
Discutir y graficar las curvas, cuyas ecuaciones son:
0yx16 2
=−
Solución:
( ...
1010101010
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
2º. Simetría:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Xejeelcon
sólos...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
1111111111
012xxy =−−
Solución:
( ) !→=−− 012xxy:yx,E
1º. Intercepciones con los ...
1212121212
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
6º. Gráfico:
04y4yx 23
=+−+
Solución:
( ) !→=+−+ 04...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
1313131313
3º. Extensión:
0x;x2y
:De
3
≤−±= ∀
!
4º. Asíntotas:
No tiene asíntotas, ...
1414141414
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
4x
1x
y 2
2
2
−
−
=
Solución:
( ) !→
−
−
=
4x
1x
y:...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
1515151515
6º. Gráfico:
( ) 41xy 2
=+
Solución:
( ) ( ) !→=+ 41xy:yx,E 2
1º. Inte...
1616161616
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
3º. Extensión:
ú∈=+
+
= ∀ x;01x
1x
4
y
:De
2
2
!
!
4º...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
1717171717
Una recta pasa por los dos puntos ( )32,A −−= y ( )4,1B = . Si un punto
...
1818181818
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
Un segmento rectilíneo de longitud 4 se mueve de tal ...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
1919191919
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos ( )4,2A = y
(...
2020202020
Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA
Calcular el área del triángulo que forma la recta 012y4x3 =−− con los
ejes coordenad...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
2121212121
( )
( )
( ) 0yx30x30y
3m
6,2B
0,0A
:AC
:ACdeEcuación
AC
=+−−=−
−=


...
2222222222
Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA
) ( )
( )px
b
a
qy:
q,pP;
b
a
m:Donde;0cbyax:b
−−=−
=−==++
‹
‹ ‹
!
)
1
b
c
y
a
c
x
:...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
2323232323
( )
( )
( ) 09yx33x30y
3tgº180tgm:pendiente
3,0P;3x0ySi
:reflejadorayode...
2424242424
Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA
Los puntos ( )2,3A −= , ( )4,1B = y ( )5,3C −= son los vértices de un
triángulo. Dem...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
2525252525
LQQDMMBC:nteefectivameLuego
7
4
7
4
mmMMBC:queSabemos
21
21
2M1MBC
*
* −...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
2727272727
Encontrar la ecuación de la circunferencia sabiendo que sus extremos de
...
2828282828
Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA
Obtener la ecuación de la circunferencia tangente a los dos ejes, radio 6,
en el ...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
2929292929
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto ( )1,4C ...
3030303030
Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA
0132y5x19y13x13
0
13
132
y
13
5
x
3
19
yx:
:En
22
22
: =−+−+
=−+−+
⊗
C
Cˆ
Hallar ...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
3131313131
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0400y20x40yx
10010y20x
rkyhx:
1020,C;20h10,hCper...
3232323232
Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA
Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en ( )34,4C = y
que pasa po...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
3333333333
Por una traslación de ejes, transformar la ecuación:
0133y4x42y2x3 22
=+...
3434343434
Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
Simplificar la ecuación:
055y36x48y36x72 22
=−+−+
por una traslación ...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
3535353535
Por medio de una traslación de ejes, eliminar los términos de primer gra...
3636363636
Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
( )
( )
( )
⊗→=θ−θ+
+θθ+θ−θθ−θ+
+θ+θθ−θ+
+θ+θθ+θ
0seny25cosx25
yxco...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
3737373737
( ) ( )
0y3x4x5
0y15x20x25
0y
5
3
25x
5
4
25y
5
4
3
5
3
4x
5
3
3
5
4
4
0...
3838383838
Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
02cos0sencos
0sencos10
0sen10cos10
:yxtér...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
3939393939
( ) ( )
06y3x2
:2Dividiendo
012y6x4
012y51x51
012y
2
2
2
2
101x
2
2
2
2
...
4040404040
Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
( ) ( )
09yx8
019101010yx8
019
2
5
2
1
8
2
5
4
2
1
10yx8
:en
2
1
k;
2...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
4141414141
66666Capítulo
LA PARÁBOLA
Obtener la ecuación de la parábola con vértice...
4242424242
Capítulo 6. LA PARÁBOLA
Hallar la ecuación de la parábola cuya directriz es la recta 6x −= y su
foco es ( )0,0F...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
4343434343
Dada la ecuación de la parábola 7x2y8x2
=−+ . Hallar el vértice, eje,
fo...
4444444444
Capítulo 6. LA PARÁBOLA
Encontrar la ecuación de la parábola, cuyo vértice es el punto ( )3,2V = y
el foco es (...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
4545454545
Determinar la longitud del segmento determinado por la ecuación x4y2
= ,...
4646464646
Capítulo 6. LA PARÁBOLA
Determinar la ecuación de una circunferencia que tiene por diámetro la
cuerda normal de...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
4747474747
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )12,12P
3,43P
012y3x4:
x12y:
:P:yDe
012y3x4:3x...
4848484848
Capítulo 6. LA PARÁBOLA
Las dos torres de suspensión de un puente colgante distan entre sí 300 m.
y se extiende...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
4949494949
77777Capítulo
LA ELIPSE
Hallar la ecuación de la elipse cuya longitud de...
5050505050
Capítulo 7. LA ELIPSE
Hallar la ecuación de la elipse, cuyo eje es coincidente con 1x = , ( )1,5C = ,
( )1,8F =...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5151515151
Reducir la ecuación 021y16x6y4x 22
=++−+ a la forma ordinaria de
la ecua...
5252525252
Capítulo 7. LA ELIPSE
Por el foco de la elipse 115y25x 22
=+ se ha trazado una perpendicular
a su eje mayor. De...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5353535353
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 7301010CF
3301010CF
:tantoloPor
3,10yx,C:aquíDe
...
5454545454
Capítulo 7. LA ELIPSE
Hallar la ecuación canónica de la elipse, si uno de los vértices está en
( )5,0V1 = y pas...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5555555555
Usando la definición de elipse, obtener la ecuación de la elipse con foc...
5656565656
Capítulo 7. LA ELIPSE
Demostrar que para todo elipse que tenga su centro en el origen, la distancia
de cualquie...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5757575757
Un punto se mueve de tal modo que la suma de las distancias de los
punto...
5858585858
Capítulo 7. LA ELIPSE
450147ca5502000150ca:Minimo
550152ca5502000150ca:Máximo
:Luego
=−−=−
=++=+
!
!
!
!
´
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5959595959
88888Capítulo
LA HIPÉRBOLA
Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa p...
6060606060
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
Hallar la ecuación de la hipérbola, con vértices en ( )70,V ±= y 34e = .
Solución:
( )...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6161616161
2b2:ConjugadoEje
4a2:TransversoEje
1
2
12
a
2b
CN:NormalCuerda
2
=
=
=
×...
6262626262
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 1
5
1y
4
2x
:
1
b
ky
a
hx
::tantoloPor
5bb49bac
4a2CVa
:Ahora
...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6363636363
Hallar la ecuación de la hipérbola, cuyos focos están en los vértices de...
6464646464
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
1
100
y
60
x
:
1
b
y
a
x
::tantoloPor
40b60100bcab:Seguido
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PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6565656565
Dada la ecuación de la hipérbola: ( ) 1128y164x 22
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6666666666
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
6464
4
1282
a
2b
CN:NormalCuerda
2
==
×
==
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6767676767
Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos ( )2,3A −= y
...
