Números complejos

254 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
254
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
3
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Números complejos

  1. 1. NÚMEROS COMPLEJOS
  2. 2. ¿Cómo y dónde surgen los números complejos? El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501– 1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números ,etc. empezaron a encontrarse expresiones como la raíz cuadrada de -16, que no se sabían interpretar. Aun sin entenderlas, algunos comenzaron a manipularlas con las mismas reglas que utilizaban para los números que conocían. Fue Cardano, durante este mismo siglo, quien propuso un nuevo tipo de números, que denominó ficticios, como solución a las raíces cuadradas de números negativos. Girolamo Cardano Carl Friedrich Gauss
  3. 3. ¿Qué es la unidad imaginaria? La unidad de los números imaginarios, al igual que es tratado con los números reales en cuyo caso es uno o 1, viene a ser √-1 o raíz cuadrada de uno negativo. Está denominación nació en el siglo XVIII debido a que Leonard Euler quería nombrar a los números imaginarios de manera desdeñosa dándole una denominación que se entiende como un objeto inexistente. i es la "unidad" de números imaginarios (lo mismo que es "1" para los números reales) y equivale a √(-1) (la raíz cuadrada de menos uno, y su símbolo es i, o j. Como ejemplo tenemos: (5+3i)+(2+6i) = (5+2)+(3i+6i) = 7+9i
  4. 4. ¿Se puede operar con ellos? Si se pueden operar con ellos ya sean complejos o imaginarios La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i Ejemplo: (5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) = = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i Números complejos Números imaginarios (5 + 2 i) · (2 − 3 i) = = 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i Multiplicación Para la multiplicación debemos multiplicar cada término del primer factor por los del segundo. (a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi² = (ac-bd)+(ad+bc) Sustracción Para realizar la sustracción, también se deben agrupar los números imaginarios y reales. Por ejemplo: (5-2i)-(2+6i) = (5-2)+(-2i-6i) = 3-8i
  5. 5. Estos números ¿cómo se expresan en forma polar? Un número complejo en forma polar consta de dos componentes: módulo y argumento. Módulo de un número complejo El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|. • Z=a+bi • R=lzl=√a^2+b^2 Argumento de un número complejo El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z). Expresión de un número complejo en forma polar. z = rα |z| = r r es el módulo arg(z) = alfaalfa es el argumento.
  6. 6. ¿y trigonométrica? a + bi = rα = r (cos α + i sen α) A=r .cos α b=r . Sen α Formas: Binómica z = a + bi Polar z = rα Trigonométrica z = r (cos α + i sen α)
  7. 7. ¿Cómo se representan en un sistema de ejes cartesianos? Utilizando los dos ejes cartesianos , el eje vertical corresponde a la parte imaginaria y el eje horizontal corresponde a la parte real. Los números complejos se pueden representar como puntos del par ordenados. Z=a+bi=(a,b) Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X. Los afijos de los números imaginarios se sitúan sobre el eje imaginario, Y
  8. 8. Plantea como ejemplo, ecuaciones cuya solución sean números
  9. 9. z = 2240º =2(cos 240º + i sen 240º)
  10. 10. Gracias

×