El documento describe las máquinas de Post, un modelo teórico de computación introducido por Emil Post en 1936. Las máquinas de Post pueden utilizarse para implementar algoritmos y calcular funciones aritméticas de manera simple con lápiz y papel. El documento presenta ejemplos de programas para máquinas de Post que calculan diferentes funciones y operaciones aritméticas.

1. Iván Castro Chadid Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Máquinas de Post

2. EMIL L. POST (1897-1954 ) En 1936 Emil L. Post y Alan M. Turing publicaron, independientemente y por caminos distintos, sendos artículos en donde anticipándose a la aparición de las computadoras universales, presentaban en forma teórica las características fundamentales que deben tener las máquinas que estén en capacidad de Calcular. Una función se dice CALCULABLE, si viene dada por un algoritmo cualquiera, cuyo dominio es el dominio de aplicabilidad del algoritmo y a cada elemento del dominio le hace corresponder el elemento resultante de la aplicación de este algoritmo a dicho elemento

3. ALAN TURING (1912-1954 ) Funciones usuales de la aritmética como la función “ siguiente de” que calcula el número siguiente de un número natural, la función que calcula la suma, la que calcula el producto, la que calcula el cociente, la que calcula el máximo común divisor de dos números, la que calcula del mínimo común múltiplo de dos números, la que calcula la parte entera de un número, y muchas más son calculables mientras que la función: no es calculable, ya que no es posible encontrar un algoritmo que permita determinar en forma precisa, cual es el valor de f(n) para cualquier n que tomemos.

4. El aprender a construir procedimientos que permitan calcular, es de gran importancia en el proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática, porque se pasa del adiestramiento (que es lo que usualmente se hace), al entendimiento de los procesos lógico-deductivos que hay tras dichos cálculos. Algunas Observaciones

5. Las Máquinas de Post permiten de una manera sencilla y amena cumplir con este objetivo, su implementación no requiere de equipos de cómputo sino simplemente de lápiz y papel lo cual facilita al docente el poder llevarlas al aula de clase Algunas Observaciones

6. Cinta Máquina de Post Carro o cabezal de lectura y registro Célula vacía Célula marcada v

7. ¿Cómo marcar los números? v v v v v Número 0 v v Número 1 v v v Número 2 v v v Número 3

8. Número de la instrucción Salto v

9. Instrucciones de movimiento El carro se mueve una célula a la derecha v v

10. Instrucciones de movimiento El carro se mueve una célula a la izquierda v v

11. Instrucción de impresión En la correspondiente celda se imprime una marca v

12. Instrucciones de vaciado En la correspondiente celda se borra la marca v

13. Instrucción de salto del control Si la celda está vacía vaya a la instrucción j, Si está llena vaya a la instrucción s. v j s ? i .

14. Instrucción de parada con esta instrucción se da por terminado el programa v v v v v v

16. No son programas de una Máquina de Post los siguientes: 1. 2 3. 4 2. 4 4. 1 5 3 ? 2. 1. 2 3. 4 4. 1

17. Posibles posiciones del carro v v v v v v 2º) P2 v v v v v v 3º) P3 v v v v v v 1º) P1

18. 1º programa v v v v v v Si el carro está en P1 construya un programa para calcular la función: 4. Stop Desarrollo: 3 1 ? 2. 1. 2 3. 4

19. 2º programa Si el carro está en P2 construya un programa para calcular la función: 5. Stop Desarrollo: 1 3 ? 2. 1. 2 v v v v v v 3. 4 4. 5

20. 3º programa Si el carro está en P3 construya un programa para calcular la función: 5. Stop Desarrollo: 1 3 ? 2. 3. 4 v v v v v v 1. 2 4. 5

21. 4º programa ¿Cómo procederíamos si no sabemos en donde está el carro? En este caso lo primero que hacemos es empezar con una instrucción del tipo: en donde la instrucción 2 conduce a elaborar el 1º Programa. la instrucción 6 nos dice que el carro está sobre una celda vacía, la pregunta que surge es: ¿El número está a la izquierda o a la derecha del cursor? este problema es similar al siguiente: ? 6 2 ? 1.