6868686868
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
!→+=
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:problemadelcondiciónPor
( )
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PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6969696969
99999Capítulo
CURVAS PLANAS
DE GRADO SUPERIOR
Trazar la curva potencial,...
7070707070
Capítulo 9. CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR
Trazar la curva logarítmica, cuya ecuación es: xlogy 10=
Solución:
...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
7171717171
Trazar la curva exponencial, cuya ecuación es: 1x
e4y −
=
Solución:
...5...
7272727272
Capítulo 9. CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR
Trazar la curva, cuya ecuación es: 





=
3
x
cosy .
Solució...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
7373737373
...1600016000y
...6000160001x
:valoresdeCuadro
−−
−−
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
7575757575
1010101010Capítulo
PROBLEMAS
SUPLEMENTARIOS
¿Para qué valor de h estará ...
7676767676
Capítulo 10. PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto cuya distancia de
( )...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
7777777777
La ecuación de la circunferencia es 28x10yx 22
=−+ . Hallar la ecuación
...
7878787878
Capítulo 10. PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
Hallar la ecuación de la elipse con focos en ( )0,7F1 = y ( )120,F2 = , u...
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  1. 1. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 11111 Demostrar que los puntos ( )A 0,1= y ( )B 3,5= ; ( )C 7,2= y ( )D 4, 2= − son los vértices de un cuadrado. Solución: LQQDcuadrado.unesABCD 5CDADBCAB:Como 525916CD 525169AD 525916BC 525169AB ˆ ==== ==+= ==+= ==+= ==+= ! ! ! ! 11111Capítulo SISTEMA DE COORDENADAS
  2. 2. 22222 Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos ( )A 1,1= − y ( )B 3,1= . Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Dos casos). Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )321,1C 321y 1x :yDe 161y3x ABBC 1y1x 1y3x ACBC vértice.tercerelx,yCSea 22 22 22 ±=    ±= = →=−+− = →−++= =−+− = = ˆ !" ! " ! ! ! ! Dados los puntos ( )P 2, 31 = − y ( )P 1,22 = − encontrar sobre 21PP el punto que diste doble de 1P que 2P . Solución: ( ) ( ) 0x0 3 0 3 22 21 122 r1 xrx x 2 1 2 PP PP r pedido.puntoelx,yPSea 21 2 1 === − = = + −+ = + + = === = ! ! !
  3. 3. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 33333 ( ) ( )       == == +− = + +− = + + = 3 1 ,0y,xP 3 1 y 3 1 3 43 21 223 r1 yry y 21 ˆ !! El lado de un rombo es igual a 105 y dos de sus vértices opuestos son los puntos ( )4,9P = y ( )2,1Q −= . Calcular el área de este rombo. Solución: 101006436PQ ==+= ( ) 2 2222 m150A150 2 1030 2 dD A :Luego 15x225x252505105x == × = × = ==−=−= ! !!! :
  4. 4. 44444 Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es dividido en tres partes iguales por los puntos ( )2,2P = y ( )1,5Q = . Solución: ( ) ( )13,A 1y 2 5y 2 3x 2 x1 2 1 PQ AP r :,yxAdeCálculo 1 1 1 1 11 −=        −= + = = + = == = ˆ ! ! ! ! ! ( ) ( )0,8B 8y 2 y2 5 0x 2 x2 1 1 QB PQ r :,yxBdeCálculo 2 2 2 2 22 =        = + = = + = == = ˆ ! ! !! ! La longitud del segmento MN es igual a 13; su origen está en el punto ( )23,M −= ; la proyección sobre el eje de abscisas es igual a 12− . Hallar las coordenadas del otro extremo del segmento, si forma con el eje de ordenadas un ángulo dado.
  5. 5. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 55555 Solución: ( ) ( ) ( ) ( )79,y,xN 7y132y3x13MNSi 9x123x12ABSi 22 −−== −==++−= −=−=−−= ˆ !! !! ! ! Tres de los vértices de un paralelogramo son ( )1,4A −= , ( )11,B −= y ( )6,1C = . Si la ordenada del cuarto vértice es 6. ¿Cuál es su abscisa? Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 1116461xBCAD pedido.puntoel,6xDSea ++−=−++= = !!
  6. 6. 66666 Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS ( ) ( )4,6D,6xD :Luego 6x 4x 024x2x es:operacionEfectuando 2 1 2 ==     −= = =−+ ! ! ! ! El punto medio de cierto segmento es el punto ( )1,2M −= y uno de sus extremos es el punto ( )2,5N = . Hallar las coordenadas del otro extremo. Solución: ( ) ( ) ( )14,yx,P 1y 2 5y 2 2 yy y 4x 2 2x 1 2 xx x pedido.puntoelyx,PSea N M N M −−== −= + = + = −= + =− + = = ˆ !! !! ! ! Los vértices de un triángulo ABC son ( )12,A −= , ( )4,7B −= y ( )8,0C = . Calcular las coordenadas del baricentro de dicho triángulo. Solución: :queSabemos
  7. 7. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 77777 ( ) ( )2,2yx,G 2 3 6 y 3 071 y 3 yyy y 2 3 6 x 3 842 x 3 xxx x 321 321 == == ++− = ++ = == +− = ++ = ˆ !! !! ! ! ¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que une los puntos ( )11,A −= y ( )4,5B = en la dirección AB, para que su longitud se triplique? Solución: ( ) AB2BP 2 1 BP AB :Sabemos pedido.puntoelyx,PSea == = !!
  8. 8. 88888 Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! " →=+−−+ ++−=−+−+++− =+ →=−−−+ ++−=−+− 014y10x8yx :soperacioneEfectuando 1y1x5y4x1514 APBPAB:También 0139y10x8yx :soperacioneEfectuando 151425y4x 22 222222 22 2222 ! ! ! ! ! ( ) ( )10,17yx,P 7y;2x 17y;10x :yDe 22 11 ==     −=−= == ˆ !"
