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Secciones cónicas Secciones cónicas Document Transcript

  • SECCIONES CÓNICASSECCIÓN CÓNICASe definió en unidades anteriores como la intersección de un cono con las diferentesposiciones de un plano, o como sitios geométricos de puntos que cumplenpropiedades geométricas específicas.Los elementos básicos de las secciones cónicas se pueden resumir en lossiguientes: Foco:Siempre es un punto fijo de la cónica, del cual se desprenden variaslíneas importantes que en el desarrollo de la unidad se irán estudiando. Directriz:Es una recta fija dentro de la cónica, que desarrollando diferentesrelaciones entre lasdistancias que genera esta recta, da origen a una sección cónica determinada.LA CIRCUNFERENCIALa circunferencia se define como lugar geométrico o conjunto de puntos que gozande las mismas propiedades; y que para el caso, se trata, de todos los puntos queequidistan de un punto llamado centro y que puede coincidir con el punto (0, 0) de unplano de ejes coordenados. La distancia a la cual se hace referencia se llama radiode la circunferencia.Consideremos la siguiente circunferencia con centro en el punto (0,0) y radio r, con laparticularidad de que el radio debe ser mayor que cero (r > 0).
  • Ecuación general de la circunferenciaAl desarrollar la ecuación ordinaria o canónica de la circunferencia se tiene:
  • Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos A (-1, 1), B (3, 5) C (5, -3). La ecuación de la circunferencia que se busca es de la forma general:Donde se deben encontrar las constantes D, E y F: como los tres puntos pertenecena lacircunferencia, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación que estamosbuscando,como hemos dicho es de forma general. De acuerdo con lo anterior sepueden plantear tres ecuaciones que corresponden a cada uno de los puntos dados. Para el punto (-1, 1) Se tiene la ecuación: 1 + 1 - D + E + F = 0 Para el punto (3, 5) 9 + 25 + 3D + 5E + F = 0 Para el punto (5, -3) 25 + 9 + 5D - 3E + F = 0 Resolviendo términos semejantes en cada una de las ecuaciones: D-E-F=2 3D + 5E + F = - 34 5D - 3E + F = - 34Resolvamos este sistema de ecuaciones con tres incógnitas por medio de alguno de losmétodos vistos en cursos anteriores para hallar los valores de las incógnitas:
  • Para hallar el centro y el radio de la circunferencia basta reemplazar los valores encontrados en las fórmulas: Traslación de los ejes coordenados de la circunferenciaPara simplificar las ecuaciones mediante traslación de ejes coordenados, es precisoenunciar el siguiente teorema: si se trasladan los ejes de coordenadas a un nuevoorigenO´(h, k), y si las coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslaciónson(x, y) y (x´, y´), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema inicialal nuevo sistema de coordenadas son:x = x´+ hy = y´+ k
  • Para desarrollar el ejercicio se toman las ecuaciones de transformación de ejesx = x´+ h x = x´+ 1y = y´+ k y = y´+ 2y sus nuevos valores los reemplazamos en la ecuación original:LA PARÁBOLAUna parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, detal forma que su distancia a una recta fija situada en un plano es siempre igual asu distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. Puntos y líneas principales de la parábolaEl punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola.
  • Designando por F y r el foco y la directriz de la parábola, respectivamente.La recta que pasa por F y coincide con el eje de coordenadas x, y es perpendicular ar, se llama eje de la parábola.Sea A el punto de intersección del eje y la directriz. El punto V, punto medio delsegmento AF y que está sobre la parábola se llama vértice.El segmento de recta BB´ que une dos puntos cualesquiera de la parábola recibe elnombre de cuerda, y en particular una cuerda que pase por el foco de laparábola como CC´ se llama cuerda focal.En la gráfica el segmento LL´ perpendicular al eje se llama lado recto de laparábola. Si P es un punto cualquiera de la parábola, la recta FP que une el foco Fcon el punto P, se llama radio focal de P, o radio vector. Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje focal el eje xObservando la gráfica.En la gráfica, la parábola tiene el vértice en el origen y su eje coincide con el eje decoordenadas x. Por consiguiente, el foco F está sobre el eje x y suscoordenadas pueden corresponder a (p, o).Por definición de la parábola, la ecuación de la directriz r, es x = -p.Si se tiene un punto P(x, y), punto cualquiera de la parábola, este punto por estarsobre la parábola satisface la condición geométrica:d (PF) = d (PA) y aplicando la distancia entre dos puntos se tiene:
  • Otras formas de la ecuación de la parábola Analizando un poco la ecuación obtenidapara la parábola , nos podemos dar cuenta que si p < 0, se deben excluirtodos los valores positivos de x, y todo el lugar geométrico aparece a la izquierda deleje y, y se dice que la parábola abre hacia la izquierda. De forma similar se puededemostrar que si el vértice de la parábola está en el origen y su eje coincide con eleje de coordenadas y, la ecuación de la parábola es:En donde el foco es el punto (o, p) y la ecuación de la directriz es y = - p. Ahorabien si p > 0, la parábola se abre hacia arriba; si p < 0, la parábola se abre haciaabajo.En cada uno de los casos la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de4p, que es el coeficiente del término de primer grado. Las gráficas para estos casosserían:
