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Ou seja, no sexto mês foram gerados 8 coelhos

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Em The Wave Principal, Elliot defende a ideia que as flutuações do mercado seguem
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Prova da terceira identidade

Essa identidade pode ser estabelecida em duas fases. Primeiro, contamos o número de
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  1. 1. Na matemática, os Números de Fibonacci são uma sequência (sucessão, em Portugal) definida como recursiva pela fórmula abaixo: Na prática: você começa com 1 e 1, e então produz o próximo número de Fibonacci somando os dois anteriores para formar o próximo. Os primeiros Números de Fibonacci (sequência A000045 na OEIS) para n = 0, 1,… são 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946… Esta seqüência foi descrita primeiramente por Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci (Dc. 1200), para descrever o crescimento de uma população de coelhos. Os números descrevem o número de casais em uma população de coelhos depois de n meses se for suposto que: • no primeiro mês nasce apenas um casal, • casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês de vida, • não há problemas genéticos no cruzamento consangüíneo, • todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo casal, e • os coelhos nunca morrem. O termo seqüência de Fibonacci é também aplicado mais genericamente a qualquer função g onde g(n + 2) = g(n) + g(n + 1). Estas funções são precisamente as de formato g(n) = aF(n) + bF(n + 1) para alguns números a e b, então as seqüências de Fibonacci formam um espaço vetorial com as funções F(n) e F(n + 1) como base. Em particular, a seqüência de Fibonacci com F(1) = 1 e Ver artigo principal: Sequência de Fibonacci F(2) = 3 é conhecida como os números de Lucas. A importância dos números de Lucas L(n) reside no fato deles gerarem a Proporção áurea para as enésimas potências: Os números de Lucas se relacionam com os de Fibonacci pela fórmula: L(n) = F(n - 1) + F(n + 1) Com esta fórmula podemos montar a Seqüência de Fibonacci e descobrir, por exemplo, quantos coelhos foram gerados no sexto mês, basta aplicar a fórmula descrita acima até chegar ao ponto inicial de 1 e 1. Como mostra a figura abaixo;
  2. 2. Ou seja, no sexto mês foram gerados 8 coelhos F(6) = (F(6) - 1) + (F(6) - 2) = 5 e 4 → 8 ( Soma do Resultado de F(5) e F(4) ) F(5) = (F(5) - 1) + (F(5) - 2) = 4 e 3 → 5 ( Soma do Resultado de F(4) e F(3) ) F(4) = (F(4) - 1) + (F(4) - 2) = 3 e 2 → 3 ( Soma do Resultado de F(3) e F(2) ) F(3) = (F(3) - 1) + (F(3) - 2) = 2 e 1 → 2 F(2) = (F(2) - 1) + (F(2) - 2) = 1 e 0 → 1 e a primeira posição 1. Note que a Seqüência de Fibonacci esta no resultado de cada posição; 1,1,2,3,5,8 … Aplicações Os números de Fibonacci são importantes para a análise em tempo real do algoritmo euclidiano, para determinar o máximo divisor comum de dois números inteiros. Matiyasevich mostrou que os números de Fibonacci podem ser definidos por uma Equação diofantina, o que o levou à solução original do Décimo Problema de Hilbert. Os números de Fibonacci aparecem na fórmula das diagonais de um triângulo de Pascal (veja coeficiente binomial). Um uso interessante da seqüencia de Fibonacci é na conversão de milhas para quilômetros. Por exemplo, para saber aproximadamente a quantos quilômetros 5 milhas correspondem, pega-se o número de Fibonacci correspondendo ao número de milhas (5) e olha-se para o número seguinte (8). 5 milhas são aproximadamente 8 quilômetros. Esse método funciona porque, por coincidência, o fator de conversão entre milhas e quilômetros (1.609) é próximo de φ (1.618) (obviamente ele só é útil para aproximações bem grosseiras: além do factor de conversão ser diferente de φ, a série converge para φ). Em música os números de Fibonacci são utilizados para a afinação, tal como nas artes visuais, determinar proporções entre elementos formais. Um exemplo é a Música para Cordas, Percussão e Celesta de Béla Bartók. Le Corbusier usou a seqüência de Fibonacci na construção do seu modulor, um sistema de proporções baseadas no corpo humano e aplicadas ao projeto de arquitetura.
  3. 3. Em The Wave Principal, Elliot defende a ideia que as flutuações do mercado seguem um padrão de crescimento e decrescimento que pode ser analisado segundo os números de Fibonacci, uma vez determinada a escala de observação. Defende que as relações entre picos e vales do gráfico da flutuação de bolsa tendem a seguir razões numéricas aproximadas das razões de dois números consecutivos da sequência de Fibonacci. Teorias mais recentes, defendem que é possível encontrar relações “de ouro” entre os pontos de pico e os de vale, como no gráfico abaixo: Se tomarmos o valor entre o início do ciclo e o primeiro pico, e o compararmos com o valor entre este pico e o pico máximo, encontraremos também o número de ouro. O ciclo, naturalmente, pode estar invertido, e os momentos de pico podem se tornar momentos de vale, e vice-versa. Generalizações Uma generalização da seqüência de Fibonacci são as Seqüências de Lucas. Um tipo pode ser definido assim: U(0) = 0 U(1) = 1 U(n+2) = PU(n+1) − QU(n)