  9. 9. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 99999 Discutir y graficar las curvas, cuyas ecuaciones son: 0yx16 2 =− Solución: ( ) !→=− 0yx16:x,yE 2 1º. Intercepciones con los ejes: ( )0,0O 0y0x:YEje 0x016x0y:XEje 2 =     == === ! ! !! 22222Capítulo GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
  10. 10. 1010101010 Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS 2º. Simetría: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Xejeelcon sólosimétricaCurva yx,Eyx,E:Origen yx,Eyx,E:YEje yx,Eyx,E:XEje       ≠−− =− ≠− 3º. Extensión: ú∈= ∀ x;16xy:De 2 ! 4º. Asíntotas: No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales. 5º. Cuadro de valores: ....4416160y ....2121110x −− 6º. Gráfico:
  11. 11. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 1111111111 012xxy =−− Solución: ( ) !→=−− 012xxy:yx,E 1º. Intercepciones con los ejes: ( ) Xejeelconónintercepci0x:YEje ,021A;21x0y:XEje ò! ! = −=−== 2º. Simetría: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) origenelconniejeslos connisimétricanoCurva yx,Eyx,E:Origen yx,Eyx,E:YEje yx,Eyx,E:XEje       ≠−− ≠− ≠− 3º. Extensión: 0x; x x21 y01x2xy :De ≠ + ==−− ∀! ! 4º. Asíntotas: 2y02y; 2y 1 x 0x x x21 y :De ==− − = = + = ! ! ! ! ! 5º. Cuadro de valores: ....231253y ....2121x −−
  12. 12. 1212121212 Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS 6º. Gráfico: 04y4yx 23 =+−+ Solución: ( ) !→=+−+ 04y4yx:yx,E 23 1º. Intercepciones con los ejes: ( ) ( )0,2B;2y0x:YEje 1.6,0A;6.1x0y:XEje === −=−== ! ! 2º. Simetría: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) origenelconniejeslos connisimétricanoCurva yx,Eyx,E:Origen yx,Eyx,E:YEje yx,Eyx,E:XEje       ≠−− ≠− ≠−
  13. 13. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 1313131313 3º. Extensión: 0x;x2y :De 3 ≤−±= ∀ ! 4º. Asíntotas: No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales. 5º. Cuadro de valores: ....54,524101302y ....21580x − −−− 6º. Gráfico:
  14. 14. 1414141414 Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS 4x 1x y 2 2 2 − − = Solución: ( ) !→ − − = 4x 1x y:yx,E 2 2 2 1º. Intercepciones con los ejes: ( ) ( )210,B;21y0x:YEje 1,0A;1x0y:XEje ±=±== ±=±== ! ! 2º. Simetría: Curva simétrica con los ejes y con el origen. 3º. Extensión: [ ] ∞+∪−∪−∞−∈ − − ±= ∀ 2,1,12,x 4x 1x y :De 2 2 ! 4º. Asíntotas: 1y01y 1y 1y4 x 2x04x 4x 1x y :De 2 2 2 2 2 2 ±==− − − ±= ±==− − − ±= !! !! ! ! ! 5º. Cuadro de valores: ....5241011312100y .....2143011x ±±±± ±±±−
  15. 15. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 1515151515 6º. Gráfico: ( ) 41xy 2 =+ Solución: ( ) ( ) !→=+ 41xy:yx,E 2 1º. Intercepciones con los ejes: ( )0,4A;4y0x:YEje Xejeelconónintercepci0y:XEje === = ! ! ò 2º. Simetría: Curva simétrica sólo con el eje Y.
  16. 16. 1616161616 Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS 3º. Extensión: ú∈=+ + = ∀ x;01x 1x 4 y :De 2 2 ! ! 4º. Asíntotas: ( )XEje0y0y y y4 x x01x 1x 4 y :De 2 2 == − ±= ∉=+ + = !! !! ! ! ú ! 5º. Cuadro de valores: ....525424y ....3210x ±±± 6º. Gráfico:
  17. 17. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 1717171717 Una recta pasa por los dos puntos ( )32,A −−= y ( )4,1B = . Si un punto de abscisa 10 pertenece a la recta. ¿Cuál es su ordenada? Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) 5y :soperacioneEfectuando 3y210 1y361636 ACBCAB:queDado pedido.puntoely10,CSea 22 2 = +++= =−+++ =+ = ! ! Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los dos puntos ( )2,2A −= y ( )4,1B = es siempre igual a 12. Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 036y4x :soperacioneefectuandoLuego, 122y2x 1y4x :dondeDe 12APBP :tenemosproblemadelcondiciónladeEntonces pedido.puntoely,xPSea 2 22 2 22 22 =++ =      ++−− −      −+− =− = ! ! !
  18. 18. 1818181818 Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS Un segmento rectilíneo de longitud 4 se mueve de tal manera que uno de los puntos extremos permanece siempre sobre el eje X y el otro permanece siempre sobre el eje Y. Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto medio del segmento. Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) 16yx :soperacioneEfectuando 4y2y2x 2y2xx 4PBPA :condiciónlaDe 22 22 22 =+ =−++ +−+− =+ ! ! ! Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto ( )y,xP = , tal que la distancia de P al punto ( )0,6A = es igual a la mitad de la distancia de P al eje X. Solución: ( ) 0144y48y34x :soperacioneefectuandoLuego, y 2 1 6yxy 2 1 AP :condiciónlaDe 22 22 =+−+ =−+= ! !!
  19. 19. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 1919191919 Hallar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos ( )4,2A = y ( )7,5B −= . Solución: ( ) ( ) ( ) 038y9x5:4x 9 5 2y: 9 5 45 27 mm 7,5B 2,4A : pendiente.suconocerpuedese recta,ladepuntosdosconocensequeDado buscada.rectalaSea AB =−+−−=− −= −− − ==     −= = ‹‹ ‹ ‹ ‹ !" ! ˆ 33333Capítulo LA LÍNEA RECTA
  20. 20. 2020202020 Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA Calcular el área del triángulo que forma la recta 012y4x3 =−− con los ejes coordenados. Solución: ( ) 2 u6A 2 12 2 34 A 3b 4a 1 3 y 4 x : :2ividiendoD 12y4x3: :Luego 012y4x3: == −× =    −= = = − + × =− =−− ∆∆ !" ! ˆ ‹ ‹ ‹ ! ! ! Los vértices de un triángulo son ( )0,0A = , ( )4,2B = y ( )6,2C −= . Obtener las ecuaciones de las rectas que contienen los lados del triángulo. Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 014y3x24x 3 2 2y 3 2 m 6,2C 2,4B :BC :BCdeEcuación 0y2x0x 2 1 0y 2 1 m 2,4B 0,0A :AB :ABdeEcuación BC AB =−+−−=− −=     −= = =−−−=− −=     = = !" ! !" ! ˆ ˆ ! !
  21. 21. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 2121212121 ( ) ( ) ( ) 0yx30x30y 3m 6,2B 0,0A :AC :ACdeEcuación AC =+−−=− −=     −= = !" ! ˆ ! Encontrar la ecuación de la recta que pasa por ( )38,4A = y por la intersección de las rectas 02y4x3 =−− , 06y11x9 =−− Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) 08y15x12:4x 5 4 3 8 y: :Finalmente 5 4 432 380 mm:Dondexxmyy: :Luego ,032B 06y11x9: 02y4x3: rectaladepuntoUn38,4A : AB 11 21 2 1 =−−−=− = − − ==−=−        ==∩     =−− =−− = ‹‹ ‹ ‹‹ ‹ ‹‹ ‹ !" ! Si la recta 0cbyax =++ pasa por el punto ( )q,pP = , escribir una ecuación en forma de: a) pendiente y ordenada en el origen. b) punto - pendiente. c) simétrica. Solución: ) b c x b a y0cbyax:a −−==++ !‹
  22. 22. 2222222222 Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA ) ( ) ( )px b a qy: q,pP; b a m:Donde;0cbyax:b −−=− =−==++ ‹ ‹ ‹ ! ) 1 b c y a c x : cbyax:0cbyax:c = − + − −=+=++ ‹ ‹‹ ! ! Encontrar la ecuación de una recta que tiene intercepciones iguales y que pasa por el punto ( )6,8A −= Solución: ( ) 02yx:1 2 y 2 x : 2a1 a 6 a 8 :Luego 6,8A:Pero1 a y a x ::Sea =−+=+ == − + ∈−==+ ‹‹ ‹‹ !" ! ˆ Desde el punto ( )3,2M0 −= se ha dirigido hacia el eje OX un rayo de luz con una inclinación de un ángulo α , se sabe que 3tg =α . El rayo se ha reflejado del eje OX. Hallar las ecuaciones de las rectas en las que están los rayos incidente y reflejado. Solución: ( ) 09yx32x33y 3tgm:pendiente :incidenterayodelEcuación =+−+=− =α= !"! ! d
  23. 23. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 2323232323 ( ) ( ) ( ) 09yx33x30y 3tgº180tgm:pendiente 3,0P;3x0ySi :reflejadorayodelEcuación 0 =+++−=− −=α−=α−= −=−== !"! ! ! Dados los puntos ( )2,2M = y ( )2,5N −= . Hallar en el eje de abscisas un punto P de modo que en el ángulo NPˆM sea recto. Solución: ( ) ( )1,0P;6,0P 1x 6x 06x7x :soperacioneEfectuando 1 5x 2 2x 2 1mmNPMP :queDado 21 2 12 NPMP ==     = = =+− −=      − ⋅      − − −=⋅⊥ ˆ ! ! !"
