Ia unidad ii_sem2_2012

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  • 1. 05/11/2012 2.4 La lógica de predicados: 2.1 Mapas conceptuales sintaxis, semántica, validez e inferencia. 2.2 Redes semánticas. 2.5 La demostración y sus 2.3 Razonamiento métodos. monótono. 2.6 El método de Resolución de Robinson 2.7 Conocimiento no- 2.8 Razonamiento probabi- monótono lístico. y Otras lógicas. 2.9 Teorema de Bayes. 05/11/2012 © Martínez 1Hemos visto,• Definiciones, modelos y teorías acerca del concepto de inteligenciahumana,que involucra• Modelos de adquisición de Ahora, lo que nos interesa, es laconocimiento representación del conocimiento, es decir, la modelización del conocimiento, tratando de encontrar la forma de modelizar que sea apropiada para el tratamiento computacional de la inferencia. 05/11/2012 © Martínez 2 1
  • 2. 05/11/2012En organismos biológicos se estima que el conocimiento esalmacenado como estructuras complejas de neuronasinterconectadas.En las computadoras, el conocimiento también se almacenacomo estructuras simbólicas, pero en forma de estadoseléctricos y magnéticos05/11/2012 © Martínez 3 En forma natural, el ser humano representa el conocimiento simbólicamente: imágenes, lenguaje hablado y lenguaje escrito. Adicionalmente, ha desarrollado otros sistemas de representación del conocimiento: literal, numérico, estadístico, estocástico, lógico. Además, se debe considerar que el conocimiento puedes estar incompleto.05/11/2012 © Martínez 4 2
  • 3. 05/11/2012 Orientaciones: • Simbólica: la descripción del comportamiento inteligente se basa en sistemas simbólicos, más o menos formalizados • Conexionista: para describir el comportamiento inteligente se modelizan sistemas neuronales05/11/2012 © Martínez 5 Formalismos de representación • Mapas Conceptuales •Redes semánticas y causales (bayesianas) • Frames (marcos) y guiones • Lógicas • clásica, • multivaluadas, • modales y • difusa • Reglas de producción •con incertidumbre -MYCIN •Redes neuronales y sistemas neurodifusos. •Otros05/11/2012 © Martínez 6 3
  • 4. 05/11/2012 Los mapas conceptuales se empezaron a utilizar •En la didáctica para las disciplinas científicas [Novak ,1984] • Término concept map •"un dispositivo esquemático que representa un conjunto de significados conceptuales incluidos en una estructura de proposiciones".05/11/2012 © Martínez 7 Ventajas Método que •Ilustra gráficamente las relaciones entre la información. • Motiva la comprensión al ayudar a los estudiantes a organizar y mejorar sus conocimientos sobre cualquier tema. •Ayuda a los estudiantes a aprender nueva información integrando cada idea nueva en sus áreas existentes de conocimiento.05/11/2012 © Martínez 8 4
  • 5. 05/11/2012 Un mapa conceptual es una técnica sencilla que permite representar el conocimiento de forma gráfica como redes conceptuales compuestas por • nodos que representan los conceptos, y •enlaces, que representan las relaciones entre los conceptos Esto es: • En un mapa conceptual, se vinculan dos o más conceptos por palabras que describen sus relaciones.05/11/2012 © Martínez 9 Para formar un mapa conceptual • se parte de un concepto central y • se plasman alrededor los conceptos relacionados, • estos, a su vez, •se pueden presentar en relación a otros conceptos.05/11/2012 © Martínez 10 5
  • 6. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 1105/11/2012 © Martínez 12 6
  • 7. 05/11/2012 Mapa conceptual. Fuente: Emilio Sáez Soro. La invención del ordenador. http://apolo.uji.es/Emilio/IS/tema1-4.html La noción de mapa conceptual precisa de tres niveles de análisis: 1. desde una perspectiva abstracta un mapa conceptual muestra cómo los nodos unidos por arcos pueden verse como representaciones de grafos, usando el término tal y como se define en matemáticas; 2. desde la perspectiva de visualización un mapa conceptual puede verse como diagramas, usando el término para significar un dibujo que utiliza una semiótica razonablemente bien entendida para alguna comunidad; 3. desde la perspectiva del discurso (lenguaje) un mapa conceptual puede verse como un modo de representar la comunicación del conocimiento por medio de un lenguaje visual.05/11/2012 © Martínez 14 7
  • 8. 05/11/2012 Cada perspectiva tiene aspectos comunes y diferentes entre sí. La perspectiva abstracta Considera la estructura básica de los datos de un mapa conceptual como un hipergrafo clasificado que consta de nodos, • algunos de los cuales se unen, • cada nodo tiene • un tipo, • un identificador único y • un contenido (que puede ser estructurado, por ejemplo, como una etiqueta más otros datos). •05/11/2012 © Martínez 15 Cada perspectiva tiene aspectos comunes y diferentes entre sí. La perspectiva abstracta… un nodo puede incluir otros nodos • que dan al grafo una estructura de hipergrafo • en el que un solo enlace puede conectar un conjunto de nodos. • los enlaces pueden ser • dirigidos (líneas entre nodos con cabezas de flecha) o • no dirigidos (líneas entre nodos sin cabezas de flecha)05/11/2012 © Martínez 16 8
