Geometría Analítica
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Esta es una presentación que usé para mi curso de Geometría Analítica en enero-mayo de 2005.

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Geometría Analítica Geometría Analítica Presentation Transcript

  • Geometría Analítica. PM 4001.
  • Geometría Analítica.  Prof.: Carlos Humberto Vázquez Castellanos.  Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM), Campus Monterrey.  IEC, ‘01.
  • Plano Cartesiano. Y O X
  • Distancia entre dos puntos. Y P2 (x2, y2) y2 d y2 - y1 y1 P1 (x1, y1) x1 x2 X O x2 - x1
  • Viaje en Baja California.
  • ¿A medio camino?
  • División de un segmento rectilíneo en una razón dada. Y B (x2, y2) By (0, y2) P (x, y) Py (0, y) A (x1, y1) Ay (0, y1) X O Ax (x1, 0) Px (x, 0) Bx (x2, 0)
  • Vuelo de reconocimiento.  El último mensaje emitido por un avión de reconocimiento con quien se perdió todo contacto indicaba que se hallaba a 250 km. del punto de partida y a 350 km. del punto donde debía llegar. ¿Cuáles son las coordenadas del sitio desde donde envió su señal, si el avión se desplaza en línea recta y los lugares de partida y llegada se ubican en A(-2, 4) y B(8, 5)?
  • Flauta indígena.  La quena es una flauta de 30 cm. de longitud, con 5 o 6 agujeros. Si las coordenadas de los extremos de la flauta son A(2, 6) y B(7, 0), y la del primer agujero son P(4, 3.6), ¿cuál es la razón en que divide este agujero al instrumento?, a qué distancia de cada extremo se halla el agujero? (cada unidad representa 4 cm. en la realidad.
  • Longitud del brazo de una guitarra.  Las longitudes del brazo y del cuerpo de una guitarra eléctrica son, respectivamente, 64 cm y 32 cm. Los extremos del cuerpo de la guitarra son A(4, 5) y B(4, 20). ¿Cuáles son las coordenadas del extremo final del brazo de la guitarra?
  •  Un punto P(x, y) está sobre la recta que pasa por A(-4, 4) y B(5, 2). Encuentre (a) las coordenadas de P si el segmento AB se extendió de B a P de manera que P está alejado de A el doble que de B, y (b) las coordenadas de P si AB se extiende de A a P de manera que P se encuentra alejado de B el triple que de A. (a) (14, 0) (b) (-8.5, 5)
  •  Una recta pasa por A(2, 3) y B(5, 7). Encuentre (a) el punto P sobre AB extendido a través de B, de manera que P está dos veces más lejos de A que de B; (b) el punto, si P está sobre AB extendido desde A, de modo que P está dos veces más lejos de B que de A. (a) (8, 11) (b) (-1, -1)
  • La pendiente de una línea. Pendiente.- Inclinación, o una desviación de la horizontal. B (x2, y2) Elevación Elevación m = Pendiente de AB = Recorrido A (x1, y1) Elevación = y2 – y1 Recorrido Recorrido = x2 – x1 y2 – y1 m= x2 – x1
  • Líneas de diversas pendientes. Y m = -3 m=3 m = 3/2 m = 1/2 m = -1/2 m=0 X O
  • Y y=b b x=a X O a
  • Ecuación simétrica de la recta. • Encontrar la ecuación de la recta que intercepta los ejes X y Y en (3, 0) y (0, 5). 5−0 Y y−0 = ( x − 3) 0−3 5 (0, 5) y = − ( x − 3) 3 5 y = − x+5 3 5 x+ y =5 3 x y + =1 (3, 0) X 3 5 O
  • Ecuación simétrica de la recta. • La recta cuyas intercepciones con los ejes X y Y son a ≠ 0 y b ≠ 0 , respectivamente, tiene por ecuación: x y + =1 a b
  • • Hallar el área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es 5 x + 4 y + 20 = 0 5 x + 4 y = −20 Y [ 5 x + 4 y = −20] ÷ −20 (-4, 0) x y O X + =1 −4 −5 b×h A= 2 A= ( − 4)( − 5) (0, -5) 2 A = 10u 2
  • Ecuaciones de líneas rectas en el plano cartesiano. Suponga que un productor sabe que el costo total de la manufactura de 1000 unidades de su producto es de $8500, mientras que el costo total de la manufactura de 2000 unidades es de $11500. Suponiendo que esta relación entre el costo y el número de unidades fabricadas es lineal, encuentre la relación. ¿Cuál es el costo total de la producción de 2500 unidades? Grafique la ecuación.
  • Ecuaciones de líneas rectas en el plano cartesiano. Una compañía de renta de autos alquila automóviles por un cargo de $22 por día más $0.20 por milla. Escriba una ecuación para el costo y dólares en términos de la distancia x millas recorridas si el carro se alquila por N días. Si N = 3, dibuje una gráfica de la ecuación.
  • Condiciones de Paralelismo y Perpendicularidad. Y Y l1 l2 l1 l2 X X O O 1 m1 = m2 m1 = − m2
  • Ángulo entre dos rectas. Y l2 l1 α θ2 θ1 θ1 θ2 X O
  • Geometría Analítica y las secciones cónicas.