  4. 4. onde a seqüência normal de Fibonacci é o caso especial de P = 1 e Q = -1. Outro tipo de seqüência de Lucas começa com V(0) = 2, V(1) = P. Tais seqüências têm aplicações na Teoria de Números e na prova que um dado número é primo (primalidade). Os polinômios de Fibonacci são outra generalização dos números de Fibonacci. Identidades F(n + 1) = F(n) + F(n − 1) F(0) + F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n + 2) − 1 F(1) + 2 F(2) + 3 F(3) + … + n F(n) = n F(n + 2) − F(n + 3) + 2 Podemos provar essas identidades usando diferentes métodos. Mas, entretanto, nós queremos demonstrar uma elegante prova para cada um de seus usos aqui. Particularmente, F(n) podem ser interpretados como o número de formas de adicionar 1's e 2's até n − 1, convencionando-se que F(0) = 0, significando que nenhuma soma irá adicionar até -1, e que F(1) = 1, significando que a soma 0 será "adicionada" até 0. Aqui a ordem dos números importa. Por exemplo, 1 + 2 e 2 + 1 são consideradas duas diferentes somas e são contadas duas vezes. Prova da primeira identidade Sem perda de generalidade, podemos assumir n ≥ 1. Então F(n + 1) conta o número de formas de somar 1's e 2's até n. Quando a primeira parcela é 1, há F(n) formas de completar a contagem para n − 1; quando a primeira parcela é 2, há F(n − 1) formas de completar a contagem para n − 2. Portanto, no total, há F(n) + F(n − 1) formas de completar a contagem para n. ohlé? Prova da segunda identidade Contamos o número de formas de somar 1's e 2's até n + 1 de forma que pelo menos uma das parcelas é 2. Como antes, há F(n + 2) formas de somar 1's e 2's até n + 1 quando n ≥ 0. Já que há apenas uma soma n + 1 que não usa nenhum 2, a saber 1 + … + 1 (n + 1 termos), subtraímos 1 de F(n + 2). Equivalentemente, podemos considerar a primeira ocorrência de 2 como uma parcela. Se, em uma soma, a primeira parcela é 2, então há F(n) formas de completar a contagem para n − 1. Se a segunda parcela é 2, mas a primeira é 1, então há F(n − 1) formas de completar a contagem para n − 2. Continuando este raciocínio iremos chegar à (n + 1)- ésima parcela. Se é 2, mas todas as n parcelas anteriores são 1's, então há F(0) formas de completar a contagem para 0. Se uma soma contém 2 como uma parcela, a primeira ocorrência de tal parcela deve tomar lugar entre a primeira e a (n + 1)-ésima posição. Portanto F(n) + F(n − 1) + … + F(0) dá a contagem desejada.
  5. 5. Prova da terceira identidade Essa identidade pode ser estabelecida em duas fases. Primeiro, contamos o número de formas de somar 1's e 2's até -1, 0, …, ou n + 1 tal que pelo menos uma das parcelas seja 2. Pela nossa primeira igualdade, há F(n + 2) − 1 formas de somar até n + 1; F(n + 1) − 1 formas de somar até n; …; e, finalmente, F(2) − 1 formas de somar até 1. Como F(1) − 1 = F(0) = 0 , podemos adicionar todos as somas n + 1 e aplicar a segunda igualdade novamente para obter: [F(n + 2) − 1] + [F(n + 1) − 1] + … + [F(2) − 1] = [F(n + 2) − 1] + [F(n + 1) − 1] + … + [F(2) − 1] + [F(1) − 1] + F(0) = F(n + 2) + [F(n + 1) + … + F(1) + F(0)] − (n + 2) = F(n + 2) + F(n + 3) − (n + 2). Por outro lado , observamos a partir da segunda igualdadee que existem • F(0) + F(1) + … + F(n − 1) + F(n) meios somando com n + 1; • F(0) + F(1) + … + F(n − 1) meios somando com n; …… • F(0) meio somando com -1. Somando todas as somas n + 1 , vemos que há • (n + 1) F(0) + n F(1) + … + F(n) formas de somar até -1, 0, …, ou n + 1. Já que os dois métodos de contagem se referem ao mesmo numero , temos : (n + 1) F(0) + n F(1) + … + F(n) = F(n + 2) + F(n + 3) − (n + 2) Finalmente, completamos a prova subtraindo a igualdade acima de n + 1 vezes a segunda igualdade. Número Tribonacci Um número Tribonacci assemelha-se a um número de Fibonacci, mas em vez de começarmos com dois termos pré-definidos, a sequência é iniciada com três termos pré- determinados, e cada termo posterior é a soma dos três termos precedentes. Os primeiros números de uma pequena sequência Tribonacci são: 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415, 223317, etc. [1]
  6. 6. A Espiral Na espiral formada pela folha de uma bromélia, pode ser percebida a sequência de Fibonacci, através da composição de quadrados com arestas de medidas proporcionais aos elementos da sequência, por exemplo: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… , tendentes à razão áurea. Este mesmo tipo de espiral também pode ser percebida na concha do Nautilus marinho. Repfigits Um repfigit ou número de Keith é um número inteiro, superior a 9, tal que os seus dígitos, ao começar uma seqüência de Fibonacci, alcançam posteriormente o referido número. Um exemplo é 47, porque a seqüência de Fibonacci que começa com 4 e 7 (4, 7, 11, 18, 29, 47) alcança o 47. Outro exemplo é 197: 1+9+7= 17, 9+7+17= 33, 7+17+33= 57, 17+33+57= 107, 33+57+107= 197. Um repfigit pode ser uma seqüência de Tribonacci se houver três dígitos no número, e de Tetranacci se o número tiver quatro dígitos, etc. Alguns Números de Keith conhecidos: 14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285…

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