  • 9. 05/11/2012 La perspectiva de visualización •Considera representar una relación constante entre • los rasgos visuales como signos y • su infraestructura semiótica, • los atributos visuales de nodos y enlaces tienen que darse •en una correspondencia única de uno a uno con sus tipos. •05/11/2012 © Martínez 17 Perspectiva de discurso • Considera la estructura abstracta representada como • un diagrama en términos visuales se entiende como una forma de representar la comunicación del conocimiento porque está sujeto a la interpretación por alguna comunidad de referencia. • En esto hay un paralelismo exacto entre • el lenguaje natural y • el lenguaje visual es decir, • las estructuras abstractas gramaticales y • sus expresiones en un medio toman el significado sólo por las prácticas de una comunidad de discurso.05/11/2012 © Martínez 18 9
  • 10. 05/11/2012 Perspectiva de discurso… • Algunas comunidades pueden encontrar que de esta forma se asigna • un uso del lenguaje de una manera • laxa y • asociativa, • mientras que otras comunidades •pueden creer que se usa con gran precisión técnica. •De cualquier forma, siempre puede mezclarse este uso con sublenguajes •informales y •formales combinados con el discurso real. •05/11/2012 © Martínez 19 Ejemplo de un mapa conceptual que representa el concepto de membrana celular.05/11/2012 . © Martínez 20 10
  • 11. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 2105/11/2012 © Martínez 22 11
  • 12. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 2305/11/2012 © Martínez 24 12
  • 13. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 25 Generación de mapas conceptuales Los mapas conceptuales pueden ser generados • manualmente por un usuario que introduzca los datos, • pero existen ya numerosas herramientas que los hacen de forma • automática o •semiautomática. Programas específicos para generar mapas conceptuales son, por ejemplo, • Knowledge Manager http://www.knowledgemanager.it/, • MindMapper http://www.mindmapper.com/ o • FreeMind http://freemind.sourceforge.net/wiki/index.php/Main_Page, •http://www.youtube.com/watch?v=S70wIB0EBEo&feature=related También existen otros métodos que generan los mapas conceptuales a partir de documentos o hipertextos existentes. Tarea: hacer un mapa conceptual del tema LA HIST ÓRIA DE LA IA05/11/2012 © Martínez 26 13
  • 14. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 27 En Inteligencia Artificial, Quillian desarrolló una forma de mapa conceptual que se denominó redes semánticas y que se usa ampliamente para la representar el conocimiento formal. Quillian66 • Modelo de memoria humana para capturar la semántica de las palabras y lograr uso del significado parecido a los humanos.05/11/2012 © Martínez 28 14
  • 15. 05/11/2012 Definición: Representación declarativa de objetos, atributos y relaciones Realmente es una estructura de datos sofisticada y mucho depende del programa que la mantiene y la usa. Se llama red semántica porque se usaron originalmente para representar el sentido en expresiones de lenguaje natural.05/11/2012 © Martínez 29 Redes Semánticas (R. Quillian, 1968) Utilidad: • representación en procesamiento de lenguaje natural • formalismo muy limitado para dominios más complejos • limitado para tratar con formas de inferencia sofisticada • precursor de las frames05/11/2012 © Martínez 30 15
  • 16. 05/11/2012 Una red semántica se representa como un grafo dirigido etiquetado (en algunos casos se exige que dicho grafo sea aciclico), constituido por: • Nodos: • representan conceptos (un objeto individual o una clase de objetos, conceptos, propiedades o situaciones ) • son llamados atributos • Arcos: •representan relaciones binarias entre los conceptos (es_un, parte_de, tiene, etc.) •Herencia: •de propiedades como mecanismo inferencial básico05/11/2012 © Martínez 31 Donde: • Los nodos: conceptos de palabras (entidades, atributos , sucesos y estados) • Los arcos: ligan conceptos para establecer la definición (asocian conceptos) •Etiquetas: identifica el tipo de relación (espacial, temporal, causal, rol desempeñado) • Cada palabra o nodo conceptual se consideraba la cabeza de un ``plano‘ • que tiene su definición • e.g., si banco tiene 3 significados, entonces •existen 3 planos para él • Las ligas en el plano representan su definición.05/11/2012 © Martínez 32 16
  • 17. 05/11/2012 Ejemplo05/11/2012 © Martínez 33 Ejemplo05/11/2012 © Martínez 34 17