  24. 24. 2424242424 Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA Los puntos ( )2,3A −= , ( )4,1B = y ( )5,3C −= son los vértices de un triángulo. Demostrar que la recta que pasa por los puntos medios de los lados AB y CD es paralelo a la base BC del triángulo. Solución: ( ) ( )       =       = + = = + = =       −=       −= + = = + = = 2 3 0,M 2 3 2 yy y 0 2 xx x y,xMdeCálculo 2 1 , 2 7 M 2 1 2 yy y 2 7 2 xx x y,xMdeCálculo 2 CA 2 CA 2 222 1 BA 1 BA 1 111 !! !! ! !
  25. 25. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 2525252525 LQQDMMBC:nteefectivameLuego 7 4 7 4 mmMMBC:queSabemos 21 21 2M1MBC * * −=−= !"!" Calcular la distancia entre las rectas paralelas: 04y2x =++ y 05y4x2 =−+ Solución: ( ) ( )( ) ( )( ) 90.2 20 13 d 20 58 42 52402 d :Luego 20,P2y0xPara .rectalade,PracualesquiepuntounHallamos 05y4x2:04y2x: :queDado 22 1 21 ≈= −− = + −−+ = −=−== =−+∧=++ !" ! ˆ ˆ ‹ ‹‹
  26. 26. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 2727272727 Encontrar la ecuación de la circunferencia sabiendo que sus extremos de un diámetro son los puntos ( )3,2A −= y ( )1,4B −= . Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 036y12x122y2x: 131y1x rkyhx: 13r 2 52 2 AB r:Luego 1,1C 1k 1h ABdemediopuntoeskh,C 22 222 2 =+−++ =−+− =−+− === =    = = = C Cˆ ! !! 44444Capítulo LA CIRCUNFERENCIA
  27. 27. 2828282828 Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA Obtener la ecuación de la circunferencia tangente a los dos ejes, radio 6, en el segundo cuadrante. Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 036y12x12yx: 366y6x rkyhx: 6.rradiosuy nciacircunferelade centroeles6,6h,kC quededucesegráfico,Del 22 22 222 =+−++ =−++ =−+− = −== C Cˆ Dada la ecuación de la circunferencia 07y4y3x3 22 =−++ , encontrar el centro y el radio. Solución: 3 5 r; 3 2 ,0C 3 2 k,0h:dondeDe; 9 25 3 2 yx 3 25 3 2 y3x3 3 4 7 9 4 y 3 4 y3x3 07y4y3x3 :cuadradosoCompletand 2 2 2 2 22 22 =      −= −===      ++ =      ++ +=      +++ =−++ ˆ ! d
  28. 28. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 2929292929 Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto ( )1,4C −−= y que es tangente a la recta: 012y2x3 =−+ . Solución: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 521y4x: :doReemplazan rkyhx: 52r 13 26 13 26 13 12212 23 121243 r :Luego 012y2x3:aCdeDistanciar:Sea 22 222 2 22 =+++ =−+− == − = −−− = + −−+− = =−+= C Cˆ ! ! ‹ Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos ( )4,0A = , ( )0,3B = y ( )2,2C −−= . Solución: ( ) ( ) ( ) 13 132 F; 13 5 E; 13 19 D:y,deLuego, 8FE2D22,2C 0FE390,3B 0FD4164,0A 0FEyDxyx:Sea 22 −==−= →=+−−∈−−= →=++∈= →=++∈= →=++++ ⊗ !"# ! " # ! ! ! C C C C ! ! !
  29. 29. 3030303030 Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA 0132y5x19y13x13 0 13 132 y 13 5 x 3 19 yx: :En 22 22 : =−+−+ =−+−+ ⊗ C Cˆ Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 10, tangente en el eje X, cuyo centro está sobre la recta y2x = . Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0400y20x40yx 10010y20x rkyhx: 20,10C;20h,10hCperoy2x: casoPrimer 22 22 22 1 2 1 11 =+−−+ =−+− =−+− ==∈== C !‹‹ !
  30. 30. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 3131313131 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0400y20x40yx 10010y20x rkyhx: 1020,C;20h10,hCperoy2x: casoSegundo 22 22 22 2 2 2 22 =++++ =+++ =−+− −−=−=∈−== C !‹‹ ! La ecuación de una circunferencia es 50yx 22 =+ . El punto medio de una cuerda de esta circunferencia es el punto ( )4,2P −= . Hallar la ecuación de la cuerda. Solución: ( ) ( ) 010y2x: 2x 2 1 4y: :Luego 2 1 m 1m2 1mm :Luego 2 02 04 m:dePendiente ncia.circunfereladecentroelyPpuntoelporpasaquerectalay referidacuerdalaacontienequerectalaSea 2 2 2 2 21 1 21 1 1 2 =+− +=− = −=⋅− −=⋅ −= −− − = ⊥ ‹ ‹ ‹‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹‹ ‹ ! !" !" !" !
  31. 31. 3232323232 Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en ( )34,4C = y que pasa por ( )34,1Q −−= . Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 289 3 4 y4x: 9 289 rr 3 4 3 4 4134,1Q r34y4x rkyhx: :tenemosdatos,losDe 2 2 22 2 2 222 222 =      −+− ==      −−+−−∈−−= =−+− =−+− C C C ˆ !!! Hallar el área del círculo cuya ecuación es: 0103y12x72y9x9 22 =+−++ Solución: ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 22 22 22 u5A5rA 5r:Donde5 3 2 y4x 45 3 2 y94x9 4144103 9 4 y 3 4 y916x8x9 103y12x72y9x9: cuadradosocompletandynteindependietérminoelDespejando 0103y12x72y9x9: :nciacircunfereladeecuaciónlaTenemos π=×π=π= ==      −++ =      −++ ++−=      +−+++ −=−++ =+−++ !" ! ˆ C C
  32. 32. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 3333333333 Por una traslación de ejes, transformar la ecuación: 0133y4x42y2x3 22 =+−−− en otra que carezca de términos de primer grado. Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) 12y2x3 1yy 7xx :Siendo 121y27x3 21471331y2y249x14x3 0133y4x42y2x3 :cuadradosoCompletand 22 22 22 22 =−    += −= =+−− −+−=++−+− =+−−− NN N N ! 55555Capítulo TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
  33. 33. 3434343434 Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS Simplificar la ecuación: 055y36x48y36x72 22 =−+−+ por una traslación de los ejes coordenados. Solución: ( )        =+ += −= =      ++      − =      ++      − ++=+++      +− =−+−+ 2yx2 2 1 yy 3 1 xx :Siendo 2 2 1 y 3 1 x2 72 2 1 y36 3 1 x72 98551yy36 9 1 x 3 2 x27 055y36x48y36x72 :cuadradosoCompletand 22 22 22 22 22 NN N N ! Por una traslación de ejes, simplificar la ecuación: 03y4x8y2x 22 =−++− Solución: ( ) ( ) ( ) ( )    =− −= −= =−−− −+=+−−+− 17y2x 1yy 4xx :Siendo 171y24x 21631y2y216x8x :tieneseexpresión,laencuadradosoCompletand 22 22 22 NN N N !