  • La Circunferencia. Y (x, y) r k (h, k) X O h
  • La Circunferencia.
  • La circunferencia. • Expresar x + y + 4 x − 6 y + 13 = 0 en la forma 2 2 estándar. x + y + 4 x − 6 y + 13 = 0 2 2 ( x + 4x + ) + ( y − 6 y + ) = − 13 2 2 (x 2 ) ( ) + 4 x + 4 + y 2 − 6 y + 9 = −13 + 4 + 9 ( x +2 ) 2 +( y −3) =0 2 ( C − 2, 3 ) r=0 Representa un punto.
  • La circunferencia. • Expresar x 2 + y 2 + 2 x +8 y +19 = 0 , en la forma estándar. x 2 + y 2 + 2 x +8 y +19 = 0 (x 2 +2x + ) +(y 2 +8 y + ) = −19 (x 2 ) ( ) + 2 x +1 + y 2 +8 y +16 = −19 +1 +16 No ( x +1) 2 + ( y + 4) 2 = −2 representa C ( −1, −4) r = −2 ningún lugar geométrico.
  • La circunferencia.
  • Condiciones para determinar una circunferencia. Y P2(x2, y2) X O P3(x3, y3) P1(x1, y1)
  • La parábola. Ecuación de la parábola con vértice en el origen. Y l P(x, y) LR V(0, 0) F(p, 0) X O x = -p
  • La parábola. Ecuación de la parábola con vértice en el origen. Y x2 = 4py X O
  • La parábola. Y Y p>0 p<0 X X O O Y Y O p<0 X p>0 X O
  • La parábola. Ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo a un eje coordenado. Y Y (h, k) O X O X (h, k) (y – k)2 = 4p(x – h) (x – h)2 = 4p(y – k)
  • La parábola. Y Y p>0 p<0 X X O O Y Y O p<0 X p>0 X O
  • La parábola. Intersección de una recta y una parábola. Y X O
  • Antenas parabólicas: una aplicación práctica. • La antena mostrada en esta fotografía tiene 2 m de ancho, en la parte donde está situado su aparato receptor. ¿A qué distancia del fondo de la antena está colocado el receptor de señales? Escribir la ecuación que describe a la sección parabólica de esta antena.
  • Puentes colgantes. • Si las torres de un puente colgante tienen una separación de 400 m. y los cables están atados a ellas a 200 m. arriba del piso del puente, ¿qué longitud debe tener el puntal que está a 50 m. de la torre izquierda? Supongamos que el cable toca el piso en el punto medio, V, del puente.
  • Túnel parabólico. • Una carretera atraviesa un cerro a través de un túnel con forma de arco parabólico, que tiene 4 m de claro y 6 m de altura. ¿Cuál es la altura máxima que puede tener un vehículo de transporte de 2 m de ancho, para pasar sin atorarse dentro de un túnel?
  • Elipse. Elipse con centro en el origen. Y B P(x, y) b V’ F’ F V (a, 0) X (-a, 0) (-c, 0) c O c (c, 0) b B’ x2 y2 + =1 a2 b2
  • Elipse. Elipse con centro en el origen. Y x2 y2 + =1 b2 a2 O X
  • Elipse. Ecuación de la elipse de centro (h, k) y ejes paralelos a los coordenados. Y Y O X O X (x - h)2 (y - k)2 (x - h)2 (y - k)2 + =1 + =1 a2 b2 b2 a2
  • Elipse. Intersección de una recta y una elipse. Y X O
  • Elipse. Desigualdades y la elipse. (x - h)2 (y - k)2 Y + =1 a2 b2 (x - h)2 (y - k)2 + <1 a2 b2 X O (x - h)2 (y - k)2 + >1 a2 b2
  • Propiedades de la Elipse. National Statuary Hall Collection
  • Propiedades de la Elipse.