  • 18. 05/11/2012 •El error más común es usar la liga es-un para representar pertenencia a una clase y propiedades de una clase, • e.g. Existen propiedades que no se heredan a los miembros de la clase, •e.g., Se pueden hacer preguntas como, •Qué es lo que Piolín tiene? O • Quién es una ave?05/11/2012 © Martínez 3505/11/2012 © Martínez 36 18
  • 19. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 3705/11/2012 © Martínez 38 19
  • 20. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 3905/11/2012 © Martínez 40 20
  • 21. 05/11/2012 Ejemplo • "El corazón es parte del sistema cardiovascular" • "Las arterias son parte del sistema cardiovascular" • "Las arterias grandes son arterias“ • "La aorta es una arteria"05/11/2012 © Martínez 41 Pueden existir apuntadores o ligas principales a: • superclases (is-a), •las clases de ``arriba están definidas en términos de conceptos generales que se asumen que se cumplen en todas sus subclases • modificaciones, propiedades particulares de conceptos específicos •disjunciones, conjunciones y sujeto/objeto. • Los apuntadores fuera del plano hacen referencia a otros objetos (y planos) en donde se definen.05/11/2012 © Martínez 42 21
  • 22. 05/11/2012 Ejemplo • "Las arterias pequeñas •son arterias“ • "La arteria branquial izquierda es una arteria grande"05/11/2012 © Martínez 43Puede existirHerencia •es el mecanismo de razonamiento utilizado en redes semánticasEsto es• Herencia: cuando un concepto (nodo) hereda las propiedades de losconceptos "más altos en la jerarquía" a través de las relaciones subclase-de einstancia-de. e.g., • un canario • es un animal, y• herencia de propiedades e.g., • un canario come05/11/2012 © Martínez 44 22
  • 23. 05/11/2012 Ejemplo •“ Un vaso sanguíneo es parte del sistema cardiovascular” •“Las arterias son vasos sanguíneos” •"Las arterias contienen sangre rica en oxigeno“ •"Las arterias tienen pared muscular“ •"La arteria pulmonar izquierda es una arteria grande"05/11/2012 © Martínez 45 Ejemplo A partir de la red semántica podemos deducir: •“Las arterias grandes son ricas en oxigeno” / “Las arterias grandes tienen pared muscular” / •"La aorta contiene sangre rica en oxigeno" / "La aorta tiene pared muscular"05/11/2012 © Martínez 46 23
  • 24. 05/11/2012 Excepciones en la Herencia a) No heredar propiedades que producen inconsistencias. "La arteria pulmonar izquierda contiene sangre pobre en oxigeno“ “La arteria pulmonar izquierda tiene pared muscular y es rica en oxigeno La propiedad “las arterias transportan sangre rica en oxigeno” no debe ser heredada (excepción) por la arteria pulmonar izquierda.05/11/2012 © Martínez 47 Excepciones en la Herencia Una posible solución es: - almacenar la propiedad como información explícita en cada concepto en el que se cumple la propiedad, -eliminando la propiedad general.05/11/2012 © Martínez 48 24
  • 25. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 49• Representación de conocimiento la cual podemos analizarla desde 4 puntos: 1. Léxicamente: nodos, enlaces y etiquetas de enlace. 2. Estructuralmente: cada enlace conecta dos nodos. 3. Operativamente: constructores, lectores, etc. 4. Semánticamente: los nodos y enlaces representan entidades de aplicación especifica.05/11/2012 © Martínez 50 25
  • 26. 05/11/2012• Varios subtipos: – Espacio de estados, – árboles de búsqueda, – árboles de decisión y – árboles de juegos – entre otros.05/11/2012 © Martínez 51 Redes Semánticas Extendidas• Las Redes Semánticas Extendidas (A. Deliyanni y R. A. Kowalski): – formalismo de representación alternativo a la forma clausal de la lógica con la restricción de solo poder utilizar símbolos de predicado binarios.• Debido a la equivalencia sintáctica entre redes semánticas extendidas y la forma clausal de la lógica, – las reglas de inferencia definidas para la forma clausal de la lógica pueden ser aplicadas para manipular arcos y nodos de una red semántica extendida.05/11/2012 © Martínez 52 26
  • 27. 05/11/2012 Redes Semánticas ExtendidasUn predicado binario puede ser traducido en una red en la que:• los nodos representan términos• el arco representa la relación (predicado)05/11/2012 © Martínez 5305/11/2012 © Martínez 54 27
  • 28. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 5505/11/2012 © Martínez 56 28
  • 29. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 5705/11/2012 © Martínez 58 29
  • 30. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 5905/11/2012 © Martínez 60 30
  • 31. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 6105/11/2012 © Martínez 62 31
  • 32. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 6305/11/2012 © Martínez 64 32