  • Ecuación de la parábola con vértice en el punto (h, k) y eje de simetría paralelo aleje x o y.La ecuación de la parábola con vértice en el origen del plano x´, y´ y eje de simetríaparalelo al eje x será.Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coinciden con el eje ypasa por el punto (4, -2). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas de sufoco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.Solución:
  • LA ELIPSEUna elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de talmanera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, ypertenecientes al plano, es siempre igual a una constante, (longitud del eje máximo),mayor que la distancia entre los dos focos.Toda ecuación de la forma con a, b, k como términos que se conocen yde igual signo, representan una elipse. Conceptos generalesPor comodidad considere una elipse con centro en el origen y focos sobre el eje x, decoordenadasAsignémosle a la constante k el valor de 2a que corresponda a la longitud del ejemayor de la siguiente forma:
  • Ecuación general de la elipsePara hallar la ecuación general de la elipse tomando un punto cualquiera P (x,y), como focos F1 (c, 0) y F2 (-c, 0), y como por definición de la elipse se tiene:Se utiliza la fórmula de distancia:
  • Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el ejede coordenaday. Si uno de los focos es (0, 4) y la excentricidad es igual a ½.Hallar las coordenadas del otro foco, las longitudes de los ejes mayor y menor, laecuación de la elipse y la longitud de cada uno de los lados rectos.Uno de los focos es (0, 4) que corresponde a un foco de coordenadas (0, c) luego c =4, y directamente se puede hallar el otro foco (0, -c) que será (0, -3).Como la excentricidad es igual a ½ , y ésta viene dada por la expresión:
  • Conociendo el valor de a = 8 y c = 4, entonces podemos hallar el valor de b.Por deducción de fórmulas tenemos que las longitudes de los ejes mayor y menorcorresponden a los valores de:Eje mayor = 2a = 2 x 8 = 16 Ecuación de la elipse de centro O´(h, k)Cuando se presenta que el centro de la elipse tiene de coordenadas, los puntos (h,k) el eje mayor puede estar paralelo al eje x o al eje y. Para deducir lasrespectivas fórmulas se utilizan las expresiones obtenidas para traslación de ejes.Para cada uno de los casos se tiene:
  • LA HIPÉRBOLAUna hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, detal forma que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijosdel plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante positiva ymenor que la distancia entre los focos. Toda ecuación de la forma , dondea puede ser igual a b, representa una hipérbola. Líneas y puntos principales de la hipérbola
  • Consideremos la hipérbola con la particularidad de que el centro coincide conel origen y cuyo eje focal es el mismo eje de coordenadas x. Los focos F y F´están sobre el mismoeje x. De esta manera el punto medio del segmento F F´ ycuyas coordenadas vienendadas por los puntos (c, o) y (-c, o) respectivamente,siendo c una constante positiva.Localizando un punto P(x, y) cualquiera en la hipérbola, se tiene que el puntodebesatisfacer la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia delasdistancias del punto a los focos es una cantidad constante, es decir:En donde a es una constante positiva y 2a < 2c. Por simetría, la condicióngeométrica es equivalente a la relación:La relación se considera verdadera cuando el punto P se encuentra sobre la ramaizquierda de la hipérbola, y negativa cuando el punto P está sobre la rama derecha. Deducción de la ecuación general de la hipérbola
  • Analiza ahora la fórmula general encontrada.De la ecuación se deduce que las intersecciones con el eje x son; a, y -a, porconsiguiente, las coordenadas de los vértices V y V´ son respectivamente (a, o) y (-a,o). Podemos observar también que la ecuación de la hipérbola es simétrica conrespecto de los dos ejes de coordenadas y del origen, luego despejando el valor dela variable y de la ecuación general, se tiene:
  • Excentricidad, longitud del lado recto y eje transverso de la hipérbolaAhora, si el eje focal coincide con el eje y, de tal forma que las coordenadas delos focos sean (o, c) y (o, -c), entonces la ecuación será:
  • Asíntotas de la hipérbolaSi de la ecuación:Generalmente se debe analizar que ocurre en la ecuación de la hipérbola si unpunto se desplaza a lo largo de la curva, de tal forma que el valor numérico de laabscisa x aumente sin límite, probablemente sucede que el radical del segundomiembro se aproxima cada vez más a la unidad, y la ecuación tiende a la forma:Igualmente si el eje focal coincide con el eje y, entonces se obtiene: Ecuación de la hipérbola con centro diferente al origenSi el centro de la hipérbola no está en el origen, es decir, en el punto (h, k), y susejes son paralelos a los ejes de coordenadas, se pueden hallar las ecuacionesrespectivas utilizando las fórmulas halladas para la traslación de ejes vistos en eldesarrollo de la elipse. Entonces se tendrá:
  • x´= x - h y y´= y - k,y la ecuación será de la forma:Los vértices de una hipérbola son los puntos V1(3, 0), V2(-3, 0) y sus focos son lospuntos F1(4, 0), F2(-4, 0). Hallar la ecuación de la hipérbola, las longitudes del ejetransverso conjugado. (segmento A A´)Como los vértices y los focos están sobre el eje de coordenadas x, el eje focalcoincide con el eje x. Además el punto medio del eje transverso está en el origen.Por consiguiente, la ecuación de la hipérbola es de la forma.
  • Solución a la matemática recreativa de la unidad anterior El tonel Solución 35 -19 =16 (es la cantidad de vino sacado). Luego 35 - (1 6 x 2) = 3 kg. Distribución SoluciónHay que distribuir 24 personas en 6 filas de manera que en cada fila haya 5 personas. Un hexágono, cumple el planteamiento: