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Factorizacion y productos notables

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Descripcion de los procedimientos de factorizacion y la utilizacionde productos notables en la resolucion de expresiones algebraicas.

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  • 1. Factorización y productos notables.La factorización es un procedimiento por el cual se deshace la multiplicación, y su importancia esgrande ya que permite simplificar fracciones algebraicas, resolver ciertas clases de ecuaciones yen general, dentro del proceso de solución de problemas de diferentes temas de la matemática,ayuda sistemáticamente, a encontrar la solución buscada.La factorización es una operación que consiste: dado un polinomio P(x) hallar dos o máspolinomios de menos grados llamados factores de P(x) dados que multiplicados entre sí deP(x).Hallar el producto y descomponer en factores son dos operaciones inversas, es decir: Multiplicación 5(X + 1)(X - 3) 5x2 - 10x - 15 FactorizaciónMÉTODOS DE FACTORIZACIÓN.Existen varios métodos de factorización completa de un polinomio, la utilización de los mismosesta en relación de la naturaleza del polinomio.FACTOR COMÚN.Cuando todos los términos del polinomio dado tienen un factor común o varios en virtud de lapropiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma se puede sacar factor común.Conmutando dicha igualdad se tiene la distributividad aplicada en sentido inverso: ab + ac + ad = a ( b + c + d )Para sacar el factor común a un polinomio se dividen todos los términos del polinomio por elfactor común escribiendo los cocientes parciales entre paréntesis, indicando el producto delpolinomio cociente por el factor común.Ejemplo: Factorizar 3x3y - 24 x2y + 6xy = 3xy ( x2 - 8x + 2 )FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN.Para factorizar un polinomio por este criterio se agrupa aquellos términos que tengan un factorcomún y se aplica la regla anterior. El polinomio necesita tener como mínimo cuatro términospara formar 2 grupos de dos elementos.Ejemplo: Factorizar a2x - ax2 - 2a2 y + 2axy + x3 - 2x2y = ( a2 x - 2 a2 y ) - ( ax2 - 2axy ) + ( x3 - 2 x2 y ) = a2 ( x - 2y ) - ax ( x - 2y ) + x2 ( x - 2y ) = (x - 2y ) ( a2 - ax + x2 )Con los seis términos del polinomio anterior se pueden formar tres grupos de dos términos o dosgrupos de tres resultando el mismo producto.TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
  • 2. Este método solo puede utilizarse en trinomios que cumplan con ciertas condiciones: a) Los signos de los términos son iguales o alternos. b) El primer y el tercer términos son cuadrados perfectos. c) El segundo término es el doble producto de las raíces de los términos primero y tercero.Al trinomio que cumpla las condiciones anteriores se denomina trinomio cuadrado perfecto.Ejemplos: Factorizar a) 1 / 25 x4 + 2 x2 y + 25 y2 1 / 5 x2 5y 2 ( 1/ 5 x2 ) ( 5 y ) = 2 x2 yDespués de verificar si el polinomio en cuestión es trinomio cuadrado perfecto se escriben lasraíces cuadradas del primer y tercer término separadas por el signo del segundo término dentro deun paréntesis que deberá elevarse al cuadrado. 1 / 25 x4 + 2 x2 y + 25 y2 = ( 1 /5 x2 + 5y)2 b) 25 x2 + 10 x -1 c) a2 - ab + b2Los ejemplos b y c no son trinomios cuadrados perfectos por no cumplir con todas lascondiciones mencionadas.TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c.El método para factorizar trinomios de este tipo, de segundo grado o reducibles a segundo grado,consiste en abrir dos paréntesis los cuales tendrán como primer término la raíz cuadrada delprimer término del trinomio. Después del primer término, en el primer factor se escribe el signodel segundo término del trinomio y en el segundo factor se escribe el signo que resulta de la leyde los signos de la multiplicación del segundo y tercer término del trinomio. Por último, sebuscan dos números que como producto tengan al tercer término y como suma, al segundotérmino del trinomio. El mayor de éstos se coloca en el primer factor y el menor en el segundo.Ejemplos: Factorizar a) x2 + 30 x - 400 solución: x2 + 30x - 400 = ( x + 40) ( x - 10)TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c.Cuando el polinomio tiene como coeficiente del término de mayor exponente un número distintoa la unidad se procede de la siguiente forma: se multiplica todo el trinomio por el coeficiente deltérmino cuadrático y se divide por el mismo. Se hacen los arreglos correspondientes con el objetode expresar el polinomio de la forma x2 + bx + c y factorizar de la forma anterior.Ejemplos: Factorizar a) 3 x2 - 5 x - 2
  • 3. 3(3 x 2 − 5 x − 2) solución: 3x 2 − 5x − 2 = 3 (3x ) − 5(3 x) − 6 2 = 3 (3x − 6)(3 x + 1) = 3 3( x − 2)(3 x + 1) = 3 = (x – 2) (3x + 1) b) 27ab - 9b2 -20a2 solución: se ordena y se puede reducir el procedimiento (20a ) 2 − 27b(20a ) + (180)b 2 − (20a 2 − 27 ab + 9b 2 ) = − 20 (20a − 15b)(20a − 12b) =− 20 5(4a − 3b)4(5a − 3b) =− 20 = −(4a − 3b)(5a − 3b)DIFERENCIA DE CUADRADOS.Diferencia de cuadrados perfectos se le llama al binomio cuyos términos tengan raíz cuadradaexacta. Para factorizarlo se saca la raíz cuadrada a cada uno de los términos que serán colocadasen dos binomios factores que deberán tener signos alternados en cada factor respectivamente. a2 – b2 = ( a – b ) (a + b ) el orden de los factores no altera el producto a bEjemplos: Factorizar a)225x8 – 256y2z6 solución: 225x8 – 256y2z6 = (15x4 + 16yz3 ) (15x4 - 16yz3 ) b)(x2y2 – 4y2) – (9x2 – 36) solución: (x2y2 – 4y2) – (9x2 – 36) = y2 (x2 –4) – 9(x2 – 4) = (y2 – 9) (x2 – 4) = (y + 3)(y –3)(x + 2)(x – 2)SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS.La suma o diferencia de cubos se descompone en dos factores donde el primero está compuestopor la suma o diferencia de las raíces cúbicas del binomio a factorizar y el segundo por untrinomio cuyo primer término es el producto de la primera raíz elevada al cuadrado por lasegunda raíz elevada a la cero, el segundo termino se obtiene restando uno y sumando uno a losexponentes de los factores del término anterior respectivamente y multiplicando las dospotencias, y el tercer término, al igual que el segundo se resta uno y se suma uno a los exponentesde los factores del término anterior respectivamente multiplicando dichas potencias. En caso deque el primer factor sea una suma, los signos de los términos en el segundo factor estarán
  • 4. alternados; en caso de que en el primer factor sea una diferencia, los signos de los términos en elsegundo factor serán positivos. positivo Signos alternados a + b = ( a + b) (a b - a1 b1 + a0 b2) 33 2 0 3 a b a + b = ( a + b )( a2 – ab + b2 ) 3 3 negativo positivos a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 )Ejemplos: Factorizar a) a12 + b12 [ solución: a12 + b12 = (a4 + b4) ( a 4 ) ( b 4 ) − ( a 4 ) ( b 4 ) + ( a 4 ) ( b 4 ) 2 0 1 1 0 2 ] = (a4 + b4 ) (a8 – a4 b4 + b8 ) 1 3– 3 b) x 8y 8 1 3 1  1  2 1  1 1  0  x – 8y = ( x – 2y)  x  ( 2 y ) +  x  ( 2 y ) +  x  ( 2 y )  3 0 1 2 solución : 8 2  2   2  2    1 1 = ( 2 x – 2y ) ( 4 x2 + x y + 4y2 )SUMA O DIFERENCIA DE BASES CON EXPONENTES IMPARES IGUALES.Cuando el binomio no es una suma o diferencia de cubos se procede a factorizar exactamente dela misma forma; se le saca la raíz enésima a cada término colocándolas en el primer factorseparadas del signo del segundo término del polinomio a factorizar. En el segundo factor seescribe la primera raíz elevada al exponente menos uno del binomio