  • 33. 05/11/2012 • Pruebas: • dar dos palabras y buscar intersecciones en las redes, •para obtener la relación (cosas en común) entre ellas. •Esta activación de todo lo que rodea a una palabra se espera que represente la definición completa de un concepto.05/11/2012 © Martínez 65 Ejemplos de Algunos Sistemas SCHOLAR SCHOLAR (Carbonell): una red semántica para enseñar la geografía de sudamérica. •Carbonell distingue entre: unidades conceptuales (clases) y unidades de ejemplos (instancias). •Explota el uso de etiquetas (tags). e.g., la etiqueta de irrelevancia aumenta la distancia semántica y guía hacia los atributos más relevantes. •También utilizó etiquetas temporales y permitió poner procedimientos mezclados dentro de la red (i.e., para inferir hechos).05/11/2012 © Martínez 66 33
  • 34. 05/11/2012 ARCH Winston: sistema para aprender conceptos de estructuras físicas a partir de ejemplos de estructuras descritos en forma de redes. •El proceso de generalización permite cambiar relaciones entre objetos. •Problema de los 3: uniformidad, i.e., no se distingue entre propiedades generales o específicas del dominio. •Estructuras de casos: Fillmore concentró el trabajo en lenguaje natural y verbos. •Oración: modalidad (captura información del tiempo, modo, aspecto) acoplada con una proposición (verbo con casos).05/11/2012 © Martínez 67 ARCH Otros trabajos: • Rumelhart et al., • Shank (dependencias conceptuales). Desafortunadamente • poca semántica (falta reconocimiento explícito de los principios fundamentales del diseño de la representacion). • poco entendibles, • muy uniformes (no había distinción entre superset y member). Shapiro: distingue conceptos relacionales (e.g., amar se representa como un nodo). Hendrix utiliza particiones (grupos de nodos).05/11/2012 © Martínez 68 34
  • 35. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 6905/11/2012 © Martínez 70 35
  • 36. 05/11/2012 Existen sistemas de razonamiento (Monótono y No-monótono), los cuales son utilizados para inferir conclusiones a partir de información dada, y son representados por medio de programas lógicos. Razonamientos monótonos: lógica proposicional, Deducción lógica y Lógica de primer Orden. La mayoría de los sistemas lógicos tienen una relación de consecuencia monotónicalo que quiere decir que el agregar una fórmula a una teoría nunca se produce una reducción de su conjunto de consecuencias. Intuitivamente, la monotonicidad indica que el agregar nuevos conocimientos no se reduce el conjunto de las cosas conocidas05/11/2012 © Martínez 71 Razonamiento Monotóno El razonamiento monótono, es el que utiliza contradicciones para procesar. Elimina un hecho (factor de conocimiento) obteniendo la contradicción hasta que llega a una conclusión final. EJEMPLO: “Cuando se ve a una persona tirando basura en la calle y pensamos en lo mal que se ve, la criticamos, pero cuando realizamos el mismo acto sin pensar, caemos en una contradicción y concluimos que somos igual a la persona que estaba tirando basura en la calle”. El razonamiento monótono es parte de la lógica clásica y abarca temas de la misma los cuales son: Lógica Proposicional, Deducción Lógica y Lógica de Primer Orden.05/11/2012 © Martínez 72 36
  • 37. 05/11/2012 Lógica proposicional La lógica proposicional es un sistema formal diseñado para analizar ciertos tipos de argumentos. En la lógica proposicional, las fórmulas representan proposiciones y las constantes lógicas son operaciones sobre las fórmulas que producen otras fórmulas de mayor complejidad. Como otros sistemas lógicos, la lógica proposicional intenta esclarecer nuestra comprensión de la noción de consecuencia lógica para el rango de argumentos que analiza.05/11/2012 © Martínez 73 La lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia la formación de proposiciones complejas a partir de proposiciones simples, y la inferencia de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples.[1] Una lógica proposicional es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad.[2]05/11/2012 © Martínez 74 37
  • 38. 05/11/2012 Deducción lógica La deducción lógica consiste en que a partir de unas premisas, representadas con símbolos, y a través de unas reglas, obtenemos una conclusión (deducimos la conclusión). De manera general, en lógica se considera siempre un conjunto (conjunción) de proposiciones P= { C 1 , C 2 ,..., C n } que constituirán lo que se denomina una teoría, una base de conocimientos o un programa lógico. El objetivo es establecer que una cierta proposición T es una consecuencia lógica (es deducible) (es un teorema) de P lo cual denotaremos por: C1, C2,…, Cn |= T Se lee T es una consecuencia lógica de C1, C2,…, Cn. Sea, P1, P2, P3,…, Pn |= QSe define como correcta, cuando no existe ninguna interpretación que simultáneamente haga P1, P2, P3,…, Pn verdaderos y Q falso, es decir, cuando todo modelo de las premisas, es un modelo de la conclusión.05/11/2012 © Martínez 75 Lógica de primer orden La lógica de primer orden, también llamada lógica de predicados o cálculo de predicados, es un sistema formal diseñado para estudiar la inferencia en los lenguajes de primer orden. La lógica de primer orden tiene el poder expresivo suficiente para definir a prácticamente todas las matemáticas. Una lógica de primer orden (LPO) consta de un lenguaje L y un concepto de inferencia C, con la siguiente caracterización: El lenguaje L se describe en sus dos dimensiones fundamentales: Sintaxis y Semántica. Sintácticamente L consta de un alfabeto y de dos clases de expresiones bien definidas a partir de los símbolos de este alfabeto: términos y fórmulas.05/11/2012 © Martínez 76 38
  • 39. 05/11/2012 Una lógica monotónica no puede manejar varios tipos de razonamiento tales como el razonamiento por defecto (los hechos pueden ser conocidos únicamente por la incertidumbre o carencia de evidencia de lo contrario), el razonamiento abductivo (los hechos sólo se deducen en calidad de explicaciones probables), el razonamiento acerca del conocimiento (la ignorancia de un hecho debe ser retractada cuando el hecho sea conocido), y la revisión de creencias (nuevo conocimiento puede contradecir creencias anteriores, obligando a revisarlas). Estas limitaciones son un inconveniente en gran cantidad de problemas que se presentan en inteligencia artificial, que tienen un carácter no monótono.05/11/2012 © Martínez 7705/11/2012 © Martínez 78 39
  • 40. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 7905/11/2012 © Martínez 80 40
  • 41. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 8105/11/2012 © Martínez 82 41
  • 42. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 8305/11/2012 © Martínez 84 42
  • 43. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 8505/11/2012 © Martínez 86 43
  • 44. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 8705/11/2012 © Martínez 88 44
  • 45. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 8905/11/2012 © Martínez 90 45
  • 46. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 9105/11/2012 © Martínez 92 46
  • 47. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 93 • Ejemplos05/11/2012 © Martínez 94 47
  • 48. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 9505/11/2012 © Martínez 96 48
  • 49. 05/11/2012 a) b) c) d) 05/11/2012 © Martínez 97d) 05/11/2012 © Martínez 98 49
  • 50. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 9905/11/2012 © Martínez 100 50
  • 51. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 10105/11/2012 © Martínez 102 51
  • 52. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 10305/11/2012 © Martínez 104 52
  • 53. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 10505/11/2012 © Martínez 106 53
  • 54. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 10705/11/2012 © Martínez 108 54
  • 55. 05/11/20122.5 La demostración y sus métodos.Qué es una demostración?El médodo deductivo es unproceso que parte de unconocimiento general y arriba auno particular La aplicación del Ejemplo:método deductivo nos lleva a unconocimiento con grado decerteza absoluta, y esta cimentado Todas las Venezolanas son bellasen proposiciones llamadas •Conocimiento general: DayanaSILOGISMOS Mendoza es venezolana Luego Dayana Mendoza es bella05/11/2012 © Martínez-Montero 1092.5 La demostración y sus métodos.El proceso demostrativo consistebásicamente en:A partir de unas proposicionesdadas que llamaremos premisas,obtener otra proposición quellamaremos conclusión mediante la Las demostraciones, introducenaplicación de unas reglas lógicas. conceptos como: • axiomas, teoremas, definiciones, ...; además se introduce la práctica de habilidades: •conjeturar, realizar un contraejemplo, inducir, deducir, justificar y generalizar.05/11/2012 © Martínez-Montero 110 55