22. Supongamos que un invidente es abandonado en un camino recto con dos estacas que pueden ser clavadas en el piso y se le advierte que caminando en una de las dos direcciones: norte (N) o sur (S), puede encontrar un sitio en donde ampararse, ¿cómo procede para llegar a ese lugar?. Desarrollo: Una forma de resolver el problema es la siguiente: Empieza comprobando con las manos si ya llegó; 3 2 ? 1. 2. Stop

23. En caso de que la respuesta sea negativa clava una estaca en el piso y da un paso en la dirección N V Nuevamente se hace la misma pregunta, si la respuesta es negativa , clava la segunda estaca gira 180º y camina en dirección S hasta encontrar la primera estaca 4. 5 3. 4 6 2 ? 5. 6. 7 7. 8 7 9 ? 8.

24. V Recoge esta estaca da un paso en la dirección S y se pregunta si ya llegó, si la respuesta es negativa, clava la segunda estaca gira 180º y camina en dirección N hasta encontrar la primera estaca V 12 2 ? 11. 10. 11 9. 10 12. 13 13. 14 13 15 ? 14.

25. V Procediendo de esta forma un número finito de veces, se llega finalmente a encontrar un sitio para guarecerse. V

26. Programa básico en máquinas de Post 2 20 ? 1. 6. 7 8. 9 2. 3 3. 4 5 15 ? 4. 5. 6 6 8 ? 7. 9. 10 11 21 ? 10. 11. 12 12. 13 12 14 ? 13. 14. 3 15. 16 15 17 ? 16. 17. 18 18. 19 18 20 ? 19. 20. Stop 21. 22 21 23 ? 22. 23. 24 24. 25 24 20 ? 25.

27. Si no sabemos donde está el carro y queremos encontrar un programa para calcular la función: Primero se emplea el Programa Básico y a continuación se utiliza el 1º programa. En general, gracias al programa básico, es posible asumir que el carro siempre va a estar en posición P1. V V V V V V

28. 5º programa Construya un programa para calcular la suma de dos números si el carro está en la posición que se indica en la figura. Desarrollo: v v v v v v v v v 14. Stop 4 2 ? 3. 2. 3 4. 5 1. 2 5. 6 7 10 ? 6. 7. 8 9. 1 9 7 ? 8. 12 10 ? 11. 10. 11 12. 13 13. 14

29. 6º programa Construya un programa para calcular la suma de dos números si el carro está en la posición que se indica en la figura. Desarrollo: v v v v v v v v v 1 3 ? 2. 1. 2 3. 4 4. 5 10 6 ? 5. 6. 7 8. 9 6 8 ? 7. 9. 1 10. Stop

30. 7º programa Construya un programa para calcular la suma de dos números si el carro está en la posición que se indica en la figura. Desarrollo: v v v v v v v v v 6 4 ? 5. 6. 7 7. 8 9 12 ? 8. 14 12 ? 13. 14. 15 15. 16 16. Stop 9. 10 11. 3 12. 13 11 9 ? 10. 4. 5 3. 4 1 3 ? 2. 1. 2

31. 8º programa Construya un programa para calcular el valor absoluto de la diferencia entre dos números si el carro está señalando una célula marcada por el primer número como se indica en la figura. Desarrollo: v v v v v v v v v v 8 10 ? 9. 10. 11 11. 12 13 3 ? 12. 6. 7 17 8 ? 7. 8. 9 5. 6 3. 4 3 2 ? 1. 2. 1 3 5 ? 4. 16. 17 13 15 ? 14. 13. 14 17. Stop 15. 16

32. 9º programa Construya un programa para calcular el valor absoluto de la diferencia entre dos números si el carro está señalando una célula limpia como se indica en la figura. Desarrollo: v v v v v v v v v v 8 10 ? 9. 10. 11 11. 12 13 3 ? 12. 6. 7 17 8 ? 7. 8. 9 5. 6 3. 4 3 2 ? 1. 2. 1 3 5 ? 4. 16. 17 13 15 ? 14. 13. 14 17. Stop 15. 16

33. Comentario Final Este tema como parte del curso TIC podría motivar a los estudiantes del postgrado para que pensaran en opciones como esta en sus tesis de grado.

34. Los ejemplos que hemos presentado representan una pequeña muestra de la gran variedad de programas que pueden construirse. Estamos en mora de elaborar una gran librería de máquinas de Post. Comentario Final

35. Comentario Final Las funciones aritméticas nos ofrecen una amplia y rica variedad de ejemplos que son de interés en Teoría de Números y que pueden llevarse a través de máquinas de Post al aula de clase. ¡ Muchas gracias !

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