  • La hipérbola. Ecuación de la hipérbola con centro en el origen. P(x, y) Y B(0, b) b F’ c c F X (-c, 0) V’ O V (c, 0) (-a, 0) (a, 0) b B’(0, -b)
  • La hipérbola. Ecuación de la hipérbola con centro en el origen. Y Y O X O X x2 y2 y2 x2 =1 =1 a2 b2 a2 b2
  • La hipérbola. Asíntotas de la hipérbola con centro en el origen. Y Y X X b a y=+ x y=+ x a b
  • La hipérbola. Hipérbolas con eje focal paralelo a un eje cartesiano. Y Y O X O X (x - h)2 (y - k)2 (y - k)2 (x - h)2 - =1 - =1 a2 b2 a2 b2
  • La hipérbola. Asíntotas de la hipérbola con centro fuera del origen. b a (y – k) = + (x – h) (y – k) = + (x – h) a b
  • Forma general de la ecuación de la Hipérbola. • Ejemplo: Encontrar las coordenadas del centro, los vértices, los focos y el bosquejo de 3x 2 − 2 y 2 + 12 x + 2 y − 14 = 0 (3 x 2 + 12 x) − (2 y 2 − 2 y ) = 14 3( x 2 + 4 x) − 2( y 2 − y ) = 14 3( x 2 + 4 x + 4) − 2( y 2 − y + 1 / 4) = 14 + 12 − 1 / 2 3( x + 2) 2 − 2( y − 1 / 2) 2 = 51 / 2 3( x + 2) 2 2( y − 1 / 2) 2 51 / 2 ( x + 2) 2 ( y − 1 / 2) 2 − = − =1 51 / 2 51 / 2 51 / 2 51 / 6 51 / 4
  • Forma general de la ecuación de la Hipérbola. ( x + 2) 2 ( y − 1 / 2) 2 − =1 51 / 6 51 / 4 C (−2, 1 / 2) c2 = a2 + b2 51 51 51 a = 2 c = + 2 6 6 4 51 85 a= = 2.91 c = 2 6 4 85 85 c= = 4. 6 F (−2 ± , 1 / 2) 4 4 51 V (−2 ± , 1 / 2) 6
  • Forma general de la ecuación de la Hipérbola. • Ejercicio: x2 − y 2 + 4x + 6 y − 5 = 0 ( x 2 + 4 x) − ( y 2 − 6 y ) = 5 ( x 2 + 4 x + 4) − ( y 2 − 6 y + 9) = 5 + 4 − 9 ( x + 2) 2 − ( y − 3) 2 = 0 a 2 − b2 = 0 (a + b)(a − b) = 0 a+b = 0 y a −b = 0 a = x+2 b = y −3
  • Forma general de la ecuación de la Hipérbola. ( x + 2) + ( y − 3) = 0 ( x + 2) − ( y − 3) = 0 x+ 2+ y −3 = 0 x+2− y +3= 0 x + y −1 = 0 x− y+5= 0
  • La hipérbola. Desigualdades y la hipérbola. (x - h)2 (y - k)2 - =1 Y a2 b2 (x - h)2 (y - k)2 - >1 a2 b2 O’ X (x - h)2 (y - k)2 - >1 a2 b2 (x - h)2 (y - k)2 - <1 a2 b2
  • Ecuación General de Segundo Grado. 4 y − x + 2x −1 = 0 2 2 Representa una hipérbola o un par de rectas que se cortan. x + y + 14 x − 10 y + 26 = 0 2 2 Representa una circunferencia, un punto o el conjunto vacío.
  • Ecuación General de Segundo Grado. y + 8 x − 2 y − 15 = 0 2 • Puede representar una parábola. x + 4 y − 2x − 8 y + 5 = 0 2 2 • Puede representar una elipse, un punto o el conjunto vacío.
  • Ecuación General de Segundo Grado. x − 120 y − 40 = 0 2 • Puede representar una parábola. x + y − 6 x + 10 y + 34 = 0 2 2 • Representa una circunferencia, un punto o el conjunto vacío.
  • Ecuación General de Segundo Grado. 16 x − 9 y + 64 x + 18 y − 89 = 0 2 2 • Representa una hipérbola o un par de rectas que se cortan. 9 x + 4 y − 36 x − 8 y + 76 = 0 2 2 • Puede representar una elipse, un punto o el conjunto vacío.
  • Ecuación General de Segundo Grado. 25 x + 9 y + 150 x − 36 y + 36 = 0 2 2 • Puede representar una elipse, un punto o el conjunto vacío.
  • Traslación de ejes. Y Y’ P (x, y) (x’, y’) O’ (h, k) X’ X O
  • Transformación de la ecuación general por rotación de los ejes coordenados. La ecuación general de segundo grado Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 en donde B ≠0, puede transformarse siempre en otra de la forma A' ( x' ) 2 + C ' ( y ' ) 2 + D' x'+ E ' y '+ F ' = 0 sin término en x’y’, haciendo girar los ejes coordenados un ángulo positivo agudo α.
  • Rotación de los ejes coordenados. Y Y’ P X’ r A’ α θ X O A
  • Rotación de ejes coordenados. Rotación de ejes. Reemplazando respectivamente x y y en la ecuación de una curva por x' cos α − y ' sin α y ' cos α + x' sin α se obtiene la nueva ecuación de la misma curva, referida a los ejes x’y’.
  • Rotación de ejes coordenados. Ejemplo 1. Escribir la nueva ecuación de la curva 41x2 – 18xy + 41y2 = 800, cuando los ejes coordenados se giran 45º.
  • Rotación de ejes coordenados.
  • Rotación de ejes coordenados. Ejemplo 2. Determinar una nueva representación de x2 + 4xy – 2y2 – 6 = 0, después de hacer girar los ejes el ángulo α = arctan 1 / 2 . Trazar la curva y mostrar los sistemas de coordenadas anterior y nuevo.
  • Rotación de ejes coordenados. Eliminación del término Bxy Para eliminar el término Bxy de la ecuación de una cónica, el ángulo de giro se escoge así si A = C, α = 45 0 si A C, B ≠ tan 2α = A−C
  • Rotación de ejes coordenados. Eliminación del término Bxy 1 − cos 2α 1 + cos 2α sin α = cos α = 2 2