  • 56. 05/11/20122.5 La demostración y sus métodos. Generalmente, la enseñanza de la demostración de una implicación se desarrolla de dos maneras: 1. Desde la lógica matemática. conectivas lógicas, tablas de verdad, leyes de la lógica, las inferencias lógicas y posteriormente la demostración de proposiciones d la forma (H =>) C 2. Desde la lógica intuitiva. Se recurre a una interpretación intuitiva de la implicación, se asume la hipótesis H y se utiliza junto con axiomas, definiciones y teoremas demostrados para deducir la conclusión C:05/11/2012 © Martínez-Montero 1112.5 La demostración y sus métodos. Para demostrar que una proposición específica es un teorema en una teoría deductiva dada procedemos así: 1. Se enuncian explícitamente los axiomas de la teoría. 2. Se fijan las reglas que validan el proceso demostrativo: Regla de validez 1: Todo axioma puede figurar en cualquier paso de una demostración. Regla de validez 2: Si P=>Q aparece en una demostración y P también figura en la misma demostración, entonces se puede concluir Q en la demostración (Modus Ponendo Ponens) Regla de validez 3: Si dos proposiciones son equivalentes se puede sustituir la una por la otra en cualquier parte de una demostración. Esta regla se conoce con el nombre de sustitución por equivalencia. 3. Efectuar una demostración de una proposición específica Q, consiste en obtener la proposición Q como la última en el proceso demostrativo por aplicación reiterada de las reglas de validez 1, 2 y 3.05/11/2012 © Martínez-Montero 112 56
  • 57. 05/11/20122.5 La demostración y sus métodos. Validez Un argumento es válido si en todas las situaciones pensables o en todos los modelos posibles en los que las premisas se cumplen, la conclusión también debe cumplirse. Una argumentación en la que todos los pasos se apoyen en argumentos válidos se llama deducción , y se dice que la conclusión está demostrada ; una conclusión demostrada a partir de axiomas de una teoría se llama teorema de esa teoría.05/11/2012 © Martínez-Montero 1132.5 La demostración y sus métodos. Definiciones Axioma o postulado: Es una proposición primitiva que se admite como cierta. En la construcción de una teoría axiomática se ha de partir de un conjunto de axiomas, escogidos de tal forma que dicho conjunto ha de ser: compatible, suficiente, independiente. “EL TODO ES MAYOR QUE LA PARTE”---- Concepto MAYOR “DOS COSAS SON IGUALES ENTRE SI”--- Concepto IGUAL Compatibilidad: Dos axiomas no pueden formular en ellos, ni producir en sus resultados derivados, relaciones contradictorias. Suficiencia: Toda proposición verdadera ha de ser deducible dentro del sistema. Independencia: Ningún axioma ha de poderse deducir de otros. Estableciendo el sistema de axiomas (que por cierto, no tienen porque ser "evidentes"), se comienza a construir la teoría enunciando y demostrando los teoremas. Teorema Es una proposición que ha de demostrarse cierta, mediante un razonamiento lógico a partir de los axiomas o de otros teoremas previamente justificados. Conjunto de HIPOTESIS+DEMOSTRACION+CONCLUSION05/11/2012 © Martínez-Montero 114 57
  • 58. 05/11/20122.5 La demostración y sus métodos. Reglas de inferencia básicas Cualquier razonamiento deductivo que hagamos tomará la forma de un condicional. Cada vez que empleemos reglas válidas para construir pruebas, observaremos que existe una conexión lógica entre las hipótesis y la conclusión, de tal manera que estaremos obligados a aceptar la conclusión, cuando hayamos aceptado las hipótesis. Esto quiere decir que una inferencia requiere una conexión lógica entre hipótesis y conclusión la cual se expresa como "hipótesis => conclusión“.05/11/2012 © Martínez-Montero 1152.5 La demostración y sus métodos. Métodos de demostración más comunes •Método Directo •Método de Contradicción •Método de Reducción de Absurdo05/11/2012 © Martínez-Montero 116 58
  • 59. 05/11/20122.5 La demostración y sus métodos. Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración condicional "Dado un conjunto de premisas en una teoría, si bajo el supuesto de que una proposición P es verdadera y utilizando las premisas disponibles se puede hacer una demostración de que una proposición Q es verdadera, entonces en esa teoría puede concluirse que es verdadero”. Es decir: Este método se parte de que H es verdadero y por medio de las reglas de inferencias, leyes de la lógica, axiomas, definiciones o teoremas, se deduce que C es verdadero.05/11/2012 © Martínez-Montero 1172.5 La demostración y sus métodos. Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración condicional Modelo:05/11/2012 © Martínez-Montero 118 59
  • 60. 05/11/20122.5 La demostración y sus métodos. Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración condicional Esquema operativo general: 1. Suponemos como verdadero el antecedente P. Esta la denominamos hipótesis auxiliar. 2. A partir de la hipótesis construimos una argumentación lógica en la cual podemos utilizar los axiomas y teoremas demostrados para obtener mediante la aplicación de las reglas de validez y de inferencia, la validez de Q. 3. En este punto concluye la prueba y queda establecida la validez de .05/11/2012 © Martínez-Montero 1192.5 La demostración y sus métodos. Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración condicional Ejemplo 1: Demostrar utilizando el método directo que la siguiente proposición es un teorema. Debemos identificar con absoluta claridad cual es el antecedente y el consecuente en la implicación principal; designémoslos por A1 y C1 respectivamente.05/11/2012 © Martínez-Montero 120 60