  34. 34. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 3535353535 Por medio de una traslación de ejes, eliminar los términos de primer grado de la ecuación: 04yxxy2 =+−− Solución: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 07yx404 2 1 2 1 2 1 2 1 2yx2 enLuego 2 1 kh 01h2 01k2 :dondeDe 04khhk2y1h2x1k2yx2 4kyhxhk2yk2xk2yx2 kyhxkyhx2 :en kyy hxx 04yxyx2 : =+=+−−            + ==    =− =− →=+−−+−+−+ +−−−−+++ +−+−++ →    += += →=+−− NNNN NNNN NNNNNN NNNN N N ! ! ! ! ! "# # " Por una rotación de los ejes coordenados, transformar la ecuación: 0x25y9xy24x16 22 =+++ en otra que carezca del término en xy. Solución: # " →     θ+θ= θ−θ= →=+++ cosysenxy senycosxx :Luego 0x25y9xy24x16 22 NN NN
  35. 35. 3636363636 Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS ( ) ( ) ( ) ⊗→=θ−θ+ +θθ+θ−θθ−θ+ +θ+θθ−θ+ +θ+θθ+θ 0seny25cosx25 yxcossen18sen24cossen32cos24 ycos9cossen24sen16 xsen9cossen24cos16 :enAhora 22 222 222 NN NN N N "# ( ) 7 24 2tg02tg724 :2cosDividiendo 02sen72cos24 0cossen272cos24 0cossen14sencos24 0cossen14sen24cos24 0cossen18sen24cossen32cos24 .yextérminoeleliminarparaLuego 22 22 22 =θ=θ− θ× =θ−θ =θθ×−θ =θθ−θ−θ =θθ−θ−θ =θθ+θ−θθ−θ !! ! NN 5 4 cos 25 16 2 25 7 1 2 2cos1 cos 5 3 sen 25 9 2 25 7 1 2 2cos1 sen :Además 25 7 2cos :figuraladeLuego =θ= + = θ+ =θ =θ= − = θ− =θ =θ ! ! ! ! !
  36. 36. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 3737373737 ( ) ( ) 0y3x4x5 0y15x20x25 0y 5 3 25x 5 4 25y 5 4 3 5 3 4x 5 3 3 5 4 4 0seny25cosx25ycos3sen4xsen3cos4 En 2 2 22 2 222 : =−+ =−+ =⋅−⋅+      ⋅+⋅+      ⋅+⋅ =θ−θ+θ+θ+θ+θ ⊗ NNN NNN NNNN NNNN ! ! Simplificar la ecuación: 013y2x10yxy10x 22 =++−+− por transformación de coordenadas. Solución: ( ) ( ) ⊗→=++−−+ +−++−−++ =+++−− −+++−−−−++     → += += →=++−+− 013k2h10hk10k yh10k22x10k10h2yx 013k2y2h10x10 kky2yhk10yh10xk10yx10hhx2x :en kyy hxx :Luego 013y2x10yxy10x 2 22 2222 22 NNNN NN NNNNNNNN N N "# # " 1k;0h 0h10k22 010k10h2 quecumplirsedebe;yextérminosloseliminarPara −==     =−+ =−− ! NN
  37. 37. 3838383838 Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02cos0sencos 0sencos10 0sen10cos10 :yxtérminoeleliminarparaAhora ......012yxsen10cos10 ycossen101xcossen101 012yxsen10cos10cossen2cossen2 ycossen10cossen xcossen10sencos 012cosseny10senyx10cosyx10 cossenx10cosycossenyx2 senxsenycossenyx2cosx :en ...... cosysenxy senycosxx :Pero ......012yx10yx 01321yx10yx :En 22 22 22 22 22 22 222 222 22 222 222222 22 22 =θ=θ−θ =θ−θ− =θ+θ− =+θ+θ−+ +θθ++θθ− =+θ+θ−θθ−θθ+ +θθ+θ+θ +θθ−θ+θ =+θθ+θ+θ− −θθ+−θ+θθ+ +θ+θ+θθ−θ     θ+θ= θ−θ= =+−+ =+−+−+ ⊕ ⊗ !! ! ! ! ! ! NNNN NNNN NNNN NNNN NN NN NNNNNNNNNN NNNNNNNN NNNNNNNNNN NNNNN NNNNN NNNN NNNN !$ $ ! Ahora para eliminar el término x´´y´´:
  38. 38. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 3939393939 ( ) ( ) 06y3x2 :2Dividiendo 012y6x4 012y51x51 012y 2 2 2 2 101x 2 2 2 2 101 :endoReemplazan 2 2 2 1 2 2cos1 cos 2 2 2 1 2 2cos1 sen :Además 22 22 22 22 =−− × =++− =+++− =+        ⋅⋅++        ⋅⋅− == θ+ =θ == θ− =θ ⊕ NNNN NNNN NNNN NNNN ! ! ! ! Un punto P se mueve de tal modo que la diferencia de sus distancias a los dos puntos ( )1,4A = y ( )2,1B −= es siempre igual a 3. Hallar la ecuación del lugar geométrico y simplificarla por transformación de coordenadas. Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 31y2x4y1x 3PBAP :condiciónlaDe mueve.sequepuntoelyx,PSea 2222 =−++−−+− =− = !
  39. 39. 4040404040 Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS ( ) ( ) 09yx8 019101010yx8 019 2 5 2 1 8 2 5 4 2 1 10yx8 :en 2 1 k; 2 5 h 0h84 0k820 :yextérminosloseliminarparaAhora 019kh8k4h20yx8yh84xk820 :Luego kyy hxx :Pero 09yx8y4x20 :tienesesoperacioneEfectuando =−− =++−−− =+            −−      −      −+− −==     =+ =− →=+−−+−+−− →     += += →=+−− NN NN NN NN NNNN N N ! ! !! ! ! ! !# ! # "
  40. 40. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 4141414141 66666Capítulo LA PARÁBOLA Obtener la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuya directriz es 2y = . Solución: y8x: :En 2p py4x: :tienesegráfico,Del 2 2 −= = →−= ! ! !
  41. 41. 4242424242 Capítulo 6. LA PARÁBOLA Hallar la ecuación de la parábola cuya directriz es la recta 6x −= y su foco es ( )0,0F = . Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) 36x12y: 3x12y: :En 3FVpy3,0V:Como hxp4ky: :gráficoDel 2 2 2 += += ==−= →−=− ! ! ! Calcular el radio focal del punto M de la parábola x20y2 = si la abscisa del punto M es igual a 7. Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12144FM 570140FM :tantoloPor 1407,M 140y720y :En y7,M 5,0F:dondede 5p204p:De x20y: 22 1 2 1 1 2 == −+−= ±= ±== ∈= = == →= ! !! ! ! ! !