a factorizar seguida de lasegunda raíz elevada a la cero, el segundo término se obtiene sumando uno y restando uno a losexponentes del primer término respectivamente; de la misma manera se encuentran todos lostérminos del segundo factor hasta que los exponentes queden invertidos al primer término.Ejemplos: a) a7 – b7 Solución: a7 – b7 = (a – b )( a6 b0 + a5 b1 + a4 b2 + a3 b3 + a2 b4 + a b5 +a0b6) = (a – b )( a6 + a5 b + a4 b2 + a3 b3 + a2 b4 + ab5 + b6 ) b) 32 x5 + y10 Solución: 32x5 + y10 = [ ][ 0 1 2 3 ]( 2x)5 + ( y2)5 = 2 x + y 2 ( 2 x ) 4 ( y 2 ) − ( 2 x ) 3 ( y 2 ) + ( 2 x ) 2 ( y 2 ) − ( 2 x )1 ( y 2 ) + ( 2 x ) 0 ( y 2 ) 4 = ( 2x + y2 ) ( 16x4 – 8x3 y2 + 4x2 y4 – 2x y6 + y8 )FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO POR EL MÉTODO DE EVALUACIÓN.Este método de factorización es aplicado para polinomios que tienen cuatro o más términos. Elmétodo utilizado es por le regla de Ruffini con el objetivo de encontrar un cociente (factor ) que
  • 5. al multiplicarse por el divisor (factor) dé, cómo producto, el dividendo (polinomio a factorizar).Para cumplir con lo anterior es necesario observar que el residuo debe ser cero, o sea:Teorema del factor.-Un polinomio P(x) tiene como factor a (x-a) si y solo si para x = a , P(a) = 0Condición necesaria de divisibilidad.-Para que un polinomio P(x) sea divisible por (x-a) es condición necesaria pero no suficienteque el término independiente del dividendo sea divisible entre a.Método de evaluación.-Este esquema está diseñado para factorizar completamente un polinomio entero en x, para élutilizamos, el teorema del factor y la división sintética o regla de Ruffini.Ejemplos: 1) Factorizar por evaluación x4 + 3x3 – 23x2 – 75x – 50 Solución: Se buscan los divisores de 50: a = ± 1,±2,±5,±10,±25,±50 hay que verificar con cada uno de los divisores hasta encontrar P(a) = 0 P(1) = (1) 4 + 3(1) 3 − 23(1) 2 − 75(1) − 50 = -144 P(-1) = ( − 1) 4 + 3( − 1) 3 − 23( − 1) 2 − 75( − 1) − 50 = 0 éste es un factor Por Ruffini: 1 3 -23 -75 -50 -1 -1 -2 25 50 1 2 -25 -50 0 quedando los factores: (x3 + 2x2 –25x –50) (x + 1)Para factorizar completamente hay que factorizar cada uno de los factores si es posible. Elprimero de los factores anteriores no está completamente factorizado por lo que hay que hacerlonuevamente por Ruffini o por cualquier otro método, en este caso trataremos nuevamente porRuffini. 1 2 -25 -50 Siguiendo los pasos anteriores -2 -2 0 50 se separan en factores 1 0 -25 0 quedando : x3 + 2x2 – 25x – 50 = (x2 – 25)(x + 2)juntando todos los factores del polinomio inicial: (x + 1)(x2 – 25)(x + 2)observando el factor de en medio puede verse que aún falta por factorizar por lo que el resultadode la factorización completa es:
  • 6. (x + 1) (x + 5) (x – 5) (x + 2).Es recomendable utilizar como último recurso el método de evaluación pues es un procedimientomás largo que los anteriormente vistos. RESUMIENDO:Para factorizar una expresión algebraica es necesario reconocerla en alguna de las siguientes:  Expresión algebraica de dos términos  Expresión algebraica de tres términos  Expresión algebraica de cuatro o mas términosDespués de identificarla factorizar siguiendo el orden correspondiente. Expresión de dos términos: 1.- Factor común 2.- Diferencia de cuadrados perfectos 3.- Suma o diferencia de cubos 4.- Suma o diferencia de bases con exponentes impares iguales. Expresión de tres términos: 1.- Factor común 2.- Trinomio cuadrado perfecto 3- Trinomios de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c 4.- agrupación de términos Expresión de 4 o más términos: 1.- Factor común 2.- Factor común por agrupación del mismo número de términos 3.- Factor común por agrupación de diferente número de términos 4.- Método de evaluación