  • 61. 05/11/20122.5 La demostración y sus métodos. Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración condicional Ejemplo: Debemos identificar con absoluta claridad cual es el antecedente y el consecuente en la implicación principal; designémoslos por A1 y C1 respectivamente.05/11/2012 © Martínez-Montero 1212.5 La demostración y sus métodos. Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración condicional demostración del teorema: m.p.p m.p.p 3,5 2,6 1,705/11/2012 © Martínez-Montero 122 61
  • 62. 05/11/20122.5 La demostración y sus métodos. Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración condicional Observaciones 1) Puede observarse en una demostración con diferentes niveles de subordinación como al obtenerse la conclusión buscada en dicho nivel, el respectivo nivel se "cierra" estableciendo una implicación entre la hipótesis supuesta para este y la conclusión lograda. Dicha implicación pasa a ser la última proposición en el nivel inmediatamente anterior. 2) Debe tenerse en cuenta además que las proposiciones intermedias que se obtienen en un nivel determinado no pueden utilizarse posteriormente a la clausura del respectivo nivel.05/11/2012 © Martínez-Montero 1232.5 La demostración y sus métodos. Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración condicional Ejemplo 2: Demostrar utilizando el método directo que la siguiente proposición es un teorema.05/11/2012 © Martínez-Montero 124 62
  • 63. 05/11/20122.5 La demostración y sus métodos. Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración condicional demostración del teorema: m.p.p m.p.p05/11/2012 © Martínez-Montero 1252.5 La demostración y sus métodos. Método de contradicción (contrarrecíproco) El teorema del contrarrecíproco da lugar a una variante del método directo, que se utiliza mucho en matemáticas y es conocido como método del contrarrecíproco. Este método consiste en: Supongamos que se quiere demostrar que una proposición específica es teorema y al intentar su demostración por el método directo no logramos obtener la conclusión deseada. Se procede entonces a demostrar por el método directo su contrarrecíproca, si se consigue este objetivo entonces queda establecida la validez de al hacer sustitución por equivalencia.05/11/2012 © Martínez-Montero 126 63
  • 64. 05/11/20122.5 La demostración y sus métodos. Método de contradicción (contrarrecíproco) Modelo:05/11/2012 © Martínez-Montero 1272.5 La demostración y sus métodos. Método de contradicción (contrarrecíproco) Esquema operativo general 1. Suponemos como hipótesis auxiliar no Q. 2. Utilizando el método directo construimos una argumentación lógica hasta concluir no P. 3. Concluimos por el método directo que es teorema. 4. La regla de validez 3 nos permite concluir que es válida mediante la equivalencia del contra recíproco.05/11/2012 © Martínez-Montero 128 64
  • 65. 05/11/20122.5 La demostración y sus métodos. Método de contradicción (contrarrecíproco) Ejemplo Demostrar utilizando el método del contrarrecíproco el siguiente teorema: Si el producto de dos enteros es par, al menos uno de ellos es par. Enunciado explícito: Para a y b números enteros. Si a.b es par entonces a es par o b es par. Enunciado contrarrecíproco: Si no es cierto que a es par o b es par entonces a.b es impar. Este enunciado es equivalente a : Si a es impar y b es impar entonces a.b es impar. Supongamos que a es impar y b es impar (Hip. aux.)05/11/2012 © Martínez-Montero 1292.5 La demostración y sus métodos.Método de contradicción (contrarrecíproco)Demostración05/11/2012 © Martínez-Montero 130 65
  • 66. 05/11/20122.5 La demostración y sus métodos.Método de contradicción (contrarrecíproco)05/11/2012 © Martínez-Montero 1312.5 La demostración y sus métodos.Método de contradicción (contrarrecíproco)05/11/2012 © Martínez-Montero 132 66
  • 67. 05/11/20122.5 La demostración y sus métodos.Método de contradicción (contrarrecíproco)05/11/2012 © Martínez-Montero 1332.5 La demostración y sus métodos. Método de demostración por reducción al absurdo Este método suele ser confundido con el método de contradicción. Conceptos: Contradicción: Designamos en esta forma, toda proposición correspondiente a la conjunción entre una proposición y su negación. Teoría contradictoria o inconsistente: Se dice que una teoría es contradictoria o inconsistente, cuando en dicha teoría es posible demostrar una contradicción. En una teoría contradictoria podemos concluir que una proposición es verdadera y falsa a la vez.05/11/2012 © Martínez-Montero 134 67