  42. 42. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 4343434343 Dada la ecuación de la parábola 7x2y8x2 =−+ . Hallar el vértice, eje, foco y directriz. Trazar la curva. Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3y:directrizladeEcuación 1x:ejedelEcuación 11,pkh,F:focodelscoordenadalasAhora, 2p84p:teSeguidamen 1,1kh,V:parábolaladevérticedelscoordenadalasLuego, 1y81x:8y81x: 17y81x2x:7x2y8x: cuadradosoCompletand 7x2y8x: 22 22 2 = = −=+= −=−= == −−=−+−=− ++−=+−=−+ =−+ ! ! ! ! !
  43. 43. 4444444444 Capítulo 6. LA PARÁBOLA Encontrar la ecuación de la parábola, cuyo vértice es el punto ( )3,2V = y el foco es ( ),24F = . Solución: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 16x4y4y: 3x42y 3x142y: :envaloreslosdoReemplazan 1VFp :focoelyvérticeelconocesequeDado hxp4ky: 2 2 2 2 −+= −=− −=− == →−=− ! ! ! Obtener la ecuación de la parábola con foco en ( )2,3F = y cuya ecuación de la directriz es 6x −= . Solución: ( ) ( ) ( ) 023y6x16y: :soperacioneEfectuando 6x3y2x definicióna PdeDistanciaFP :gráficoDel 2 22 =−−− +=−+− = ‹ ! ! !
  44. 44. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 4545454545 Determinar la longitud del segmento determinado por la ecuación x4y2 = , con la recta de ecuación 3y2x −= . Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) 94,854PP16642619PP :Luego :gráficasdoslasdeónintersecciPyP 9,6P 1,2P puntoslosobtenemosyDe 3y2x: x4y: :Tenemos 21 22 21 21 2 1 2 ≈=+=−+−=     = =     →−= →= !" "! " ! ‹
  45. 45. 4646464646 Capítulo 6. LA PARÁBOLA Determinar la ecuación de una circunferencia que tiene por diámetro la cuerda normal de la parábola, cuya ecuación es x16y2 = . Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 048x8yx: 64y4x: :tantoloPor 4,0CFC nciacircunfereladecentroCSiendo 64r8FPFPr 8,4P 8,4P :yDe 4x:NC rectoladonormalcuerdalaLuego, 4,0p,khF:Tambien 0,0kh,Vvérticeelquededucese x16y: 22 22 2 21 2 1 2 =−−+ =+− == ====     −= = →= =+= == →= C C !"! !" ! ! ! "! " ! Una recta que pasa por el foco de una parábola con el vértice en el origen y con el eje horizontal, corta a la directriz en el punto ( )8,3A −= . Calcular las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola y la recta. Solución: ( ) ( )0,0k,hVvérticesuy px4y: 2 == →= !! é
  46. 46. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 4747474747 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12,12P 3,43P 012y3x4: x12y: :P:yDe 012y3x4:3x 3 4 y 3xm0y: 3 4 mm 3,0k,phF 3,8A : x12y::en 3p:Además 2 1 2 2 AF −= =     =−+ = →=−+−−= −=− −==     =+= −= →= →= !" !" ! ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ #$ # $!" " !
  47. 47. 4848484848 Capítulo 6. LA PARÁBOLA Las dos torres de suspensión de un puente colgante distan entre sí 300 m. y se extienden 80 m por encima de la calzada. Si el cable (que tiene la forma de una parábola) es tangente a la calzada en el centro del puente, determinar la altura del cable por encima de la pista a 50 m y también a 100 m del centro del puente. (Asumir que la pista es horizontal). Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) .m55,35 9 320 yy 4 1575 100y,100P .m88,8 9 80 yy 4 1575 50y,50P :Luego y 4 1575 x::En 4 1575 p480p4150 .150,80P py4x:queobservasegráfico,Del 22 2 22 11 2 11 2 2 2 ≈= × =∈= ≈= × =∈= × = × == ∈= →= !! !! !"! ! ! ! ! !
  48. 48. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 4949494949 77777Capítulo LA ELIPSE Hallar la ecuación de la elipse cuya longitud de la cuerda normal (lado recto) es 5 vértices ( )10,0± . Solución: 1 25 y 100 x ::entantoloPor 100a10a 25b5 a b2 CN :enunciadodelLuego 1 b y a x ::Sabemos 22 2 2 2 2 2 2 2 =+ == === →=+ õ õ ! ! ! !" ! !
  49. 49. 5050505050 Capítulo 7. LA ELIPSE Hallar la ecuación de la elipse, cuyo eje es coincidente con 1x = , ( )1,5C = , ( )1,8F = ; suma de las distancias focales de un punto de la elipse es 12. Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 36 5y 27 1x ::tantoloPor 27b27936bcab:Sabemos 9c3CFc:Luego 36a6a12a2:Pero 1 a ky b hx ::deducimosenunciadoDel 22 22222 2 2 2 2 2 2 = − + − ==−=−= === === = − + − õ õ !"!" !" !"!"
  50. 50. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 5151515151 Reducir la ecuación 021y16x6y4x 22 =++−+ a la forma ordinaria de la ecuación de una elipse y determinar las coordenadas del centro, vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, y la cuerda normal; y la excentricidad. Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 3 a c e:dadExcentrici 1 2 12 a 2b NC:NormalCuerda 2122b:menorEje4222a:mayorEje 3c3cc14cba 1b1b2a4a :También 2,1V 2,5V 2,23ka,hV :deobtienenseelipseladevérticeslosLuego 2,3kh,C:tenemosecuaciónlaDe 1 1 2y 4 3x : 42y43x 169214y4y49x6x :yexparacuadradosoCompletand 021y16x6y4x 2 222222 22 2 1 22 22 22 22 <== = × == =×==×= ±==+=+= ±==±==     −= −= −±=±= −== = + + − =++− ++−=++++− =++−+ ! ! !! ! !! !!! !! !! õ
  51. 51. 5252525252 Capítulo 7. LA ELIPSE Por el foco de la elipse 115y25x 22 =+ se ha trazado una perpendicular a su eje mayor. Determinar las distancias de los puntos de intersección de esta perpendicular con la elipse hasta los focos. Solución: ( ) ( ) " ! →= ±=±= ±=−±=−=−= →=+ 10x:esfocoprimerelentrazada larperpendiculadeecuaciónLa ,010Fc,0F :sonelipseladefocoslosLuego, 101525cbaccab:Sabemos 1 15 y 25 x : :elipseladeecuaciónlaTenemos 222222 22 !! !! ! õ
  52. 52. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 5353535353 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7301010CF 3301010CF :tantoloPor 3,10yx,C:aquíDe 3y9y1 15 y 25 9 :yDe 22 2 22 1 2 2 =−+−−= =−+−= == ±===+ ! ! !!"! Búsquese la ecuación de la elipse que tenga como centro ( )2,4C −= y sea tangente a los dos ejes de coordenadas. Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 16 4y 4 2x : 4b2b YejealCdeDistancia:b 16a4a XejealCdeDistancia:a :casoestePara 1 a ky b hx ::Sea 22 2 2 2 2 2 2 = − + + == == = − + − õ õ ! !! !! ! !