  • 68. 05/11/20122.5 La demostración y sus métodos.Método de demostración por reducción al absurdoEl método de demostración por reducción al absurdo se fundamenta en lacondición de no contradicción para una teoría, básicamente la estrategiaconsiste en:• suponer explícitamente la negación de la proposición a demostrar,• a partir de esta hipótesis se trata de generar una contradicción, esto es:que la teoría con ese supuesto es inconsistente y, en consecuencia, talhipótesis es falsa,o lo que es equivalente, que su negación es verdadera, quedando validada laproposición inicial.05/11/2012 © Martínez-Montero 1352.5 La demostración y sus métodos.Método de demostración por reducción al absurdoModelo05/11/2012 © Martínez-Montero 136 68
  • 69. 05/11/20122.5 La demostración y sus métodos.Método de demostración por reducción al absurdoEstructura05/11/2012 © Martínez-Montero 1372.5 La demostración y sus métodos.Método de demostración por reducción al absurdoEsquema operativo generalSupongamos que se quiere demostrar que una proposición específica P es teorema. Poreste método procedemos así:1. Suponemos la negación de la tesis (no P) como hipótesis auxiliar.2. A partir de las premisas de la teoría y de la hipótesis auxiliar se razona por el método directo, hasta obtener como conclusión una contradicción por ejemplo, Q y no Q.3. Por el método directo concluimos4. El teorema anterior nos permite concluir del paso 3) la validez de P.Nota: En la práctica, cuando se usa este método, al obtener una contradicción,inmediatamente se valida la negación de la hipótesis supuesta dando por terminada laprueba.05/11/2012 © Martínez-Montero 138 69
  • 70. 05/11/20122.5 La demostración y sus métodos. Método de demostración por reducción al absurdo Observaciones Observación 1: Cuando se emplea este método para la demostración de una implicación supongamos el caso ; podemos proceder en cualquiera de las dos formas esquemáticas siguientes: Primera forma: 1) Supongamos no ( ) Hipótesis auxiliar. Reducción al absurdo. 2) P y no Q Equivalencia en (1). Ley de Morgan. 3) P Simplificación en (2). 4) no Q Simplificación en (2). Con estas dos premisas se inicia la construcción de la contradicción.05/11/2012 © Martínez-Montero 1392.5 La demostración y sus métodos. Método de demostración por reducción al absurdo Segunda forma: Integramos los métodos directo y reducción al absurdo, así: 1) Supongamos: P Hipótesis auxiliar 1. 2) Supongamos: no Q Hipótesis auxiliar 2. Reducción al absurdo. Con estas dos premisas se inicia la construcción de la contradicción. Como puede observarse los procedimientos son equivalentes. Observación 2) Al emplear este método y una vez supuesta la negación de la tesis como hipótesis auxiliar, el objetivo es construir una contradicción cualquiera, esta puede aparecer directamente como la conclusión de la afirmación de la tesis; pero no es la única forma, la contradicción también puede construirse con proposiciones derivadas dentro del proceso de la demostración. A continuación ilustramos la situación descrita.05/11/2012 © Martínez-Montero 140 70
  • 71. 05/11/20122.5 La demostración y sus métodos. Método de demostración por reducción al absurdo Segunda forma: Integramos los métodos directo y reducción al absurdo, así: 1) Supongamos: P Hipótesis auxiliar 1. 2) Supongamos: no Q Hipótesis auxiliar 2. Reducción al absurdo. Con estas dos premisas se inicia la construcción de la contradicción. Como puede observarse los procedimientos son equivalentes. Observación 2) Al emplear este método y una vez supuesta la negación de la tesis como hipótesis auxiliar, el objetivo es construir una contradicción cualquiera, esta puede aparecer directamente como la conclusión de la afirmación de la tesis; pero no es la única forma, la contradicción también puede construirse con proposiciones derivadas dentro del proceso de la demostración. A continuación ilustramos la situación descrita. 05/11/2012 © Martínez-Montero 1412.5 La demostración y sus métodos.Método de demostración por reducción al absurdoEjemplo:Utilizar el método de reducción al absurdo para obtener la conclusión a partir de laspremisas dadas. 05/11/2012 © Martínez-Montero 142 71
  • 72. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 14305/11/2012 © Martínez 144 72
  • 73. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 14505/11/2012 © Martínez 146 73
  • 74. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 14705/11/2012 © Martínez 148 74
  • 75. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 14905/11/2012 © Martínez 150 75
  • 76. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 15105/11/2012 © Martínez 152 76
  • 77. 05/11/201205/11/2012 © Martínez 15305/11/2012 © Martínez 154 77