  53. 53. 5454545454 Capítulo 7. LA ELIPSE Hallar la ecuación canónica de la elipse, si uno de los vértices está en ( )5,0V1 = y pasa por el punto ( )2,3P = . Solución: ( ) ( ) 75y7x3:1 775 y 25 x : :tantoloPor 7 75 b1 b 3 25 4 2,3P:Como 1 b y 25 x ::Luego 25a5a5,0V:queDado 1 b y a x : 22 22 2 2 2 22 2 1 2 2 2 2 =+=+ ==+∈= =+ === =+ õõ õ õ õ ! !! !! ! La base de un auditorio es de forma elíptica, tiene 20 m. de longitud y 16 m de ancho. Si cae una aguja sobre un foco el ruido que produce se escucha claramente cerca del otro foco. ¿A qué distancia está un foco del otro foco? Solución: 12c22F1F:tantoloPor 6c36ccab:dondeDe 64b8b 100a10a :enunciadodeldatoslosSegún 2222 2 2 == ±==−= == == !! ! ! ! ! Según los datos del enunciado: Por lo tanto:
  54. 54. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 5555555555 Usando la definición de elipse, obtener la ecuación de la elipse con focos en ( )3,4F −= y ( )5,4F2 = eje mayor 12. Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 031y72x10y9x5: :soperacioneEfectuando 124y5x4y3x :dondeDe 12a2PFPF :quetieneseelipse,dedefiniciónlaPor mueve.sequepuntoelyx,PSea 22 2222 21 =+++− =−+−−−++ ==− = õ ! !
  55. 55. 5656565656 Capítulo 7. LA ELIPSE Demostrar que para todo elipse que tenga su centro en el origen, la distancia de cualquiera de los extremos del eje menor a cualquiera de los focos es la mitad de la longitud del eje mayor. Solución: aaFB:tantoloPor bca:quedefiniciónporsabemospero, bcFB:figuraladeLuego, a 2 a2 2 VV FB :queProbar origen.elenvérticeconelipsela1 b y a x :Sea 2 11 222 22 11 21 11 2 2 2 2 == += += === =+ ! õ
  56. 56. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 5757575757 Un punto se mueve de tal modo que la suma de las distancias de los puntos ( )2,0A −= y ( )2,6B −= es 8. Hallar la ecuación del lugar geométrico de P . Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 16 3y 7 2x : 015y42x64y7x16: :tieneses,operacioneEfectuando 86y2xy2x :dondeDe 8BPAP :problemadelcondiciónlaPor mueve.sequepuntoelyx,PSea 22 22 2222 = − + + ∴ =+−++ =−+++++ =+ = õ õ La órbita que describe la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente una elipse, con el Sol en uno de los focos. Si el eje mayor de la órbita elíptica es de .km000300 y la excentricidad es de 017,0 aproximadamente. Hallar la distancia máxima y mínima de la Tierra al Sol. Solución: 5502c0001500,017a0,017c0,017 a c e :elipseladedadexcentriciladeaproximadovalorDel 000150a0003002a :quetenemosgráfico,elsegúnydatoslosDe =×=×=== == !! ! ! ! Por la condición del problema:
  57. 57. 5858585858 Capítulo 7. LA ELIPSE 450147ca5502000150ca:Minimo 550152ca5502000150ca:Máximo :Luego =−−=− =++=+ ! ! ! ! ´
  58. 58. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 5959595959 88888Capítulo LA HIPÉRBOLA Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto ( )2,3A = , tiene su centro en el origen, su eje transverso está sobre el eje Y, y una de sus asíntotas es la recta 0x7y2 =− . Solución: ( )( ) ( ) 1 78 x 2 y :8x7y4::En 8kk28362,3A:Pero kx7y4:kx7y2x7y2: :Luego 0x7y2:0x7y2:Si .hipérbolaladeasíntotasySean 22 22 22 21 21 =−=− ==−∈= →=−=+− =+=− HH H HH H ! !! ! ! ! !! ‹‹ ‹‹
  59. 59. 6060606060 Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA Hallar la ecuación de la hipérbola, con vértices en ( )70,V ±= y 34e = . Solución: ( ) ( ) 343y79x: 1 9343 x 49 y ::tantoloPor 9 343 b49 9 784 acb:Luego 9 784 ca 3 4 c 3 4 a c e:Además 7aa0,70,V:Si 1 b x a y ::deducesedatoslosDe 22 22 2222 2 2 2 2 2 =− =− =−=−= =×=== ±=±=±= =− H H H ! !! ! Dada la ecuación de la hipérbola 4y4x 22 =− , hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, la excentricidad y la longitud de la cuerda normal (lado recto). Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 e a c e:dadExcentrici ,05c,0F:Focos 2,0a,0V:Vértices 5c514bac 1b1b2a4a :dondeDe 1 1 y 4 x :4y4x::Sabemos 222 22 22 22 == ±=±= ±=±= ±==+=+= ±==±== =−=− ! ! !! ! ! !! HH
  60. 60. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 6161616161 2b2:ConjugadoEje 4a2:TransversoEje 1 2 12 a 2b CN:NormalCuerda 2 = = = × == Encontrar la ecuación de la hipérbola de focos ( )1,1F1 −= y ( ),15F2 = y un vértice en ( )0,1V = . Solución:
  61. 61. 6262626262 Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 5 1y 4 2x : 1 b ky a hx ::tantoloPor 5bb49bac 4a2CVa :Ahora 2,1C 1k 2h kh,C 9c3c6c2FF:Sabemos 22 2 2 2 2 22222 2 2 21 = − − − = − − − =+=+= === =    = = = ==== H H !! ! !! !! ! ! ! Determinar la ecuación de la hipérbola, sabiendo que sus focos son los puntos ( )3,4F1 = y ( )23,F2 −= y su excentricidad es igual a 2. Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 427 3x 49 1y : 1 b hx a ky ::tantoloPor 4 27 b 4 9 9acb:queSabemos 4 9 a 2 3 a2 a c e:Además 3CFCFc:Luego ,13C 1k 3h kh,C 22 2 2 2 2 2222 2 21 = − − − = − − − =−=−= ==== === =    = = = H H ! !! !!!
  62. 62. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 6363636363 Hallar la ecuación de la hipérbola, cuyos focos están en los vértices de la elipse: 164y100x 22 =+ . Y las directrices pasan por los focos de esta elipse. Solución: ( ) ( ) 100c10c elipse.laenadevalordelpartira hipérbolalaencdevalorelobtenemosproblema,delcondiciónPor 1 b y a x ::hipérbolalaEn 6,0c,0F:dondeDe 6c3664100baccab 8b64b10a100a 1 64 y 100 x ::elipselaEn 2 2 2 2 2 222222 22 22 =±= =− ±=±= ±==−=−=−= ±==±== =+ ! !! !! ! ! !! H õ
  63. 63. 6464646464 Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA 1 100 y 60 x : 1 b y a x ::tantoloPor 40b60100bcab:Seguido 60a:enLuego elipse.laen obtenidovalorunescdonde;cx:problemadelcondiciónPor 10 a c a ac a x e a x:hipérbolaladedirectrizladeecuaciónLa 22 2 2 2 2 22222 2 22 =− =− =−=−= = = →±==±= ±= H H !! ! ! !
  64. 64. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 6565656565 Dada la ecuación de la hipérbola: ( ) 1128y164x 22 =−− , encontrar las coordenadas del centro, vértices y focos; la excentricidad; las ecuaciones de las directrices y asíntotas; y la longitud de la cuerda normal (lado recto). Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )     =−− =+− =−−⋅+− =−−−    = = ±=±=     −= = ±=±=     = = ±=±= ±==+=+= ±==±== == →=− − 0y4x22: 0y4x22: 0y4x22y4x22 k128y4x8 :en;asíntotaslasdeEcuaciones 38x 316x 3 4 4 e a hx :sdirectricelasdeEcuaciones 0,8F 0,16F ,0124c,khF:Focos 0,0V 0,8V 4,04a,khV:Vértice 12c14412816bac 28b128b4a16a :Además 4,0kh,Cquededucese 1 128 y 16 4x :Si 2 1 2 2 1 2 1 222 22 22 ‹ ‹ ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! !! H s:
  65. 65. 6666666666 Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA 6464 4 1282 a 2b CN:NormalCuerda 2 == × ==
  66. 66. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 6767676767 Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos ( )2,3A −= y ( )7,6B = , tiene su centro en el origen y el eje transverso coincide con el eje X. Solución: ( ) ( ) 16y5x4: 1 516 y 4 x ::Luego 516b;4a:yDe 1 b 36 a 49 :6,7B 1 b 4 a 9 :23,A 1 b y a x : 22 22 22 22 22 2 2 2 2 =−∴ =− == →=−∈= →=−∈−= =− H H H H H "! " ! ! ! ! ! Un observador estacionado en el punto P oye el estampido de un rifle y el golpe de la bala sobre el objetivo en el mismo instante. Demostrar que el lugar geométrico de P es una hipérbola. Solución: v e ttve:Además sonidodelVelocidad:V balaladeVelocidad:V :Sean s b =⋅= ! ! !
  67. 67. 6868686868 Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA !→+= sbs V BP V BR V RP :problemadelcondiciónPor ( ) LQQD hipérboladeDefinición kBPRP k V BR VBPRP V BR V BP V RP :De b s bss =− =×=− =− ! ! ! !
  68. 68. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 6969696969 99999Capítulo CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR Trazar la curva potencial, cuya ecuación es: 32 xy = . Solución: ...1.58.210y ...3210x :valoresdeCuadro 0x;xxyxyxy 332 ±±± ≥±=±== ∀!!!
  69. 69. 7070707070 Capítulo 9. CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR Trazar la curva logarítmica, cuya ecuación es: xlogy 10= Solución: ...21147.0301.00y ...1.0100941x :valoresdeCuadro 0x;xlogy 10 − >= ∀!
  70. 70. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 7171717171 Trazar la curva exponencial, cuya ecuación es: 1x e4y − = Solución: ...5.08.1044.1y ...1210x :valoresdeCuadro x;e4y 1x − ∈= ∀− ú!
  71. 71. 7272727272 Capítulo 9. CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR Trazar la curva, cuya ecuación es:       = 3 x cosy . Solución: 12186.002186.01y 32522320x :valoresdeCuadro −−− ππππππ La ley de Boyle - Mariotte establece que a una temperatura constante de presión p y el volumen v de un gas satisfacen la ecuación cvp =⋅ , para algún número real fijo c. Un cierto gas por debajo de una presión de 20 libras por pulgada cuadrada tiene un volumen de 300 pulgadas cúbicas. Hallar c de la ecuación: cvp =⋅ Solución: 0p; p 6000 v6000vp :Luego 6000c30020ccvp ≠∀==⋅ =×==⋅ ! !! ! !
  72. 72. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 7373737373 ...1600016000y ...6000160001x :valoresdeCuadro −− −−
  73. 73. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 7575757575 1010101010Capítulo PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS ¿Para qué valor de h estará el punto ( )3h,P −= en la recta determinada por ( )1,1A −= y ( )4,7B = ? 4 1 :Rpta. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son ( )10,5A = , ( )3,2B = y ( )5,6C −= es rectángulo. Hallar el área. 2 u29:Rpta. Si ( )5,12A = es el punto medio del segmento BC y ( )37,B −−= . ¿Cuáles son las coordenadas de C ? ( )17,27C =:Rpta. Discutir y graficar las curvas, cuyas ecuaciones son: ) ) ( ) x104xyb 04x2yxa 2 222 =+ =−+
  74. 74. 7676767676 Capítulo 10. PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto cuya distancia de ( )6,0A −= es dos veces su distancia de ( )6,0B = . Trazar la curva. 036x20yx 22 =+−+:Rpta. Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( )5,3P = y su X-interceptor es 10. 030y5x3 =−−:Rpta. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )7,4P1 = y forma un ángulo de 120º con la parte positiva del eje X. 0374yx3 =−−+:Rpta. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto de intersección de las rectas 04y2x =−+ y 02yx4 =−− , tal que forman con el primer cuadrante un triángulo de área 2 u25 . 030y2x9,010yx2 =−+=−+:Rpta. Los puntos ( )2,3X −= , ( )4,1Y = y ( )5,3Z −= son los vértices de un triángulo. Hallar la ecuación de la recta perpendicular al lado XZ que pasa por Y . 017y7x6 =−−:Rpta. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a ambos ejes, y su centro está en el cuarto cuadrante. ( ) ( ) 34 1 1y4x 22 =++−:Rpta.
  75. 75. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 7777777777 La ecuación de la circunferencia es 28x10yx 22 =−+ . Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto ( )3,7A = . 043y7x2 =+−:Rpta. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por las intersecciones de las circunferencias: 01yx2yx 22 =−+++ y 04y2x2yx 22 =−+++ y por el punto ( )0,3P −= . 03yx10y3x3 22 =++++:Rpta. Por una traslación de ejes, simplificar la ecuación: 01y7x3yx2 22 =−−++ 115y8x16 22 =+ NN:Rpta. La parábola xp2y2 = tiene un extremo de la cuerda focal en el punto ( )8,8A = . Hallar las coordenadas del otro extremo.       −2, 2 1 :Rpta. Un cable suspendido se carga de tal manera que toma la forma de una parábola. Los extremos tienen una separación de 400 pies y tienen una altura de 100 pies del centro. Hallar la altura del cable a 50 pies desde el centro. pies25.6:Rpta.
  76. 76. 7878787878 Capítulo 10. PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS Hallar la ecuación de la elipse con focos en ( )0,7F1 = y ( )120,F2 = , un vértice en ( )160,V = . ( ) 1 4169 219y 36 x 22 = − +:Rpta. Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, eje menor sobre el eje Y, 54e = , cuerda normal (lado recto) 518 . 1 2 y 6 x 22 =+:Rpta. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, eje principal (real) sobre el eje X; pasa por los puntos ( )3,1S = y ( )5,9T = . 1 2 y 6 x 22 =−:Rpta. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en ( )1,8C −= , con vértice en ( ),83V1 = , 3e = . ( ) ( ) 1 128 8y 16 1x 22 = − − + :Rpta. Trazar la curva, cuya ecuación es: 22 exy ⋅=
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